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1. AGRUPAMENTO DAS ESCOLAS DE NELAS
Ficha de Revisão de Grafos - MACS – 11º ano
1. Complete as frases:
1.1 Um circuito de Euler é um circuito que percorre todos …………. de um grafo.
1.2 Tem-se um caminho de Euler sempre que o grafo tenha …………..vértices de grau
…… percorrendo todas as arestas de um grafo, começando ……….
1.3 Um grafo conexo é Euleriano se e somente se todos os vértices têm grau…….
1.4 Um ciclo de Hamilton é um ciclo que atravessa todos os …….. de um grafo sómente
uma vez.
1.5 Um caminho de Hamilton é um caminho que passa por todos os …….. de um grafo
somente …….. vez
2.Conside os seguintes
grafos:
2.1 Verifique se os
grafos a seguir
indicados têm circuito
de Euler
2.2 Verifique se têm
caminho de Euler e em
caso afirmativo indique um.
2.3 Verifique se existem circuitos de Hamilton.
2.4 Verifique se existem caminhos de Hamilton e em caso afirmativo indique um.
3.Considere o seguinte grafo.
Aplicando o algoritmo do vizinho mais próximo
calcule o caminho mínimo do grafo começando
em a.

2. 4.Considere as 8 primeiras letras do seu nome. Construa um grafo que respeite as seguintes
condições em simultâneo:
• Toda vogal é adjacente a toda consoante.
• Nenhuma vogal é adjacente a outra vogal.
• Nenhum consoante é adjacente a outra consoante.
4.1- Defina esse grafo.
4.2- É um grafo conexo? Justifique.
5- A Ana descobriu que o amigo da amiga era surfista . Passado um dia ela contou a quatro
colegas da escola e cada uma delas contou a outras quatro colegas passado um dia e assim
sucessivamente.
5.1- Quantos vão transmitir a notícia ao fim de quatro dias?
5.2- Quanto tempo levaria para que os 450 alunos da escola secundária de Cebolais estivessem
a transmitir a notícia?
6.
6.1 Determine o grau de cada vértice para o
grafo da figura
6.2 É possível traçar o grafo da figura
começando e terminando no mesmo ponto, sem
levantar a caneta do papel e sem retraçar as
linhas? Justifique a sua resposta.
7. Considere o seguinte pormenor do Concelho
da Moita. Considere apenas as ruas
visíveis no mapa necessárias para ter acesso às seguintes freguesias: Moita; Alhos
Vedros; Baixa da Banheira; Rosário; Sarilhos Pequenos.
7.1 Desenhe um grafo representativo das possíveis
ligações entre os locais referidos.
(Observação: não se esqueça de identificar o que
representam as arestas e os vértices)
7.2 Imagine que o autocarro camarário no 1º
Domingo de cada mês faz um circuito turístico
pelos locais indicados. Será possível efectuar o
percurso, sem repetir ruas?
Numa pequena composição justifique
convenientemente a sua resposta. Deve:
- explicar o algoritmo utilizado;
- responder claramente à pergunta formulada, de acordo com o grafo desenhado;
- incluir um percurso viável ou explicar como se poderá proceder para obter tal percurso.

3. 8. O filho do Sr. Manuel Pimentão é um estudioso
de astronomia e decidiu atribuir ás várias zonas do
jardim o nome das luas constantes no grafo, para
instalar um sistema de rega no jardim de modo que
seja mínimo o número de metros de mangueira a
utilizar.
Para planificar a tarefa que tem de efectuar o filho
do Sr. Manuel Pimentão registou
num esquema as distâncias (em metros) entre as
zonas que pretende ver contempladas com a rega.
8.1 A partir dos dados disponíveis, construa uma
tabela para a organização dos dados.
8.2 Aplique e explique através de uma pequena composição o algoritmo de Kruskal para obter
a árvore geradora mínima e indique a quantidade de metros de mangueira que o filho do Sr.
Manuel deverá adquirir
9. A tabela seguinte mostra uma lista de nove raças de Raças Incompatibilidades
cães A G,H
B C,F,I
E as suas incompatibilidades ou seja não podem estar
C B,D,G
em conjunto.
D C,G
Elabore o grafo representativo da situação. E F,H
F B,E
Determine o numero mínimo de jaulas que é possível G A,C,D
construir para alojar os cães. H A,E
I B
10. Considere o grafo da figura 1. Determine justificando se:
a) Tem um ciclo de Euler?
b) É um grafo Hamiltoniano?
c) É um grafo completo?
d) É um grafo bipartido?
11. Considere o grafo da figura.
11.1 Verifique se existe circuito de Euler, justificando
11.2 Verifique se existe circuito de Hamilton, justificando.

4. 12. Considera os grafos da figura
1. Averigua se algum deles é ou não um
grafo Hamiltoniano .
13. Suponha que existem sete companhias
de autocarros turísticos na área da cidade do
Braga, cada uma realizando visitas diárias a
não mais do que três locais marcantes desta região: Sameiro, Bom Jesus, Sé de Braga e Mosteiro de
Tibães. As companhias acordaram entre si que não visitariam o mesmo local no mesmo dia. A seguir
estão indicados os locais que cada
uma das companhias se propõe visitar.
Companhia 1 - apenas visita o Bom Jesus.
Companhia 2 - visita o Sameiro e o Bom Jesus.
Companhia 3 - visita a Sé de Braga.
Companhia 4 - visita o Sameiro e a Sé de Braga.
Companhia 5 - visita o Bom Jesus e o Mosteiro de Tibães.
Companhia 6 - visita o Mosteiro de Tibães e a Sé de Braga.
Companhia 7 - visita o Sameiro e o Mosteiro de Tibães.
13.1) Em conjunto resolveram estabelecer um calendário no qual cada companhia tenha assegurada a
sua participação. Esse calendário também assegura que cada local é visitado pelo menos uma vez por
dia. Qual o número mínimo de dias a serem preenchidos em tal calendário?
13.2) Se a companhia 5 decidir passar também a visitar a Sé de Braga, seria possível manter o número
de dias no calendário que elaborou?
14.Na altura das férias, o João decidiu ocupar o tempo a trabalhar e
assim ganhar algum dinheiro. Foi fazer distribuição de jornais e
revistas na sua vila. Considere o grafo da figura em que os vértices
são locais de distribuição e as arestas são as vias de acesso possível
entre cada ponto
O João quer ganhar tempo e pretende passar pelos postos de venda
uma única vez, mas tem que partir e chegar no mesmo ponto - o
Armazém A .
14.1) Será que o consegue fazer?
14.2) Entretanto, houve uma ruptura de uma cano na rua que liga
ao Armazém a C. Sendo assim, será que consegue fazer o percurso
nas mesmas condições?
2ª PARTE
1..
Escolha a melhor estimativa. O número de arestas num grafo simples planar de ordem 5 é no
máximo :
A) 8 B) 7 C) 9 D) 10
2. Qual é o índice cromático do seguinte grafo?
A) 3 B) 5 C) 4 D) 2

5. 3. Qual é o número cromático do seguinte grafo?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4
4. Considere os grafos e, respectivamente da figuras abaixo.
Assinale as afirmações correctas.
A) G2 tem ciclos eulerianos.
B) G2 tem ciclos hamiltonianos.
C) G1 tem ciclos eulerianos.
D) G1 tem ciclos hamiltonianos.
5.Assinale as afirmações correctas.
A) Todo o grafo simples regular de ordem 12, com grau de vértice 3, tem 36 arestas.
B) Uma árvore de ordem 6 tem 7 arestas.
C) Se a uma árvore removermos uma aresta conectando dois dos seus vértices o grafo obtido
fica desconexo.
D) Todo o grafo com número cromático menor ou igual a 4 é planar.
6.Seja H o subgrafo gerado pelos vértices de grau 4 do seguinte
grafo em baixo.
Assinale as afirmações correctas.
A) o grafo H é regular,e todos os seus vértices têm o mesmo grau.
B) o grafo H é conexo.
C) o grafo H é uma árvore.
D) o maior grau de vértice de H é 4.
SOLUÇÕES 2ª PARTE
1. C).2. C). 3. B ) 4.A) afirmação correcta B) afirmação correcta
C) afirmação errada D) afirmação errada
5.. A) afirmação errada B) afirmação errada
C) afirmação correcta D) afirmação errada
6.A) afirmação correcta B) afirmação correcta C) afirmação errada D) afirmação errada
12. Os alunos devem concluir que o 1ºgrafo, não é de Hamilton pois se começarmos o ciclo em A,
C, D ou E, passa-se necessariamente em B duas vezes, para se visitar os vértices A, C, D e E. Se
começarmos o ciclo em B, para visitarmos A, C, D e E, vamos passar em B três vezes. O 2ºgrafo é
de Hamilton e podem considerar, por exemplo, o ciclo A, C, D, B, F, E, A. 13.1 Para o exercício 13.1,
uma solução possível, por parte dos alunos é num mesmo dia sair: companhia 1, companhia 3 e
companhia 7; companhia 2 e companhia 6; companhia 5; companhia 4. É preciso um número mínimo
de três dias. 13.2 devem concluir, se escolheram o calendário anterior, que é possível manter o número de dias
no calendário elaborado 14 Neste exercício os alunos devem concluir que o grafo tem pelo menos um
ciclo Hamiltoniano, por exemplo, A, B, D, C, A. Não é possível fazer o percurso nas mesmas
condições.

6. AGRUPAMENTO DAS ESCOLAS DE NELAS
Ficha de Trabalho - MACS – 11º ano
1. Sabe-se que 7% dos indivíduos do sexo masculino de certa região são daltónicos.
Examinando 12 ao acaso, qual a probabilidade de 1/3 serem daltónicos?
2. Os resultados de uma sondagem mostram que 60% das famílias portuguesas de
determinada região têm TV por cabo. Num prédio dessa região onde moram 5
famílias, qual a probabilidade de haver exactamente 3 com TV por cabo?
3. A percentagem de iogurtes que estão estragados antes de expirar o prazo de validade
é 0,1%.
Qual a probabilidade de em 2000 iogurtes, dentro do prazo, haver dois estragados?
4. De acordo com um estudo feito pelas escolas de condução, apenas 35% dos
encartados passaram “à primeira”.
Em 20 condutores qual a probabilidade de metade ter passado “à primeira” ?
5. Uma certa marca de detergentes mistura, numa em cada 10 embalagens de 5 kg, um
cupão que dá direito a um prémio. Se comprar 30 destas embalagens, qual a
probabilidade de ganhar, pelo menos, um prémio?
6. A distribuição dos pesos dos frangos de três semanas segue uma distribuição
aproximadamente normal de peso médio 600g. O que é mais provável?
a) Um frango pesar menos de 0,5kg ou mais de 650g?
b) Um frango pesar mais de 450g ou menos de 750g?
7. A distribuição das notas num exame de Sociologia segue aproximadamente uma
distribuição normal :N(14,2).
a) Qual a probabilidade de um aluno que fez esse exame:
a1) ter menos de 12?
a2) ter mais de 16?
b) Qual a nota máxima que um aluno deve ter obtido no exame para pertencer ao
grupo dos 2,3% de alunos pior classificados?
c) Se 200 alunos fizeram exame de Sociologia, quantos se espera que tenham tido
mais de 18 valores?

7. 8. A variável “tamanho dos parafusos”, em mm, de um certo modelo de parafusos numa
fábrica segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 30. Escolhe-se, ao
acaso, um parafuso. Relativamente a ele, qual dos seguintes acontecimentos é o mais
provável?
(A) O seu tamanho é superior a 35 mm
(B) O seu tamanho é inferior a 35 mm
(C) O seu tamanho é superior a 20 mm
(D) O seu tamanho é inferior a 20 mm
9. As alturas, em cm, dos rapazes e das raparigas, alunos do 12.º ano de uma
determinada escola, geram distribuições normais de média igual a 170 e desvio
padrão, respectivamente, 5 e 10.
Indique qual dos gráficos seguintes pode corresponder às distribuições referidas.
Rapazes
Raparigas Rapazes
Raparigas
(A) (B)
Raparigas
Rapazes Raparigas
Rapazes
(C) (D)
10. Uma máquina produz parafusos cujo comprimento segue uma distribuição normal com
média 5 cm. Sabe-se que apenas 8% dos parafusos produzidos pela máquina tem
comprimento superior a 5,2 cm.
Escolhido um parafuso ao acaso a probabilidade de que a sua medida pertença a um
certo intervalo [a,b] é de 42%. Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b?
(A) a= 4,6 e b= 4,8 (B) a= 4,6 e b= 5
(C) a= 4,8 e b= 5 (D) a= 4,8 e b= 5,2
11. Admita que, numa certa escola, a variável «altura das alunas do 12º ano de
escolaridade» segue uma distribuição aproximadamente normal, de média x cm.
Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12º ano dessa escola.
Relativamente a essa rapariga, a probabilidade de a sua altura ser superior a 155 cm é
aproximadamente 60%. Qual pode ser o valor médio da distribuição?
(A) 155 cm (B) 145 cm (C) 150 cm (D) 160 cm