2º BACH. TEMA 8: CURVAS CÓNICASELIPSETangente y normal a una elipse en un punto de la misma.       La recta tangente a una...
Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada d.Primero buscaremos los simétricos de F2 con respecto a las tangent...
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Tangentes a una HIPÉRBOLA paralelas a una dirección dada d.                                                               ...
VALGAN LAS EXPLICACIONES ANTERIORES DE LAPARÁBOLA                   ELIPSE, TENIENDO EN CUENTA LAS VARIACIONES DE         ...
Tangentes a una PARÁBOLA paralelas a una dirección dada d. Puntos de intersección de una recta con una PARÁBOLA           ...
ELIPSE             La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugargeométrico que tiene la propie...
hipérbola            La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugargeométrico de los pun...
PARÁBOLA                La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugargeométrico de los pu...
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Apuntes cónicas 2º Bachillerato

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Apuntes del tema curvas cónicas de dibujo técnico de 2º de Bachillerato. España, 2013.

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Apuntes cónicas 2º Bachillerato

  1. 1. 2º BACH. TEMA 8: CURVAS CÓNICASELIPSETangente y normal a una elipse en un punto de la misma. La recta tangente a una elipse en un punto P de ella es la recta t, bisectriz exterior del ángulo formado por los dos radios vectores PF1 y PF2. La normal a la elipse en el punto P es la perpendicular a la tangente, y a su vez la bisectriz interior de los radio vectores PF1 y PF2. 2º BACH. TEMA 8: CURVAS CÓNICASTangentes a una elipse desde un punto exterior de la misma.Como la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de lastangentes, podemos resolver de la siguiente manera: Primero buscaremos los simétricos de F1 con respecto a las tangentes, que están en:: 1.- Circunferencia focal F2 2.- Circunferencia centro en P, radio P F1.Teniendo S1F1 y S2F1, trazamos las mediatrices S1F1 F1 y S2F1 F1,, tenemos así las tangentes: t1 y t2 . (quenecesariamente han de pasar por P.) (En lugar de ésto también podríamos trazar las perpendiculares por P a lossegmentos S1F1 F1 y S2F1 F1) Para determinar los punto de tangencia T1 y T2, unimos los punto S1F1 y S2F1, con el otro foco F2. 1
  2. 2. Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada d.Primero buscaremos los simétricos de F2 con respecto a las tangentes, que están en:: 1.- Circunferencia focal F1. 2.- En la perpendicular la dirección dada ( eje de simetría)Teniendo S1F2 y S2F2, resolvemos como en el caso anterior: trazamos las mediatrices S1F2 F2 y S2F2 F2,, tenemos así las tangentes: t1 y t2 . (que necesariamente han deser paralelas a la dirección dada) (En lugar de ésto también podríamos trazar las perpendiculares por P a los segmentosS1F2 F2 y S2F2 F2) S1F2 Para determinar los punto de tangencia T1 y T2, unimos t1 los puntos S1F2 y S2F2,con el otro foco F1. T1 t2 T2 S2F2 Puntos de intersección de una recta con una elipseSabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias que sontangentes a una focal y pasan por el otro foco, el problema se resuelve a hallar los centros de estascircunferencias. Así, buscaremos circunferencias tangentes a otra (circunferencia focal de F1 ) y que pasen pordos puntos: F2 (o F1) y F´2 (el simétrico de F2 con respecto a la recta r.) Este problema lo resolvíamos por potencia.Así: 1- Busco F´2, simétrico de F2 con respecto a la recta r. 2- Uniendo F´2 con F2 tengo eje radical 3- Dibujo la circunferencia focal de F1 4- Trazo una circunferencia auxiliar con centro en un punto de la mediatriz de F´2 F2 (línea de centros, que es larecta r dada ) para hallar un eje radical con la circa focal de F1. 5- En el corte de los dos er, tenemos CR. 6- Hallamos k , con AC90º para el segmento CR F1 (o para CR Oaux). 7- Centro en CR, radio k, trazamos circa que corta a la focal en T1 y T2. 8- Uniendo T1 y T2 con F1 (centro de la focal F1), tenemos en la recta r dos puntos, I1 e I2, que serían centros decircas que pasan por un foco y son tangentes al otro, por lo tanto, puntos de la elipse. Si son puntos de elipse, y están en r,son los puntos de intersección de la recta con la elipse. 2
  3. 3. VALGAN LAS EXPLICACIONES ANTERIORES DE LA ELIPSE, TENIENDO EN CUENTA LAS VARIACIONES DEHIPÉRBOLA LOS ELEMENTOS QUE CONSTITUYEN LAS CURVASTangente y normal a una HIPÉRbola en un punto de la misma. Tangentes a una HIPÉRBOLA desde un punto exterior de la misma. 3
  4. 4. Tangentes a una HIPÉRBOLA paralelas a una dirección dada d. 2º BACH. TEMA 8: CURVAS CÓNICAS Puntos de intersección de una recta con una HIPÉRBOLA 4
  5. 5. VALGAN LAS EXPLICACIONES ANTERIORES DE LAPARÁBOLA ELIPSE, TENIENDO EN CUENTA LAS VARIACIONES DE LOS ELEMENTOS QUE CONSTITUYEN LAS CURVASTangente y normal a una PARÁbola en un punto de la misma. 2º BACH. TEMA 8: CURVAS CÓNICAS Tangentes a una PARÁBOLA desde un punto exterior de la misma. 5
  6. 6. Tangentes a una PARÁBOLA paralelas a una dirección dada d. Puntos de intersección de una recta con una PARÁBOLA 6
  7. 7. ELIPSE La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugargeométrico que tiene la propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntosa otros dos, fijos, F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud deleje mayor AB de la elipse. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de lacurva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor CD se representapor 2b. Los focos están en el eje real. La distancia focal F1 F2 se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación: a2=b2+c2, por lo que: a = OA = F1 C (importantepara hallar los focos cuando se tienen eje mayor y menor) La elipse es simétrica respecto de los dos ejes, y por lo tanto, respecto del centro O.Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radios vectores r1 y r2 y por ladefinición se verifica: r1 + r2 =2a La circunferencia principal, Cp, de la elipse es la que tiene por centro la elipse yradio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas porlos focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales CF1 y CF2 de la elipse tienen por centro uno de losfocos y radio 2a. Son lugar geométrico de los simétricos del otro foco con respecto a lastangentes. La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros decircunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otrofoco.
  8. 8. hipérbola La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugargeométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos, fijos, F y F’, llamadosfocos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real AB de la hipérbola. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de lacurva. El eje AB se llama eje real y se representa por 2a. El eje CD se representa por 2b y sellama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. Ladistancia focal F-F’ se representa por 2c. 2 2 2 Entre a, b y c existe la relación: c =a +b por lo que c=OF=AD La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes, y por lo tanto, respecto del centroO. Las rectas que unen un punto T de la curva con los dos focos, se llaman radios vectores r1 yr2 y por la definición se verifica: r2-r1=2a La circunferencia principal Cp de la hipérbola es la que tiene por centro O y radioa. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos acada una de las tangentes. Las circunferencias focales CF1 y CF2 de la hipérbola tienen por centro uno de losfocos y radio 2a. Son lugar geométrico de los simétricos del otro foco con respecto a las tangentes. La hipérbola se puede definir también como el lugar geométrico de los centros decircunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otrofoco. Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estasasíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva.
  9. 9. PARÁBOLA La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugargeométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de unarecta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por V y por elfoco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a ladirectriz. El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, esdecir, OA=AF=p/2. Los radios vectores del punto T son T SF y T F. Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que en la elipse y en la hipérbola, ala longitud de la cuerda que es perpendicular al eje en el foco. La circunferencia principal Cp de la parábola, sería una recta, que es la tangenteen el vértice. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas porlos focos a cada una de las tangentes La directriz d hace de circunferencia focal de F2. Es lugar geométrico de lossimétricos del otro foco (F) con respecto a las tangentes. La parábola se puede definir también como el lugar geométrico de los centros decircunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otrofoco.

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