Estimación Numérica de Autovalores y Autovectores

1. Estimación de Los autovalores y autovectores de una matriz Prof. Lisbeth Torres Universidad Simón Bolívar Caracas. Venezuela

2. Preliminares Consideremos un polinomio p(x) con coeficientes en los números reales. Es un hecho que las raíces de este polinomio no siempre pertenecerán al cuerpo de los números reales. Ejemplo: p(x)=x2+x+1 siusamos la resolventeparahallarlasraices de estepolinomioobtenemos r=(-1 ±√-3)/2 por lo que no tieneraicesrealespor ser la cantidadsubradicalnegativa. NúmerosComplejos i2=-1 α=a+bi

3. La ventaja que tenemos ahora es que contamos con el Teorema Fundamental del Algebra que nos dice que todo polinomio no constante con coeficientes en los complejos tiene raíces en los complejos. Este teorema es de vital importancia para el estudio de los autovalores pues por definición estos son las raíces del polinomio característico. Definición: Sea A perteneciente a Cnxn y sea λ en C. Si la ecuación Ax = λx tiene una solución no trivial (x = 0) entonces se dice que λes un autovalorde A. Al vector no nulo x se le llama autovector asociado al autovalor .

4. Estrategia Se desea aproximar los autovalores y correspondientes autovectores de una matriz A en Cnxn. Para ello utilizaremos dos tipos de métodos: Métodos Parciales: Calculan los autovalores extremos de A (Máximo o Mínimo en módulo). Método de la Potencia Método de la Potencia Inverso Métodos trasladados Métodos Globales: Aproximan el espectro completo de la matriz. Circulos de Gershgorin