1. Insegnare geometria
Marta Todeschini
Agenzia Nazionale
per lo Sviluppo dell’Autonomia Scolastica
m.todeschini@irreveneto.org

2. La geometria
 La geometria è la più antica tra le teorie
create dall’uomo che ha rappresentato
per due millenni uno dei campi del sapere
tra i più importanti della matematica, anzi
per lungo tempo è stata assimilata alla
matematica stessa (i matematici spesso
chiamavano se stessi geometri).

3.  Testimonianza significativa da questo punto
di vista è la scritta riportata nel portico della
famosa Accademia di Atene, dove Platone
(428-427 a.C. – 348-347 a.C.) impartiva le
sue lezioni, in cui compariva il seguente
avvertimento:
 Non entri chi non conosca la Geometria”.
Accademia
di Atene,
dipinto di
Raffaello
Sanzio

4. Geo-metria
Prima premessa
Una lunga tradizione iniziata nell’antichità come studio della “misura
della terra” e rafforzata con gli Elementi di Euclide, ci tramanda
una geo-metria (appunto) fortemente radicata nell’esperienza.
 Proprio l’evidenza empirica delle proprietà espresse dalla
geometria è stata per secoli alla base della fiducia nella verità
assoluta della geometria stessa.
 Tale certezza si è attenuata con la scoperta delle geometrie
“non-Euclidee” e soprattutto con l’acceso dibattito che ha
caratterizzato la storia della matematica a partire dalla Crisi dei
Fondamenti avvenuto a cavallo tra il XIX ed il XX secolo.

5.  Da questo punto di vista, Henri Poincaré distingue tra lo spazio
fisico nel quale avvengono le nostre esperienze e quello
geometrico astratto ed ideale:
 «[…] i principi della geometria non sono dei fatti sperimentali. […]
È chiaro che l’esperienza gioca un ruolo insostituibile nella
genesi della geometria: ma sarebbe un errore concludere che la
geometria è una scienza sperimentale, anche solo in parte»
(Poincaré, 1902).
 La geometria diventa così una disciplina sempre più affrancata
da ogni riferimento al reale:
 il criterio essenziale di validità diviene la correttezza formale del
ragionamento e la coerenza di un sistema formale.

6. Geo-metria
Seconda premessa
 Tali considerazioni hanno portato storicamente ad un abbandono
della geometria dall’insegnamento della scuola primaria.
 Nel 1867 alcuni illustri matematici italiani sancirono ufficialmente
che l’unico modello epistemologicamente adeguato per questa
disciplina era quello euclideo e riconoscendo improponibile una
rigorosa sequenza di tale impostazione nella scuola primaria, la
abolirono.
 Se ancora oggi la geometria risente di una accentuata marginalità
(rispetto al curricolo di matematica) e di un eccessivo formalismo,
riteniamo che ciò sia conseguenza, almeno in parte, di una visione
epistemologica così radicale.
 Eppure gli elementi primi dello scienziato non devono essere
necessariamente gli elementi primi dell’allievo.

7. Conseguenze
La tendenza a voler riprodurre l’impostazione euclidea
nell’insegnamento della scuola di base continua ancora oggi.
Alcuni esempi:
 molti insegnanti introducono questa disciplina iniziando da
concetti come il punto, la retta e il piano, importanti per una
trattazione razionale, ma distanti dall’esperienza dell’allievo o da
definizioni che andrebbero invece considerate come punto di
arrivo di un percorso di apprendimento costruttivo e personale
dello studente.
 Partire dalla geometria piana e scordarsi di quella solida (dello
spazio)
 Separazione netta tra intuizioni connesse all’esperienza e il
ragionamento geometrico.
 Scarsa considerazione dell’insito valore culturale e educativo
della disciplina a favore di un valore strumentale.

8. L’approccio della psicologia dell’apprendimento
 Non esiste un disturbo specifico dell’apprendimento della
geometria
 Imparare geometria sembra essere il risultato di differenti
abilità legate al linguaggio (es. termini, definizioni),
all’astrazione e al ragionamento (es. riconoscimento di
invarianti, soluzione di problemi), alla memoria (es.
memorizzazione di informazioni e procedure) e alle
abilita’ visuospaziali
 Le abbiamo raccolte in:
 Conoscenze dichiarative
 Abilità di problem solving
 Abilità visuospaziali
 Le prove di valutazione ci aiutano a cogliere quali abilità
sono implicate nell’apprendimento della geometria e
descrivono il livello a cui si colloca la prestazione di un
dato bambino.

9. Lo sviluppo della competenza geometrica
 Se si considerano le prime fasi
dell’apprendimento geometrico è subito
evidente l’importante ruolo delle abilità
visuospaziali

10. Esistono principi geometrici innati?
 Dehaene, et al. (2006) hanno testato un gruppo di indigeni
dell’Amazzonia
 I risultati dimostrano che essi possedevano
 Principi topologici
 Principi euclidei (linea, angolo retto)
 Figure geometriche (quadrato, triangolo, cerchio)

11. Altre ricerche …
Clements et al. (1999) hanno intervistato 128
bambini tra i 3 e i 6 anni, con lo scopo di indagare
le loro conoscenze sulle forme geometriche
quadrato
10%
si
no
triangolo rettangolo
90%
40%
si si
no 50% 50% no
60%

12. La teoria di Van Hiele
(1986; Clements & Battista, 1992)
 Livelli di sviluppo del pensiero geometrico:
 Livello 0 (pre-riconoscimento): b. iniziano a costruire
schemi visivi delle forme ma non riconoscono sempre
forme da “non-esempi”.
 Livello 1 (Visivo): b. riconoscono la forma come un
“tutto”, riescono a formarsi delle immagini mentali (es.
“figura è un rettangolo perché è simile ad una porta”), ma
non riescono a raggiungere definizioni, proprietà, attributi
delle forme.
 Livello 2 (descrittivo/analitico): i b. riconoscono le forme
sulla base delle proprietà (es. “figura è un quadrato perché
ha 4 lati uguali”)

13. La teoria di Van Hiele
(1986; Clements & Battista, 1992)
 Livello 3 (deduzioni informali o geometria euclidea): Il sogg.
comincia ad osservare le varie relazioni dal punto di vista
logico. Affina il linguaggio e impara la terminologia tecnica.
Raggiunge la comprensione dei rapporti gerarchici tra le
figure e delle definizioni, per esempio, il quadrato è un
rettangolo con tutti i lati uguali, ed entrambi sono
parallelogrammi.
 Livello 4 (logica formale): distinzione di una proposizione e la
sua inversa, comprensione per dimostrazione. Il pensiero si
occupa del significato di deduzione, del reciproco di un
teorema, della condizione necessaria e sufficiente.
 Livello 5 (rigore): consente agli studenti di apprendere la
geometria non-euclidea e di confrontare diversi sistemi di
assiomi.

14. Influenza dell’educazione
 La cultura ha influenzato e influenza la
formazione di forme prototipiche
 Es. prototipo del quadrato
 Es. prototipo del triangolo

15. Influenza dell’educazione
 Ricerca di Vurpillot (1976)
 Da 4 a 7 anni: b. non riconoscono un quadrato
ruotato come quadrato
 8-9 anni: b. individuano caratteristiche del
quadrato anche se ruotato
 A che età i b. riconoscono le figure?
 Quadrato: 80% 4 anni; 86% 5 anni; 90% 6 anni
 Rettangolo e triangolo: % di riconoscimento più
bassa  60% 4 anni; 65% 5 anni; 80% 6 anni

16. Quindi …
E’ importante:
 Fornire maggiori opportunità di apprendere le
forme geometriche già a partire dalla scuola
dell’infanzia.
 Fornire tante opportunità di apprendimento e
diversificate per costruire i concetti delle figure
 Fornire le figure attraverso esempi e non-
esempi ed ogni figura deve essere manipolata
ed esplorata nelle parti e nelle caratteristiche e
descritta (porre attenzione ai termini che i
bambini usano e introdurre i termini corretti)

17. Valutare e potenziare l’apprendimento della
geometria dai 4 ai 6 anni

18. La nostra ricerca
Abbiamo costruito uno strumento di valutazione delle abilità
di riconoscimento di alcune forme geometriche così
strutturato:
Scuola infanzia e prima classe scuola primaria
 Conoscenze:
 Denominazione di figure
 Differenze tra figure
 Abilità visuo-spaziali:
 Classificazione
 Accoppiamento figure uguali
 Ricomposizione di figure
 Colorazione

19. Denominazione di Figure
 Quali figure
riconosci
tra queste?
 Sai come si
chiamano?

20. Differenze tra figure
 Cos’hanno di
diverso queste
due figure?

21. Standardizzazione della prova
 Campione: 269 bambini
 4 anni – 89 bambini che appartenevano alla
seconda classe della scuola dell’infanzia di cui 56
maschi e 36 femmine
 5 anni – 92 bambini che appartenevano alla terza
classe della scuola dell’infanzia di cui 43 maschi e
49 femmine
 6 anni – 88 bambini che appartenevano alla
prima classe della scuola elementare di cui 40
maschi e 48 femmine

22. Riconoscimento di Figure
 Quali figure riconosci tra queste?
 Sai come si chiamano?

23. Riconoscimento di Figure:
risultati
Nominalizzazione Quadrato 4 Anni Nominalizzazione Quadrato 5 Anni Nominalizzazione Quadrato 6 Anni
NO 25,8% NO 23,9%
NO 11,4%
SI 76,1% SI 88,6%
SI 74,2%
Nominalizzazione Rettangolo 4 Anni Nominalizzazione Rettangolo 5 Anni Nominalizzazione Rettangolo 6 Anni
NO 72,8% NO 39,8%
NO 85,4%
SI 14,6%
SI 27,2% SI 60,2%
Nominalizzazione Triangolo 4 Anni Nominalizzazione Triangolo 5 Anni Nominalizzazione Triangolo 6 Anni
NO 52,8% NO 37,0% NO 22,7%
SI 47,2% SI 63,0% SI 77,3%
Nominalizzazione Rombo 4 Anni Nominalizzazione Rombo 5 Anni Nominalizzazione Rombo 6 Anni
NO 68,2%
NO 96,3% NO 89,1%
SI 3,4% SI 10,9%
SI 31,8%

24. Differenze tra figure
 Cos’hanno di diverso queste due figure?

25. Differenze tra figure:
criteri di valutazione delle risposte
 0 punti  se il bambino dice che le figure non sono
diverse
 1 punto  se il bambino fa riferimento ad un aspetto
percettivo (es. dice che quadrato è più piccolo)
 2 punti  se il bambino fa riferimento a due
elementi percettivi (es. dice che quadrato è più
piccolo e rettangolo più grande)
 3 punti  se menziona concetti geometrici

26. Differenze tra Figure:
risultati
Livello 4 anni 5 anni 6 anni
0 11,2% 5,4% 1,1%
1 50,6% 58,7% 55,7%
2 29,2% 26,1% 20,5%
3 9,0% 9,8% 22,7%

27. Differenze tra Figure:
risultati
Livello 4 anni 5 anni 6 anni
0 0% 2% 0%
1 50,6% 41,3% 26,1%
2 27% 17,4% 21,6%
3 22,5% 39,1% 53,2%

28. Differenze tra Figure:
risultati
Livello 4 anni 5 anni 6 anni
0 2,2% 2,2% 0%
1 86,5% 64,1% 61,4%
2 9% 26,1% 23,9%
3 2,2% 7,6% 14,8%

29. Differenze tra Figure:
risultati
Livello 4 anni 5 anni 6 anni
0 6,7% 5,4% 1,1%
1 53,9% 45,7% 42%
2 34,8% 37% 39,8%
3 4,5% 12% 17%

30. Classificazione

31. Classificazione
(cambia dimensione)

32. Classificazione
(cambia orientamento)

33. Classificazione:
risultati
10
9,5 * *
9 4 anni
* 5 anni
8,5
6 anni
8
7,5
Classifica Cl.forma Cl. Orientam

34. Accoppiamento di figure uguali

35. Ricomposizione di figure

36. Accoppiamento di Figure e
Ricomposizione di Figure:
risultati
5
4 *
*
3 4 anni
*
5 anni
2 *
6 anni
1
0
Accopp Ricomposiz

37. Colorazione
Colora tutti i quadrati

38. Colorazione
Colora tutti i rettangoli

39. Colorazione:
risultati
 Le figure maggiormente individuate sono:
 il quadrato [media = 12,877],
 il rombo [media = 11,470] ed il triangolo
[media = 11,086]
 il rettangolo è il più difficile da individuare
[media = 9,988]
Su 16 figure max.

40. Alcune conclusioni della nostra ricerca:
 I fattori relativi a conoscenze e abilità visuo spaziali sono sempre
presenti e correlano molto tra loro quindi è bene didatticamente
sviluppare programmi che li contengano entrambi.
 Il riconoscimento delle figure, già presente all’inizio della scuola
dell’infanzia, durante i tre anni si sviluppa e può essere
potenziato.
 A tre anni sono già in grado di confrontare figure geometriche con
diversa forma, dimensione e orientamento.
 A 3 e 4 anni risulta più facile il confronto fra figure con diversa
dimensione piuttosto che con diverso orientamento.
 Già tra i 4 e 5 anni comincia l’analisi di alcune proprietà
geometriche.
 La figura più facile da riconoscere è il quadrato.
 La figura più difficile è il rettangolo.
 La figura più difficile da nominare è il rombo.

41. Potenziamento infanzia e primo anno della
primaria
 “Ciao! Noi siamo le tre chioccioline che ti accompagneranno nel regno
delle forme geometriche.
 Ciao, io sono Pina la lumachina che OSSERVA.
 Io sono Lina, la lumachina che RIFLETTE,
 Ed io sono Tina, la lumachina che FA e ti aiuterò a fare tutti questi
giochi,
 Se ci seguirai ti divertirai e imparerai tante cose! Andiamo!”

42. Potenziamento. Riconoscimento Figure
4,5,6 anni
Questi sono tutti triangoli
Anche questa forma si può trovare in molte cose
attorno a te.
Questi cartelli stradali hanno la forma di triangolo
La squadretta ha forma di triangolo

43. 4-5-6 ANNI
FAI: Aiuta la lumachina Tina a colorare tutti i triangoli
Quanti triangoli hai colorato?
Sei sicuro che si tratta di triangoli?
Come hai fatto a riconoscerli?

44. FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare le nostre lumachine
ad imparare tutti i nomi delle figure.
Associa i nomi che ti dirà l’insegnante alle figure.
QUADRATO
TRIANGOLO
4 ANNI

45. FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare la lumachina
ad imparare tutti i nomi delle figure. Associa i nomi che ti dirà l’insegnante
alle figure.
RETTANGOLO
TRIANGOLO
ROMBO
QUADRATO
6 ANNI

46. Potenziamento. Differenze tra figure
 OSSERVA. La lumachina Tina deve imparare quali sono le
differenze tra le figure. Aiutala a capire cosa c’è di diverso nelle
figure qui sotto.
RIFLETTI: Le due figure hanno la stessa forma?
Cosa hanno di diverso queste figure?
(Attenzione puntata sulla dimensione)

47. Potenziamento. Differenze tra figure
 OSSERVA: Quale figura è più grande?
 Quale più piccola?
 FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile

48. Potenziamento. Differenze tra figure
 OSSERVA:Quale figura è più grande?
 Quale più piccola?
 FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile
 RIFLETTI: Da cosa vedi che una è più grande e una è più piccola?
 È l’unica differenza tra le due figure? Cosa hanno ancora di diverso?
 Queste figure hanno la stessa forma? Da cosa lo vedi?

49. Potenziamento. Classificazione
4-5-6 ANNI
Attenzione adesso! Anche quelli qui sotto sono quadrati,
ma hanno qualcosa di diverso tra loro. Sai capire cosa?
In questo caso è l’orientamento che cambia. I quadrati
sono tutti uguali ma ruotati nello spazio.

50. Potenziamento. Classificazione
Ritaglia questo quadrato.
RIFLETTI: Secondo te è uguale a quelli che
abbiamo visto sopra?
Prova a sovrapporlo ad ognuno di essi per
verificare se sono uguali.
Ripassa il contorno del quadrato ruotandolo
nello spazio secondo diversi orientamenti.
(L’insegnante consegna al bambino una forma
quadrata di cartoncino già tagliata)

51. Potenziamento. Classificazione
 FAI: Lina, dopo aver
terminato di costruire la
sua casetta, decide di
andare a trovare la sua
amica Pina che abita
dall’altra parte del
fiume, ma per riuscire
ad arrivare all’altra
sponda deve
camminare solo sui
sassi a forma di rombo.
Aiutala tu colorando i
sassi su cui può
passare!

52. Potenziamento.
Accoppiamento di Figure
OSSERVA Il rettangolo fa delle capriole.. ma rimane sempre un rettangolo!

53. Hai capito cosa succede quando le forme ruotano?
Adesso prova a trovare quale tra le figure disegnate sotto è
uguale a quella sopra. Perché?
4-5-6 anni
adesso prova a sovrapporle per vedere se hai indovinato!

54. Potenziamento.
Ricomposizione di figure
 OSSERVA La lumachina deve trasformare i quadrati in triangoli. Come
fare?

55. Potenziamento.
Ricomposizione di figure
 FAI: Aiuta la lumachina a trasformare i quadrati in triangoli.
 Taglia lungo la linea tratteggiata.

56. Potenziamento.
Ricomposizione di figure
. Adesso il compito diventa un po’ più difficile.
Devi cercare di capire che figura si forma a partire da due figure
Riesci a capire che figura è?
Prova a verificare se è corretto ritagliando le due figure e
unendole insieme. Prova a girare le figure per unirle insieme.

57. Potenziamento.
Ricomposizione di figure
FAI: Adesso la lumachina deve svolgere un compito molto difficile….
Deve ricomporre le figure aggiungendo correttamente il pezzo
mancante…..Prova a darle una mano…
4-5-6 anni

58. Potenziamento.
Ricomposizione di figure

59. Potenziamento.
Ricomposizione di figure

60. Potenziamento. Colorazione
Questo disegno è formato da tante figure diverse. Ne
riconosci qualcuna?
Come hai fatto a riconoscere i rettangoli? Da cosa hai visto che
avevano proprio la forma rettangolare?
Erano tutti uguali tra di loro? Cosa avevano di diverso?

61. Organizzazione delle prove per la scuola
primaria e secondaria
Classe 2-3
Scuola Primaria
Classe 4-5
Classe 1
Scuola Secondaria I grado Classe 2
Classe 3

62. Organizzazione delle prove
Acquisizione di
Domande conoscenze in funzione
dell’età
Capacità di applicare
Problemi procedure di risoluzione
di problemi
Abilità visive e spaziali in
Abilità visuospaziali relazione con abilità
geometriche

63. Es. Domande classe 2-3 scuola primaria
 Quali dei seguenti disegni di oggetti
contiene la figura completa del cerchio?
A B C
 3. Quale tra le seguenti figure non è un
rettangolo?
A B C

64. Es. Domande classe 4-5 scuola primaria
 Cosa è un segmento?
a. Una retta con un punto di origine tendente all’infinito
b. Una porzione di retta delimitata da due punti
c. Una retta senza punto di origine e tendente all’infinito
 Che tipo di triangolo è quello rappresentato
nella figura?
a. Un triangolo rettangolo
b. Un triangolo isoscele
c. Un triangolo equilatero

65. Es. domande scuola secondaria
 In quale tipo di triangolo altezza, mediana e bisettrice
coincidono per tutti e tre i vertici? (classe I)
a. Triangolo rettangolo
b. Triangolo isoscele
c. Triangolo equilatero
 Due rette del piano, entrambe perpendicolari ad una terza
retta, come sono tra loro? (classe II)
a. Parallele
b. Perpendicolari
c. Incidenti
 Il prisma è un solido composto da: (classe III)
a. Un numero infinito di parallelogrammi
b. Tanti parallelogrammi quanti sono i lati del poligono di
base
c. Un numero doppio di parallelogrammi rispetto ai lati del
poligono di base

66. Es. Problemi 2-3 scuola primaria
 Osserva la figura:
 Quanti misura il perimetro?

67. Es. Problemi 4-5 scuola primaria
 Zia Maria ha un orto a forma di triangolo
isoscele. Un lato misura 5 m e i due lati uguali
misurano 8 m. Quanto misura il perimetro
dell’orto?
 Un rettangolo ha l’altezza di 10 cm. La sua base
misura il doppio dell’altezza. Calcola il perimetro
del rettangolo
 Disegna due rette che non sono né
perpendicolari né parallele

68. Es. problemi scuola secondaria
 Quanto misura l’area di un quadrato il cui
perimetro misura 36 cm? (Classe I)
 Un quadrato ha la diagonale di 11,312 m.
Calcola il perimetro. (Classe II)
 Calcola l’area della superficie totale ed il
volume di un cubo con uno spigolo di 5 cm.
(Classe III)

69. Abilità visuospaziali nella
geometria

70. Immagina di giocare con dei blocchetti che uniti formano delle
figure. Osserva la figura formata con i blocchetti dentro il
riquadro e trova quella composta dagli stessi blocchetti.
a b c

71. Immagina di ruotare i blocchetti per trovare la figura dentro il riquadro.
a b c
Come vedi la risposta corretta è la b.
Fai una crocetta sotto la figura corretta.

72. Osserva la configurazione dentro il
riquadro e trova quella composta
dalle stesse figure.
Fai una crocetta sotto la figura
corretta.
a b c

73. Nel prossimo esercizio vedrai due figure all’interno di un riquadro.
Il tuo compito è cercare di unirle in modo da riuscire a individuare
quale figura formano.
Di seguito ti facciamo vedere un esempio:
Prova a ruotarne una e ad unire le figure

74. Cerca la figura che deriva dall’unione dei pezzi all’interno del
riquadro
a b c
Le due figure formano un quadrato.
Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

75. Cerca la figura che deriva
dall’unione dei pezzi all’interno
del riquadro
a b c

76. Immagina un foglio con la stessa forma della figura nel riquadro e
immagina di piegare il foglio in corrispondenza delle linee
tratteggiate.
Una volta piegato il foglio immagina di unirlo in tutte le sue parti.
Prova ad individuare tra le tre alternative che ti verranno
presentate la forma del foglio piegato ed unito in tutte le sue
parti.

77. Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della figura
nel riquadro
a b c

78. Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della
figura nel riquadro
a b c

79. Osserva con attenzione il cubetto
Conta il numero di cubetti della figura che segue.
La figura è composta da 6 cubetti. Nel prossimo compito dovrai dire
quanti cubetti misurano le figure

80. Osserva il cubetto
Quanti cubetti misura la figura sotto?…….

81. In questi compiti dovrai cercare una figura semplice dentro una più
complessa. Ad esempio, cerca il triangolo a sinistra nella figura di
destra e ripassa il contorno con una matita colorata
Hai visto dove si trova il triangolo?
Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

82. Trova la figura semplice nel riquadro di sinistra all’interno di quella
complessa di destra e ricalcala con la matita colorata:

83. In questi compiti dovrai cercare la superficie in cui tutte le
figure si intersecano e colorarla con una matita colorata.
Ad esempio le figure sotto hanno in comune lo spazio
colorato
Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

84. Colora la superficie in cui tutte le figure si intersecano

85. Esempi e non esempi