1. Oderzo
giugno 2012
Insegnare matematica
Marta Todeschini
m.todeschini@irreveneto.org

2. 5 anni e mezzo
Luigi: “Io i numeri li so più che bene, benissimo, meglio delle
lettere, li so da prima delle lettere che ero piccolo piccolo”.
Francesca: “Io con i numeri ci gioco. Io ti dico 1 e tu mi dici 2 e così
via. A giocare a campana sono bravissima”.
10 anni
Luigi: “Io a scuola sono un campione. La matematica mi piace più
della maestra. Mi viene facile e tutti dicono: che bravo Luigi! Anche
mia mamma lo racconta a tutti”.
Francesca: “A scuola la matematica è alti e bassi. Un po’ più di
bassi. Per il resto sono bravetta. Con i problemi alla lavagna divento
tutta rossa e mi si sconfusiona la mente”.
13 anni
Luigi: “Guarda, sono bravo sul serio. Non c’è che dire mi fa sentire
bene perché per me è facile, più facile che il resto”.
Francesca: “Aiuto, è un disastro. Mi iscrivo alle magistrali, speriamo
bene”.
17 anni
Luigi: Sto studiando Galileo e mi capita che davvero io vedo il
mondo in termini di triangoli e quadrati. Solo che quando lo dico
agli altri, soprattutto le mie compagne, si stufano”.
Francesca: ”Non ne posso più. Via da me. Mi iscrivo a lingue così
sono sicura di liberamene per sempre”.

3. INVALSI 2011

4. Quanti sono i bambini con
Difficoltà in matematica?
In Italia: Scuola primaria:
5 bambini per classe con difficoltà di calcolo
5 - 7 bambini per classe con difficoltà
di soluzione dei problemi
(ogni classe 25 alunni circa)
+ 20% della popolazione scolastica

5. Quanti sono i bambini con
Difficoltà in matematica?
IARLD
(International Academy for Research in Learning Disabilities)
2,5 % della popolazione scolastica presenta difficoltà in
matematica in comorbidità con altri disturbi
Discalculia: 2 bambini su 1000
19,998 % della popolazione scolastica = falsi
_
positivi

6. Disturbo vs Difficoltà
Disturbo di Calcolo Difficoltà di Calcolo
Basi neurologiche il profilo appare simile al disturbo
Comorbidità Specificità
l’intervento riabilitativo
ottiene buoni risultati
- dislessia appare in condizioni di
in breve tempo
- difficoltà adeguate abilità
nella generali e di adeguato
soluzione di apprendimento in altri
problemi ambiti
l’intervento riabilitativo normalizza (?)

7. Ma allora …
Perché così tanti bambini hanno difficoltà in matematica?
Metodi di insegnamento?
Meccanismi di apprendimento?
Sviluppo dell’intelligenza numerica?

8. Didattica della
matematica Ricerca psicologica
Processi cognitivi Processi motivazionali
dominio specifici Bandura 1990
Schoenfeld 2003
Intelligenza numerica
Butterworth 2003
Modelli neuropsicologici
del calcolo
Mc Closkey 1985
... Componenti cognitive di
soluzione dei problemi
matematici

9. Buone prestazioni in matematica
IMPUTABILI ALL’INSIEME DI CONOSCENZE
ACQUISITE CIRCA
Cognizione Regolazione della
Regolazione
cognizione
cognizione
Teoria della mente
in grado di guidare lo studente nel mettere in atto
comportamenti strategici
(Wellman, Gelman, 1992)

10. Strategie
Conoscenza strategica
Conoscenza strategica Conoscenza strategica
generale
generale specifica
basata sul sistema di conoscenza di strategie e
credenze capacità di utilizzarle in
stile attributivo modo adeguato
Comportamento motivato

11. Cos’è l’intelligenza numerica?
Secondo diversi studi, sia gli animali che i
neonati sono capaci di riconoscere le
quantità numeriche e sono in grado di
distinguere gruppi di oggetti in base alla
numerosità.

12. Cos’è l’intelligenza numerica?
La capacità di manipolazione di “intelligere” le quantità-
ovvero manipolare, capire, ragionare, attraverso il
complesso sistema cognitivo dei numeri e delle quantità
 Le ricerche attuali dimostrano che l’intelligenza numerica
è innata
 Tramite istruzioni dei processi dominio specifici si può
potenziare

13. Quanti sono questi?

14. Quanti sono questi?

15. Quanti sono questi?

16. Quali sono i meccanismi innati?
Secondo Gallister e Gelman (1992) i processi di quantificazione
sono sostenuti dalla capacità di riconoscimento immediato di quantità
senza la necessità di contare.
 Tale processo prende il nome di subitizing e ha luogo di fronte ad
insiemi di 3-4 elementi.
N + 1; N – 1;  E’ la capacità primordiale che ci sostiene nelle
operazioni di calcolo mentale
La corrispondenza biunivoca e l’ordine stabile. Un bambino di 2 anni
che ha degli oggetti in mano è in grado di dare un singolo oggetto a
ciascuna delle persone presenti intorno a lui, e lo sa fare prima di aver
imparato il nome dei numeri!

17. Studi su l’intelligenza numerica
 Antell e Keating nel 1983 hanno verificato,
attraverso la «tecnica dell'abituazione-
disabituazione» che i neonati (da 1 a 12 giorni di
vita) sono sensibili alla quantità e capaci di
differenziare gli insiemi in base alla numerosità degli
elementi contenuti
 Ai bambini venivano presentati diverse volte dei cartoncini con
due punti neri, diversamente distanziati, fino a creare
“abituazione”. Veniva quindi presentato un nuovo cartoncino con
tre puntini allineati. I bambini rimanevano ad osservare più a
lungo questo cartoncino

18. Studi su l’intelligenza numerica
 Wynn (1992) ha riscontrato come bambini di 5-6 mesi
sappiano compiere semplici operazioni di tipo additivo (1 +
1) e sottrattivo (2 - 1)
 A bambini di 5-6 mesi veniva presentato un pupazzo che poi veniva
spostato dietro uno schermo, veniva fatta la stessa cosa con un
secondo pupazzo. Alla fine veniva tolto lo schermo e presentati o
entrambi i pupazzi (1+1=2) o solo uno (1+1≠ 2). I bambini guardavano
più a lungo la seconda condizione, indice che percepivano qualcosa di
“strano”.
 La stessa cosa accade con la sottrazione.

19. Natura vs Cultura
 «la natura fornisce un nucleo di capacità per classificare
piccoli insiemi di oggetti nei termini delle loro numerosità
[...] per capacità più avanzate abbiamo bisogno
dell'istruzione, ossia di acquisire gli strumenti concettuali
forniti dalla cultura in cui viviamo» Butterworth (1999)
 Imparare a contare rappresenta il primo
collegamento tra natura e cultura

20. Lo sviluppo delle abilità di
conteggio
 Gelman e Gallistel (1978), hanno elaborato la “teoria
dei principi di conteggio” secondo la quale l'acquisizione
dell'abilità di conteggio verbale è guidata dalla
conoscenza innata di alcuni principi basati sulla
competenza numerica non verbale.
In pratica bambini piccoli possiedono un concetto innato di
numero, che si evolve nell’acquisizione delle procedure
di calcolo attraverso alcuni principi

21. Lo sviluppo delle abilità di
conteggio
I tre principi del «come contare» individuati dalle ricercatrici
sono:
1. il principio della corrispondenza biunivoca (a ogni
elemento dell'insieme contato deve corrispondere una sola
parola-numero e viceversa) (il bambino distribuisce un giocattolo a
ogni persona, mette ogni tazza sul suo piattino, ecc.)
2. il principio dell'ordine stabile (le parole-numero devono
essere ordinate in una sequenza fissa e inalterabile)
3. il principio della cardinalità (l'ultima parola-numero usata
nel conteggio rappresenta la numerosità dell'insieme)

22. Lo sviluppo delle abilità di
conteggio
 La padronanza di questi principi comincia verso i
2-3 anni e, per la maggior parte dei bambini, si
completa attorno ai 5 anni
 Viene acquisito per ultimo il principio della
cardinalità
Video

23. Lo sviluppo delle abilità di scrittura
del numero (3-6 anni)
La competenza scritta dipende da
⇓
lo sviluppo gerarchico di processi cognitivi
specifici che permettono la costruzione di
veri e propri sistemi simbolici
⇓
legame tra simbolo e referente

24. Lo sviluppo delle abilità di scrittura
del numero (3-6 anni)
Si possono distinguere tre tipi di notazione
numerica:
 notazione con grado informativo nullo per un
osservatore esterno, ma portatore di significato
personale per il bambino
 notazione basata sulla corrispondenza
biunivoca
 notazione convenzionale

25. Lo sviluppo delle abilità di
scrittura del numero (3-6 anni)
notazione nulla continua notazione nulla discreta
notazione basata sulla corrispondenza biunivoca;
notazione convenzionale
errata corretta

26. La lettura dei numeri
 Nella codifica verbale di un numero, ciascuna cifra, a
seconda della sua posizione, assuma un «nome»
diverso: compito dei meccanismi lessicali è
selezionare adeguatamente questi nomi per riconoscere
quello in esame.
 I numeri primitivi appartengono a 3 classi distinte,
chiamate «ordini di grandezza» o «livelli»:
a) le unità (1, 2, 3, …)
b) i «teens», che contengono la sottocategoria dei «dici»
(11, 12, 13, ...)
c) le decine (20, ... 30, ...40, ...)

27. Quali sono gli errori più frequenti
nella lettura dei numeri?
- errori a livello di lessico numerico, quelli cioè relativi alla
numerico
produzione delle singole cifre, ma che non coinvolgono il loro
posto all'interno del numero. Ad esempio: 4 / 7 leggo, o mi
rappresento mentalmente, scrivo o dico ad alta voce «sette»
invece di «quattro»
- errori di lettura a base sintattica, quelli cioè dovuti a
sintattica
difficoltà nel riconoscimen­to delle posizioni delle cifre
all'interno del numero, legati pertanto alla sintassi interna del
numero stesso.
20057 «duecentocinquantasette»

28. Quindi ….
L’evoluzione dei meccanismi di riconoscimento pre-verbale delle
quantità svolgono dunque un ruolo essenziale.
Solo quando tale evoluzione si è sviluppata e integrata con gli
apprendimenti relativi ai sistemi di conteggio, lettura e scrittura dei
numeri elementari possono avere origine tutti i meccanismi di
calcolo e manipolazione del sistema numerico.
Meccanismi lessicali, regolano il nome del numero
Meccanismi semantici, regolano la comprensione della quantità
Meccanismi sintattici colgono la grammatica interna dei numeri

29. Cosa può fare l’insegnante?
 Conoscere l’evoluzione delle acquisizioni
(numeri, calcolo, ....)
 Impostare una didattica attenta ai
meccanismi implicati negli apprendimenti
 Prevenire le situazioni di difficoltà e
individuare i casi sospetti di DSA attraverso
strumenti standardizzati
 Potenziare le abilità implicate

30. Intelligenza numerica

31. Schema dei Processi implicati
nella costruzione della conoscenza numerica e nel calcolo
enumerazione I livello II livello
avanti
COUNTING
strategie ricostruttive
via fonologica
enumerazione
livello metacognitivo
indietro via visiva
necessari per decimali e
via semantica
frazioni)
I livello II livello
lettura
PROCESSI strategie ricostruttive
via fonologica
LESSICALI
livello metacognitivo
via visiva
scrittura
consapevolezza
via semantica
 Esercizi di transcoding fonologica
analogica

32. I livello II livello
PROCESSI
SEMANTICI via analogica strategie ricostruttive
comparazioni scomposizioni
counting raggruppamenti
I livello II livello
PROCESSI
Combinazioni delle diverse vie
SINTATTICI
via visiva Ex.: 1 < 2
12 1>2
via semantica
via lessicale

33. Strategie Ricostruttive
n + 1 / Raggruppamenti / Scomposizioni
A MENTE
Arrotondamenti a 10 / Recupero fatti aritmetici
via visiva / analogica /
CALCOLO recupero memoria fonologica
etc.
SCRITTO I livello
procedure – algoritmi
via visiva (visuospaziale) / fatti aritmetici
breve termine
memoria
lungo termine

34. Il programma si sviluppa in 4 aree

36. Cosa è il potenziamento
(empowerment)?
 Empowerment significa acquisizione di un senso
personale di “potere”, allo scopo di sentirsi responsabili
del proprio apprendimento.
Concretamente questo vuol dire:
1. Sapersi automotivare anche dopo l’insuccesso;
2. Sviluppare la conoscenza l’automonitoraggio e l’uso autoregolato
di strategie di comprensione e studio;
3. Possedere convinzioni e percezioni di sé adeguate che
sostengono l’intero processo di “risollevarsi” dopo il fallimento.
(Pazzaglia et al. 2002)

37. Il potenziamento cognitivo
spazio tra il livello
di sviluppo attuale
del bambino
Deriva dal concetto di ed il suo livello di sviluppo potenziale
SVILUPPO PROSSIMALE di
Vygotskij
evidenziare il potenziale =
i processi cognitivi e scoprire la CAPACITA’
le strategie presenti nel INTERNA, fornendo
patrimonio cognitivo mediazioni tra risorse
della persona interne ed esterne
non sempre vengono (Egorova, 1995; Fabio,
utilizzati 2003; 1999)

38. EMPOWERMENT= POTENZIARE =
‘conferire o acquisire potenza’,
andare oltre le proprie potenzialità
(Pazzaglia, Moè, Friso & Rizzato,
2002)
RECUPERARE = riacquistare una
capacità che si ritiene perduta,
distrutta o inesistente

39. Cosa modificare ?
PROCESSI
COGNITIVI R
E
L
Sé COMPORTAMENTI
A
Z
I
EMOZIONI
O
MOTIVAZIONI
N
E

40. NELLO STUDENTE…..
Promuovere un senso di padronanza e
controllo degli eventi e dei processi di
apprendimento
Rendere consapevoli della modificabilità delle
proprie potenzialità
Rendere più sicuri delle proprie capacità e
artefici dei propri successi

41. INSEGNANTE, PSICOLOGO = “COACH”
 Parte da ciò che l’alunno già
possiede
 Lo aiuta ad automatizzare processi e
contenuti dell’apprendimento attraverso
nuovi modelli di azione
 Rinforza i nuovi modelli così che
l’alunno diventi consapevole del loro
significato
 Conduce il ragazzo verso sistemi di
logica più complessa

42. Il ruolo dell’insegnante:
 L’insegnante media l’apprendimento: fornisce
sostegno agli alunni attraverso l’interazione sociale nel
momento in cui essi costruiscono in modo cooperativo
consapevolezza, conoscenze e competenze
 L’insegnante è flessibile: modifica i suoi interventi in
funzione dei feedback che provengono dai bambini
impegnati nell’attività di apprendimento
 La quantità di sostegni forniti dall’insegnante è
variabile, da direttive molto esplicite a vaghi accenni

43. Empowerment e approccio
metacognitivo
 Empowerment è favorito da un approccio metacognitivo
 Le strategie non devono essere presentate come “regole” ma
suggerite ed implementate nelle situazioni concrete di studio e
verifica
 Le strategie devono essere presentate come spunto per
migliorare il metodo di studio preesistente in modo da acquisire
un senso di controllo nelle situazioni di studio

44. Un buon metodo di Potenziamento …
 E’ chiara la connessione con il problema da
trattare e quindi con la valutazione iniziale
 E’ fondato su dati di ricerca scientifica
 Le ipotesi di miglioramento sono esplicite

45. Fasi per il potenziamento
 Conoscere lo sviluppo tipico
 Analisi del profilo individuale
 Potenziamento dominio specifico
Facilitare per ogni competenza la
conquista
della fase successiva di sviluppo

46. Dalla Valutazione…al Potenziamento
 Potenziamento:
 Su un caso singolo
 Su gruppi (es. gruppi classe)
 Caratteristiche del trattamento su caso
singolo:
 Specifico (parte da analisi funzionale)
 Focus su problema principale (es. su
componenti di una abilità non appresa, su
abilità cognitive di base, su idee o
rappresentazioni inadeguate relative
all’apprendimento e processi in esso implicati)

47. Potenziamento
Valutazione Iniziale
Individuazione abilità
carenti
Somministrazione Potenziamento
strumenti di valutazione
Valutazione Finale
Criterio “Discrepenza
dalla Norma”
Intervento su area/e
carenti Somministrazione
degli stessi strumenti
della Valutazione
Iniziale

48. Entrare in un ottica di
progettualità
Analisi dei
Obiettivi
bisogni
Valutazione e Attività e
controllo strategie

49. Il progetto di potenziamento
Strumenti per la Valutazione delle
valutazione competenze
Intervento sistematico che tenga
Programma di intervento conto delle caratteristiche dello
studente e dello sviluppo

50. Modalità di intervento (Es. 1)
 Gruppo controllo
 Gruppo sperimentale
 Valutazione iniziale
 Valutazione iniziale
 Trattamento  Normale attività
didattica
 Valutazione finale  Valutazione finale

51. Modalità di intervento (Es. 2)
 Gruppo sperimentale  No Gruppo controllo
 Valutazione iniziale  Dati Normativi
 Trattamento
 Valutazione finale  Dati Normativi

52. Materiale per valutare l’efficacia
 Perché valutare l’efficacia di un trattamento?
 È importante capire se il nostro lavoro ha avuto
l’esito ipotizzato  migliorare le competenze in un
determinato ambito
SI: Siamo riusciti a NO:
individuare gli aspetti critici Analisi del trattamento
utilizzando materiale adatto Cosa non ha funzionato?
al gruppo

53. I problemi: la voce ai bambini
 Matteo: i problemi sono difficili perché
altrimenti non sarebbero problemi
 Luca: Il problema è un gioco con cui si
impara la matematica. E’ qualcosa da
risolvere, devi usare i calcoli e ci devi mettere
la testa per fare i ragionamenti logici.
 Anna: I problemi servono ad allenare la
mente.

54. Il ruolo delle abilità cognitive
Human Information Prossesing
Newell e Simon (1972) indicano 2 tipologie di
conoscenze necessarie per risolvere problemi:
 Conoscenze dichiarative (individuano le
informazioni chiave contenute nel problema)
 Conoscenze procedurali (nelle quali sono implicate
le strategie utili al processo di soluzione)
Mayer (1983, 87, 98) propone un modello secondo cui
il processo di soluzione è diviso in
 Codifica del problema (guidata da un processo di
traduzione e uno di integrazione)
 Processo di ricerca (è articolata in pianificazione e
calcolo)

55. Il ruolo delle abilità metacognitive
 Consapevolezza metacognitiva (insieme di
conoscenze riguardo il funzionamento della
propria mente)
 Controllo (processi autoregolatori che
presiedono l’esecuzione cognitiva del
compito stesso)

56. Anne Brown (1978)
Ha ipotizzato un sistema mentale superordinato
capace di controllare l’efficacia prima,
durante e dopo il compito.
 Previsione
 Pianificazione
 Monitoraggio
 valutazione

57. Modello componenti abilità soluzione
problemi
Lucangeli, Tressoldi, Cendron (1998)

58. In quali fasi di risoluzione del
problema si può incontrare difficoltà?
• Comprensione delle informazioni presenti nel problema e
COMPRENSIONE
delle loro relazioni
• Rappresentazione delle informazioni mediante uno schema in
grado di strutturarle ed integrarle
• Categorizzazione del problema in base alla struttura profonda
(operazioni necessarie per risolvere il problema stesso)
PRODUZIONE
• Pianificazione delle procedure
• Monitoraggio e Valutazione

59. Risolvere problemi in 6 mosse

60. Swanson: problemi ed esercizi
 Le conoscenze sono  Le conoscenze sono
necessarie ma non necessarie e sufficienti
sufficienti  E’ l’applicazione di una
 Esige una scoperta da fare scoperta
 La scoperta è frutto di  E’ riproduzione di schemi
creatività, intuizione, noti
invenzione, ragionamento,  Applicazione di tecniche
strutturazione. acquisite memorizzazione di
 L’attenzione è rivolta alle procedimenti
attività di soluzione.  L’attenzione è rivolta al
risultato che è
univocalmente determinato
PROCESSO PRODOTTO
Fondamentale è il vissuto del soggetto