SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 9
Descargar para leer sin conexión
3

บทที่ 1
คําอธิบายเบื้องตน
เกี่ยวกับการวิเคราะหความผิดพลาด
การวิเคราะหความผิดพลาด (error analysis) คือ การศึกษาและการประเมินความไมแนนอนของผล
การวัด (uncertainty in measurement) เราทราบจากประสบการณวา การวัดทุกอยาง แมจะทําอยางรอบคอบ
เพียงใด ก็ไมมีทางปราศจากความไมแนนอน เนื่องจากโครงสรางและการประยุกตทั้งหมดทางวิทยาศาสตร
ขึ้นอยูกับการวัด การประเมินคาความไมแนนอน และการควบคุมใหอยูในระดับที่ต่ําที่สุดจึงเปนเรื่องสําคัญ
มาก
ในบทแรกเราจะอธิบายการวัดงาย ๆ เพื่อแสดงวา ความไมแนนอนของการทดลองคือสิ่งที่เกิดขึ้น
อยางหลีกเลี่ยงไมได และแสดงประโยชนที่สําคัญของการทราบขนาดของความไมแนนอน จากนั้นจะอธิบาย
วิธีประมาณคาความไมแนนอนของการทดลองวาควรทําอยางไรจึงจะไดขนาดที่สมจริง (อยางนอยก็สําหรับ
ตัวอยางงาย ๆ) ซึ่งยอมดีกวาการใชสามัญสํานึก (common sense)
1.1

ความผิดพลาดในความหมายของความไมแนนอน
(Error as Uncertainties)

ในทางวิทยาศาสตร คําวาความผิดพลาด (error) มีความหมายตางจากคําวาการทําผิด (mistake) หรือ
ความเผอเรอ (blunder) “ความผิดพลาด” ในการทดลองทางวิทยาศาสตร หมายถึงความไมแนนอนที่แฝงอยู
ในทุก ๆ ผลการวัดอยางหลีกเลี่ยงไมได ในมุมมองนี้ความผิดพลาดไมใชการทําผิด คุณไมสามารถหลีกเลี่ยง
ความผิดพลาดไดโดยใชความรอบคอบอยางถึงที่สุดขณะที่ทําการทดลอง คุณคาดหวังสูงสุดไดแคเพียงแนใจ
วา ความผิดพลาดนั้นมีคานอยเทาที่จะเปนไปไดและสมเหตุสมผล และถูกประมาณคาดวยวิธีที่นาเชื่อถือ
หนังสือเลมอื่นใหความหมายคําวา “ความผิดพลาด” แบบอื่นอีก เราจะอภิปรายความหมายเหลานั้นบางสวน
ในภายหลัง สําหรับตอนนี้เราจะใชคําวา “ความผิดพลาด” ในความหมายเดียวกันกับคําวา “ความไมแนนอน”
และถือวาคําทั้งสองใชแทนกันได
1.2

ภาวะหลีกเลียงไมไดของความไมแนนอน
่
(Inevitability of Uncertainty)

เราแคสังเกตการวัดในชีวิตประจําวันอยางรอบคอบ เราก็จะพบภาวะหลีกเลี่ยงไมไดของความไม
แนนอน ตัวอยางเชน ชางไมที่ตองการวัดความสูงของวงกบประตูเพื่อจะติดตั้งประตู ในตอนแรกเขาอาจ
ประมาณความสูงคราว ๆ ดวยสายตา แลวตอบวาสูง 210 ซม. “ผลการวัด” คราว ๆ นี้มีความไมแนนอนแฝง
อยูอยางเห็นไดชัด ถาถามเขาซ้ํา เขาอาจบอกความไมแนนอนนี้ออกมาวา ความสูงมีคาอยางนอย 205 ซม.
แตไมเกิน 215 ซม.
4

ถาเขาตองการผลการวัดที่แมนยําขึ้น เขาควรใชสายวัด และอาจวัดความสูงได 211.3 ซม. จริงอยูที่วา
ผลการวัดครั้งนี้แมนยําขึ้น แตก็ยังมีความไมแนนอนแฝงอยู เพราะเขาไมมีทางทราบแนชัดวา ความสูงคือ
211.3000 ซม. หรือ 211.3001 ซม. เปนตน
มีสาเหตุหลายประการที่ทําใหความไมแนนอนยังเหลืออยู บางสาเหตุจะอธิบายในหนังสือเลมนี้ บาง
สาเหตุกําจัดไดดวยความเอาใจใส เชน ถาตนเหตุของความไมแนนอนเกิดจากแสงสวางไมเพียงพอ จนอาน
คาบนสายวัดไดลําบากแลว ก็สามารถแกไขไดดวยการเพิ่มแสงสวาง
ในทางกลับกัน ความไมแนนอนบางชนิดในกระบวนการวัด (measurement process) มาจากแหลง
กําเนิดที่แฝงอยูภายใน (intrinsic source) และไมสามารถกําจัดได เชน ถาเราสมมุติวาสายวัดของชางไมมี
ชองสเกลขนาดครึ่งเซนติเมตร ขณะที่วัด ขอบบนของประตูอาจไมตรงพอดีกับขีดสเกล ชางไมตองประมาณ
ตําแหนงขอบบนของประตูวาอยูที่ใดระหวางขีดสเกลสองขีด แตถึงแมขอบบนของประตูจะตรงพอดีกับขีด
สเกลใดก็ตาม ขีดสเกลเองก็อาจมีความกวางในหลักมิลลิเมตร เขาก็ตองประมาณตําแหนงขอบบนของประตู
วาอยูที่ใดภายในขีดสเกลนั้นอยูดี การที่ชางไมตองประมาณวาขอบบนของประตูอยูที่ใดเทียบกับขีดสเกล ก็
คือที่มาของความไมแนนอนในคําตอบของเขา
การซื้อสายวัดคุณภาพดีขึ้น ซึ่งมีสเกลละเอียดกวาและขีดสเกลคมชัดกวา สามารถชวยใหชางไมลด
ความไมแนนอนได แตก็ทําใหหมดไปไมได ถาเขาตองการทราบความสูงของประตูอยางแมนยําที่สุดเทาที่จะ
เปนไปไดในทางเทคนิค เขาสามารถชื้อเครื่องมือราคาแพงที่ชื่อเลเซอรอินเตอรฟรอมิเตอร (laser interferometer) แตถึงจะใชเครื่องมือนี้ ความเที่ยง (precision) ของเครื่องมือก็ยังอยูในอันดับของความยาวคลื่นของ
แสง (ประมาณ 0.5×10-6 เมตร) ถึงแมวาครั้งนี้เขาจะวัดความสูงของประตูไดแมนยําอยางนาอัศจรรย เขาก็
ยังไมทราบความสูงที่แทจริงของประตูอยูดี
ยิ่งไปกวานั้น ขณะที่ชางไมของเรามุงมั่นกับการหาความเที่ยงสูงขึ้นเรื่อย ๆ เขาจะพบกับปญหาเชิง
หลักการ เขาจะพบวาความสูงของประตูที่แตละตําแหนงไมเทากัน หรือแมแตที่ตําแหนงเดียวกัน เขาจะพบ
วาความสูงเปลี่ยนแปลงได ถาอุณหภูมิและความชื้นเปลี่ยนไป หรือถาเผลอไปลูบฝุนบาง ๆ ที่จับอยูออกไป
สุดทายแลว เขาก็ยังไมรูวาความสูงของประตูควรหมายถึงอะไรดี ปญหาชนิดนี้เรียกวา ปญหาเกี่ยวกับคํา
จํากัดความ (problem of definition) ในกรณีนี้ปญหาดังกลาวหมายถึง การที่ไมไดระบุชัดเจนวาความสูงของ
ประตูคืออะไร ปญหาชนิดนี้มีบทบาทสําคัญในการวัดเชิงวิทยาศาสตรจํานวนมาก
ประสบการณของชางไมแสดงสิ่งที่เปนจริงเสมอคือ ไมมีปริมาณทางกายภาพ (ความยาว เวลา อุณหภูมิ เปนตน) ใดเลย ที่สามารถวัดไดอยางแนนอน (complete certainty) เราอาจลดความไมแนนอนใหเหลือ
นอยมากไดโดยอาศัยความรอบคอบในการทดลอง แตการทําใหหมดไปนั้นเปนไปไมได
สําหรับการวัดในชีวิตประจําวัน เราไมจําเปนตองถูกรบกวนดวยความไมแนนอนทุกครั้ง เพราะบางที
ความไมแนนอนก็ไมใชเรื่องที่นาสนใจ เชน ถาเราพูดวา ระยะทางจากบานถึงโรงเรียนคือ 3 ไมล (สําหรับการ
กลาวประโยคนี้ดวยจุดประสงคทั่ว ๆ ไป) แลวก็แทบไมมีประโยชนที่จะมาตีความวา หมายถึงระยะทาง
ระหวาง 2.5 และ 3.5 ไมล หรือระหวาง 2.99 และ 3.01 ไมล แตบอยครั้งที่ความไมแนนอนเปนเรื่องสําคัญ
เรายอมรับการมีอยูนี้ดวยสามัญสํานึก จึงไมไดพิจารณาอยางจริงจัง เมื่อชางไมของเราติดตั้งประตู เขาตองรู
ความสูงของประตู และรูวาความไมแนนอนมีคานอยกวา 1 มม. หรือคาอื่น ๆ อยางไรก็ดี ตราบใดที่ความ
5

ไมแนนอนยังมีคานอย (สําหรับงานสวนมากในทางปฏิบัติ) ประตูก็จะแนบสนิทกับวงกบ และความคิดของ
เขาเกี่ยวกับการวิเคราะหความผิดพลาดก็จะสิ้นสุดลง
1.3

ความสําคัญของการทราบความไมแนนอน
(Importance of Knowing Uncertainties)

ตัวอยางชางไมวัดความสูงของประตูทําใหเราทราบวา ความไมแนนอนของผลการวัดเกิดขึ้นเสมอได
อยางไร เราลองดูตัวอยางถัดไป ซึ่งแสดงวาการทราบขนาดของความไมแนนอนมีความสําคัญอยางไร
สมมุติวาเราตองแกปญหาที่อารคิมีดีส (Archimedes) เคยหาคําตอบไว เราถูกถามวามงกุฎนี้ทํามา
จากทองคํา 18 กะรัต อยางที่ชางทํามงกุฎอางหรือไม หรือทําจากโลหะผสมที่มีราคาถูกกวา สมมุติวาเราใช
วิธีของอารคิมีดีส คือทดสอบความหนาแนนของมงกุฎ และทราบวาความหนาแนนของทองคํา 18 กะรัต และ
โลหะผสมที่สงสัยวานํามาทํามงกุฎคือ
ρgold = 15.5 กรัม/ซม.3
และ
ρalloy = 13.8 กรัม/ซม.3
ถาเราวัดความหนาแนนของมงกุฎ ρcrown ได เราก็มีโอกาส (อยางที่อารคิมีดีสเคยแนะนํา) ที่จะตัดสิน
วา มงกุฎทําจากทองคําแทหรือไม ดวยการเปรียบเทียบ ρcrown กับความหนาแนนที่ทราบคือ ρgold และ ρalloy
สมมุติวาเราเชิญผูเชี่ยวชาญดานการวัดความหนาแนนมาสองคน ผูเชี่ยวชาญ A อาจจะวัดคา ρcrown
เสร็จอยางรวดเร็ว และรายงานคาประมาณที่ดีที่สุด (best estimate) ของ ρcrown ที่เขาวัดไดคือ 15 กรัม/ซม.3
และ ρcrown ควรมีคาอยูในชวง 13.5 ถึง 16.5 กรัม/ซม.3 ผูเชี่ยวชาญ B อาจจะใชเวลานานกวา และรายงาน
คาประมาณที่ดีที่สุดคือ 13.9 กรัม/ซม.3 และพิสัยที่นาจะเปนของ ρcrown คือ 13.7 ถึง 14.1 กรัม/ซม.3 ผลการ
วัดของผูเชี่ยวชาญทั้งสองสรุปอยูในตาราง 1.1
ตาราง 1.1 ความหนาแนนของมงกุฎ (กรัม/ซม.3)
ผูเชี่ยวชาญ B
ผลการวัดที่รายงาน
ผูเชี่ยวชาญ A
15
13.9
คาประมาณที่ดีที่สุดของ ρcrown
13.5 ∼ 16.5
13.7 ∼ 14.1
พิสัยที่นาจะเปนของ ρcrown
ข อ สั ง เกตแรกจากผลลั พ ธ นี้ คื อ แม ว า ผลการวั ด ของผู เ ชี่ ย วชาญ B จะมี ค วามเที่ ย งสู ง กว า ของ
ผูเชี่ยวชาญ A อยางมาก แตผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ A ก็มีโอกาสถูกตองเชนกัน เพราะพิสัยที่ผูเชี่ยวชาญ
ทั้งคูมั่นใจวา ρcrown จะตกอยูภายในนั้น ล้ํากันอยู (overlap) จึงเปนไปไดที่ผลการวัดของผูเชี่ยวชาญทั้งคูจะ
ถูก ตอง
ขอสังเกตถัดมาคือ ความไมแนนอนของผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ A มีคามากจนทําใหผลลัพธของเขา
ไมมีความหมาย เพราะทั้ง ρgold และ ρalloy ตกอยูในพิสัยของ ρcrown ที่เขาระบุ ผลการวัดของเขาจึงไมไดให
ขอสรุปวามงกุฎทําจากวัสดุอะไร ตรงกันขาม ผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ B ชี้ชัดไดวามงกุฎไมใชของจริง
เพราะวาความหนาแนนของโลหะผสมที่อาจเปนได (13.8 กรัม/ซม.3) นั้นตกอยูในพิสัยที่เขาประมาณไว (13.7
6

กรัม/ซม.3) ขณะที่ ρgold ตกอยูนอกพิสัยอยางชัดเจน เหตุการณนี้แสดงวา ผลการวัดที่นําไปสูขอสรุป
ได จะตองมีความไมแนนอนไมมากเกินไป แตก็ไมจําเปนเสมอไปวาความไมแนนอนจะตองมีคานอยมาก ๆ
สําหรับการวัดทั่ว ๆ ไปทางวิทยาศาสตร ระดับของความไมแนนอนที่สมเหตุสมผลอยูที่ประมาณ 2 ถึง 3%
ของคาที่วัด กรณีที่ตองการความเที่ยงสูงกวานี้มาก ๆ ก็มี แตถือวาเปนสวนนอย
เนื่องจากการตัดสินใจของเราอาศัยคํากลาวอางของผูเชี่ยวชาญ B ที่วา ρcrown มีคาอยูในชวง 13.7 และ
14.1 กรัม/ซม.3 ผูเชี่ยวชาญ B จึงตองมีเหตุผลพอที่จะทําใหเราเชื่อคํากลาวอางของเขา กลาวคือ ผูทดลอง
ตองมีเหตุผลประกอบพิสัยที่เขาระบุดวย ผูเริ่มเรียนมักจะมองขามจุดนี้ไป และอางลอย ๆ วา ความไมแนนอน
ของเขาคือ 1 มม. หรือ 2 วินาที หรือคาอื่น ๆ เมื่อไมมีคําอธิบายเกี่ยวกับวิธีประมาณคาความไมแนนอน คํา
กลาวอางเกี่ยวกับพิสัยของผลการวัดก็แทบจะไมมีประโยชน
สิ่งสําคัญที่สุดเกี่ยวกับผลการวัดของผูเชี่ยวชาญทั้งสองคนคือ ผลการวัดจะไมมีประโยชนเลยถาไมได
ระบุความไมแนนอนที่เชื่อถือได การวัดทางวิทยาศาสตรสวนมากตองทําเชนนี้ อันที่จริงถาเราทราบขอมูล
เพียงบรรทัดแรกของตาราง 1.1 เราไมเพียงแตจะไมไดขอสรุปที่สมเหตุสมผล แตยังอาจสรุปผิดอีกดวย
เพราะผลลัพธของผูเชี่ยวชาญ A (15 กรัม/ซม.3) ชี้นําวามงกุฎทําจากทองคําแท
∼ 14.1

1.4

ตัวอยางเพิ่มเติม

ตัวอยางในสองหัวขอที่แลวถูกเลือกมาไมใชดวยเหตุผลวามีความสําคัญ (ทางวิทยาศาสตร : ผูแปล)
แตถูกเลือกเพราะวาสามารถนําเสนอลักษณะสําคัญบางอยางของการวิเคราะหความผิดพลาดไดเปนอยางดี
ผูอานสามารถยกโทษใหกับการเปนเรื่องแตง อยางไรก็ดี การหาตัวอยางทางวิทยาศาสตรพื้นฐานหรือ
ประยุกตก็ไมใชเรื่องยาก
ในวิทยาศาสตรประยุกต วิศวกรออกแบบโรงไฟฟานิวเคลียรตองรูลักษณะเฉพาะ (characteristics)
ของวัสดุและเชื้อเพลิงที่วางแผนวาจะนํามาใช ผูผลิตเครื่องคิดเลขพกพาตองทราบสมบัติ (properties) ของ
ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสตาง ๆ ในกรณีเหลานี้จะตองมีใครสักคนวัดพารามิเตอรที่จําเปน เมื่อวัดพารามิเตอร
เหลานี้ เขาตองสรางความเชื่อถือได (reliability) ใหกับผลการวัดของเขา และการทําสิ่งนี้ตองใชการวิเคราะห
ความผิดพลาด วิศวกรที่รับผิดชอบความปลอดภัยของเครื่องบิน รถไฟ หรือรถยนต ตองทราบความไม
แนนอนของปฏิกิริยาตอบสนองของคนขับและตัวแปรอื่น ๆ ที่มีตอระยะเบรก การละเลยการวิเคราะหความ
ผิดพลาดสามารถทําใหเกิดอุบัติเหตุอยางที่ปรากฏอยูบนหนาปกของหนังสือเลมนี้ แมแตในแขนงที่มีความ
เปนวิทยาศาสตรนอยกวา เชน การผลิตเสื้อผา การวิเคราะหความผิดพลาดก็มีบทบาทสําคัญในรูปของการ
ควบคุมคุณภาพ (quality control)
ในวิทยาศาสตรพื้นฐาน การวิเคราะหความผิดพลาดมีบทบาทเชิงหลักมูล (fundamental) อยางมาก
ทฤษฎีใหมที่ถูกเสนอขึ้นตองถูกตรวจสอบกับทฤษฎีเดิมดวยการทดลองสักอยางหนึ่งหรือหลายอยางที่ทําให
ทฤษฎีใหมและเกาทํานายผลลัพธไดตางกัน โดยหลักการแลว เราก็แคทําการทดลองแลวปลอยใหผลลัพธ
เปนตัวตัดสินทฤษฎีที่แขงขันกันอยู แตสถานการณทางปฏิบัติมีความซับซอนเนื่องจากไมสามารถหลีกเลี่ยง
ความไมแนนอนในผลการทดลอง เราจึงตองวิเคราะหสิ่งเหลานี้อยางรอบคอบ และลดผลกระทบใหเหลือนอย
ที่สุด จนกระทั่งไดผลการทดลองที่ระบุไดวาทฤษฎีใดเปนทฤษฎีที่ยอมรับได กลาวคือ ผลการทดลองและ
7

ความไมแนนอนจะคลองจอง (consistent) กับผลการทํานายของทฤษฎีหนึ่ง แตไมคลองจอง (inconsistent)
กับของทฤษฎีอื่น ๆ ที่เหลือ เราคงเห็นชัดวา ความสําเร็จของกระบวนการนี้ขึ้นกับความเขาใจเรื่องการ
วิเคราะหความผิดพลาดของนักวิทยาศาสตร และความสามารถของเขาที่จะทําใหผูอื่นยอมรับ
ตัวอยางที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับการทดสอบทฤษฎีทางวิทยาศาสตรคือ การวัดการเบนของแสง (bending
of light) ขณะที่แสงผานเขาใกลดวงอาทิตย เมื่อไอนสไตนตีพิมพทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (general relativity) ใน ค.ศ. 1916 ทฤษฎีของเขาทํานายวา แสงจากดวงดาวจะเบนเปนมุม α = 1.8″ เมื่อผานเขาใกลดวง
อาทิตย ทฤษฎีคลาสสิกอยางงายที่สุดทํานายวา ไมมีการเบน (α = 0) ทฤษฎีคลาสสิกที่ละเอียดขึ้นทํานายวา
α = 0.9″ โดยหลักการ สิ่งที่ตองทําคือ สังเกตดวงดาวขณะที่อยูตรงแนวกับขอบของดวงอาทิตย ถาผลลัพธ
คือ 1.8″ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะถูกตอง (อยางนอยก็สําหรับปรากฏการณนี้) แตถา α คือ 0.9″ หรือศูนย
แลวจะถือวาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปผิด และทฤษฎีเกาอันใดอันหนึ่งถูกตอง
ในทางปฏิบัติ การวัดการเบนของแสงเนื่องจากอิทธิพลของดวงอาทิตยเปนสิ่งที่ทําไดยากมาก และทํา
ไดตอนเกิดสุริยุปราคาเทานั้น อยางไรก็ดี ใน ค.ศ. 1919 Dyson, Eddington และ Davidson สามารถวัดคานี้
ได เขารายงาน1 ผลการประมาณที่ดีที่สุดคือ α = 2″ ที่ความมั่นใจ 95% ซึ่งหมายถึง α อยูในชวง 1.7″ และ
2.3″ เห็นชัดวา ผลลัพธของเขาคลองจองกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และไมคลองจองกับทฤษฎีเกา
ในเวลานั้น คําตอบนี้ยังเปนที่ถกเถียง หลายคนใหความเห็นวา ความไมแนนอนถูกประมาณคาต่ํา
เกินไป จึงยังสรุปผลการทดลองไมได การทดลองตอ ๆ มามีแนวโนมสนับสนุนผลการทํานายของไอนสไตน
และยืนยันขอสรุปของ Dyson, Eddington และ Davidson อีกดวย สิ่งสําคัญในเรื่องนี้คือ ทุกคําถามขึ้นอยูกับ
ความสามารถของผูทดลองที่จะประมาณคาความไมแนนอนใหไดอยางนาเชื่อถือ และการทําใหผูอื่นเชื่อมั่นใน
ผลลัพธ
นักเรียนที่เรียนวิชาปฏิบัติการฟสิกสเบื้องตนไมสามารถทําการทดลองเพื่อตรวจสอบทฤษฎีใหมได
ในทางกลับกัน การทดลองในวิชาฟสิกสเบื้องตน สวนใหญถูกออกแบบมาสําหรับทดสอบทฤษฎีทางกายภาพ
(physical theory) ที่มีอยูแลว เชน กฎแรงโนมถวงของนิวตันทํานายวา วัตถุตกจากที่สูงดวยความเรงคงที่ g
(ในสภาวะที่เหมาะสม) นักเรียนสามารถทําการทดลองเพื่อตรวจสอบวาการทํานายนี้ถูกตองหรือไม หาก
มองอยางผิวเผิน การทดลองแบบนี้อาจดูเหมือนไมมีประโยชนและไรจุดหมาย เพราะวาทฤษฎีถูกตรวจสอบ
ครั้งแลวครั้งเลาดวยเครื่องมือที่แมนยํากวาเครื่องมือที่มีในหองปฏิบัติการ อยางไรก็ดี ถานักเรียนเขาใจ
บทบาทสําคัญของการวิเคราะหความผิดพลาด และมองความพยายามที่จะทําการทดลองใหไดผลลัพธที่
แมนยําที่สุดดวยบริภัณฑ (equipment) ที่มีวาเปนความทาทายแลว การทดลองประเภทนี้จะกลายเปนการ
ทดลองที่นาสนใจ และเปนการเรียนรูที่มีประโยชน

1

การอธิบายงาย ๆ นี้อางอิงจากบทความของ Dyson, Eddington และ Davidson (Philosophical Transactions of the Royal
Society, 220A, 1920, 291) ผม (ผูเขียน) ไดเปลี่ยนคําวา ความผิดพลาดที่นาจะเปน (probable error) เปนขีดจํากัดความเชื่อมั่น
95% รายละเอียดเกี่ยวกับขีดจํากัดความเชื่อมั่นจะกลาวในบทที่ 5
8

1.5

การประมาณความไมแนนอนเมื่ออานสเกล
(Estimating Uncertainties When Reading Scales)

เราไดพิจารณาตัวอยางจํานวนหนึ่งที่แสดงวา ทําไมการวัดทุกอยางจึงมีความไมแนนอน และทําไม
การทราบขนาดของความไมแนนอนจึงเปนเรื่องสําคัญ แตเรายังไมไดอภิปรายเกี่ยวกับวิธีประเมินขนาดของ
ความไมแนนอน ในความเปนจริง การประเมินมีความซับซอนพอสมควร และเปนเนื้อหาหลักในสวนที่เหลือ
ของหนังสือ โชคดีที่มีการวัดงาย ๆ บางอยางที่สามารถประมาณคาความไมแนนอนไดอยางสมเหตุสมผล
โดยใชแคสามัญสํานึก ในหัวขอนี้และหัวขอ 1.6 เราจะยกตัวอยางการวัดงาย ๆ ดังกลาวสองตัวอยาง ความ
เขาใจตัวอยางเหลานี้จะทําใหนักเรียนเริ่มการวิเคราะหความผิดพลาดในผลการทดลองของเขาได และเปน
พื้นฐานสําหรับการวิเคราะหถัดไป
ตัวอยางแรก คือการวัดความยาวดวยไมบรรทัดที่มีขีดสเกลดังรูป 1.1 หรือการวัดแรงดันไฟฟา (voltage) ดวยโวลตมิเตอรในรูป 1.2 การวัดความยาวของดินสอดวยไมบรรทัดในรูป 1.1 เราจะตองวางปลายขาง
หนึ่งของดินสอใหตรงกับขีดศูนยของไมบรรทัด แลวตัดสินใจวาปลายดินสออีกขางสิ้นสุดที่ขีดสเกลใดของไม
บรรทัด การวัดแรงดันไฟฟาดังรูป 1.2 เราตองตัดสินใจวาเข็มชี้ที่ขีดสเกลใดของโวลตมิเตอร ถากําหนดให
โวลตมิเตอรและไมบรรทัดเชื่อถือไดแลว ปญหาหลักของแตละกรณีคือ การตัดสินใจวาจุดอยูที่ตําแหนงใดเมื่อ
เทียบกับขีดสเกล (แนนอนวา ถาไมบรรทัดและโวลตมิเตอรไ มนาเชื่อถือแลว เราตองพิจ ารณาความไม
แนนอนชนิดนี้ดวย)

รูป 1.1 การวัดความยาวดวยไมบรรทัด

2

8

9

1

0

10

รูป 1.2 การอานคาจากโวลตมิเตอร
9

ขีดสเกลของไมบรรทัดในรูป 1.1 คอนขางชิดกัน (หางกัน 1 มม.) ผูทดลองสามารถตัดสินใจไดอยาง
เหมาะสมวา ความยาวที่เห็นอยูใกลกับ 36 มม. มากกวา 35 หรือ 37 มม. แตเนื่องจากไมสามารถอานคาได
แมนยําไปกวานี้ เขาจึงรายงานผลการวัดดังนี้
คาประมาณที่ดีที่สุดของความยาว คือ 36 มม.
พิสัยที่นาจะเปน
คือ 35.5 ถึง 36.5 มม.

(1.1)

อาจกลาววา เขาอานคาความยาวเปนจํานวนเต็มมิลลิเมตรที่ใกลเคียงที่สุด
การอานคาของขีดสเกลที่อยูใกลกับปริมาณที่วัดมากกวาขีดสเกลที่อยูประชิด เปนเรื่องปกติที่ทํากัน
นักวิทยาศาสตรหลายทานจึงสรางสัญนิยม (convention) ใหกับคํากลาว “l เทากับ 36 มม.” วาหมายถึง l อยู
ใกลกับ 36 มม. มากกวาอยูใกลกับ 35 มม. หรือ 37 มม. กลาวคือ
มม.
35.5 มม. ≤ l ≤ 36.5 มม.
l = 36

หมายถึง

ในทํานองเดียวกัน คําตอบเชน x = 1.27 ซึ่งไมไดระบุความไมแนนอน จะถูกสันนิษฐานวาหมายถึง x
มีคาอยูในชวง 1.265 และ 1.275 หนังสือเลมนี้จะไมใชสัญนิยมนี้ เราจะแสดงความไมแนนอนอยางชัดแจง
(explicitly) อยางไรก็ดี นักเรียนควรทราบความหมายของสัญนิยมดังกลาว และทราบวาใชกับจํานวนใด ๆ
ที่กลาวโดยไมไดระบุความไมแนนอน ในยุคของเครื่องคิดเลขพกพา ซึ่งสามารถแสดงตัวเลขไดหลายหลัก
ถานักเรียนคัดลอกตัวเลขที่แสดงบนหนาปดของเครื่องคิดเลข เชน 123.456 โดยไมไดคิดอะไร ผูอานจะเขาใจ
วาตัวเลขนี้ถูกตองถึงเลขนัยสําคัญเทากับ 6 ซึ่งจริง ๆ แลวอาจไมไดเปนเชนนั้น
ขีดสเกลบนโวลตมิเตอรในรูป 1.2 อยูหางกันมากกวาของไมบรรทัด ในกรณีนี้ผูสังเกตการณสวนใหญ
คงเห็นดวยวา เขาทําไดดีกวาการอานคาของขีดสเกลที่อยูใกลกับเข็มชี้มากที่สุด เพราะวาชองสเกลกวางกวา
เขาจึงประมาณตําแหนงของเข็มวาชี้ตําแหนงใดระหวางขีดสเกลทั้งสองขางได ดังนั้น ขอสรุปที่สมเหตุสมผล
สําหรับแรงดันไฟฟาที่อานอาจจะเปน
คาประมาณที่ดีที่สุดของแรงดันไฟฟา คือ 5.3 โวลต
พิสัยที่นาจะเปน
คือ 5.2 ถึง 5.4 โวลต

(1.2)

การประมาณตําแหนงระหวางขีดสเกลเรียกวา การประมาณคาในชวง (interpolation) ซึ่งเปนเทคนิค
สําคัญที่พัฒนาไดดวยการฝกฝน
ผูสังเกตการณบางคนอาจไมเห็นดวยกับการประมาณความเที่ยงในสมการ (1.1) และ (1.2) กลาวคือ
เขาอาจใชการประมาณคาในชวงสําหรับความยาวในรูป 1.1 และระบุผลการวัดที่มีขนาดความไมแนนอนนอย
กวา อยางไรก็ดี อาจมีบางคนเห็นดวยวาสมการ (1.1) และ (1.2) สามารถประมาณคาปริมาณที่พิจารณา
และความไมแนนอนที่ควรจะเปนไดสมเหตุสมผล เราจะเห็นวา การประมาณคาความไมแนนอนเปนเรื่อง
คอนขางงายสําหรับปญหาการเทียบตําแหนงของจุดกับขีดสเกล
10

1.6

การประมาณคาความไมแนนอนในผลการวัดทีทวนซ้ําได
่
(Estimating Uncertainties in Repeatable Measurements)

ผลการวัดหลายอยางมีความไมแนนอน ซึ่งประมาณคาไดยากกวากรณีระบุตําแหนงจุดเทียบกับขีด
สเกล เชน เมื่อเราจับเวลาดวยนาฬิกาจับเวลา ตนกําเนิดหลักของความไมแนนอนไมใชความยากในการอาน
หนาปด แตเปนระยะเวลาการตอบสนองของเราขณะเริ่มและหยุดนาฬิกา บางครั้งเราสามารถประมาณคา
ความไมแนนอนชนิดนี้ไดอยางนาเชื่อถือหากเราวัดซ้ําหลายครั้ง เชน ถาเราจับเวลาการแกวงของตุมนาฬิกา
ได 2.3 วินาที แลวเราจะบอกอะไรไดไมมากเกี่ยวกับความไมแนนอนจากผลการวัดเพียงครั้งเดียวนี้ แตถาเรา
ทดลองซ้ําและได 2.4 วินาที เราบอกไดทันทีวาความไมแนนอนนาจะอยูในอันดับ (order) ของ 0.1 วินาที ถา
ผลการทดลองอีกสี่ครั้งตอมาคือ (หนวยเปน วินาที)
2.3, 2.4, 2.5, 2.4

(1.3)

เราจะเริ่มการประมาณคาความไมแนนอนไดคอนขางสมจริง
กอนอื่นตองทราบวาเปนเรื่องปกติที่จะสมมุติวา คาประมาณที่ดีที่สุดของคาบคือคาเฉลี่ย2 ซึ่งเทากับ
2.4 วินาที ถัดมา ดูเหมือนจะปลอดภัยหากสมมุติวา คาบที่แทจริงมีคาอยูที่ใดที่หนึ่งระหวางคาต่ําสุด 2.3
วินาที และคาสูงสุด 2.5 วินาที ดังนั้น เราอาจสรุปอยางมีเหตุผลไดดังนี้
คาประมาณที่ดีที่สุด (คาเฉลี่ย)
พิสัยที่นาจะเปน

= 2.4 วินาที
= 2.3

ถึง 2.5 วินาที

(1.4)

หากเราสามารถวัดปริมาณเดิมซ้ํา ๆ ได การกระจายตัวของคาที่วัดคือตัวบงชี้ที่มีประโยชนกับการหา
คาความไมแนนอนในผลการวัดของเรา ในบทที่ 4 และ 5 เราจะอธิบายวิธีทางสถิติสําหรับจัดการผลการวัด
ซ้ํา ๆ วิธีทางสถิติเหลานี้ชวยใหการประมาณคาความไมแนนอนแมนยํากวาการใชสามัญสํานึกอยางที่เราทํา
ในสมการ (1.4) การใชวิธีทางสถิติอยางเหมาะสมจะทําใหผลลัพธไมขึ้นกับการตัดสินใจของผูสังเกตการณ3
อยางไรก็ดี การประมาณใน (1.4) ซึ่งไดจากผลการวัดใน (1.3) เปนขอสรุปที่งายและสมจริง
ผลการวัดซ้ํา ๆ เชน (1.3) อาจไมไดแสดงถึงความไมแนนอน สิ่งแรกที่เราตองแนใจคือ ปริมาณที่วัด
แตละครั้งเปนปริมาณเดียวกัน เชน เราวัดความแข็งแรงของลวดสองเสน ซึ่งสมมุติวาเหมือนกันทุกประการ
ดวยการดึงจนขาด (กรณีนี้เราทดสอบลวดเสนเดิมซ้ําไมได) ถาเราไดคําตอบที่ตางกัน ความแตกตางนี้อาจ
บงชี้วา ผลการวัดของเรามีความไมแนนอน หรือลวดสองเสนนี้ไมไดเหมือนกันจริง ๆ ดังนั้น แคความแตกตาง
ของคําตอบสองคําตอบเพียงลําพัง จึงไมไดบงบอกความเชื่อถือไดของผลการวัด

2

เราจะพิสูจนในบทที่ 5 วาการประมาณที่ดีที่สุดบนรากฐานของการวัดซ้ํา ๆ คือคาเฉลี่ยของผลการวัด
นอกจากนี้เมื่อใชวิธีทางสถิติอยางเหมาะสม จะไดความไมแนนอนนอยกวาพิสัยซึ่งเริ่มจากคาต่ําสุดถึงคาสูงสุดของผลการ
วัด ดังนั้น เมื่อมองที่การจับเวลาสี่ครั้งใน (1.3) เราไดตัดสินแลววาคาบนาจะอยูที่ใดสักที่ระหวาง 2.3 และ 2.5 วินาที วิธีทางสถิติ
ของบทที่ 4 และ 5 ทําใหเรากลาวดวยความมั่นใจ 70% วาผลการวัดจะอยูในพิสัยที่แคบกวาคือ จาก 2.36 ถึง 2.44 วินาที
3
11

แมเราจะแนใจวาปริมาณที่วัดแตละครั้งเปนปริมาณเดียวกัน แตการวัดซ้ํา ๆ ก็อาจไมไดเปดเผยความ
ไมแนนอนใหทราบเสมอไป เชน นาฬิกาจับเวลาที่ใชเก็บขอมูล (1.3) หากเดินเร็ว 5% เสมอแลว เวลาที่วัดได
จะเพิ่มขึ้น 5% ไมวาจะวัดซ้ําอีกกี่ครั้ง (ดวยนาฬิกาเรือนนี้) ผลการวัดก็จะผิดพลาดเทาเดิม ความผิดพลาด
ชนิดนี้เรียกวา ความผิดพลาดเชิงระบบ (systematic errors) ซึ่งตรวจพบยาก เราจะอธิบายในบทที่ 4 การแกไข
ในกรณีนี้คือ ตรวจสอบนาฬิกาเรือนนี้กับเรือนที่เดินเที่ยงตรงกวา หรือพูดใหครอบคลุมก็คือ หากเรามีเหตุผล
ดีพอที่จะไมไวใจความเชื่อถือไดของเครื่องวัด (นาฬิกา เทปวัด โวลตมิเตอร) แลว เราควรตรวจสอบเครื่องวัด
เหลานี้กับเครื่องวัดที่เชื่อถือไดมากกวา
ตัวอยางในหัวขอนี้และกอนหนาแสดงวา ความไมแนนอนของบางการทดลองสามารถประมาณคาได
อยางงายดาย แตก็มีการวัดจํานวนมากที่หาความไมแนนอนไดไมงายนัก นอกจากนี้เรายังตองการทราบคา
ความไมแนนอนที่แมนยํากวาคาที่หาจากการประมาณงาย ๆ ที่อธิบายไป ประเด็นเหลานี้จะเริ่มตั้งแตบทที่
3 ในบทที่ 2 เราจะสมมุติชั่วคราววา เราทราบคาของความไมแนนอน เพื่อใหสามารถอภิปรายวิธีที่ดีที่สุดที่
จะรายงานความไมแนนอน และรูวิธีใชกับการหาขอสรุปของการทดลอง

Más contenido relacionado

Más de CUPress

9789740337072
97897403370729789740337072
9789740337072CUPress
 
9789740337027
97897403370279789740337027
9789740337027CUPress
 
9789740336914
97897403369149789740336914
9789740336914CUPress
 
9789740336907
97897403369079789740336907
9789740336907CUPress
 
9789740336686
97897403366869789740336686
9789740336686CUPress
 
9789740336457
97897403364579789740336457
9789740336457CUPress
 
9789740336440
97897403364409789740336440
9789740336440CUPress
 
9789740336389
97897403363899789740336389
9789740336389CUPress
 
9789740336280
97897403362809789740336280
9789740336280CUPress
 
9789740336365
97897403363659789740336365
9789740336365CUPress
 
9789740336303
97897403363039789740336303
9789740336303CUPress
 
9789740336242
97897403362429789740336242
9789740336242CUPress
 
9789740336235
97897403362359789740336235
9789740336235CUPress
 
9789740336099
97897403360999789740336099
9789740336099CUPress
 
9789740336419
97897403364199789740336419
9789740336419CUPress
 
9789740336402
97897403364029789740336402
9789740336402CUPress
 
9789740336334
97897403363349789740336334
9789740336334CUPress
 
9789740336327
97897403363279789740336327
9789740336327CUPress
 
9789740336181
97897403361819789740336181
9789740336181CUPress
 
9789740336167
97897403361679789740336167
9789740336167CUPress
 

Más de CUPress (20)

9789740337072
97897403370729789740337072
9789740337072
 
9789740337027
97897403370279789740337027
9789740337027
 
9789740336914
97897403369149789740336914
9789740336914
 
9789740336907
97897403369079789740336907
9789740336907
 
9789740336686
97897403366869789740336686
9789740336686
 
9789740336457
97897403364579789740336457
9789740336457
 
9789740336440
97897403364409789740336440
9789740336440
 
9789740336389
97897403363899789740336389
9789740336389
 
9789740336280
97897403362809789740336280
9789740336280
 
9789740336365
97897403363659789740336365
9789740336365
 
9789740336303
97897403363039789740336303
9789740336303
 
9789740336242
97897403362429789740336242
9789740336242
 
9789740336235
97897403362359789740336235
9789740336235
 
9789740336099
97897403360999789740336099
9789740336099
 
9789740336419
97897403364199789740336419
9789740336419
 
9789740336402
97897403364029789740336402
9789740336402
 
9789740336334
97897403363349789740336334
9789740336334
 
9789740336327
97897403363279789740336327
9789740336327
 
9789740336181
97897403361819789740336181
9789740336181
 
9789740336167
97897403361679789740336167
9789740336167
 

9789740331513

  • 1. 3 บทที่ 1 คําอธิบายเบื้องตน เกี่ยวกับการวิเคราะหความผิดพลาด การวิเคราะหความผิดพลาด (error analysis) คือ การศึกษาและการประเมินความไมแนนอนของผล การวัด (uncertainty in measurement) เราทราบจากประสบการณวา การวัดทุกอยาง แมจะทําอยางรอบคอบ เพียงใด ก็ไมมีทางปราศจากความไมแนนอน เนื่องจากโครงสรางและการประยุกตทั้งหมดทางวิทยาศาสตร ขึ้นอยูกับการวัด การประเมินคาความไมแนนอน และการควบคุมใหอยูในระดับที่ต่ําที่สุดจึงเปนเรื่องสําคัญ มาก ในบทแรกเราจะอธิบายการวัดงาย ๆ เพื่อแสดงวา ความไมแนนอนของการทดลองคือสิ่งที่เกิดขึ้น อยางหลีกเลี่ยงไมได และแสดงประโยชนที่สําคัญของการทราบขนาดของความไมแนนอน จากนั้นจะอธิบาย วิธีประมาณคาความไมแนนอนของการทดลองวาควรทําอยางไรจึงจะไดขนาดที่สมจริง (อยางนอยก็สําหรับ ตัวอยางงาย ๆ) ซึ่งยอมดีกวาการใชสามัญสํานึก (common sense) 1.1 ความผิดพลาดในความหมายของความไมแนนอน (Error as Uncertainties) ในทางวิทยาศาสตร คําวาความผิดพลาด (error) มีความหมายตางจากคําวาการทําผิด (mistake) หรือ ความเผอเรอ (blunder) “ความผิดพลาด” ในการทดลองทางวิทยาศาสตร หมายถึงความไมแนนอนที่แฝงอยู ในทุก ๆ ผลการวัดอยางหลีกเลี่ยงไมได ในมุมมองนี้ความผิดพลาดไมใชการทําผิด คุณไมสามารถหลีกเลี่ยง ความผิดพลาดไดโดยใชความรอบคอบอยางถึงที่สุดขณะที่ทําการทดลอง คุณคาดหวังสูงสุดไดแคเพียงแนใจ วา ความผิดพลาดนั้นมีคานอยเทาที่จะเปนไปไดและสมเหตุสมผล และถูกประมาณคาดวยวิธีที่นาเชื่อถือ หนังสือเลมอื่นใหความหมายคําวา “ความผิดพลาด” แบบอื่นอีก เราจะอภิปรายความหมายเหลานั้นบางสวน ในภายหลัง สําหรับตอนนี้เราจะใชคําวา “ความผิดพลาด” ในความหมายเดียวกันกับคําวา “ความไมแนนอน” และถือวาคําทั้งสองใชแทนกันได 1.2 ภาวะหลีกเลียงไมไดของความไมแนนอน ่ (Inevitability of Uncertainty) เราแคสังเกตการวัดในชีวิตประจําวันอยางรอบคอบ เราก็จะพบภาวะหลีกเลี่ยงไมไดของความไม แนนอน ตัวอยางเชน ชางไมที่ตองการวัดความสูงของวงกบประตูเพื่อจะติดตั้งประตู ในตอนแรกเขาอาจ ประมาณความสูงคราว ๆ ดวยสายตา แลวตอบวาสูง 210 ซม. “ผลการวัด” คราว ๆ นี้มีความไมแนนอนแฝง อยูอยางเห็นไดชัด ถาถามเขาซ้ํา เขาอาจบอกความไมแนนอนนี้ออกมาวา ความสูงมีคาอยางนอย 205 ซม. แตไมเกิน 215 ซม.
  • 2. 4 ถาเขาตองการผลการวัดที่แมนยําขึ้น เขาควรใชสายวัด และอาจวัดความสูงได 211.3 ซม. จริงอยูที่วา ผลการวัดครั้งนี้แมนยําขึ้น แตก็ยังมีความไมแนนอนแฝงอยู เพราะเขาไมมีทางทราบแนชัดวา ความสูงคือ 211.3000 ซม. หรือ 211.3001 ซม. เปนตน มีสาเหตุหลายประการที่ทําใหความไมแนนอนยังเหลืออยู บางสาเหตุจะอธิบายในหนังสือเลมนี้ บาง สาเหตุกําจัดไดดวยความเอาใจใส เชน ถาตนเหตุของความไมแนนอนเกิดจากแสงสวางไมเพียงพอ จนอาน คาบนสายวัดไดลําบากแลว ก็สามารถแกไขไดดวยการเพิ่มแสงสวาง ในทางกลับกัน ความไมแนนอนบางชนิดในกระบวนการวัด (measurement process) มาจากแหลง กําเนิดที่แฝงอยูภายใน (intrinsic source) และไมสามารถกําจัดได เชน ถาเราสมมุติวาสายวัดของชางไมมี ชองสเกลขนาดครึ่งเซนติเมตร ขณะที่วัด ขอบบนของประตูอาจไมตรงพอดีกับขีดสเกล ชางไมตองประมาณ ตําแหนงขอบบนของประตูวาอยูที่ใดระหวางขีดสเกลสองขีด แตถึงแมขอบบนของประตูจะตรงพอดีกับขีด สเกลใดก็ตาม ขีดสเกลเองก็อาจมีความกวางในหลักมิลลิเมตร เขาก็ตองประมาณตําแหนงขอบบนของประตู วาอยูที่ใดภายในขีดสเกลนั้นอยูดี การที่ชางไมตองประมาณวาขอบบนของประตูอยูที่ใดเทียบกับขีดสเกล ก็ คือที่มาของความไมแนนอนในคําตอบของเขา การซื้อสายวัดคุณภาพดีขึ้น ซึ่งมีสเกลละเอียดกวาและขีดสเกลคมชัดกวา สามารถชวยใหชางไมลด ความไมแนนอนได แตก็ทําใหหมดไปไมได ถาเขาตองการทราบความสูงของประตูอยางแมนยําที่สุดเทาที่จะ เปนไปไดในทางเทคนิค เขาสามารถชื้อเครื่องมือราคาแพงที่ชื่อเลเซอรอินเตอรฟรอมิเตอร (laser interferometer) แตถึงจะใชเครื่องมือนี้ ความเที่ยง (precision) ของเครื่องมือก็ยังอยูในอันดับของความยาวคลื่นของ แสง (ประมาณ 0.5×10-6 เมตร) ถึงแมวาครั้งนี้เขาจะวัดความสูงของประตูไดแมนยําอยางนาอัศจรรย เขาก็ ยังไมทราบความสูงที่แทจริงของประตูอยูดี ยิ่งไปกวานั้น ขณะที่ชางไมของเรามุงมั่นกับการหาความเที่ยงสูงขึ้นเรื่อย ๆ เขาจะพบกับปญหาเชิง หลักการ เขาจะพบวาความสูงของประตูที่แตละตําแหนงไมเทากัน หรือแมแตที่ตําแหนงเดียวกัน เขาจะพบ วาความสูงเปลี่ยนแปลงได ถาอุณหภูมิและความชื้นเปลี่ยนไป หรือถาเผลอไปลูบฝุนบาง ๆ ที่จับอยูออกไป สุดทายแลว เขาก็ยังไมรูวาความสูงของประตูควรหมายถึงอะไรดี ปญหาชนิดนี้เรียกวา ปญหาเกี่ยวกับคํา จํากัดความ (problem of definition) ในกรณีนี้ปญหาดังกลาวหมายถึง การที่ไมไดระบุชัดเจนวาความสูงของ ประตูคืออะไร ปญหาชนิดนี้มีบทบาทสําคัญในการวัดเชิงวิทยาศาสตรจํานวนมาก ประสบการณของชางไมแสดงสิ่งที่เปนจริงเสมอคือ ไมมีปริมาณทางกายภาพ (ความยาว เวลา อุณหภูมิ เปนตน) ใดเลย ที่สามารถวัดไดอยางแนนอน (complete certainty) เราอาจลดความไมแนนอนใหเหลือ นอยมากไดโดยอาศัยความรอบคอบในการทดลอง แตการทําใหหมดไปนั้นเปนไปไมได สําหรับการวัดในชีวิตประจําวัน เราไมจําเปนตองถูกรบกวนดวยความไมแนนอนทุกครั้ง เพราะบางที ความไมแนนอนก็ไมใชเรื่องที่นาสนใจ เชน ถาเราพูดวา ระยะทางจากบานถึงโรงเรียนคือ 3 ไมล (สําหรับการ กลาวประโยคนี้ดวยจุดประสงคทั่ว ๆ ไป) แลวก็แทบไมมีประโยชนที่จะมาตีความวา หมายถึงระยะทาง ระหวาง 2.5 และ 3.5 ไมล หรือระหวาง 2.99 และ 3.01 ไมล แตบอยครั้งที่ความไมแนนอนเปนเรื่องสําคัญ เรายอมรับการมีอยูนี้ดวยสามัญสํานึก จึงไมไดพิจารณาอยางจริงจัง เมื่อชางไมของเราติดตั้งประตู เขาตองรู ความสูงของประตู และรูวาความไมแนนอนมีคานอยกวา 1 มม. หรือคาอื่น ๆ อยางไรก็ดี ตราบใดที่ความ
  • 3. 5 ไมแนนอนยังมีคานอย (สําหรับงานสวนมากในทางปฏิบัติ) ประตูก็จะแนบสนิทกับวงกบ และความคิดของ เขาเกี่ยวกับการวิเคราะหความผิดพลาดก็จะสิ้นสุดลง 1.3 ความสําคัญของการทราบความไมแนนอน (Importance of Knowing Uncertainties) ตัวอยางชางไมวัดความสูงของประตูทําใหเราทราบวา ความไมแนนอนของผลการวัดเกิดขึ้นเสมอได อยางไร เราลองดูตัวอยางถัดไป ซึ่งแสดงวาการทราบขนาดของความไมแนนอนมีความสําคัญอยางไร สมมุติวาเราตองแกปญหาที่อารคิมีดีส (Archimedes) เคยหาคําตอบไว เราถูกถามวามงกุฎนี้ทํามา จากทองคํา 18 กะรัต อยางที่ชางทํามงกุฎอางหรือไม หรือทําจากโลหะผสมที่มีราคาถูกกวา สมมุติวาเราใช วิธีของอารคิมีดีส คือทดสอบความหนาแนนของมงกุฎ และทราบวาความหนาแนนของทองคํา 18 กะรัต และ โลหะผสมที่สงสัยวานํามาทํามงกุฎคือ ρgold = 15.5 กรัม/ซม.3 และ ρalloy = 13.8 กรัม/ซม.3 ถาเราวัดความหนาแนนของมงกุฎ ρcrown ได เราก็มีโอกาส (อยางที่อารคิมีดีสเคยแนะนํา) ที่จะตัดสิน วา มงกุฎทําจากทองคําแทหรือไม ดวยการเปรียบเทียบ ρcrown กับความหนาแนนที่ทราบคือ ρgold และ ρalloy สมมุติวาเราเชิญผูเชี่ยวชาญดานการวัดความหนาแนนมาสองคน ผูเชี่ยวชาญ A อาจจะวัดคา ρcrown เสร็จอยางรวดเร็ว และรายงานคาประมาณที่ดีที่สุด (best estimate) ของ ρcrown ที่เขาวัดไดคือ 15 กรัม/ซม.3 และ ρcrown ควรมีคาอยูในชวง 13.5 ถึง 16.5 กรัม/ซม.3 ผูเชี่ยวชาญ B อาจจะใชเวลานานกวา และรายงาน คาประมาณที่ดีที่สุดคือ 13.9 กรัม/ซม.3 และพิสัยที่นาจะเปนของ ρcrown คือ 13.7 ถึง 14.1 กรัม/ซม.3 ผลการ วัดของผูเชี่ยวชาญทั้งสองสรุปอยูในตาราง 1.1 ตาราง 1.1 ความหนาแนนของมงกุฎ (กรัม/ซม.3) ผูเชี่ยวชาญ B ผลการวัดที่รายงาน ผูเชี่ยวชาญ A 15 13.9 คาประมาณที่ดีที่สุดของ ρcrown 13.5 ∼ 16.5 13.7 ∼ 14.1 พิสัยที่นาจะเปนของ ρcrown ข อ สั ง เกตแรกจากผลลั พ ธ นี้ คื อ แม ว า ผลการวั ด ของผู เ ชี่ ย วชาญ B จะมี ค วามเที่ ย งสู ง กว า ของ ผูเชี่ยวชาญ A อยางมาก แตผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ A ก็มีโอกาสถูกตองเชนกัน เพราะพิสัยที่ผูเชี่ยวชาญ ทั้งคูมั่นใจวา ρcrown จะตกอยูภายในนั้น ล้ํากันอยู (overlap) จึงเปนไปไดที่ผลการวัดของผูเชี่ยวชาญทั้งคูจะ ถูก ตอง ขอสังเกตถัดมาคือ ความไมแนนอนของผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ A มีคามากจนทําใหผลลัพธของเขา ไมมีความหมาย เพราะทั้ง ρgold และ ρalloy ตกอยูในพิสัยของ ρcrown ที่เขาระบุ ผลการวัดของเขาจึงไมไดให ขอสรุปวามงกุฎทําจากวัสดุอะไร ตรงกันขาม ผลการวัดของผูเชี่ยวชาญ B ชี้ชัดไดวามงกุฎไมใชของจริง เพราะวาความหนาแนนของโลหะผสมที่อาจเปนได (13.8 กรัม/ซม.3) นั้นตกอยูในพิสัยที่เขาประมาณไว (13.7
  • 4. 6 กรัม/ซม.3) ขณะที่ ρgold ตกอยูนอกพิสัยอยางชัดเจน เหตุการณนี้แสดงวา ผลการวัดที่นําไปสูขอสรุป ได จะตองมีความไมแนนอนไมมากเกินไป แตก็ไมจําเปนเสมอไปวาความไมแนนอนจะตองมีคานอยมาก ๆ สําหรับการวัดทั่ว ๆ ไปทางวิทยาศาสตร ระดับของความไมแนนอนที่สมเหตุสมผลอยูที่ประมาณ 2 ถึง 3% ของคาที่วัด กรณีที่ตองการความเที่ยงสูงกวานี้มาก ๆ ก็มี แตถือวาเปนสวนนอย เนื่องจากการตัดสินใจของเราอาศัยคํากลาวอางของผูเชี่ยวชาญ B ที่วา ρcrown มีคาอยูในชวง 13.7 และ 14.1 กรัม/ซม.3 ผูเชี่ยวชาญ B จึงตองมีเหตุผลพอที่จะทําใหเราเชื่อคํากลาวอางของเขา กลาวคือ ผูทดลอง ตองมีเหตุผลประกอบพิสัยที่เขาระบุดวย ผูเริ่มเรียนมักจะมองขามจุดนี้ไป และอางลอย ๆ วา ความไมแนนอน ของเขาคือ 1 มม. หรือ 2 วินาที หรือคาอื่น ๆ เมื่อไมมีคําอธิบายเกี่ยวกับวิธีประมาณคาความไมแนนอน คํา กลาวอางเกี่ยวกับพิสัยของผลการวัดก็แทบจะไมมีประโยชน สิ่งสําคัญที่สุดเกี่ยวกับผลการวัดของผูเชี่ยวชาญทั้งสองคนคือ ผลการวัดจะไมมีประโยชนเลยถาไมได ระบุความไมแนนอนที่เชื่อถือได การวัดทางวิทยาศาสตรสวนมากตองทําเชนนี้ อันที่จริงถาเราทราบขอมูล เพียงบรรทัดแรกของตาราง 1.1 เราไมเพียงแตจะไมไดขอสรุปที่สมเหตุสมผล แตยังอาจสรุปผิดอีกดวย เพราะผลลัพธของผูเชี่ยวชาญ A (15 กรัม/ซม.3) ชี้นําวามงกุฎทําจากทองคําแท ∼ 14.1 1.4 ตัวอยางเพิ่มเติม ตัวอยางในสองหัวขอที่แลวถูกเลือกมาไมใชดวยเหตุผลวามีความสําคัญ (ทางวิทยาศาสตร : ผูแปล) แตถูกเลือกเพราะวาสามารถนําเสนอลักษณะสําคัญบางอยางของการวิเคราะหความผิดพลาดไดเปนอยางดี ผูอานสามารถยกโทษใหกับการเปนเรื่องแตง อยางไรก็ดี การหาตัวอยางทางวิทยาศาสตรพื้นฐานหรือ ประยุกตก็ไมใชเรื่องยาก ในวิทยาศาสตรประยุกต วิศวกรออกแบบโรงไฟฟานิวเคลียรตองรูลักษณะเฉพาะ (characteristics) ของวัสดุและเชื้อเพลิงที่วางแผนวาจะนํามาใช ผูผลิตเครื่องคิดเลขพกพาตองทราบสมบัติ (properties) ของ ชิ้นสวนอิเล็กทรอนิกสตาง ๆ ในกรณีเหลานี้จะตองมีใครสักคนวัดพารามิเตอรที่จําเปน เมื่อวัดพารามิเตอร เหลานี้ เขาตองสรางความเชื่อถือได (reliability) ใหกับผลการวัดของเขา และการทําสิ่งนี้ตองใชการวิเคราะห ความผิดพลาด วิศวกรที่รับผิดชอบความปลอดภัยของเครื่องบิน รถไฟ หรือรถยนต ตองทราบความไม แนนอนของปฏิกิริยาตอบสนองของคนขับและตัวแปรอื่น ๆ ที่มีตอระยะเบรก การละเลยการวิเคราะหความ ผิดพลาดสามารถทําใหเกิดอุบัติเหตุอยางที่ปรากฏอยูบนหนาปกของหนังสือเลมนี้ แมแตในแขนงที่มีความ เปนวิทยาศาสตรนอยกวา เชน การผลิตเสื้อผา การวิเคราะหความผิดพลาดก็มีบทบาทสําคัญในรูปของการ ควบคุมคุณภาพ (quality control) ในวิทยาศาสตรพื้นฐาน การวิเคราะหความผิดพลาดมีบทบาทเชิงหลักมูล (fundamental) อยางมาก ทฤษฎีใหมที่ถูกเสนอขึ้นตองถูกตรวจสอบกับทฤษฎีเดิมดวยการทดลองสักอยางหนึ่งหรือหลายอยางที่ทําให ทฤษฎีใหมและเกาทํานายผลลัพธไดตางกัน โดยหลักการแลว เราก็แคทําการทดลองแลวปลอยใหผลลัพธ เปนตัวตัดสินทฤษฎีที่แขงขันกันอยู แตสถานการณทางปฏิบัติมีความซับซอนเนื่องจากไมสามารถหลีกเลี่ยง ความไมแนนอนในผลการทดลอง เราจึงตองวิเคราะหสิ่งเหลานี้อยางรอบคอบ และลดผลกระทบใหเหลือนอย ที่สุด จนกระทั่งไดผลการทดลองที่ระบุไดวาทฤษฎีใดเปนทฤษฎีที่ยอมรับได กลาวคือ ผลการทดลองและ
  • 5. 7 ความไมแนนอนจะคลองจอง (consistent) กับผลการทํานายของทฤษฎีหนึ่ง แตไมคลองจอง (inconsistent) กับของทฤษฎีอื่น ๆ ที่เหลือ เราคงเห็นชัดวา ความสําเร็จของกระบวนการนี้ขึ้นกับความเขาใจเรื่องการ วิเคราะหความผิดพลาดของนักวิทยาศาสตร และความสามารถของเขาที่จะทําใหผูอื่นยอมรับ ตัวอยางที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับการทดสอบทฤษฎีทางวิทยาศาสตรคือ การวัดการเบนของแสง (bending of light) ขณะที่แสงผานเขาใกลดวงอาทิตย เมื่อไอนสไตนตีพิมพทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (general relativity) ใน ค.ศ. 1916 ทฤษฎีของเขาทํานายวา แสงจากดวงดาวจะเบนเปนมุม α = 1.8″ เมื่อผานเขาใกลดวง อาทิตย ทฤษฎีคลาสสิกอยางงายที่สุดทํานายวา ไมมีการเบน (α = 0) ทฤษฎีคลาสสิกที่ละเอียดขึ้นทํานายวา α = 0.9″ โดยหลักการ สิ่งที่ตองทําคือ สังเกตดวงดาวขณะที่อยูตรงแนวกับขอบของดวงอาทิตย ถาผลลัพธ คือ 1.8″ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะถูกตอง (อยางนอยก็สําหรับปรากฏการณนี้) แตถา α คือ 0.9″ หรือศูนย แลวจะถือวาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปผิด และทฤษฎีเกาอันใดอันหนึ่งถูกตอง ในทางปฏิบัติ การวัดการเบนของแสงเนื่องจากอิทธิพลของดวงอาทิตยเปนสิ่งที่ทําไดยากมาก และทํา ไดตอนเกิดสุริยุปราคาเทานั้น อยางไรก็ดี ใน ค.ศ. 1919 Dyson, Eddington และ Davidson สามารถวัดคานี้ ได เขารายงาน1 ผลการประมาณที่ดีที่สุดคือ α = 2″ ที่ความมั่นใจ 95% ซึ่งหมายถึง α อยูในชวง 1.7″ และ 2.3″ เห็นชัดวา ผลลัพธของเขาคลองจองกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และไมคลองจองกับทฤษฎีเกา ในเวลานั้น คําตอบนี้ยังเปนที่ถกเถียง หลายคนใหความเห็นวา ความไมแนนอนถูกประมาณคาต่ํา เกินไป จึงยังสรุปผลการทดลองไมได การทดลองตอ ๆ มามีแนวโนมสนับสนุนผลการทํานายของไอนสไตน และยืนยันขอสรุปของ Dyson, Eddington และ Davidson อีกดวย สิ่งสําคัญในเรื่องนี้คือ ทุกคําถามขึ้นอยูกับ ความสามารถของผูทดลองที่จะประมาณคาความไมแนนอนใหไดอยางนาเชื่อถือ และการทําใหผูอื่นเชื่อมั่นใน ผลลัพธ นักเรียนที่เรียนวิชาปฏิบัติการฟสิกสเบื้องตนไมสามารถทําการทดลองเพื่อตรวจสอบทฤษฎีใหมได ในทางกลับกัน การทดลองในวิชาฟสิกสเบื้องตน สวนใหญถูกออกแบบมาสําหรับทดสอบทฤษฎีทางกายภาพ (physical theory) ที่มีอยูแลว เชน กฎแรงโนมถวงของนิวตันทํานายวา วัตถุตกจากที่สูงดวยความเรงคงที่ g (ในสภาวะที่เหมาะสม) นักเรียนสามารถทําการทดลองเพื่อตรวจสอบวาการทํานายนี้ถูกตองหรือไม หาก มองอยางผิวเผิน การทดลองแบบนี้อาจดูเหมือนไมมีประโยชนและไรจุดหมาย เพราะวาทฤษฎีถูกตรวจสอบ ครั้งแลวครั้งเลาดวยเครื่องมือที่แมนยํากวาเครื่องมือที่มีในหองปฏิบัติการ อยางไรก็ดี ถานักเรียนเขาใจ บทบาทสําคัญของการวิเคราะหความผิดพลาด และมองความพยายามที่จะทําการทดลองใหไดผลลัพธที่ แมนยําที่สุดดวยบริภัณฑ (equipment) ที่มีวาเปนความทาทายแลว การทดลองประเภทนี้จะกลายเปนการ ทดลองที่นาสนใจ และเปนการเรียนรูที่มีประโยชน 1 การอธิบายงาย ๆ นี้อางอิงจากบทความของ Dyson, Eddington และ Davidson (Philosophical Transactions of the Royal Society, 220A, 1920, 291) ผม (ผูเขียน) ไดเปลี่ยนคําวา ความผิดพลาดที่นาจะเปน (probable error) เปนขีดจํากัดความเชื่อมั่น 95% รายละเอียดเกี่ยวกับขีดจํากัดความเชื่อมั่นจะกลาวในบทที่ 5
  • 6. 8 1.5 การประมาณความไมแนนอนเมื่ออานสเกล (Estimating Uncertainties When Reading Scales) เราไดพิจารณาตัวอยางจํานวนหนึ่งที่แสดงวา ทําไมการวัดทุกอยางจึงมีความไมแนนอน และทําไม การทราบขนาดของความไมแนนอนจึงเปนเรื่องสําคัญ แตเรายังไมไดอภิปรายเกี่ยวกับวิธีประเมินขนาดของ ความไมแนนอน ในความเปนจริง การประเมินมีความซับซอนพอสมควร และเปนเนื้อหาหลักในสวนที่เหลือ ของหนังสือ โชคดีที่มีการวัดงาย ๆ บางอยางที่สามารถประมาณคาความไมแนนอนไดอยางสมเหตุสมผล โดยใชแคสามัญสํานึก ในหัวขอนี้และหัวขอ 1.6 เราจะยกตัวอยางการวัดงาย ๆ ดังกลาวสองตัวอยาง ความ เขาใจตัวอยางเหลานี้จะทําใหนักเรียนเริ่มการวิเคราะหความผิดพลาดในผลการทดลองของเขาได และเปน พื้นฐานสําหรับการวิเคราะหถัดไป ตัวอยางแรก คือการวัดความยาวดวยไมบรรทัดที่มีขีดสเกลดังรูป 1.1 หรือการวัดแรงดันไฟฟา (voltage) ดวยโวลตมิเตอรในรูป 1.2 การวัดความยาวของดินสอดวยไมบรรทัดในรูป 1.1 เราจะตองวางปลายขาง หนึ่งของดินสอใหตรงกับขีดศูนยของไมบรรทัด แลวตัดสินใจวาปลายดินสออีกขางสิ้นสุดที่ขีดสเกลใดของไม บรรทัด การวัดแรงดันไฟฟาดังรูป 1.2 เราตองตัดสินใจวาเข็มชี้ที่ขีดสเกลใดของโวลตมิเตอร ถากําหนดให โวลตมิเตอรและไมบรรทัดเชื่อถือไดแลว ปญหาหลักของแตละกรณีคือ การตัดสินใจวาจุดอยูที่ตําแหนงใดเมื่อ เทียบกับขีดสเกล (แนนอนวา ถาไมบรรทัดและโวลตมิเตอรไ มนาเชื่อถือแลว เราตองพิจ ารณาความไม แนนอนชนิดนี้ดวย) รูป 1.1 การวัดความยาวดวยไมบรรทัด 2 8 9 1 0 10 รูป 1.2 การอานคาจากโวลตมิเตอร
  • 7. 9 ขีดสเกลของไมบรรทัดในรูป 1.1 คอนขางชิดกัน (หางกัน 1 มม.) ผูทดลองสามารถตัดสินใจไดอยาง เหมาะสมวา ความยาวที่เห็นอยูใกลกับ 36 มม. มากกวา 35 หรือ 37 มม. แตเนื่องจากไมสามารถอานคาได แมนยําไปกวานี้ เขาจึงรายงานผลการวัดดังนี้ คาประมาณที่ดีที่สุดของความยาว คือ 36 มม. พิสัยที่นาจะเปน คือ 35.5 ถึง 36.5 มม. (1.1) อาจกลาววา เขาอานคาความยาวเปนจํานวนเต็มมิลลิเมตรที่ใกลเคียงที่สุด การอานคาของขีดสเกลที่อยูใกลกับปริมาณที่วัดมากกวาขีดสเกลที่อยูประชิด เปนเรื่องปกติที่ทํากัน นักวิทยาศาสตรหลายทานจึงสรางสัญนิยม (convention) ใหกับคํากลาว “l เทากับ 36 มม.” วาหมายถึง l อยู ใกลกับ 36 มม. มากกวาอยูใกลกับ 35 มม. หรือ 37 มม. กลาวคือ มม. 35.5 มม. ≤ l ≤ 36.5 มม. l = 36 หมายถึง ในทํานองเดียวกัน คําตอบเชน x = 1.27 ซึ่งไมไดระบุความไมแนนอน จะถูกสันนิษฐานวาหมายถึง x มีคาอยูในชวง 1.265 และ 1.275 หนังสือเลมนี้จะไมใชสัญนิยมนี้ เราจะแสดงความไมแนนอนอยางชัดแจง (explicitly) อยางไรก็ดี นักเรียนควรทราบความหมายของสัญนิยมดังกลาว และทราบวาใชกับจํานวนใด ๆ ที่กลาวโดยไมไดระบุความไมแนนอน ในยุคของเครื่องคิดเลขพกพา ซึ่งสามารถแสดงตัวเลขไดหลายหลัก ถานักเรียนคัดลอกตัวเลขที่แสดงบนหนาปดของเครื่องคิดเลข เชน 123.456 โดยไมไดคิดอะไร ผูอานจะเขาใจ วาตัวเลขนี้ถูกตองถึงเลขนัยสําคัญเทากับ 6 ซึ่งจริง ๆ แลวอาจไมไดเปนเชนนั้น ขีดสเกลบนโวลตมิเตอรในรูป 1.2 อยูหางกันมากกวาของไมบรรทัด ในกรณีนี้ผูสังเกตการณสวนใหญ คงเห็นดวยวา เขาทําไดดีกวาการอานคาของขีดสเกลที่อยูใกลกับเข็มชี้มากที่สุด เพราะวาชองสเกลกวางกวา เขาจึงประมาณตําแหนงของเข็มวาชี้ตําแหนงใดระหวางขีดสเกลทั้งสองขางได ดังนั้น ขอสรุปที่สมเหตุสมผล สําหรับแรงดันไฟฟาที่อานอาจจะเปน คาประมาณที่ดีที่สุดของแรงดันไฟฟา คือ 5.3 โวลต พิสัยที่นาจะเปน คือ 5.2 ถึง 5.4 โวลต (1.2) การประมาณตําแหนงระหวางขีดสเกลเรียกวา การประมาณคาในชวง (interpolation) ซึ่งเปนเทคนิค สําคัญที่พัฒนาไดดวยการฝกฝน ผูสังเกตการณบางคนอาจไมเห็นดวยกับการประมาณความเที่ยงในสมการ (1.1) และ (1.2) กลาวคือ เขาอาจใชการประมาณคาในชวงสําหรับความยาวในรูป 1.1 และระบุผลการวัดที่มีขนาดความไมแนนอนนอย กวา อยางไรก็ดี อาจมีบางคนเห็นดวยวาสมการ (1.1) และ (1.2) สามารถประมาณคาปริมาณที่พิจารณา และความไมแนนอนที่ควรจะเปนไดสมเหตุสมผล เราจะเห็นวา การประมาณคาความไมแนนอนเปนเรื่อง คอนขางงายสําหรับปญหาการเทียบตําแหนงของจุดกับขีดสเกล
  • 8. 10 1.6 การประมาณคาความไมแนนอนในผลการวัดทีทวนซ้ําได ่ (Estimating Uncertainties in Repeatable Measurements) ผลการวัดหลายอยางมีความไมแนนอน ซึ่งประมาณคาไดยากกวากรณีระบุตําแหนงจุดเทียบกับขีด สเกล เชน เมื่อเราจับเวลาดวยนาฬิกาจับเวลา ตนกําเนิดหลักของความไมแนนอนไมใชความยากในการอาน หนาปด แตเปนระยะเวลาการตอบสนองของเราขณะเริ่มและหยุดนาฬิกา บางครั้งเราสามารถประมาณคา ความไมแนนอนชนิดนี้ไดอยางนาเชื่อถือหากเราวัดซ้ําหลายครั้ง เชน ถาเราจับเวลาการแกวงของตุมนาฬิกา ได 2.3 วินาที แลวเราจะบอกอะไรไดไมมากเกี่ยวกับความไมแนนอนจากผลการวัดเพียงครั้งเดียวนี้ แตถาเรา ทดลองซ้ําและได 2.4 วินาที เราบอกไดทันทีวาความไมแนนอนนาจะอยูในอันดับ (order) ของ 0.1 วินาที ถา ผลการทดลองอีกสี่ครั้งตอมาคือ (หนวยเปน วินาที) 2.3, 2.4, 2.5, 2.4 (1.3) เราจะเริ่มการประมาณคาความไมแนนอนไดคอนขางสมจริง กอนอื่นตองทราบวาเปนเรื่องปกติที่จะสมมุติวา คาประมาณที่ดีที่สุดของคาบคือคาเฉลี่ย2 ซึ่งเทากับ 2.4 วินาที ถัดมา ดูเหมือนจะปลอดภัยหากสมมุติวา คาบที่แทจริงมีคาอยูที่ใดที่หนึ่งระหวางคาต่ําสุด 2.3 วินาที และคาสูงสุด 2.5 วินาที ดังนั้น เราอาจสรุปอยางมีเหตุผลไดดังนี้ คาประมาณที่ดีที่สุด (คาเฉลี่ย) พิสัยที่นาจะเปน = 2.4 วินาที = 2.3 ถึง 2.5 วินาที (1.4) หากเราสามารถวัดปริมาณเดิมซ้ํา ๆ ได การกระจายตัวของคาที่วัดคือตัวบงชี้ที่มีประโยชนกับการหา คาความไมแนนอนในผลการวัดของเรา ในบทที่ 4 และ 5 เราจะอธิบายวิธีทางสถิติสําหรับจัดการผลการวัด ซ้ํา ๆ วิธีทางสถิติเหลานี้ชวยใหการประมาณคาความไมแนนอนแมนยํากวาการใชสามัญสํานึกอยางที่เราทํา ในสมการ (1.4) การใชวิธีทางสถิติอยางเหมาะสมจะทําใหผลลัพธไมขึ้นกับการตัดสินใจของผูสังเกตการณ3 อยางไรก็ดี การประมาณใน (1.4) ซึ่งไดจากผลการวัดใน (1.3) เปนขอสรุปที่งายและสมจริง ผลการวัดซ้ํา ๆ เชน (1.3) อาจไมไดแสดงถึงความไมแนนอน สิ่งแรกที่เราตองแนใจคือ ปริมาณที่วัด แตละครั้งเปนปริมาณเดียวกัน เชน เราวัดความแข็งแรงของลวดสองเสน ซึ่งสมมุติวาเหมือนกันทุกประการ ดวยการดึงจนขาด (กรณีนี้เราทดสอบลวดเสนเดิมซ้ําไมได) ถาเราไดคําตอบที่ตางกัน ความแตกตางนี้อาจ บงชี้วา ผลการวัดของเรามีความไมแนนอน หรือลวดสองเสนนี้ไมไดเหมือนกันจริง ๆ ดังนั้น แคความแตกตาง ของคําตอบสองคําตอบเพียงลําพัง จึงไมไดบงบอกความเชื่อถือไดของผลการวัด 2 เราจะพิสูจนในบทที่ 5 วาการประมาณที่ดีที่สุดบนรากฐานของการวัดซ้ํา ๆ คือคาเฉลี่ยของผลการวัด นอกจากนี้เมื่อใชวิธีทางสถิติอยางเหมาะสม จะไดความไมแนนอนนอยกวาพิสัยซึ่งเริ่มจากคาต่ําสุดถึงคาสูงสุดของผลการ วัด ดังนั้น เมื่อมองที่การจับเวลาสี่ครั้งใน (1.3) เราไดตัดสินแลววาคาบนาจะอยูที่ใดสักที่ระหวาง 2.3 และ 2.5 วินาที วิธีทางสถิติ ของบทที่ 4 และ 5 ทําใหเรากลาวดวยความมั่นใจ 70% วาผลการวัดจะอยูในพิสัยที่แคบกวาคือ จาก 2.36 ถึง 2.44 วินาที 3
  • 9. 11 แมเราจะแนใจวาปริมาณที่วัดแตละครั้งเปนปริมาณเดียวกัน แตการวัดซ้ํา ๆ ก็อาจไมไดเปดเผยความ ไมแนนอนใหทราบเสมอไป เชน นาฬิกาจับเวลาที่ใชเก็บขอมูล (1.3) หากเดินเร็ว 5% เสมอแลว เวลาที่วัดได จะเพิ่มขึ้น 5% ไมวาจะวัดซ้ําอีกกี่ครั้ง (ดวยนาฬิกาเรือนนี้) ผลการวัดก็จะผิดพลาดเทาเดิม ความผิดพลาด ชนิดนี้เรียกวา ความผิดพลาดเชิงระบบ (systematic errors) ซึ่งตรวจพบยาก เราจะอธิบายในบทที่ 4 การแกไข ในกรณีนี้คือ ตรวจสอบนาฬิกาเรือนนี้กับเรือนที่เดินเที่ยงตรงกวา หรือพูดใหครอบคลุมก็คือ หากเรามีเหตุผล ดีพอที่จะไมไวใจความเชื่อถือไดของเครื่องวัด (นาฬิกา เทปวัด โวลตมิเตอร) แลว เราควรตรวจสอบเครื่องวัด เหลานี้กับเครื่องวัดที่เชื่อถือไดมากกวา ตัวอยางในหัวขอนี้และกอนหนาแสดงวา ความไมแนนอนของบางการทดลองสามารถประมาณคาได อยางงายดาย แตก็มีการวัดจํานวนมากที่หาความไมแนนอนไดไมงายนัก นอกจากนี้เรายังตองการทราบคา ความไมแนนอนที่แมนยํากวาคาที่หาจากการประมาณงาย ๆ ที่อธิบายไป ประเด็นเหลานี้จะเริ่มตั้งแตบทที่ 3 ในบทที่ 2 เราจะสมมุติชั่วคราววา เราทราบคาของความไมแนนอน เพื่อใหสามารถอภิปรายวิธีที่ดีที่สุดที่ จะรายงานความไมแนนอน และรูวิธีใชกับการหาขอสรุปของการทดลอง