Algebra

Ecuaciones de primer gradoEcuaciones de primer grado
1) Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
2) Expresiones algébricas
3) Valor numérico de una expresión algebraica
4) Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación
5) Igualdades y ecuaciones
6) Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
7) Resolución de ecuaciones. Regla del producto
8) Problemas: técnicas y estrategias con ecuaciones
Contenidos de desarrollo

Largo
Ancho
2x + 10
x
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.
1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
El número natural siguiente
al número n
El cuadrado de un número
menos el mismo número
Lenguaje algebraico
c – 5 (Llamamos c al número)
El cuadrado de un número x2
Perímetro del
cuadrado de lado x
x
xx
x
4x
x2
– x
n + 1
Hoy Antonio tiene 12 años;
cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años;
hace x años tenía: 13 – x
Al-Khuwrizmi
2. El lenguaje algebraico: algunos ejemplos

Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son
expresiones que contienen letras, o números y letras:
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras
unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1. El factor 1 no se escribe.
a
b
Área del triángulo:
2
h·b
b
h
Área de un rectángulo: a · b
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
1 · x2
· y1
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2
· y1
x2
· y x2
y
5abc3
5 · a · b · c3
(t = tiempo en horas)
3. Expresiones algebraicas

Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2
.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se
obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados
y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la
expresión algebraica 5x – 6
x
x
Si queremos hallar el área de un cuadrado
concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm
de lado, se sustituye x por 4:
16 es el valor numérico de la expresión x2
cuando se sustituye x por 4.
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2
+ b2
para a = 4 y b = 10 es:
x2
A = x2
= 42
= 16
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4
5 · 42
+ 102
= 5 · 16 + 100 = 180
4. Valor numérico de una expresión algebraica

Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y
resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales
deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?
x x x x x x x x
5x 3x
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
5x
x x x x x x x x
3x
5x + 3x = 8x
Suma:
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
x x x x x
5x 3x2x
5x – 3x = 2x
Resta:
Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o
restarse es necesario que sean semejantes.
5. Suma y resta de expresiones algebraicas
No se pueden sumar
2x + x2
Se deja indicado

La balanza está equilibrada.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
10 + 2 = 4 + 8
Tenemos una igualdad numérica
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la
izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
10 + 2 = 4 + 8
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
1er
miembro 2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio;
aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
6. Igualdades y ecuaciones

La balanza está equilibrada: el
peso de los dos platillos es el
mismo.A lo que pesa el trozo de queso le
podemos llamar x.
Tendremos la igualdad: x + 100 = 350
Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor
es desconocido.
Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números
relacionados por operaciones aritméticas.
Las letras se llaman incógnitas.
a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21
x = 4, pues:
4
+ 3 = 7
y = 6, pues:
6 – 2 = 4
x = 7, pues:
7
· 3 = 21
El signo “por”, ×,
se sustituye por un
punto: “·”
P a r a p r a c t i c a r
x
7. Ecuaciones

Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14
Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de
menos es que la llamemos x, y o t).
Son ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer
grado con una incógnita:
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación
que tiene una sola incógnita con exponente 1.
x x x x x x x x x2
5
x
8
4 1
x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 1
3 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1
No son de primer grado las ecuaciones:
x2
= 9 6 · t2
+ 2 · t + 2 = 0 2 · x3
= 250
8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

¿Cuánto pesará el trozo de queso
si la balanza está equilibrada.?
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la
incógnita para el que se verifica la igualdad.
Platillo izquierdo:
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una
solución es correcta hay que
sustituir en la ecuación y ver
que se cumple la igualdad.
x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200
Ejemplo La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x
= 14
pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
9. Solución de una ecuación

La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
a) 4 + 4x = 25 – 3x
Sustituyendo:
b) 7x + 4 = 25
4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Ecuación
dada:
8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Le sumamos 2 a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x
Restamos 6x a cada miembro
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
10. Ecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un
número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación,
se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
x = 10
Luego:
Para resolver ecuaciones
es útil buscar otra
semejante a la dada pero
que sea más fácil. Para
ello es necesario conocer
algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de
los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8
Regla de la suma
Primero. Restamos 8: 2x = x + 25
Segundo. Restamos x: x = 25
La solución es x = 25
11. Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

x = 5
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Luego:
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9
Regla del producto
Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6
Segundo. Restamos 2x: 2x = 6
La solución es x = 3
4x = 20
Hemos dividido por 4
Tercero. Dividimos por 2 x = 3
–3
–2x
:2
12. Resolución de ecuaciones. Regla del producto

La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar
todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas.
Practiquemos con dos ejemplos:
Restamos 2x:
Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x
Dividimos entre 3:
Sumamos 3: 5x = 2x + 3
3x = 3
x = 1
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:
Dividimos entre 2:
Multiplicamos por 9:
x = 18
Comprobamos:
Nota: El signo de la multiplicación
no suele ponerse ni entre
las letras ni entre
números y letras.
5 · x 5x
4
9
2x
=
4·9
9
2x
·9 = 2x = 36
4
9
36
9
18·2
==
13. Aplicación de las reglas. Ejemplos

Ecuaciones con paréntesis
Para resolver ecuaciones:
Sumamos 25:
1.º Suprime los paréntesis.
Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15
Dividimos entre 10:
Para resolverla se siguen los siguientes pasos:
Suprimir el paréntesis: 10x – 25 = 15
10x = 40
x = 4
2.º Aplica la regla de la suma.
3.º Aplica la regla del producto.
Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1)
Sumamos 7:
Restamos 12x:
Suprimir el paréntesis: 14x – 7 = 12x + 3
14x = 12x + 10
2x = 10
Dividimos entre 2: x = 5
14. Resolución de ecuaciones (I)

Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
1º. Quitar paréntesis:
2º. Operar 5x – 4x:
3º. Restar x
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
3x – 21 = x – 5
2x – 21 = – 5
5º. Dividir por 2
4º. Sumar 21 2x = 16
x = 8
Ejercicio 2 Ecuación con denominadores:
1º. Quitar denominadores. Para ello se
multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):
2º. Restar 30:
3º. Operar 3x – 2x
3x + 30 – 2x = 60
3x – 2x = 30
x = 30
5
6
x
2
5
4
x
=−+
15. Resolución de ecuaciones (II)

Número de años que tiene que pasar para que la edad de
Iván sea doble que la de hermana: x
PROBLEMA
Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán
pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana?
INCÓGNITA
DATOS
Edad de Iván
Lenguaje algebraico
Edad de Rocío
12
2
Dentro de x años
12 + x
12 + x = 2(2 + x)
Actualidad
Edad de Iván
Edad de Rocío 2 + x
ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío:
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2x
Restar x: 12 = 4 + x
Restar 4: 8 = x
Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana.
COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años,
y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años.
16. Técnicas y estrategias

Interpretación del enunciadoPrimero:
Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que
el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
Edad de Jorge
Plantear la ecuaciónSegundo:
Resolución de la ecuaciónTercero:
Comprobación.Cuarto:
Lenguaje algebraico
La madre de Jorge tiene 39
x
39
y dice que tiene 6 años menos
que el triple de la edad de Jorge 3x – 6
3x – 6 = 39
Son iguales
Sumar 6 3x = 45
x = 15Dividir por 3
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto
Jorge tiene 15 años
17. Resolución de problemas (I)

LEE Y COMPRENDE EL ENUNCIADO
Hacemos un dibujo para representar la situación.
RESUELVE EL PROBLEMA
PROBLEMA
El largo de un campo de fútbol es el doble que su ancho. Para cercarlo se han
necesitado 270 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del campo?
ELIGE UNA ESTRATEGIA
El largo del campo es doble que el ancho
El perímetro del campo es 270 m.
Hay que calcular el largo y el ancho.
xx
x x
Indicamos el ancho así: x
El largo será: 2x
La suma de los cuatro lados, el perímetro,
será: x + 2x + x + 2x = 270 m
Hay que resolver la ecuación: x + 2x + x + 2x = 270 m
Sumamos las x: 6x = 270
Dividimos por 6: x = 45 2x = 90
Las dimensiones del campo de fútbol son: 90 m de largo y 45 m de ancho.
Comprueba que el resultado es correcto.
2x
18. Resolución de problemas (II)

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