Kurver på parameterform. Sirkler, linjer, etc.

1. Litt mer om kurver. . .
Tor Espen Kristensen
. mars 
1 Parametrisering av linjer
Vi kan beskrive en linje i planet ved å oppgi den algebraiske relasjonen som koordinatene til
hvert punkt tilfredstiller. Dersom (x, y) er et punkt på en bestemt linje l så kan vi si hva y må
være for en gitt verdi for x. Nesten alle linjer i planet kan skrives på denne formen. Unntaket
er de vertikale linjene. Et eksempel er y-aksen, som kan beskrives ved alle punkter (x, y) der
x = . Vi skal se at linjene kan også beskrives på en annen måte ved hjelp av vektorer.

Eksempel  La oss se på linjen gitt ved y =  x + . Vi ser at P = (, ) er et punkt på denne

linjen siden  =  ⋅  + . La Q = (x, y) være et generelt punkt på linjen. Vi vil finne et uttrykk
for koordinatene til dette punktet.
l
Q(x, y)
⃗
v
P(a, b)
→
OQ
Vi merker oss at OQ = OP + PQ. Dersom v = [v , v ] er en vektor som er parallell med linjen
→ → →
⃗
⃗
→
l, så kan vi skrive PQ = t v for et reelt tall t. Det er lett å finne en slik vektor v; vi velger bare
⃗
to punkter på linjen og lar v være vektoren fra det ene punktet til det andre. I dette eksempelet
⃗
kan vi velge punktet (, ) (vi lar x = . Da blir y =  ⋅  +  = ) og får v = [, ]. Vi kan derfor

→
skrive vektoren OQ som:
OQ = [, ] + t ⋅ [, ] = [ + t,  + t]
→


2. Siden OQ = [x, y], så får vi:
→
x =  + t
y = +t
Generelt har vi at dersom en linje l går gjennom et punkt (a, b) og er parallell med en vek-
⃗
tor v = [v , v ] så kan vi beskrive linjen på parametrisk form som
x = a + tv
y = b + tv
l
Q(x, y)
P(a, b)
⃗
v
→
OQ
Oppgave  Finn en parameterframstilling til
a) linjen gitt ved y = x + . (Tips: velg selv et punkt på linjen)
b) linjen gjennom punktene (, ) og (, ).
Oppgave  En linje l er gitt ved følgende parameterframstilling:
x = − − t
y =  + t
a) Avgjør om punktet (, ) ligger på linjen
b) Finn skjæringspunktene mellom linjen og koordinataksene.
c) Tegn en skisse av linjen i et koordinatsystem.
d) Linjen m går gjennom punktet (, ) og er parallell med l. Finn en parameterframstilling
for m.


3. Oppgave  Finn vinkelen mellom linjene gitt ved:
x =  − t x = +t
l m
y =+t y =  − t
2 Likningen til en linje
⃗
La nå l være en linje i planet og anta at n = [A, B] er en normalvektor til l. Anta P = (x , y )
er et punkt på l og la Q = (x, y) være et generelt punkt på linjen. Vektoren PQ vil da være
→
parallell med linjen l. Vi har
PQ = [x − x , y − y ].
→
⃗
→
Siden n ⊥ PQ, så må
⃗
→
n ⋅ PQ = 
⇕
A(x − x ) + B(y − y ) = 
⇕
Ax + By = Ax + By = C
Enhver linje i planet kan med andre ord skrives på formen
Ax + By = C
Dette er nesten den samme formen som vi er vant med (y = ax + b). Når vi skriver likningen på
denne formen, så får vi med oss alle tilfeller – også de vertikale linjene. En annen fin egenskap
med denne formen er at den umiddelbart gir oss en vektor som står vinkelrett på linjen l, nemlig
⃗
vektoren n = [A, B].
⃗
Når vi skal finne likningen til en linje kan vi bruke at vektoren v = [b, −a] alltid står normalt
⃗
på u = [a, b].
Oppgave  Bevis dette!
Oppgave  Finn en likning til linjen som går gjennom punktene (, ) og (, ).
Oppgave  Finn vinkelen mellom linjene gitt ved x + y =  og x + y = .
⃗ ⃗
Oppgave  Vi har to vektorer u = [−, ] og v = [, ].
⃗⃗⃗
a) Tegn inn i et koordinatsystem vektorene a = u + t v for t = −, t = −, t = , t =  og t = 
b) Hvor kommer pilspissen for disse vektorene til å ligge ettersom t varierer?
⃗
c) Bestem t slik at a = . Forklar geometrisk hvorfor du får to løsninger.
Oppgave  Finn avstanden mellom linjene l og k gitt ved likningene y = x −  og y = x + .
Linjen l er gitt vet likningen y = x − . Finn avstanden fra linjen l til punktet
Oppgave 
P(−, ).


4. 3 Algebraiske kurver
En algebraisk kurve i planet er punktmengden (x, y) som tilfredstiller en polynomlikning
p(x, y) = 
der p(x, y) er et polynom i de to variablene x og y.
Eksempel  Likningn
x  + y = 
gir oss enhetssirkelen (på grunn av Den pytagoreiske læresetning).
Eksempel  Likningen x  + y =  er en parabel.
Eksempel  En sirkel med sentrum i (, ) og radius lik :

A = (x, y)


y−

S

x− B




       
− − −
−
−
Vi ser at lengden på katetene i trekanten på figuren over er henholdsvis x −  og y −  lange.
Hypotenusen er lik radien (), så Pytagoras setning gir oss at likningen for sirkelen er
(x − ) + (y − ) = 
Eksempel  Likninger på formen
x  y
=
+
a b


5. gir oss ellipser med fokuspunkt i (±c, ), der c = a  − b . Jorden går i ellipsebane rundt
solen, der solen er plassert i et av fokuspunktene.
d d
(−c, ) (c, )
Figur  Ellipse
En ellipse har den geometriske egenskapen at summen av avstandene fra et punkt på ellipsen
og til fokuspunktene er konstant. Det vil si at
d + d = konstant
Oppgave  Vis at følgende kurve er en parabel:
x =+t
y =  + t
Merk at ikke alle kurver er grafen til en funksjon!
Oppgave  (Denne kan gjøres med GeoGebra)
La linja l være gitt ved y =  og punktet R = (, ).
a) Tegn l og R i et koordinatsystem.
b) Tegn inn linjen m som går gjennom A = (x, ) og som står normalt på l (på tegningen
velger du en verdi for x). Finn koordinatene til midtpunktet B mellom A og R (uttrykt ved
x).
c) Midtnormalen til A og R skjærer m i punktet C = (x, y). Tegn inn! Finn vektorkoordinatene
→
til BC.
→→
d) Hva blir BC⋅ AR? Bruk dette til å finne en funksjonssammenheng mellom y og x. Hva kaller
vi slike funksjoner for?
3.1 Litt mer om sirkelen
Vi kan også finne en parameterframstilling for en sirkel. Minner først om definisjonen av sinus
og cosinus til en vinkel (gjerne større enn ○ ). Dersom vi tegner en sirkel med radius lik 


6. og sentrum i origo, så vil cos v og sin v for en vinkel v være koordinatene til skjæringspunktet
mellom sirkelen og linjen som danner vinkelen v med x-aksen:
(cos v, sin v) 
v

−
−
Figur  cos v og sin v er henholdsvis x- og y-koordinatene til skjæringspunktet mellom x-aksen og
vinkelbeinet som danner vinkelen v med x-aksen.
Vi får derforen parameterframstilling for enhetssirkelen:
x = cos t
y = sin t
Eksempel  Finn en parameterframstilling for sirkel med sentrum i (, ) og med radius .
Vi har at x  + y =  er en sirkel med sentrum i origo med radius lik . Dersom vi lar x =  cos t
og y =  sin t, så blir
x  + y = ( cos t) + ( sin t) = (cos t + sin t) = 
Altså er
x =  cos t
y =  sin t
en parameterframstilling for sirkelen.
Eksempel  Finn en parameterframstilling for en sirkel med sentrum i (, ) og med radius
lik .
Dersom vi lar x =  +  cos t og y =  +  sin t, så vil
(x − ) + (y − ) = 
Dette er likningen for en sirkel med sentrum i (, ) og med radius lik . Derfor har sirkelen
en parameterframstilling gitt ved:
x =  +  cos t
y =  +  sin t


7. 4 Vektorfunksjoner
Vi kan skrive en parameterframstilling som en vektor:
[x, y] = [x(t), y(t)]
I eksempel  så vi at linjen kan skrives på formen
[x, y] = [ + t,  + t]
Linjen består da av alle (x, y) du får når t varierer. Vi kan på en måte se på linjen som grafen til
en funksjon. I dette tilfellet er det funksjonen som til hvert tall t tilordner en vektor [+t, +t].
Linjen er da verdimengden til denne funksjonen. Vi må da huske på at det er en sammenheng
mellom vektorer og punkter i planet. Til et hvert punkt (a, b) kan vi lage en vektor [a, b] og
vice versa.
Eksempel  Vektorfunksjonen r er gitt ved ⃗(t) = [t  , t  ]. Vi kan tegne kurven som denne
r
vektorfunksjonen representerer ved å bruke kommandoen Kurve[t^2, t^3,t, -10, 10] i
GeoGebra. Vi får da følgende kurve:


  
− −
−
−
Slike vektorfunksjoner er ypperlige til å beskrive bevegelsen til et legeme.
Eksempel  Posisjonen til en ball som blir kastet skrått kan beskrives ved hjelp av vektor-
funksjonen
⃗(t) = [t, , + t − ,t ], t ∈ [, ,]
s
Her representerer parameteren t tiden etter kastet. Dersom vi tegner kurven som vi får når t
varierer, får vi noe slikt: følgende kurve:


8. 

  
−
4.1 Fars og akselerasjon
Dersom vi har oppgitt en vektorfunksjon ⃗(t) = [x(t), y(t)] som beskriver posisjonen til et
s
legeme, så kan vi finne gjennomsnittsfart
∆⃗(t)
s
∆t
På figuren under har vi tegnet inn ∆⃗ = ⃗(t + ∆t) − ⃗(t) for en vektorfunksjon ⃗(t):
ss s s
∆⃗(t)
s

⃗(t)
s
⃗(t + ∆t)
s

  
−
Vi ser at ∆⃗(t) = [∆ x (t), ∆ y(t)]. Fartsvektoren blir da:
⃗ ⃗
s
⃗ ⃗
[∆ x (t), ∆ y (t)]
⃗
v (t) = lim = lim [ ] = [x ′ (t), y′ (t)]
∆x(t) ∆y(t)
,
∆t ∆t ∆t
∆t→ ∆t→
Det vil si at vi deriverer koordinatfunksjonene. Tilsvarende får vi at akselerasjonen er gitt ved
⃗
a (t) = [x ′′ (t), y′′ (t)]
