1. Sannsynlighet
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
Sannsynlighet
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
Stord Vidaregåande skule
Våren 2009

2. Sannsynlighet
Stokastiske variable
Tor Espen
Kristensen
Eksempel 1
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

3. Sannsynlighet
Stokastiske variable
Tor Espen
Kristensen
Eksempel 1
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne.
Forventningsverdi
Vi kan regne ut sannsynligheten for de ulike verdiene til X. I
Varians og
standardavvik dette tilfellet er
Normalfordelingen
1
Sentralgrense- P(X = k) = For alle k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
setningen 6
Hypotesetesting

4. Sannsynlighet
Stokastiske variable
Tor Espen
Kristensen
Eksempel 1
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne.
Forventningsverdi
Vi kan regne ut sannsynligheten for de ulike verdiene til X. I
Varians og
standardavvik dette tilfellet er
Normalfordelingen
1
Sentralgrense- P(X = k) = For alle k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
setningen 6
Hypotesetesting
Vi kan føre dette opp i en tabell:
k 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
P(X = k) 6 6 6 6 6 6

5. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne.
Binomisk fordeling
Hva er P(X = k)?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

6. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne.
Binomisk fordeling
Hva er P(X = k)?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
123456
Sentralgrense-
setningen 1 2 3 4 5 6 7
Hypotesetesting
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

7. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne.
Binomisk fordeling
Hva er P(X = k)?
Forventningsverdi
Vi ser at
Varians og
standardavvik
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Normalfordelingen 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
P(X = k) 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting 123456
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

8. Sannsynlighet
Grafisk framstilling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 0,15
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik 0,10
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen 0,05
Hypotesetesting
2 4 6 8 10 12

9. Sannsynlighet
Grafisk framstilling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 0,15
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik 0,10
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen 0,05
Hypotesetesting
2 4 6 8 10 12
Hva er P(X 4)?

10. Sannsynlighet
Grafisk framstilling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 0,15
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik 0,10
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen 0,05
Hypotesetesting
2 4 6 8 10 12
Hva er P(X 4)?
P(X 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
2 3 4 9 1
= + + = =
36 36 36 36 4

11. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

12. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik k 0 1 2
Normalfordelingen P(X = k)
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

13. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik k 0 1 2
1 2 1
Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

14. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik k 0 1 2
1 2 1
Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
0,5 KM
0,25 MM MK KK
0 1 2

15. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske
Stokastiske variable variabel:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron.
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

16. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske
Stokastiske variable variabel:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron.
Varians og
standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
k Utfall P(X = k)
Hypotesetesting 0
1
2
3

17. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske
Stokastiske variable variabel:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron.
Varians og
standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
k Utfall P(X = k)
Hypotesetesting 0 MMM
1 KMM, MKM, MMK
2 KKM, KMK, MKK
3 KKK

18. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske
Stokastiske variable variabel:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron.
Varians og
standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
k Utfall P(X = k)
Hypotesetesting 0 MMM 1/8 = 0,125
1 KMM, MKM, MMK 3/8 = 0,375
2 KKM, KMK, MKK 3/8 = 0,375
3 KKK 1/8 = 0,125

19. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Eksempel
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster ti terninger og lar X = antall enere.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

20. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Eksempel
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Du kaster ti terninger og lar X = antall enere.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Minner om følgende: dersom vi gjør et forsøk n ganger, og
Normalfordelingen
det er samme sannsynlighet p for suksess hver gang, så har
Sentralgrense-
vi et binomisk forsøk med sannsynlighetsfordeling gitt ved
setningen
Hypotesetesting n k
P(X = k) = p (1 − p)n−k
k
Vi kan føre dette opp i en tabell!

21. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable k P(X = k) P(X k)
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
0 0,162 0,162
Varians og
1 0,323 0,485
standardavvik 2 0,291 0,775
Normalfordelingen
3 0,155 0,930
Sentralgrense-
setningen 4 0,0543 0,985
Hypotesetesting 5 0,0130 0,998
6 0,00217 1,000
7 0,000248 1,000
8 0,0000186 1,000
9 0,000000827 1,000
10 0,0000000165 1,000

22. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 0,400
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense- 0,200
setningen
Hypotesetesting
f = 1,00
1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

23. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for å få minst 4 enere?
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og k P(X = k) P(X k)
standardavvik
Normalfordelingen 0 0,162 0,162
Sentralgrense- 1 0,323 0,485
setningen
Hypotesetesting
2 0,291 0,775
3 0,155 0,930
4 0,0543 0,985
5 0,0130 0,998
6 0,00217 1,000
7 0,000248 1,000
8 0,0000186 1,000
9 0,000000827 1,000
10 0,0000000165 1,000

24. Sannsynlighet
Binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for å få minst 4 enere?
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og k P(X = k) P(X k)
standardavvik
Normalfordelingen 0 0,162 0,162 P(X 4)
Sentralgrense- 1 0,323 0,485 = 1 − P(X 3)
setningen
2 0,291 0,775
Hypotesetesting
3 0,155 0,930 = 1 − 0,93
4 0,0543 0,985 = 0,07
5 0,0130 0,998
6 0,00217 1,000
7 0,000248 1,000
8 0,0000186 1,000
9 0,000000827 1,000
10 0,0000000165 1,000

25. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for
Forventningsverdi
at minst 9 frø spirer?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

26. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for
Forventningsverdi
at minst 9 frø spirer?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense- k P(X = k) P(X k)
setningen
Hypotesetesting
1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9
2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8
3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7
4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6
5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5
6 0,000218 0,000261
7 0,001018 0,001279
8 0,003859 0,005138
.
. .
. .
.
. . .

27. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for
Forventningsverdi
at minst 9 frø spirer?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen P(X 9)
Sentralgrense- k P(X = k) P(X k)
setningen
Hypotesetesting
1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9
2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8
3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7
4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6
5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5
6 0,000218 0,000261
7 0,001018 0,001279
8 0,003859 0,005138
.
. .
. .
.
. . .

28. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for
Forventningsverdi
at minst 9 frø spirer?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen P(X 9)
Sentralgrense- k P(X = k) P(X k)
setningen = 1 − P(X 8)
Hypotesetesting
1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9 = 1 − 0,005138
2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8
= 0,9948
3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7
4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6 ≈ 99%
5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5
6 0,000218 0,000261
7 0,001018 0,001279
8 0,003859 0,005138
.
. .
. .
.
. . .

29. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for at minst 15 frø skal spire?
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

30. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for at minst 15 frø skal spire?
Binomisk fordeling
Her er det absolutt en fordel å bruke et digitalt verktøy. I
Forventningsverdi
dette tilfellet er det enklest å bruke wxMaxima.
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

31. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) =

32. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85

33. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85
b) P(X < 38) =

34. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85
b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40

35. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85
b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40
c) P(37 X 39) =

36. Sannsynlighet
Oppgave 5.3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en
Binomisk fordeling
tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt
Forventningsverdi ved tabellen:
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
k 36 37 38 39 40
Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05
setningen
Hypotesetesting
a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85
b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40
c) P(37 X 39) = 0,30 + 0,35 + 0,20 = 0,85

37. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at
Stokastiske variable disse fordelte seg slik:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
antall pastiller 36 37 38 39 40
standardavvik
Normalfordelingen
Frekvens 11 28 33 25 3
Sentralgrense-
setningen Hva blir da gjennomsnittet?
Hypotesetesting

38. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at
Stokastiske variable disse fordelte seg slik:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
antall pastiller 36 37 38 39 40
standardavvik
Normalfordelingen
Frekvens 11 28 33 25 3
Sentralgrense-
setningen Hva blir da gjennomsnittet?
Hypotesetesting
36 · 11 + 37 · 28 + 38 · 33 + 39 · 25 + 40 · 3
100
11 28 33 25 3
= 36 · + 37 · + 38 · + 39 · + 40 ·
100 100 100 100 100
= 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40)

39. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at
Stokastiske variable disse fordelte seg slik:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
antall pastiller 36 37 38 39 40
standardavvik
Normalfordelingen
Frekvens 11 28 33 25 3
Sentralgrense-
setningen Hva blir da gjennomsnittet?
Hypotesetesting
36 · 11 + 37 · 28 + 38 · 33 + 39 · 25 + 40 · 3
100
11 28 33 25 3
= 36 · + 37 · + 38 · + 39 · + 40 ·
100 100 100 100 100
= 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40)
Dersom vi hadde økt antall esker, så vil etter hvert den
relative frekvensen gå mot sannsynligheten for det gitt
antall esker.

40. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40)
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Når n blir stor vil rn (k) → P(X = k). I det lange løp forventer
Normalfordelingen
Sentralgrense-
vi derfor at snittet på antall pastiller i eskene er
setningen
Hypotesetesting 36·0,11 + 37 · 0,28 + 38 · 0,33 + 39 · 0,25 + 40 · 0,03
= 37,8

41. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40)
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Når n blir stor vil rn (k) → P(X = k). I det lange løp forventer
Normalfordelingen
Sentralgrense-
vi derfor at snittet på antall pastiller i eskene er
setningen
Hypotesetesting 36·0,11 + 37 · 0,28 + 38 · 0,33 + 39 · 0,25 + 40 · 0,03
= 37,8
Forventning
La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier
x1 , x2 , . . . , xm . Forventningsverdien til X er gitt ved
µ = E(X) = x1 · P(X = x1 ) + . . . + xm · P(X = xm )

42. Sannsynlighet
Forventningsverdi
Tor Espen
Kristensen
De store talls lov
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Vi har et tilfeldig forsøk med en stokastisk variabel X. Hvis vi
Forventningsverdi gjentar forsøket mange ganger, vil gjennomsnittet av
Varians og verdiene til X nærme seg forventningsverdien µ = E(X).
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

43. Sannsynlighet
Eksempel 1
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hvor mange kron kan vi forvente oss når vi kaster to
Binomisk fordeling
mynter?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
k 0 1 2
1 2 1
Normalfordelingen
P(X = k) 4 4 4
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

44. Sannsynlighet
Eksempel 1
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hvor mange kron kan vi forvente oss når vi kaster to
Binomisk fordeling
mynter?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
k 0 1 2
1 2 1
Normalfordelingen
P(X = k) 4 4 4
Sentralgrense-
setningen
1 2 1
Hypotesetesting E(X) = 0 · +1· +2· =1
4 4 4

45. Sannsynlighet
Eksempel 2
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en
Binomisk fordeling
terning 10 ganger?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

46. Sannsynlighet
Eksempel 2
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en
Binomisk fordeling
terning 10 ganger?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
10
Normalfordelingen
E(X) = k · P(X = k)
Sentralgrense-
setningen k=0
Hypotesetesting = 0 · 0,162 + 1 · 0,323 + 2 · 0,291 + 3 · 0,155
+ 4 · 0,0543 + 5 · 0,0130
+ 6 · 0, 00217 + 7 · 0, 000248 + 8 · 0,0000186
+ 9 · 0, 000000827 + 10 · 0, 0000000165
= 1,67

47. Sannsynlighet
Eksempel 2
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en
Binomisk fordeling
terning 10 ganger?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
10
Normalfordelingen
E(X) = k · P(X = k)
Sentralgrense-
setningen k=0
Hypotesetesting = 0 · 0,162 + 1 · 0,323 + 2 · 0,291 + 3 · 0,155
+ 4 · 0,0543 + 5 · 0,0130
+ 6 · 0, 00217 + 7 · 0, 000248 + 8 · 0,0000186
+ 9 · 0, 000000827 + 10 · 0, 0000000165
= 1,67
Kunne vi ikke også tenke slik: siden det er 1 sannsynlighet
6
for å få en ener ved ett kast (kan forvente ener i 1/6 av alle
kast), så kan vi forvente 10/6 ≈ 1,67 enere ved ti kast.

48. Sannsynlighet
Eksempel 2
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
E(X) = 1,67
Varians og 0,4
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

49. Sannsynlighet
Forventning ved binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Forventning ved binomisk fordelign
Binomisk fordeling Dersom X er binomisk fordelt ned sannsynlighet p for
Forventningsverdi suksess i hvert delforsøk, så er forventningsverdien gitt ved
Varians og
standardavvik
E(X) = n · p
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

50. Sannsynlighet
Forventning ved binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Forventning ved binomisk fordelign
Binomisk fordeling Dersom X er binomisk fordelt ned sannsynlighet p for
Forventningsverdi suksess i hvert delforsøk, så er forventningsverdien gitt ved
Varians og
standardavvik
E(X) = n · p
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Eksempel
Hypotesetesting
Dersom vi kaster en mynt 20 ganger og lar X = antall
ganger vi får kron, så er X binomisk fordelt med n = 20 og
p = 0,5.
E(X) = np = 20 · 0,5 = 10

51. Sannsynlighet
Eksempel 3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250
Binomisk fordeling
kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når
Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i
Varians og tabellen:
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
189 54 12 1
Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256
Hvor mye bør ett spill koste?

52. Sannsynlighet
Eksempel 3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250
Binomisk fordeling
kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når
Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i
Varians og tabellen:
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
189 54 12 1
Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256
Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien?

53. Sannsynlighet
Eksempel 3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250
Binomisk fordeling
kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når
Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i
Varians og tabellen:
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
189 54 12 1
Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256
Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien?
189 54 12 1
E(X) = 0 · + 20 · + 50 · + 250 ·
256 256 256 256
= 7,54

54. Sannsynlighet
Eksempel 3
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250
Binomisk fordeling
kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når
Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i
Varians og tabellen:
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
189 54 12 1
Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256
Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien?
189 54 12 1
E(X) = 0 · + 20 · + 50 · + 250 ·
256 256 256 256
= 7,54
Ett spill bør koste mer enn kr 7,54. Kanskje ti kroner ville
være lurt!

55. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
I to klasser var resultatet på en prøve som vist i
Stokastiske variable frekvenstabellen under.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
karakter: 1 2 3 4 5 6
standardavvik
Normalfordelingen
klasse 1: 2 5 3 3 2 5
Sentralgrense-
klasse 2: 1 1 5 10 3 0
setningen
Hypotesetesting
I begge klassene var gjennomsnittet 3,65.
10
6
5 8
4 6
3
4
2
1 2
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

56. Sannsynlighet
Mål for spredning
Tor Espen
Kristensen
Vi ser at det er større spredning i karakterene i den ene
Stokastiske variable klassen i forhold til den andre. Begge har gjennomsnitt på
Binomisk fordeling 3,65.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

57. Sannsynlighet
Mål for spredning
Tor Espen
Kristensen
Vi ser at det er større spredning i karakterene i den ene
Stokastiske variable klassen i forhold til den andre. Begge har gjennomsnitt på
Binomisk fordeling 3,65.
Forventningsverdi
Varians og Vi kunne regnet ut alle avvikene 3,65 − x og lagt de
standardavvik
sammen. Men dette ville summert til null! En annen måte er
Normalfordelingen å summere alle kvadratavvikene og dele på antall
Sentralgrense- observasjoner:
setningen
Hypotesetesting (3,65 − 1)2 + (3,65 − 1)2 + (3,65 − 2)2 + (3,65 − 2)2 + (3,65 − 2)2 + . . . (3,65 − 6)2
= 3,03
20
Dette fungerer fint og gir et bra mål på spredningen. For
den andre klassen blir dette 0,9275. Vi kaller dette tallet for
variansen og noterer det Var(X)
Merk: I Excel skal du bruke funksjonen VARIANSP() når du
skal beregne varians over en hel populasjon.

58. Sannsynlighet
Varians
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
x fi (xi − ¯)
x fi · (xi − ¯)
x (xi − ¯)2
x
Binomisk fordeling
Forventningsverdi 1 2 1 − 3, 65 = −2,66 −5,3 (1 − 3, 65)2
Varians og 2 5 2 − 3, 65 = −1,65 −8,25 (2 − 3, 65)2
standardavvik 3 3 3 − 3, 65 = −0,65 −1,95 (3 − 3, 65)2
Normalfordelingen 4 3 4 − 3, 65 = 0, 35 1,05 (4 − 3, 65)2
Sentralgrense- 5 2 5 − 3, 65 = 1,35 2,7 (5 − 3, 65)2
setningen
6 6 6 − 3, 65 = 2,35 11,75 (6 − 3, 65)2
Hypotesetesting
Sum: 0

59. Sannsynlighet
Varians
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
x fi (xi − ¯)
x fi · (xi − ¯)
x (xi − ¯)2
x
Binomisk fordeling
Forventningsverdi 1 2 1 − 3, 65 = −2,66 −5,3 (1 − 3, 65)2
Varians og 2 5 2 − 3, 65 = −1,65 −8,25 (2 − 3, 65)2
standardavvik 3 3 3 − 3, 65 = −0,65 −1,95 (3 − 3, 65)2
Normalfordelingen 4 3 4 − 3, 65 = 0, 35 1,05 (4 − 3, 65)2
Sentralgrense- 5 2 5 − 3, 65 = 1,35 2,7 (5 − 3, 65)2
setningen
6 6 6 − 3, 65 = 2,35 11,75 (6 − 3, 65)2
Hypotesetesting
Sum: 0
n n
1 fi
Var(X) = fi · (xi − ¯)2 =
x (xi − ¯)2
x
n n
i=0 i=0
n
= P(X = xi ) · (xi − ¯)2
x
i=0

60. Sannsynlighet
Varians
Tor Espen
Kristensen
Varians
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier
Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert
Varians og som
standardavvik
Normalfordelingen
Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm )
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

61. Sannsynlighet
Varians
Tor Espen
Kristensen
Varians
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier
Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert
Varians og som
standardavvik
Normalfordelingen
Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm )
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting Finn variansen til følgende sannsynlighetsfordeling:
k 0 1 2
1 2 1
P(X = k) 4 4 4

62. Sannsynlighet
Varians
Tor Espen
Kristensen
Varians
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier
Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert
Varians og som
standardavvik
Normalfordelingen
Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm )
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting Finn variansen til følgende sannsynlighetsfordeling:
k 0 1 2
1 2 1
P(X = k) 4 4 4
Her er µ = 1 og
1 2 1 3
Var(X) = (0 − 1)2 · + (1 − 1)2 · + (2 − 1)2 · =
2 4 4 4

63. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
standardavvik 189 54 12 1
P(X = k) 256 256 256 256
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

64. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
standardavvik 189 54 12 1
P(X = k) 256 256 256 256
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Her er µ = 7,54.
Hypotesetesting

65. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250
standardavvik 189 54 12 1
P(X = k) 256 256 256 256
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen Her er µ = 7,54.
Hypotesetesting
189 54 12 1
var(X) = (7,54)2 · + (12,46)2 · + (42,46)2 · + (242,56)2 ·
256 256 256 256
= 389,1

66. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn variansen til antall enere når du kaster 10 terninger.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

67. Sannsynlighet
Oppgave
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn variansen til antall enere når du kaster 10 terninger.
Binomisk fordeling 1
Siden dette er et binomisk forsøk med p = 6 i hvert
Forventningsverdi
delforøk, så vil
Varians og
standardavvik
1 5
Normalfordelingen E(X) = np = 10 · =
Sentralgrense-
6 3
setningen
Hypotesetesting Bruker et digitalt verktøy til å regne ut variansen, for
eksempel Excel:
10 i 10−i
5 2 10 1 5
Var(X) = i− 3 ·
i 6 6
i=0
125 25
= 1,388 . . . = =
90 18

68. Sannsynlighet
Standardavvik
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Definisjon
Binomisk fordeling Vi definerer standardavviket SD(X) til å være kvadratroten
Forventningsverdi av variansen:
Varians og SD(X) = Var(x)
standardavvik
Normalfordelingen Ofte blir også den greske bokstaven σ (utales «sigma» – det
Sentralgrense-
setningen
er en liten Σ) brukt om standardavviket.
Hypotesetesting

69. Sannsynlighet
Varians til binomisk fordeling
Tor Espen
Kristensen
Teorem
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Dersom X er en binomisk fordelt stokastisk variabel med
Forventningsverdi sannsynlighet p for suksess i hvert enkeltforsøk og at vi gjør
Varians og gjør n slike forsøk. Da gjelder:
standardavvik
Normalfordelingen
E(X) = np
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
SD(X) = Var(x) = np(1 − p)
Kvadratroten av variansen kaller vi for standardavviket til X.
Argument for dette

70. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn standardavvik og varians til X = antall enere etter ti
Binomisk fordeling
kast med en terning.
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

71. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Finn standardavvik og varians til X = antall enere etter ti
Binomisk fordeling
kast med en terning.
Forventningsverdi 1
Her er n = 10 og p = 6 Vi får derfor
Varians og
standardavvik
1 5 25
Normalfordelingen
Var(X) = np(1 − p) = 10 · · =
Sentralgrense- 6 6 18
setningen
Hypotesetesting Standardavviket er
25
SD(X) = Var(X) = ≈ 1,18
18
Se tidligere eksempel

72. Sannsynlighet
Litt mer om fordelinger
Tor Espen
Kristensen
Så langt har vi møtt to spesiell fordelinger. Den ene er
Stokastiske variable uniform sannsynlighet (alle utfall er like sannsynlige).
Binomisk fordeling
Forventningsverdi Eksempel
Varians og
standardavvik
En slik fordeling får vi om vi kaster en terning og lar X =
Normalfordelingen
antall øyne. Da er P(X = k) = 1 uansett verdi for k.
6
Sentralgrense-
setningen Grafisk kan vi illustrere dette slik:
Hypotesetesting
0,1
1 2 3 4 5 6

73. Sannsynlighet
Litt mer om fordelinger
Tor Espen
Kristensen
En anne type fordeling vi har møtt er binomisk fordeling.
Stokastiske variable Denne er gitt ved
Binomisk fordeling
n k
Forventningsverdi
P(X = k) = p (1 − p)n−k
Varians og k
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense- Eksempel
setningen
Hypotesetesting
På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med tre alternativer
til hvert oppgave. Kun ett av alternativene er riktig. La X =
antall rikige svar en elev får som svarer vilkårlig. Da er X
binomisk fordelt med p = 1 og n = 10.
3
Grafisk kan vi illustrere denne binomiske fordelingen slik:
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

74. Sannsynlighet
Normafordelingen
Tor Espen
Kristensen
Noen eksempler
Stokastiske variable
Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på
Binomisk fordeling
trærne i en park, vil en finne få meget små blader,
Forventningsverdi
mange middels og få meget store blader.
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

75. Sannsynlighet
Normafordelingen
Tor Espen
Kristensen
Noen eksempler
Stokastiske variable
Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på
Binomisk fordeling
trærne i en park, vil en finne få meget små blader,
Forventningsverdi
mange middels og få meget store blader.
Varians og
standardavvik
Dersom det fiskes 1000 fisker i en fangst og en måler
Normalfordelingen
vekten av dem, vil en finne få meget små fisk, mange
Sentralgrense-
setningen middels store og få meget store fisker.
Hypotesetesting

76. Sannsynlighet
Normafordelingen
Tor Espen
Kristensen
Noen eksempler
Stokastiske variable
Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på
Binomisk fordeling
trærne i en park, vil en finne få meget små blader,
Forventningsverdi
mange middels og få meget store blader.
Varians og
standardavvik
Dersom det fiskes 1000 fisker i en fangst og en måler
Normalfordelingen
vekten av dem, vil en finne få meget små fisk, mange
Sentralgrense-
setningen middels store og få meget store fisker.
Hypotesetesting Dersom vi måler kropshøyden til 1000 personer, vil noe
få være lave, mange middels høye og noen få ganske
lange.

77. Sannsynlighet
Normafordelingen
Tor Espen
Kristensen
Viser her til eksempelet med fødselsvekt til 500 gutter.
Stokastiske variable
Binomisk fordeling X = vekten til en nyfødt gutt
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen Vekt (i kg) Antall Relativ frekvens
Sentralgrense-
setningen [1,5, 2,0 2 0,004
Hypotesetesting [2,0, 2,5 4 0,008
[2,5, 3,0 39 0,078
[3,0, 3,5 166 0,332
[3,5, 4,0 179 0,358
[4,0, 4,5 90 0,180
[4,5, 5,0 18 0,036
[5,0, 5,5 2 0,004
Sum 500 1,000

78. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,8
Stokastiske variable 0,7
Binomisk fordeling 0,6
Forventningsverdi
0,5
0,4
Varians og
standardavvik 0,3
Normalfordelingen
0,2
0,1 Vekt i kg
Sentralgrense-
setningen
1 2 3 4 5 6
Hypotesetesting

79. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,8
Stokastiske variable 0,7
Binomisk fordeling 0,6
Forventningsverdi
0,5
0,4
Varians og
standardavvik 0,3
Normalfordelingen
0,2
0,1 Vekt i kg
Sentralgrense-
setningen
1 2 3 4 5 6
Hypotesetesting
Hva er P(2,5 X < 3,5)?

80. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,8
Stokastiske variable 0,7
Binomisk fordeling 0,6
Forventningsverdi
0,5
0,4
Varians og
standardavvik 0,3
Normalfordelingen
0,2
0,1 Vekt i kg
Sentralgrense-
setningen
1 2 3 4 5 6
Hypotesetesting
Hva er P(2,5 X < 3,5)?
Arealet av de mørke søylene er 0,078 + 0,332 = 0,0410.

81. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,7
Stokastiske variable 0,6
Binomisk fordeling 0,5
Forventningsverdi 0,4
Varians og
standardavvik
0,3
Normalfordelingen 0,2
Sentralgrense- 0,1
setningen Vekt i kg
Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7

82. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,7
Stokastiske variable 0,6
Binomisk fordeling 0,5
Forventningsverdi 0,4
Varians og
standardavvik
0,3
Normalfordelingen 0,2
Sentralgrense- 0,1
setningen Vekt i kg
Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7

83. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,7
Stokastiske variable 0,6
Binomisk fordeling 0,5
Forventningsverdi 0,4
Varians og
standardavvik
0,3
Normalfordelingen 0,2
Sentralgrense- 0,1
setningen Vekt i kg
Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7
Funksjonen som passer inn med historgramsøylene kalles
fordelingens tetthetsfunksjon. De normalfordelte
fordelingene har følgende tetthetsfunksjon:
1 (x−µ)2
f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π

84. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
0,7
Stokastiske variable 0,6
Binomisk fordeling 0,5
Forventningsverdi 0,4
Varians og
standardavvik
0,3
Normalfordelingen 0,2
Sentralgrense- 0,1
setningen Vekt i kg
Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7
3,5
P(2,5 < X < 3,5) = f (x) dx
2,5

85. Sannsynlighet
Normalfordelingsfunksjonen
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Definisjon
Binomisk fordeling Vi ser at en stokastisk variabel X er normalfordelt med
Forventningsverdi forventningsverdi µ og standardavvik σ hvis den har
Varians og tetthetsfunksjon på formen
standardavvik
Normalfordelingen
1 (x−µ)2
Sentralgrense- f (x) = √ e− 2σ2
setningen σ 2π
Hypotesetesting

86. Sannsynlighet
Normalfordelingsfunksjonen
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Definisjon
Binomisk fordeling Vi ser at en stokastisk variabel X er normalfordelt med
Forventningsverdi forventningsverdi µ og standardavvik σ hvis den har
Varians og tetthetsfunksjon på formen
standardavvik
Normalfordelingen
1 (x−µ)2
Sentralgrense- f (x) = √ e− 2σ2
setningen σ 2π
Hypotesetesting
Hva tror du følgende integral blir lik?
∞
f (x) dx
−∞

87. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f ,
Stokastiske variable så er
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
b
Varians og
P(a < X < b) = f (x) dx
standardavvik a
Normalfordelingen
Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne.
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

88. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f ,
Stokastiske variable så er
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
b
Varians og
P(a < X < b) = f (x) dx
standardavvik a
Normalfordelingen
Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne.
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
Eksempel
I eksempelet med vekten til nyfødte gutter, er µ = 3,62 og
σ = 0,50. Bruk normalfordelingsfunksjonen og et digitalt
verktøy til å beregne P(2,5 < X < 3,5).

89. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f ,
Stokastiske variable så er
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
b
Varians og
P(a < X < b) = f (x) dx
standardavvik a
Normalfordelingen
Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne.
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
Eksempel
I eksempelet med vekten til nyfødte gutter, er µ = 3,62 og
σ = 0,50. Bruk normalfordelingsfunksjonen og et digitalt
verktøy til å beregne P(2,5 < X < 3,5).
Normalfordelingsfunksjonen blir
1 (x−µ)2 1 2 2
f (x) = √ e− 2σ2 = √ e−(x−3,62) /(2·0,50 )
σ 2π 2π · 0,50

90. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Vi skal finne
Stokastiske variable
3,5
1 2 2
Binomisk fordeling
√ e−(x−3,62) /(2·0,50 ) dx
Forventningsverdi 2,5 2π · 0,50
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

91. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Vi skal finne
Stokastiske variable
3,5
1 2 2
Binomisk fordeling
√ e−(x−3,62) /(2·0,50 ) dx
Forventningsverdi 2,5 2π · 0,50
Varians og
standardavvik I GeoGebra kan du skrive inn funksjonen. Husk parenteser
Normalfordelingen
her og der! Bruk så kommandoen integral[f, 2.5, 3.5] og få
Sentralgrense-
setningen 0,393 ≈ 0,4.
Hypotesetesting

92. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

93. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
√
Normalfordelingen Vi har µ = 100 og σ = 225 = 15. Vi skal altså finne
Sentralgrense-
setningen ∞
1 2
Hypotesetesting P(X 130) = √ e−(x−100) /(2·225) dx
130 2π · 15

94. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
√
Normalfordelingen Vi har µ = 100 og σ = 225 = 15. Vi skal altså finne
Sentralgrense-
setningen ∞
1 2
Hypotesetesting P(X 130) = √ e−(x−100) /(2·225) dx
130 2π · 15
GeoGebra gir oss at dette blir 0,0228 ≈ 0,023.
Merk: Du kan ikke sette inn ∞ i GeoGebra. Du må velge
passe stort tall. F.eks. 1000.

95. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Sannsynlighet i normalfordeling
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

96. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Sannsynlighet i normalfordeling
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Dersom vi har en stokastisk variabel X med forventning µ
Forventningsverdi
og standardavvik σ, så kan vi la
Varians og
standardavvik G(z) = P(X < µ + zσ)
Normalfordelingen
Sentralgrense- Det viser seg at dersom X er normalfordelt, så er denne
setningen
Hypotesetesting
funksjonen kun er avhengig av z (og ikke σ og µ.)

97. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen X−µ
Dersom vi nå skifter ut X med Z = σ , så vil
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
P(X < µ + zσ) = P(Z < z)
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Den nye variabelen Z blir normalfordelt med
Normalfordelingen
forventningsverdi E(Z) = 0 og standardavvik SD(Z) = 1.
Sentralgrense- Tetthetsfunksjonen til Z blir derfor:
setningen
Hypotesetesting 1 2
f (z) = √ e−z /2
2π

98. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen X−µ
Dersom vi nå skifter ut X med Z = σ , så vil
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
P(X < µ + zσ) = P(Z < z)
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Den nye variabelen Z blir normalfordelt med
Normalfordelingen
forventningsverdi E(Z) = 0 og standardavvik SD(Z) = 1.
Sentralgrense- Tetthetsfunksjonen til Z blir derfor:
setningen
Hypotesetesting 1 2
f (z) = √ e−z /2
2π
Vi har med andre ord:
z
P(X < µ + zσ) = P(Z < z) = f (z) dz
−∞
Dette intergralet finner vi verdien av ved å bruke tabellen
på side 214.

99. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

100. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
X−µ X−100
Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
X > 130 ⇔ Z>2

101. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
X−µ X−100
Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
X > 130 ⇔ Z>2
Det vil si
P(X > 130) = P(Z > 2)

102. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med
Binomisk fordeling
at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha
Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en
Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa?
standardavvik
X−µ X−100
Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
X > 130 ⇔ Z>2
Det vil si
P(X > 130) = P(Z > 2) = 1 − P(Z 2)
Vi slår opp i tabellen på side 214 og finner at
P(Z 2) = 0,9772. Derfor blir
P(X > 130) = 1 − 0,9772 = 0,0228 ≈ 2%

103. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har
Binomisk fordeling
en IQ mellom 90 og 110?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

104. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har
Binomisk fordeling
en IQ mellom 90 og 110?
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik 90 < X < 110 ⇔ −0,67 < Z < 0,67
Normalfordelingen
Sentralgrense-
Finner P(Z < −0,67) og P(Z < 0,67). Da er
setningen
Hypotesetesting P(−0,67 < Z < 0,67) = P(Z < 0,67) − P(Z < −0,67)
Tabellen gir oss
P(Z < −0,667) = 0,2514
P(Z < 0,667) = 0,7486
Derfor blir
P(−0,67 < Z < 0,67) = 0,7486 − 0,2514 = 0,4972 ≈ 50%

105. Sannsynlighet
Tor Espen
Normalfordeling med digitale verktøy
Kristensen Excel:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

106. Sannsynlighet
Tor Espen
Normalfordeling med digitale verktøy
Kristensen GeoGebra:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

107. Sannsynlighet
Tor Espen
Normalfordeling med digitale verktøy
Kristensen TI-InerActive!:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

108. Sannsynlighet
Tor Espen
Normalfordeling med digitale verktøy
Kristensen wxMaxima:
Stokastiske variable
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

109. Sannsynlighet
Normalfordeling
Tor Espen
Kristensen
Eksempler på bruk av tabellen
Stokastiske variable
Eksempler av typen P(a < X < b).
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Eksempler på bruk av GeoGebra og Excel
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

110. Sannsynlighet
Sentralgrensesetningen
Tor Espen
Kristensen
Sentralgrensesetningen
Stokastiske variable
Binomisk fordeling Dersom X1 , X2 , . . . , Xn er uavhengige og identisk fordelte
Forventningsverdi stokastiske variable med forventning µ og standaravvik σ,
Varians og så er
standardavvik
X = X1 + X2 + . . . + Xn
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(X) = nµ
√
Hypotesetesting
og standardavvik SD(X) = nσ.
Denne tilnærmingen blir bedre dess større n er.

111. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
La oss se på eksempelet der vi ser på vekten av
Stokastiske variable guttebabyer. La Xi være vekten til barn nr i som ble født et
Binomisk fordeling år. Vi kan da anta at X1 , X2 ,. . . alle er uavhengig av hverandre
Forventningsverdi
med forventning µ = 3,62 og σ = 0,50.
Varians og
standardavvik
100
Normalfordelingen
X= Xi
Sentralgrense-
setningen i=1
Hypotesetesting
er da tilnærmet normalfordelt med forventning
√
E(X) = 100 · 3,62 = 362 og standardavvik 100 · 0,50 = 5,0.

112. Sannsynlighet
Tor Espen
Begrunnelse for forventningen og
Kristensen
standardavviket
Stokastiske variable
La X1 , X2 , . . . , Xn være uavhengige stokastiske variable og
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
X = X1 + X2 + . . . + Xn . Da blir
Varians og n
standardavvik
Normalfordelingen
E(X) = xi P(X = xi )
Sentralgrense-
i=1
setningen n
Hypotesetesting = (xi P(X1 + X2 + . . . + Xn = xi ))
i=1
n
= (xi P(X1 = xi ) + . . . + xi P(Xn = xi ))
i=1
n n
= xi P(X1 = xi ) + . . . + xn P(Xn = xn )
i=1 i=1
= µ + µ + . . . + µ = nµ

113. Sannsynlighet
Tor Espen
Begrunnelse for forventningen og
Kristensen
standardavviket
Stokastiske variable
Tilsvarende får vi:
Binomisk fordeling
n
Forventningsverdi
Varians og
Var(X) = (xi − µ)2 P(X = xi )
standardavvik i=1
Normalfordelingen n
Sentralgrense- = (xi − µ)2 P(X1 + . . . + Xn = xi )
setningen i=1
Hypotesetesting n
= (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xi − µ)2 P(Xn = xi ))
i=1
n n
= (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xn − µ)2 P(Xn = xi )
i=1 i=1
2 2 2 2
= σ + σ + . . . + σ = nσ

114. Sannsynlighet
Tor Espen
Begrunnelse for forventningen og
Kristensen
standardavviket
Stokastiske variable
Tilsvarende får vi:
Binomisk fordeling
n
Forventningsverdi
Varians og
Var(X) = (xi − µ)2 P(X = xi )
standardavvik i=1
Normalfordelingen n
Sentralgrense- = (xi − µ)2 P(X1 + . . . + Xn = xi )
setningen i=1
Hypotesetesting n
= (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xi − µ)2 P(Xn = xi ))
i=1
n n
= (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xn − µ)2 P(Xn = xi )
i=1 i=1
2 2 2 2
= σ + σ + . . . + σ = nσ
√ √
Dette gir oss SD(X) = Var(X) = nσ2 = nσ

115. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
I stede for å se på summen av variablene
Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi 1
X= (X1 + X2 + . . . + Xn )
Varians og n
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

116. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
I stede for å se på summen av variablene
Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi 1
X= (X1 + X2 + . . . + Xn )
Varians og n
standardavvik
Normalfordelingen Da sier sentralgrensesetningen at X er tilnærmet
Sentralgrense-
setningen
normalfordelt med
Hypotesetesting σ
E(X) = µ og SD(X) = √
n

117. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
I stede for å se på summen av variablene
Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet:
Binomisk fordeling
Forventningsverdi 1
X= (X1 + X2 + . . . + Xn )
Varians og n
standardavvik
Normalfordelingen Da sier sentralgrensesetningen at X er tilnærmet
Sentralgrense-
setningen
normalfordelt med
Hypotesetesting σ
E(X) = µ og SD(X) = √
n
I eksempelet med vekten til de nyfødte guttene får vi
0,5
E(X) = 3,65 og SD(X) = √ = 0,05
100

118. Sannsynlighet
Tor Espen
Sentralgrensesetningen og binomiske
Kristensen
fordelinger
Stokastiske variable
La X være binomisk fordelt og anta av vi gjør forsøket n
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
ganger. Da vil X være tilnærmet normalfordelt med
Varians og
standardavvik
√
E(X) = np og SD(X) = nσ = np(1 − p)
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Her kan vi tenke oss at vi deler X opp i X1 , X2 , . . . , Xn , der
Hypotesetesting
Xi = 1 dersom vi har suksess i forsøk nr i og 0 ellers.
Da har alle Xi samme forventning µ = p og standardavvik
σ = 1 · p(1 − p) = p(1 − p)

119. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
La oss se på eksempelet med frø som spirer. Det er 70%
Binomisk fordeling sannsynlighet for at et frø skal spire. Dersom vi sår 100 frø.
Forventningsverdi Hva er da sannsynligheten for at høyst 60 spirer?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

120. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
La oss se på eksempelet med frø som spirer. Det er 70%
Binomisk fordeling sannsynlighet for at et frø skal spire. Dersom vi sår 100 frø.
Forventningsverdi Hva er da sannsynligheten for at høyst 60 spirer?
Varians og
standardavvik Vi kan se på dette som 100 uavhengige delforsøk med X lik
Normalfordelingen summen av antall frø som spirer i hvert delforsøk. Vi får da
Sentralgrense-
setningen
E(X) = 100 · 0,70 = 70
Hypotesetesting √
SD(X) = 100 · 0,70 · 0,30 = 4,58
60 − 70
P(X < 60) = P(Z < ) = P(Z < −2,18)
4,58
= 0,0146

121. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med 3 alternativer
Binomisk fordeling
på hvert spørsmål. Ole svarer helt vilkårlig. Hva er
Forventningsverdi sannsynligheten for å få minst 4 rette?
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

122. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Stokastiske variable
På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med 3 alternativer
Binomisk fordeling
på hvert spørsmål. Ole svarer helt vilkårlig. Hva er
Forventningsverdi sannsynligheten for å få minst 4 rette?
Varians og
standardavvik Vi lar X være antall riktige svar Ole får. Da er X binomsik
Normalfordelingen fordelt og sentralgrensesetningen sier at X er tilnærmet
Sentralgrense-
setningen
normalfordelt.
Hypotesetesting
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

123. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen 1
Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og
Stokastiske variable 1 2
SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og
standardavvik
Normalfordelingen
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

124. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen 1
Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og
Stokastiske variable 1 2
SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og 4 − 3,33
standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44)
Normalfordelingen
1,49
Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32%
setningen
Hypotesetesting

125. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen 1
Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og
Stokastiske variable 1 2
SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og 4 − 3,33
standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44)
Normalfordelingen
1,49
Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32%
setningen
Hypotesetesting Hva om vi hadde brukt Excel til å regne dette ut?

126. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen 1
Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og
Stokastiske variable 1 2
SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49.
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
Varians og 4 − 3,33
standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44)
Normalfordelingen
1,49
Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32%
setningen
Hypotesetesting Hva om vi hadde brukt Excel til å regne dette ut?
1-BINOM.FORDELING(3;10;1/3;1) gir oss 44,07 prosent.

127. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Hva om vi regnet ut P(X > 3,5)?
Stokastiske variable
0,25
Binomisk fordeling 0,20
0,15
Forventningsverdi
0,10
Varians og 0,05
standardavvik
Normalfordelingen
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting

128. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Hva om vi regnet ut P(X > 3,5)?
Stokastiske variable
0,25
Binomisk fordeling 0,20
0,15
Forventningsverdi
0,10
Varians og 0,05
standardavvik
Normalfordelingen
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sentralgrense-
setningen
3,5 − 3,33
Hypotesetesting P(X > 3,5) = P(Z > )
1,49
≈ P(Z > 0,11) = 1 − 0, 5438
= 45, 62%

129. Sannsynlighet
Tor Espen
Når er binomsik fordeling tilnærmet
Kristensen
normalfordelt?
Stokastiske variable
Det viser seg at en binomisk fordeling er tilnærmet
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
normalfordelt dersom
Varians og np > 5 og
standardavvik
Normalfordelingen
n(1 − p) > 5
Sentralgrense- En annen måte å avgjøre om X er tilnærmet normalfordelt
setningen
Hypotesetesting
er å se på np(1 − p). Dette produktet må være minst lik 10
og p må ikke være for nær 0 eller 1.

130. Sannsynlighet
Tor Espen
Når er binomsik fordeling tilnærmet
Kristensen
normalfordelt?
Stokastiske variable
Det viser seg at en binomisk fordeling er tilnærmet
Binomisk fordeling
Forventningsverdi
normalfordelt dersom
Varians og np > 5 og
standardavvik
Normalfordelingen
n(1 − p) > 5
Sentralgrense- En annen måte å avgjøre om X er tilnærmet normalfordelt
setningen
Hypotesetesting
er å se på np(1 − p). Dette produktet må være minst lik 10
og p må ikke være for nær 0 eller 1.
I eksempelet med flervalgsprøven er np = 10 · 1 = 3,33 og
3
n(1 − p) = 6,67. Vi har derfor ikke noen garanti for at
normalfordelingen er en så god tilnærming.

131. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir
Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny
Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50
Forventningsverdi
friske.
Varians og
standardavvik
Spørsmål:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn
setningen den gamle?
Hypotesetesting

132. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir
Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny
Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50
Forventningsverdi
friske.
Varians og
standardavvik
Spørsmål:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn
setningen den gamle?
Hypotesetesting
Det blir for enkelt å kun regne ut 50 ≈ 71, 4% og ut fra
70
dette slutte at den nye medisinen er bedre. Hvorfor det?

133. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir
Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny
Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50
Forventningsverdi
friske.
Varians og
standardavvik
Spørsmål:
Normalfordelingen
Sentralgrense-
Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn
setningen den gamle?
Hypotesetesting
Det blir for enkelt å kun regne ut 50 ≈ 71, 4% og ut fra
70
dette slutte at den nye medisinen er bedre. Hvorfor det?
Vi snur litt på spørsmålet:
Hva er sannsynligheten for minst 50 av 70 blir friske dersom
den nye medisinen er like god som den gamle?

134. Sannsynlighet
Eksempel
Tor Espen
Kristensen
Vi lar
Stokastiske variable
Binomisk fordeling X = antall pasienter av 70 som blir frisk med gamle medisin
Forventningsverdi
Varians og Da er X binomisk fordelt (hvorfor det?) med p = 0, 60. Vi får
standardavvik
Normalfordelingen
P(X 50) = 1 − P(X 49) = 3, 2%
Sentralgrense-
setningen
Hypotesetesting
Vi ser at det er 3,2 prosent sannsynlig for at noe slikt skal
skje! Det er ganske liten sannsynlighet!