Dokumen tersebut membahas tentang integral substitusi, yaitu teknik pengintegralan dengan mengganti variabel asli dengan variabel baru agar fungsi menjadi lebih mudah diselesaikan. Metode ini diterapkan pada beberapa contoh integral dan langkah-langkah penyelesaiannya dijelaskan secara rinci.

1. Disusun Oleh :
Kelompok 3
1. Gerian Dwiki S S P
2. Gustiana
3. Harlin Saputra
4. Indah Yanti
5. Kuntoro
INTEGRAL SUBSTITUSI

2. Integral substitusi merupakan salah satu teknik pengintegralan
dengan cara mensubstitusikan/memasukkan variabel baru yang
tepat sehingga diperoleh bentuk fungsi baru yang lebih mudah
diselesaikan.
Misalkan 𝑢 = 𝑔 𝑥 dengan 𝑔 adalah fungsi yang memiliki
turunan, maka berlaku 𝑑𝑢
𝑑𝑥
=𝑔′ 𝑥 sehingga 𝑑𝑢 = 𝑔′
𝑥 𝑑𝑥 sehingga :
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 dapat diubah menjadi 𝑓 𝑢 𝑑𝑢.
𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥) + 𝐶
Pembahasan diatas merupakan dasar dari teknik substitusi
untuk penyelesaian integral. Dari teorema tersebut, kita dapat
melihat serta menyimpulkan bahwa fungsi yang penyelesaiannya
dengan substitusi terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan
turunannya.
TEOREMA

3. Contoh :
Tentukan nilai integral berikut : 4𝑥3 (𝑥4 − 1)4 𝑑𝑥
Perhatikan integral diatas, integran dari integral diatas terdiri dari
dua fungsi yaitu 𝑦 = 4𝑥3 dan 𝑦 = 𝑥4 − 1, salah satu dari fungsi
tersebut yaitu 𝑦 = 4𝑥3 merupakan turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑥4 − 1,
atau dapat ditulis
𝑑(𝑥4−1)
𝑑𝑥
= 4𝑥3
Berikut ini langkah-langkah penyelesaiannya.
• Memisahkan fungsi yang kalau diturunkan menjadi fungsi
lainnya, misalkan menjadi fungsi 𝑢
• Menurunkan fungsi 𝑢 terhadap 𝑥 menggunakan notasi leibniz
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Menyatakan notasi leibniz diatas menjadi bentuk 𝑑𝑥 = ⋯ 𝑑𝑢
• Substitusikan pemisalan tadi ke integral semula
LANGKAH PENYELESAIAN

4. Sehingga dapat kita selesaikan seperti berikut.
• 𝑢 = 𝑥4 − 1
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3 maka 𝑑𝑢 = 4𝑥3. 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
4𝑥3
• 4𝑥3
(𝑥4
− 1)4
𝑑𝑥 = 4𝑥3
. 𝑢4
𝑑𝑥
= 𝑢4 . 4𝑥3.
𝑑𝑢
4𝑥3 = 𝑢4 𝑑𝑢
=
1
5
𝑢5
+ 𝐶 =
1
5
(𝑥4
− 1)5
+𝐶

5. Tentukanlah integral-integral berikut.
1) (2𝑥 + 5)9 𝑑𝑥
• 𝑢 = 2𝑥 + 5
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 maka 𝑑𝑢 = 2. 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
• (2𝑥 + 5)9 𝑑𝑥 = 𝑢9 𝑑𝑥
= 𝑢9 .
𝑑𝑢
2
=
1
2
𝑢9 𝑑𝑢
=
1
2
.
1
10
𝑢10 + 𝐶 =
1
20
𝑢10 + 𝐶
=
1
20
(2𝑥 + 5)10+𝐶
CONTOH SOAL

6. 2) 10𝑥 (4𝑥2 − 1)9 𝑑𝑥
• 𝑢 = 4𝑥2
− 1
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 8𝑥 maka 𝑑𝑢 = 8𝑥. 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
8𝑥
• 10𝑥 (4𝑥2 − 1)9 𝑑𝑥 = 10𝑥 . 𝑢9 𝑑𝑥
= 𝑢9 . 10𝑥.
𝑑𝑢
8𝑥
= 𝑢9 .
5
4
𝑑𝑢 =
5
4
𝑢9 𝑑𝑢
=
5
4
.
1
10
𝑢10 + 𝐶 =
1
8
𝑢10 + 𝐶
=
1
8
(4𝑥2 − 1)10+𝐶

7. 3) 2𝑥 + 3 cos 𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥
• 𝑢 = 𝑥2
+ 3𝑥
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 3 maka 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 3). 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
(2𝑥+3)
• 2𝑥 + 3 cos 𝑥2 + 3𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 3 cos 𝑢 𝑑𝑥
= cos 𝑢 2𝑥 + 3
𝑑𝑢
(2𝑥+3)
= cos 𝑢 𝑑𝑢
= sin 𝑢 + 𝐶 = sin(𝑥2 + 3𝑥) + 𝐶

8. 4) 𝑠𝑖𝑛10 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑢 = sin 𝑥
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= cos 𝑥 maka 𝑑𝑢 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
cos 𝑥
• 𝑠𝑖𝑛10 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢10. cos 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑢10. cos 𝑥
𝑑𝑢
cos 𝑥
= 𝑢10 𝑑𝑢
=
1
11
𝑢11
+ 𝐶
=
1
11
𝑠𝑖𝑛11 𝑥 + 𝐶

9. 5) 0
4
𝑥 (𝑥2 + 9) 𝑑𝑥
• 𝑢 = 𝑥2
+ 9
•
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 maka 𝑑𝑢 = 2𝑥. 𝑑𝑥
• 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
• 0
4
𝑥 (𝑥2 + 9) 𝑑𝑥 , 𝑢 = 42
+ 9 = 25 , 𝑢 = 02
+ 9 = 9
= 9
25
𝑢
1
2. 𝑥.
𝑑𝑢
2𝑥
=
1
2 9
25
𝑢
1
2 𝑑𝑢
=
1
2
.
2
3
𝑢
3
2 =
1
3
. 𝑢. 𝑢
=
1
3
. 25. 25 −
1
3
. 9. 9
=
125
3
−
27
3
=
98
3

10. Sekian Dan Terima
Kasih