VEKTOR DAN MATRIX

Bab 0. Konsep Vektor dan Matrix - F Soesianto /17/03/15 -10:18
BAB 0
KONSEP VEKTOR DAN MATRIX
1. Tujuan
Bab ini terutama membahas konsep vektor dan matrix, yang dalam buku klasik berjudul
“Introduction to Matrix Analysis” yang ditulis oleh Richard Bellman sebelum tahun 1960 disebut
sebagai "obyek studi aritmetika dalam matematika tingkat tinggi”. Sebelum membahas kedua hal
itu disinggung lebih dahulu pengertian obyek, besaran dan nilai (skalar).
2. Obyek, besaran, nilai dan satuan
Obyek adalah suatu yang menjadi pokok pembicaraan. Obyek dapat apa saja, benda mati
(misal batu atau potlot) atau benda hidup (hewan, manusia). Misalkan saja obyek itu sebuah benda
berupa sebuah bola. Seorang pengamat dapat memperhatikan besar bola itu, beratnya, material
yang dipakai, suhu bola, muatan kelistrikannya (misalnya bola itu berisi menyimpan energi listrik),
warna atau sifat permukaannya, ... bahkan harga beli atau nama pemiliknya (jika itu patut
diperhatikan). Besarnya bola dapat dinyatakan dalam volume atau diameter bola. Mengenai
beratnya, bola itu dapat dinyatakan dalam satuan gram, kilogram, atau ton. Tentang material yang
dipakai seorang pengamat dapat memperhatikan komposisi kimia, sedang mengenai warna atau
sifat permukaan kiranya ada cara-cara untuk mengungkapkannya dengan tepat.
Volume, diameter, berat, komposisi kimia dan sebagainya itu merupakan contoh dari
besaran-besaran atau atribut yang dapat ada pada bola tersebut. Pada dasarnya tiap besaran
mengungkapkan satu informasi yang utuh tentang obyek tersebut. Jadi besaran dapat didefinisikan
sebagai sifat melekat pada sebuah obyek atau benda (konkrit atau abstrak), yaitu sifat yang
terdapat dalam, atau yang tak dapat dipisahkan dari, obyek atau benda tersebut sehingga dapat
difahami sebagai salah satu ciri, atribut atau jatidiri obyek atau benda tersebut.
Informasi seseorang tentang suatu besaran atau atribut obyek itu dapat dikonkritkan
dengan memberi lambang matematika atas besaran itu dan mencantumkan angka atau nilai
numeris, dalam satuan yang sesuai. Pada dasarnya nilai adalah sesuatu yang diberikan oleh
seseorang untuk menggambarkan tingkatan, intensitas atau besarnya besaran tersebut. Besaran
diameter, misalnya, biasanya diberi lambang d, dengan nilai yang dinyatakan dalam satuan
milimeter, meter atau kilometer, dan bukan dalam kilogram atau derajat Celsius. Tiap orang
memiliki umur (usia). Usia seseorang dapat diberi lambang u (misalnya), dan pada saat
meninggalnya seorang wanita barangkali memiliki usia yang nilainya 27.8, misalnya dengan satuan
tahun. Pada umumnya dikatakan orang bahwa wanita ini meninggal pada usia muda. Angka atau
nilai itu biasanya diperoleh melalui pengukuran menurut tatacara yang sudah disepakati atau
dibakukan secara internasional. Maka dikatakan, besaran diameter d memiliki nilai berupa sebuah
angka dalam semesta angka real R. Secara singkat, d ∈ R. Notasi d ∈ R mengisyaratkan pula,
bahwa dalam garis angka real R nilai besaran d diwakili oleh sebuah titik. Demikian pula untuk
besaran usia bagi seseorang.
Sekarang dapat ditanyakan apakah dalam contoh diatas "muda" bukan nilai juga untuk
besaran usia tersebut? Untuk besaran usia seseorang, bukankah dikenal pula nilai "tua", "setengah
tua", "balita", dan sebagainya? Apakah besaran harus diberi nilai numeris?
1
1

3. Besaran skalar dan besaran vektor
Dalam fisika, besaran-besaran yang hanya memiliki nilai tunggal (sebuah angka real)
disebut juga besaran skalar. Besaran yang memiliki nilai jamak disebut vektor. Misalnya,
kecepatan yang terdapat pada sebuah benda yang bergerak. Besaran ini memiliki sekurang-
kurangnya dua nilai, yaitu besarnya kecepatan (laju) dan arah geraknya. Maka dalam fisika
kecepatan dimengerti sebagai besaran vektor.
Dalam buku ini besaran vektor diberi arti yang lebih luas.. Vektor dapatlah dipandang
sebagai himpunan besaran-besaran dengan index yang jelas (untuk menunjukkan lokasinya dalam
himpunan itu). Masing-masing besaran disebut elemen vektor tersebut.
Dalam naskah ini vektor diberi lambang huruf alfabet kecil dengan garis bawah. Misalnya,
diberikan vektor a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor a dilambangkan oleh ai.
Vektor a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai ai, dengan i =
1, 2, .. n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini:
a =
a
a
a
an
1
2
3

















Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut ditulis berderet membentuk
satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Kecuali disebut dengan jelas, vektor senantiasa
dimengerti sebagai vektor-kolom. Sebagai contoh seorang manusia pasti memiliki usia, tinggi
badan dan berat badan. Masing-masing memang merupakan besaran skalar; namun ketiga besaran
itu dapat digabungkan dalam sebuah besaran vektor f yang terdiri atas tiga elemen:
f =










3
2
1
f
f
f
,
dengan f1, f2 dan f3 merupakan elemen pertama, kedua dan ketiga vektor f tersebut. Dapat saja
dipilih, misalnya, usia sebagai elemen pertama, tinggi badan dan berat badan sebagai elemen kedua
dan ketiga. Dalam hal seperti itu pastilah elemen-elemen vetor itu memiliki nilai dengan satuan
yang berbeda pula. Lalu dapat ditanyakan apakah satuan untuk vektor f tersebut?
Untuk menghemat ruangan penulisan, untuk vektor tersebut diatas ditulis pula a ≡ (ai),
dengan i =1,2,...,n, dan simbul ≡ dapat dibaca sebagai “didefinisikan dengan”. Jadi jika misalnya ai
∈ R, yaitu bahwa ai bernilai real, maka secara ringkas dapat ditulis pula a ≡ (ai ) ∈ Rn
. Dalam
konteks ini Rn
dapat dibaca sebagai “semesta angka real berdimensi n”.
2
2

Untuk selanjutnya, kecuali jika dinyatakan lain, naskah ini hanya membahas vektor (dan
matrix) dengan elemen-elemen bernilai real saja.
Vektor a dengan n = 1 tentulah sama dengan besaran biasa. Jika n = 2, maka vektor
tersebut ada dalam R2
, ruang real berdimensi dua, dan oleh karena itu juga diwakili oleh sebuah
titik dalam salib sumbu Kartesian tersebut. Hal yang sama berlaku untuk vektor dengan n = 3,
4, ... dan sebagainya.
4. Matrix
Jika vektor membentuk larik berdimensi satu, maka matrix adalah larik berdimensi dua,
karena memiliki dua index, yaitu index untuk baris dan index untuk kolom. Matrix diberi lambang
dengan huruf alfabet besar. Misalnya diberikan matrix A. Elemen matrix A pada baris i dan kolom
j diberi lambang aij. Index pertama i senantiasa menyatakan nomor baris, dan index kedua j
menyatakan nomor kolom. Jika matrix A itu terdiri atas m baris dan n kolom, secara singkat akan
ditulis A = (aij), i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Nah, jika aij ∈ R, tentulah A ∈ Rmxn
. Ditulis
secara lengkap,
A ≡ (aij) =
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
m m m mn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3


   

















.
Karena tiap kolom dari matrix membentuk vektor kolom, maka juga dapat ditulis, bahwa
A ≡ (aj) = [ a1 a2 a3 ... an], dengan aj ∈ Rn
, j = 1, 2, ..., n.
Notasi seperti ini tentu saja sangat menghemat tempat.
Cara penulisan lain adalah berdasarkan baris.
a =
















T
n
T
T
T
a
a
a
a

3
2
1
.
Superskrip (...)T
ditambahkan untuk menunjukkan bahwa lambang yang bersangkutan membentuk
vektor baris. Karena itu, agar masih tetap menghemat tempat, biasanya ditulis pula
a = [ ]T
n
TTT
aaaa 321
T
.
Cara penulisan mana yang dipilih, tentulah tergantung kepada situasi.
Sangat menarik untuk diresapi, bahwa sebenarnya besaran vektor merupakan perluasan
dari konsep besaran skalar, dan matrix merupakan perluasan dari konsep vektor. Selain itu patut
dicatat bahwa notasi vektor membuka peluang untuk melambangkan himpunan besaran dengan
sebuah huruf saja, -- berapapun cacah elemen pembentuk besaran itu. Nanti akan ditunjukkan
3
3

bahwa notasi matrix memungkinkan seseorang untuk mengungkapkan suatu yang komplex dengan
cara yang ekonomis.
5. Macam-macam vektor dan matrix
Vektor nol, dilambangkan oleh 0, adalah vektor dengan semua elemen bernilai nol.
Analog dengan itu, matrix nol (disingkat MNol) adalah matrix dengan semua elemennya bernilai
nol. Matrix nol juga diberi lambang 0, dan dari konteksnya akan jelas apakah 0 itu vektor nol atau
matrix nol (vektor nol adalah matrix nol dengan cacah kolom = 1). Matrix atau vektor nol
berperan mirip nilai real nol, karena operasi aljabar atas matrix ini memberikan hasil yang mirip
dengan hasil operasi atas nilai real nol.
Jenis vektor yang ternyata penting adalah vektor basis. Vektor basis ei adalah vektor
dengan semua elemen bernilai nol, kecuali elemen ke-i bernilai 1. Misalnya, vektor basis e3 ∈ R7
adalah
e3 =
0
0
1
0
0
0
0






















.
Tentu saja dalam ruang berdimensi n ada vektor basis n buah, yaitu e1, e2, e3, ..., en. Secara
singkat: ei ∈ Rn
dengan 1 ≤ i ≤ n.
Matrix dengan cacah baris sama dengan cacah kolom disebut matrix bujur sangkar
(MBS). Dibawah ini adalah MBS A = (aij) ∈ RnXn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
n n n nn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3


   

















.
Jika cacah baris tidak sama dengan cacah kolom, matrix disebut matrix persegi panjang (MPP).
Untuk MBS A ≡ (aij) ∈ RnXn
, semua elemen dengan index pertama = index kedua, i = j,
yaitu a11, a22, a33, ..., ann, disebut elemen diagonal, karena elemen-elemen itu berada pada garis
diagonal (atau diagonal utama). Elemen lainnya (karena tidak berada pada garis diagonal) tentu
saja bukan elemen diagonal.
MBS A ≡ (aij) ∈ RnXn
dengan aij = aji disebut matrix simetris (disingkat MSim) karena
garis diagonal utama berfungsi sebagai sumbu simetri.
Matrix diagonal (MDiag) adalah MBS dengan semua elemen bukan elemen diagonal
memiliki nilai nol.
4
4

A =
a
a
a
ann
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0


   

















Demi tujuan penghematan dalam penulisan, serfing ditulis juga A = diag(a11, a22, a33, .., ann).
Matrix satuan (MSat), dilambangkan dengan I, didefinisikan sebagai matrix diagonal
dengan semua elemen diagonal bernilai satu.
Matrix segitiga ternyata merupakan jenis MBS yang sangat penting. Ada dua jenis matrix
segitiga, yaitu matrix segitiga bawah (MSB) dan matrix segitiga atas (MSA). Matrix segitiga
bawah A ≡ (aij) ∈ RnXn
memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i < j. Sebaliknya matrix segitiga
bawah A ≡ (aij) ∈ RnXn
memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua j < i. Dalam konteks ini MDiag
adalah MSB dan MSA sekaligus, demikian juga MSat. MSB atau MSA dengan semua elemen
diagonalnya bernilai satu disebut MSB-satuan atau MSA-satuan.
Dalam berbagai bidang teknik dikenal Matrix Tridiagonal. Matrix tridiagonal A ≡ (aij) ∈
RnXn
memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i - j > 1. Dikenal pula matrix pita A ≡ (aij)
∈ RnXn
memiliki sifat bahwa aij = 0 untuk semua i - j > m, untuk suatu nilai m < n . Selain
itu dikenal pula matrix jarang, yaitu matrix dengan cacah baris dan cacah kolom yang relatif
sangat besar (misalnya 100000) dan dengan sebagian terbesar (misalnya 95%) dari elemen-
elemennya bernilai nol (dan hanya sebagian kecil saja yang bernilai taknol).
Kiranya dapat ditanyakan sekarang, apakah ada jenis matrix yang berindex lebih dari dua?
-- Memang ada matrix-matrix jenis itu, bahkan Albert Einstein dikenal sangat memanfaatkan jenis-
jenis matrix itu dalam kegiatan penelitiannya; akan tetapi hal itu berada diluar jangkauan
pembahasan buku ini. Matrix seperti itu biasanya disebut tensor.
6. Operasi atas matrix
Operasi transpose. Operasi transpose atas matrix A, ditulis AT
, mengubah elemen-elemen
A dalam susunan baris menjadi elemen-elemen dalam susunan kolom dan yang tadinya membentuk
kolom menjadi tersusun dalam baris. Sebagai akitabnya tentu saja (AT
)T
= A. Oleh karena itu
matrix simetris dapat didefinisikan sebagai matrix MBS dengan sifat khusus AT
= A.
Khusus: Operasi transpose atas vektor kolom menghasilkan vektor baris, dan operasi
transpose atas vektor baris menghasilkan vektor kolom. Oleh karena itu jika v adalah vektor
kolom, maka vT
adalah vektor baris.
Operasi perkalian sebuah nilai real dengan matrix. Jika matrix A dikalikan dengan
sebuah nilai β ∈ R, maka baik βA maupun Aβ menghasilkan matrix C yang memiliki dimensi sama
dengan A.
C ≡ (cij) dengan cij : = β aij.
Artinya, matrix C diperoleh dengan mengalikan tiap elemen dari matrix A dengan nilai real β.
5
5

Operasi pertambahan. Matrix A dan matrix B hanya dapat dipertambahkan, jika m = p
dan n = q. Artinya, pertambahan dua matrix A dan B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk
A dan B serta cacah kolom A dan B sesuai (compatible). Hasilnya adalah matrix C dengan sifat,
bahwa
cij : = aij + bij
Operasi pertambahan atas dua matrix dilakukan dengan menjumlahkan elemen pada lokasi baris
dan kolom yang sama pada kedua matrix yang diperetambahkan tersebut. Tentu saja operasi ini
bersifat komutatif, artinya A + B = B + A.
Dapat dibuktikan, bahwa (A + B)T
= AT
+ BT
.
Operasi pengurangan. Matrix A dan matrix B hanya dapat diperkurangkan, jika m = p
dan n = q. Artinya, pertambahan dua matrix A dan B hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk
A dan B serta cacah kolom A dan B sesuai (compatible). Hasilnya adalah matrix C dengan sifat,
bahwa
cij : = aij - bij
Operasi pengurangan atas dua matrix dilaksanakan dengan melakukan pengurangan atas
elemen pada lokasi baris dan kolom yang sesuai pada kedua matrix yang diperkurangkan.
Tentu saja, operasi pengurangan matrix A oleh matrix B dapat juga dimengerti sebagai
operasi pertambahan matrix A oleh matrix -B. Selain itu juga dapat dibuktikan, bahwa (A - B)T
=
AT
- BT
.
Operasi perkalian. Operasi perkalian atas matrix A dan B tersebut diatas menghasilkan
matrix C := AB, dengan sifat sebagai berikut:
C ≡ (cij), dengan cij := a bik kj
i
n
=
∑1
Secara implisit telah disyaratkan dalam rumus ini bahwa operasi perkalian tersebut hanya
terlaksana jika cacah kolom n dari A sama dengan cacah baris p dari B adalah sama. Sebagai
akibatnya, matrix C memiliki cacah baris m dan cacah kolom q. Dalam hal itu A dan B dapat
dikalikan, karena syarat kesesuaian (compatibility) dipenuhi.
Atas dasar itu dapatlah dimengerti bahwa pada umumnya operasi perkalian tidak
komutatif. Artinya pada umumnya
AB ≠ BA
sekalipun misalnya kedua operasi perkalian itu dapat dilaksanakan (karena keduanya adalah MBS).
Oleh karena itu bekerja dengan lambang matrix dan vektor urutan penulisan adalah penting.
Sekarang, dapat juga dibuktikan bahwa (AB)T
= BT
AT
.
Perkalian A dengan B untuk menghasilkan matris C seyogyanya dilaksanakan dengan
menulis A dan B, sedemikian sehingga tiap elemen dari C dapat dihitung dan dicek dengan mudah.
Susunan penulisan yang cocok untuk itu adalah dibawah ini.
B
A C
Contoh berikut menjelaskan hal itu. Disini C : = AB.
6
6

1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 0 15
−
− −
−
↓















.
= B
A =
















−
→
−
15.355
0140
0012
0001

1 2 0 1
2 3 1 0
0 4 2 5
5 5 2 4
−
−
− −
−
















= C
Misalnya, nilai elemen c34 dapat ditetapkan dengan memperhatikan kenyataan bahwa nilai elemen
itu diperoleh sebagai hasil operasi atas baris 3 dari matrix A dengan kolom 4 dari matrix B. Oleh
karena itu, maka c34 : = (0)(-1) + (-4)(2) + (1)(3) + (0)(1.5) = -5. Nilai elemen lain dapat dihitung
dengan cara sama, sebagai latihan.
Operasi pembagian. Operasi pembagian tidak didefinisikan. Operasi A/B atau B/A tidak
ada dalam kamus aljabar matrix.
Operasi invers. Operasi invers mengganti peran operasi pembagian. Matrix A disebut
invers dari matrix B, atau B disebut matrix invers dari A jika dan hanya jika
AB = BA = I
Atas dasar itu digunakan notasi: A = B-1
atau B = A-1
. Dapat juga dikatakan, bahwa
AA-1
= A-1
A = I
BB-1
= B-1
B = I
Dari kenyataan ini dapat disimpulkan, bahwa matrix satuan I berperan mirip angka real 1
dan A-1
dapat dibayangkan mengambil peran yang mirip dengan 1/A. Itulah sebabnya dalam matrix
tidak dikenal operasi pembagian.
Selanjutnya dapat dicatat bahwa dari sifat komutatifnya harus ditegaskan disini, bahwa
operasi invers hanya terdapat pada matrix bujur sangkar. Artinya matrix persegi panjang tidak
memiliki invers. Sebaliknya, pastilah bahwa tidak semua matrix bujur sangkar memiliki invers.
Contoh sederhana adalah matrix bujur sangkar dengan semua elemen memiliki nilai nol. Matrix
bujur sangkar seperti itu disebut matrix singular. Lawannya (yaitu yang memiliki invers) disebut
matrix taksingular.
Berapakah (AB)-1
? Karena (AB)-1
(AB) = I, maka tidak sulit untuk menjabarkan, bahwa
(AB)-1
= B-1
A-1
.
Sebagai sebuah ilustrasi, tinjaulah matrix A sebagai berikut:
7
7

A =
















11111
12222
12333
12344
12345
.
Matrix ini ternyata memiliki matrix B sebagai inversnya, dengan
B =
















−
−−
−−
−−
−
21000
12100
01210
00121
00011
.
Relasi invers antara matrix A dan B dapat ditunjukkan dengan verifikasi langsung atas hasil kali A
dengan B, atau antara B dengan A. Demikian juga dalam berbagai kajian sering disebut matrix
Hilbert, yaitu matrix H ≡ (hij) ∈ Rn ×n
, dengan hij := 1/(i+j-1). Matrix ini memiliki invers yang
berupa matrix G ≡ (gij) ∈ Rn ×n
, dengan
gij :=
)!()!(])!()!)[((
)!()!()(
jninjiji
jninji
−−−−−+
−+−+− +
2
111
111
, 1 ≤ i,j ≤ n.
Dapatkah anda menunjukkan bahwa memang G dan H itu berelasi invers?
Operasi pendiferensialan dan pengintegralan. Operasi pendiferensialan dan
pengintegralan atas besaran vektor atau matrix dilaksanakan dengan mendiferensialkan dan
mengintegralkan tiap elemen matrix tersebut.
Operasi pendiferensialan vektor, matrix atau ungkapan yang lain yang mengandung
besaran-besaran vektor dan matrix harus mengikuti aturan operasi pendiferensialan dan aturan
yang berlaku atas vektor dan matrix.
Diberikan matrix A dan B. Operasi pendiferensialan ke variabel bebas t atas matrix A
menghasilkan matrix C, yang elemen-elemennya diberi nilai hasil pendiferensialan ke t atas elemen-
elemen yang sesuai dari matrix A. Dus
C =
d
dt
A ⇔ cij =
d
dt
(aij).
Oleh karena itu
d
dt
(AT
) = (
d
dt
A)T
d
dt
(A + B) =
d
dt
A +
d
dt
B
d
dt
(AB) = (
d
dt
A ) B + A (
d
dt
B).
Dalam hal ini, jika A adalah matrix dengan elemen-elemen konstan, tak tergantung pada t, maka
d
dt
(AB) = A
d
dt
B.
Selanjutnya jika A = xT
dan B = y. didapatkan
8
8

d
dt
(xT
y) = (
d
dt
xT
) y + xT
(
d
dt
y).
Jika dalam pada itu diberikan juga matrix bujur sangkar W dengan elemen-elemen konstan, relasi-
relasi dibawah ini harus diterima sebagai hal yang benar juga.
d
dt
(xT
Wy) = (
d
dt
xT
) Wy + xT
(
d
dt
Wy)
= (
d
dt
xT
) Wy + xT
W (
d
dt
y).
Sekarang, jika W juga bersifat simetris, maka (Wx)T
= xT
WT
= xT
W membuat
d
dt
(xT
Wx) = (
d
dt
xT
) Wx + xT
W (
d
dt
x)
= (
d
dt
x)T
(Wx) + (Wx)T
(
d
dt
x)
= 2 (
d
dt
x)T
(Wx).
Selanjutnya, misalkan x ≡ (xk) ∈ Rn
. Jika pendiferensialan dilakukan bukan ke t tetapi ke xk,
maka
∂
∂xk
(xT
Wx) = 2 (
∂
∂xk
x)T
(Wx)
= 2 ek
T
Wx.
Operasi pengintegralan atas matrix A = (aij) menghasilkan matrix lain B = (bij) yang
diperoleh dengan mengintegralkan tiap elemen dari matrix A:
bij := ∫ dxaij .
Disini x adalah variabel pengintegrasi.
7. Ilustrasi
Ilustrasi berikut ini ditampilkan dengan dua tujuan. Yang pertama, ingin ditonjolkan
ekonomi atau manfaat dari notasi dan operasi aljabar atas matrix. Sekaligus ingin juga dijabarkan
beberapa relasi penting, yang kiranya berguna bagi pembahasan selanjutnya.
Perkalian dua buah vektor. Diberikan dua buah vektor x ≡ (xi) dan y ≡ (yi) dalam Rn
.
Ada dua operasi perkalian , yaitu xT
y dan x yT
.
Operasi xT
y menghasilkan nilai real, karena
xT
y = yT
x : = x yi i
i
n
=
∑1
Dalam fisika, operasi ini disebut perkalian dalam, perkalian skalar atau perkalian titik. Jika yT
x =
0 maka kedua vektor itu ortogonal (tegak lurus satu sama lain).
Dalam literatur ║ x ║ ≡ (xT
x)1/2
= (
2
n
2
3
2
2
2
1 xxxx ++++  )1/2
disebut norm-2 untuk x, dan
merupakan nilai real yang penting untuk menyatakan besarnya vektor x. Periksa pembahasan lebih
lanjut mengenai hal ini .
Operasi x yT
disebut perkalian luar. Hasilnya bukan nilai real, tetapi sesuai dengan sajian
diatas, sebuah matrix bujur sangkar.
9
9

x yT
: =
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
n
n
n
n n n n n
1 1 1 2 1 3 1
2 1 2 2 2 3 2
3 1 3 2 3 3 3
1 2 3


  

















Dapat juga ditulis,
x yT
: =
x y
x y
x y
x y
T
T
T
n
T
1
2
3

















= [ y1x y2x y3x ... ynx. ]
Tentu saja x yT
≠ y xT
. Tetapi x yT
= (y xT
)T
.
Khususnya, jika diberikan x : = ei dan y : = ej, maka xT
y = ei
T
ej = 0 jika i ≠ j, dan xT
y = ei
T
ej = 1 jika i = j. Dengan kata lain ei dan ej bersifat ortogonal. Selanjutnya, dalam hal ini x yT
: = ei
ej
T
= matrix nol dengan elemen baris ke-i kolom ke-j diganti menjadi bernilai satu.
Perkalian matrix dengan vektor. Perkalian matrix A dengan vektor x, jika dapat sesuai,
memberi hasil vektor. Hasil kali Ax adalah vektor kolom sedang xT
A adalah vektor baris.
Himpunan m buah persamaan linear :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1ixi + ... + a1nxn = b1

ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + aiixi + ... + ainxn = bi

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amixi + ... + amn xn = bm
dapat ditulis dalam notasi matrix sebagai berikut:
















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa




321
3333231
2232221
1131211 x
x
x
xn
1
2
3

















=
















mb
b
b
b

3
2
1
atau lebih singkat lagi:
Ax = b,
dengan A ≡ (aij) ∈ RmXn
dan vektor b ≡ (bi) ∈ Rm
.
Sifat linear dari tiap persamaan yang ada didalamnya kiranya tampak dari sifat linear yang
muncul dalam tiap-tiap suku yang membentuk persamaan tersebut. Untuk selanjutnya istilah
10
10

“persamaan linear simultan” dan "persamaan matrix" digunakan bersama-sama, dan dalam arti
yang sama.
Bagian terbesar dari naskah ini membahas persoalan sebagai berikut:
Diberikan : Matrix A ≡ (aij) ∈ Rm ×n
dan vektor b ≡ (bi) ∈ Rm
Tetapkan : vektor x ≡ (xi) ∈ Rn
, agar Ax = b.
Dalam mencoba mencari jawab atau mendapatkan solusi bagi persoalan ini patut diingatkan
adanya persoalan azasi, yaitu apakah solusi x tersebut memang ada dan, jika memang ada, apakah
solusi itu unik (artinya hanya ada satu buah solusi saja). Jawab bagi persoalan azasi itu diperoleh
melalui analisis matematis, dan biasanya berupa sebuah teorema yang telah dibuktikan
kebenarannya. Berturut-turut akan dibahas 4 katagori persoalan sebagai berikut:
1. Vektor b ≠ 0 dan m = n (jadi A sebuah MBS);
2. Vektor b ≠ 0 dan m > n (jadi A sebuah matrix potret);
3. Vektor b ≠ 0 dan m < n (jadi A sebuah makrix lanskap);
4. Vektor b = 0 dan m = n (jadi A sebuah MBS).
Persoalan katagori keempat sering diungkapkan juga sebagai persoalan katagori pertama dengan
syarat tambahan bahwa b = λx. Selanjutnya tiap katagori berurusan dengan atau memiliki
bidang penerapan yang nyata dalam industri.
Bentuk kuadratis. Besaran skalar Φ := xT
Wx merupakan bentuk kuadratis
Φ =
i
n
=
∑1
w x xij
j
n
i j
=
∑1
.
Jika W simetris, maka ada matrix bujur sangkar T dan matrix diagonal Λ sedemikian sehingga W
= T Λ TT
. Atas dasar itu Φ = xT
Wx = xT
T Λ TT
x. Jika dinyatakan y = TT
x, maka
Φ = yT
Λ y = λj
j
n
jy
=
∑
1
2
.
Disini λj adalah elemen diagonal ke-j dari matrix D, yang dapat bernilai negatif, nol atau positif.
Jika W adalah sedemikian, sehingga Φ > 0 untuk semua vektor taknol x, maka W disebut matrix
definit positif. Jika Φ< 0 untuk semua x, maka W disebut matrix definit negatif.
Dalam bentuk kuadratis Φ := xT
Wx, jika x merupakan vektor yang dibentuk oleh arus-
arus listrik (dalam satuan ampere), sedang W dibentuk oleh elemen-elemen tahanan (dalam satuan
ohm), maka besaran skalar Φ = xT
Wx itu memiliki satuan daya (watt).
8. Matrix terpartisi
Matrix dapat ditulis dalam bentuk terpartisi (tersekat). Tiap bagian matrix disebut
submatrix. Tiap submatrix memiliki cacah baris dan kolom yang lebih kecil. Dibawah ini diberikan
sebuah contoh.
11
11

A =
4 2 0 2 0
2 5 2 1 0
0 2 5 3 2
2 1 3 7 1
0 0 2 1 6
−
−
− −
















=
4 2 0 2 0
2 5 2 1 0
0 2 5 3 2
2 1 3 7 1
0 0 2 1 8


     



−
−
− −


















sebelum terpartisi sesudah terpartisi
Sekarang matrix terpartisi A itu dapat ditulis memiliki empat elemen berupa submatrix,
A =
A A
A A
11 12
21 22






dengan
A11 =
4 2 0
2 5 2





 A12 =
2 0
1 0−






A21 =
0 2 5
2 1 3
0 0 2
− −










A22 =
−









3 2
7 1
1 6
Vektor pun dapat dipartisi atas subvektor-subvektor yang lebih kecil cacah elemennya.
Operasi aljabar matrix dapat juga dilaksanakan pada matrix-matrix dan vektor-vektor terpartisi,
dengan catatan, bahwa operasi aljabar atas submatrix-submatrix dan subvektor-subvektor yang
terlibat didalamnya juga dapat dilaksanakan. Kesesuaian (compatibility) harus tetap dipenuhi.
9. Tiga jenis matrix yang istimewa
Ada banyak matrix yang memiliki ciri istimewa dengan kegunaan yang istimewa pula.
Pada kesempatan ini hanya dibicarakan tiga buah saja, yaitu matrix permutasi, matris Householder
dan matrix Gauss.
Matrix permutasi. Diberikan matrix A ≡ [a1 a2 a3 ... an] dengan a ∈ Rn
, dan vektor
basis ei. Tidaklah sulit untuk menunjukkan, bahwa
A ei = ai.
Artinya, A ei = vektor yang membentuk kolom ke-i dari matrix A. Jika demikian halnya, tentulah
ei
T
A sama dengan baris ke-i dari matrix A tersebut.
Tinjaulah sekarang, matrix P ≡ I - (ei - ej) (ei - ej)T
, dengan i ≠ j. Seharusnya matrix ini
diberi lambang Pij, untuk menunjukkan ketergantungan matrix tersebut terhadap i dan j. Untuk
menyederhanakan notasi digunakan notasi P saja.
Matrix ini bersifat simetris, karena
PT
= ( I - (ei - ej) (ei - ej)T
)T
= IT
- ((ei - ej) (ei - ej)T
)T
= I - ((ei - ej)T
)T
(ei - ej)T
12
12

= P
Sekarang, matrix apakah PA dan AP itu? Kedua operasi ini dapat dilaksanakan.
Memanfaatkan operasi aljabar atas matrix,
PA = ( I - (ei - ej) (ei - ej)T
) A
= A - (ei - ej) (ei - ej)T
A
= A - (ei - ej) (ei
T
A - ej
T
A)
= A - ei ei
T
A + ei ej
T
A + ej ei
T
A - ej ej
T
A.
Dengan sedikit imaginasi, jika aT
k = baris ke-k matrix A, maka
ei ei
T
A = matrix nol dengan baris ke-i diganti dengan ai
T
;
ei ej
T
A = matrix nol dengan baris ke-i diganti dengan aj
T
;
ej ei
T
A = matrix nol dengan baris ke-j diganti dengan ai
T
;
ej ej
T
A = matrix nol dengan baris ke-j diganti dengan aj
T
.
Oleh karena itu, maka
PA = matrix A dengan baris i dan baris j dipertukarkan.
AP = matrix A dengan kolom i dan kolom j dipertukarkan.
Atas dasar itu matrix ini disebut matrix permutasi.
Selanjutnya, dapat ditunjukkan, bahwa PPT
= PP = I. Artinya P-1
= PT
. Semua matrix yang
inversnya adalah transposenya disebut matrix ortogonal. Matrix satuan pun merupakan matrix
permutasi (meskipun tanpa ada yang dipertukarkan).
Salah satu penerapan adalah kegiatan penting dalam pengolahan data untuk mengurutkan
(dari angka kecil ke angka besar) satu deretan data numeris (misalnya, umur). Jika deretan awal
data numeris itu dikemas dalam vektor co, maka mengurutkan operasi permutasi P1 atas co
menghasilkan c1, c1 : = P1 c0, sehingga elemen pertama vektor c1 bernilai terkecil. Selanjutnya, atas
c1 dilakukan operasi permutasi P2, agar c2 : = P2c1 memiliki elemen kedua dengan nilai terkecil
berikutnya, ... dan seterusnya, sampai
cn-1 : = Pn-1(Pn-2(...(P3(P2(P1co))) ... ))
= Pn-1Pn-2 ... P3P2P1 co
memiliki elemen dengan nilai yang sudah urut dari yang terkecil ke yang terbesar.
Tentulah pemilihan matrix permutasi Pi itu tergantung pada deretan awal, serta hasil-hasil
antaranya. Tentulah pula ada matrix permutasi yang ternyata berupa matrix satuan saja. Pada
kesempatan ini patutlah dicatat, bahwa data pada umumnya dikemas dalam bentuk vektor. Jika
data dikemas dalam bentuk tabel (matrix), maka tabel (matrix) itu dapat dimengerti sebagai vektor
dengan elemen-elemen yang membentuk vektor; dus secara azasi adalah vektor juga. Sebaliknya,
besaran yang disebut matrix tampaknya memiliki makna lain, karena misalnya dalam mengurutkan
himpunan data, matrix digunakan sebagai operator untuk melakukan operasi yang diinginkan.
Matrix sering berperan sebagai operator untuk operasi atas suatu obyek.
13
13

Matrix Householder. Tinjaulah matrix Householder H ≡ I - β x xT
, dengan x diketahui.
Tetapkan nilai dari β ∈ R agar H bersifat ortogonal.
Bahwa H simetris dapat didemonstrasikan dengan mudah. Penerapan sifat ortogonalitas
menghasilkan relasi dibawah ini:
HHT
: = ( I - β x xT
) ( I - β x xT
)T
= I - β x xT
- β x xT
+ β 2
x xT
x xT
= I - 2β x xT
+ β 2
( xT
x ) x xT
,
karena xT
x bernilai real. Agar HHT
: = I, tentulah
2β = β 2
(xT
x).
Ada dua kemungkinan. Pertama, β : = 0 -- tentu saja. Kedua,
β = 2/( xT
x)
Dalam Rn
, ruang real berdimensi n, sebuah vektor c terlukis sebagai sebuah titik saja dalam ruang
real tersebut. Jika sebuah matrix Q dioperasikan atas titik tersebut, Qc akan terlukis sebagai sebuah
titik lain dalam ruang real itu. Matrix lain S yang dapat berfungsi sebagai operator untuk
mengembalikan titik lain itu ke titik (awal) tentulah merupakan invers dari Q tersebut. Karena SQc
= c, tentulah SQ = I, atau S = Q-1
. Jika Q ortogonal, Q-1
langsung dapat dikonstruksi.
Pertanyaan: untuk sembarang vektor taknol c, adakah matrix yang bukan matrix nol, yang
sebagai operator atas c menghasilkan vektor nol? Masalah ini dibahas dalam suatu bab berikut.
Matrix Gauss. Matrix Gi ≡ I - m ei
T
, untuk pilihan nilai atas vektor m tertentu disebut
matrix Gauss. Jika matrix ini dioperasikan kepada sebuah matrix A, maka
Gi A = ( I - m ei
T
) A = A - m ei
T
A.
ei
T
A = baris ke-i dari matrix A = ai
T
. Khususnya, jika dipilih agar
m ≡ [ 0 0 .. 0 mi+1 mi+2 .. mn]T
,
yaitu bahwa I elemen pertama dari m diberi nilai nol, maka
A#
≡ m ei
T
A =
0
0
0
1
2


m a
m a
m a
i i
T
i i
T
n i
T
+
+


























14
14

membentuk matrix A#
dengan sifat sebagai berikut:
• elemen-elemen dalam baris 1, 2, ..., i bernilai nol,
• elemen-elemen dalam baris i + 1 bernilai mi+1 kali nilai elemen-elemen dalam baris i dari A,
• elemen-elemen dalam baris i + 2 bernilai mi+2 kali nilai elemen-elemen baris i dari A,
• elemen-elemen dalam baris i + 3 bernilai mi+3 kali nilai elemen-elemen baris i dari A, ... dan
seterusnya.
Maka diperoleh dibawah ini:
GiA : = A - A#
=
a
a
a
a m a
a m a
a m a
T
T
i
T
i
T
i i
T
i
T
i i
T
n
T
n i
T
1
2
1 1
2 2


+ +
+ +
−
−
−


























Perhatikanlah, bahwa GiA merupakan matrix yang sama dengan A untuk i baris yang pertama, dan
untuk (n-i) baris berikutnya nilai elemen-elemennya, khususnya untuk kolom i, dapat dibuat
memiliki sifat tertentu (yaitu bernilai nol) lewat pilihan jitu atas mi+1, mi+2, ... mn-1, dan mn.
Jadi matrix Gauss Gi dapat didefinisikan sebagai Gi = (I + m ei
T
), dengan m ≡ (mk) dan mk
= 0 untuk k > i. Matrix ini memiliki dua sifat penting sebagai berikut:
1. Gi
-1
= (I - m ei
T
). Dengan perkataan lain invers sebuah matrix Gauss adalah matrix Gauss juga.
Sebuah sifat dan operasi invers yang murah sekali.
2. G1 G2 ... Gk = G1 + G2 + ... + Gk - (k-1) I . (Juga sebuah operasi yang murah, bukan?!)
Kedua sifat ini dapat dibuktikan kebenarannya dengan mudah dan dimanfaatkan sepenuhnya dalam
proses eliminasi Gauss (periksa dibawah ini).
Tinjaulah dahulu sebuah matrix A dibawah ini:
A : =
1 2 0 1
2 3 1 0
0 4 2 5
5 5 2 4
−
−
−
−












.
Sebagai matrix G1, ambillah
G1 : =
1 0 0 0
m 1 0 0
m 0 1 0
m 0 0 1
2
3
4












=
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
5 0 0 1
−
−












15
15

yaitu dengan memilih m2 : = -2/1 = -2, m3 : = -0/1 = 0, dan m4 : = -5/1 = -5. Pilihan ini memang
dikaitkan dengan nilai-nilai elemen dalam kolom 1 dari matrix A tersebut. Atas dasar ini, dihitung
G1A : =
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
5 0 0 1
−
−












1 2 0 1
2 3 1 0
0 4 2 5
5 5 2 4
−
−
−
−












=
1 2 0 1
0 1 1 2
0 4 2 5
0 5 2 1
−
− −
−
−












Perhatikanlah, bahwa elemen kolom 1 dari G1A bernilai nol semua untuk baris 2 dan seterusnya.
Sekarang dipilih agar G2 adalah sebagai berikut. Pilihan ini didasarkan pada komposisi nilai
dalam kolom 2 matrix G1A.
G2 : =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 m 1 0
0 m 0 1
3
4












=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 4 1 0
0 5 0 1−












G2 dioperasikan kepada G1A. Hasilnya adalah
G2G1A : =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 4 1 0
0 5 0 1−












1 2 0 1
0 1 1 2
0 4 2 5
0 5 2 1
−
− −
−
−












=
1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 7 9
−
− −
−
−












Sekarang untuk kolom 2, elemen baris 3 dan 4 telah menjadi bernilai nol.
Jika G3 sekarang dipilih (mengapa demikian?)
G3 : =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 m 14












=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 7 2 1/












dan dioperasikan atas G2G1A, maka
G3G2G1A =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 7 2 1/












1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 7 9
−
− −
−
−












16
16

=
1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 0 15
−
− −
−












.
U ≡ G3G2G1A sekarang telah merupakan matrix segitiga atas.
Selanjutnya, karena
G1
-1
=












1005
0100
0012
0001
, G2
-1
=












−
1050
0140
0010
0001
, G3
-1
=












− 12700
0100
0010
0001
/
,
Maka menurut sifat kedua,
L ≡ G1
-1
G2
-1
G3
-1
=












−
−
12755
0140
0012
0001
/
.
Perhatikanlah, bahwa ternyata
LU =












−
−
12755
0140
0012
0001
/
1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 0 15
−
− −
−












.
=
1 2 0 1
2 3 1 0
0 4 2 5
5 5 2 4
−
−
−
−












= A.
L U = A
Fakta menarik ini dibahas lebih lanjut dalam bab yang akan datang.
10. Metode eliminasi Gauss
Sekarang marilah ditinjau penemuan diatas dalam konteks yang lebih luas, misalkan dalam
persamaan linear simultan Ax = b dibawah ini
1 2 0 1
2 3 1 0
0 4 2 5
5 5 2 4
−
−
−
−












x
x
x
x
1
2
3
4












=
1
1
1
1












17
17

Jika G1, G2, dan G3 berturut-turut dioperasikan atas ruas kiri dan ruas kanan persamaan Ax = b,
diperoleh persamaan matrix baru:
G3G2G1A x = G3G2G1 b.
Dengan memperhatikan hasil diatas, persamaan ini selengkapnya adalah sebagai dibawah ini:
1 2 0 1
0 1 1 2
0 0 2 3
0 0 0 15
−
− −
−












.
x
x
x
x
1
2
3
4












=
1
1
3
9 5
−
−
−












.
Dapat ditunjukkan bahwa soal tipe ini dapat dipecahkan dengan mudah. Vektor x,
penyelesaian atas persamaan matrix ini, sekarang diperoleh. Proses yang melibatkan matrix Gauss
untuk menghasilkan matrix segitiga disebut “triangulasi” dan metode yang disajikan disini disebut
metode eliminasi Gauss.
Kiranya dapat disimpulkan, bahwa matrix Gauss sangat berguna dalam mengubah
persamaan matrix Ax = b, secara sistematis, menjadi persamaan matrix yang setara Ux = y, dengan
U matrix segitiga atas. Itulah proses eliminasi Gauss, yang akan dibahas lebih lanjut kemudian.
11. Relasi Sherman-Morrison-Woodbury
Sherman, Morrison dan Woodbury (disingkat SMW) secara terpisah telah menemukan
relasi dibawah ini.
( A + u vT
)-1
= A-1
-
1
1 1
+ −
v A uT A-1
u vT
A-1
Perhatikanlah, bahwa β ≡ 1 + vT
A-1
u bernilai real.
Untuk membuktikan kebenaran relasi ini dimanfaatkan sifat invers. Konkritnya, harus dicek
apakah misalnya
Q ≡ (A + u vT
) (A-1
-
1
β
A-1
u vT
A-1
) = I.
Cara terbaik adalah menguraikan perkalian matrix tersebut:
Q = A A-1
-
1
β A A-1
u vT
A-1
+ u vT
A-1
-
1
β u vT
A-1
u vT
A-1
= I -
1
β u vT
A-1
+ u vT
A-1
-
β
β
−1
u vT
A-1
= I -
1
1
1
β
β
β
− +
−




 u vT
A-1
= I. (QED)
Dengan memanfaatkan kenyataan bahwa vT
A-1
u = β - 1, relasi SMW itu memang terbukti benar
adanya.
Apakah kehebatan relasi ini? Ada dua matrix A dan B, dengan B hanya berbeda dari A
sebesar u vT
saja, yaitu B = A + uvT
. Menurut SMW, jika A telah diketahui inversnya, maka invers
dari B dapat dihitung dengan melakukan koreksi atas invers A.
18
18

Atas dasar kenyataan itu, invers sembarang matrix Z (jika invers itu ada) dapat ditetapkan
dengan penerapan berulang-ulang relasi SMW, bertolak dari fakta awal, misalnya, bahwa invers
dari matrix satuan adalah matrix satuan juga.
Sebagai ilustrasi, diketahui bahwa
H ≡
4 3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 1 1












memiliki invers dibawah ini, yang dapat dibuktikan dengan langsung memperkalikan kedua matrix
itu untuk mandapatkan matrix satuan.
H-1
≡
1 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
−
− −
− −
−












.
Sekarang ingin ditetapkan invers dari matrix
G ≡
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
−
− −
− −
−












.
Tampaklah, bahwa matrix G berbeda dari H-1
hanya pada elemen pada pojok kiri atas. Oleh karena
itu, karena
G ≡
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
−
− −
− −
−












=
1 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
−
− −
− −
−












+
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0












,
maka teramati bahwa dalam relasi SMW tersebut A = H-1
, dan u = v = e1.
Jadi karena
β≡ 1 + vT
A-1
u = 1 + [ ]1 0 0 0
4 3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 1 1












1
0
0
0












= 5
maka
A-1
-
1
β A-1
u vT
A-1
G-1
≡
4 3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 1 1












-
1
5
4 3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 1 1












1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0












4 3 2 1
3 3 2 1
2 2 2 1
1 1 1 1












19
19

=
0 8 0 6 0 4 0 2
0 6 12 0 8 0 4
0 4 08 12 0 6
0 2 0 4 0 6 0 8
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .












.
Marilah kita coba menghitung berapa besarnya beban komputasi dalam menghitung invers
dengan bantuan relasi SMW. Pada umumnya yang disebut beban komputasi adalah cacah operasi
perkalian atau pembagian atas dua nilai skalar yang diperlukan agar seluruh operasi komputasi
diselesaikan. Satuan yang dipakai adalah flops, singkatan dari floating point operations. Dalam
pengertian itu, operasi perkalian skalar uT
v atas dua vektor u, v ∈ Rn
adalah n flop, tanpa
mempertimbangkan kemungkinan adanya nilai nol diantara elemen-elemen dalam kedua vektor itu.
Atas dasar itu beban komputasi atas perkalian matrix A ∈ RnXn
dengan vektor v ∈ Rn
adalah n2
flops.
Jika kenyataan itu diterapkan pada rumus SMW, maka:
• beban komputasi untuk menghitung β ≡ 1 + vT
A-1
u adalah n2
buah flops untuk A-1
u dan n buah
flops untuk vT
(A-1
u); total n2
+n flops;
• beban komputasi untuk (A-1
u)(vT
A-1
) adalah 3 n2
flops;
• karena itu, maka beban komputasi untuk satu operasi SMW adalah 4 n2
+ n + 1 flops.
Misalkan operasi SMW dilaksanakan atas dasar fakta bahwa invers matrix satuan adalah matrix
satuan juga. Maka untuk matrix berdimensi n× n harus dilakukan n buah operasi SMW. Oleh
karena itu beban komputasi untuk menetapkan invers dengan relasi SMW adalah n⋅ (4 n2
+ n + 1)
= 4 n3
+ n2
+ n flops.
Beban komputasi sebesar ini tidak terasa untuk n yang kecil. Akan tetapi untuk matrix
dengan n besar akan sangat nyata dampaknya pada waktu komputasi. Misal digunakan komputer
dengan 1 flops memerlukan 10 µdetik, untuk matrix dengan n = 100 dibutuhkan waktu komputasi
tidak kurang dari 40 detik.
Apakah ada cara yang lebih baik untuk menghitung invers?
Berikut ini disajikan program MATLAB untuk melaksanakan operasi penetapan invers
dengan metode SMW.
function [a] = smw(a)
% mencari invers matrix dengan sherman-morrison-woodbury
% matrix a harus diinputkan lebih dahulu
[m,n] = size(a);
c = a - eye(n,n);
a = eye(n,n);
for k = 1:n
z = 1 + a(k,:)*c(:,k);
a = a - a*c(:,k)*a(k,:)/z;
end;
20
20

MATLAB memiliki fasilitas inv(a) untuk menghitung invers dari matrix A. Bandingkanlah
unjuk kerja dari smw(a) dengan inv(a), dengan mengamati cacah flops yang digunakan untuk
menetapkan matrix pada berbagai dimensi.
21
21

VEKTOR DAN MATRIX

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to VEKTOR DAN MATRIX

Similar to VEKTOR DAN MATRIX (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

VEKTOR DAN MATRIX