1. I - REGRA DE TRÊS
1 – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Suponha que um trem viaje a uma velocidade constante de 80 km/h . Então :
1 hora de viagem → 80 km percorridos
2 horas de viagem → 160 km percorridos
3 horas de viagem → 240 km percorridos
Observe no esquema acima que :
• Duplicando o tempo de viagem, a distância percorrida duplica
• Triplicando o tempo de viagem , a distância percorrida triplica
E assim por diante.
Assim , observamos que quando o tempo aumenta um certo número de vezes, a distância percorrida
também aumenta esse mesmo número de vezes.
Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas tempo e distância percorrida são diretamente
Proporcionais.
De modo geral temos :
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando o valor de uma um certo
número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes.
Veja agora , um quadro com os valores do exemplo dado :
Tempo da viagem ( em horas) Distância percorrida ( em km)
1 80
2 160
3 240
Observe que :
1 80 1 80 2 160 1 2 3
= = = OU =
2 160 3 240 3 240 80 160 240
Então podemos afirmar :
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é igual à
razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra.
EXEMPLOS :
1º) Verifique se os números 9, 20 e 25 são diretamente proporcionais aos números 18 , 40 e 50.

2. 2º) Verifique se os números 12, 20 e 40 são diretamente proporcionais aos números 9 , 12 e 30.
3º) Os números x , y e 6 são diretamente proporcionais aos números 10 , 4 e 2. Determine os valores
de x e y .
2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Vamos Supor que um determinado serviço possa ser feito por um operário em 24 horas de trabalho.
Assim podemos supor que:
• 2 operários fazem o mesmo serviço em 12 horas
• 4 operários fazem o mesmo serviço em 6 horas
• 6 operários fazem o mesmo serviço em 4 horas
e assim por diante.
Observe que :
• duplicando o número de operários , o mesmo serviço é feito na metade do tempo
• triplicando o número de operários, o mesmo serviço é feito na terça parte do tempo;
e assim por diante.
Assim podemos verificar que, quando aumentamos o número de operários um certo número de vezes, o
tempo necessário para fazer o serviço diminui o mesmo número de vezes.
Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas número de operários e tempo para realizar o
serviço são inversamente proporcionais.
Observe agora, um quadro com os valores do exemplo dado:
Número de operários Tempo gasto (h)
1 24
2 12
4 6
6 4
Nesse caso , qualquer razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os
valores a eles correspondentes na outra. Veja :
1 12 1 6 1 4 2 6
= = = =
2 24 4 24 6 24 4 12

3. EXEMPLOS
1º) Verifique se os números 3 , 8 e 12 são inversamente proporcionais aos números 24, 9 e 6.
2º) Sabendo que os números 4, 5 e 10 são inversamente proporcionais aos números x , 96 e y ,
determine os valores de x e y.
EXERCÍCIOS
1º) Verifique se os números 8, 24 e 40 são diretamente proporcionais aos números 11 , 33 e 55.
2º) Verifique se os números 12, 15 e 30 são diretamente proporcionais a 32 , 40 e 100.
3º) Os números x , y e 18 são diretamente proporcionais aos números 27 , 45 e 81. Calcule o valor de
xey.
4º) Verifique se os números 40, 80 e 120 são inversamente proporcionais aos números 60 , 30 e 20.

4. 5º) Os números x , y e 12 são inversamente proporcionais aos números 30 , 15 e 10. Calcule x e y.
6º) Sabendo que um trem viaja a uma velocidade constante de 80 km/h, podemos organizar a seguinte
tabela:
Tempo de viagem Distância percorrida
1h 80 km
2h 160 km
Nessas condições responda:
a) Quando o tempo de viagem passa de 1 h para 2 h, ele varia em que razão ?
b) A distância percorrida , quando passa de 80 km para 160 km, varia em que razão ?
c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta :
d) O tempo de viagem e a distância percorrida são grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais ?
7º) A tabela seguinte relaciona o número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um
reservatório :
Número de torneiras Tempo
6 15 min
3 30 min
Observando a tabela responda:
a) Quando o número de torneiras passa de 6 para 3 , esse número varia em que razão ?
b) Quando o tempo passa de 15 minutos para 30 minutos , ele varia em que razão ?
c) Como são essas razões : iguais ou inversas ? Resposta :
d) O número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório são grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais ?

5. 8º) A tabela seguinte relaciona o número de operários com o tempo necessário para eles construírem um
barracão :
Número de operários Tempo
12 30 dias
20 18 dias
Observando a tabela, responda :
a) Quando o número de operários passa de 12 para 20, ele varia em que razão ?
b) Quando o tempo varia de 30 dias para 18 dias, ele varia em que razão ?
c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta :
d) O número de operários e o tempo que eles gastam para construir o barracão são grandezas
diretamente ou inversamente proporcionais ?
3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES
È uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando
dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três
termos e o quarto é desconhecido. Daí o nome , regra de três.
A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna os valores da
mesma grandeza e daí obtermos uma equação.
• A equação terá a mesma “forma” da tabela, quando as grandezas forem diretamente
proporcionais.
• No caso de grandezas inversamente proporcionais a “montagem” da equação será feita
invertendo-se a razão de uma das grandezas.
Acompanhe os exemplos a seguir:
1º) Cinco metros de tecido custam R$ 120,00. Quanto custam 9 metros desse mesmo tecido ?
2º) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras
iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos ?

6. 3º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o
comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola,
qual será o comprimento da mola ?
4º) Ao participar de um treino de fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h,
faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto
no percurso ?
5º) Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quantos segundos atrasará em 8 dias ?
6º) Um navio partiu para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar
seus 12 tripulantes durante 31 dias . Após 1 dia de viagem, percebeu-se a presença de 3 passageiros
clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos ?

7. EXERCÍCIOS
1º) Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco?
2º) Sabe-se que com 8 kg de café cru obtêm-se 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café cru devem
ser levados ao forno para obter-se 27 kg de café torrado?
3º) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando
nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro?
4º) Para transportar certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões carregados
com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões com capacidade para 5 m3 de areia, quantos
caminhões destes seriam necessários para fazer tal serviço?

8. 5º) Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m2 . Quantos litros de tinta serão necessários para
pintar 450 m2 da mesma forma como foram pintados os 60 m2 ?
6º)Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele
deve ser construído em duas semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser
contratados ?
7º) Para encher 100 potes iguais de creme são necessários 12 litros. Qual é a quantidade necessária para
encher 175 potes iguais a esse ?
8º) ( UFRJ-2002) Duas cidades A e B distam 600 km, e distância entre suas representações, num certo
mapa, é de 12 cm.Se a distância real entre duas cidades C e D é de 100 km, qual será a distância entre
suas representações no mesmo mapa ?

9. II – PORCENTAGEM
1 - A expressão “tanto por cento “ certamente já lhe é bastante familiar, e você já viu na TV,
leu nos jornais, nas vitrines das lojas, etc....
• Poupança rende 1,2 %
• Loja vende com desconto de 30 %
- Em cada frase você observa um número seguido de um símbolo % ( que se lê por cento ).
Vejamos o significado de frases deste tipo:
Exemplo :
• Poupança rende este mês 2 %
neste caso, o 2% está indicando que em cada R$ 100,00 depositados na poupança
haverá um acréscimo (rendimento) de R$2,00
Valor depositado Rendimento Saldo Corrigido
100 2 102
200 2+2 204
300 2+2+2 306
2 – Razão Centesimal
Razão Centesimal é toda a razão com denominador 100.
3 20 735 1630
EXEMPLOS : ; ; ; etc....
100 100 100 100
- As expressões com o termo Por cento são simplesmente um outro modo de se representar as razões
centesimais , nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. Neste caso , as razões centesimais
recebem um nome especial : TAXA DE PORCENTAGEM .
4 75
a) = 4% b) = 75 %
100 100
EXEMPOS :
785 125
c) = 785 % d) = 125 %
100 100
- Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que
representa essa fração como nos exemplos a seguir :
3
1º exemplo: Escrever como taxa porcentual.
4
2º exemplo : Escrever como taxa porcentual as frações abaixo:
2 3 1
a) = b) = c) =
5 7 5

10. EXERCÍCIOS
1º) Escreva a taxa porcentual que corresponde a :
18 3 23
a) = h) = p) =
100 2 50
34 9 37
b) = i) = q) =
100 10 50
29 1
c) = j) =
100 8
1 11
d) = l) =
100 25
0,5 37
e) = m) =
100 20
1 21
f) = n) =
4 40
3 5
g) = o) =
8 16
2º) Escreva a facão irredutível que corresponde a cada uma das seguintes porcentagens:
20 1
a ) 20 % = = d ) 55 % =
100 5
b) 72 % = e) 180 % =
c) 48 % = f ) 350 % =
3º) Com relação à cor do cabelo de 10 estudantes observou-se que :
Estudante Cor do Cabelo Dê a taxa porcentual que representa o número de
Ivan Louro estudantes com cabelos :
Marcos Ruivo a) Louros
Gabi Louro
Paquito Preto
Juliana Ruivo
Cleusa Preto b) Pretos
Fernanda Preto
Rafael Ruivo
Bete Preto
Alejandra Preto c) Ruivos

11. 4º)Uma caixa tem 5 bolas verdes, 3 bolas brancas e 12 bolas azuis. Dê a taxa porcentual que representa :
a) O número de bolas verdes em relação ao total de bolas.
b) O número de bolas brancas em relação ao total de bolas.
c) O número de bolas azuis em relação ao total de bolas.
5º) Escreva os seguintes números decimais inicialmente na forma de razão de denominador
100 e, a seguir, na forma de porcentagem :
6
a ) 0,06 = = 6% b) 0,15
100
c) 0,10 d ) 0,27
e) 0,5 f ) 2,14
g ) 0,085 h) 0,013
i ) 0,215
4 – RESOLVENDO PROBLEMAS COM PORCENTAGEM
Observe os exemplos:
1º Ex) Em um jogo de basquete , Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65 %.
Quantos lances livres ele acertou ?
Resolução: OBS: Este problema se resume em calcular 65 % de 20.
2º ex:) Durante o ano de 1997, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63.
Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu ?
RESOLUÇÃO:
3º ex:) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas.
Qual foi a taxa de porcentagem de figurinhas repetidas ?
Resolução :

12. 4º ex: ) Em um colégio , 1400 alunos estudam no perído da manhã. Esse número representa 56 %
do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam , ao todo , nesse
colégio ?
Resolução:
5º ex : ) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15 % . Paguei , então, 76,50 reais pelo
objeto. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto ?
EXERCÍCIOS
1º) Quanto é 7 % de 125000 reais ?
2º)Quanto é 11 % de 1200 alunos ?
3º) Qual a quantia que representa 20,5 % de 5000 reais ?
4º) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão no horário nobre (20 h
às 22 h ). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se que 45 % dessas residências
tinham a sua televisão ligada no canal A . Quantas residências tinham sua televisão
ligada no canal A ?
5º) O número 250 representa que porcentagem de 5000 ?

13. 6º) 242 pessoas representam que porcentagem de 880 pessoas ?
7º) 96 pontos representam que porcentagem de 150 pontos ?
8º) No primeiro semestre de um determinado ano, uma industria produziu 150 unidades de um
artigo. No segundo semestre do mesmo ano, a industria produziu 162 unidades do mesmo
artigo. Nessas condições, pergunta-se :
a) De quantas unidades foi o aumento da produção ?
b) Que taxa de porcentagem esse aumento representou em relação ao 1º semestre ?
9º) Dentre os 48 professores de um colégio, 9 ensinam matemática. Qual a taxa de porcentagem
de professores que ensinam matemática em relação ao total de professores do colégio?
10º) O preço de custo de um objeto é de 2250 reais. Esse objeto é vendido por 2790 reais. Nessas
condições pergunta-se:
a) Calcule a quantia que representa o lucro
b) Calcule a taxa de porcentagem do lucro desse objeto em relação ao preço de custo.
11º) O preço de um produto é de 420 reais> O vendedor propõe a um comprador as seguintes
alternativas de pagamento:
Alternativa 1 – pagamento à vista com 30 % de desconto sobre o preço de tabela
Alternativa 2 – pagamento em 30 dias com acréscimo de 10 % sobre o preço de tabela
Nessas condições responda :
a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto ?
b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto ?
c) Qual a diferença entre essas quantias ?
d) Ela representa quantos por cento do produto ?

14. 5 – JUROS SIMPLES
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela paga
uma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado.
Quando uma pessoa compra uma mercadoria à prestação , ela paga um acréscimo pelo
tempo correspondente ao número de prestações.
Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação pelo tempo
em que está emprestando o dinheiro ao banco.
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e
corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Então :
Toda a compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em
dinheiro que se empresta ou se pede emprestado é chamada juro (J)
Quando falamos em juro, devemos considerar:
• O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital (C).
• A taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro chama-se taxa de juro (i).
• O total que se paga no final do empréstimo (capital+juro) chama-se montante (M)
Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples :
1º ex:) Carlos vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por três meses. É estabe-
lecida uma taxa de juro de 2,7 % ao mês. Qual a quantia que ele deve pagar de juro e
qual o total que Carlos terá de pagar no fim do empréstimo ?
2º) Um aparelho eletrônico custa 620 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de 868
reais. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida aos juros simples , qual é a taxa de juros
simples cobrada ao mês por essa loja ?
Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, podemos empregar a seguinte
Fórmula : J= c.i.t
onde: j = juros c = capital
100 i = taxa de juros t = tempo
Vejamos algumas aplicações desta fórmula:
1º ex: ) Calcular quanto rende de juros um capital de 15 000 reais durante 3 anos, à taxa de 24 % ao ano.

15. 2º)Qual o capital que rende 5 400 reais , durante 2 anos, à taxa de 15 % ao ano ?
3º) Por quanto tempo um capital de 12 000 reais esteve empregado à taxa de 3,6 % ao mês para render
8 640 reais de juros ? ( OBS: como a taxa é mensal devemos ter o tempo também em meses)
4º) A que taxa esteve empregado o capital de 20 000 reais para render, em 3 anos, 28 800 reais de juros?
( Obs: como o tempo está em anos devemos ter uma taxa em anos)
5º) Calcular os juros produzidos por 50 000 reais à taxa de 2 % ao mês durante 3 meses.
6º) Calcular os juros produzidos por 12 000 reais à taxa de 48 % ao ano durante 4 meses.
(Obs : Veja que a taxa é ao ano e o tempo em meses. Neste caso, devemos transformar a taxa
anual em taxa mensal. Para isto basta dividir a taxa anual por 12)
EXERCÍCIOS
1º) Calcular os juros produzidos por um capital de 22 000 reais à taxa de 1,8 % ao mês, durante 2 meses.
2º) Calcule a taxa a que deve ser aplicado o capital de 48 000 reais, para render 6912 reais em 4 meses.

16. 3º) Calcule o capital que deve ser aplicado à taxa de 4 % ao mês, para render 8 000 reais em 5 meses.
4º) Calcule o tempo em que um capital de 8 000 reais , à taxa de 0,6 % ao mês, rende 144 reais.
5º) Fernanda aplicou 4 000 reais a juros de 4,1 % ao mês, durante três meses. Qual será o montante
após os três meses de aplicação ?
6º) Um comerciante tomou emprestados 15 000 reais a juros de 5,4 % ao mês. Quanto pagou de juros
ao final de 4 meses ?
7º) Uma loja colocou o anuncio de um liquidificador em um jornal. O anuncio indicava o pagamento
à vista de 60 reais ou, após um prazo de 30 dias, de 69 reais. Qual a taxa mensal de juros que essa
loja está cobrando para pagamento a prazo ?
8º) Um comerciante resolve parcelar a dívida de um freguês em duas vezes, cobrando, porém , juros
de 1,9 % ao mês. Se o freguês pagou um total de 931 reais de juros, qual era o valor de sua dívida?

17. 9º) O preço à vista de um aparelho é 3050 reais. Em 3 vezes, o preço passa a ser 4514 reais. Qual
é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja ?
10º) Uma passagem de ônibus intermunicipal passou de 9 reais para 11,70 reais. Qual foi a porcentagem
de aumento ?
11º) A gasolina aumentou de 1,50 reais para 1,68 reais. Qual foi o percentual de aumento ?
12º) O preço á vista de um aparelho é 160 reais. Se o preço passou para 195,20 reais, qual foi o percentual
de aumento ?

18. EXERCÍCIOS GERAIS
1º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 8 kg. Verifica-se, então, que o
comprimento da mola distendida é de 40 cm. Se colocarmos um corpo com 13 kg de massa na
extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ?
2º) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual
é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média ?
3º) Quinze operários levantam as paredes e cobrem uma casa em 120 dias. Quantos operários nas mesmas
condições, seriam necessários para levantar as paredes e cobrir essa mesma casa em 100 dias ?
4º) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas exatamente 21 peças de papel com 80 cm de largura.
Se houvesse peças desse mesmo papel com 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas
Para forrar essa mesma sala ?
5º) Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de pessoas que trabalham numa empresa trouxe como
resultado o seguinte quadro :
Salário Mensal Número de pessoas
Até 2 salários mínimos 6
Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7
Mais de 5 e até 10 salários 4
Mais de 20 salários mínimos 3

19. Observando o quadro responda :
a)Qual a porcentagem de pessoas que b) Qual a porcentagem de pessoas que
ganham até 2 salários mínimos? ganham mais de 10 salários mínimos ?
c) Qual a porcentagem das pessoas que d) Qual a porcentagem de pessoas que
ganham mais de 2 e até 5 salários ganham 5 ou menos de 5 salários mínimos?
mínimos ?
6º) Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5 % do total de empregados.
Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria ?
7º) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei
R$ 690 reais pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria ?
8º) Dois meninos discutem sobre a campanha de seus clubes em um campeonato. O clube do menino
( Pedro) ganhou 24 dos 30 jogos que disputou, enquanto o clube do menino (Paulo) ganhou 21 dos
dos 28 jogos que disputou. Qual dos dois clubes apresenta melhor campanha ? Dê a resposta
calculando o percentual de vitórias de cada clube.

20. 9º) A capacidade de uma piscina, quando totalmente cheia de água, é de x litros. Se retirarmos 6480
litros de água dessa piscina, esse número representa 7,2 % da capacidade total x . Qual é o valor
do número x ?
10º) Numa empresa há 18 000 funcionários, sendo 3 600 mulheres. Determine a taxa percentual de
mulheres.
11º) Qual a taxa percentual que 10 representa de 2 ?
12º) O valor do salário mínimo foi majorado de R$ 151 reais para 180 reais. Qual foi a taxa percentual
aproximada do aumento ?

21. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1º) Conjunto dos números Naturais ( )
São os primeiros números que o ser humano tomou conhecimento.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
*
N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
2º) Conjunto dos números Inteiros ( )
São os números naturais mais os números negativos.
Z = { ..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....}
Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5, ... }
3º) Conjunto dos números Racionais ( )
São números racionais :
Todas as frações Decimais exatos Decimais periódicos
3 5
, 2,5 1,23232323....
2 1
8 15
− , − 6,76 1,1666666666....
4 6
7,342 0,857142857142.....
3,543543543543....
4º) Conjunto dos números irracionais ( )
2 = 1,4142135....
3 = 1,7320508...
π = 3,1415926535....
5º) Conjunto dos números Reais ( )
Juntando todos estes números em um conjunto só temos o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.

22. INTERVALOS NUMÉRICOS
Intervalo é qualquer subconjunto infinito de números reais.
Um intervalo pode ser :
• INTERVALO ABERTO
← Representação Geométrica
2 5
Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 [
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 < x < 5 }
• INTERVALO FECHADO
2 5 ← Representação Geométrica
Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 ]
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 ≤ x ≤ 5 }
• INTERVALO SEMI – ABERTO À DIREITA
← Representação Geométrica
2 5
Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 [
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 ≤ x < 5 }
• INTERVALO SEMI – ABERTO À ESQUERDA
← Representação Geométrica
2 5
Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 ]
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 < x ≤ 5 }
Veja abaixo os intervalos infinitos:
Linguagem de Intervalos : ] 3 , + ∞ [
3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / x > 3}

23. Linguagem de Intervalos : [ 3 , + ∞ [
3
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / x ≥ 3}
Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3[
3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ /x < 3}
Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3]
3
Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ /x ≤ 3}
EEXEMPLOS
1º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados
na reta real :
a) 9
6
b)
1 7
c)
-5 4
d)
-3 4
e)
10
f)
7

24. EXERCÍCIOS
1º) Represente na reta os intervalos reais :
a) [6,10] g){x ∈R/-2<x<4}
b) ]-1,5] h){x ∈R/4≤x<7}
c) ]-6,0[ i) ]- ∞,1]
d) ]-10,10[ j) ]- ∞,3[
e) [1,+ ∞[ l)[ 4,+ ∞[
f) {x ∈R/1<x<5} m) ]4,+ ∞[
2º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados
na reta real :
a)
2 8 e)
5
b)
2 5
f) 4
c)
3 7
g)
d) 3
3 6
-2
h)

25. OPREÇÕES COM INTERVALOS
Observe os exemplos abaixo:
1º) Se A = ] 2, 5 [ e B = {x ∈R/3≤x<8} , determine A U B e A I B .
2º) Dados os intervalos A = {x ∈R/ - 1 < x < 4} e B = ] - ∞ , 2 ] Determine A U B e A I B .
Exercícios
1º) Determine AUB e A∩B quando :
a) A=[-3,1[ e B=[0,3] b) A=]2,5[ e B=]1,4[
c)A=[-2,2[ e B=]-0,+ ∞[ d)A={x ∈ R/1<x<4} e B={x∈ R/x<4}

26. e)A={x∈R/1≤ x ≤2} e B={x∈R/ 0≤ x ≤ 5} f) A ={x∈R / -1≤ x ≤ 2 } e B= {x ∈R / 0 ≤ x ≤ 5 }
2º) Dados A = ] –2, 3] , B= [ 0, 4 [ e C= {x ∈ R / 1 < x < 5} determine AUBUC e A∩B∩C .
FUNÇÕES
1 – Noção Intuitiva de função
Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos
uma situação :
Exemplo : Seja um quadrado de lado l .
l
Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre
p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :

27. Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que
Pode ser verificado pela tabela seguinte :
Medida do Medida do
Lado (l) Perímetro (p)
1m
2m
3,5 m
3m
4,5 m
7m
10 m
Pela tabela , observamos que :
• A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável
• A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável
• A todos os valores de l estão associados valores de p
• A cada valor de l está asociado um único valor de p
Dizemos então:
a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado
b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.
2 – Noção de função através de conjuntos
1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de
de A em B expressa por y = 2x –3 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :
2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por
y = 3x+1 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :
3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por
y = x2 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :

28. 4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por
y = ± x , com x ∈ A e y ∈ B , temos :
OUTROS EXEMPLOS
1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3,
com x ∈ A e y ∈ B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
2º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula
y = x2 + 2, com x ∈ A e y ∈ B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
3º) Dada a função f:R → R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5).
4º) Dada a função f:R →R/ f(x)=3x + 1, calcule:
a) f(-2)=
b) f(-1)
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
1
f) f( )=
2

29. 5º) Sendo f:R →R/f(x)=x2 - 3x -10 , calcule:
a) f(-2)=
b) f(-1)=
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
1
f) f( )=
2
6º) Dada a função f(x)= - 4x + 3 , determine os valores de x para que:
1
a) f(x) = - 4 b) f(x) =
2
7º) Seja a função definida por f(x)= x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha :
a) f(x) = - 6
b) 14