1. 1
Profa. Denise Ortigosa Stolf
Colégio Trilíngüe Inovação
Rua Mato Grosso 420-E
Fone/Fax: (49) 3322.4422 Textos
Chapecó – Santa Catarina
CEP. 89801-600
Sumário
Números inteiros .......................................................................................................................................2
Números positivos e números negativos ...............................................................................................2
Conjunto dos números inteiros .............................................................................................................5
Representação dos números inteiros na reta numérica .....................................................................6
Par ordenado: localização de pontos no plano ..................................................................................8
Módulo ou valor absoluto de um número ...........................................................................................10
Números opostos ou simétricos ..........................................................................................................11
Comparação de números inteiros ........................................................................................................13
Operações com números inteiros ........................................................................................................15
Adição de números inteiros.............................................................................................................15
Propriedades da adição de números inteiros ...............................................................................16
Subtração de números inteiros ........................................................................................................19
Adição algébrica .........................................................................................................................20
Multiplicação de números inteiros ..................................................................................................22
Propriedades da multiplicação de números inteiros ....................................................................23
Divisão de números inteiros ............................................................................................................25
Potenciação de números inteiros .....................................................................................................27
Sinal de uma potência de base não nula ......................................................................................27
Propriedades da potência no conjunto ....................................................................................27
Raiz quadrada exata de um número inteiro .....................................................................................30
Bibliografia .............................................................................................................................................32

2. 2
NÚMEROS INTEIROS
Números positivos e números negativos
Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por números negativos. Medidas
de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações
em que os números negativos costumam aparecer.
Situação 1
Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No
dia 19 de março de 2007, por exemplo, a temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24ºC, já
em Berlim, na Alemanha, registrava-se −1ºC.
Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal negativo (−), mas para
indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal
positivo (+). Isso porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é
optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal − deve, necessariamente, acompanhar
o número a que se refere.
Já para a representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois o zero não é positivo
nem negativo.
Situação 2
O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos)
em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo.

3. 3
Situação 3
No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja,
na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a
classificação final de alguns times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.

4. 4
EXERCÍCIOS A1

5. 5
Conjunto dos números inteiros
Na série anterior, vimos o conjunto dos números naturais, representado por :
= { 0,1, 2, 3, 4, 5 ...}
O conjunto formado por números negativos, pelo zero e por números positivos é chamado conjunto
dos números inteiros, e é representado pelo símbolo .
= {..., − 4, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, 4, ...}
O número −4 é elemento do conjunto , assim como +5, que também pertence a esse conjunto.
Indicamos: −4 ∈ e +5 ∈ (lê-se “−4 pertence a e +5 pertence a ”).
O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos números naturais, acrescidos
dos números negativos.
OBS.:
• Em não há menor número, nem maior número;
• O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por :
= {..., − 4, − 3, − 2, − 1,1, 2, 3, 4, ...} ;
• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto , isto é, ⊂ (lê-se “
está contido em ”).

6. 6
Representação dos números inteiros na reta numérica
Podemos representar os números inteiros na reta numérica. Para isso, construímos uma reta r orientada
para a direita e marcamos nela um ponto O, chamado origem, ao qual associamos o número (0).
A partir desse ponto, podemos marcar infinitos pontos à direita (A, B, C, D, ...) e à esquerda (A’, B’,
C’, D’, ...), observando sempre que a distância entre dois pontos consecutivos deva ser a mesma
unidade (por exemplo, 1 centímetro):
Para cada ponto à direita de O, há um número inteiro positivo correspondente, e para cada ponto à
esquerda, um número inteiro negativo.
Assim, todo número inteiro tem um ponto associado e ele na reta numérica, porém nem todo ponto da
reta representa um número inteiro.
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o
antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado.
Por exemplo: o sucessor de −4 é −3, e o antecessor de −4 é −5.

7. 7
EXERCÍCIOS A2

8. 8
Par ordenado: localização de pontos no plano
Em 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francês René Descartes lançou a
idéia de que um par de números, disposto numa certa ordem, poderia determinar uma posição no
plano.
Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas cartesianas, para fazer, por
exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-múndi.
Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:
• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;
• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos
números;
• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;
• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;
• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par
ordenado (0,0);
• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima
da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.
• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.
Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par
ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada.
Por exemplo, P (3,4), teria sua representação assim:

9. 9
EXERCÍCIOS A3

10. 10
Módulo ou valor absoluto de um número
No esquema ao lado:
• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua
distância em relação ao nível do mar é nula (0);
• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;
• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.
Todas essas distâncias foram representadas, na descrição do esquema, pelo número zero ou por
número positivos (6 m e 10 m).
Da mesma forma, ou seja, usando apenas números positivos, podemos determinar, na reta numérica, a
distância de qualquer ponto em relação à origem O. Veja:
A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo, do
número que corresponde a esse ponto.
Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 (distância do ponto A à origem). Da mesma
forma, o módulo de −3 é 3 (distância do ponto B à origem).
Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse número entre duas barras
paralelas. Por exemplo: o módulo de −3 é representado por − 3 .
Exemplos:
• −5 = 5 • − 18 = 18
• 7 =7 • 0 =0
• + 10 = 10

11. 11
Números opostos ou simétricos
Observe a reta numérica.
Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros −5 e 5. A distância do ponto A’
à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os
pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta
numérica (em relação ao zero). Por isso, −5 é 5 são chamados de números simétricos ou números
opostos.
Exemplos:
• − 7 e 7 são números opostos, ou simétricos.
• 4 é o oposto de − 4 , e − 4 é o oposto de 4.

12. 12
EXERCÍCIOS A4

13. 13
Comparação de números inteiros
Símbolos:
> Maior
< Menor
= Igual
Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será.
1º) Os dois números são positivos
Quem é maior, 15 ou 21?
21 > 15 ou 15 < 21
2º) Um número é positivo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou 17?
17 > 0 ou 0 < 17
3º) Um número é negativo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou −17?
0 > −17 ou −17 < 0
4º) Um número é positivo e o outro é negativo
Quem é maior, 23 ou −41?
23 > −41 ou −41 < 23
5º) Os dois números são negativos
Quem é maior, −21 ou −14?
−14 > −21 ou -21 < −14

14. 14
EXERCÍCIOS A5

15. 15
Operações com números inteiros
Adição de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de
ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (−3) + (−4) = (−7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (−5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (−8) + (+5) = (−3)
Na adição, podemos encontrar dois casos:
• Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal,
somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.
Exemplos:
a) (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8
b) (−5) + (−10) = − 5 − 10 = −15
• Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes,
devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de
maior valor absoluto.
Exemplo:
a) (− 18) + (+ 10) = −18 + 10 = −8
O módulo de – 18 = 18
O módulo de + 10 = 10
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número
negativo nunca pode ser dispensado.

16. 16
Propriedades da adição de números inteiros
Fechamento: O conjunto é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é
um número inteiro.
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
a+b=b+a
3+7=7+3
Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o
mesmo.
a+(b+c)=(a+b)+c
2+(3+7)=(2+3)+7
Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a qualquer número inteiro,
resulta no próprio número.
a+0=a ou 0+a=a
7+0=7 ou 0+7=7
Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a ele, resulta no elemento
neutro.
a + (− a) = 0 ou (− a) + a = 0
7 + (− 7) = 0 ou (− 7) + 7 = 0

17. 17
EXERCÍCIOS A6
(1) Vamos calcular:
a) ( +11) + 0 g) (−22) + ( +34)
b) 0 + ( −13) h) (+49) + ( −60)
c) ( +28) + ( +2) i) ( −130) + (−125)
d) ( −34) + ( −3) j) ( +49) + ( +121)
e) ( −8) + ( −51) k) ( +820) + (−510)
f) ( +21) + ( +21) l) ( −162) + (−275)
(2) Partindo do térreo, um elevador desce 2 andares. Em seguida, desce mais 1 andar.
Usando a adição de números inteiros, dê o andar em que o elevador parou.
(3) Caio tem R$ 3600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer uma retirada de R$ 4000,00,
como ficará o seu saldo?
(4) Calcule o resultado das expressões e identifique a propriedade aplicada em cada
caso.
a) ( +3) + (−1) = (−1) + ( +3)
b) ( +100) + 0
c) [( +5) + (−7)] + ( −3) = ( +5) + [( −7) + (−3) ]
(5) Escreva na forma simplificada as adições e calcule:
a) ( +20) + (−18)
b) (−30) + ( +21)
c) (−81) + ( −17)
d) (+37) + ( +52)
e) ( −15) + ( +22) + ( −6)

18. 18
(6) Vamos calcular:
a) 7 + 17 g) 31+ 14
b) − 8 − 2 h) − 1+ 30
c) − 9 + 14 i) 40 − 63
d) − 4 − 4 j) 91 − 57
e) 19 − 23 k) − 90 + 10
f) − 40 − 11 l) − 100 + 104

19. 19
Subtração de números inteiros
• Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo.
Exemplos:
a) (−23) − (+15) = −23 − 15 = −38
b) (+14) − (+20) = +14 − 20 = −6
EXERCÍCIOS A7
(1) A temperatura no interior de um freezer é de −9 graus. Fora, a temperatura é de +25
graus. Qual é a diferença entre as duas temperaturas?
(2) Calcule:
a) 0 − ( −17) f) ( +20) − ( +9)
b) ( −9) − ( +16) g) ( −4) − ( +17)
c) ( +13) − ( +20) h) ( +40) − ( +80)
d) 0 − ( +18) i) − 92 + 17 + 34 + 20
e) ( −1) − ( −19) j) 76 + 92 − 104 − 101 + 94

20. 20
Adição algébrica
Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do minuendo ao oposto do
subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única
operação: a adição algébrica.
A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela eliminação dos parênteses
e dos sinais de + e − das operações. Veja:
(−10) − (+7) − (−8) + (+12) =
− 10 − 7 + 8 + 12 =
Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:
1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem
− 10 − 7 + 8 + 12 =
− 17 + 8 + 12 =
− 9 + 12 = 3
2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença
− 10 − 7 + 8 + 12 =
− 17 + 20 = 3
OBS.: Em uma adição algébrica, quando existem parcelas que são números opostos (simétricos),
podemos cancelá-las, já que o resultado da adição dessas parcelas é zero.
− 3 + 5 − 14 − 5 + 8 =
− 3 + 5 − 14 − 5 + 8 =
/ /
− 3 − 14 + 8
− 17 + 8 = −9

21. 21
EXERCÍCIOS A8
(1) Calcule:
a) 7 + 20 − 4 f) − 75 + 70 + 50 − 61
b) − 17 + 14 + 3 g) 84 − 79 − 81 + 86
c) 27 − 16 − 10 h) − 64 − 96 − 77 + 200
d) − 25 − 21 − 40 i) − 92 + 17 + 34 + 20
e) 35 + 18 + 62 j) 76 + 92 − 104 − 101 + 94
(2) Calcule as somas algébricas:
a) 6 + ( −9 + 1)
b) 8 − ( −6 + 10)
c) − 10 + (6 − 4)
d) 2 + ( 2 + 5 − 7)
e) − 5 + (2 − 4) − (7 − 1)
f) ( −5 + 3) − (5 − 9) + (8 − 1) − 11
g) 10 + ( −10 + 5) − (1 + 11 − 4)
(3) Eliminando os parênteses e colchetes, determine as somas algébricas:
a) 30 + [− 16 − ( −7 + 10)]
b) − 10 − [11 + ( −10 − 6) + 1]
c) 18 − (14 + 15) − [13 − (16 − 21)]
d) − ( −22) − [29 + ( 27 − 23 − 26) − 28]
e) 9 − ( −10) − [− 21 − ( −13 − 13 + 25)] − ( −18)
f) 11 + [− 17 − ( −22 + 16) + ( −29)] − ( −46 + 54)

22. 22
Multiplicação de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos
e esta repetição pode ser indicada por um “ ⋅ ”, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 ⋅ 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 ⋅ 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:
(−2) + (−2) + ... + (−2) = 30 ⋅ (−2) = −60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
⋅
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅b ou ainda ab sem
nenhum sinal entre as letras.
Exemplos:
a) 8 ⋅ 4 = 32 c) d)
b) 5 ⋅ (−3) = −15
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
⋅
(+1)⋅(+1) = (+1)
⋅
(–1)⋅( –1) = (+1)
⋅
(+1)⋅( –1) = (–1)
⋅
(–1)⋅(+1) = (–1)
Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo

23. 23
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fechamento: O conjunto é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números
inteiros ainda é um número inteiro.
Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.
a⋅b=b⋅a
3⋅7=7⋅3
Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras
diferentes, pois o resultado será o mesmo.
a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
2⋅(3⋅7)=(2⋅3)⋅7
Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, dado por uma adição
algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados.
a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)
3⋅(4+5)=(3⋅4)+(3⋅5)
Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, multiplicado a qualquer número
inteiro, resulta no próprio número.
a⋅1=a ou 1⋅a=a
7⋅1=7 ou 1⋅7=7

24. 24
EXERCÍCIOS A9

25. 25
Divisão de números inteiros
Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero,
dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
• Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.
(+ 20) : (+ 5) = + 4
(− 20) : (− 5) = + 4
• Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.
(+ 20) : (− 5) = − 4
(− 20) : (+ 5) = − 4
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do quociente
iguais positivo
diferentes negativo
Observações:
• A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto . Por exemplo: 9 : (–2), pois o resultado não
é um número inteiro.
• No conjunto , a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade de elemento
neutro.

26. 26
EXERCÍCIOS A10

27. 27
Potenciação de números inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é
denominado a base e o número n é o expoente.
a n = a ⋅ 42⋅43
1a ⋅ a ... ⋅ a Exemplo: 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
n vezes
a é multiplicado por a n vezes
Sinal de uma potência de base não nula
Para determinar o sinal de uma potência, podemos considerar o sinal da base e verificar se o expoente
é par ou ímpar.
Expoente Base positiva Base negativa
Potência positiva Potência positiva
Par
54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 (−5) 4 = ( −5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ ( −5) = 625
Potência positiva Potência negativa
Ímpar
25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 ( −3) 3 = ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) = −27
Propriedades da potência no conjunto
1ª) Produto de potências de mesma base
Exemplos:
53 ⋅ 56 = 53+ 6 = 59
a n ⋅ a m = a n+ m
( −2) 4 ⋅ ( −2) 3 = ( −2) 4 +3 = ( −2) 7

28. 28
2ª) Quociente de potências de mesma base
Exemplos:
65 : 6 2 = 6 5− 2 = 6 3
a n : a m = a n −m
(−10)8 : ( −10) 3 = ( −10) 8−3 = ( −10) 5
3ª) Potência de uma potência
Exemplos:
(10 )
2 5
= 10 2⋅5 = 1010
(a )
n m
= a n⋅ m
[(− 8) ]3
5
= (− 8) = (− 8)
3⋅5 15
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
Exemplos:
(6 ⋅ 5)8 = 68 ⋅ 58
( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
( a : b) n = a n : b n
[(−10) : 2]
4
= ( −10) 4 : 2 4
Observação:
Para todo número real a, com a ≠ 0 , temos a 0 = 1
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
22 = 2 ⋅ 2 = 4 2⋅2⋅2 8 23
22 = = =4 22 = = 23−1 = 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
21 = 2 2 2 2
2⋅2 4 22
20 = 1 21 = = =2 2 =
1
= 2 2−1 = 21 = 2
2 2 2
2 21
20 = = 1 20 = = 21−1 = 20 = 1
2 2

29. 29
EXERCÍCIOS A11

30. 30
Raiz quadrada exata de um número inteiro
Vamos considerar o exemplo abaixo:
9 = 3 ⋅ 3 = 32
Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz quadrada de 9. A operação
realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é:
ou 2 .
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.
Assim: a = b é o mesmo que b 2 = a , com b > 0.
Os números que podem ser escritos como potência de expoente 2 são denominados quadrados
perfeitos. Somente esses números têm como raiz quadrada um número inteiro positivo.
Exemplos:
a) 4 = 2 , porque 2 2 = 4 e 2 > 0.
b) 36 = 6 , porque 6 2 = 36 e 6 > 0.
Existe raiz quadrada de um número negativo?
Vamos analisar, por exemplo, − 25 .
Sabemos que ( +5) 2 = 25 e ( −5) 2 = 25 . Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja − 25 . O
mesmo ocorre com qualquer raiz quadrada de número negativo.

31. 31
EXERCÍCIOS A12
EXERCÍCIOS A13

32. 32
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:
Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:
Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São
Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da
matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,
2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.