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Matemática
              Fascículo 02
Manoel Benedito Rodrigues
Índice

Geometria Plana

Resumo Teórico .................................................................................................................................1
Exercícios ...........................................................................................................................................3
Dicas .................................................................................................................................................5
Resoluções ........................................................................................................................................6
Geometria Plana

Resumo Teórico

Principais Fórmulas
Lei dos Senos


                g
    a                           b
                                R
        b                   a
                                                      a    b    c
                    c                                   =    =     = 2R
                                                    sena senb seng


Lei dos Cossenos

                                                               a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
    g
                                a                              b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
b
            a
                                            b                  c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
                                c



Relações Métricas no Triângulo Retângulo

                                                               h2=m × n           b × c=a × h

    b                   h                       c              b2=a × m           a2=b2 + c2

        m                               n                      c2=a × n

                                    a



Relações Métricas no Círculo
                                                                                                   B
                                                                            P
                                                                  A
                                                       B                                                     A
A                                                                     C
            P                   D
C                                                                                                                  P
                        B                                  D                                           T

PA × PB = PC × PD                                       PA × PB = PC × PD                        (PT)2 = PA × PB




                                                                                                                       1
Razões Trigonométricas


                    a
                                             b
                                                                b         c         b
        a                                                sen a = , cos a = e tg a =
                                                                a         a         c
                    c



Polígonos Convexos

Sendo           n= número de lados;
                d= número de diagonais;
                Si= soma dos ângulos internos e
                Se= soma dos ângulos externos,
                    n(n – 3)
temos:      d=                               Si = (n – 2) × 180º         e     Se = 360º
                       2


Teorema da Bissetriz Interna
            A



     b                               c

            x                    y
                    S                                              b c
                                                                    =
                                                                   x y


Teorema da Bissetriz Externa

                        A

                b                                c
                             c

                                         y
     C                                                      S            b c
                         B                                                =
                                                                         x y
                                     x




2
Semelhança de Triângulos

   Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos:

                     A

                                                                         P
                             b
    H            c                                                                     y
                                                             h       z

             B                               C                   Q                         R
                         a                                                         x

   a b c H                                                   Área DABC
    = = = =k                                                                  = k2
   x y z h                                                   Área DPQR


   Comprimento da Circunferência


             R                                   R
                                                     a   l



                                                     a
   C = 2pR                         a em graus: l =      ×(2pR)
                                                   360º
                                   a em radianos: l = aR


   Áreas

   Círculo                   Setor Circular


             R                       R                                         R                      R
                                         a                                         a                       l



                                  a ×p ×R2                                   a ×R2                  l ×R
   A = p ×R2                 A=                                  A=                            A=
                                   360º                                        2                     2
                             a em graus                          a em radianos


   Exercícios

01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em
    graus, do ângulo 3 é:
   a. 50
   b. 55
   c. 60
   d. 80
   e. 100




                                                                                                           3
02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
   de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’
   (ambos medidos em cm), obtém–se
      11
   a.
      6
   b. 2
      11
   c.
      3
      22
   d.
       3
   e. 11


                                   $
03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e
    N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
   a. 10
   b. 15
   c. 20
   d. 30
   e. 40


04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades
    de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale
   a. 24
   b. 12
      5 3
   c.
       2
   d. 6 2
   e. 2 3


05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes
    contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,
    EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?
   a. 37,2
   b. 38,2
   c. 40,2
   d. 41,2
   e. 42,2




   4
06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os
    ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.
   Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
   a.   6e   3
   b.   5e   3
   c.   6e   2
   d.   6e   5
   e.   3e   5




07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm
    as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é
   a. 3
   b. 2 3
   c. 4 3
   d. 6 3
   e. 8 3




   Dicas

01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.
   Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.


02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a
    2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?


03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
    lado e mede a metade da medida do terceiro lado.


04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.


05. A seguinte figura pode ajudar:
   Área do retângulo = base x altura




                                                                                                         5
06. Note que o triângulo BCD é isósceles.
    Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD.


07. Considere a seguinte figura:




    Resoluções

01. Alternativa e.
        $     $ $
    1. DBA = D = 1 (alternos internos)
             $
    2. DABC: 3 é ângulo externo, logo:
             $ $ $
             3 = 1+2

               $
               3 = 45º +55º

               $
               3 = 100º


02. Alternativa c.
     360º 110º         55p
           =    Þ AB =     cm
    2p ×10              9
             AB

    360º 60º                5p
           =       Þ A' B'=    cm
    2p × 5                   3
             A' B'

           55p
    AB          11
          = 9 =
            5p  3
    A' B'
             3


03. Alternativa c.
         M ponto médio de CD ü
    1.                       ý Þ MN // BD; BD = 4cm
         N ponto médio de BC þ
         DADB é equilátero ü    $
    2.    $                ý Þ DBC = 90º
         ABC = 150º        þ
    3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se:
              (BC) × (BD) 10 × 4
       ABCD =            =       Þ ABCD = 20cm2
                  2         2




    6
04. Alternativa a.
                                  $
    1. Se AB é diâmetro, o ângulo C é reto.
       Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:
       AC2 + BC2 = AB2
       AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm
                 (AC) × (BC) 8 × 6
    2. ADABC =              =         ADABC = 24 cm2
                     2        2


05. Alternativa e.
    1.a resolução:
    AI = 6 × 2,5 = 15 m2
    AII = 5 × 4,8 = 24 m2
    AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2
    AT: área total
    AT = AI + AII + AIII
    AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2




    2.a resolução:
    Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2
    Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2
    Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2
    Área da sala ABCDEFGH =
    51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2




06. Alternativa c.
    1. DBCD
       $
       B= 45º Þ BC = 2 dm
       BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2

    2. DBCD
                     x 3     x
      cos 30º =          Þ
                         =      Û x = 6 dm
                2 2   2    2 2
                 y   1     y
      sen 30º =     Þ =        Û y = 2 dm
                2 2  2 2 2




                                                       7
07. Alternativa e
    Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.
    Temos:
    1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo.
    Logo, ABCD é trapézio isósceles
    2. No triângulo ADE:
             x     3 x
    sen 60º =  Þ    = Û x = 2 3 cm
             4    2  4
             y   1 y
    cos 60º = Þ = Û y = 2 cm
             4   2 4
    3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD
    4. Seja A a área do trapézio ABCD
        (AB + CD) × DE        (6 + 2) × 2 3
    A=                 ÞA=                  Û A = 8 3 cm 2
               2                    2




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  • 1. Matemática Fascículo 02 Manoel Benedito Rodrigues
  • 2. Índice Geometria Plana Resumo Teórico .................................................................................................................................1 Exercícios ...........................................................................................................................................3 Dicas .................................................................................................................................................5 Resoluções ........................................................................................................................................6
  • 3. Geometria Plana Resumo Teórico Principais Fórmulas Lei dos Senos g a b R b a a b c c = = = 2R sena senb seng Lei dos Cossenos a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a g a b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b b a b c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g c Relações Métricas no Triângulo Retângulo h2=m × n b × c=a × h b h c b2=a × m a2=b2 + c2 m n c2=a × n a Relações Métricas no Círculo B P A B A A C P D C P B D T PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2 = PA × PB 1
  • 4. Razões Trigonométricas a b b c b a sen a = , cos a = e tg a = a a c c Polígonos Convexos Sendo n= número de lados; d= número de diagonais; Si= soma dos ângulos internos e Se= soma dos ângulos externos, n(n – 3) temos: d= Si = (n – 2) × 180º e Se = 360º 2 Teorema da Bissetriz Interna A b c x y S b c = x y Teorema da Bissetriz Externa A b c c y C S b c B = x y x 2
  • 5. Semelhança de Triângulos Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos: A P b H c y h z B C Q R a x a b c H Área DABC = = = =k = k2 x y z h Área DPQR Comprimento da Circunferência R R a l a C = 2pR a em graus: l = ×(2pR) 360º a em radianos: l = aR Áreas Círculo Setor Circular R R R R a a l a ×p ×R2 a ×R2 l ×R A = p ×R2 A= A= A= 360º 2 2 a em graus a em radianos Exercícios 01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: a. 50 b. 55 c. 60 d. 80 e. 100 3
  • 6. 02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’ de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’ (ambos medidos em cm), obtém–se 11 a. 6 b. 2 11 c. 3 22 d. 3 e. 11 $ 03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é: a. 10 b. 15 c. 20 d. 30 e. 40 04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale a. 24 b. 12 5 3 c. 2 d. 6 2 e. 2 3 05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m, EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados? a. 37,2 b. 38,2 c. 40,2 d. 41,2 e. 42,2 4
  • 7. 06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a. 6e 3 b. 5e 3 c. 6e 2 d. 6e 5 e. 3e 5 07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é a. 3 b. 2 3 c. 4 3 d. 6 3 e. 8 3 Dicas 01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo. Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes. 02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a 2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º? 03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade da medida do terceiro lado. 04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo. 05. A seguinte figura pode ajudar: Área do retângulo = base x altura 5
  • 8. 06. Note que o triângulo BCD é isósceles. Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD. 07. Considere a seguinte figura: Resoluções 01. Alternativa e. $ $ $ 1. DBA = D = 1 (alternos internos) $ 2. DABC: 3 é ângulo externo, logo: $ $ $ 3 = 1+2 $ 3 = 45º +55º $ 3 = 100º 02. Alternativa c. 360º 110º 55p = Þ AB = cm 2p ×10 9 AB 360º 60º 5p = Þ A' B'= cm 2p × 5 3 A' B' 55p AB 11 = 9 = 5p 3 A' B' 3 03. Alternativa c. M ponto médio de CD ü 1. ý Þ MN // BD; BD = 4cm N ponto médio de BC þ DADB é equilátero ü $ 2. $ ý Þ DBC = 90º ABC = 150º þ 3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se: (BC) × (BD) 10 × 4 ABCD = = Þ ABCD = 20cm2 2 2 6
  • 9. 04. Alternativa a. $ 1. Se AB é diâmetro, o ângulo C é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos: AC2 + BC2 = AB2 AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm (AC) × (BC) 8 × 6 2. ADABC = = ADABC = 24 cm2 2 2 05. Alternativa e. 1.a resolução: AI = 6 × 2,5 = 15 m2 AII = 5 × 4,8 = 24 m2 AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2 AT: área total AT = AI + AII + AIII AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2 2.a resolução: Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2 Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2 Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2 Área da sala ABCDEFGH = 51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2 06. Alternativa c. 1. DBCD $ B= 45º Þ BC = 2 dm BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2 2. DBCD x 3 x cos 30º = Þ = Û x = 6 dm 2 2 2 2 2 y 1 y sen 30º = Þ = Û y = 2 dm 2 2 2 2 2 7
  • 10. 07. Alternativa e Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD. Temos: 1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo. Logo, ABCD é trapézio isósceles 2. No triângulo ADE: x 3 x sen 60º = Þ = Û x = 2 3 cm 4 2 4 y 1 y cos 60º = Þ = Û y = 2 cm 4 2 4 3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD 4. Seja A a área do trapézio ABCD (AB + CD) × DE (6 + 2) × 2 3 A= ÞA= Û A = 8 3 cm 2 2 2 8