1. Exercícios sobre matrizes
1) Calcule 2A + 3B para:
1 4 1 − 1
1 3 − 1 0
a) A =
5 4 e B =
2 3 b) A = 3 7 e B = 3 2
2 − 1 4 − 3
1 2
10 1 − 7
c) A = 3 5 e B =
−1 0 3
− 1 3
3 6 1 x
2) Dada a matriz A = − 1 4 , escreva A na forma A = λ B, com B = y z e na forma
5 7 t w
a b
A = α C, com C = c d .
1 f
3) Calcule os seguintes produtos:
0 2
1
a) .[0 − 2 1 5] b) (2 9 1). 1 3
− 3 − 1 0
cos 15o
− sen15o
4) Sendo A = , calcule 2(A.A).
sen15 o cos 15o
Lembrete: sen(2a) = 2sen(a).cos(a) cos(2a) = cos 2(a) - sen2(a)
Exercícios sobre determinantes
1) Calcule os determinantes abaixo:
1 2 3 1 2 0
2 5 a b
a) b) c) 9 7 4 d) 7 3 0
1 7 1 −5
2 3 1 4 −4 1
1
aa2
2) Para quais valores de a e b o determinante 3 pode ser zero?
2a b
2
x 2x 1
3) Para que valores de a, o determinante 1 x 2 pode se anular? (Considere que x é raiz
a 3 1
real do polinômio de segundo grau correspondente).
2. 4) Utilize o teorema de Laplace para calcular os determinantes abaixo.
a11 a12 a13
a a 23 a a 23 a a 22
Observação: a 21 a 22 a 23 = a11 ⋅ 22 − a12 ⋅ 21 + a13 ⋅ 21
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
2 5 7 1 0 3 a b c i j k
a) 3 − 1 2 b) 3 2 1 c) 2 1 3 d) 2 1 1
4 7 5 −1 4 7 3 1 4 −1 0 3
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES
5 5
−1 6
1) a)
16 17
b) 15 20 c) Não é possível realizar a operação 2A + 3B, pois
16 − 11
as matrizes A3 x 2 e B2 x 3 não são de mesmo tipo.
1 2 3 / 5 6 /5
2) A = 3 − 1 / 3 4 / 3 A = 5 − 1 / 5 4 / 5
5 / 3 7 / 3 1 7 /5
0 − 2 1 5
3) a)
b) (8 31)
0 6 − 3 − 15
3 − 1
4)
1 3
DETERMINANTES
1) a) 9 b)-5a-b c) 32 d) -11.
2) a = 0 ou b = 2/3
3) a > 18 + 2 69 ≈ 34,613 ou a < 18 − 2 69 ≈ 1,387 .
4) a) 102
b) 52
a b c
c) 2 1 3 = a1 3 − b 2 3 + c 3 1 = a + b − c
1 4 3 4
2
1
3 1 4
i j k
1 1 2 1 2 1
d) 2 1 1 =i⋅ − j⋅ + k⋅ = 3i − 7 j + k
0 3 −1 3 −1 0
−1 0 3