SlideShare a Scribd company logo
1 of 111
Nguyên hàm và tích phân bất định
            Hai phương pháp tính tích phân
  Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




     Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM

           Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng



                    Ngày 17 tháng 11 năm 2010




    Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                   Hai phương pháp tính tích phân
         Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




NỘI DUNG CHÍNH
   Nguyên hàm và tích phân bất định




           Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                   Hai phương pháp tính tích phân
         Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




NỘI DUNG CHÍNH
   Nguyên hàm và tích phân bất định
   Các phương pháp tính tích phân




           Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                   Hai phương pháp tính tích phân
         Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




NỘI DUNG CHÍNH
   Nguyên hàm và tích phân bất định
   Các phương pháp tính tích phân
   Phép tính nguyên hàm một số hàm số




           Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.
      Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
      đóng [a; b] nếu:




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.
      Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
      đóng [a; b] nếu:
           F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.
      Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
      đóng [a; b] nếu:
           F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
           F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.
      Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
      đóng [a; b] nếu:
           F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
           F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                         Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Nguyên hàm của hàm số một biến

  Định nghĩa
  Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
      Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
  hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
  F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).

      Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
      một hằng số.
      Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
      đóng [a; b] nếu:
           F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
           F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).
                                                                                                      x3
      Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 là hàm số F (x) =
                                                                                                      3
           . Nguyên hàm của hàm số f (x) = sinx là hàm số
  F (x) = −cosx
                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C




                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C


   Các tính chất đơn giản
   1.   f (x)dx      = f (x).




                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C


   Các tính chất đơn giản
   1. f (x)dx = f (x).
   2.d  f (x)dx = f (x)dx




                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C


   Các tính chất đơn giản
   1. f (x)dx = f (x).
   2.d   f (x)dx = f (x)dx
   3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C




                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C


   Các tính chất đơn giản
   1. f (x)dx = f (x).
   2.d   f (x)dx = f (x)dx
   3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C
   4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C




                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                          Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
                Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

tích phân bất định


   Định nghĩa
   Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
   các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
   số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
   f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C


   Các tính chất đơn giản
   1. f (x)dx = f (x).
   2.d   f (x)dx = f (x)dx
   3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C
   4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C
   5. αf (x)dx = α f (x)dx
   6. (f (x) + g (x)) dx = f (x)dx+ g (x)dx


                  Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số một biến
                     Hai phương pháp tính tích phân   Tích phân bất định
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.

Tích phân một số hàm cơ bản




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                           (1)




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                           (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                            Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                            Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                             (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                    (2)




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                            Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                            Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =             f (t)dt     t=ϕ(x)
                                                             (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                    (2)
                               dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                              sin x




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                                Phương pháp đổi biến số
                           Hai phương pháp tính tích phân
                                                                Phương pháp tích phân từng phần
                 Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =                 f (t)dt     t=ϕ(x)
                                                                 (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =            f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                        (2)
                                   dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                                  sin x
          dx
   I =
         sin x




                   Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                             Phương pháp đổi biến số
                        Hai phương pháp tính tích phân
                                                             Phương pháp tích phân từng phần
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =             f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                              (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =         f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                     (2)
                             dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                            sin x
          dx         sin xdx
   I =         =
         sin x        sin2 x




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                             Phương pháp đổi biến số
                        Hai phương pháp tính tích phân
                                                             Phương pháp tích phân từng phần
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =             f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                              (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =         f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                     (2)
                             dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                            sin x
          dx         sin xdx                    dcosx
   I =         =              =−
         sin x        sin2 x                  1 − cos 2 x




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                              Phương pháp đổi biến số
                         Hai phương pháp tính tích phân
                                                              Phương pháp tích phân từng phần
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
       f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                               (1)

         Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
       f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay     f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                      (2)
                            dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                           sin x
            dx      sin xdx                      dcosx                        dt
   I =           =           =−                            =−
           sin x     sin2 x                    1 − cos 2 x                  1 − t2
       1        dt        dt
   =               −
       2      t −1      t +1



                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                            Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                            Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                             (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                    (2)
                         dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                        sin x
         dx      sin xdx                       dcosx                        dt
   I =        =           =−                             =−
        sin x     sin2 x                     1 − cos 2 x                  1 − t2
      1      dt        dt
   =            −
      2    t −1      t +1
      1    cosx − 1
   = ln               +C
      2    cosx + 1
               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                            Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                            Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                             (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                    (2)
                         dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                        sin x
         dx      sin xdx          dcosx                                     dt
   I =        =      2
                          =−                =−
        sin x     sin x         1 − cos 2 x                               1 − t2
      1      dt        dt
   =            −
      2    t −1      t +1
      1    cosx − 1           1       x
   = ln               + C = ln tan          +C
      2    cosx + 1           2       2
               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                            Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                            Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phương pháp đổi biến số

       Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
   [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
     f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx =            f (t)dt      t=ϕ(x)
                                                             (1)

      Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
    f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
   hay   f (x)dx =        f (ϕ(t))ϕ (t)dt               t=ϕ−1 (x)
                                                                    (2)
                         dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                        sin x
         dx      sin xdx          dcosx                                     dt
   I =        =      2
                          =−                =−
        sin x     sin x         1 − cos 2 x                               1 − t2
      1      dt        dt
   =            −
      2    t −1      t +1
      1    cosx − 1           1       x
   = ln               + C = ln tan          +C
      2    cosx + 1           2       2
               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng             Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                     Phương pháp đổi biến số
                    Hai phương pháp tính tích phân
                                                     Phương pháp tích phân từng phần
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




                     ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính       √
                      1 − x 2 arccos x




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                      Phương pháp đổi biến số
                     Hai phương pháp tính tích phân
                                                      Phương pháp tích phân từng phần
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




                    ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính      √
                     1 − x 2 arccos x
                                  −dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
                              1 − x 2 arccos x
        ln(arccos x)dx         1
I = √                       = ln2 (arccos x) + C
        1−x   2 · arccos x     2




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                      Phương pháp đổi biến số
                     Hai phương pháp tính tích phân
                                                      Phương pháp tích phân từng phần
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




                    ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính      √
                     1 − x 2 arccos x
                                  −dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
                              1 − x 2 arccos x
        ln(arccos x)dx         1
I = √                       = ln2 (arccos x) + C
        1−x   2 · arccos x     2
                      dx
Ví dụ 3. Tính               bằng phương pháp đổi biến.
                   a2 + x 2




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                      Phương pháp đổi biến số
                     Hai phương pháp tính tích phân
                                                      Phương pháp tích phân từng phần
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số




                    ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính      √
                     1 − x 2 arccos x
                                  −dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
                              1 − x 2 arccos x
        ln(arccos x)dx         1
I = √                       = ln2 (arccos x) + C
        1−x   2 · arccos x     2
                      dx
Ví dụ 3. Tính               bằng phương pháp đổi biến.
                   a2 + x 2
                                                  a2               dt
Sử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x 2 =     , dx = a.
                                                cos 2 t           cos 2 t
      dx         a.dt      a2     1     1       1           x
    2 + x2
           =        2t
                       :     2t
                                =   dt = t + C = arctan + C
  a             cos      cos      a     a       a           a
Chú √ Thông thường khi gặp biểu thức:
      ý.
   . a2 − x 2 , ta đặt x = asint
         1
   . 2       , ta đặt x = atant
      a + x2
và sử dụng phép đổi biến số dạng (2)


             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phép phân đoạn




      Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong
  (a; b).
      Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra
    u · v dx = u · v − v · u dx
  hay    u · dv = u · v −           v · du




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Phép phân đoạn




      Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong
  (a; b).
      Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra
    u · v dx = u · v − v · u dx
  hay    u · dv = u · v −           v · du




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Chú ý



  Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng:

                                            Pn (x) ln xdx
                                            Pn (x) arcsinxdx
                                            Pn (x) arccos xdx

  Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Chú ý



  Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng:

                                            Pn (x) ln xdx
                                            Pn (x) arcsinxdx
                                            Pn (x) arccos xdx

  Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u
  Khi gặp
                               Pn (x)e x dx
                               Pn (x)sinxdx
                               Pn (x)cosxdx

  Đặt u = Pn (x), dv là phần còn lại.




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Ví dụ



   Ví dụ 1. Tính I =         arccos2 xdx




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định
                                                        Phương pháp đổi biến số
                       Hai phương pháp tính tích phân
                                                        Phương pháp tích phân từng phần
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số

Ví dụ



   Ví dụ 1. Tính I =    arccos2 xdx
                              −2 arccos xdx
   Đặt u = arccos 2 x ⇒ du = √              , dv = dx ⇒ v = x
                                   1 − x2
                          −2x arccos x
   ⇒ I = x arccos2 x −      √          dx = x arccos2 x + I1
                              1 − x2
                           −dx
   u = arccos x ⇒ du = √
                           1 − x2
           xdx                 xdx        √
   dv = √         ⇒v = √              = − 1 − x2 + C
                2             1 − x2 √
         √ −x
           1
   I1 = − 1 − x 2 arccos x − dx = − 1 − x 2 arccos x − x + C2




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                       Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ


    Pn (x)
           dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
    Qm (x)
      1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
                Rk (x)
  chẳng hạn            dx, với 0 ≤ k < m.
               Qm (x)




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                       Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ


    Pn (x)
           dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
    Qm (x)
      1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
                Rk (x)
  chẳng hạn            dx, với 0 ≤ k < m.
               Qm (x)
      2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ


    Pn (x)
           dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
    Qm (x)
      1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
                Rk (x)
  chẳng hạn            dx, với 0 ≤ k < m.
               Qm (x)
      2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
                    s               s                   t1                                              tv
  Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ


    Pn (x)
           dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
    Qm (x)
       1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
                 Rk (x)
  chẳng hạn               dx, với 0 ≤ k < m.
                Qm (x)
       2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
                     s               s                   t1                                             tv
  Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv
       3.Phân tích
   Pk (x)                  Pn (x)
           =           s1                  t
  Qm (x)     (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1
        A1           A2                    As1
  =            +            2
                               + ··· +          s
     (x − a1 ) (x − a1 )               (x − a1 ) 1
              B1 x + C1               B2 x + C2                  Bt1 x + Ct1
  +··· + 2                     +                    + ··· +                   t
           (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2             (x 2 + p1 x + q1 ) 1


                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ


    Pn (x)
           dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
    Qm (x)
       1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
                 Rk (x)
  chẳng hạn               dx, với 0 ≤ k < m.
                Qm (x)
       2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
                     s               s                   t1                                             tv
  Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv
       3.Phân tích
   Pk (x)                  Pn (x)
           =           s1                  t
  Qm (x)     (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1
        A1           A2                    As1
  =            +            2
                               + ··· +          s
     (x − a1 ) (x − a1 )               (x − a1 ) 1
              B1 x + C1               B2 x + C2                  Bt1 x + Ct1
  +··· + 2                     +                    + ··· +                   t
           (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2             (x 2 + p1 x + q1 ) 1


                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




   5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
       dx               1
1.           =                  n−1
                                     + C, n = 1
   (x − a)n    (n − 1) (x − a)
   (Mx + n) dx     M        2x+p              Mp        dx
2.
   x 2 + px + q
                =
                   2     x 2 +px+q dx + N − 2      x 2 + px + q




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                         Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




     5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
         dx                       1
1.               =                          n−1
                                                 + C, n = 1
     (x − a)n        (n − 1) (x − a)
     (Mx + n) dx           M          2x+p                      Mp                dx
2.
     x 2 + px + q
                       =
                            2      x 2 +px+q dx + N − 2                   x  2 + px + q
               dx                        1                        −2nxdx
3.In =                  nu =                   n ⇒ du =                    n+1
          (x 2 + a2 )            (x 2 + a2 )                   (x 2 + a2 )
dv = dx ⇒ v = x
           x                           x 2 dx
In = 2            n + 2n                      n+1
      (x + a2 )                 (x 2 + a2 )
           x                      x + a − a2 dx
                                    2       2
In = 2            n + 2n                         n+1
      (x + a2 )                     (x 2 + a2 )
           x                           dx                            dx
In = 2         2 )n
                     + 2n           2 + a 2 )n
                                                 − 2na2                   n+1
      (x + a                    (x                             (x 2 + a2 )
           x                             2
In = 2            n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi
      (x + a2 )
          1              x
In+1 =       2        2 + a2 )n
                                   + (2n − 1) In
         2na      (x
           dx           1            x
I =            Đàm =       arctan + C
                    Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng    Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                         Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




     5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
         dx                       1
1.               =                          n−1
                                                 + C, n = 1
     (x − a)n        (n − 1) (x − a)
     (Mx + n) dx           M          2x+p                      Mp                dx
2.
     x 2 + px + q
                       =
                            2      x 2 +px+q dx + N − 2                   x  2 + px + q
               dx                        1                        −2nxdx
3.In =                  nu =                   n ⇒ du =                    n+1
          (x 2 + a2 )            (x 2 + a2 )                   (x 2 + a2 )
dv = dx ⇒ v = x
           x                           x 2 dx
In = 2            n + 2n                      n+1
      (x + a2 )                 (x 2 + a2 )
           x                      x + a − a2 dx
                                    2       2
In = 2            n + 2n                         n+1
      (x + a2 )                     (x 2 + a2 )
           x                           dx                            dx
In = 2         2 )n
                     + 2n           2 + a 2 )n
                                                 − 2na2                   n+1
      (x + a                    (x                             (x 2 + a2 )
           x                             2
In = 2            n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi
      (x + a2 )
          1              x
In+1 =       2        2 + a2 )n
                                   + (2n − 1) In
         2na      (x
           dx           1            x
I =            Đàm =       arctan + C
                    Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng    Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
   1       −3+1         −1
= − (x − 2)     +C =           +C
   2                 2(x − 2)2




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
    1        −3+1           −1
= − (x − 2)       +C =             +C
    2                    2(x − 2)2
                        dx
Ví dụ 2. Tính I =    2 + 2x + 5
                   x




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
    1        −3+1            −1
= − (x − 2)       +C =               +C
    2                     2(x − 2)2
                          dx
Ví dụ 2. Tính I =     2 + 2x + 5
                    x
           dx              d (x + 1)    1       x +1
I =                 =                  = arctan      +C
      (x + 1)2 + 22      (x + 1)2 + 22  2         2




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
    1        −3+1            −1
= − (x − 2)       +C =               +C
    2                     2(x − 2)2
                          dx
Ví dụ 2. Tính I =     2 + 2x + 5
                    x
           dx              d (x + 1)    1       x +1
I =                 =                  = arctan      +C
      (x + 1)2 + 22      (x + 1)2 + 22  2         2
                       (x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
                    (x − 2)(x + 1)




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
    1        −3+1             −1
= − (x − 2)       +C =                +C
    2                      2(x − 2)2
                           dx
Ví dụ 2. Tính I =      2 + 2x + 5
                     x
           dx               d (x + 1)      1       x +1
I =                 =                   = arctan         +C
      (x + 1)2 + 22       (x + 1)2 + 22    2         2
                        (x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
                     (x − 2)(x + 1)
    x +4            A         B
               =         +
(x − 2)(x + 1)    x −2 x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1.
       2dx       dx                                       (x − 2)2
I =        −           = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln          +C
      x −2      x +1                                       x +1


            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 1. Tính I =
                           (x − 2)3
      d (x − 2)
I =             =        (x − 2)−3 d (x − 2)
      (x − 2)3
    1        −3+1             −1
= − (x − 2)       +C =                +C
    2                      2(x − 2)2
                           dx
Ví dụ 2. Tính I =      2 + 2x + 5
                     x
           dx               d (x + 1)      1       x +1
I =                 =                   = arctan         +C
      (x + 1)2 + 22       (x + 1)2 + 22    2         2
                        (x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
                     (x − 2)(x + 1)
    x +4            A         B
               =         +
(x − 2)(x + 1)    x −2 x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1.
       2dx       dx                                       (x − 2)2
I =        −           = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln          +C
      x −2      x +1                                       x +1


            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
                             2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I =                                  dx
                            (x 2 + 3)(x 2 − x + 1)




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
                        2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I =                             dx
                       (x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
     3    2
 2x + x + 5x + 1           Ax + B        Cx + D
   2 + 3)(x 2 − x + 1)
                        = 2          + 2
(x                          x +3       x −x +1




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
                        2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I =                             dx
                       (x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
     3    2
 2x + x + 5x + 1           Ax + B        Cx + D
   2 + 3)(x 2 − x + 1)
                        = 2          + 2
(x                          x +3       x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
                        2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I =                             dx
                       (x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
     3    2
  2x + x + 5x + 1          Ax + B        Cx + D
   2 + 3)(x 2 − x + 1)
                        = 2          + 2
(x                          x +3       x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.
         dx            2xdx
I =            +
       x2 + 3      x2 − x + 1




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
                        2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I =                             dx
                       (x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
     3    2
  2x + x + 5x + 1          Ax + B        Cx + D
   2 + 3)(x 2 − x + 1)
                        = 2          + 2
(x                          x +3       x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.
         dx            2xdx
I =            +
       x2 + 3      x2 − x + 1




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                dx
Ví dụ 5. Tính I =
                           x 2 + 2x + 5




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                            dx
Ví dụ 5. Tính I =
                      x 2 + 2x + 5
            dx                d (x + 1)     1       x +1
I =                  =                     = arctan      +C =
       (x + 1)2 + 22       (x + 1)2 + 22    2         2
     dx        (2x − 1) + 1
          +                  dx
  x2 + 3        x2 − x + 1
    1         x                         2       2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √            +C
                3                        3          3




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                            dx
Ví dụ 5. Tính I =
                      x 2 + 2x + 5
            dx                d (x + 1)      1      x +1
I =                  =                     = arctan      +C =
       (x + 1)2 + 22       (x + 1)2 + 22     2        2
     dx        (2x − 1) + 1
          +                  dx
  x2 + 3        x2 − x + 1
    1         x                         2       2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √            +C
                3                        3          3
                           4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I =                         dx
                      (x − 1)2 (x 2 + 1)2




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                      Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
            Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 5. Tính I =
                        x 2 + 2x + 5
             dx                 d (x + 1)       1          x +1
I =                    =                      = arctan            +C =
        (x + 1)2 + 22        (x + 1)2 + 22      2             2
     dx         (2x − 1) + 1
           +                   dx
  x2 + 3          x2 − x + 1
    1           x                          2           2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √                    +C
                 3                          3              3
                             4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I =                            dx
                        (x − 1)2 (x 2 + 1)2
        P(x)               A          B                    Ex + F
                     =          +            + Cx+D +
                                                x 2 +1               (*)
(x 2 + 1)2 (x − 1)2     x − 1 (x − 1)2                    (x 2 + 1)
                                                                   2

Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4.
  (−2x + 4)dx            −2xdx              4dx
                   =               +
     (x 2 + 1)2        (x 2 + 1)2       (x 2 + 1)2
                                            4dx
Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 =                  2
                                        (x 2 + 1)


              Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                      Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
            Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 5. Tính I =
                        x 2 + 2x + 5
             dx                 d (x + 1)       1          x +1
I =                    =                      = arctan            +C =
        (x + 1)2 + 22        (x + 1)2 + 22      2             2
     dx         (2x − 1) + 1
           +                   dx
  x2 + 3          x2 − x + 1
    1           x                          2           2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √                    +C
                 3                          3              3
                             4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I =                            dx
                        (x − 1)2 (x 2 + 1)2
        P(x)               A          B                    Ex + F
                     =          +            + Cx+D +
                                                x 2 +1               (*)
(x 2 + 1)2 (x − 1)2     x − 1 (x − 1)2                    (x 2 + 1)
                                                                   2

Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4.
  (−2x + 4)dx            −2xdx              4dx
                   =               +
     (x 2 + 1)2        (x 2 + 1)2       (x 2 + 1)2
                                            4dx
Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 =                  2
                                        (x 2 + 1)


              Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




    Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển
Heaviside:
Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 +
+(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2
Thay x = 1, tìm được B = −1.
Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1.




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




    Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển
Heaviside:
Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 +
+(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2
Thay x = 1, tìm được B = −1.
Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1.




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định      Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân     Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số       Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Tích phân có chứa...
                 p1                             p2       
         ax + b q1               ax + b          q2
  R x,              ,                                , · · ·dx
                                                            
         cx + d                  cx + d




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng           Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định      Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân     Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số       Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Tích phân có chứa...
                 p1                              p2       
         ax + b q1                ax + b          q2
  R x,              ,                                 , · · ·dx
                                                             
         cx + d                   cx + d
                                   ax + b
Cách giải: Đổi biến t n =                 , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
                                   cx + d




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng           Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định      Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân     Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số       Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Tích phân có chứa...
                 p1                              p2       
         ax + b q1                ax + b          q2
  R x,              ,                                 , · · ·dx
                                                             
         cx + d                   cx + d
                                   ax + b
Cách giải: Đổi biến t n =                 , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
                                   cx + d

Tích phân có chứa
√
  ax 2 + bx + c




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng           Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định      Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân     Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số       Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Tích phân có chứa...
                 p1                              p2       
         ax + b q1                ax + b          q2
  R x,              ,                                 , · · ·dx
                                                             
         cx + d                   cx + d
                                   ax + b
Cách giải: Đổi biến t n =                 , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
                                   cx + d

Tích phân có chứa
√
  ax 2 + bx + c
Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt 2 + β




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng           Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                     dx
Ví dụ 7. Tính I =          √            √
                               2x − 1 − 4 2x − 1




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 7. Tính I =           √    √
                        2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
      2t 2 dt                  1
I =           =2     t +1+           dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
       t −1                  t −1




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                              dx
Ví dụ 7. Tính I =           √    √
                        2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
      2t 2 dt                  1
I =           =2     t +1+           dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
       t −1                  t −1
                                            √
                      x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I =                     √             dx
                          (x + 1)(1 + 3 x + 1)




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                      Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
            Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                    dx
Ví dụ 7. Tính I =            √         √
                              2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
      2t 2 dt                        1
I =             =2         t +1+          dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
       t −1                        t −1
                                                 √
                            x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I =                           √            dx
                                (x + 1)(1 + 3 x + 1)
Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt
         (t 6 + t 4 + t)t 5 dt                      dt
I =6            6 (1 + t 2 )
                                = 6 t 3 dt + 6     2+1
                                                        =
              t                                  t
3√ 2
  3                  √
    x + 6 arctan 6 x + C
2




              Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                      Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
            Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                    dx
Ví dụ 7. Tính I =            √         √
                              2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
      2t 2 dt                        1
I =             =2         t +1+          dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
       t −1                        t −1
                                                 √
                            x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I =                           √            dx
                                (x + 1)(1 + 3 x + 1)
Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt
         (t 6 + t 4 + t)t 5 dt                      dt
I =6            6 (1 + t 2 )
                                = 6 t 3 dt + 6     2+1
                                                        =
              t                                  t
3√ 2
  3                  √
    x + 6 arctan 6 x + C
2




              Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Nguyên hàm của hàm lượng giác
   1.   R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Nguyên hàm của hàm lượng giác
    1.   R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .
                                  x
Cách giải chung: Đặt t = tan          , x ∈ (−π, π)
                                  2
                                dt
⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2
                              1 + t2
           2t             1 − t2
sin x =       2
                , cos x =
        1+t               1 + t2
                                   2t     1 − t 2 dt
  R (sin x, cos x)dx = 2 R              ,
                                      2 1 + t 2 1+t 2
                                 1+t




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




Nguyên hàm của hàm lượng giác
    1.   R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .
                                  x
Cách giải chung: Đặt t = tan          , x ∈ (−π, π)
                                  2
                                dt
⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2
                              1 + t2
           2t             1 − t2
sin x =       2
                , cos x =
        1+t               1 + t2
                                   2t     1 − t 2 dt
  R (sin x, cos x)dx = 2 R              ,
                                      2 1 + t 2 1+t 2
                                 1+t




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                   dx
   Ví dụ. Tính I =                               Đổi biến
                         3 sin x + 4 cos x + 5
         x
t = tan      , x ∈ (−π, π)
         2
            dt                2t             1 − t2
⇒ dx = 2          sin x =          , cos x =
          1 + t2            1 + t2           1 + t2
                      dt                           dt
I =2                                    =2
        6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 )        t 2 + 6t + 9
                                −2                 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) =             +C =                 +C
                               t +3          tan(x/2) + 3




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                   dx
   Ví dụ. Tính I =                               Đổi biến
                         3 sin x + 4 cos x + 5
         x
t = tan      , x ∈ (−π, π)
         2
            dt                2t             1 − t2
⇒ dx = 2          sin x =          , cos x =
          1 + t2            1 + t2           1 + t2
                      dt                           dt
I =2                                    =2
        6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 )        t 2 + 6t + 9
                                −2                 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) =             +C =                 +C
                               t +3          tan(x/2) + 3




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                                dx
Ví dụ. Tính I =
                       3 sin x + 4 cos x + 5




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                               dx
Ví dụ. Tính I =
                     3 sin x + 4 cos x + 5
                    x
Đổi biến t = tan         , x ∈ (−π, π)
                    2
            dt                 2t             1 − t2
⇒ dx = 2         ; sin x =          , cos x =
          1 + t2             1 + t2           1 + t2
                      dt                            dt
I =2                                    =2
        6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 )         t 2 + 6t + 9
                                −2                  −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) =             +C =                  +C
                               t +3           tan(x/2) + 3




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                     Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
           Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




                               dx
Ví dụ. Tính I =
                     3 sin x + 4 cos x + 5
                    x
Đổi biến t = tan         , x ∈ (−π, π)
                    2
            dt                 2t             1 − t2
⇒ dx = 2         ; sin x =          , cos x =
          1 + t2             1 + t2           1 + t2
                      dt                            dt
I =2                                    =2
        6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 )         t 2 + 6t + 9
                                −2                  −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) =             +C =                  +C
                               t +3           tan(x/2) + 3
Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh




             Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                    Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
          Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




R (sin x, cos x)dx
                                                                                               −π     π
1   1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈                                2 ,   2
2   2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π)
3   3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt
                     −π π
    t = tan x, x ∈       ,
                      2 2
4   4)   sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x




            Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                      Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
            Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.




 R (sin x, cos x)dx
                                                                                                 −π     π
  1   1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈                                2 ,   2
  2   2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π)
  3   3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt
                       −π π
      t = tan x, x ∈       ,
                        2 2
  4   4)   sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x

Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x




              Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                       Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
             Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Các ví dụ

                               (2 sin x + 3 cos x)dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                              sin2 x cos x + 9 cos3 x




               Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Các ví dụ

                          (2 sin x + 3 cos x)dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                         sin2 x cos x + 9 cos3 x
   R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
                                             dx
   t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
                                           cos2 x




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Các ví dụ

                           (2 sin x + 3 cos x)dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                          sin2 x cos x + 9 cos3 x
   R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
                                              dx
   t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
                                            cos2 x
   Chia tử và mẫu cho cos3 x
          (2 tan x + 3)d (tan x)       2t + 3          2t            3
   I =              2x +9
                                  =      2+9
                                              dt =    2+9
                                                          dt +     2 + 32
                                                                          dt
                tan                    t            t            t
                           t                               tan x
   = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan          +C
                           3                                 3




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                        Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
              Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Các ví dụ

                           (2 sin x + 3 cos x)dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                          sin2 x cos x + 9 cos3 x
   R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
                                              dx
   t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
                                            cos2 x
   Chia tử và mẫu cho cos3 x
          (2 tan x + 3)d (tan x)       2t + 3          2t            3
   I =              2x +9
                                  =      2+9
                                              dt =    2+9
                                                          dt +     2 + 32
                                                                          dt
                tan                    t            t            t
                           t                               tan x
   = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan          +C
                           3                                 3
                             3       8
   Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx




                Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tích phân bất định    Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
                         Hai phương pháp tính tích phân   Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
               Phép tính nguyên hàm của một số hàm số     Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Các ví dụ

                           (2 sin x + 3 cos x)dx
   Ví dụ 1. Tính I =
                          sin2 x cos x + 9 cos3 x
   R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
                                              dx
   t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
                                            cos2 x
   Chia tử và mẫu cho cos3 x
          (2 tan x + 3)d (tan x)       2t + 3            2t              3
   I =              2x +9
                                  =      2+9
                                              dt =      2+9
                                                             dt +      2 + 32
                                                                              dt
                tan                    t              t              t
                           t                                  tan x
   = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan              +C
                           3                                     3
                             3       8
   Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx
   Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx
   I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) =       1 − sin2 x sin8 x (cos xdx)




                 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng         Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8
Chuong8

More Related Content

What's hot

xử lý số tín hiệu -Chuong 3
xử lý số tín hiệu -Chuong 3xử lý số tín hiệu -Chuong 3
xử lý số tín hiệu -Chuong 3Ngai Hoang Van
 
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2Ngai Hoang Van
 
Giai nhanh phuong phap tinh
Giai nhanh phuong phap tinhGiai nhanh phuong phap tinh
Giai nhanh phuong phap tinhPham Huy
 
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phanBai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phandiemthic3
 
Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiaLcTrn2
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78lovestem
 
Xử lí tín hiệu số
Xử lí tín hiệu số Xử lí tín hiệu số
Xử lí tín hiệu số Tran An
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânchuateonline
 
Chuyên dề dấu tam thức bậc hai
Chuyên dề dấu tam thức bậc haiChuyên dề dấu tam thức bậc hai
Chuyên dề dấu tam thức bậc haiNhập Vân Long
 
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânTính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânChien Dang
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson caovanquy
 
Tailieu.vncty.com bai tap va bai giai phuong phap tinh
Tailieu.vncty.com   bai tap va bai giai phuong phap tinhTailieu.vncty.com   bai tap va bai giai phuong phap tinh
Tailieu.vncty.com bai tap va bai giai phuong phap tinhTrần Đức Anh
 
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phânBài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phânThế Giới Tinh Hoa
 
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnTính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnChien Dang
 

What's hot (20)

xử lý số tín hiệu -Chuong 3
xử lý số tín hiệu -Chuong 3xử lý số tín hiệu -Chuong 3
xử lý số tín hiệu -Chuong 3
 
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
 
Giai nhanh phuong phap tinh
Giai nhanh phuong phap tinhGiai nhanh phuong phap tinh
Giai nhanh phuong phap tinh
 
Hệ thống thông tin
Hệ thống thông tinHệ thống thông tin
Hệ thống thông tin
 
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phanBai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan
Bai tap co loi giai dao hamieng_va_vi_phan
 
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAYĐề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
Đề tài: Bài toán phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic, HAY
 
Dãy số vmo2009
Dãy số vmo2009Dãy số vmo2009
Dãy số vmo2009
 
Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptxGiai tich - Ham nhieu bien.pptx
Giai tich - Ham nhieu bien.pptx
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAYLuận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
 
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
 
Xử lí tín hiệu số
Xử lí tín hiệu số Xử lí tín hiệu số
Xử lí tín hiệu số
 
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đLuận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
Luận văn: Phép biến đổi phân tuyến tính, HAY, 9đ
 
đạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phânđạO hàm và vi phân
đạO hàm và vi phân
 
Chuyên dề dấu tam thức bậc hai
Chuyên dề dấu tam thức bậc haiChuyên dề dấu tam thức bậc hai
Chuyên dề dấu tam thức bậc hai
 
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânTính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
 
Tailieu.vncty.com bai tap va bai giai phuong phap tinh
Tailieu.vncty.com   bai tap va bai giai phuong phap tinhTailieu.vncty.com   bai tap va bai giai phuong phap tinh
Tailieu.vncty.com bai tap va bai giai phuong phap tinh
 
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phânBài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
 
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnTính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
 

Similar to Chuong8

Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAY
Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAYLuận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAY
Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAYViết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Nguyên ham và tích phân
Nguyên ham và tích phânNguyên ham và tích phân
Nguyên ham và tích phânDuy Anh Nguyễn
 
05 mat101 bai1_v2.3013101225
 05 mat101 bai1_v2.3013101225 05 mat101 bai1_v2.3013101225
05 mat101 bai1_v2.3013101225Yen Dang
 
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10tuituhoc
 
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1 2 3 4
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1  2  3  41. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1  2  3  4
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1 2 3 4NgcBchPhngTrngTHPTNg
 
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo pThuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo pBui Loi
 
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilm
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilmcyclotomic modulo p and Berlekamp algorilm
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilmBui Loi
 
07 mat101 bai3_v2.3013101225
07 mat101 bai3_v2.301310122507 mat101 bai3_v2.3013101225
07 mat101 bai3_v2.3013101225Yen Dang
 
đạI số boole
đạI số booleđạI số boole
đạI số boolecanhcutrom
 
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...Nguyen Vietnam
 
Hamsolientuc
HamsolientucHamsolientuc
HamsolientucQuoc Thai
 
06 mat101 bai2_v2.3013101225
06 mat101 bai2_v2.301310122506 mat101 bai2_v2.3013101225
06 mat101 bai2_v2.3013101225Yen Dang
 

Similar to Chuong8 (20)

Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAY
Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAYLuận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAY
Luận văn: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị, HAY
 
Nguyên ham và tích phân
Nguyên ham và tích phânNguyên ham và tích phân
Nguyên ham và tích phân
 
05 mat101 bai1_v2.3013101225
 05 mat101 bai1_v2.3013101225 05 mat101 bai1_v2.3013101225
05 mat101 bai1_v2.3013101225
 
Luận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOT
Luận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOTLuận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOT
Luận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOT
 
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
 
Chuong04
Chuong04Chuong04
Chuong04
 
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1 2 3 4
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1  2  3  41. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1  2  3  4
1. su dong bien nghich bien cua ham so tiet 1 2 3 4
 
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo pThuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
 
Luận văn: Giải phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng, HAY
Luận văn: Giải phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng, HAYLuận văn: Giải phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng, HAY
Luận văn: Giải phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng, HAY
 
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilm
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilmcyclotomic modulo p and Berlekamp algorilm
cyclotomic modulo p and Berlekamp algorilm
 
07 mat101 bai3_v2.3013101225
07 mat101 bai3_v2.301310122507 mat101 bai3_v2.3013101225
07 mat101 bai3_v2.3013101225
 
đạI số boole
đạI số booleđạI số boole
đạI số boole
 
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
 
Hamsolientuc
HamsolientucHamsolientuc
Hamsolientuc
 
Hamsolientuc
HamsolientucHamsolientuc
Hamsolientuc
 
Phan1-Hamnhieubien.pdf
Phan1-Hamnhieubien.pdfPhan1-Hamnhieubien.pdf
Phan1-Hamnhieubien.pdf
 
06 mat101 bai2_v2.3013101225
06 mat101 bai2_v2.301310122506 mat101 bai2_v2.3013101225
06 mat101 bai2_v2.3013101225
 
Đang thức, bat đang thức tích phân trong l p đa thức và phân thức hữu ty và m...
Đang thức, bat đang thức tích phân trong l p đa thức và phân thức hữu ty và m...Đang thức, bat đang thức tích phân trong l p đa thức và phân thức hữu ty và m...
Đang thức, bat đang thức tích phân trong l p đa thức và phân thức hữu ty và m...
 
Chuong 7_Ham Boole.pdf
Chuong 7_Ham Boole.pdfChuong 7_Ham Boole.pdf
Chuong 7_Ham Boole.pdf
 
Luận văn: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị, HAY, 9đ
Luận văn: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị, HAY, 9đLuận văn: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị, HAY, 9đ
Luận văn: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị, HAY, 9đ
 

More from tuongnm

Dethamkhao toan kte3_5
Dethamkhao toan kte3_5Dethamkhao toan kte3_5
Dethamkhao toan kte3_5tuongnm
 
Dapan dethamkhao toan_kte3_5
Dapan dethamkhao toan_kte3_5Dapan dethamkhao toan_kte3_5
Dapan dethamkhao toan_kte3_5tuongnm
 
Dapan dethamkhao toan_kte1_2
Dapan dethamkhao toan_kte1_2Dapan dethamkhao toan_kte1_2
Dapan dethamkhao toan_kte1_2tuongnm
 
Dethamkhao toan kte
Dethamkhao toan kteDethamkhao toan kte
Dethamkhao toan ktetuongnm
 
Bài giảng Toán kinh tế
Bài giảng Toán kinh tếBài giảng Toán kinh tế
Bài giảng Toán kinh tếtuongnm
 
Bài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếBài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếtuongnm
 
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)tuongnm
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13dKy2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13dtuongnm
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13aKy2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13atuongnm
 
Ky2 toan kinhte tmdt
Ky2 toan kinhte tmdtKy2 toan kinhte tmdt
Ky2 toan kinhte tmdttuongnm
 
Ky2 toan kinhte htttql
Ky2 toan kinhte htttqlKy2 toan kinhte htttql
Ky2 toan kinhte htttqltuongnm
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02tuongnm
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01tuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtxtuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtxtuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtxtuongnm
 
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtxtuongnm
 
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtxToancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtxtuongnm
 
Lịch dạy Toán cao cấp 2
Lịch dạy Toán cao cấp 2Lịch dạy Toán cao cấp 2
Lịch dạy Toán cao cấp 2tuongnm
 
Lịchday ky2 n m tuong.26.02
Lịchday ky2 n m tuong.26.02Lịchday ky2 n m tuong.26.02
Lịchday ky2 n m tuong.26.02tuongnm
 

More from tuongnm (20)

Dethamkhao toan kte3_5
Dethamkhao toan kte3_5Dethamkhao toan kte3_5
Dethamkhao toan kte3_5
 
Dapan dethamkhao toan_kte3_5
Dapan dethamkhao toan_kte3_5Dapan dethamkhao toan_kte3_5
Dapan dethamkhao toan_kte3_5
 
Dapan dethamkhao toan_kte1_2
Dapan dethamkhao toan_kte1_2Dapan dethamkhao toan_kte1_2
Dapan dethamkhao toan_kte1_2
 
Dethamkhao toan kte
Dethamkhao toan kteDethamkhao toan kte
Dethamkhao toan kte
 
Bài giảng Toán kinh tế
Bài giảng Toán kinh tếBài giảng Toán kinh tế
Bài giảng Toán kinh tế
 
Bài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tếBài tập Toán kinh tế
Bài tập Toán kinh tế
 
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
Đề cương Toán kinh tế K16 (2017)
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13dKy2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13d
 
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13aKy2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
Ky2 toan2 k13_2lop_ky2_bang_ghidiemthuongxuyencnttk13a
 
Ky2 toan kinhte tmdt
Ky2 toan kinhte tmdtKy2 toan kinhte tmdt
Ky2 toan kinhte tmdt
 
Ky2 toan kinhte htttql
Ky2 toan kinhte htttqlKy2 toan kinhte htttql
Ky2 toan kinhte htttql
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n02
 
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
Toan3 k12 2lop_diem_tx_ky2_n01
 
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 g_bangdiemtx
 
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 c_bangdiemtx
 
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 b_bangdiemtx
 
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtxToancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
Toancaocap2 cnttk12 a_bangdiemtx
 
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtxToancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
Toancaocap2 cnysk12 bang_diemtx
 
Lịch dạy Toán cao cấp 2
Lịch dạy Toán cao cấp 2Lịch dạy Toán cao cấp 2
Lịch dạy Toán cao cấp 2
 
Lịchday ky2 n m tuong.26.02
Lịchday ky2 n m tuong.26.02Lịchday ky2 n m tuong.26.02
Lịchday ky2 n m tuong.26.02
 

Chuong8

  • 1. Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Ngày 17 tháng 11 năm 2010 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 2. Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm số NỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 3. Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm số NỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 4. Nguyên hàm và tích phân bất định Hai phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm của một số hàm số NỘI DUNG CHÍNH Nguyên hàm và tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân Phép tính nguyên hàm một số hàm số Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 5. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 6. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 7. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 8. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 9. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 10. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 11. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Nguyên hàm của hàm số một biến Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b) Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b). Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số. Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng đóng [a; b] nếu: F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b). x3 Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 là hàm số F (x) = 3 . Nguyên hàm của hàm số f (x) = sinx là hàm số F (x) = −cosx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 12. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 13. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 14. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 15. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 16. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C 4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 17. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. tích phân bất định Định nghĩa Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C Các tính chất đơn giản 1. f (x)dx = f (x). 2.d f (x)dx = f (x)dx 3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C 4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C 5. αf (x)dx = α f (x)dx 6. (f (x) + g (x)) dx = f (x)dx+ g (x)dx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 18. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng. Tích phân một số hàm cơ bản Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 19. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 20. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 21. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 22. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 23. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx I = sin x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 24. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx I = = sin x sin2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 25. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx I = = =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 26. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = =− =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 27. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = =− =− sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 = ln +C 2 cosx + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 28. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = 2 =− =− sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 1 x = ln + C = ln tan +C 2 cosx + 1 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 29. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phương pháp đổi biến số Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x) (1) Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t) hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x) (2) dx Ví dụ 1. Tính I = sin x dx sin xdx dcosx dt I = = 2 =− =− sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2 1 dt dt = − 2 t −1 t +1 1 cosx − 1 1 x = ln + C = ln tan +C 2 cosx + 1 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 30. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dx Ví dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 31. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dx Ví dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dx t = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1 I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 32. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dx Ví dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dx t = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1 I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 dx Ví dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến. a2 + x 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 33. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số ln(arccos x)dx Ví dụ 2. Tính √ 1 − x 2 arccos x −dx t = ln(arccos x) ⇒ dt = √ 1 − x 2 arccos x ln(arccos x)dx 1 I = √ = ln2 (arccos x) + C 1−x 2 · arccos x 2 dx Ví dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến. a2 + x 2 a2 dt Sử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x 2 = , dx = a. cos 2 t cos 2 t dx a.dt a2 1 1 1 x 2 + x2 = 2t : 2t = dt = t + C = arctan + C a cos cos a a a a Chú √ Thông thường khi gặp biểu thức: ý. . a2 − x 2 , ta đặt x = asint 1 . 2 , ta đặt x = atant a + x2 và sử dụng phép đổi biến số dạng (2) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 34. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phép phân đoạn Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 35. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Phép phân đoạn Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong (a; b). Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra u · v dx = u · v − v · u dx hay u · dv = u · v − v · du Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 36. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Chú ý Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng: Pn (x) ln xdx Pn (x) arcsinxdx Pn (x) arccos xdx Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 37. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Chú ý Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng: Pn (x) ln xdx Pn (x) arcsinxdx Pn (x) arccos xdx Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u Khi gặp Pn (x)e x dx Pn (x)sinxdx Pn (x)cosxdx Đặt u = Pn (x), dv là phần còn lại. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 38. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Ví dụ Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 39. Nguyên hàm và tích phân bất định Phương pháp đổi biến số Hai phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Ví dụ Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx −2 arccos xdx Đặt u = arccos 2 x ⇒ du = √ , dv = dx ⇒ v = x 1 − x2 −2x arccos x ⇒ I = x arccos2 x − √ dx = x arccos2 x + I1 1 − x2 −dx u = arccos x ⇒ du = √ 1 − x2 xdx xdx √ dv = √ ⇒v = √ = − 1 − x2 + C 2 1 − x2 √ √ −x 1 I1 = − 1 − x 2 arccos x − dx = − 1 − x 2 arccos x − x + C2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 40. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 41. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 42. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 43. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv 3.Phân tích Pk (x) Pn (x) = s1 t Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1 A1 A2 As1 = + 2 + ··· + s (x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1 B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1 +··· + 2 + + ··· + t (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 44. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Pn (x) dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực Qm (x) 1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự, Rk (x) chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m. Qm (x) 2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai: s s t1 tv Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv 3.Phân tích Pk (x) Pn (x) = s1 t Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1 A1 A2 As1 = + 2 + ··· + s (x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1 B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1 +··· + 2 + + ··· + t (x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 45. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 1 1. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx 2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 46. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 1 1. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx 2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q dx 1 −2nxdx 3.In = nu = n ⇒ du = n+1 (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) dv = dx ⇒ v = x x x 2 dx In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x x + a − a2 dx 2 2 In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x dx dx In = 2 2 )n + 2n 2 + a 2 )n − 2na2 n+1 (x + a (x (x 2 + a2 ) x 2 In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi (x + a2 ) 1 x In+1 = 2 2 + a2 )n + (2n − 1) In 2na (x dx 1 x I = Đàm = arctan + C Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 47. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau: dx 1 1. = n−1 + C, n = 1 (x − a)n (n − 1) (x − a) (Mx + n) dx M 2x+p Mp dx 2. x 2 + px + q = 2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q dx 1 −2nxdx 3.In = nu = n ⇒ du = n+1 (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) dv = dx ⇒ v = x x x 2 dx In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x x + a − a2 dx 2 2 In = 2 n + 2n n+1 (x + a2 ) (x 2 + a2 ) x dx dx In = 2 2 )n + 2n 2 + a 2 )n − 2na2 n+1 (x + a (x (x 2 + a2 ) x 2 In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi (x + a2 ) 1 x In+1 = 2 2 + a2 )n + (2n − 1) In 2na (x dx 1 x I = Đàm = arctan + C Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 48. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 49. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 50. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dx Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 51. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dx Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 52. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dx Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dx Ví dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 53. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dx Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dx Ví dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) x +4 A B = + (x − 2)(x + 1) x −2 x +1 Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. 2dx dx (x − 2)2 I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C x −2 x +1 x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 54. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 1. Tính I = (x − 2)3 d (x − 2) I = = (x − 2)−3 d (x − 2) (x − 2)3 1 −3+1 −1 = − (x − 2) +C = +C 2 2(x − 2)2 dx Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5 x dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 (x + 4)dx Ví dụ 3. Tính I = (x − 2)(x + 1) x +4 A B = + (x − 2)(x + 1) x −2 x +1 Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1. 2dx dx (x − 2)2 I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C x −2 x +1 x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 55. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 56. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1 Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 57. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1 Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2 (x x +3 x −x +1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 58. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1 Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2 (x x +3 x −x +1 Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 59. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1 Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2 (x x +3 x −x +1 Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. dx 2xdx I = + x2 + 3 x2 − x + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 60. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào. Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào. 2x 3 + x 2 + 5x + 1 Ví dụ 4. Tính I = dx (x 2 + 3)(x 2 − x + 1) 3 2 2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D 2 + 3)(x 2 − x + 1) = 2 + 2 (x x +3 x −x +1 Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0. dx 2xdx I = + x2 + 3 x2 − x + 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 61. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 62. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1 = √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 63. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1 = √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8x Ví dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 64. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1 = √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8x Ví dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 P(x) A B Ex + F = + + Cx+D + x 2 +1 (*) (x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1) 2 Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx −2xdx 4dx = + (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 4dx Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2 (x 2 + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 65. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 5. Tính I = x 2 + 2x + 5 dx d (x + 1) 1 x +1 I = = = arctan +C = (x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2 dx (2x − 1) + 1 + dx x2 + 3 x2 − x + 1 1 x 2 2x − 1 = √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C 3 3 3 4x 2 − 8x Ví dụ 6. Tính I = dx (x − 1)2 (x 2 + 1)2 P(x) A B Ex + F = + + Cx+D + x 2 +1 (*) (x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1) 2 Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4. (−2x + 4)dx −2xdx 4dx = + (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 4dx Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2 (x 2 + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 66. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển Heaviside: Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 + +(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2 Thay x = 1, tìm được B = −1. Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 67. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển Heaviside: Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 + +(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2 Thay x = 1, tìm được B = −1. Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4. Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 68. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 69. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + b Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + d Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 70. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + b Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + d Tích phân có chứa √ ax 2 + bx + c Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 71. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Tích phân có chứa...  p1 p2  ax + b q1 ax + b q2 R x, , , · · ·dx   cx + d cx + d ax + b Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2 cx + d Tích phân có chứa √ ax 2 + bx + c Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt 2 + β Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 72. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 73. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1 I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 74. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1 I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1 Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 75. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1 I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1 Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1) Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt (t 6 + t 4 + t)t 5 dt dt I =6 6 (1 + t 2 ) = 6 t 3 dt + 6 2+1 = t t 3√ 2 3 √ x + 6 arctan 6 x + C 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 76. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ 7. Tính I = √ √ 2x − 1 − 4 2x − 1 Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt 2t 2 dt 1 I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C t −1 t −1 √ x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1 Ví dụ 8. Tính I = √ dx (x + 1)(1 + 3 x + 1) Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt (t 6 + t 4 + t)t 5 dt dt I =6 6 (1 + t 2 ) = 6 t 3 dt + 6 2+1 = t t 3√ 2 3 √ x + 6 arctan 6 x + C 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 77. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 78. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . x Cách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt ⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 1 + t2 2t 1 − t2 sin x = 2 , cos x = 1+t 1 + t2 2t 1 − t 2 dt R (sin x, cos x)dx = 2 R , 2 1 + t 2 1+t 2 1+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 79. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Nguyên hàm của hàm lượng giác 1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v . x Cách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt ⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 1 + t2 2t 1 − t2 sin x = 2 , cos x = 1+t 1 + t2 2t 1 − t 2 dt R (sin x, cos x)dx = 2 R , 2 1 + t 2 1+t 2 1+t Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 80. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = Đổi biến 3 sin x + 4 cos x + 5 x t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2 ⇒ dx = 2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dt I =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2 = 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 81. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = Đổi biến 3 sin x + 4 cos x + 5 x t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2 ⇒ dx = 2 sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dt I =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2 = 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 82. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 83. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 x Đổi biến t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2 ⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dt I =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2 = 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 84. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. dx Ví dụ. Tính I = 3 sin x + 4 cos x + 5 x Đổi biến t = tan , x ∈ (−π, π) 2 dt 2t 1 − t2 ⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 dt dt I =2 =2 6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9 −2 −2 = 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C t +3 tan(x/2) + 3 Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 85. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. R (sin x, cos x)dx −π π 1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 2 2 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π) 3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt −π π t = tan x, x ∈ , 2 2 4 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 86. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. R (sin x, cos x)dx −π π 1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 2 2 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π) 3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt −π π t = tan x, x ∈ , 2 2 4 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 87. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 88. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 89. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 90. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 3 8 Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
  • 91. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác. Các ví dụ (2 sin x + 3 cos x)dx Ví dụ 1. Tính I = sin2 x cos x + 9 cos3 x R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến dx t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt = cos2 x Chia tử và mẫu cho cos3 x (2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3 I = 2x +9 = 2+9 dt = 2+9 dt + 2 + 32 dt tan t t t t tan x = ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C 3 3 3 8 Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx) Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM