Fouille de données sur des graphes : Introduction

Fouille de données sur des graphes : Introduction
Nathalie Villa-Vialaneix
http://www.nathalievilla.org
Toulouse School of Economics
Groupe de travail BioPuces, INRA de Castanet
24 avril 2009
BioPuces (24/04/09) Nathalie Villa Data mining & graphes 1 / 27

Sommaire
1 Introduction et vocabulaire
2 Dessiner un grand graphe
3 Exemples
4 Pourquoi la classiﬁcation des sommets ?

Introduction et vocabulaire
Sommaire
3 Exemples

Qu’est-ce qu’un graphe ?
Structure naturelle pour modéliser des phénomènes de relations entre
individus, objets ...

Sommets (ou noeuds) / en anglais : vertices, nodes

Sommets
Arêtes / en anglais : edges

3
5
7
6,15
4,35
2
4
3.4
Sommets
Arêtes
éventuellement pondérées

Notations
Dans la suite, on notera G un graphe
• de sommets V = {x1, . . . , xn} (et de taille n)

Notations
• dont l’ensemble des arêtes est noté E. E est donc un sous-ensemble
de V × V

Notations
de V × V
• dont les arêtes sont pondérées par la matrice de poids W telle que
∀ i, j = 1, . . . , n, wii = 0, wij = wji ≥ 0, wij > 0 ⇔ (xi, xj) ∈ E

Notations
de V × V
• dont les arêtes sont pondérées par la matrice de poids W telle que
∀ i, j = 1, . . . , n, wii = 0, wij = wji ≥ 0, wij > 0 ⇔ (xi, xj) ∈ E
Dans un graphe non pondéré, on convient que wij ∈ {0; 1}.

Quelques notions élémentaires : le degré
Déﬁnition
On appelle degré du sommet xi le nombre di = j i wij.

Déﬁnition
Dans le cadre non pondéré, c’est le nombre d’arêtes reliées à xi.

Déﬁnition
Dans le cadre non pondéré, c’est le nombre d’arêtes reliées à xi.
Dans les réseaux sociaux, la distribution des degrés suit généralement
une loi de puissance (graphes sans échelle typique).

Quelques notions élémentaires : la densité
Déﬁnition
On appelle densité d’un graphe non pondéré
n
i,j=1 I{(xi,xj)∈E}
n(n − 1)
.

Déﬁnition
n
n(n − 1)
.
Dans le cas d’un graphe pondéré, on peut généraliser cette notion par
n
i,j=1 wij
n(n−1)
mais elle n’est plus nécessairement comprise entre 0 et 1 !!

Déﬁnition
n
n(n − 1)
.
Dans le cas d’un graphe pondéré, on peut généraliser cette notion par
n
i,j=1 wij
n(n−1)
mais elle n’est plus nécessairement comprise entre 0 et 1 !!
Dans les réseaux sociaux, on observe souvent un effet “petit monde” :
• faible densité globale (de l’ordre de 5% - 10%) ;
• forte densité locale : la densité moyenne du sous-graphe des voisins
de chaque sommet peut être supérieure à 70 %.

Dessiner un grand graphe
Sommaire
3 Exemples

Algorithmes de forces
Au delà de quelques dizaines de sommets, nécessité de penser à la
position des sommets doit être pensée pour rendre le graphe lisible et
interprétable pour l’œil.

Algorithmes de forces
Au delà de quelques dizaines de sommets, nécessité de penser à la
position des sommets doit être pensée pour rendre le graphe lisible et
interprétable pour l’œil.
Utilisation courante d’algorithmes de forces (Fruchterman & Reingold,
par exemple) qui simulent des systèmes de ressorts sur les arêtes.

Représentation simple

Pondération des arêtes

Étiquetage des sommets

Coloration des sommets

Coloration des sommets et des arêtes

Comment réaliser ces représentations ?
• Package igraph de R : pas mal de fonctionnalités mais pondération
des arêtes pas correctement prise en compte et pas d’interactivité sur
les graphes.

Comment réaliser ces représentations ?
• Package igraph de R : pas mal de fonctionnalités mais pondération
des arêtes pas correctement prise en compte et pas d’interactivité sur
les graphes.
• Logiciel Tulip ([Auber, 2003]) : Interactif, pas mal de fonctionnalités
mais permet uniquement la représentation et nécessite l’importation
des graphe dans un format spécial.

Qu’est-ce qu’une bonne représentation ?
En général, un critère admis pour mesurer la qualité de la représentation
est le nombre d’arêtes coupées dans la ﬁgure :
C =
1
2
e1=(xi1
,xj1
),e2=(xi2
,xj2
)∈V
wi1,j1
wi2,j2
I{e1 coupe e2}

Qu’est-ce qu’une bonne représentation ?
En général, un critère admis pour mesurer la qualité de la représentation
est le nombre d’arêtes coupées dans la ﬁgure :
C =
1
2
e1=(xi1
,xj1
),e2=(xi2
,xj2
)∈V
wi1,j1
wi2,j2
I{e1 coupe e2}
Problème de ce critère : coûteux à calculer . . .

Exemples
Sommaire
3 Exemples

Exemples
Réseau social I : “Les misérables” (V. Hugo)
77 sommets, 254 arêtes, 1
2 ij wij = 820 (variant de 1 à 31, entre Cosette
et Valjean), densités : 8,7 % (non pondéré) et 0,560 (pondéré), coefﬁcient
de classiﬁcation (densité locale moyenne) : 49,9 %.

Exemples
Réseau social II : Réseau de citations scientifiques
[Newman et al., 2006]
379 sommets, 914 arêtes, 1
2 ij wij = 489, 5 (variant de 0,125 à 4,75),
densité : 1,3 % (non pondéré), coefficient de classification : 22,1 %.

Exemples
Réseau social III : Réseau issu d’un grand corpus
médiéval [Boulet et al., 2008]
615 sommets, 4 193 arêtes, 1
2 ij wij = 40 329 (50 % des arêtes ont un
poids de 1 et moins de 2 % un poids supérieur à 100), densité : 2,2 %
(non pondéré), coefﬁcient de classiﬁcation : 77 %.

Exemples
Réseaux génétiques
Données :
• Expressions de gènes différentiellement exprimés chez le porc et
chez le bovin.
• Expressions de gènes différentiellement exprimés pour des follicules
PFN, PFA, GFN.

Exemples
Données :
chez le bovin.
PFN, PFA, GFN.
Comment déﬁnir un réseau d’interaction pour chacun de ces cas ?

Exemples
Données :
chez le bovin.
PFN, PFA, GFN.
Idée naïve : Calculer la matrice de corrélation et seuiller cette matrice.

Exemples
Données :
chez le bovin.
PFN, PFA, GFN.
Ne marche pas !! Car les corrélations sont regardées dans leur ensemble
: si les variables x et z et les variables y et z sont fortement corrélées
alors la corrélation entre x et y sera forte sans réalité biologique.

Exemples
Données :
chez le bovin.
PFN, PFA, GFN.
Ne marche pas !! Car les corrélations sont regardées dans leur ensemble
: si les variables x et z et les variables y et z sont fortement corrélées
alors la corrélation entre x et y sera forte sans réalité biologique.
Solution : Utiliser un modèle graphique gaussien qui détermine les
corrélations partielles, i.e., les corrélations entre deux variables
indépendamment des autres variables du jeu de données.

Exemples
Exemple de la différence entre les deux approches
Seuil = 0,2 Seuil = 0,65

Exemples
Réseau de gènes Bovin différentiellement avec le Porc
(seuil 0,015)
2 ij wij = 70, 38, densité : 3,7 % (non
pondéré), coefﬁcient de classiﬁcation : 20,6 %, degré moyen : 0,31.

Exemples
Réseau de gènes Porc différentiellement avec le Bovin
(seuil 0,02)

Exemples
Réseau de gènes de petits follicules atritiques (seuil
0,013)

Exemples
Réseau de gènes de petits follicules sains (seuil 0,013)
360 sommets, 4 401arêtes, 1

Exemples
Réseau de gènes de gros follicules sains (seuil 0,015)

Exemples
Problématique et questions
Premières conclusions :
• Les réseaux d’interaction n’ont pas de structure “petit monde”.
• Les structures macroscopiques des deux réseaux (porc et bovin) sont
très similaires.

Exemples
très similaires.
Problèmes :
• Quel seuillage des corrélations partielles est adéquat ?

Exemples
très similaires.
Problèmes :
• Quel seuillage des corrélations partielles est adéquat ?
• Les algorithmes de force permettent de visualiser un graphe mais
au-delà de quelques dizaines de sommets, la compréhension de la
structure du graphe à partir de cette seule représentation est
difﬁcile.

Pourquoi la classiﬁcation des sommets ?
Sommaire
3 Exemples

Fournir une représentation schématique du graphe
Le but de la classiﬁcation de sommets est de mettre en valeur des
groupes de sommets denses et faiblement connectés entre eux.

Fournir une représentation schématique du graphe
Le but de la classiﬁcation de sommets est de mettre en valeur des
groupes de sommets denses et faiblement connectés entre eux.
Ce type de traitement statistique permet de faire ressortir les grandes
structures et les grands ensembles du graphe et aide à l’interprétation.

Comment mesurer la qualité d’une telle représentation ?
Nous avons retenu trois grands critères de qualité :
• un critère de qualité d’une classiﬁcation de sommets d’un graphe :
la modularité ;

la modularité ;
• un critère de densité des groupes : la moyenne de la densité
pondérée intra-classes
K
c=1
|Cc|
i,j:xi, xj∈Cc
wij
|Cc| × (|Cc| − 1)
;

la modularité ;
K
c=1
|Cc|
i,j:xi, xj∈Cc
wij
|Cc| × (|Cc| − 1)
;
• un critère de visualisation : le nombre d’arêtes coupées.

la modularité ;
K
c=1
|Cc|
i,j:xi, xj∈Cc
wij
|Cc| × (|Cc| − 1)
;
• un critère de visualisation : le nombre d’arêtes coupées.
Questions : Comment combiner ces trois critères ? Comment la taille de
la classiﬁcation K inﬂuencent-elles ceux-ci ?

Auber, D. (2003).
Tulip : A huge graph visualisation framework.
In Mutzel, P. and Jünger, M., editors, Graph Drawing Softwares, Mathematics and Visualization, pages 105–126.
Springer-Verlag.
Boulet, R., Jouve, B., Rossi, F., and Villa, N. (2008).
Batch kernel SOM and related laplacian methods for social network analysis.
Neurocomputing, 71(7-9):1257–1273.
Newman, M., Barab, A., and Watts, D. (2006).
The Structure and Dynamics of Networks.
Princeton University Press.
TO BE CONTINUED...

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