SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 29
Descargar para leer sin conexión
Tabla 1 Distribución binomial B (n, p)
p (X = x) =
¡n
x
¢
px
(1 − p)
n−x
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
2 0 0.9025 0.81 0.7225 0.64 0.5625 0.49 0.4225 0.36 0.3025 0.25
1 0.095 0.18 0.255 0.32 0.375 0.42 0.455 0.48 0.495 0.5
2 0.0025 0.01 0.0225 0.04 0.0625 0.09 0.1225 0.16 0.2025 0.25
3 0 0.8574 0.729 0.6141 0.512 0.4219 0.343 0.2746 0.216 0.1664 0.125
1 0.1354 0.243 0.3251 0.384 0.4219 0.441 0.4436 0.432 0.4084 0.375
2 0.0071 0.027 0.0574 0.096 0.1406 0.189 0.2389 0.288 0.3341 0.375
3 0.0001 0.001 0.0034 0.008 0.0156 0.027 0.0429 0.064 0.0911 0.125
4 0 0.8145 0.6561 0.522 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625
1 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.25
2 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.375
3 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.25
4 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.015 0.0256 0.041 0.0625
5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.116 0.0778 0.0503 0.0312
1 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3601 0.3124 0.2592 0.2059 0.1562
2 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.3125
3 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.3125
4 0. 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.1562
5 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0312
6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.178 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156
1 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.356 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.0938
2 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.328 0.311 0.278 0.2344
3 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.3125
4 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.033 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.2344
5 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.0938
6 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156
7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.049 0.028 0.0152 0.0078
1 0.2573 0.372 0.396 0.367 0.3115 0.2471 0.1848 0.1306 0.0872 0.0547
2 0.0406 0.124 0.2097 0.2753 0.3115 0.3177 0.2985 0.2613 0.214 0.1641
3 0.0036 0.023 0.0617 0.1147 0.173 0.2269 0.2679 0.2903 0.2918 0.2734
4 0.0002 0.0026 0.0109 0.0287 0.0577 0.0972 0.1442 0.1935 0.2388 0.2734
5 0. 0.0002 0.0012 0.0043 0.0115 0.025 0.0466 0.0774 0.1172 0.1641
6 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0036 0.0084 0.0172 0.032 0.0547
7 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0006 0.0016 0.0037 0.0078
8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.0039
1 0.2793 0.3826 0.3847 0.3355 0.267 0.1977 0.1373 0.0896 0.0548 0.0312
2 0.0515 0.1488 0.2376 0.2936 0.3115 0.2965 0.2587 0.209 0.1569 0.1094
3 0.0054 0.0331 0.0839 0.1468 0.2076 0.2541 0.2786 0.2787 0.2568 0.2188
4 0.0004 0.0046 0.0185 0.0459 0.0865 0.1361 0.1875 0.2322 0.2627 0.2734
5 0. 0.0004 0.0026 0.0092 0.0231 0.0467 0.0808 0.1239 0.1719 0.2188
6 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0038 0.01 0.0217 0.0413 0.0703 0.1094
7 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.0079 0.0164 0.0312
8 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0017 0.0039
9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.002
1 0.2985 0.3874 0.3679 0.302 0.2253 0.1556 0.1004 0.0605 0.0339 0.0176
2 0.0629 0.1722 0.2597 0.302 0.3003 0.2668 0.2162 0.1612 0.111 0.0703
3 0.0077 0.0446 0.1069 0.1762 0.2336 0.2668 0.2716 0.2508 0.2119 0.1641
4 0.0006 0.0074 0.0283 0.0661 0.1168 0.1715 0.2194 0.2508 0.26 0.2461
5 0. 0.0008 0.005 0.0165 0.0389 0.0735 0.1181 0.1672 0.2128 0.2461
6 0. 0.0001 0.0006 0.0028 0.0087 0.021 0.0424 0.0743 0.116 0.1641
7 0. 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0039 0.0098 0.0212 0.0407 0.0703
8 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0035 0.0083 0.0176
9 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0008 0.002
1
Tabla 1 Distribución binomial (Continuación)
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
10 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.006 0.0025 0.001
1 0.3151 0.3874 0.3474 0.2684 0.1877 0.1211 0.0725 0.0403 0.0207 0.0098
2 0.0746 0.1937 0.2759 0.302 0.2816 0.2335 0.1757 0.1209 0.0763 0.0439
3 0.0105 0.0574 0.1298 0.2013 0.2503 0.2668 0.2522 0.215 0.1665 0.1172
4 0.001 0.0112 0.0401 0.0881 0.146 0.2001 0.2377 0.2508 0.2384 0.2051
5 0.0001 0.0015 0.0085 0.0264 0.0584 0.1029 0.1536 0.2007 0.234 0.2461
6 0. 0.0001 0.0012 0.0055 0.0162 0.0368 0.0689 0.1115 0.1596 0.2051
7 0. 0. 0.0001 0.0008 0.0031 0.009 0.0212 0.0425 0.0746 0.1172
8 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0014 0.0043 0.0106 0.0229 0.0439
9 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0042 0.0098
10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001
11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.0005
1 0.3293 0.3835 0.3248 0.2362 0.1549 0.0932 0.0518 0.0266 0.0125 0.0054
2 0.0867 0.2131 0.2866 0.2953 0.2581 0.1998 0.1395 0.0887 0.0513 0.0269
3 0.0137 0.071 0.1517 0.2215 0.2581 0.2568 0.2254 0.1774 0.1259 0.0806
4 0.0014 0.0158 0.0536 0.1107 0.1721 0.2201 0.2428 0.2365 0.206 0.1611
5 0.0001 0.0025 0.0132 0.0388 0.0803 0.1321 0.183 0.2207 0.236 0.2256
6 0. 0.0003 0.0023 0.0097 0.0268 0.0566 0.0985 0.1471 0.1931 0.2256
7 0. 0. 0.0003 0.0017 0.0064 0.0173 0.0379 0.0701 0.1128 0.1611
8 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0037 0.0102 0.0234 0.0462 0.0806
9 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0018 0.0052 0.0126 0.0269
10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0007 0.0021 0.0054
11 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0005
12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.0002
1 0.3413 0.3766 0.3012 0.2062 0.1267 0.0712 0.0368 0.0174 0.0075 0.0029
2 0.0988 0.2301 0.2924 0.2835 0.2323 0.1678 0.1088 0.0639 0.0339 0.0161
3 0.0173 0.0852 0.172 0.2362 0.2581 0.2397 0.1954 0.1419 0.0923 0.0537
4 0.0021 0.0213 0.0683 0.1329 0.1936 0.2311 0.2367 0.2128 0.17 0.1208
5 0.0002 0.0038 0.0193 0.0532 0.1032 0.1585 0.2039 0.227 0.2225 0.1934
6 0. 0.0005 0.004 0.0155 0.0401 0.0792 0.1281 0.1766 0.2124 0.2256
7 0. 0. 0.0006 0.0033 0.0115 0.0291 0.0591 0.1009 0.1489 0.1934
8 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0024 0.0078 0.0199 0.042 0.0762 0.1208
9 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0048 0.0125 0.0277 0.0537
10 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0025 0.0068 0.0161
11 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0029
12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002
13 0 0.5133 0.2542 0.1209 0.055 0.0238 0.0097 0.0037 0.0013 0.0004 0.0001
1 0.3512 0.3672 0.2774 0.1787 0.1029 0.054 0.0259 0.0113 0.0045 0.0016
2 0.1109 0.2448 0.2937 0.268 0.2059 0.1388 0.0836 0.0453 0.022 0.0095
3 0.0214 0.0997 0.19 0.2457 0.2517 0.2181 0.1651 0.1107 0.066 0.0349
4 0.0028 0.0277 0.0838 0.1535 0.2097 0.2337 0.2222 0.1845 0.135 0.0873
5 0.0003 0.0055 0.0266 0.0691 0.1258 0.1803 0.2154 0.2214 0.1989 0.1571
6 0. 0.0008 0.0063 0.023 0.0559 0.103 0.1546 0.1968 0.2169 0.2095
7 0. 0.0001 0.0011 0.0058 0.0186 0.0442 0.0833 0.1312 0.1775 0.2095
8 0. 0. 0.0001 0.0011 0.0047 0.0142 0.0336 0.0656 0.1089 0.1571
9 0. 0. 0. 0.0001 0.0009 0.0034 0.0101 0.0243 0.0495 0.0873
10 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0022 0.0065 0.0162 0.0349
11 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0012 0.0036 0.0095
12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0016
13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001
2
Tabla 1 Distribución binomial (Continuación)
n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
14 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.044 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001
1 0.3593 0.3559 0.2539 0.1539 0.0832 0.0407 0.0181 0.0073 0.0027 0.0009
2 0.1229 0.257 0.2912 0.2501 0.1802 0.1134 0.0634 0.0317 0.0141 0.0056
3 0.0259 0.1142 0.2056 0.2501 0.2402 0.1943 0.1366 0.0845 0.0462 0.0222
4 0.0037 0.0349 0.0998 0.172 0.2202 0.229 0.2022 0.1549 0.104 0.0611
5 0.0004 0.0078 0.0352 0.086 0.1468 0.1963 0.2178 0.2066 0.1701 0.1222
6 0. 0.0013 0.0093 0.0322 0.0734 0.1262 0.1759 0.2066 0.2088 0.1833
7 0. 0.0002 0.0019 0.0092 0.028 0.0618 0.1082 0.1574 0.1952 0.2095
8 0. 0. 0.0003 0.002 0.0082 0.0232 0.051 0.0918 0.1398 0.1833
9 0. 0. 0. 0.0003 0.0018 0.0066 0.0183 0.0408 0.0762 0.1222
10 0. 0. 0. 0. 0.0003 0.0014 0.0049 0.0136 0.0312 0.0611
11 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.001 0.0033 0.0093 0.0222
12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0019 0.0056
13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0009
14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001
15 0 0.4633 0.2059 0.0874 0.0352 0.0134 0.0047 0.0016 0.0005 0.0001 0.
1 0.3658 0.3432 0.2312 0.1319 0.0668 0.0305 0.0126 0.0047 0.0016 0.0005
2 0.1348 0.2669 0.2856 0.2309 0.1559 0.0916 0.0476 0.0219 0.009 0.0032
3 0.0307 0.1285 0.2184 0.2501 0.2252 0.17 0.111 0.0634 0.0318 0.0139
4 0.0049 0.0428 0.1156 0.1876 0.2252 0.2186 0.1792 0.1268 0.078 0.0417
5 0.0006 0.0105 0.0449 0.1032 0.1651 0.2061 0.2123 0.1859 0.1404 0.0916
6 0. 0.0019 0.0132 0.043 0.0917 0.1472 0.1906 0.2066 0.1914 0.1527
7 0. 0.0003 0.003 0.0138 0.0393 0.0811 0.1319 0.1771 0.2013 0.1964
8 0. 0. 0.0005 0.0035 0.0131 0.0348 0.071 0.1181 0.1647 0.1964
9 0. 0. 0.0001 0.0007 0.0034 0.0116 0.0298 0.0612 0.1048 0.1527
10 0. 0. 0. 0.0001 0.0007 0.003 0.0096 0.0245 0.0515 0.0916
11 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0024 0.0074 0.0191 0.0417
12 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052 0.0139
13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0032
14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005
15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.01 0.0033 0.001 0.0003 0.0001 0.
1 0.3706 0.3294 0.2097 0.1126 0.0535 0.0228 0.0087 0.003 0.0009 0.0002
2 0.1463 0.2745 0.2775 0.2111 0.1336 0.0732 0.0353 0.015 0.0056 0.0018
3 0.0359 0.1423 0.2285 0.2463 0.2079 0.1465 0.0888 0.0468 0.0215 0.0085
4 0.0061 0.0514 0.1311 0.2001 0.2252 0.204 0.1553 0.1014 0.0572 0.0278
5 0.0008 0.0137 0.0555 0.1201 0.1802 0.2099 0.2008 0.1623 0.1123 0.0667
6 0.0001 0.0028 0.018 0.055 0.1101 0.1649 0.1982 0.1983 0.1684 0.1222
7 0. 0.0004 0.0045 0.0197 0.0524 0.101 0.1524 0.1889 0.1969 0.1746
8 0. 0.0001 0.0009 0.0055 0.0197 0.0487 0.0923 0.1417 0.1812 0.1964
9 0. 0. 0.0001 0.0012 0.0058 0.0185 0.0442 0.084 0.1318 0.1746
10 0. 0. 0. 0.0002 0.0014 0.0056 0.0167 0.0392 0.0755 0.1222
11 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0013 0.0049 0.0142 0.0337 0.0667
12 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.004 0.0115 0.0278
13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0029 0.0085
14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0018
15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002
16 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
3
Tabla 2 Distribución de Poisson P (λ)
p (X = x) = e−l λx
x!
λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.5 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
1.0 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.0005 0.0001 0. 0. 0. 0. 0.
1.5 0.2231 0.3347 0.251 0.1255 0.0471 0.0141 0.0035 0.0008 0.0001 0. 0. 0. 0.
2.0 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.012 0.0034 0.0009 0.0002 0. 0. 0.
2.5 0.0821 0.2052 0.2565 0.2138 0.1336 0.0668 0.0278 0.0099 0.0031 0.0009 0.0002 0. 0.
3.0 0.0498 0.1494 0.224 0.224 0.168 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008 0.0002 0.0001
3.5 0.0302 0.1057 0.185 0.2158 0.1888 0.1322 0.0771 0.0385 0.0169 0.0066 0.0023 0.0007 0.0002
4.0 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 0.0053 0.0019 0.0006
4.5 0.0111 0.05 0.1125 0.1687 0.1898 0.1708 0.1281 0.0824 0.0463 0.0232 0.0104 0.0043 0.0016
5.0 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0082 0.0034
5.5 0.0041 0.0225 0.0618 0.1133 0.1558 0.1714 0.1571 0.1234 0.0849 0.0519 0.0285 0.0143 0.0065
6.0 0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033 0.0688 0.0413 0.0225 0.0113
6.5 0.0015 0.0098 0.0318 0.0688 0.1118 0.1454 0.1575 0.1462 0.1188 0.0858 0.0558 0.033 0.0179
7.0 0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.149 0.149 0.1304 0.1014 0.071 0.0452 0.0263
7.5 0.0006 0.0041 0.0156 0.0389 0.0729 0.1094 0.1367 0.1465 0.1373 0.1144 0.0858 0.0585 0.0366
8.0 0.0003 0.0027 0.0107 0.0286 0.0573 0.0916 0.1221 0.1396 0.1396 0.1241 0.0993 0.0722 0.0481
8.5 0.0002 0.0017 0.0074 0.0208 0.0443 0.0752 0.1066 0.1294 0.1375 0.1299 0.1104 0.0853 0.0604
9.0 0.0001 0.0011 0.005 0.015 0.0337 0.0607 0.0911 0.1171 0.1318 0.1318 0.1186 0.097 0.0728
9.5 0.0001 0.0007 0.0034 0.0107 0.0254 0.0483 0.0764 0.1037 0.1232 0.13 0.1235 0.1067 0.0844
10.0 0. 0.0005 0.0023 0.0076 0.0189 0.0378 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 0.1137 0.0948
10.5 0. 0.0003 0.0015 0.0053 0.0139 0.0293 0.0513 0.0769 0.1009 0.1177 0.1236 0.118 0.1032
11.0 0. 0.0002 0.001 0.0037 0.0102 0.0224 0.0411 0.0646 0.0888 0.1085 0.1194 0.1194 0.1094
11.5 0. 0.0001 0.0007 0.0026 0.0074 0.017 0.0325 0.0535 0.0769 0.0982 0.1129 0.1181 0.1131
12.0 0. 0.0001 0.0004 0.0018 0.0053 0.0127 0.0255 0.0437 0.0655 0.0874 0.1048 0.1144 0.1144
12.5 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0038 0.0095 0.0197 0.0353 0.0551 0.0765 0.0956 0.1087 0.1132
13.0 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0027 0.007 0.0152 0.0281 0.0457 0.0661 0.0859 0.1015 0.1099
13.5 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0019 0.0051 0.0115 0.0222 0.0375 0.0563 0.076 0.0932 0.1049
14.0 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0037 0.0087 0.0174 0.0304 0.0473 0.0663 0.0844 0.0984
14.5 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0009 0.0027 0.0065 0.0135 0.0244 0.0394 0.0571 0.0753 0.091
15.0 0. 0. 0. 0.0002 0.0006 0.0019 0.0048 0.0104 0.0194 0.0324 0.0486 0.0663 0.0829
Tabla 2 Distribución de Poisson (Continuación)
λ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3.5 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
4.0 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
4.5 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
5.0 0.0013 0.0005 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
5.5 0.0028 0.0011 0.0004 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
6.0 0.0052 0.0022 0.0009 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
6.5 0.0089 0.0041 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
7.0 0.0142 0.0071 0.0033 0.0014 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0.
7.5 0.0211 0.0113 0.0057 0.0026 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0.
8.0 0.0296 0.0169 0.009 0.0045 0.0021 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0.
8.5 0.0395 0.024 0.0136 0.0072 0.0036 0.0017 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0. 0. 0.
9.0 0.0504 0.0324 0.0194 0.0109 0.0058 0.0029 0.0014 0.0006 0.0003 0.0001 0. 0. 0.
9.5 0.0617 0.0419 0.0265 0.0157 0.0088 0.0046 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0.
10.0 0.0729 0.0521 0.0347 0.0217 0.0128 0.0071 0.0037 0.0019 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0.
10.5 0.0834 0.0625 0.0438 0.0287 0.0177 0.0104 0.0057 0.003 0.0015 0.0007 0.0003 0.0001 0.0001
11.0 0.0926 0.0728 0.0534 0.0367 0.0237 0.0145 0.0084 0.0046 0.0024 0.0012 0.0006 0.0003 0.0001
11.5 0.1001 0.0822 0.063 0.0453 0.0306 0.0196 0.0119 0.0068 0.0037 0.002 0.001 0.0005 0.0002
12.0 0.1056 0.0905 0.0724 0.0543 0.0383 0.0255 0.0161 0.0097 0.0055 0.003 0.0016 0.0008 0.0004
12.5 0.1089 0.0972 0.081 0.0633 0.0465 0.0323 0.0213 0.0133 0.0079 0.0045 0.0024 0.0013 0.0006
13.0 0.1099 0.1021 0.0885 0.0719 0.055 0.0397 0.0272 0.0177 0.0109 0.0065 0.0037 0.002 0.001
13.5 0.1089 0.105 0.0945 0.0798 0.0633 0.0475 0.0337 0.0228 0.0146 0.009 0.0053 0.003 0.0016
14.0 0.106 0.106 0.0989 0.0866 0.0713 0.0554 0.0409 0.0286 0.0191 0.0121 0.0074 0.0043 0.0024
14.5 0.1014 0.1051 0.1016 0.092 0.0785 0.0632 0.0483 0.035 0.0242 0.0159 0.01 0.0061 0.0035
15.0 0.0956 0.1024 0.1024 0.096 0.0847 0.0706 0.0557 0.0418 0.0299 0.0204 0.0133 0.0083 0.005
Tabla 3 Distribución Normal N (0, 1)
Z ∞x
−∞
1
√
2π
e−x2
/2
dx
0 x
F(x)
0 x
F(x)
x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857
2.3 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.8 4.0
F(x) 0.99865 0.99904 0.99931 0.99952 0.99966 0.99976 0.99984 0.99993 0.99997
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que una normal típica caiga por debajo del
valor x tabulado en el exterior de ella.
6
Tabla 4 Distribución Normal N (0, 1)
0 zα-zα
α/2α/2
0 zα-zα
α/2α/2
α 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 ∞ 2,5758 2,3263 2.1701 2.0537 1.96 1.8808 1.8119 1.7507 1.6954
0.1 1.6449 1,5982 1.5548 1.5141 1.4758 1.4395 1.4051 1.3722 1.3408 1.3106
0.2 1.2816 1,2536 1.2265 1.2004 1.175 1.1503 1.1264 1.1031 1.0803 1.0581
0.3 1.0364 1,0152 0.9945 0.9741 0.9542 0.9346 0.9154 0.8965 0.8779 0.8596
0.4 0.8416 0,8239 0.8064 0.7892 0.7722 0.7554 0.7388 0.7225 0.7063 0.6903
0.5 0.6745 0,6588 0.6433 0.628 0.6128 0.5978 0.5828 0.5681 0.5534 0.5388
0.6 0.5244 0,5101 0.4959 0.4817 0.4677 0.4538 0.4399 0.4261 0.4125 0.3989
0.7 0.3853 0,3719 0.3585 0.3451 0.3319 0.3186 0.3055 0.2924 0.2793 0.2663
0.8 0.2533 0,2404 0.2275 0.2147 0.2019 0.1891 0.1764 0.1637 0.151 0.1383
0.9 0.1257 0,113 0.1004 0.0878 0.0753 0.0627 0.0502 0.0376 0.0251 0.0125
Para los valores pequeños de α
α 0,002 0,001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001
zα 3,090 3,291 3.891 4.417 4.892 5.327
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad α de que una Normal típica caiga por debajo de
-zα o por encima de zα (zα aparece en el interior de la tabla).
7
Tabla 5 Distribución t de Student
0 tα-tα
α/2α/2
0 tα-tα
α/2α/2
g.l. 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001
1 1. 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 31.599
3 0.765 0.978 1.25 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924
4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.61
5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 5.041
9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25 4.781
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318
13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.65 3.012 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.14
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.583 2.921 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.567 2.898 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883
20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.85
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.518 2.831 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792
23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.5 2.807 3.768
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.485 2.787 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.69
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.457 2.75 3.646
35 0.682 0.852 1.052 1.306 1.69 2.03 2.438 2.724 3.591
40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551
45 0.68 0.85 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.69 3.52
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2. 2.39 2.66 3.46
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.374 2.639 3.416
100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.364 2.626 3.39
∞ 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 3.291
Nota: Para cada valor de los grados de libertad (primera columna), y cada valor de α (primera fila), en
el interior de lla tabla se da el valor tα, tal que a la izquierda de −tα y a la derecha de tα queda un área
total de α.
8
Tabla 6 Distribución χ2
χα
2
0
α
χα
2
0
α
g.l. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.200 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
1 0. 0. 0.001 0.004 0.016 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 0.01 0.02 0.051 0.103 0.211 3.219 4.605 5.991 7.378 9.21 10.597 13.816
3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 4.642 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.266
4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 14.86 18.467
5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.61 7.289 9.236 11.07 12.833 15.086 16.75 20.515
6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.458
7 0.989 1.239 1.69 2.167 2.833 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.322
8 1.344 1.646 2.18 2.733 3.49 11.03 13.362 15.507 17.535 20.09 21.955 26.124
9 1.735 2.088 2.7 3.325 4.168 12.242 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877
10 2.156 2.558 3.247 3.94 4.865 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 14.631 17.275 19.675 21.92 24.725 26.757 31.264
12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 15.812 18.549 21.026 23.337 26.217 28.3 32.909
13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.528
14 4.075 4.66 5.629 6.571 7.79 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.123
15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.697
16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 20.465 23.542 26.296 28.845 32. 34.267 39.252
17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.79
18 6.265 7.015 8.231 9.39 10.865 22.76 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312
19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 23.9 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.82
20 7.434 8.26 9.591 10.851 12.443 25.038 28.412 31.41 34.17 37.566 39.997 45.315
21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.24 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.797
22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268
23 9.26 10.196 11.689 13.091 14.848 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728
24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 29.553 33.196 36.415 39.364 42.98 45.559 51.179
25 10.52 11.524 13.12 14.611 16.473 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.62
26 11.16 12.198 13.844 15.379 17.292 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 48.29 54.052
27 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 32.912 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.476
28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 56.892
29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 58.301
30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 36.25 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.703
Notas:
1. Para cada g.l. (primera columna) y cada α (primera fila), en el interior de la tabla aparece el valor χ2
α
que deja a su derecha un área α.
2. Cuando g.l.>30, puede utilizarse la aproximación: χ2
α (g.l.) ' g.l.
n
1 − 2
9g.l. ± t2β
q
2
9g.l.
o3
con t2β en la
Tabla 5 y:
a) Si α ≤ 0,20, hacer β = α y utilizar el signo positivo
b) Si α ≥ 0,80, hacer β = (1 − α) y utilizar el signo negativo
c) Si 0,20 < α < 0,80, se utiliza otra aproximación
9
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 10 %
ν2 Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 39.86 49.5 53.59 55.83 57.24 58.2 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62. 62.26 62.53 62.79 63.06 63.33
2 8.53 9. 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49
3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.2 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13
4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.9 3.87 3.84 3.83 3.82 3.8 3.79 3.78 3.76
5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.4 3.37 3.34 3.32 3.3 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.1
6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.9 2.87 2.84 2.82 2.8 2.78 2.76 2.74 2.72
7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.7 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47
8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.5 2.46 2.42 2.4 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29
9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.3 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16
10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.2 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.3 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.1 2.08 2.05 2.03 2. 1.97
12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.1 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.9
13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.2 2.16 2.14 2.1 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.9 1.88 1.85
14 3.1 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.1 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.8
15 3.07 2.7 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.9 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76
16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72
17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.1 2.06 2.03 2. 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69
18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.2 2.13 2.08 2.04 2. 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66
19 2.99 2.61 2.4 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.7 1.67 1.63
20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2. 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59
22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.9 1.86 1.81 1.76 1.73 1.7 1.67 1.64 1.6 1.57
23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.8 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55
24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.1 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.7 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53
25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.5
27 2.9 2.51 2.3 2.17 2.07 2. 1.95 1.91 1.87 1.85 1.8 1.75 1.7 1.67 1.64 1.6 1.57 1.53 1.49
28 2.89 2.5 2.29 2.16 2.06 2. 1.94 1.9 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48
29 2.89 2.5 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.47
30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.5 1.46
40 2.84 2.44 2.23 2.09 2. 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38
60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.6 1.54 1.51 1.48 1.44 1.4 1.35 1.29
120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.9 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.6 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19
∞ 2.71 2.3 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.6 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.3 1.24 1.18 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 5 %
ν2 Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 161.5 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3
2 18.51 19. 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.5
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.7 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6. 5.96 5.91 5.86 5.8 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.5 4.46 4.43 4.4 4.36
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06 4. 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.7 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.3 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.9 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.7 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.4
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3. 2.91 2.85 2.8 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.3
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.6 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.3 2.25 2.21
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.4 2.33 2.29 2.25 2.2 2.16 2.11 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.1 2.06 2.01 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.2 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.9 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.1 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.2 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.69
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67
28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.1 2.03 1.94 1.9 1.85 1.81 1.75 1.7 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2. 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51
60 4. 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.1 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.7 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.5 1.43 1.35 1.25
∞ 3.84 3. 2.6 2.37 2.21 2.1 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.23 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 2,5 %
ν2 Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 976.7 984.9 993.1 997.2 1001 1006 1010 1014 1018
2 38.51 39. 39.17 39.25 39.3 39.33 39.36 39.37 39.39 39.4 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.5
3 17.44 16.04 15.44 15.1 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.9
4 12.22 10.65 9.98 9.6 9.36 9.2 9.07 8.98 8.9 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.26
5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.02
6 8.81 7.26 6.6 6.23 5.99 5.82 5.7 5.6 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.9 4.85
7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.9 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.2 4.14
8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.3 4.2 4.1 4. 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67
9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.2 4.1 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33
10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.2 3.14 3.08
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3. 2.94 2.88
12 6.55 5.1 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.72
13 6.41 4.97 4.35 4. 3.77 3.6 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.6
14 6.3 4.86 4.24 3.89 3.66 3.5 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49
15 6.2 4.77 4.15 3.8 3.58 3.41 3.29 3.2 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.7 2.64 2.59 2.52 2.46 2.4
16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.5 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.32
17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.25
18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.1 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.26 2.19
19 5.92 4.51 3.9 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.2 2.13
20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.8 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04
22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.7 2.6 2.5 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2.
23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.9 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.3 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97
24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.7 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94
25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.3 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.91
26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.1 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95 1.88
27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.8 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2. 1.93 1.85
28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.9 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.83
29 5.59 4.2 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81
30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.41 2.31 2.2 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79
40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.9 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.8 1.72 1.64
60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48
120 5.15 3.8 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.3 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31
∞ 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 1.39 1.26 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 1 %
ν2 Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 98.5 99. 99.17 99.25 99.3 99.33 99.36 99.37 99.39 99.4 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.5
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.6 26.5 26.41 26.32 26.22 26.13
4 21.2 18. 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55 14.37 14.2 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.2 9.11 9.02
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87 7.72 7.56 7.4 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.2 5.12 5.03 4.95 4.86
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.4 4.31
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4. 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.4 4.25 4.1 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.6
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3 4.16 4.01 3.86 3.78 3.7 3.62 3.54 3.45 3.36
13 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.8 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4. 3.89 3.8 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.1 3.02 2.93 2.84 2.75
17 8.4 6.11 5.18 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3. 2.92 2.83 2.75 2.65
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51 3.37 3.23 3.08 3. 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
19 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.3 3.15 3. 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
20 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31 3.17 3.03 2.88 2.8 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.5 2.4 2.31
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21 3.07 2.93 2.78 2.7 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.4 2.31 2.21
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.7 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.5 2.42 2.33 2.23 2.13
27 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.2 2.1
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.9 2.75 2.6 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06
29 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3. 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98 2.84 2.7 2.55 2.47 2.39 2.3 2.21 2.11 2.01
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8 2.66 2.52 2.37 2.29 2.2 2.11 2.02 1.92 1.8
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.5 2.35 2.2 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.6
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38
∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.8 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.7 1.59 1.47 1.32 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 0,5 %
ν2 Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25253 25359 25465
2 198.5 199. 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5
3 55.55 49.8 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.39 43.08 42.78 42.62 42.47 42.31 42.15 41.99 41.83
4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.7 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.47 19.32
5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.2 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.9 12.78 12.66 12.53 12.4 12.27 12.14
6 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.12 9. 8.88
7 16.24 12.4 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.64 7.53 7.42 7.31 7.19 7.08
8 14.69 11.04 9.6 8.81 8.3 7.95 7.69 7.5 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.5 6.4 6.29 6.18 6.06 5.95
9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.3 5.19
10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.3 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.86 4.75 4.64
11 12.23 8.91 7.6 6.88 6.42 6.1 5.86 5.68 5.54 5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.45 4.34 4.23
12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.2 5.09 4.91 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.12 4.01 3.9
13 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.64 4.46 4.27 4.17 4.07 3.97 3.87 3.76 3.65
14 11.06 7.92 6.68 6. 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.6 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3.66 3.55 3.44
15 10.8 7.7 6.48 5.8 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.37 3.26
16 10.58 7.51 6.3 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 4.1 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.22 3.11
17 10.38 7.35 6.16 5.5 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 3.97 3.79 3.61 3.51 3.41 3.31 3.21 3.1 2.98
18 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.86 3.68 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 2.99 2.87
19 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.76 3.59 3.4 3.31 3.21 3.11 3. 2.89 2.78
20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.5 3.32 3.22 3.12 3.02 2.92 2.81 2.69
21 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.6 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.73 2.61
22 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.7 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2.77 2.66 2.55
23 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.64 3.47 3.3 3.12 3.02 2.92 2.82 2.71 2.6 2.48
24 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.2 3.99 3.83 3.69 3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.55 2.43
25 9.48 6.6 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.2 3.01 2.92 2.82 2.72 2.61 2.5 2.38
26 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.1 3.89 3.73 3.6 3.49 3.33 3.15 2.97 2.87 2.77 2.67 2.56 2.45 2.33
27 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56 3.45 3.28 3.11 2.93 2.83 2.73 2.63 2.52 2.41 2.29
28 9.28 6.44 5.32 4.7 4.3 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.25 3.07 2.89 2.79 2.69 2.59 2.48 2.37 2.25
29 9.23 6.4 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2.56 2.45 2.33 2.21
30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 2.52 2.42 2.3 2.18
40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.6 2.5 2.4 2.3 2.18 2.06 1.93
60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.9 2.74 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 1.96 1.83 1.69
120 8.18 5.54 4.5 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.75 1.61 1.43
∞ 7.88 5.3 4.28 3.72 3.35 3.09 2.9 2.74 2.62 2.52 2.36 2.19 2. 1.9 1.79 1.67 1.53 1.37 1.
Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2)
α = 10
/00
ν2
Âν1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞
1 4053* 5000* 5404* 5625* 5764* 5859* 5929* 5981* 6023* 6056* 6107* 6158* 6209* 6235* 6261* 6287* 6313* 6340* 6366*
2 998.5 999. 999.2 999.3 999.3 999.3 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.5 999.5 999.5 999.5 999.5 999.5
3 167.0 148.5 141.1 137.1 134.6 132.8 131.6 130.6 129.9 129.2 128.3 127.4 126.4 125.9 125.4 125.0 124.5 124.0 123.5
4 74.14 61.25 56.18 53.44 51.71 50.53 49.66 49. 48.47 48.05 47.41 46.76 46.1 45.77 45.43 45.09 44.75 44.4 44.05
5 47.18 37.12 33.2 31.09 29.75 28.83 28.16 27.65 27.24 26.92 26.42 25.91 25.39 25.13 24.87 24.6 24.33 24.06 23.79
6 35.51 27. 23.7 21.92 20.8 20.03 19.46 19.03 18.69 18.41 17.99 17.56 17.12 16.9 16.67 16.44 16.21 15.98 15.75
7 29.25 21.69 18.77 17.2 16.21 15.52 15.02 14.63 14.33 14.08 13.71 13.32 12.93 12.73 12.53 12.33 12.12 11.91 11.7
8 25.41 18.49 15.83 14.39 13.48 12.86 12.4 12.05 11.77 11.54 11.19 10.84 10.48 10.3 10.11 9.92 9.73 9.53 9.33
9 22.86 16.39 13.9 12.56 11.71 11.13 10.7 10.37 10.11 9.89 9.57 9.24 8.9 8.72 8.55 8.37 8.19 8. 7.81
10 21.04 14.91 12.55 11.28 10.48 9.93 9.52 9.2 8.96 8.75 8.45 8.13 7.8 7.64 7.47 7.3 7.12 6.94 6.76
11 19.69 13.81 11.56 10.35 9.58 9.05 8.66 8.35 8.12 7.92 7.63 7.32 7.01 6.85 6.68 6.52 6.35 6.18 6.
12 18.64 12.97 10.8 9.63 8.89 8.38 8. 7.71 7.48 7.29 7. 6.71 6.4 6.25 6.09 5.93 5.76 5.59 5.42
13 17.82 12.31 10.21 9.07 8.35 7.86 7.49 7.21 6.98 6.8 6.52 6.23 5.93 5.78 5.63 5.47 5.3 5.14 4.97
14 17.14 11.78 9.73 8.62 7.92 7.44 7.08 6.8 6.58 6.4 6.13 5.85 5.56 5.41 5.25 5.1 4.94 4.77 4.6
15 16.59 11.34 9.34 8.25 7.57 7.09 6.74 6.47 6.26 6.08 5.81 5.54 5.25 5.1 4.95 4.8 4.64 4.47 4.31
16 16.12 10.97 9.01 7.94 7.27 6.8 6.46 6.19 5.98 5.81 5.55 5.27 4.99 4.85 4.7 4.54 4.39 4.23 4.06
17 15.72 10.66 8.73 7.68 7.02 6.56 6.22 5.96 5.75 5.58 5.32 5.05 4.78 4.63 4.48 4.33 4.18 4.02 3.85
18 15.38 10.39 8.49 7.46 6.81 6.35 6.02 5.76 5.56 5.39 5.13 4.87 4.59 4.45 4.3 4.15 4. 3.84 3.67
19 15.08 10.16 8.28 7.27 6.62 6.18 5.85 5.59 5.39 5.22 4.97 4.7 4.43 4.29 4.14 3.99 3.84 3.68 3.51
20 14.82 9.95 8.1 7.1 6.46 6.02 5.69 5.44 5.24 5.08 4.82 4.56 4.29 4.15 4. 3.86 3.7 3.54 3.38
21 14.59 9.77 7.94 6.95 6.32 5.88 5.56 5.31 5.11 4.95 4.7 4.44 4.17 4.03 3.88 3.74 3.58 3.42 3.26
22 14.38 9.61 7.8 6.81 6.19 5.76 5.44 5.19 4.99 4.83 4.58 4.33 4.06 3.92 3.78 3.63 3.48 3.32 3.15
23 14.2 9.47 7.67 6.7 6.08 5.65 5.33 5.09 4.89 4.73 4.48 4.23 3.96 3.82 3.68 3.53 3.38 3.22 3.05
24 14.03 9.34 7.55 6.59 5.98 5.55 5.23 4.99 4.8 4.64 4.39 4.14 3.87 3.74 3.59 3.45 3.29 3.14 2.97
25 13.88 9.22 7.45 6.49 5.89 5.46 5.15 4.91 4.71 4.56 4.31 4.06 3.79 3.66 3.52 3.37 3.22 3.06 2.89
26 13.74 9.12 7.36 6.41 5.8 5.38 5.07 4.83 4.64 4.48 4.24 3.99 3.72 3.59 3.44 3.3 3.15 2.99 2.82
27 13.61 9.02 7.27 6.33 5.73 5.31 5. 4.76 4.57 4.41 4.17 3.92 3.66 3.52 3.38 3.23 3.08 2.92 2.75
28 13.5 8.93 7.19 6.25 5.66 5.24 4.93 4.69 4.5 4.35 4.11 3.86 3.6 3.46 3.32 3.18 3.02 2.86 2.69
29 13.39 8.85 7.12 6.19 5.59 5.18 4.87 4.64 4.45 4.29 4.05 3.8 3.54 3.41 3.27 3.12 2.97 2.81 2.64
30 13.29 8.77 7.05 6.12 5.53 5.12 4.82 4.58 4.39 4.24 4. 3.75 3.49 3.36 3.22 3.07 2.92 2.76 2.59
40 12.61 8.25 6.59 5.7 5.13 4.73 4.44 4.21 4.02 3.87 3.64 3.4 3.14 3.01 2.87 2.73 2.57 2.41 2.23
60 11.97 7.77 6.17 5.31 4.76 4.37 4.09 3.86 3.69 3.54 3.32 3.08 2.83 2.69 2.55 2.41 2.25 2.08 1.89
120 11.38 7.32 5.78 4.95 4.42 4.04 3.77 3.55 3.38 3.24 3.02 2.78 2.53 2.4 2.26 2.11 1.95 1.77 1.54
∞ 10.83 6.91 5.42 4.62 4.1 3.74 3.47 3.27 3.1 2.96 2.74 2.51 2.27 2.13 1.99 1.84 1.66 1.45 1.
* Multiplicar estos números por 100
Tabla 8 Tabla de números aleatorios
0347437386 3696473661 4698637162 3326168045 6011141095
9774246762 4281145720 4253323732 2707360751 2451798973
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9696682731 0503729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
5760863244 0947279654 4917460962 9052847727 0802734328
1818079246 4417165809 7983861962 0676500310 5523640505
2662389775 8416074499 8311463224 2014858845 1093728871
2342406474 8297777781 0745321408 3298940772 9385791075
5236281995 5092261197 0056763138 8022025353 8660420453
3785943512 8339500830 4234079688 5442068798 3585294839
7029171213 4033203826 1389510374 1776371304 0774211930
5662183735 9683508775 9712259347 7033240354 9777464480
9949572277 8842954572 1664361600 0443186679 9477242190
1608150472 3327143409 4559346849 1272073445 9927729514
3116933243 5027898719 2015370049 5285666044 3868881180
6834301370 5574307740 4422788426 0433460952 6807970657
7457256576 5929976860 7191386754 ¡358182476 1554559552
2742378653 4855906572 9657693610 9646924245 9760490491
0039682961 6637322030 7784570329 1045650426 1104966724
2994989424 6849691082 5375919330 3425205727 4048735192
1690826659 8362641112 6719007174 6047212968 0202370331
1127947506 0609197466 0294373402 7670903086 3845943038
3524101620 3332512638 7978450491 1692535616 0275509598
3823168638 4238970150 8775668141 4001749162 4851840832
3196259147 9644334913 3486825391 0052434885 2755268962
5667406714 6405719586 1105650968 7683203790 5716001166
1490844511 7573880590 5227411486 2298122208 0752749580
6805511800 3396027519 0760629355 5933824390 4937384459
2046787390 9751401402 0402333108 3954164936 4795931330
6419589779 1506159320 0190107506 4078788952 0267741733
0526937060 2235851513 9203515977 5956780683 5291057074
0797108823 0998429964 6171629915 0651291693 5805770951
6871868585 5487664754 7332081112 4495926316 2956242948
2699616553 5837788070 4210506742 3217558574 9444671694
1465526875 8759362241 2678630655 1308270150 1529393943
1753775871 7141615072 1241949626 4495273699 0296743083
9026592119 2352233312 9693021839 0702183607 2599327023
4123525599 3104496996 1047484588 1341438920 9717144917
6020508169 3199736868 3581330376 2430124860 1899107234
9125380590 9458284136 4537590309 9035572912 8252546560
3450577437 9880330091 0977931982 7494800404 4507316649
8522043943 7381539479 3362468528 0831544631 5394133847
0979137748 7382972221 0503272483 7289440560 3580399488
8875801814 2295754249 3932822249 0248077037 1604616787
9096237000 3900030690 5585783836 9437306932 9089007633
Nota: Los números pueden selecconarse en cualquier orden (de izquierda a derecha, de arriba abajo, en
diagonal, ...) y comenzando en cualquier posición.
16
Tabla 9 Factores K para límites de aceptación bilaterales con variables Normales
1 − α = 0,90 1 − α = 0,95 1 − α = 0,99
nÂπ 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999
2 15.978 18.800 24.167 30.227 32.019 37.674 48.430 60.573 160.193 188.491 242.300 303.054
3 5.847 6.919 8.974 11.309 8.380 9.916 12.861 16.208 18.930 22.401 29.055 36.616
4 4.166 4.943 6.440 8.149 5.369 6.370 8.299 10.502 9.398 11.150 14.527 18.383
5 3.494 4.152 5.423 6.879 4.275 5.079 6.634 8.415 6.612 7.855 10.260 13.015
6 3.131 3.723 4.870 6.188 3.712 4.414 5.775 7.337 5.337 6.345 8.301 10.548
7 2.902 3.452 4.521 5.750 3.369 4.007 5.248 6.676 4.613 5.488 7.187 9.142
8 2.743 3.264 4.278 5.446 3.136 3.732 4.891 6.226 4.147 4.935 6.468 8.234
9 2.626 3.125 4.098 5.220 2.967 3.532 4.631 5.899 3.822 4.550 5.966 7.600
10 2.535 3.018 3.959 5.046 2.839 3.379 4.433 5.649 3.582 4.265 5.594 7.129
11 2.463 2.933 3.849 4.906 2.737 3.259 4.277 5.452 3.397 4.045 5.308 6.766
12 2.404 2.863 3.758 4.792 2.655 3.162 4.150 5.291 3.250 3.870 5.079 6.477
13 2.355 2.805 3.682 4.697 2.587 3.081 4.044 5.158 3.130 3.727 4.893 6.240
14 2.314 2.756 3.618 4.615 2.529 3.012 3.955 5.045 3.029 3.608 4.’37 6.043
15 2.278 2.713 3.562 4.545 2.480 2.954 3.878 4.949 2.954 3.507 4.605 5.876
16 2.246 2.676 3.514 4.484 2.437 2.903 3.812 4.865 2.872 3.421 4.492 5.732
17 2.219 2.643 3.471 4.430 2.400 2.858 3.754 4.791 2.808 3.345 4.393 5.607
18 2.194 2.614 3.433 4.382 2.366 2.819 3.702 4.725 2.753 3.279 4.307 5.497
19 2.172 2.588 3.399 4.339 2.337 2.784 3.656 4.667 2.703 3.221 6.230 5.399
20 2.152 2.564 3.368 4.300 2.310 2.752 3.615 4.614 2.659 3.168 6.161 5.312
21 2.135 2.543 3.340 4.264 2.286 2.723 3.577 4.567 2.620 3.121 4.100 5.234
22 2.118 2.524 3.315 4.232 2.264 2.697 3.543 4.523 2.584 3.078 6.044 5.163
23 2.103 2.506 3.292 4.203 2.244 2.673 3.512 4.484 2.551 3.040 3.993 5.098
24 2.089 2.489 3.270 4.176 2.225 2.651 3.483 4.447 2.522 3.004 3.947 5.039
25 2.077 2.474 3.251 4.151 2.208 2.631 3.457 4.413 2.494 2.972 3.904 4.985
27 2.054 2.447 3.215 4.106 2.178 2.595 3.409 4.353 2.446 2.914 3.828 6.888
30 2.025 2.413 3.170 4.049 2.140 2.549 3.350 4.278 2.385 2.841 3.733 6.768
35 1.988 2.368 3.112 3.974 2.090 2.490 3.272 4.179 2.306 2.748 3.611 6.611
40 1.959 2.334 3.066 3.917 2.052 2.445 3.213 4.104 2.247 2.677 3.518 6.693
45 1.935 2.306 3.030 3.871 2.021 2.408 3.165 4.042 2.200 2.621 3.444 6.399
50 1.916 2.284 3.001 3.833 1.996 2.379 3.126 3.993 2.162 2.576 3.385 6.323
55 1.901 2.265 2.976 3.801 1.976 2.354 3.094 3.951 2.130 2.538 3.335 6.260
60 1.887 2.248 2.955 3.774 1.958 2.333 3.066 3.916 2.103 2.506 3.293 4.206
65 1.875 2.235 2.937 3.751 1.943 2.315 3.042 3.886 2.080 2.478 3.257 4.160
70 1.865 2.222 2.920 3.730 1.929 2.299 3.021 3.859 2.060 2.454 3.225 4.12
75 1.856 2.211 2.906 3.712 1.917 2.285 3.002 3.835 2.042 2.433 3.197 4.084
80 1.848 2.202 2.894 3.696 1.907 2.272 2.986 3.814 2.026 2.414 3.173 4.053
90 1.834 2.185 2.872 3.669 1.889 2.251 2.958 3.778 1.999 2.382 3.130 3.999
100 1.822 2.172 2.854 3.646 1.874 2.233 2.934 3.748 1.977 2.355 3.096 3.954
110 1.813 2.160 2.839 3.626 1.861 2.218 2.915 3.723 1.958 2.333 3.066 3.917
120 1.804 2.150 2.826 3.610 1.850 2.205 2.898 3.702 1.942 2.314 3.041 3.885
140 1.791 2.134 2.804 3.582 1.833 2.184 2.870 3.666 1.916 2.283 3.000 3.633
160 1.780 2.121 2.787 3.561 1.819 2.167 2.848 3.638 1.896 2.259 2.968 3.792
180 1.771 2.111 2.774 3.543 1.808 2.154 2.831 3.616 1.879 2.239 2.942 3 759
200 1.764 2.102 2.762 3.529 1.798 2.143 2.816 3.597 1.865 2.222 2.921 3.731
250 1.750 2.085 2.740 3.501 1.780 2.121 2.788 3.561 1.839 2.191 2.880 3.678
300 1.740 2.073 2.725 3.481 1.767 2.106 2.767 3.535 1.820 2.169 2.850 3.641
400 1.726 2.057 2.703 3.453 1.749 2.084 2.739 3.499 1.794 2.138 2.809 3.589
500 1.717 2.046 2.689 3.434 1.737 2.070 2.721 3.675 1.777 2.117 2.783 3.555
600 1.710 2.038 2.678 3.421 1.729 2.060 2.707 3.458 1.764 2.102 2.763 3.530
800 1.701 2.027 2.663 3.402 1.717 2.046 2.588 3.434 1.747 2.082 2.736 3.495
1000 1.695 2.019 2.654 3.390 1.709 2.036 2.676 3.618 1.736 2.063 2.718 3.472
∞ 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291
17
Tabla 10 Puntos de porcentaje del intervalo o rango ajustado a Student q (ρ, ν)
ρ
ν 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 17.97 26.98 32.82 37.08 4041 43.12 45.40 47.36 49.07 50.59
2 6.08 833 9.80 10.88 11.74 12.44 13.03 13.54 13.99 14.39
3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46 9.72
4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83 8.03
5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.17
6 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49 6.65
7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16 6.30
8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 6.05
9 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74 5.87
10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 5.72
11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.61
12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39 5.51
α = 0,05 13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 5.43
14 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 5.36
15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.60 4.78 4.94 5.08 5.20 5.31
16 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15 5.26
17 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11 5.21
18 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07 5.17
19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04 5.14
20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01 5.11
24 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 5.01
30 2.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.82 4.92
40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73 4.82
60 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 4.73
120 2.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 4.64
∞ 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55
1 90.03 135.0 164.3 185.6 202.2 215.8 227.2 237.0 245.6 253.2
2 14.04 19.02 22.29 24.72 26.63 28.20 29.53 30.68 31.69 32.59
3 8.26 10.62 12.17 13.33 14.24 15.00 15.64 16.20 16.69 17.13
4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.58 11.10 11.55 11.93 12.27 12.57
5 5.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 10.48
6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.30
7 4.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8.55
8 4.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.86 8.03
9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.49 7.65
10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.36
11 4.39 5.15 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 7.13
12 4.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94
α = 0,01 13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.79
14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66
15 4.17 4.84 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.55
16 4.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.46
17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 6.38
18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 6.31
19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 6.25
20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 6.19
24 3.96 4.55 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 6.02
30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5,40 5.54 5.65 5.76 5.85
40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.60 5.69
60 3.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 5.53
120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 5.37
∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23
18
APROXIMACIONES ENTRE LAS DISTRIBUCIONES
BINOMIAL, NORMAL Y POISSON
N (µ, σ)
media = µ
varianza = σ2
np > 5
nq > 5
p, q > 0,05
λ > 10
B (n, p)
Buena aproximación:
n ≥ 10 y p ≤ 0,05 P (λ)
media = np
varianza = npq
Muy buena aproxiamción:
n ≥ 100 y np ≤ 10
media = λ
varianza = λ
19
ESTIMACIÓN
Intervalo de Confianza para la media µ
Si σ es conocida
½
∗ si X es normal o
∗ si n > 60
V µ ∈ ¯x ± zασ/
√
n
Si σ es desconocida



∗ si n > 60 ⇒ µ ∈ ¯x ± zαs/
√
n
∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ µ ∈ ¯x ± tα(n − 1)s/
√
n
Intervalo de Confianza para la varianza σ2
Condiciones: X ∼ N(µ, σ)
σ2
∈
"
(n − 1)s2
χ2
α/2(n − 1)
,
(n − 1)s2
χ2
1−α/2(n − 1)
#
Intervalo de Confianza para una proporción p
Condiciones: nˆp, nˆq > 5, ˆp, ˆq > 0,05
p ∈ ˆp ± zα
p
ˆpˆq/n
20
TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA UNA VARIABLE
Contraste para la media µ
1)
½
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
2)
½
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
3)
½
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
• Si σ es conocida
½
∗ si X es normal o
∗ si n > 60
V texp =
¯x − µ0
σ/
√
n
, Cα = zα
• Si σ es desconocida



∗ si n > 60 ⇒ texp =
¯x − µ0
s/
√
n
, Cα = zα
∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ texp =
¯x − µ0
s/
√
n
, Cα = tα(n − 1)
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ = µ0
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ ≤ µ0
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ ≥ µ0
Contraste para la varianza σ2
1)
½
H0 : σ2
= σ2
0
H1 : σ2
6= σ2
0
2)
½
H0 : σ2
≤ σ2
0
H1 : σ2
> σ2
0
3)
½
H0 : σ2
≥ σ2
0
H1 : σ2
< σ2
0
Condiciones: X ∼ N(µ, σ) ⇒ texp =
(n − 1)s2
σ2
0
1) Si texp ∈
h
χ2
1−α/2(n − 1), χ2
α/2(n − 1)
i
⇒ H0 : σ2
= σ2
0
2) Si texp < χ2
α(n − 1) ⇒ H0 : σ2
≤ σ2
0
3) Si texp > χ2
1−α(n − 1) ⇒ H0 : σ2
≥ σ2
0
Contraste para una proporción p
1)
½
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0
2)
½
H0 : p ≤ p0
H1 : p > p0
3)
½
H0 : p ≥ p0
H1 : p < p0
Condiciones: np0, nq0 > 5, p0, q0 > 0,05 ⇒ texp =
ˆp − p0
p
p0q0/n
1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p = p0
2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p ≤ p0
3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p ≥ p0
21
TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA DOS VARIABLES
Comparación de Varianzas
1)
½
H0 : σ2
1 = σ2
2
H1 : σ2
1 6= σ2
2
2)
½
H0 : σ2
1 ≤ σ2
2
H1 : σ2
1 > σ2
2
3)
½
H0 : σ2
1 ≥ σ2
2
H1 : σ2
1 < σ2
2
Condiciones:
· Poblaciones normales: X ∼ N(µ1, σ1), Y ∼ N(µ2, σ2)
· Muestras independientes de tamaños m y n
V Fexp =
s2
1
s2
2
1) Si Fexp ∈
£
F1−α/2(m − 1, n − 1), Fα/2(m − 1, n − 1)
¤
⇒ H0 : σ2
1 = σ2
2
2) Si Fexp < Fα(m − 1, n − 1) ⇒ H0 : σ2
1 ≤ σ2
2
3) Si Fexp > F1−α(m − 1, n − 1) ⇒ H0 : σ2
1 ≥ σ2
2
Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas
Bajo las anteriores condiciones,
σ2
1
σ2
2
∈
·
s2
1
s2
2
1
Fα/2(m − 1, n − 1)
,
s2
1
s2
2
1
F1−α/2(m − 1, n − 1)
¸
Nota: F1−α(m, n) =
1
Fα(n, m)
22
Comparación de Medias para muestras independientes
1)
½
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
2)
½
H0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 > µ2
3)
½
H0 : µ1 ≥ µ2
H1 : µ1 < µ2
• Si σ1, σ2 son conocidas
(
∗ si X e Y son normales o
∗ si m, n ≥ 60
V



texp =
¯x − ¯y
p
σ2
1/m + σ2
2/n
Cα = zα
• Si σ1, σ2 son desconocidas
∗ Si m, n ≥ 60 ⇒



texp =
¯x − ¯y
p
s2
1/m + s2
2/n
Cα = zα
∗ Si X e Y son normales



∗ si σ1 = σ2 V



texp =
¯x − ¯y
s
p
1/m + 1/n
Cα = tα(m + n − 2)
Cα = zα si m + n − 2 ≥ 60
∗ si σ1 6= σ2 V



texp =
¯x − ¯y
p
s2
1/m + s2
2/n
Cα = tα(f)
Cα = zα si f ≥ 60
s2
=
(m − 1)s2
1 + (n − 1)s2
2
m + n − 2
, f =
(s2
1/m + s2
2/n)2
(s2
1/m)2
m − 1
+
(s2
2/n)2
n − 1
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2
Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras independientes)
Si D(texp) es el denominador de texp ,
µ1 − µ2 ∈ (¯x − ¯y) ± CαD(texp)
23
Comparación de Medias para muestras apareadas
1)
½
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
2)
½
H0 : µ1 ≤ µ2
H1 : µ1 > µ2
3)
½
H0 : µ1 ≥ µ2
H1 : µ1 < µ2
Condiciones:
· Para muestras apareadas
· Si D = X − Y ∼ N(µD, σD), con µD = µ1 − µ2 ⇒ Cα = tα(n − 1)
· Si n ≥ 60, aunque no haya normalidad ⇒ Cα = zα
En todo caso, texp =
¯d
sD/
√
n
donde ¯d y sD son la media y la desviación típica de los datos
di = xi − yi, i = 1, 2, . . . , n
1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2
2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2
3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2
Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras apareadas)
Bajo las mismas condiciones,
µ1 − µ2 ∈ ¯d ± Cα
sD
√
n
24
Comparación de Proporciones
1)
½
H0 : p1 = p2
H1 : p1 6= p2
2)
½
H0 : p1 ≤ p2
H1 : p1 > p2
3)
½
H0 : p1 ≥ p2
H1 : p1 < p2
• Muestras Independientes
Consideramos dos muestras independientes 1 y 2 de tamaños n1 y n2
Muestra Si No
1 x1 n1 − x1 n1
2 x2 n2 − x2 n2
ˆpi =
xi
ni
, ˆqi = 1 − pi, i = 1, 2
ˆp =
x1 + x2
n1 + n2
, ˆq = 1 − ˆp
∗ Condiciones:



· ni ˆpi > 5, i = 1, 2
· ni ˆqi > 5, i = 1, 2
· ˆpi, ˆqi > 0,05, i = 1, 2



V texp =
ˆp1 − ˆp2
s
ˆpˆq
µ
1
n1
+
1
n2
¶
∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones:
p1 − p2 ∈ ( ˆp1 − ˆp2) ± zα
r
ˆp1 ˆq1
n1
+
ˆp2 ˆq2
n2
• Muestras Apareadas
Consideramos dos muestras apareadas 1 y 2 de tamaño n
12 Si No
Si n11 n12
No n21 n22
n
∗ Condición: n12 + n21 > 10 V texp =
n12 − n21
√
n12 + n21
∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones y n12, n21 > 5:
p1 − p2 ∈
1
n
Ã
(n12 − n21) ± zα
r
n12 + n21 −
(n12 − n21)2
n
!
En ambos casos:
1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p1 = p2
2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p1 ≤ p2
3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p1 ≥ p2
25
RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS
AB B1 · · · Bj · · · Bs
A1 O11 · · · O1j · · · O1s O1·
...
...
...
...
...
Ai Oi1 · · · Oij · · · Ois Oi·
...
...
...
...
...
Ar Or1 · · · Orj · · · Ors Or·
O·1 · · · O·j · · · O·s n
(
H0 : A y B son independientes
H1 : A y B son dependientes
Eij =
Oi·O·j
n
, i = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , s; C =
v
u
u
u
u
u
u
t
P
i,j
O2
ij
Eij
− n
P
i,j
O2
ij
Eij
∗ C toma valores entre 0 y
r
q − 1
q
, con q = m´ın{r, s}
∗ Condiciones:
· Ningún Eij es < 1
· A lo sumo un 20 % de los Eij son < 5
)
V χ2
exp =
P
i,j
O2
ij
Eij
− n
Si χ2
exp < χ2
α((r − 1)(s − 1)) ⇒ H0 : A y B son independientes
∗ χ2
exp =
C2
1 − C2
n
• Tabla 2x2:
φ =
r
(O11O22 − O12O21)2
O1·O2·O·1O·2
∗ φ toma valores entre 0 y 1
∗ Condiciones:
· Todos los marginales Oi· y O·j son > n/10
· Todos los Eij son > 5
∗ χ2
exp = φ2
n
26
RELACIÓN ENTRE VARIABLES
X x1 x2 · · · xn
Y y1 y2 · · · yn
Relación Lineal Muestral
Recta de Regresión Muestral:
y = a + bx, donde b =
Sxy
S2
x
, a = ¯y − b¯x, Sxy =
P
i xiyi
n − 1
−
n
n − 1
¯x¯y
Coeficiente de correlación lineal de Person: r =
Sxy
SxSy
Varianza Intrínseca Muestral: s2
=
(n − 1)
(n − 2)
S2
y(1 − r2
)
Relación Lineal Poblacional
(
H0 : ρXY = 0
H1 : ρXY 6= 0
⇒ texp =
s
(n − 2)r2
1 − r2
Si texp < tα(n − 2) ⇒ H0 : ρXY = 0
Recta de Regresión Poblacional: y = α + βx
Intervalos de confianza para α y β:
α ∈ a ± tα(n − 2)s
s
1
n
+
¯x2
(n − 1)S2
x
β ∈ b ± tα(n − 2)
s
p
(n − 1)S2
x
Intervalo de confianza para la recta de regresión poblacional:
α + βx ∈ (a + bx) ± tα(n − 2)s
s
1
n
+
(x − ¯x)2
(n − 1)S2
x
Intervalo de confianza para la predicción de y
y ∈ (a + bx) ± tα(n − 2)s
s
1 +
1
n
+
(x − ¯x)2
(n − 1)S2
x
27
ANÁLISIS DE LA VARIANZA: ANOVA
Diseño Completamente Aleatorizado - ANOVA de una vía
Nivel del factor Totales Medias
1 x11 · · · x1n1 x1· ¯x1·
...
...
...
...
...
k xk1 · · · xknk
xk· ¯xk·
x·· ¯x··
n1 + n2 + · · · + nk = n
X
i
X
j
(xij − ¯x··)2
=
X
i
X
j
(¯xi· − ¯x··)2
+
X
i
X
j
(xij − ¯xi·)2
VT = VE + VD
½
H0 : µ1 = · · · = µk
H1 : µi 6= µj, para algún par i, j
TABLA ANOVA
F. de Variación Suma de Cuadrados Grados de Lib. Media Cuadrática F
Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp =
MCE
MCD
Dentro VD n − k MCD = VD/n − k
Total VT n − 1
∗ Si Fexp < Fα(k − 1, n − k) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk
Comparaciones Múltiples: Test de Tukey
½
H0 : µi = µj
H1 : µi 6= µj
, 1 ≤ i < j ≤ k
ωij = qα(k, n − k)
s
MCD
2
µ
1
ni
+
1
nj
¶
∗ Si |¯xi· − ¯xj·| < ωij ⇒ H0 : µi = µj
28
Diseño por Bloques al azar - ANOVA de dos vías
Nivel del factorBloque B1 · · · Bj · · · Br Totales Medias
1 x11 · · · x1j · · · x1r x1· ¯x1·
...
...
...
...
...
...
i xi1 xij xir xi· ¯xi·
...
...
...
...
...
...
k xk1 · · · xkj · · · xkr xk· ¯xk·
Totales x·1 · · · x·j · · · x·r x·· ¯x··
Medias ¯x·1 · · · ¯x·j · · · ¯x·r
k · r = n
X
i
X
j
(xij − ¯x··)2
=
X
i
X
j
(¯xi· − ¯x··)2
+
X
i
X
j
(¯x·j − ¯x··)2
+
X
i
X
j
(xij − ¯xi· − ¯x·j + ¯x··)2
VT = VE + VB + VD
(1)
½
H0 : µ1 = · · · = µk
H1 : µi 6= µj, para algún par i, j
(2)
½
H0
0 : β1 = · · · = βr = 0
H0
1 : Algún βi 6= 0
TABLA ANOVA
F. de Var. Suma de Cuad. G. L. Media Cuad. F
Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp =
MCE
MCD
Bloques VB r − 1 MCB = VB/r − 1
Dentro VD (k − 1)(r − 1) MCD =
VD
(k − 1)(r − 1)
F0
exp =
MCB
MCD
Total VT n − 1
(1) Si Fexp < Fα(k − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk
(2) Si F0
exp < Fα(r − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H0
0 : β1 = · · · = βr = 0
Comparaciones Múltiples: Test LSD
½
H0 : µi = µj
H1 : µi 6= µj
, 1 ≤ i < j ≤ k Tα = tα((k − 1)(r − 1))
r
MCD
2
r
∗ Si |¯xi· − ¯xj·| < Tα ⇒ H0 : µi = µj
Intervalo de Confianza:
µi − µj ∈
Ã
¯xi· − ¯xj· + tα((k − 1)(r − 1))
r
MCD
2
r
!
29

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Tabla fisher
Tabla fisherTabla fisher
Tabla fisher
 
Catalogo Perfiles Normalizados 2011
Catalogo Perfiles Normalizados 2011Catalogo Perfiles Normalizados 2011
Catalogo Perfiles Normalizados 2011
 
Tablas
TablasTablas
Tablas
 
Tabla t de_student
Tabla t de_studentTabla t de_student
Tabla t de_student
 
Tabla fischer una cola alfa 0.05
Tabla fischer una cola alfa 0.05Tabla fischer una cola alfa 0.05
Tabla fischer una cola alfa 0.05
 
Tabla tstudent
Tabla tstudentTabla tstudent
Tabla tstudent
 
Estadística Tabla Z Estándar
Estadística Tabla Z EstándarEstadística Tabla Z Estándar
Estadística Tabla Z Estándar
 
Tabla t student
Tabla t studentTabla t student
Tabla t student
 
Tablas estadísticas completas
Tablas estadísticas completasTablas estadísticas completas
Tablas estadísticas completas
 
Tabla chi cuadrado
Tabla chi cuadradoTabla chi cuadrado
Tabla chi cuadrado
 
Tev3 tablas
Tev3 tablasTev3 tablas
Tev3 tablas
 
Tablas z t chi f
Tablas z t chi fTablas z t chi f
Tablas z t chi f
 
T studentdoscolas
T studentdoscolasT studentdoscolas
T studentdoscolas
 
Tabla Chi cuadrado PSPP
Tabla Chi cuadrado PSPPTabla Chi cuadrado PSPP
Tabla Chi cuadrado PSPP
 
Tablas
TablasTablas
Tablas
 
Inch To Millimeter Conversion Table
Inch To Millimeter Conversion TableInch To Millimeter Conversion Table
Inch To Millimeter Conversion Table
 
Tabla chi cuadrado
Tabla chi cuadradoTabla chi cuadrado
Tabla chi cuadrado
 
Valores para calcular chi cuadrado crítico
Valores para calcular chi cuadrado críticoValores para calcular chi cuadrado crítico
Valores para calcular chi cuadrado crítico
 
Como se utiliza la tabla t de student (formulas)
Como se utiliza la tabla t de student (formulas)Como se utiliza la tabla t de student (formulas)
Como se utiliza la tabla t de student (formulas)
 
Tablas (duncan y tukey)
Tablas (duncan y tukey)Tablas (duncan y tukey)
Tablas (duncan y tukey)
 

Más de Karina Lizbeth

La administración paraestatal y centralizada
La administración paraestatal y centralizadaLa administración paraestatal y centralizada
La administración paraestatal y centralizadaKarina Lizbeth
 
Procedimientos técnicas y metodos
Procedimientos técnicas y metodosProcedimientos técnicas y metodos
Procedimientos técnicas y metodosKarina Lizbeth
 
Personal como elemento del control interno
Personal como elemento del control internoPersonal como elemento del control interno
Personal como elemento del control internoKarina Lizbeth
 
Teoria de las relaciones humanas
Teoria de las relaciones humanasTeoria de las relaciones humanas
Teoria de las relaciones humanasKarina Lizbeth
 
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum Karina Lizbeth
 
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutz
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutzTeoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutz
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutzKarina Lizbeth
 
Reglas basicas de integracion
Reglas basicas de integracionReglas basicas de integracion
Reglas basicas de integracionKarina Lizbeth
 
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltasLibro integrales resueltas
Libro integrales resueltasKarina Lizbeth
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesKarina Lizbeth
 
Integral sustitucion trigonometrica
Integral sustitucion trigonometricaIntegral sustitucion trigonometrica
Integral sustitucion trigonometricaKarina Lizbeth
 
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial Karina Lizbeth
 

Más de Karina Lizbeth (20)

La administración paraestatal y centralizada
La administración paraestatal y centralizadaLa administración paraestatal y centralizada
La administración paraestatal y centralizada
 
Procedimientos técnicas y metodos
Procedimientos técnicas y metodosProcedimientos técnicas y metodos
Procedimientos técnicas y metodos
 
Personal como elemento del control interno
Personal como elemento del control internoPersonal como elemento del control interno
Personal como elemento del control interno
 
Teoria de las relaciones humanas
Teoria de las relaciones humanasTeoria de las relaciones humanas
Teoria de las relaciones humanas
 
Google exposicion
Google exposicionGoogle exposicion
Google exposicion
 
Tablas de conversion
Tablas de conversionTablas de conversion
Tablas de conversion
 
Aborto
AbortoAborto
Aborto
 
Aborto ensayo
Aborto ensayoAborto ensayo
Aborto ensayo
 
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum
Matemáticas Financieras Frank Ayres Schaum
 
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutz
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutzTeoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutz
Teoria de conjuntos y temas afines serie schaum symourlipschutz
 
Formulario completo
Formulario completoFormulario completo
Formulario completo
 
Reglas basicas de integracion
Reglas basicas de integracionReglas basicas de integracion
Reglas basicas de integracion
 
Nuevo formulario
Nuevo formularioNuevo formulario
Nuevo formulario
 
Libro integrales resueltas
Libro integrales resueltasLibro integrales resueltas
Libro integrales resueltas
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integrales
 
coordenadas polares
coordenadas polarescoordenadas polares
coordenadas polares
 
Calculo venctorial
Calculo venctorialCalculo venctorial
Calculo venctorial
 
Formulario
FormularioFormulario
Formulario
 
Integral sustitucion trigonometrica
Integral sustitucion trigonometricaIntegral sustitucion trigonometrica
Integral sustitucion trigonometrica
 
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial
ingeniera en sistemas computacionales cultura empresarial
 

Tablas de probabilidad y estadistica

  • 1. Tabla 1 Distribución binomial B (n, p) p (X = x) = ¡n x ¢ px (1 − p) n−x n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 2 0 0.9025 0.81 0.7225 0.64 0.5625 0.49 0.4225 0.36 0.3025 0.25 1 0.095 0.18 0.255 0.32 0.375 0.42 0.455 0.48 0.495 0.5 2 0.0025 0.01 0.0225 0.04 0.0625 0.09 0.1225 0.16 0.2025 0.25 3 0 0.8574 0.729 0.6141 0.512 0.4219 0.343 0.2746 0.216 0.1664 0.125 1 0.1354 0.243 0.3251 0.384 0.4219 0.441 0.4436 0.432 0.4084 0.375 2 0.0071 0.027 0.0574 0.096 0.1406 0.189 0.2389 0.288 0.3341 0.375 3 0.0001 0.001 0.0034 0.008 0.0156 0.027 0.0429 0.064 0.0911 0.125 4 0 0.8145 0.6561 0.522 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625 1 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.25 2 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.375 3 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.25 4 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.015 0.0256 0.041 0.0625 5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.116 0.0778 0.0503 0.0312 1 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3601 0.3124 0.2592 0.2059 0.1562 2 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.3125 3 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.3125 4 0. 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.1562 5 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0312 6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.178 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156 1 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.356 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.0938 2 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.328 0.311 0.278 0.2344 3 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.3125 4 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.033 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.2344 5 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.0938 6 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156 7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.049 0.028 0.0152 0.0078 1 0.2573 0.372 0.396 0.367 0.3115 0.2471 0.1848 0.1306 0.0872 0.0547 2 0.0406 0.124 0.2097 0.2753 0.3115 0.3177 0.2985 0.2613 0.214 0.1641 3 0.0036 0.023 0.0617 0.1147 0.173 0.2269 0.2679 0.2903 0.2918 0.2734 4 0.0002 0.0026 0.0109 0.0287 0.0577 0.0972 0.1442 0.1935 0.2388 0.2734 5 0. 0.0002 0.0012 0.0043 0.0115 0.025 0.0466 0.0774 0.1172 0.1641 6 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0036 0.0084 0.0172 0.032 0.0547 7 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0006 0.0016 0.0037 0.0078 8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.0039 1 0.2793 0.3826 0.3847 0.3355 0.267 0.1977 0.1373 0.0896 0.0548 0.0312 2 0.0515 0.1488 0.2376 0.2936 0.3115 0.2965 0.2587 0.209 0.1569 0.1094 3 0.0054 0.0331 0.0839 0.1468 0.2076 0.2541 0.2786 0.2787 0.2568 0.2188 4 0.0004 0.0046 0.0185 0.0459 0.0865 0.1361 0.1875 0.2322 0.2627 0.2734 5 0. 0.0004 0.0026 0.0092 0.0231 0.0467 0.0808 0.1239 0.1719 0.2188 6 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0038 0.01 0.0217 0.0413 0.0703 0.1094 7 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.0079 0.0164 0.0312 8 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0007 0.0017 0.0039 9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.002 1 0.2985 0.3874 0.3679 0.302 0.2253 0.1556 0.1004 0.0605 0.0339 0.0176 2 0.0629 0.1722 0.2597 0.302 0.3003 0.2668 0.2162 0.1612 0.111 0.0703 3 0.0077 0.0446 0.1069 0.1762 0.2336 0.2668 0.2716 0.2508 0.2119 0.1641 4 0.0006 0.0074 0.0283 0.0661 0.1168 0.1715 0.2194 0.2508 0.26 0.2461 5 0. 0.0008 0.005 0.0165 0.0389 0.0735 0.1181 0.1672 0.2128 0.2461 6 0. 0.0001 0.0006 0.0028 0.0087 0.021 0.0424 0.0743 0.116 0.1641 7 0. 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0039 0.0098 0.0212 0.0407 0.0703 8 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0035 0.0083 0.0176 9 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0008 0.002 1
  • 2. Tabla 1 Distribución binomial (Continuación) n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 10 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.006 0.0025 0.001 1 0.3151 0.3874 0.3474 0.2684 0.1877 0.1211 0.0725 0.0403 0.0207 0.0098 2 0.0746 0.1937 0.2759 0.302 0.2816 0.2335 0.1757 0.1209 0.0763 0.0439 3 0.0105 0.0574 0.1298 0.2013 0.2503 0.2668 0.2522 0.215 0.1665 0.1172 4 0.001 0.0112 0.0401 0.0881 0.146 0.2001 0.2377 0.2508 0.2384 0.2051 5 0.0001 0.0015 0.0085 0.0264 0.0584 0.1029 0.1536 0.2007 0.234 0.2461 6 0. 0.0001 0.0012 0.0055 0.0162 0.0368 0.0689 0.1115 0.1596 0.2051 7 0. 0. 0.0001 0.0008 0.0031 0.009 0.0212 0.0425 0.0746 0.1172 8 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0014 0.0043 0.0106 0.0229 0.0439 9 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0016 0.0042 0.0098 10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.0005 1 0.3293 0.3835 0.3248 0.2362 0.1549 0.0932 0.0518 0.0266 0.0125 0.0054 2 0.0867 0.2131 0.2866 0.2953 0.2581 0.1998 0.1395 0.0887 0.0513 0.0269 3 0.0137 0.071 0.1517 0.2215 0.2581 0.2568 0.2254 0.1774 0.1259 0.0806 4 0.0014 0.0158 0.0536 0.1107 0.1721 0.2201 0.2428 0.2365 0.206 0.1611 5 0.0001 0.0025 0.0132 0.0388 0.0803 0.1321 0.183 0.2207 0.236 0.2256 6 0. 0.0003 0.0023 0.0097 0.0268 0.0566 0.0985 0.1471 0.1931 0.2256 7 0. 0. 0.0003 0.0017 0.0064 0.0173 0.0379 0.0701 0.1128 0.1611 8 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.0037 0.0102 0.0234 0.0462 0.0806 9 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0018 0.0052 0.0126 0.0269 10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0007 0.0021 0.0054 11 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0005 12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.0002 1 0.3413 0.3766 0.3012 0.2062 0.1267 0.0712 0.0368 0.0174 0.0075 0.0029 2 0.0988 0.2301 0.2924 0.2835 0.2323 0.1678 0.1088 0.0639 0.0339 0.0161 3 0.0173 0.0852 0.172 0.2362 0.2581 0.2397 0.1954 0.1419 0.0923 0.0537 4 0.0021 0.0213 0.0683 0.1329 0.1936 0.2311 0.2367 0.2128 0.17 0.1208 5 0.0002 0.0038 0.0193 0.0532 0.1032 0.1585 0.2039 0.227 0.2225 0.1934 6 0. 0.0005 0.004 0.0155 0.0401 0.0792 0.1281 0.1766 0.2124 0.2256 7 0. 0. 0.0006 0.0033 0.0115 0.0291 0.0591 0.1009 0.1489 0.1934 8 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0024 0.0078 0.0199 0.042 0.0762 0.1208 9 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0015 0.0048 0.0125 0.0277 0.0537 10 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0025 0.0068 0.0161 11 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0029 12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 13 0 0.5133 0.2542 0.1209 0.055 0.0238 0.0097 0.0037 0.0013 0.0004 0.0001 1 0.3512 0.3672 0.2774 0.1787 0.1029 0.054 0.0259 0.0113 0.0045 0.0016 2 0.1109 0.2448 0.2937 0.268 0.2059 0.1388 0.0836 0.0453 0.022 0.0095 3 0.0214 0.0997 0.19 0.2457 0.2517 0.2181 0.1651 0.1107 0.066 0.0349 4 0.0028 0.0277 0.0838 0.1535 0.2097 0.2337 0.2222 0.1845 0.135 0.0873 5 0.0003 0.0055 0.0266 0.0691 0.1258 0.1803 0.2154 0.2214 0.1989 0.1571 6 0. 0.0008 0.0063 0.023 0.0559 0.103 0.1546 0.1968 0.2169 0.2095 7 0. 0.0001 0.0011 0.0058 0.0186 0.0442 0.0833 0.1312 0.1775 0.2095 8 0. 0. 0.0001 0.0011 0.0047 0.0142 0.0336 0.0656 0.1089 0.1571 9 0. 0. 0. 0.0001 0.0009 0.0034 0.0101 0.0243 0.0495 0.0873 10 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0022 0.0065 0.0162 0.0349 11 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0012 0.0036 0.0095 12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0016 13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 2
  • 3. Tabla 1 Distribución binomial (Continuación) n x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 14 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.044 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001 1 0.3593 0.3559 0.2539 0.1539 0.0832 0.0407 0.0181 0.0073 0.0027 0.0009 2 0.1229 0.257 0.2912 0.2501 0.1802 0.1134 0.0634 0.0317 0.0141 0.0056 3 0.0259 0.1142 0.2056 0.2501 0.2402 0.1943 0.1366 0.0845 0.0462 0.0222 4 0.0037 0.0349 0.0998 0.172 0.2202 0.229 0.2022 0.1549 0.104 0.0611 5 0.0004 0.0078 0.0352 0.086 0.1468 0.1963 0.2178 0.2066 0.1701 0.1222 6 0. 0.0013 0.0093 0.0322 0.0734 0.1262 0.1759 0.2066 0.2088 0.1833 7 0. 0.0002 0.0019 0.0092 0.028 0.0618 0.1082 0.1574 0.1952 0.2095 8 0. 0. 0.0003 0.002 0.0082 0.0232 0.051 0.0918 0.1398 0.1833 9 0. 0. 0. 0.0003 0.0018 0.0066 0.0183 0.0408 0.0762 0.1222 10 0. 0. 0. 0. 0.0003 0.0014 0.0049 0.0136 0.0312 0.0611 11 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.001 0.0033 0.0093 0.0222 12 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0019 0.0056 13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 0.0009 14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 15 0 0.4633 0.2059 0.0874 0.0352 0.0134 0.0047 0.0016 0.0005 0.0001 0. 1 0.3658 0.3432 0.2312 0.1319 0.0668 0.0305 0.0126 0.0047 0.0016 0.0005 2 0.1348 0.2669 0.2856 0.2309 0.1559 0.0916 0.0476 0.0219 0.009 0.0032 3 0.0307 0.1285 0.2184 0.2501 0.2252 0.17 0.111 0.0634 0.0318 0.0139 4 0.0049 0.0428 0.1156 0.1876 0.2252 0.2186 0.1792 0.1268 0.078 0.0417 5 0.0006 0.0105 0.0449 0.1032 0.1651 0.2061 0.2123 0.1859 0.1404 0.0916 6 0. 0.0019 0.0132 0.043 0.0917 0.1472 0.1906 0.2066 0.1914 0.1527 7 0. 0.0003 0.003 0.0138 0.0393 0.0811 0.1319 0.1771 0.2013 0.1964 8 0. 0. 0.0005 0.0035 0.0131 0.0348 0.071 0.1181 0.1647 0.1964 9 0. 0. 0.0001 0.0007 0.0034 0.0116 0.0298 0.0612 0.1048 0.1527 10 0. 0. 0. 0.0001 0.0007 0.003 0.0096 0.0245 0.0515 0.0916 11 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0024 0.0074 0.0191 0.0417 12 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0016 0.0052 0.0139 13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0003 0.001 0.0032 14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.01 0.0033 0.001 0.0003 0.0001 0. 1 0.3706 0.3294 0.2097 0.1126 0.0535 0.0228 0.0087 0.003 0.0009 0.0002 2 0.1463 0.2745 0.2775 0.2111 0.1336 0.0732 0.0353 0.015 0.0056 0.0018 3 0.0359 0.1423 0.2285 0.2463 0.2079 0.1465 0.0888 0.0468 0.0215 0.0085 4 0.0061 0.0514 0.1311 0.2001 0.2252 0.204 0.1553 0.1014 0.0572 0.0278 5 0.0008 0.0137 0.0555 0.1201 0.1802 0.2099 0.2008 0.1623 0.1123 0.0667 6 0.0001 0.0028 0.018 0.055 0.1101 0.1649 0.1982 0.1983 0.1684 0.1222 7 0. 0.0004 0.0045 0.0197 0.0524 0.101 0.1524 0.1889 0.1969 0.1746 8 0. 0.0001 0.0009 0.0055 0.0197 0.0487 0.0923 0.1417 0.1812 0.1964 9 0. 0. 0.0001 0.0012 0.0058 0.0185 0.0442 0.084 0.1318 0.1746 10 0. 0. 0. 0.0002 0.0014 0.0056 0.0167 0.0392 0.0755 0.1222 11 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0013 0.0049 0.0142 0.0337 0.0667 12 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0011 0.004 0.0115 0.0278 13 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0029 0.0085 14 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0005 0.0018 15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0001 0.0002 16 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3
  • 4. Tabla 2 Distribución de Poisson P (λ) p (X = x) = e−l λx x! λ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.5 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.0 0.3679 0.3679 0.1839 0.0613 0.0153 0.0031 0.0005 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 1.5 0.2231 0.3347 0.251 0.1255 0.0471 0.0141 0.0035 0.0008 0.0001 0. 0. 0. 0. 2.0 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.012 0.0034 0.0009 0.0002 0. 0. 0. 2.5 0.0821 0.2052 0.2565 0.2138 0.1336 0.0668 0.0278 0.0099 0.0031 0.0009 0.0002 0. 0. 3.0 0.0498 0.1494 0.224 0.224 0.168 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008 0.0002 0.0001 3.5 0.0302 0.1057 0.185 0.2158 0.1888 0.1322 0.0771 0.0385 0.0169 0.0066 0.0023 0.0007 0.0002 4.0 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 0.0053 0.0019 0.0006 4.5 0.0111 0.05 0.1125 0.1687 0.1898 0.1708 0.1281 0.0824 0.0463 0.0232 0.0104 0.0043 0.0016 5.0 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0653 0.0363 0.0181 0.0082 0.0034 5.5 0.0041 0.0225 0.0618 0.1133 0.1558 0.1714 0.1571 0.1234 0.0849 0.0519 0.0285 0.0143 0.0065 6.0 0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033 0.0688 0.0413 0.0225 0.0113 6.5 0.0015 0.0098 0.0318 0.0688 0.1118 0.1454 0.1575 0.1462 0.1188 0.0858 0.0558 0.033 0.0179 7.0 0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.149 0.149 0.1304 0.1014 0.071 0.0452 0.0263 7.5 0.0006 0.0041 0.0156 0.0389 0.0729 0.1094 0.1367 0.1465 0.1373 0.1144 0.0858 0.0585 0.0366 8.0 0.0003 0.0027 0.0107 0.0286 0.0573 0.0916 0.1221 0.1396 0.1396 0.1241 0.0993 0.0722 0.0481 8.5 0.0002 0.0017 0.0074 0.0208 0.0443 0.0752 0.1066 0.1294 0.1375 0.1299 0.1104 0.0853 0.0604 9.0 0.0001 0.0011 0.005 0.015 0.0337 0.0607 0.0911 0.1171 0.1318 0.1318 0.1186 0.097 0.0728 9.5 0.0001 0.0007 0.0034 0.0107 0.0254 0.0483 0.0764 0.1037 0.1232 0.13 0.1235 0.1067 0.0844 10.0 0. 0.0005 0.0023 0.0076 0.0189 0.0378 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 0.1137 0.0948 10.5 0. 0.0003 0.0015 0.0053 0.0139 0.0293 0.0513 0.0769 0.1009 0.1177 0.1236 0.118 0.1032 11.0 0. 0.0002 0.001 0.0037 0.0102 0.0224 0.0411 0.0646 0.0888 0.1085 0.1194 0.1194 0.1094 11.5 0. 0.0001 0.0007 0.0026 0.0074 0.017 0.0325 0.0535 0.0769 0.0982 0.1129 0.1181 0.1131 12.0 0. 0.0001 0.0004 0.0018 0.0053 0.0127 0.0255 0.0437 0.0655 0.0874 0.1048 0.1144 0.1144 12.5 0. 0. 0.0003 0.0012 0.0038 0.0095 0.0197 0.0353 0.0551 0.0765 0.0956 0.1087 0.1132 13.0 0. 0. 0.0002 0.0008 0.0027 0.007 0.0152 0.0281 0.0457 0.0661 0.0859 0.1015 0.1099 13.5 0. 0. 0.0001 0.0006 0.0019 0.0051 0.0115 0.0222 0.0375 0.0563 0.076 0.0932 0.1049 14.0 0. 0. 0.0001 0.0004 0.0013 0.0037 0.0087 0.0174 0.0304 0.0473 0.0663 0.0844 0.0984 14.5 0. 0. 0.0001 0.0003 0.0009 0.0027 0.0065 0.0135 0.0244 0.0394 0.0571 0.0753 0.091 15.0 0. 0. 0. 0.0002 0.0006 0.0019 0.0048 0.0104 0.0194 0.0324 0.0486 0.0663 0.0829
  • 5. Tabla 2 Distribución de Poisson (Continuación) λ 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3.5 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4.0 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4.5 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5.0 0.0013 0.0005 0.0002 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5.5 0.0028 0.0011 0.0004 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.0 0.0052 0.0022 0.0009 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6.5 0.0089 0.0041 0.0018 0.0007 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 7.0 0.0142 0.0071 0.0033 0.0014 0.0006 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 0. 7.5 0.0211 0.0113 0.0057 0.0026 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 0. 8.0 0.0296 0.0169 0.009 0.0045 0.0021 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0. 0. 0. 0. 8.5 0.0395 0.024 0.0136 0.0072 0.0036 0.0017 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0. 0. 0. 9.0 0.0504 0.0324 0.0194 0.0109 0.0058 0.0029 0.0014 0.0006 0.0003 0.0001 0. 0. 0. 9.5 0.0617 0.0419 0.0265 0.0157 0.0088 0.0046 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0. 0. 10.0 0.0729 0.0521 0.0347 0.0217 0.0128 0.0071 0.0037 0.0019 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 0. 10.5 0.0834 0.0625 0.0438 0.0287 0.0177 0.0104 0.0057 0.003 0.0015 0.0007 0.0003 0.0001 0.0001 11.0 0.0926 0.0728 0.0534 0.0367 0.0237 0.0145 0.0084 0.0046 0.0024 0.0012 0.0006 0.0003 0.0001 11.5 0.1001 0.0822 0.063 0.0453 0.0306 0.0196 0.0119 0.0068 0.0037 0.002 0.001 0.0005 0.0002 12.0 0.1056 0.0905 0.0724 0.0543 0.0383 0.0255 0.0161 0.0097 0.0055 0.003 0.0016 0.0008 0.0004 12.5 0.1089 0.0972 0.081 0.0633 0.0465 0.0323 0.0213 0.0133 0.0079 0.0045 0.0024 0.0013 0.0006 13.0 0.1099 0.1021 0.0885 0.0719 0.055 0.0397 0.0272 0.0177 0.0109 0.0065 0.0037 0.002 0.001 13.5 0.1089 0.105 0.0945 0.0798 0.0633 0.0475 0.0337 0.0228 0.0146 0.009 0.0053 0.003 0.0016 14.0 0.106 0.106 0.0989 0.0866 0.0713 0.0554 0.0409 0.0286 0.0191 0.0121 0.0074 0.0043 0.0024 14.5 0.1014 0.1051 0.1016 0.092 0.0785 0.0632 0.0483 0.035 0.0242 0.0159 0.01 0.0061 0.0035 15.0 0.0956 0.1024 0.1024 0.096 0.0847 0.0706 0.0557 0.0418 0.0299 0.0204 0.0133 0.0083 0.005
  • 6. Tabla 3 Distribución Normal N (0, 1) Z ∞x −∞ 1 √ 2π e−x2 /2 dx 0 x F(x) 0 x F(x) x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857 2.3 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.8 4.0 F(x) 0.99865 0.99904 0.99931 0.99952 0.99966 0.99976 0.99984 0.99993 0.99997 Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que una normal típica caiga por debajo del valor x tabulado en el exterior de ella. 6
  • 7. Tabla 4 Distribución Normal N (0, 1) 0 zα-zα α/2α/2 0 zα-zα α/2α/2 α 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 ∞ 2,5758 2,3263 2.1701 2.0537 1.96 1.8808 1.8119 1.7507 1.6954 0.1 1.6449 1,5982 1.5548 1.5141 1.4758 1.4395 1.4051 1.3722 1.3408 1.3106 0.2 1.2816 1,2536 1.2265 1.2004 1.175 1.1503 1.1264 1.1031 1.0803 1.0581 0.3 1.0364 1,0152 0.9945 0.9741 0.9542 0.9346 0.9154 0.8965 0.8779 0.8596 0.4 0.8416 0,8239 0.8064 0.7892 0.7722 0.7554 0.7388 0.7225 0.7063 0.6903 0.5 0.6745 0,6588 0.6433 0.628 0.6128 0.5978 0.5828 0.5681 0.5534 0.5388 0.6 0.5244 0,5101 0.4959 0.4817 0.4677 0.4538 0.4399 0.4261 0.4125 0.3989 0.7 0.3853 0,3719 0.3585 0.3451 0.3319 0.3186 0.3055 0.2924 0.2793 0.2663 0.8 0.2533 0,2404 0.2275 0.2147 0.2019 0.1891 0.1764 0.1637 0.151 0.1383 0.9 0.1257 0,113 0.1004 0.0878 0.0753 0.0627 0.0502 0.0376 0.0251 0.0125 Para los valores pequeños de α α 0,002 0,001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 zα 3,090 3,291 3.891 4.417 4.892 5.327 Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad α de que una Normal típica caiga por debajo de -zα o por encima de zα (zα aparece en el interior de la tabla). 7
  • 8. Tabla 5 Distribución t de Student 0 tα-tα α/2α/2 0 tα-tα α/2α/2 g.l. 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001 1 1. 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619 2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 6.965 9.925 31.599 3 0.765 0.978 1.25 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924 4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.61 5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869 6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959 7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408 8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.896 3.355 5.041 9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25 4.781 10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587 11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437 12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318 13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.65 3.012 4.221 14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.14 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073 16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.583 2.921 4.015 17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.567 2.898 3.965 18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922 19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883 20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.85 21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.518 2.831 3.819 22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792 23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.5 2.807 3.768 24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745 25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.485 2.787 3.725 26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707 27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.69 28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674 29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.659 30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.457 2.75 3.646 35 0.682 0.852 1.052 1.306 1.69 2.03 2.438 2.724 3.591 40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551 45 0.68 0.85 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.69 3.52 50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.496 60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2. 2.39 2.66 3.46 80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.374 2.639 3.416 100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.364 2.626 3.39 ∞ 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.96 2.326 2.576 3.291 Nota: Para cada valor de los grados de libertad (primera columna), y cada valor de α (primera fila), en el interior de lla tabla se da el valor tα, tal que a la izquierda de −tα y a la derecha de tα queda un área total de α. 8
  • 9. Tabla 6 Distribución χ2 χα 2 0 α χα 2 0 α g.l. 0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.200 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 1 0. 0. 0.001 0.004 0.016 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 0.01 0.02 0.051 0.103 0.211 3.219 4.605 5.991 7.378 9.21 10.597 13.816 3 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 4.642 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.266 4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 14.86 18.467 5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.61 7.289 9.236 11.07 12.833 15.086 16.75 20.515 6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.458 7 0.989 1.239 1.69 2.167 2.833 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.322 8 1.344 1.646 2.18 2.733 3.49 11.03 13.362 15.507 17.535 20.09 21.955 26.124 9 1.735 2.088 2.7 3.325 4.168 12.242 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877 10 2.156 2.558 3.247 3.94 4.865 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588 11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 14.631 17.275 19.675 21.92 24.725 26.757 31.264 12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 15.812 18.549 21.026 23.337 26.217 28.3 32.909 13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.528 14 4.075 4.66 5.629 6.571 7.79 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.123 15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.697 16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 20.465 23.542 26.296 28.845 32. 34.267 39.252 17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.79 18 6.265 7.015 8.231 9.39 10.865 22.76 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312 19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 23.9 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.82 20 7.434 8.26 9.591 10.851 12.443 25.038 28.412 31.41 34.17 37.566 39.997 45.315 21 8.034 8.897 10.283 11.591 13.24 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.797 22 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268 23 9.26 10.196 11.689 13.091 14.848 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728 24 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 29.553 33.196 36.415 39.364 42.98 45.559 51.179 25 10.52 11.524 13.12 14.611 16.473 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.62 26 11.16 12.198 13.844 15.379 17.292 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 48.29 54.052 27 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 32.912 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.476 28 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 56.892 29 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 58.301 30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 36.25 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.703 Notas: 1. Para cada g.l. (primera columna) y cada α (primera fila), en el interior de la tabla aparece el valor χ2 α que deja a su derecha un área α. 2. Cuando g.l.>30, puede utilizarse la aproximación: χ2 α (g.l.) ' g.l. n 1 − 2 9g.l. ± t2β q 2 9g.l. o3 con t2β en la Tabla 5 y: a) Si α ≤ 0,20, hacer β = α y utilizar el signo positivo b) Si α ≥ 0,80, hacer β = (1 − α) y utilizar el signo negativo c) Si 0,20 < α < 0,80, se utiliza otra aproximación 9
  • 10. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 10 % ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 39.86 49.5 53.59 55.83 57.24 58.2 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62. 62.26 62.53 62.79 63.06 63.33 2 8.53 9. 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49 3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.2 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.13 4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.9 3.87 3.84 3.83 3.82 3.8 3.79 3.78 3.76 5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.4 3.37 3.34 3.32 3.3 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.12 3.1 6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.9 2.87 2.84 2.82 2.8 2.78 2.76 2.74 2.72 7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.7 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.49 2.47 8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.5 2.46 2.42 2.4 2.38 2.36 2.34 2.32 2.29 9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.3 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16 10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.2 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2.06 11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.3 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.1 2.08 2.05 2.03 2. 1.97 12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.1 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.93 1.9 13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.2 2.16 2.14 2.1 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.9 1.88 1.85 14 3.1 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.1 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.8 15 3.07 2.7 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.9 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76 16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.1 2.06 2.03 2. 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.2 2.13 2.08 2.04 2. 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 19 2.99 2.61 2.4 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.7 1.67 1.63 20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2. 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61 21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.9 1.86 1.81 1.76 1.73 1.7 1.67 1.64 1.6 1.57 23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.8 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.1 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.7 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53 25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.5 27 2.9 2.51 2.3 2.17 2.07 2. 1.95 1.91 1.87 1.85 1.8 1.75 1.7 1.67 1.64 1.6 1.57 1.53 1.49 28 2.89 2.5 2.29 2.16 2.06 2. 1.94 1.9 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48 29 2.89 2.5 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.51 1.47 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.5 1.46 40 2.84 2.44 2.23 2.09 2. 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.42 1.38 60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.6 1.54 1.51 1.48 1.44 1.4 1.35 1.29 120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.9 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.6 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.26 1.19 ∞ 2.71 2.3 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.6 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.3 1.24 1.18 1.
  • 11. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 5 % ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 161.5 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 254.3 2 18.51 19. 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.5 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.7 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6. 5.96 5.91 5.86 5.8 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.5 4.46 4.43 4.4 4.36 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06 4. 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.7 3.67 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.3 3.27 3.23 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.9 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.7 2.66 2.62 2.58 2.54 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.4 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3. 2.91 2.85 2.8 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.3 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.6 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.3 2.25 2.21 14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.4 2.33 2.29 2.25 2.2 2.16 2.11 2.07 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01 17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.1 2.06 2.01 1.96 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.2 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.9 1.84 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.1 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78 23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.2 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.69 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67 28 4.2 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65 29 4.18 3.33 2.93 2.7 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.1 2.03 1.94 1.9 1.85 1.81 1.75 1.7 1.64 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2. 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 60 4. 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.1 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.7 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.5 1.43 1.35 1.25 ∞ 3.84 3. 2.6 2.37 2.21 2.1 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.23 1.
  • 12. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 2,5 % ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 976.7 984.9 993.1 997.2 1001 1006 1010 1014 1018 2 38.51 39. 39.17 39.25 39.3 39.33 39.36 39.37 39.39 39.4 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.5 3 17.44 16.04 15.44 15.1 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 14.04 13.99 13.95 13.9 4 12.22 10.65 9.98 9.6 9.36 9.2 9.07 8.98 8.9 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.26 5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.02 6 8.81 7.26 6.6 6.23 5.99 5.82 5.7 5.6 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.9 4.85 7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.9 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.2 4.14 8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.3 4.2 4.1 4. 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67 9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.2 4.1 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33 10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.2 3.14 3.08 11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3. 2.94 2.88 12 6.55 5.1 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.72 13 6.41 4.97 4.35 4. 3.77 3.6 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.6 14 6.3 4.86 4.24 3.89 3.66 3.5 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49 15 6.2 4.77 4.15 3.8 3.58 3.41 3.29 3.2 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.7 2.64 2.59 2.52 2.46 2.4 16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.5 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.32 17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.25 18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.1 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.26 2.19 19 5.92 4.51 3.9 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.2 2.13 20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09 21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.8 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04 22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.7 2.6 2.5 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2. 23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.9 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.3 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97 24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.7 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94 25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.3 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.91 26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.1 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95 1.88 27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.8 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2. 1.93 1.85 28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.9 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.83 29 5.59 4.2 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81 30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.41 2.31 2.2 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79 40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.9 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.8 1.72 1.64 60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48 120 5.15 3.8 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.3 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31 ∞ 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 1.39 1.26 1.
  • 13. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 1 % ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366 2 98.5 99. 99.17 99.25 99.3 99.33 99.36 99.37 99.39 99.4 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.5 3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.6 26.5 26.41 26.32 26.22 26.13 4 21.2 18. 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.8 14.66 14.55 14.37 14.2 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46 5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.2 9.11 9.02 6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.1 7.98 7.87 7.72 7.56 7.4 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88 7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65 8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.2 5.12 5.03 4.95 4.86 9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.8 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.4 4.31 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.2 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4. 3.91 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.4 4.25 4.1 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.6 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.5 4.39 4.3 4.16 4.01 3.86 3.78 3.7 3.62 3.54 3.45 3.36 13 9.07 6.7 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.3 4.19 4.1 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.8 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3. 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4. 3.89 3.8 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.2 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.1 3.02 2.93 2.84 2.75 17 8.4 6.11 5.18 4.67 4.34 4.1 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3. 2.92 2.83 2.75 2.65 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.6 3.51 3.37 3.23 3.08 3. 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57 19 8.18 5.93 5.01 4.5 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.3 3.15 3. 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49 20 8.1 5.85 4.94 4.43 4.1 3.87 3.7 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.4 3.31 3.17 3.03 2.88 2.8 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.5 2.4 2.31 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.3 3.21 3.07 2.93 2.78 2.7 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.9 3.67 3.5 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.4 2.31 2.21 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.7 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.5 2.42 2.33 2.23 2.13 27 7.68 5.49 4.6 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.2 2.1 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.9 2.75 2.6 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06 29 7.6 5.42 4.54 4.04 3.73 3.5 3.33 3.2 3.09 3. 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.7 3.47 3.3 3.17 3.07 2.98 2.84 2.7 2.55 2.47 2.39 2.3 2.21 2.11 2.01 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8 2.66 2.52 2.37 2.29 2.2 2.11 2.02 1.92 1.8 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.5 2.35 2.2 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.6 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38 ∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.8 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.7 1.59 1.47 1.32 1.
  • 14. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 0,5 % ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 24940 25044 25148 25253 25359 25465 2 198.5 199. 199.2 199.2 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 199.5 3 55.55 49.8 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.39 43.08 42.78 42.62 42.47 42.31 42.15 41.99 41.83 4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.7 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.47 19.32 5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.2 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.9 12.78 12.66 12.53 12.4 12.27 12.14 6 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.12 9. 8.88 7 16.24 12.4 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.64 7.53 7.42 7.31 7.19 7.08 8 14.69 11.04 9.6 8.81 8.3 7.95 7.69 7.5 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.5 6.4 6.29 6.18 6.06 5.95 9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.3 5.19 10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.3 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.86 4.75 4.64 11 12.23 8.91 7.6 6.88 6.42 6.1 5.86 5.68 5.54 5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.45 4.34 4.23 12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.2 5.09 4.91 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.12 4.01 3.9 13 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.64 4.46 4.27 4.17 4.07 3.97 3.87 3.76 3.65 14 11.06 7.92 6.68 6. 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.6 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3.66 3.55 3.44 15 10.8 7.7 6.48 5.8 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.37 3.26 16 10.58 7.51 6.3 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 4.1 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.22 3.11 17 10.38 7.35 6.16 5.5 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 3.97 3.79 3.61 3.51 3.41 3.31 3.21 3.1 2.98 18 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.86 3.68 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 2.99 2.87 19 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.76 3.59 3.4 3.31 3.21 3.11 3. 2.89 2.78 20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.5 3.32 3.22 3.12 3.02 2.92 2.81 2.69 21 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.6 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.73 2.61 22 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.7 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2.77 2.66 2.55 23 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.64 3.47 3.3 3.12 3.02 2.92 2.82 2.71 2.6 2.48 24 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.2 3.99 3.83 3.69 3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.55 2.43 25 9.48 6.6 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.2 3.01 2.92 2.82 2.72 2.61 2.5 2.38 26 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.1 3.89 3.73 3.6 3.49 3.33 3.15 2.97 2.87 2.77 2.67 2.56 2.45 2.33 27 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56 3.45 3.28 3.11 2.93 2.83 2.73 2.63 2.52 2.41 2.29 28 9.28 6.44 5.32 4.7 4.3 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.25 3.07 2.89 2.79 2.69 2.59 2.48 2.37 2.25 29 9.23 6.4 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2.56 2.45 2.33 2.21 30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 2.52 2.42 2.3 2.18 40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.6 2.5 2.4 2.3 2.18 2.06 1.93 60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.9 2.74 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 1.96 1.83 1.69 120 8.18 5.54 4.5 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.75 1.61 1.43 ∞ 7.88 5.3 4.28 3.72 3.35 3.09 2.9 2.74 2.62 2.52 2.36 2.19 2. 1.9 1.79 1.67 1.53 1.37 1.
  • 15. Tabla 7 Distribución F de Snedecor F (ν1, ν2) α = 10 /00 ν2 Âν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 4053* 5000* 5404* 5625* 5764* 5859* 5929* 5981* 6023* 6056* 6107* 6158* 6209* 6235* 6261* 6287* 6313* 6340* 6366* 2 998.5 999. 999.2 999.3 999.3 999.3 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.4 999.5 999.5 999.5 999.5 999.5 999.5 3 167.0 148.5 141.1 137.1 134.6 132.8 131.6 130.6 129.9 129.2 128.3 127.4 126.4 125.9 125.4 125.0 124.5 124.0 123.5 4 74.14 61.25 56.18 53.44 51.71 50.53 49.66 49. 48.47 48.05 47.41 46.76 46.1 45.77 45.43 45.09 44.75 44.4 44.05 5 47.18 37.12 33.2 31.09 29.75 28.83 28.16 27.65 27.24 26.92 26.42 25.91 25.39 25.13 24.87 24.6 24.33 24.06 23.79 6 35.51 27. 23.7 21.92 20.8 20.03 19.46 19.03 18.69 18.41 17.99 17.56 17.12 16.9 16.67 16.44 16.21 15.98 15.75 7 29.25 21.69 18.77 17.2 16.21 15.52 15.02 14.63 14.33 14.08 13.71 13.32 12.93 12.73 12.53 12.33 12.12 11.91 11.7 8 25.41 18.49 15.83 14.39 13.48 12.86 12.4 12.05 11.77 11.54 11.19 10.84 10.48 10.3 10.11 9.92 9.73 9.53 9.33 9 22.86 16.39 13.9 12.56 11.71 11.13 10.7 10.37 10.11 9.89 9.57 9.24 8.9 8.72 8.55 8.37 8.19 8. 7.81 10 21.04 14.91 12.55 11.28 10.48 9.93 9.52 9.2 8.96 8.75 8.45 8.13 7.8 7.64 7.47 7.3 7.12 6.94 6.76 11 19.69 13.81 11.56 10.35 9.58 9.05 8.66 8.35 8.12 7.92 7.63 7.32 7.01 6.85 6.68 6.52 6.35 6.18 6. 12 18.64 12.97 10.8 9.63 8.89 8.38 8. 7.71 7.48 7.29 7. 6.71 6.4 6.25 6.09 5.93 5.76 5.59 5.42 13 17.82 12.31 10.21 9.07 8.35 7.86 7.49 7.21 6.98 6.8 6.52 6.23 5.93 5.78 5.63 5.47 5.3 5.14 4.97 14 17.14 11.78 9.73 8.62 7.92 7.44 7.08 6.8 6.58 6.4 6.13 5.85 5.56 5.41 5.25 5.1 4.94 4.77 4.6 15 16.59 11.34 9.34 8.25 7.57 7.09 6.74 6.47 6.26 6.08 5.81 5.54 5.25 5.1 4.95 4.8 4.64 4.47 4.31 16 16.12 10.97 9.01 7.94 7.27 6.8 6.46 6.19 5.98 5.81 5.55 5.27 4.99 4.85 4.7 4.54 4.39 4.23 4.06 17 15.72 10.66 8.73 7.68 7.02 6.56 6.22 5.96 5.75 5.58 5.32 5.05 4.78 4.63 4.48 4.33 4.18 4.02 3.85 18 15.38 10.39 8.49 7.46 6.81 6.35 6.02 5.76 5.56 5.39 5.13 4.87 4.59 4.45 4.3 4.15 4. 3.84 3.67 19 15.08 10.16 8.28 7.27 6.62 6.18 5.85 5.59 5.39 5.22 4.97 4.7 4.43 4.29 4.14 3.99 3.84 3.68 3.51 20 14.82 9.95 8.1 7.1 6.46 6.02 5.69 5.44 5.24 5.08 4.82 4.56 4.29 4.15 4. 3.86 3.7 3.54 3.38 21 14.59 9.77 7.94 6.95 6.32 5.88 5.56 5.31 5.11 4.95 4.7 4.44 4.17 4.03 3.88 3.74 3.58 3.42 3.26 22 14.38 9.61 7.8 6.81 6.19 5.76 5.44 5.19 4.99 4.83 4.58 4.33 4.06 3.92 3.78 3.63 3.48 3.32 3.15 23 14.2 9.47 7.67 6.7 6.08 5.65 5.33 5.09 4.89 4.73 4.48 4.23 3.96 3.82 3.68 3.53 3.38 3.22 3.05 24 14.03 9.34 7.55 6.59 5.98 5.55 5.23 4.99 4.8 4.64 4.39 4.14 3.87 3.74 3.59 3.45 3.29 3.14 2.97 25 13.88 9.22 7.45 6.49 5.89 5.46 5.15 4.91 4.71 4.56 4.31 4.06 3.79 3.66 3.52 3.37 3.22 3.06 2.89 26 13.74 9.12 7.36 6.41 5.8 5.38 5.07 4.83 4.64 4.48 4.24 3.99 3.72 3.59 3.44 3.3 3.15 2.99 2.82 27 13.61 9.02 7.27 6.33 5.73 5.31 5. 4.76 4.57 4.41 4.17 3.92 3.66 3.52 3.38 3.23 3.08 2.92 2.75 28 13.5 8.93 7.19 6.25 5.66 5.24 4.93 4.69 4.5 4.35 4.11 3.86 3.6 3.46 3.32 3.18 3.02 2.86 2.69 29 13.39 8.85 7.12 6.19 5.59 5.18 4.87 4.64 4.45 4.29 4.05 3.8 3.54 3.41 3.27 3.12 2.97 2.81 2.64 30 13.29 8.77 7.05 6.12 5.53 5.12 4.82 4.58 4.39 4.24 4. 3.75 3.49 3.36 3.22 3.07 2.92 2.76 2.59 40 12.61 8.25 6.59 5.7 5.13 4.73 4.44 4.21 4.02 3.87 3.64 3.4 3.14 3.01 2.87 2.73 2.57 2.41 2.23 60 11.97 7.77 6.17 5.31 4.76 4.37 4.09 3.86 3.69 3.54 3.32 3.08 2.83 2.69 2.55 2.41 2.25 2.08 1.89 120 11.38 7.32 5.78 4.95 4.42 4.04 3.77 3.55 3.38 3.24 3.02 2.78 2.53 2.4 2.26 2.11 1.95 1.77 1.54 ∞ 10.83 6.91 5.42 4.62 4.1 3.74 3.47 3.27 3.1 2.96 2.74 2.51 2.27 2.13 1.99 1.84 1.66 1.45 1. * Multiplicar estos números por 100
  • 16. Tabla 8 Tabla de números aleatorios 0347437386 3696473661 4698637162 3326168045 6011141095 9774246762 4281145720 4253323732 2707360751 2451798973 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9696682731 0503729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 5760863244 0947279654 4917460962 9052847727 0802734328 1818079246 4417165809 7983861962 0676500310 5523640505 2662389775 8416074499 8311463224 2014858845 1093728871 2342406474 8297777781 0745321408 3298940772 9385791075 5236281995 5092261197 0056763138 8022025353 8660420453 3785943512 8339500830 4234079688 5442068798 3585294839 7029171213 4033203826 1389510374 1776371304 0774211930 5662183735 9683508775 9712259347 7033240354 9777464480 9949572277 8842954572 1664361600 0443186679 9477242190 1608150472 3327143409 4559346849 1272073445 9927729514 3116933243 5027898719 2015370049 5285666044 3868881180 6834301370 5574307740 4422788426 0433460952 6807970657 7457256576 5929976860 7191386754 ¡358182476 1554559552 2742378653 4855906572 9657693610 9646924245 9760490491 0039682961 6637322030 7784570329 1045650426 1104966724 2994989424 6849691082 5375919330 3425205727 4048735192 1690826659 8362641112 6719007174 6047212968 0202370331 1127947506 0609197466 0294373402 7670903086 3845943038 3524101620 3332512638 7978450491 1692535616 0275509598 3823168638 4238970150 8775668141 4001749162 4851840832 3196259147 9644334913 3486825391 0052434885 2755268962 5667406714 6405719586 1105650968 7683203790 5716001166 1490844511 7573880590 5227411486 2298122208 0752749580 6805511800 3396027519 0760629355 5933824390 4937384459 2046787390 9751401402 0402333108 3954164936 4795931330 6419589779 1506159320 0190107506 4078788952 0267741733 0526937060 2235851513 9203515977 5956780683 5291057074 0797108823 0998429964 6171629915 0651291693 5805770951 6871868585 5487664754 7332081112 4495926316 2956242948 2699616553 5837788070 4210506742 3217558574 9444671694 1465526875 8759362241 2678630655 1308270150 1529393943 1753775871 7141615072 1241949626 4495273699 0296743083 9026592119 2352233312 9693021839 0702183607 2599327023 4123525599 3104496996 1047484588 1341438920 9717144917 6020508169 3199736868 3581330376 2430124860 1899107234 9125380590 9458284136 4537590309 9035572912 8252546560 3450577437 9880330091 0977931982 7494800404 4507316649 8522043943 7381539479 3362468528 0831544631 5394133847 0979137748 7382972221 0503272483 7289440560 3580399488 8875801814 2295754249 3932822249 0248077037 1604616787 9096237000 3900030690 5585783836 9437306932 9089007633 Nota: Los números pueden selecconarse en cualquier orden (de izquierda a derecha, de arriba abajo, en diagonal, ...) y comenzando en cualquier posición. 16
  • 17. Tabla 9 Factores K para límites de aceptación bilaterales con variables Normales 1 − α = 0,90 1 − α = 0,95 1 − α = 0,99 nÂπ 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999 0.90 0.95 0.99 0.999 2 15.978 18.800 24.167 30.227 32.019 37.674 48.430 60.573 160.193 188.491 242.300 303.054 3 5.847 6.919 8.974 11.309 8.380 9.916 12.861 16.208 18.930 22.401 29.055 36.616 4 4.166 4.943 6.440 8.149 5.369 6.370 8.299 10.502 9.398 11.150 14.527 18.383 5 3.494 4.152 5.423 6.879 4.275 5.079 6.634 8.415 6.612 7.855 10.260 13.015 6 3.131 3.723 4.870 6.188 3.712 4.414 5.775 7.337 5.337 6.345 8.301 10.548 7 2.902 3.452 4.521 5.750 3.369 4.007 5.248 6.676 4.613 5.488 7.187 9.142 8 2.743 3.264 4.278 5.446 3.136 3.732 4.891 6.226 4.147 4.935 6.468 8.234 9 2.626 3.125 4.098 5.220 2.967 3.532 4.631 5.899 3.822 4.550 5.966 7.600 10 2.535 3.018 3.959 5.046 2.839 3.379 4.433 5.649 3.582 4.265 5.594 7.129 11 2.463 2.933 3.849 4.906 2.737 3.259 4.277 5.452 3.397 4.045 5.308 6.766 12 2.404 2.863 3.758 4.792 2.655 3.162 4.150 5.291 3.250 3.870 5.079 6.477 13 2.355 2.805 3.682 4.697 2.587 3.081 4.044 5.158 3.130 3.727 4.893 6.240 14 2.314 2.756 3.618 4.615 2.529 3.012 3.955 5.045 3.029 3.608 4.’37 6.043 15 2.278 2.713 3.562 4.545 2.480 2.954 3.878 4.949 2.954 3.507 4.605 5.876 16 2.246 2.676 3.514 4.484 2.437 2.903 3.812 4.865 2.872 3.421 4.492 5.732 17 2.219 2.643 3.471 4.430 2.400 2.858 3.754 4.791 2.808 3.345 4.393 5.607 18 2.194 2.614 3.433 4.382 2.366 2.819 3.702 4.725 2.753 3.279 4.307 5.497 19 2.172 2.588 3.399 4.339 2.337 2.784 3.656 4.667 2.703 3.221 6.230 5.399 20 2.152 2.564 3.368 4.300 2.310 2.752 3.615 4.614 2.659 3.168 6.161 5.312 21 2.135 2.543 3.340 4.264 2.286 2.723 3.577 4.567 2.620 3.121 4.100 5.234 22 2.118 2.524 3.315 4.232 2.264 2.697 3.543 4.523 2.584 3.078 6.044 5.163 23 2.103 2.506 3.292 4.203 2.244 2.673 3.512 4.484 2.551 3.040 3.993 5.098 24 2.089 2.489 3.270 4.176 2.225 2.651 3.483 4.447 2.522 3.004 3.947 5.039 25 2.077 2.474 3.251 4.151 2.208 2.631 3.457 4.413 2.494 2.972 3.904 4.985 27 2.054 2.447 3.215 4.106 2.178 2.595 3.409 4.353 2.446 2.914 3.828 6.888 30 2.025 2.413 3.170 4.049 2.140 2.549 3.350 4.278 2.385 2.841 3.733 6.768 35 1.988 2.368 3.112 3.974 2.090 2.490 3.272 4.179 2.306 2.748 3.611 6.611 40 1.959 2.334 3.066 3.917 2.052 2.445 3.213 4.104 2.247 2.677 3.518 6.693 45 1.935 2.306 3.030 3.871 2.021 2.408 3.165 4.042 2.200 2.621 3.444 6.399 50 1.916 2.284 3.001 3.833 1.996 2.379 3.126 3.993 2.162 2.576 3.385 6.323 55 1.901 2.265 2.976 3.801 1.976 2.354 3.094 3.951 2.130 2.538 3.335 6.260 60 1.887 2.248 2.955 3.774 1.958 2.333 3.066 3.916 2.103 2.506 3.293 4.206 65 1.875 2.235 2.937 3.751 1.943 2.315 3.042 3.886 2.080 2.478 3.257 4.160 70 1.865 2.222 2.920 3.730 1.929 2.299 3.021 3.859 2.060 2.454 3.225 4.12 75 1.856 2.211 2.906 3.712 1.917 2.285 3.002 3.835 2.042 2.433 3.197 4.084 80 1.848 2.202 2.894 3.696 1.907 2.272 2.986 3.814 2.026 2.414 3.173 4.053 90 1.834 2.185 2.872 3.669 1.889 2.251 2.958 3.778 1.999 2.382 3.130 3.999 100 1.822 2.172 2.854 3.646 1.874 2.233 2.934 3.748 1.977 2.355 3.096 3.954 110 1.813 2.160 2.839 3.626 1.861 2.218 2.915 3.723 1.958 2.333 3.066 3.917 120 1.804 2.150 2.826 3.610 1.850 2.205 2.898 3.702 1.942 2.314 3.041 3.885 140 1.791 2.134 2.804 3.582 1.833 2.184 2.870 3.666 1.916 2.283 3.000 3.633 160 1.780 2.121 2.787 3.561 1.819 2.167 2.848 3.638 1.896 2.259 2.968 3.792 180 1.771 2.111 2.774 3.543 1.808 2.154 2.831 3.616 1.879 2.239 2.942 3 759 200 1.764 2.102 2.762 3.529 1.798 2.143 2.816 3.597 1.865 2.222 2.921 3.731 250 1.750 2.085 2.740 3.501 1.780 2.121 2.788 3.561 1.839 2.191 2.880 3.678 300 1.740 2.073 2.725 3.481 1.767 2.106 2.767 3.535 1.820 2.169 2.850 3.641 400 1.726 2.057 2.703 3.453 1.749 2.084 2.739 3.499 1.794 2.138 2.809 3.589 500 1.717 2.046 2.689 3.434 1.737 2.070 2.721 3.675 1.777 2.117 2.783 3.555 600 1.710 2.038 2.678 3.421 1.729 2.060 2.707 3.458 1.764 2.102 2.763 3.530 800 1.701 2.027 2.663 3.402 1.717 2.046 2.588 3.434 1.747 2.082 2.736 3.495 1000 1.695 2.019 2.654 3.390 1.709 2.036 2.676 3.618 1.736 2.063 2.718 3.472 ∞ 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291 1.645 1.960 2.576 3.291 17
  • 18. Tabla 10 Puntos de porcentaje del intervalo o rango ajustado a Student q (ρ, ν) ρ ν 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 17.97 26.98 32.82 37.08 4041 43.12 45.40 47.36 49.07 50.59 2 6.08 833 9.80 10.88 11.74 12.44 13.03 13.54 13.99 14.39 3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46 9.72 4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83 8.03 5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.17 6 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49 6.65 7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16 6.30 8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 6.05 9 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74 5.87 10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 5.72 11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.61 12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39 5.51 α = 0,05 13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 5.43 14 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 5.36 15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.60 4.78 4.94 5.08 5.20 5.31 16 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15 5.26 17 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11 5.21 18 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07 5.17 19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04 5.14 20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01 5.11 24 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 5.01 30 2.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.82 4.92 40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73 4.82 60 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 4.73 120 2.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 4.64 ∞ 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55 1 90.03 135.0 164.3 185.6 202.2 215.8 227.2 237.0 245.6 253.2 2 14.04 19.02 22.29 24.72 26.63 28.20 29.53 30.68 31.69 32.59 3 8.26 10.62 12.17 13.33 14.24 15.00 15.64 16.20 16.69 17.13 4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.58 11.10 11.55 11.93 12.27 12.57 5 5.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 10.48 6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.30 7 4.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8.55 8 4.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.86 8.03 9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.49 7.65 10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.36 11 4.39 5.15 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 7.13 12 4.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94 α = 0,01 13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.79 14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66 15 4.17 4.84 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.55 16 4.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.46 17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 6.38 18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 6.31 19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 6.25 20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 6.19 24 3.96 4.55 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 6.02 30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5,40 5.54 5.65 5.76 5.85 40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.60 5.69 60 3.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 5.53 120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 5.37 ∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23 18
  • 19. APROXIMACIONES ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y POISSON N (µ, σ) media = µ varianza = σ2 np > 5 nq > 5 p, q > 0,05 λ > 10 B (n, p) Buena aproximación: n ≥ 10 y p ≤ 0,05 P (λ) media = np varianza = npq Muy buena aproxiamción: n ≥ 100 y np ≤ 10 media = λ varianza = λ 19
  • 20. ESTIMACIÓN Intervalo de Confianza para la media µ Si σ es conocida ½ ∗ si X es normal o ∗ si n > 60 V µ ∈ ¯x ± zασ/ √ n Si σ es desconocida    ∗ si n > 60 ⇒ µ ∈ ¯x ± zαs/ √ n ∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ µ ∈ ¯x ± tα(n − 1)s/ √ n Intervalo de Confianza para la varianza σ2 Condiciones: X ∼ N(µ, σ) σ2 ∈ " (n − 1)s2 χ2 α/2(n − 1) , (n − 1)s2 χ2 1−α/2(n − 1) # Intervalo de Confianza para una proporción p Condiciones: nˆp, nˆq > 5, ˆp, ˆq > 0,05 p ∈ ˆp ± zα p ˆpˆq/n 20
  • 21. TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA UNA VARIABLE Contraste para la media µ 1) ½ H0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 2) ½ H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 3) ½ H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 • Si σ es conocida ½ ∗ si X es normal o ∗ si n > 60 V texp = ¯x − µ0 σ/ √ n , Cα = zα • Si σ es desconocida    ∗ si n > 60 ⇒ texp = ¯x − µ0 s/ √ n , Cα = zα ∗ si n ≤ 60 y X es normal ⇒ texp = ¯x − µ0 s/ √ n , Cα = tα(n − 1) 1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ = µ0 2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ ≤ µ0 3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ ≥ µ0 Contraste para la varianza σ2 1) ½ H0 : σ2 = σ2 0 H1 : σ2 6= σ2 0 2) ½ H0 : σ2 ≤ σ2 0 H1 : σ2 > σ2 0 3) ½ H0 : σ2 ≥ σ2 0 H1 : σ2 < σ2 0 Condiciones: X ∼ N(µ, σ) ⇒ texp = (n − 1)s2 σ2 0 1) Si texp ∈ h χ2 1−α/2(n − 1), χ2 α/2(n − 1) i ⇒ H0 : σ2 = σ2 0 2) Si texp < χ2 α(n − 1) ⇒ H0 : σ2 ≤ σ2 0 3) Si texp > χ2 1−α(n − 1) ⇒ H0 : σ2 ≥ σ2 0 Contraste para una proporción p 1) ½ H0 : p = p0 H1 : p 6= p0 2) ½ H0 : p ≤ p0 H1 : p > p0 3) ½ H0 : p ≥ p0 H1 : p < p0 Condiciones: np0, nq0 > 5, p0, q0 > 0,05 ⇒ texp = ˆp − p0 p p0q0/n 1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p = p0 2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p ≤ p0 3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p ≥ p0 21
  • 22. TEST DE HIPÓTESIS: CONTRASTES PARA DOS VARIABLES Comparación de Varianzas 1) ½ H0 : σ2 1 = σ2 2 H1 : σ2 1 6= σ2 2 2) ½ H0 : σ2 1 ≤ σ2 2 H1 : σ2 1 > σ2 2 3) ½ H0 : σ2 1 ≥ σ2 2 H1 : σ2 1 < σ2 2 Condiciones: · Poblaciones normales: X ∼ N(µ1, σ1), Y ∼ N(µ2, σ2) · Muestras independientes de tamaños m y n V Fexp = s2 1 s2 2 1) Si Fexp ∈ £ F1−α/2(m − 1, n − 1), Fα/2(m − 1, n − 1) ¤ ⇒ H0 : σ2 1 = σ2 2 2) Si Fexp < Fα(m − 1, n − 1) ⇒ H0 : σ2 1 ≤ σ2 2 3) Si Fexp > F1−α(m − 1, n − 1) ⇒ H0 : σ2 1 ≥ σ2 2 Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas Bajo las anteriores condiciones, σ2 1 σ2 2 ∈ · s2 1 s2 2 1 Fα/2(m − 1, n − 1) , s2 1 s2 2 1 F1−α/2(m − 1, n − 1) ¸ Nota: F1−α(m, n) = 1 Fα(n, m) 22
  • 23. Comparación de Medias para muestras independientes 1) ½ H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2 2) ½ H0 : µ1 ≤ µ2 H1 : µ1 > µ2 3) ½ H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2 • Si σ1, σ2 son conocidas ( ∗ si X e Y son normales o ∗ si m, n ≥ 60 V    texp = ¯x − ¯y p σ2 1/m + σ2 2/n Cα = zα • Si σ1, σ2 son desconocidas ∗ Si m, n ≥ 60 ⇒    texp = ¯x − ¯y p s2 1/m + s2 2/n Cα = zα ∗ Si X e Y son normales    ∗ si σ1 = σ2 V    texp = ¯x − ¯y s p 1/m + 1/n Cα = tα(m + n − 2) Cα = zα si m + n − 2 ≥ 60 ∗ si σ1 6= σ2 V    texp = ¯x − ¯y p s2 1/m + s2 2/n Cα = tα(f) Cα = zα si f ≥ 60 s2 = (m − 1)s2 1 + (n − 1)s2 2 m + n − 2 , f = (s2 1/m + s2 2/n)2 (s2 1/m)2 m − 1 + (s2 2/n)2 n − 1 1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2 2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2 3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras independientes) Si D(texp) es el denominador de texp , µ1 − µ2 ∈ (¯x − ¯y) ± CαD(texp) 23
  • 24. Comparación de Medias para muestras apareadas 1) ½ H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2 2) ½ H0 : µ1 ≤ µ2 H1 : µ1 > µ2 3) ½ H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2 Condiciones: · Para muestras apareadas · Si D = X − Y ∼ N(µD, σD), con µD = µ1 − µ2 ⇒ Cα = tα(n − 1) · Si n ≥ 60, aunque no haya normalidad ⇒ Cα = zα En todo caso, texp = ¯d sD/ √ n donde ¯d y sD son la media y la desviación típica de los datos di = xi − yi, i = 1, 2, . . . , n 1) Si |texp| < Cα ⇒ H0 : µ1 = µ2 2) Si texp < C2α ⇒ H0 : µ1 ≤ µ2 3) Si texp > −C2α ⇒ H0 : µ1 ≥ µ2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias (muestras apareadas) Bajo las mismas condiciones, µ1 − µ2 ∈ ¯d ± Cα sD √ n 24
  • 25. Comparación de Proporciones 1) ½ H0 : p1 = p2 H1 : p1 6= p2 2) ½ H0 : p1 ≤ p2 H1 : p1 > p2 3) ½ H0 : p1 ≥ p2 H1 : p1 < p2 • Muestras Independientes Consideramos dos muestras independientes 1 y 2 de tamaños n1 y n2 Muestra Si No 1 x1 n1 − x1 n1 2 x2 n2 − x2 n2 ˆpi = xi ni , ˆqi = 1 − pi, i = 1, 2 ˆp = x1 + x2 n1 + n2 , ˆq = 1 − ˆp ∗ Condiciones:    · ni ˆpi > 5, i = 1, 2 · ni ˆqi > 5, i = 1, 2 · ˆpi, ˆqi > 0,05, i = 1, 2    V texp = ˆp1 − ˆp2 s ˆpˆq µ 1 n1 + 1 n2 ¶ ∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones: p1 − p2 ∈ ( ˆp1 − ˆp2) ± zα r ˆp1 ˆq1 n1 + ˆp2 ˆq2 n2 • Muestras Apareadas Consideramos dos muestras apareadas 1 y 2 de tamaño n 12 Si No Si n11 n12 No n21 n22 n ∗ Condición: n12 + n21 > 10 V texp = n12 − n21 √ n12 + n21 ∗ Intervalo de confianza bajo las mismas condiciones y n12, n21 > 5: p1 − p2 ∈ 1 n à (n12 − n21) ± zα r n12 + n21 − (n12 − n21)2 n ! En ambos casos: 1) Si |texp| < zα ⇒ H0 : p1 = p2 2) Si texp < z2α ⇒ H0 : p1 ≤ p2 3) Si texp > −z2α ⇒ H0 : p1 ≥ p2 25
  • 26. RELACIÓN ENTRE CARACTERES CUALITATIVOS AB B1 · · · Bj · · · Bs A1 O11 · · · O1j · · · O1s O1· ... ... ... ... ... Ai Oi1 · · · Oij · · · Ois Oi· ... ... ... ... ... Ar Or1 · · · Orj · · · Ors Or· O·1 · · · O·j · · · O·s n ( H0 : A y B son independientes H1 : A y B son dependientes Eij = Oi·O·j n , i = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , s; C = v u u u u u u t P i,j O2 ij Eij − n P i,j O2 ij Eij ∗ C toma valores entre 0 y r q − 1 q , con q = m´ın{r, s} ∗ Condiciones: · Ningún Eij es < 1 · A lo sumo un 20 % de los Eij son < 5 ) V χ2 exp = P i,j O2 ij Eij − n Si χ2 exp < χ2 α((r − 1)(s − 1)) ⇒ H0 : A y B son independientes ∗ χ2 exp = C2 1 − C2 n • Tabla 2x2: φ = r (O11O22 − O12O21)2 O1·O2·O·1O·2 ∗ φ toma valores entre 0 y 1 ∗ Condiciones: · Todos los marginales Oi· y O·j son > n/10 · Todos los Eij son > 5 ∗ χ2 exp = φ2 n 26
  • 27. RELACIÓN ENTRE VARIABLES X x1 x2 · · · xn Y y1 y2 · · · yn Relación Lineal Muestral Recta de Regresión Muestral: y = a + bx, donde b = Sxy S2 x , a = ¯y − b¯x, Sxy = P i xiyi n − 1 − n n − 1 ¯x¯y Coeficiente de correlación lineal de Person: r = Sxy SxSy Varianza Intrínseca Muestral: s2 = (n − 1) (n − 2) S2 y(1 − r2 ) Relación Lineal Poblacional ( H0 : ρXY = 0 H1 : ρXY 6= 0 ⇒ texp = s (n − 2)r2 1 − r2 Si texp < tα(n − 2) ⇒ H0 : ρXY = 0 Recta de Regresión Poblacional: y = α + βx Intervalos de confianza para α y β: α ∈ a ± tα(n − 2)s s 1 n + ¯x2 (n − 1)S2 x β ∈ b ± tα(n − 2) s p (n − 1)S2 x Intervalo de confianza para la recta de regresión poblacional: α + βx ∈ (a + bx) ± tα(n − 2)s s 1 n + (x − ¯x)2 (n − 1)S2 x Intervalo de confianza para la predicción de y y ∈ (a + bx) ± tα(n − 2)s s 1 + 1 n + (x − ¯x)2 (n − 1)S2 x 27
  • 28. ANÁLISIS DE LA VARIANZA: ANOVA Diseño Completamente Aleatorizado - ANOVA de una vía Nivel del factor Totales Medias 1 x11 · · · x1n1 x1· ¯x1· ... ... ... ... ... k xk1 · · · xknk xk· ¯xk· x·· ¯x·· n1 + n2 + · · · + nk = n X i X j (xij − ¯x··)2 = X i X j (¯xi· − ¯x··)2 + X i X j (xij − ¯xi·)2 VT = VE + VD ½ H0 : µ1 = · · · = µk H1 : µi 6= µj, para algún par i, j TABLA ANOVA F. de Variación Suma de Cuadrados Grados de Lib. Media Cuadrática F Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp = MCE MCD Dentro VD n − k MCD = VD/n − k Total VT n − 1 ∗ Si Fexp < Fα(k − 1, n − k) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk Comparaciones Múltiples: Test de Tukey ½ H0 : µi = µj H1 : µi 6= µj , 1 ≤ i < j ≤ k ωij = qα(k, n − k) s MCD 2 µ 1 ni + 1 nj ¶ ∗ Si |¯xi· − ¯xj·| < ωij ⇒ H0 : µi = µj 28
  • 29. Diseño por Bloques al azar - ANOVA de dos vías Nivel del factorBloque B1 · · · Bj · · · Br Totales Medias 1 x11 · · · x1j · · · x1r x1· ¯x1· ... ... ... ... ... ... i xi1 xij xir xi· ¯xi· ... ... ... ... ... ... k xk1 · · · xkj · · · xkr xk· ¯xk· Totales x·1 · · · x·j · · · x·r x·· ¯x·· Medias ¯x·1 · · · ¯x·j · · · ¯x·r k · r = n X i X j (xij − ¯x··)2 = X i X j (¯xi· − ¯x··)2 + X i X j (¯x·j − ¯x··)2 + X i X j (xij − ¯xi· − ¯x·j + ¯x··)2 VT = VE + VB + VD (1) ½ H0 : µ1 = · · · = µk H1 : µi 6= µj, para algún par i, j (2) ½ H0 0 : β1 = · · · = βr = 0 H0 1 : Algún βi 6= 0 TABLA ANOVA F. de Var. Suma de Cuad. G. L. Media Cuad. F Entre VE k − 1 MCE = VE/k − 1 Fexp = MCE MCD Bloques VB r − 1 MCB = VB/r − 1 Dentro VD (k − 1)(r − 1) MCD = VD (k − 1)(r − 1) F0 exp = MCB MCD Total VT n − 1 (1) Si Fexp < Fα(k − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H0 : µ1 = · · · = µk (2) Si F0 exp < Fα(r − 1, (k − 1)(r − 1)) ⇒ H0 0 : β1 = · · · = βr = 0 Comparaciones Múltiples: Test LSD ½ H0 : µi = µj H1 : µi 6= µj , 1 ≤ i < j ≤ k Tα = tα((k − 1)(r − 1)) r MCD 2 r ∗ Si |¯xi· − ¯xj·| < Tα ⇒ H0 : µi = µj Intervalo de Confianza: µi − µj ∈ Ã ¯xi· − ¯xj· + tα((k − 1)(r − 1)) r MCD 2 r ! 29