Hướng dẫn giải đề thi đại học môn toán khối B năm 2014 - Hocmai.vn

1. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
MÔN: TOÁN - KHỐI B
Câu 1.
Hàm số: y = x3
-3x+1
1. Tập xác định: D = (-; +)
2. Sự biến thiên
a) Đạo hàm
y' = 3x2
-3
y' = 0 <=> x = -1 ; x = 1 ;
=> Hàm số đạt hai cực trị tại: A ( -1 ; 3 ), B ( 1 ; -1 )
b) Giới hạn và các đường tiệm cận
+ Giới hạn tại vô cực
x
lim y

 
x
lim y

 
c) Bảng biến thiên
d) Chiều biến thiên và cực trị
+ Hàm số đồng biến trên (-; -1 )
+ Hàm số nghịch biến trên ( -1 ; 1 )
+ Hàm số đồng biến trên ( 1 ; + )
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1; Giá trị cực đại của hàm số là y = 3
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1; Giá trị cực tiểu của hàm số là y = -1
3. Đồ thị
a) Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
+ Giao điểm của hàm số với trục Ox
y = 0 <=> x = -1,879385 ; x = 0,347296 ; x = 1,532089
+ Giao điểm của hàm số với trục Oy
x = 0 <=> y = 1
b) Nhận xét
+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn F( 0 ; -1 ) làm tâm đối xứng
c) Vẽ đồ thị hàm số

2. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
(loại)
b. Ta có: 2
' 3 3y x m 
2 2
' 0 3 3 0y x m x m     
Để đồ thị có 2 điểm cực trị thì m > 0
Từ 2 ( ;1 2 )
( ;1 2 )
B m m m
x m x m
C m m m
 
     
 
Gọi I là trung điểm của BC => I(0;1)
Để ∆ ABC cân tại A => AI ⊥ BC => IA CB
 
Ta có: (2;2)IA 

 2 ; 4CB m m m 

0
1
. 0 4 8 0 4 (1 2 ) 0 1
2
2
m
IACB m m m m m m
m

         
 

 
Câu 2
 
   
  
 
 
2 sinx 2cos 2 sin 2
2 sinx 2 2 cos 2 2sin cos 0
2 sin 1 2 cos 2 2 cos 1 0
2 sin 2 2 cos 1 0
sin 2
3
21
4cos
2
x x
x x x
x x x
x x
x loai
x k k Z
x


  
    
    
   
 

      
Vậy nghiệm phương trình là:
3
2 ;
4
S k k Z


 
    
 
Câu 3.

3. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
2 2
2
1
2 1x x x
x dx
x x
  


2 2 2
2 2
1 1 1
2 1 2 1
1
x x
dx dx dx
x x x x
 
   
   
Đặt 2
(2 1)x x t dt x dx    
Khi 1 2x t   ; khi 2 6x t  
6
2
6
1 1 ln 1 ln3
2
dt
I t
t
      
Câu 4.
a. 2 3(1 ) 1 9z i z i   
( , )z a bi z a bi a b R     
2( ) 3(1 )( ) 9 1 0a bi i a bi i       
2( ) 3( ) 9 1 0a bi a ai bi b i        
2 2 3( ) (3 3 ) 9 1 0a bi a b i a b i        
5 3 1 0 2
5 3 1 (9 3 ) 0 2 3
3 9 3
a b a
a b i a b z i
a b b
    
            
   
=> Mô-đun: 2 2
2 3 13z   
b. Số cách lựa chọn 3 hộp sữa bất kì là tổ hợp chập 3 của 12 => 3
12C cách.
Số cách lựa chọn 3 hộp sữa mà có cả 3 loại => có 1 hộp sữa cam, 1 hộp sữa dâu, 1 hộp sữa nho.
=> Số cách chọn là: 1
5C . 1
4C . 1
3C cách.
=> Xác suất có cả 3 hộp là :
1 1 1
5 4 3
3
12
. . 3
11
C C C
C
 .
Câu 5.
A(1, 0, -1) ;
1 1
:
2 2 1
x y z
d
 
 

(2;2; 1) (2;2; 1)du n    
 
=> Mặt phẳng cần tìm là: 2( 1) 2( 0) ( 1) 0x y z     
2 2 3 0( )x y z P    
Tọa độ hình chiếu của A trên d chính là giao điểm của d và mặt phẳng (P) vừa tìm được ở trên.
5
32 2 3 02 2 3 0
1
2 1 01 1
3
2 1 02 2 1 1
3
x
x y zx y z
x z yx y z
y z
z


       
  
          
       
 

Câu 6.

4. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
Lấy O là trung điểm AB => A’O ⊥ (ABC)
=> Góc giữa A’C và (ABC) là góc ' 60o
A CO 
Ta có:
3 3 3
' .tan 60 . 3
2 2 2
oa a a
CO A O CO    
3
. ' ' '
3 1 3 3 3
' . . . .
2 2 2 8
ABC A B C ABC
a a a
V A O S a    (đvdt)
Ta có: ( ,(AA' ' )) 2 .( ,(AA'C'C))d B C C d O
b. Lấy F là trung điểm AC => BF⊥AC
Lấy K là trung điểm AF => OK//FB => OK ⊥ AC
=> AC ⊥ (A’OK)
Kẻ OH⊥A’K => OH⊥(AA’C’C)
Xét tam giác vuông A’OK: 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 16 52
' 9 3 9OH A O OH OH a a a
     
3 3 3 13
( ,(AA' '))
132 13 13
a a a
OH d B CC    
Câu 7.

5. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
Giả sử B(a,b)
M là trung điểm AB => A(-6-a;-b)
. 0AH BH AH BH  
   
mà: (6 ; 1 )AH a b   

( ; 1 )BH a b   

2 2
(6 ) ( 1)( 1) 0 6 1 0(1)a a b b a b a           
Giả sử ( , ) 2C CC x y AG GC 
 
4
6;3
3
AG a b
 
    
 

4
; 3
3
C CGC x y
 
   
 

22 4
2 9
5;3 3
2 2 2
3 2( 3)
C
C
a x a b
C
b y
  
           
    
9 9
5; . 0 5 ( 1) 0
2 2 2 2 2 2
a b a b
CB CB BH a b
     
                
     
  
2 2
10 8 9 0 (2)a b a b     
Từ (1) (2) =>
2 2
2 2
0
110 8 9 0
26 1 0
3
a
ba b a b
aa b a
b
 

               

Vậy B(-2; 3) => A(-4; -3) , C(4; 6)
Ta có:
4 6
(2;0)
3 3
D
D
x
AD BC D
y
 
  
 
 
Vậy C(4; 6), D(2; 0)
Câu 8
Giải hệ phương trình
(Loại)

6. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -
2
(1 y) x y x 2 (x y 1) y
2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3
       

       
Điều kiện
y 0
x 2y
4x 5y 3



  
Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1 y) x y (1 y) (x y 1) (x y 1) y
y 1(1 y)(x y 1) y 1
(x y 1)
x y 1x y 1 y 1
         
   
          
TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có
9 3x 2 x 2 4x 8 x 3(TM)       
TH2 : x y 1  thay xuống (2) ta có
2
2
2
2
2y 3y 2 2 1 y 1 y
2y 3y 2 1 y 0
2(y y 1) (y 1 y) 0
1
(y y 1) 2 0
y 1 y
5 1 5 1
y x (TM)
2 2
     
     
      
 
        
 
   
Vậy hệ đã cho có nghiệm :
5 1 5 1
(x;y) (3;1),( ; )
2 2
 
 .
Câu 9:
+Xét a=0, b>0 ,c>0
=>
2
3
1 1 1 3
3. .
2 2 2 2 2 2 2
b c b b c b c
P
c b c c b c b
 
        
 
=>Min P=
3
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2 2
b c
c b
c b
  
-Xét b=0, a>0, c>0 tương tự như trên ta có
=>
2
3
1 1 1 3
3. .
2 2 2 2 2 2 2
a c a a c a c
P
c a c c a c a
 
        
 
=>Min P=
3
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2 2
a c
c a
c a
  

7. Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh Đại học năm 2014 Môn Toán – Khối B
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -
-Xét a>0,b>0
 2
a b c
P
b c a c a b
   
  
Ta thấy  
22
0
a a
a b c
b c b
    

(luôn đúng)
Tương tự 22
( ) 0
b b
b a c
a c a b c
    
  
2( ) 2
2( ) 2( )1
a b c c
f
ca b c a b a b
a b

    
   

Đặt
2
( 0) ( )
1 2
c t
t t P f t
a b t
     
 
2
2 1
'( ) 0 1
(1 ) 2
f t t
t

    

Lập bảng biến thiên =>
3
minf( )
2
a b c
t b a c
c a b
 

   
  
=>
3
( )
2
f t 
Vậy
3
min
2
P  khi
0,
0,
b c a
a c b
 
  
Nguồn: Hocmai.vn
(Loại)