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MATEMÁTICA ELEMENTAR




                       MATEMÁTICA ELEMENTAR

                         Carlos Alberto G. de Almeida
                             (cviniro@gmail.com)



                           17 de setembro de 2012
MATEMÁTICA ELEMENTAR




Introdução



                             Olá a todos!

     Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:
           Funções.
     Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
     assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
     antes a teoria.

                           BOM ESTUDO!
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Questão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversa
da função dada.
1. f (x) = 2x + 1
2. f (x) = x 3 − 8

     Solução: 1.
     f (x) −→ y : =⇒ y = 2x + 1
     x ←→ y : =⇒ x = 2y + 1
                         x −1
     y =? : =⇒ y =
                           2
     y −→ f    −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = x − 1
                                        2
     f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id =⇒
     f (f −1 (x)) = 2f −1 (x) + 1 = 2( x−1 ) + 1 = x
                                        2
     Portanto f −1 é definida pela equação
                                 −1       1
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Questão 01: CONTINUAÇÃO


     Solução: 2.
     f (x) −→ y : =⇒ y = x 3 − 8
     x ←→ y : =⇒ x = y 3 − 8              √
     y =? : =⇒ y 3 = x + 8 =⇒ y √ 3 x + 8
                                        =
     y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = 3 x + 8
     f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id : =⇒ √
     f (f −1 (x)) = (f −1 (x))3 − 8 = ( 3 x + 8)3 − 8 = x
     Portanto f −1 é definida pela equação
                                            √
                                 f −1 (x) = x + 8
                                            3
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                                                     1
Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x 3 e h(x) = 3 (x + 1).
Calcule:
1. (f ◦ g)(2) e (g ◦ f )(2)
2. (f ◦ g)(x) e (g ◦ f )(x)
3. (f ◦ h)(x) e (h ◦ f )(x)
4. (f ◦ f )(x) e [f ◦ (g + h)](x)


     Solução:
     1.
     (f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (23 ) = f (8) = 3(8) − 1 = 23
     (g ◦ f )(2) = g[f (2)] = g[(3)(2) − 1] = g(5) = 53 = 125
     2.
     (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x 3 ) = 3x 3 − 1
     (g◦f )(x) = g[f (x)] = g[3x−1] = (3x−1)3 = 27x 3 −27x 2 +9x−1.
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Questão 02: CONTINUAÇÃO



     Solução:
     3.
     (f ◦ h)(x) = f [h(x)] = f [ 1 (x + 1)] = 3[ 1 (x + 1)] − 1 = x
                                   3             3
     (h ◦ f )(x) = h[f (x)] = h[3x − 1] = 1 (3x − 1 + 1) = x.
                                             3
     4.
     (f ◦ f )(x) = f [f (x)] = f [3x − 1] = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 4
     [f ◦ (g + h)](x) = f [(g + h)(x)] = f [g(x) + h(x)] = f [x 3 + 1 (x + 1)]
                                                                    3
                 1
     = 3[x 3 + 3 (x + 1)] − 1 = 3x 3 + x.
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Questão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule
g(3 + h) − g(3)
                para h = 0 e siplifique a resposta.
       h



     Solução:

                 g(3 + h) − g(3)    [4(3 + h) + 7] − [4(3) + 7]
                                 =
                        h                       h
                        12 + 4h + 7 − 12 − 7     4h
                      =                        =     = 4.
                                  h               h
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Questão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f −1 (7),
f −1 (5) e f −1 (−10)

     Solução:
     Definição: Seja f uma função bijetora com domínio A e imagem
     B. Então sua FUNÇÃO INVERSA f −1 tem domínio B e imagem
     A, sendo definida por

                       f −1 (y ) = x ⇐⇒ f (x) = y
     Da definição de f −1 temos:
     f −1 (7) = 3 porque f (3) = 7
     f −1 (5) = 1 porque f (1) = 5
     f −1 (−10) = 8 porque f (8) = −10
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Questão 04: CONTINUAÇÃO


     O diagrama na figura abaixo torna claro que f −1 reverte o
     efeito de f nesse caso.
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Questão 05: Encontre o domínio da cada função
          √
1. f (x) = x + 2
             1
2. g(x) = 2
           x −x


     Solução:
     1.
     Como a raiz quadrada de um número negativo não está
     definida (como um número real), o domínio de f consiste em
     todos os valores de x tais que x + 2 ≥ 0. Isso é equivalente a
     x ≥ −2; assim, o domínio é o intervalo [−2, ∞), ou seja,

                         Df = {x ∈ R; x ≥ −2}
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Questão 05: CONTINUAÇÃO

     2. Uma vez que

                                     1       1
                       g(x) =           =
                                x2   −x   x(x − 1)

     e a divisão por 0 não é permitida, vemos que g(x) não está
     definida no caso de x = 0 ou x = 1. Dessa forma, o domínio
     de g é
                          Dg = {x|x = 0, x = 1}
     que também pode ser dado na notação de intervalo como

                       (−∞, 0)       (0, 1)   (1, ∞)
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Questão 06: Dada a função f (x) = −x 2 + 2x, simplifique:
   f (x) − f (1)
1.
       x −1
   f (x + h) − f (x)
2.
           h

     Solução:
     1.

                  f (x) − f (1)   (−x 2 + 2x) − 1   −(x − 1)2
                                =                 =           .
                      x −1             x −1           x −1
     Assim,

                     f (x) − f (1)
                                   = −(x − 1), x = 1.
                         x −1
     Observe: f (1) = −12 + 2 = 1
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Questão 06: CONTINUAÇÃO
     2.
     Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos:


     f (x+h) = −(x+h)2 +2(x+h) = −x 2 −2xh−h2 = −x 2 −2xh−h2 +2x+2h
     Então

        f (x + h) − f (x)   −x 2 − 2xh − h2 + 2x + 2h − (−x 2 + 2x)
                          =
                h                              h
                          −2xh − h2 + 2h
                                         = −2x − h + 2
                                h
     ou seja,

                       f (x + h) − f (x)
                                         = −2x − h + 2, h = 0.
                               h
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OBSERVAÇÕES:



           Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
           vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
           estarem em dia com o conteúdo.
           Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,
           e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu
           possa tentar esclarecê-las.

                            BOM ESTUDO!

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  • 1. MATEMÁTICA ELEMENTAR MATEMÁTICA ELEMENTAR Carlos Alberto G. de Almeida (cviniro@gmail.com) 17 de setembro de 2012
  • 2. MATEMÁTICA ELEMENTAR Introdução Olá a todos! Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo: Funções. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria. BOM ESTUDO!
  • 3. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversa da função dada. 1. f (x) = 2x + 1 2. f (x) = x 3 − 8 Solução: 1. f (x) −→ y : =⇒ y = 2x + 1 x ←→ y : =⇒ x = 2y + 1 x −1 y =? : =⇒ y = 2 y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = x − 1 2 f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id =⇒ f (f −1 (x)) = 2f −1 (x) + 1 = 2( x−1 ) + 1 = x 2 Portanto f −1 é definida pela equação −1 1
  • 4. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 01: CONTINUAÇÃO Solução: 2. f (x) −→ y : =⇒ y = x 3 − 8 x ←→ y : =⇒ x = y 3 − 8 √ y =? : =⇒ y 3 = x + 8 =⇒ y √ 3 x + 8 = y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = 3 x + 8 f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id : =⇒ √ f (f −1 (x)) = (f −1 (x))3 − 8 = ( 3 x + 8)3 − 8 = x Portanto f −1 é definida pela equação √ f −1 (x) = x + 8 3
  • 5. MATEMÁTICA ELEMENTAR 1 Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x 3 e h(x) = 3 (x + 1). Calcule: 1. (f ◦ g)(2) e (g ◦ f )(2) 2. (f ◦ g)(x) e (g ◦ f )(x) 3. (f ◦ h)(x) e (h ◦ f )(x) 4. (f ◦ f )(x) e [f ◦ (g + h)](x) Solução: 1. (f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (23 ) = f (8) = 3(8) − 1 = 23 (g ◦ f )(2) = g[f (2)] = g[(3)(2) − 1] = g(5) = 53 = 125 2. (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x 3 ) = 3x 3 − 1 (g◦f )(x) = g[f (x)] = g[3x−1] = (3x−1)3 = 27x 3 −27x 2 +9x−1.
  • 6. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 02: CONTINUAÇÃO Solução: 3. (f ◦ h)(x) = f [h(x)] = f [ 1 (x + 1)] = 3[ 1 (x + 1)] − 1 = x 3 3 (h ◦ f )(x) = h[f (x)] = h[3x − 1] = 1 (3x − 1 + 1) = x. 3 4. (f ◦ f )(x) = f [f (x)] = f [3x − 1] = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 4 [f ◦ (g + h)](x) = f [(g + h)(x)] = f [g(x) + h(x)] = f [x 3 + 1 (x + 1)] 3 1 = 3[x 3 + 3 (x + 1)] − 1 = 3x 3 + x.
  • 7. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule g(3 + h) − g(3) para h = 0 e siplifique a resposta. h Solução: g(3 + h) − g(3) [4(3 + h) + 7] − [4(3) + 7] = h h 12 + 4h + 7 − 12 − 7 4h = = = 4. h h
  • 8. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f −1 (7), f −1 (5) e f −1 (−10) Solução: Definição: Seja f uma função bijetora com domínio A e imagem B. Então sua FUNÇÃO INVERSA f −1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por f −1 (y ) = x ⇐⇒ f (x) = y Da definição de f −1 temos: f −1 (7) = 3 porque f (3) = 7 f −1 (5) = 1 porque f (1) = 5 f −1 (−10) = 8 porque f (8) = −10
  • 9. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 04: CONTINUAÇÃO O diagrama na figura abaixo torna claro que f −1 reverte o efeito de f nesse caso.
  • 10. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 05: Encontre o domínio da cada função √ 1. f (x) = x + 2 1 2. g(x) = 2 x −x Solução: 1. Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida (como um número real), o domínio de f consiste em todos os valores de x tais que x + 2 ≥ 0. Isso é equivalente a x ≥ −2; assim, o domínio é o intervalo [−2, ∞), ou seja, Df = {x ∈ R; x ≥ −2}
  • 11. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 05: CONTINUAÇÃO 2. Uma vez que 1 1 g(x) = = x2 −x x(x − 1) e a divisão por 0 não é permitida, vemos que g(x) não está definida no caso de x = 0 ou x = 1. Dessa forma, o domínio de g é Dg = {x|x = 0, x = 1} que também pode ser dado na notação de intervalo como (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
  • 12. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 06: Dada a função f (x) = −x 2 + 2x, simplifique: f (x) − f (1) 1. x −1 f (x + h) − f (x) 2. h Solução: 1. f (x) − f (1) (−x 2 + 2x) − 1 −(x − 1)2 = = . x −1 x −1 x −1 Assim, f (x) − f (1) = −(x − 1), x = 1. x −1 Observe: f (1) = −12 + 2 = 1
  • 13. MATEMÁTICA ELEMENTAR Questão 06: CONTINUAÇÃO 2. Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos: f (x+h) = −(x+h)2 +2(x+h) = −x 2 −2xh−h2 = −x 2 −2xh−h2 +2x+2h Então f (x + h) − f (x) −x 2 − 2xh − h2 + 2x + 2h − (−x 2 + 2x) = h h −2xh − h2 + 2h = −2x − h + 2 h ou seja, f (x + h) − f (x) = −2x − h + 2, h = 0. h
  • 14. MATEMÁTICA ELEMENTAR OBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu possa tentar esclarecê-las. BOM ESTUDO!