2. 2
◦ Parte I
• Generalização dos modelos
◦ Parte II
• Métodos de solução numérica para modelos Macroscópicos
◦ Parte III
• Métodos de solução numérica para modelos Microscópicos
Macroscópicos
Microscópicos

3. 3

4. 4Aula 14
Solução
Numérica
Modelagem
Macroscópica
Transiente
Permanente
𝐟 𝛟 = 0
𝛟 = ?
EDO / SEDO
(1ª Ordem)
EA / SEA
d𝛟
dt
= 𝐟 t, 𝛟 ; ρ𝛟 t ; t > 0
para t = 0 ρϕ 0 = ϕ0
1 Equação Algébrica
1 EDO de 1ª Ordem
Métodos iterativos
Métodos diretos
Bissecção
Falsa-posição
Falsa-posição modificada
Muller
Newton-Raphson
Secante
Runge-Kutta (1ª, 2ª, 3ª, 4ª Ordem)

5. 5Aula 14
 Definições dos erros:
Erros de Arredondamento
Erros de Truncamento
Erros de Discretização
Relacionados à representação das variáveis por
um número finito de dígitos. Exemplo:
representar 𝜋 ≈ 3,14 , mas que na verdade
𝜋 = 3,141592653589793238462643 …
Relacionados à representação das funções por
um número finito de termos de uma série. Por
exemplo: Expansão em Série de Taylor em t0
ϕ t = ϕ(t0) +
dϕ
dt t0
(t−t0) +
d²ϕ
dt² t0
(t;t0)²
2!
+ ⋯
Truncamento
Relacionados à discretização do
domínio tempo-espacial.

6. 6Aula 14
 Tipos de erros:
Erros Absolutos
Erros Relativos
Erro = f ϕM
i:1
Erro = ϕE
i:1
− ϕD
i:1
Erro =
ϕE
i:1
− ϕD
i:1
ϕE
i:1
Erro =
f(ϕE
i:1
) − f(ϕD
i:1
)
f(ϕE
i:1
)

7. 7Aula 14
 Método da Bissecção:
Interpretação geométrica: Diminuição do
intervalo com o
avanço das iterações

8. 8Aula 14
 Método da Bissecção:
A) Encontrar um intervalo onde existe uma raiz:
Critério para existência de uma raiz no intervalo ϕE, ϕD :
f ϕE ∙ f ϕD < 0
B) Ponto médio:
ϕM
i
=
ϕE
i
+ ϕD
i
2
C) Reduzir intervalo:
Se f ϕE
i
∙ f ϕM
i
⊝ Novo intervalo  ϕE
i:1
, ϕM
i:1
⊕ Novo intervalo  ϕM
i:1
, ϕD
i:1

9. 9Aula 14
 Método da Bissecção:
D) Repetir o processo com:
Tolerância
10;3
, 10;4
, … , 10;8
Simples
10;9, 10;10, … , 10;16 Dupla
ϕM
i
=
ϕE
i
+ ϕD
i
2
até que o critério de convergência seja atingido:
f ϕM
i:1
≤ Tol
ϕE
i:1
− ϕD
i:1
≤ Tol
f(ϕE
i:1
) − f(ϕD
i:1
)
f(ϕE
i:1
)
≤ Tol
ϕE
i:1
− ϕD
i:1
ϕE
i:1
≤ Tol

10. 10Aula 14
 Método da Bissecção: f ϕ = 2ϕ − 3 = 0Exemplo:
Por solução analítica, sabemos que ϕ =
3
2
= 1,5
Resolvendo por método da bissecção:
Iteração ϕE ϕi ϕD f(ϕ 𝐄) f(ϕ𝐢) f(ϕ 𝐃) f(ϕ 𝐄). f(ϕ𝐢)
1 0 5 10 -3 +7 +17 -
2 0 2,5 5 -3 +2 +7 -
3 0 1,25 2,5 -3 -0,5 +2 +
4 1,25 1,875 2,5 -0,5 +0,75 +2 -
5 1,25 1,5625 1,875 -0,5 +0,125 +0,75 -
... ... ... ... ... ... ... ...
i ϕiE ≈ 1,5 ϕiD f(ϕ 𝐄) f(ϕ𝐢) < Tol f(ϕ 𝐃)
Solução aproximada

11. 11Aula 14
 Método de Newton-Raphson:
Interpretação geométrica:
Chute inicial

12. 12Aula 14
 Método de Newton-Raphson:
É baseado na expansão em Série de Taylor:
f(ϕ) = f(ϕ0) +
df
dϕ ϕ0
(ϕ − ϕ0) +
d²f
dϕ² ϕ0
(ϕ − ϕ0)²
2!
+
d³f
dϕ³ ϕ0
(ϕ − ϕ0)³
3!
+ ...
Truncar no 2º termo
0 ≈ f(ϕ0) +
d f(ϕ)
dϕ ϕ0
(ϕ − ϕ0)
ϕ ≈ ϕ0 −
f(ϕ0)
d f(ϕ)
dϕ ϕ0
Rearranjando a equação, isolando ϕ, encontra-se que:
Para f ϕ ≈ 0:
ϕi:1
≈ ϕi
−
f(ϕi
)
d f
dϕ ϕi
ou

13. 13Aula 16
 Programação em FORTRAN:
Código Fonte: *.for, *.f77, *f.90, *.f
Código Objeto: *.obj
Código Executável: *.exe
Editor de Programas [1]
Compilador
Ligação (“Link”) do código
objeto com as bibliotecas da
linguagem
[1] Ambiente de Programação (Force, Power-Station, Visual-Studio)

14. 14
 Caso 01: Construção do Diagrama de Moody
Equação de Colebrook:
1
𝑓
= −2 log
𝜀
𝐷
3,71
+
2,51
𝑅𝑒 𝐷 𝑓
Rugosidade relativa
Nº de Reynolds
Aula 16

15. 15
 Caso 01: Construção do Diagrama de Moody
Programa “NR-Moody” – Calcular um ponto do diagrama por Newton-Raphson
f ϕ =
1
ϕ
+ 2 log
ε
D
3,71
+
2,51
ReD ϕ
= 0
ϕ =?
Programa “NR-DiagMoody” – Calcular o “diagrama completo”
𝐟 ε
D , ReD = 𝐟 100,100
0,001 a 0,1 1.000 a 100.000
Aula 16

16. 16
 Sistemas de Equações Algébricas
Forma geral:
c/
Aula 17
𝐟 𝛟 = 0
𝛟 =?
f1 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0
f2 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0
...
f3 ϕ1, ϕ2, … , ϕn = 0
𝛟 =
ϕ1
ϕ2
…
ϕn

17. 17
 Sistemas de Equações Algébricas
Para o caso linear:
𝐟 𝛟 = 𝐀𝛟 + 𝐛 = 0
𝛟 =?
A11ϕ1 + A12ϕ2 + ⋯ + A1nϕn = −b1
A21ϕ1 + A22ϕ2 + ⋯ + A2nϕn = −b2
...
An1ϕ1 + An2ϕ2 + ⋯ + Annϕn = −bn
𝐀𝛟 = −𝐛
A11 ⋯ A1n
⋮ ⋱ ⋮
An1 ⋯ Ann
ϕ1
⋮
ϕn
=
−b1
⋮
−bn
Aula 17

18. 18
 Sistemas de Equações Algébricas
Solução:
𝛟 = 𝐀;1 ∙ (−b)
Matriz inversa de A 𝐀 ∙ 𝐀;1
= 𝐈 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Sub-rotina
comando “Subroutine NOME()”
OBS:
Nº Equações = Nº incógnitas Solução única
Nº Equações < Nº incógnitas ∞ Soluções
Nº Equações > Nº incógnitas ∄ Solução
Aula 17

19. 19
 Sistemas de Equações Algébricas
Program NOME1
-
End Program
Function NOME2( )
-
End Function
Subroutine NOME3( )
-
Return
End Subroutine
Comandos
A = NOME2 ( ) chamada de função
CALL NOME3 ( ) chamada de sub-rotina
Aula 17

20. 20
 Sistemas de Equações Algébricas
Program SEAL
Double Precision A(n,n), B(n), Phi(n)
 Entrada da Matriz “A” e do vetor “b”
Call INVERSA (A)
Do i = 1,n
SOMA = 0
Do j = 1,n
SOMA = SOMA + A(i,j)*(-B(j))
Programa para SEA-Lineares
End Do
Phi(i) = SOMA
End Do
 Saída de resultados
End Program
Aula 17

21. 21
 Sistemas de Equações Algébricas
A11 ⋯ A1n
⋮ ⋱ ⋮
An1 ⋯ Ann
−b1
⋮
−bn
=
A11ϕ1 + A12ϕ2 + ⋯ + A1nϕn
⋮
An1ϕ1 + An2ϕ2 + ⋯ + Annϕn
nxn nx1
nx1
Aula 17

22. 22
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Nº Equações e Nº incógnitas Não é possível garantir que a solução
seja única. Existe pelo menos uma
solução.
Métodos de aproximação Diretos
Iterativos
Utiliza expansões em
série de Taylor como
forma de aproximação
Aula 17

23. 23
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Aula 17
Método de Newton para n equações (direto)
Seja o sistema:
f1 ϕ1, ϕ2 = 0
f2 ϕ1, ϕ2 = 0
𝛟 =
ϕ1
ϕ2
=?
Estimativa inicial: ϕ1
0
ϕ2
0
SEA-NL

24. 24
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Aula 17
Método de Newton para n equações
Fazendo uma expansão do sistema em série de Taylor no entorno de
uma estimativa inicial:
f1(ϕ1, ϕ2)
= f1(ϕ1
0
,ϕ2
0
) +
df1
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ1 − ϕ1
0
)+
df1
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ2 − ϕ2
0
)
+
d²f1
dϕ1² ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ1 − ϕ1
0
)²
2!
+
d²f1
dϕ2² ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ2 − ϕ2
0
)²
2!
+ ...
f2(ϕ1, ϕ2)
= f2(ϕ1
0
,ϕ2
0
) +
df2
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ1 − ϕ1
0
)+
df2
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ2 − ϕ2
0
)
+
d²f2
dϕ1² ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ1 − ϕ1
0
)²
2!
+
d²f2
dϕ2² ϕ1
0
,ϕ2
0
(ϕ2 − ϕ2
0
)²
2!
+ ...

25. 25
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Aula 17
Método de Newton para n equações
Truncando as séries até a derivada 2ª:
df1
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
δ1 +
df1
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
δ2 = −f1(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
df2
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
δ1 +
df2
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
δ2 = −f2(ϕ1
0
,ϕ2
0
)

26. 26
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Aula 17
Método de Newton para n equações
Truncando as séries até a derivada 2ª:
𝐉0
𝛅 = −𝐟0
𝛅 = 𝐉0 ;𝟏
∙ −𝐟0
df1
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df1
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
δ1
δ2
=
−f1(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
−f2(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
Matriz do Jacobiano
SEA-L

27. 27
 Sistemas de Equações Algébricas não-lineares
Aula 17
Método de Newton para n equações
Truncando as séries até a derivada 2ª:
ϕ1
ϕ2
−
ϕ1
0
ϕ2
0 =
df1
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df1
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
;1
−f1(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
−f2(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
ϕ1
ϕ2
=
ϕ1
0
ϕ2
0 +
df1
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df1
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ1 ϕ1
0
,ϕ2
0
df2
dϕ2 ϕ1
0
,ϕ2
0
;1
−f1(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
−f2(ϕ1
0
,ϕ2
0
)
Fórmula de recorrência para atualização da estimativa

28. 28
 Caso 02
Aula 18
Cálculo do volume molar pela Eq. de Van der
Waals, utilizando o método da bissecção:
Eq. De Van der Waals
P =
RT
V − b
−
a
V²
𝑉³ − 𝑏 +
𝑅𝑇
𝑃
𝑉2 +
𝑎
𝑃
𝑉 −
𝑎𝑏
𝑃
= 0
ou
𝑎 =
27
64
𝑅𝑇𝑐 ²
𝑃𝑐
𝑏 =
1
8
𝑅𝑇𝑐
𝑃𝑐

29. 29
 Caso 02
Aula 18
Cálculo do volume molar pela Eq. de Van der
Waals, utilizando o método da bissecção:
Dados do problema:
Sistema: T=300 K
P=10 bar
Componente 1: CO2
Tc= 304,2 K
Pc= 73,83 bar
x= 0,3
Componente 2: n-pentano
Tc= 469,7 K
Pc=33,7 bar
x= 0,7
R= 83,144 cm³bar/(mol K)

30. 30
 Caso 02
Aula 18
Cálculo do volume molar pela Eq. de Van der
Waals, utilizando o método da bissecção:
Regras de mistura:
𝑎12 = 𝑎1 𝑎2
𝑏12 =
𝑏1 + 𝑏2
2
𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑎1 𝑥1² + 2𝑎12 𝑥1 𝑥2 + 𝑎2 𝑥2²
𝑏 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑏1 𝑥1² + 2𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 𝑏2 𝑥2²

31. 31
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Formulação geral do problema:
dϕ
dt
= f t, ϕ ; ρϕ t ; t > 0
para t = 0 ρϕ 0 = ϕ0
d𝛟
dt
= 𝐟 t, 𝛟 ; ρ𝛟 t ; t > 0
para t = 0 ρ𝛟 0 = 𝛟0
1 EDO
SEDOs
PVI
Problemas de Valor Inicial

32. 32
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Obs: Redução de EDOs de Ordem Superior para Sistemas de EDOs de
1ª Ordem:
an η
dn
ϕ
dηn
+ an;1 η
dn;1
ϕ
dηn;1
+ ⋯ + an η
dn
ϕ
dηn
= b η
a η
d2
ϕ
dη2 + b η
dϕ
dη
= c η
EDO de
ordem “n”
Redução  Sistema de EDOs de 1ª Ordem
Exemplo: EDO de 2ª Ordem

33. 33
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
a η
d2
ϕ
dη2
+ b η
dϕ
dη
= c η
Exemplo: EDO de 2ª Ordem
Definindo uma nova variável: β =
dϕ
dη
a η
dβ
dη
+ b η β = c η
β =
dϕ
dη
2EDOs de 1ª Ordem

34. 34
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos baseados em expansão em Série de Taylor (Diretos):
Runge-Kutta
Explícitos Fórmula de recorrência:
ϕ(t) = ϕ(t0) +
dϕ
dt t<t0
(t − t0) +
d²ϕ
dt² t<t0
(t − t0)²
2!
+ ...
Implícitos Fórmula de recorrência:
ϕ(t + Δt) = g ϕ t ,
dϕ
dt t
, t
ϕ(t + Δt) = g ϕ t , ϕ t + Δt ,
dϕ
dt t
,
dϕ
dt t:Δt
, t, t + Δt
“Futuro” “Passado”
“Futuro” “Passado + Futuro”

35. 35
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos: Runge-Kutta de 1ª Ordem
(Método de Euler)
ϕ(t) ≈ ϕ(t0) +
dϕ
dt t0
(t − t0)
ϕ(t + ∆t) ≈ ϕ(t) +
dϕ
dt t
∆t
h = passo de integração
≡ f t, ϕ  EDO de 1ª Ordem

36. 36
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos: Runge-Kutta de 1ª Ordem
(Método de Euler)
ϕ1 = ϕ0 + h f(t0, ϕ0)
ϕ2 = ϕ1 + h f(t1, ϕ1)
t1 = t0 + h
t2 = t1 + h

37. 37
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos:
Os métodos de Runge-Kutta podem ser generalizados p/ qualquer ordem de
aproximação pela seguinte fórmula de recorrência:
ϕi:1 = ϕi + wkKk
n
k<1
Ordem de aproximação
Para n=1 Runge-Kutta de 1ª Ordem (Euler)
ϕi:1 = ϕi + w1K1 com
w1 = 1
K1 = h f(ti, ϕi)

38. 38
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos:
Para n=2 Runge-Kutta de 2ª Ordem
ϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 com
w1 = w2 = 0,5
K1 = h f(ti, ϕi)
K2 = h f(ti + h, ϕi + K1)
Para n=3 Runge-Kutta de 3ª Ordem
ϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 + w3K3 com w1 =
2
9
, w2 =
1
3
, w3 =
2
9
K1 = h f(ti, ϕi)
K2 = h f(ti +
h
2
, ϕi +
K1
2
)
K3 = h f(ti +
3h
4
, ϕi +
3K2
4
)

39. 39
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos:
Para n=4 Runge-Kutta de 4ª Ordem (Gill)
ϕi:1 = ϕi + w1K1 + w2K2 + w3K3 + w4K4
com
w1 =
1
6
, w2 =
1
3
b, w3 =
1
3
d, w4 =
1
6
K1 = h f(ti, ϕi)
K2 = h f(ti +
h
2
, ϕi +
K1
2
)
K3 = h f(ti +
h
2
, ϕi + aK1+bK2)
K4 = h f(ti + h, ϕi + cK2+dK3)
𝑎 =
2 − 1
2
; 𝑏 =
2 − 2
2
𝑐 = −
2
2
; 𝑑 = 1 +
2
2

40. 40
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta Explícitos:
Para n=4 Runge-Kutta de 4ª Ordem (Felberg)
ϕi:1
ℎ
= ϕi +
25
216
K1 +
1408
2565
K3 +
2197
4104
K4 −
1
5
K5
ϕi:1
ℎ
2 = ϕi +
16
135
K1 +
6656
12825
K3 +
28561
56430
K4 −
9
50
K5 +
2
55
K6
K1 = h f(ti, ϕi) ; K2 = h f(ti +
h
4
, ϕi +
K1
4
) ; K3 = h f(ti +
3
8
h, ϕi +
3
32
K1+
9
32
K2)
K4 = h f(ti +
12
13
h, ϕi +
1932
2197
K1−
7200
2197
K2+
7296
2197
K3)
K5 = h f(ti + h, ϕi +
439
216
K1−8K2+
3680
513
K3 −
845
4104
K4)
K6 = h f(ti +
h
2
, ϕi −
8
27
K1+2K2 −
3544
2565
K3+
1859
4104
K4 −
11
50
K5)

41. 41
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Métodos de Runge-Kutta para Sistema de EDOs:
Para Runge-Kutta de 1ª Ordem
dϕ1
dt
= f1 t, ϕ1, … , ϕn
...
dϕn
dt
= fn t, ϕ1, … , ϕn
K11 = h f1 ti, ϕ1i
, … , ϕni
K12 = h f2 ti, ϕ1i, … , ϕni
...
K1n = h fn ti, ϕ1i
, … , ϕni
ϕ1i:1 = ϕ1i + K11
...
ϕni:1
= ϕni
+ K1n
Procedimento
é repetido para
todos os
passos de
integração

42. 42
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 19
Exercício: Resolver a EDO de 1ª Ordem abaixo, por Runge-Kutta de 1ª, 2ª e
3ª Ordem até tfinal = 10 com h = 1.
dϕ
dt
= 10ϕ² ; ϕ t ; t > 0
Para t = 0  ϕ(0) = 1
Por final, comparar as soluções numéricas obtidas com a solução analítica.

43. Encontrar a solução numérica para a seguinte Equação Algébrica não-linear:
a) Pelo método da Bissecção
b) Pelo método de Newton-Raphson
43
 Aula de exercícios:
Aula 21
Exercício 1:
f x =
x
1 − x
4
2x
− 0,04568 = 0

44. Encontrar a solução numérica do seguinte Sistema de Equações Algébricas não-
linear pelo Método de Newton:
44
 Aula de exercícios:
Aula 21
Exercício 2:
f1 ϕ1, ϕ2 = ϕ1
3
− 3ϕ1ϕ2 + 1 = 0
f2 ϕ1, ϕ2 = 3ϕ1
3
ϕ2 − ϕ2
3
= 0
𝛟 =
ϕ1
ϕ2
=?

45. Resolver o seguinte sistema de EDO de 1ª Ordem pelo Método de Runge-Kutta
de 2ª Ordem:
45
 Aula de exercícios:
Aula 21
Exercício 3:
dϕ1
dt
= −4ϕ1 + 5ϕ2 ; ϕ1 t ; t > 0
dϕ2
dt
= −2ϕ1 + 2ϕ2 ; ϕ2 t ; t > 0
Para t = 0  ϕ1 0 = 1
ϕ2 0 = 0

46. 46
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 22
Problemas de Valor de Contorno (PVC):
EDOs de 2ª Ordem
reduzidas a sistemas
de EDOs de 1ª Ordem
Modelos Microscópicos
1-D, permanente e com
difusão.
Sistemas de EDOs de 1ª
Ordem com condições
de contorno opostas
Modelos Miscroscópicos 1-D,
permanente, sem difusão,
contracorrente
Ex: Trocador de calor
contracorrente

47. 47
 Solução Numérica de EDOs de 1ª Ordem
Aula 22
Trocador de Calor contracorrente:
Duplo tubo,
tubo carcaça, ...

48. 48
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Conservação da Energia Térmica / Fluido Quente
d mqCpq
Tq
dz
= UA Tq − Tf
dTq
dz
=
U∗A∗
mqCpq
Tq − Tf ; Tq z ; 0 < z ≤ L
Para z = 0 Tq 0 = Tqe
Considerando mqCpq
≈ cte
α

49. 49
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Conservação da Energia Térmica / Fluido Frio
d mfCpf
Tf
dz
= UA Tf − Tq
dTf
dz
=
U∗A∗
mfCpf
Tq − Tf ; Tf z ; 0 ≤ z < L
Para z = L Tf L = Tfe
Considerando mfCpf
≈ cte
β

50. 50
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Conservação da Energia Térmica
dTf
dz
= β Tq − Tf ; Tf z ; 0 < z ≤ L
Para z = 0 Tf 0 = Tfs = ?
As duas EDOs de 1ª Ordem formam um Problema de Valor de Contorno (PVC).
Como transformar um PVC em um PVI?
Tf𝑠 = Tf 0 =?
É resultado da EDO
Estimativa
Integrando
Tf z  Tf z = L = (Tfe)calc

51. 51
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Problema de 1 EA-NL  Zero de Função
f ϕ = 0
ϕ =?
f Tfs = Tfe − (Tfe)calc
Tfs =?
f Tfs = Tfe − (Tfe)calc ²
Tfs =?
ou Bissecção ou Newton-Raphson

52. 52
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Problema de 1 EA-NL  Zero de Função
Realizar a integração
do sistema de EDOs
de 1ª Ordem (PVI)
Pelo método de Newton-Raphson
Tfs
i:1
≈ Tfs
i
−
f(Tfs
i
)
df
dTfs Tfs
i
Calcular a derivada
numérica por
diferença central
df
dTfs Tfs
i
≈
𝑓 Tfs
i
+ ∆Tfs − 𝑓(Tfs
i
− ∆Tfs)
2∆Tfs
Realizar a
integração do
sistema
Realizar a
integração do
sistema

53. 53
 Modelagem Microscópica 1-D, permanente, sem difusão
Aula 22
Programa
TFE = ...
ESTIMATIVA INICIAL
TFS0 = ...
ICONV = 1
ITER = 0
DELTA_TF = 1.0D-3
DO WHILE (ICONV.EQ.1)
ITER = ITER+1
CALL MODEL (TFS0,TFEC)
FTFS0 = DABS (TFE-TFEC)**2.0D+0
TFSMA = TFS0+DELTA_TF
CALL MODEL (TFSMA,TFECMA)
TFSME = TFS0 - DELTA_TF
CALL MODEL (TFSME,TFEME)
FTSFMA = DABS (TFE – TFECMA)**2.0D+0
FTSFME = DABS (TFE – TFECME)**2.0D+0
DFTFS0 = (FTSFMA – FTSFME)/(2.0D+0*DELTA_TF)
!Próxima estimativa
TFS0 = TFS0 – FTFS0/DFTFS0
!Verificando a convergência
IF(DABS(FTFS0).LE.TOL)ICONV=0
END DO
A sub-rotina MODEL realiza a integração do SEDO de 1ªOrdem do tipo PVI

54. 54
 Referências Bibliográficas:
CHAPRA, Steven C; CANALE, Raymond P. Numerical methods for engineers:
with programming and software apllications. 3rd ed. Boston : McGraw-Hill,
1998. xix, 924p, il. (General engineering series).

55. Bons estudos!
55