Concepto de función

1. Curso
Funciones (Cálculo)
Sesión 1.
Concepto de función

2. Tema 1: Antecedentes
1 históricos del concepto de
función
Tema 2: Definición y
características de funciónes.
Funciones
(Cálculo)
Tema 3: Tipos de funciones.
Tema 4: Tarea

3. Secuencia didáctica
Profesor Asignatura Semestre Fecha
Cálculo 4° 17-Feb-2012
Concepto fundamental Concepto subsidiario Competencias disciplinares Competencias genéricas
• Definición de función Determinar la importancia que Capacidad de identificación de
Funciones • Dominio y contradominio de tiene el triangulo en la geometría y elementos fundamentales en
una función las múltiples aplicaciones torno al tema de discusión
Actividad Estrategia Didáctica Tipo de Tiempo Producto de aprendizaje
de la enseñanza actividad asignado
Apertura Antecedentes históricos Discusión 15 min Lista de posibles ejemplos
del concepto función del tema de funciones en todos los
ámbitos.
Desarrollo Mostrar algunos ejemplos Uso del 80 min Construcción de funciones
de la vida real y deducir la Laboratorio a partir de las condiciones
definición de función de de definición
Funciones
Cierre Planteamiento de Uso del 10 min + Soluciones a los problemas
problemas orientados a Laboratorio 1:30 horas planteados
mostrar las aplicaciones de de
las funciones Funciones

4. Antecedentes históricos del concepto de función
APERTURA

5. Funciones
• El la vida cotidiana es
común relacionar conjuntos
de determinados objetos ,
por ejemplo artículos del
supermercado con su costo
en pesos para determinar
cuanto podemos comprar.
• La relación entre el monto a
pagar por el servició de
telefonía celular y los
minutos utilizados.
• La calidad del aprendizaje
depende del tiempo y la
calidad del estudio realizado

6. Cálculo
• El concepto de relación y en
especial el de función es uno de
los más importantes de las
matemáticas, ya que existe un
gran número de aplicaciones que
no sólo justifican su uso , si no
que lo hacen necesario.
• Una de las ramas más
importantes de las matemáticas
como es el Cálculo infinitesimal
o Cálculo, se apoya en el
concepto de función para
estudiar los límites, derivadas,
integrales, series y para resolver
situaciones de la vida cotidiana.

8. Siglo XVII
Galileo, Kepler y Descartes fueron los En esa época, las funciones se
primeros en establecer la idea de escribían en forma implícita y se
función. utilizaba la siguiente notación para
Descartes fue uno de los primeros en escribir , por ejemplo, la ecuación de la
asociar una curva con una expresión hipérbola :
algebraica. xy=a
Además introdujo el uso de las primeras
letras del alfabeto a, b, c,… para las
constantes y las últimas letras …, x, y, z
para variables.
Kepler Galileo Descartes

9. Siglo XVII
Hacia la segunda mitad de este siglo se Fue Leibniz en 1673 quien primero
usaban expresiones explícitas para las empleó el término de función aunque
funciones. Matemáticos como: Barrow, no en el sentido actual.
Newton y Leibniz usaban dicha notación
para las funciones.
Por ejemplo Newton escribía:
Newton
Leibniz

10. Siglo XVIII
Jean Bernoulli , discípulo de Leibniz, Fue el primero que
publicó un articulo en 1718 donde uso letras distintas a las de las
escribió: variables para una función, por
ejemplo: φ x
“Una función de una variable es definida
como una cantidad compuesta de alguna Esto denota que :
manera por unas variables y contantes.”
φ una función de x.
A lo que se refiere Bernoulli es que debe
ser expresable con operaciones
matemáticas.
Jean Bernoulli

11. Siglo XVIII
Fue Euler quien dio fama al concepto de Euler usó letras para denotar
función. En 1748 publicó un libro donde funciones f, g, h, indicando entre
definió una función como: paréntesis las variables, Así, él escribía
“Una función de una magnitud variable f(x) para indicar el valor que la función
es cualquier expresión analítica formada f asocia al punto x.
con la cantidad variable y con números o
cantidades constantes.”
Las funciones se comenzaban a pensar
más que una combinación de variables,
como una asociación de valores.
Euler

12. Siglo XIX
En los inicios del siglo XIX la tendencia era Las funciones que tenía en mente
hacia un concepto de función más amplio, Fourier podrían ser discontinuas.
de acuerdo a la definición de Euler.
Fourier en su libro La thérice analytique
de la chaleur publicado en 1822 escribió:
Una función general f(x) representa una
sucesión de valores u ordenadas para
cada uno de los cuales es arbitrario.
Fourier

13. Siglo XIX
A mediados del siglo XIX otros El matemático ruso Lobachevski en
matemáticos también aportaron para 1834 escribió:
ampliar el concepto de función . Y así “La concepción general requiere que
obtener una definición más actual de una función de x sea definida como un
dicho concepto. número dado para cada x y variando
gradualmente con x. El valor de la
función puede ser dado bien por una
expresión analítica o por una condición
que aporta un modo de examinar
todos los números y elegir uno de
ellos. La dependencia puede existir y
resultar desconocida.”
Lobachevski .

14. Siglo XIX
El matemático alemán Dirichlet en 1837 Se le atribuye la definición formal de
escribió: función, en el sentido moderno.
“Tomaremos dos valores fijos a y b y una
cantidad variable x que toma todos los .
valores entre a y b. Si un único valor
finito “y” corresponde a cada “x”, de tal
manera que cuando x toma
continuamente los
valores entre a y b, y=f(x) también varía
continuamente. “
Dirichlet

15. Kepler Newton
Galileo Descartes Leibniz
Euler
Lobachevski
Fourier Dirichlet
Jean Bernoulli

16. Definición y características de funciónes.
DESARROLLO

17. Función
Posición del corredor está en El salario de una persona esta en
función del tiempo. función de lo que trabaja.
El costo para una familia que va
de viaje está en función del
número de personas.

18. Variables
Cuando hablamos de
funciones o relaciones entre
dos variables definimos a la x
como variable independiente, Variable Variable
independiente dependiente
la cual mediante una regla o
correspondencia le asigna
x y
Regla o
automáticamente un valor a Correspondencia
(ecuación)
y como variable dependiente,
debido a esto se dice que y es
una relación o función de x

19. Formas de representar una relación o una función
A B
Se asocia cada 1 1
elemento de un
Sagital conjunto con su 2 4
correspondiente en
el otro conjunto. 3 9
Representación de
pares coordenados
Gráfica en el plano
cartesiano.
Igualdad que
Analítica relaciona a los dos
variables que
intervienen
y= x²

20. Definición
A B
• Relación es cualquier relación
5.00
conjunto de pares 1 3.00
2 10.00
ordenados o cualquier 3
6.00
15.00
correspondencia entre 4
9.00
20.00
conjuntos. 12.00
Función es una clase
A función B
especial de relación para la
1 4.00
cual hay sólo un valor de la
8.00
2
variable dependiente y para 12.00
3
cada valor de la variable 16.00
4
independiente x.

21. Definición
• Una función es una regla de DOMINIO
Conjunto A CODOMINIO
Conjunto B
correspondencia donde a cada
función
elemento de un conjunto A se le
asigna uno y sólo un elemento de A 1 4.00
R
un conjunto B. G
I
M
• Dominio: son todos los valores U 2 8.00 A
M
que puede tomar la variable E
G
3 12.00 E
independiente en una función. N
N
T
• Rango o codominio: son todos O 4 16.00
aquellos valores de la variable
dependiente.
x f f(x)
• Argumento: es cualquier
elemento del dominio. El elemento que f asocia
• Imagen: valor que resulta de con x se le denota por f(x)
evaluar un argumento.

22. Función o no función
• Una función se caracteriza
geometricamente por el
hecho de que toda recta
vertical que corta su gráfica
lo hace sólo en un punto.

23. Laboratorio de funciones
No es función
-Sqrt(-X^2+25)
Sqrt(-X^2+25)

24. .5x^3+2X^2
es función

25. -Sqrt(x-1)
Sqrt(x-1)
No es función

26. Clasificación de funciones
Constante Lineal
Cuadrática Cúbica

27. Clasificación de funciones
Polinomial Racional
Irracional

28. Clasificación de funciones
Exponencial Logarítmica
Seno Tangente

29. Situación
• Un alumno acostumbra ir a un
ciber que esta cerca de su casa
para rentar una computadora
para chatear. El costo por hora es
de $5.00 y los minutos se cobran
en forma proporcional. El tiempo
máximo que puede rentar al día
es 8 horas .
• Determinar el dominio de la
función , el rango y el intervalo de
esta situación.
f(x) = 5x

30. 5x
Codominio
(0 , 40]
Dominio
(0 , 8]

31. Situación
• Abrieron un ciber y por
inauguración tienen la promoción
de $20.00 sin límite de tiempo.
• Determinar el dominio de la
función , el rango y el intervalo de
esta situación.
f(x) = 20

32. 20 Codominio
{ 20 }
Dominio
(0 , +)

33. Situación
• Una empresa de turismo quiere
hacer una promoción a grupos de
turistas en sus viajes por la
ciudad, para lo cual proponen lo
siguiente; el costo del boleto por
persona es de $20.00, pero si el
grupo excede de 20 pasajeros les
descontará $0.50 por persona.
• La empresa quiere saber cual es
el número máximo de personas a
los que les puede ofrecer esta
promoción para obtener la mayor
ganancia.
• f(x) = .5x²+10x+400

34. -.5x^2+10x+400
Codominio
[0 , 450]
Dominio
(0 , +40]

35. Situación
• Un contratista debe entregar una
construcción lo más pronto
posible teniendo en cuenta que:
• 1 obrero realiza dicha
construcción en 30 días
• 2 obreros en 15 días
• 3 obreros en 10 días
• 4 obreros en 7.5 días, es decir, 7
días y la mitad de otro.
• La situación esta dada por la
siguiente función:
• f(x) = 30/x

36. 30/x
Codominio
(0, 30]
Dominio
[1 , +]

37. 30/x
Codominio
(0, 30]
Dominio
[1 , +)

38. CIERRRE

39. Tarea
• Elaborar una secuencia didáctica sobre el tema de funciones
y analizar el ejercicio propuesto con el laboratorio de
funciones.
Secuencia didáctica Aplicación Resolución