ESCUELA DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS   UNIVERSIDAD ANÁHUAC CANCÚN
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Aplicaciones     En economía, a partir de las demanda...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Aplicaciones     En Cálculo Multivariado, dadas dos f...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Aplicaciones     Ejemplo: Supongamos que la demanda d...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Aplicaciones     Ejercicio: La revista Home Entertain...
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Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)     Pasos para encontrar extre...
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Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)     Ejercicios: Para cada func...
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Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)     Ejemplo 2: Una empresa pro...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)     Ejercicio 1: (Fijación de ...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización Restringidad (Máx/Mín)     Método de los...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)     Ejemplo 1: Encuentra los v...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)     Ejercicios: En...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)     Ejemplo 3: Los...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)Cálculo Diferencial...
Unidad 5. Funciones de Varias     Variables     Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)                   ...
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  1. 1. ESCUELA DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS UNIVERSIDAD ANÁHUAC CANCÚN
  2. 2. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Aplicaciones En economía, a partir de las demandas, p y q, de dos artículos se dice que: • Son sustitutos (competitivos) si el decremento en la demanda de uno produce un incremento en la demanda del otro. Ejemplo: Café y té. •Son complementarios si un decremento en la demanda de uno produce un decremento en la demanda del otro. Ejemplo: automóviles y neumáticos.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  3. 3. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Aplicaciones En Cálculo Multivariado, dadas dos funciones de demanda, x=f(p,q) y y=f(p,q), de los artículos A y B, • A y B son sustitutos (competitivos) si f g 0 y 0 q p • A y B son complementarios si f g 0 y 0 q pCálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  4. 4. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Aplicaciones Ejemplo: Supongamos que la demanda diaria de la mantequilla y de la margarina, están dadas por 3q x f p, q 2 1 p 2p y g p, q 1 q Donde p y q son los precios en USD/lb, x e y se miden en mdd. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  5. 5. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Aplicaciones Ejercicio: La revista Home Entertainment determinó que las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes son 2 x f p, q 10000 10 p 0.2q 2 y g p, q 5000 0.8 p 20 q Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dosCálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  6. 6. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Aplicaciones Ejercicio: La revista Home Entertainment revisó las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes y se modificaron a 0.5 q x f p, q 10000 10 p e y g p, q 50000 4000 q 10 p Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dosCálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  7. 7. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Pasos para encontrar extremos relativos 1) Encontrar los puntos críticos de f(x,y), (a,b) 2) Aplicar el criterio de la segunda derivada parcial 2 D x, y f xx f yy f xy a) D(a,b)>0 y fxx(a,b)<0, es un máximo relativo b) D(a,b)>0 y fxx(a,b)>0, es un mínimo relativo c) D(a,b)<0, no hay máximo ni mínimo relativos d) D(a,b)=0, no se puede concluir nada. Se recomienda aplicar otra técnica para resolverlo.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  8. 8. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejemplos: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto. f x, y 2x2 y2 2 xy 5 x 3 y 1 3 3 f x, y x y xy 2 2 f x, y , z 2x xy y 100 z x y 100Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  9. 9. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejercicios: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto. f x, y x2 y 2 5 x 4 y xy 3 3 2 2 f x, y 2x y 3x 1.5 y 12 x 90 y 2 2 f x, y , z 2x xy y 100 z x y 200Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  10. 10. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejemplo 1: Sea P una función de producción dada por 2 3 2 3 P f l, k 0.54 l 0.02 l 1.89 k 0.09 k Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P representa la cantidad producida. Encuentra los niveles de l y k que maximicen P.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  11. 11. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejemplo 2: Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales, los costos promedio de producción son, respectivamente, constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades qA y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjunta qA 400 pB pA qB 400 9 p A 2 pB Donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades de la compañía, P. Utilidad Libras Utilidad Libras P= Por libra Vendidas + Por libra Vendidas De A De A De A De ACálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  12. 12. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejercicio 1: (Fijación de precios de productos que compiten entre sí) La compañía occidental de dulces, produce caramelos en dos tamaños a costos unitarios de $0.10 y $0.20 cada uno. Las demandas semanales x1 y x2 (en miles) para los dos tamaños están dadas por x1 p2 p1 x2 60 p1 3 p2 Donde p1 y p2 denotan los precios en centavos de los caramelos en los dos tamaños. Determina los precios p1 y p2 que maximizarían las utilidades semanales de la empresaCálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  13. 13. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización Restringidad (Máx/Mín) Método de los Multiplicadores de Lagrange En algunos casos, los problemas de optimización presentan condiciones adicionales, g(x,y)=0, que limitan a la función principal f(x,y). Se deberá construir una nueva función F(x,y, ) dada por F x, y, f x, y g x, y La cual deberá optimizarse encontrando los puntos críticos a partir de las soluciones de las ecuaciones F F F 0; 0; 0 x yCálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  14. 14. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín) Ejemplo 1: Encuentra los valores extremos de la función f(x,y) = x2 + 2y2 que cumplan la condición x2 + y2 = 1 R = Máx f(0, 1)=2; Mín f( 1,0)=1 Ejemplo 2: Encuentra los valores extremos de f(x,y,z) = x + 3y + 5z, cuyas coordenadas también deben cumplir la restricción x2 + y2 + z2 = 1 max f 1 35 , 3 35 , 5 35 35 max f 1 35 , 3 35 , 5 35 35Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  15. 15. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín) Ejercicios: Encuentra los valores extremos de la función dada sujeta a la restricción que se indica f x, y x2 4 y2 6; 2 x 8 y 20 2 2 2 f x, y , z x y z ; 2x y z 9 f x, y , z xyz; x y z 12; x y z 0 xyz 0Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  16. 16. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín) Ejemplo 3: Los reglamentos de un servicio de paquetería especifican que la medida de los lados de la base de un paquete rectangular, incluyendo la altura del mismo, deben ser 108 pulg. Encuentra las dimensiones del paquete que cumpla las condiciones y permita el mayor volumen posible.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  17. 17. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  18. 18. Unidad 5. Funciones de Varias Variables Derivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín) 1 2 3 2 1 P x, y x y xy 120x 100 y 5000 4 8 4Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
  19. 19. Fin de la unidad.Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac

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