1. t
GeemefrÍo enalÍiÍca:
pantoercta
tabeleceu
Vi'ii:ü;xíïi'"--"rir
relaçõesentrecurvasno plano e
equações algébricasem daas vaúáveís.As
propried.ades geométricasdas curvas fo-
culares,ond,e cadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,'traduzidas" meiode equa-
por
identif,cado por sua poiíçã,o.Imagine que ções osresultados álgebra
e da foram ínter-
vocêqueira índícar oncledeveser colocado pretadx geometrícawent4nós E ganhamos
um pregonumaparede- bastadizer a qae conl ísso, poís temosmaitas vezes maisía.ci
altara eledeveestardo chãoe qual suadís' lidade com a Álgebra ou corna Geometría
lànciaa uma paredelaLeral. Fazendo isso, glaçasa essa comprees^o,e a pa.ssa.gelnd.e
voeê estaráaplicando ewttctmente púncí-
o uma representação (algeb .a oa geométuí-
pío de representação pontos no pl,ano ca) à'oatrn toma clarososconceítos
dos mate'
cat'tesíat1o a cacía
- posíçã,o plano fica
no mátícos.
associ1.do ponto.
am Descartes estova,acima de tado, empe-
Foi RenéDescartes (1596-1650), filóso- nhad,o descobrír
em umafórmala quedisct-
fo famoso por suafrase: "penso,logoerísto': plinasse mciocinio unifcasse conheci.
o e o
que, percebendo essaconespondêncía, es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso
do metodoparabem ccinduzìr razàoa e
procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637,
contém Lrèsapëndices ilustramo "mè-
que
todo" com exemplospráticos. LÌtu desses
apêndices, chamadoA Geomelúra, contém
as ídéias básícasda Geometríaanalítica
2. VamosÍecordaf âp icação representação pontosno
a dê de
(cham anteriorm ntedc Geometri panocârtesiano.
A lustraçãoabaixo
mosÍaumasaa ceaua.
ada e a
cartesi ).Ësse
ana simples ndiceécon-
apé
siderado alguns
por estud iosos "maioÌ
o
avaço, em um sópasso,11o progresso
d.as cíêncías eratas:
Oufro estudioso Matenàtica que
da r
colúríbaiu p6ríí o desenvolúmento da
GeometrÌa analtticaíoi ofrancèsPiene
Fefthat (1601- 1665). Sua cohttibuiçào
nes.e Lampo numtertodenominado
eslà
lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos
pot
escrito voltade 1636.porém publi-i a)Locallze mesaque esténa terceiía
a fileka, partirdã parede
a
quecontêm lousa/ naprimerãíle ra, partiÍdêparede
a e a que
cado14 anosdepois suamorte.Assím
d,e
contéma poíta,marc.ndo,a coÍì um X.
aomoDecartes, Fermat associou eqaa- b) Representa asmesas
ndo num p ano, acoÍdo
de com oesque-
ções curvasesuperíícíÊs,
a maa seguiÍ, rnãrcou suacorna letÍap. ExplÌque
PaLrlo a como
Ernbora comuma idëiadeque
seja estásltuada mesa Pau (vocêpodetomarcornoexem
a de o
ploa maneiÍa descrita Ìtern
no a).
a Geometuía analítíca é uma redaçãa
da Geometria Algebra, escritos
à os de
Descartes mostram que saapreocupa-
trtrtr
ção era a. cottstraçãogeométrící e a
possibílidade encontrar corres-
d,e um trn n 2e
pondente geométrícoàs operações al- ntr tr
gébricas.Já com rclação a Ferma.t,o
usode coord,eadassurgeda aplícação
n n tr &
da Álgebru da Renascença proble-
a
c)Seconslderarmos eÌxos, coincjdÌndo a pãredêda
dois um corn
mas geométrícos Antíguídade. Isso
da lousa outrocorÍìa parede porta,
e da sendo inteÍsecção
sua a
mostra qae os caminhos percorridos oílgerndessesisterna êlxos, repreçentarmos
de e a posjçãô
de
por eles foram índ,ependentes, século
O cada por
mesa metode parordenado n),
Lrrn (m, noquaméa
XVIIÍoi, assim, distância parede ponaà mesa n a distância paÍede
da da e da
marcado um gran-
por
da Ìousa mesa, uaI par corresponderá çãoda rnesã
à q à pos de
de avançona Matemátícaao ser esta Pau o/
desligadad,asimplesaplícaçao às ne- d) lvlaÍque, esquemã
no acÌma, mesade Rosa,
a representada
cessídades econômíca,s e tecnológíca.s, poÍ (1,3)e dê Martã,
a repÍesentadd (2,4).
por
Começaremos estudoda Geome-
o
tria analítíca, nestecapítulô,por seus
elementos púmítívos, o ponto e a reta.,
obseruaqdo como a recarsode proces-
sosalgéb cos ímprime uma precísão
qasmedídas noscá.lcalos e coL-
e não
trada na Geometriae como, por oatro
lado, a representuçAo geométríca torna
lt
concfetasas expressões algébrícas,na
maíoría das wzes Ìão d,bstratas.
I
3. 10 . (onterto
ttatemi,rka &Aptk4ôês
ff? sistemacanesiano
ortogonal
Existe umacorrespondência biunívoca entreospontosde plânoeoconjuntodos
um paresordenãdosde números
reais, é,a cada
isto pontodo planocorresponde únicoparoÍdenado
um (x,y)eacada parordenado y) está
(x, associado
um únìcopontodoplano.Arelação biunívocâ é única,
não depende sjstema eixos
do de onogonais adotado.
Para estabelecer dessas
uma correspondências biunívocas usados
são doisêixos ortogonais(eixoxê eixoy)que
íotmam o sistema cattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema.
Exemplo:
Ao pãrordenado números
de reâis:
. (0,0)estáassociado ponto O (origem),
o I
. (3,2)estáassociado ponto Â;
o
. ( 1,4)estáâssociâdo ponto B;
o
. ( 2, -3)está âssociado ponto C;
o
. (2,-1) estáâssociâdo ponto D.
o
Considerando ponto Â(3,2),dizemos
o que o número3 é a coor-
denada ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenada
x you
a oidênâdado oonto A,
Observaçôês:
1.) Oseixos e y chama seeixos
x m coordenadosdividem plânoem quâtro
e o
regiõeschamadâs quddrontet cujaidentìÍcação feitâconforme fìgura.
é a
O sinalpositivoou negativoda abscissâ dâ ordenada
e variade acordo
com o quadrante.
2q) Seo ponto P pertence eixox, suas
ao coordenadas (a,0),com a C lR.
sáo
31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suas coordenadâs (0,b),com b € lR.
são
O pontoOtO,0l
pertence doiseixos,
aos
4ã) SeopontoP penence bissetriz quadrantes
à dos Ímpares, coordenadastêm
suas ordenãdô
iqualàabscissa,
ou
seja, dotipo{â,â)coma e R.
são
5?) Seo ponto P pertence bìssetriz
à pares,
dosquadrantes suascoordenadastêm
abscissa ordenada
e opostas,
òu
seja, dotipo (a,-a)com â c lR,
são
4. .
Qpílülo1 GqgmeÍia ponto
analÍtka: êÍeli 'tl
propostos
Exercí<ios
l.obseÍÌe a ÍguÍa e d"tetn ê oò porÌos o- sô,è.
ce 3. Nofetângu daiigura, = 2aeBÌ = a. Dêascooroe-
o ÃE
suâs
cooÍdenadas nadas véftices rcünguo
dos do
clc
d)D
4. 0 èlo dek,. ab"roo o oo-.o "
oLe P . 2k pele-
t
ceà bss€trz quadÍantes
dos ímpares,
é:
a) .pl
-r. r dr
"),+ + "r+
5. O Éio da cìrcunfeÉncia f-
da
glrmrnede undadesQuais
2
sãoas coordenadês pon
dos
tosA,B,CeD?
2. ÍVlarque sisternâ coofdenadas
nurn de cartesianas
orto-
gonais pontos:
os
a)Atr, íl Nt0, -ìl
-21 6" Sabendo P[a b], comab > 0, emqu€quadrante
que s€
blDtO,3) d ci4, 4)
cl qt3 :2). encontm ponto
o P]
hlM(-4,ol
dt-a---tã D Rt3,
o) 7. Sabendo P[2m+ 1. -3rn 4] peftence terceifo
que ao
e)P(-1, 5l quadEnte
determin€ possiv€is
os valofes de m
feas
ffil Distância
entredoispontos
Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentode
extremidâdesAe B,
Exemplos:
te) 3e)
d{A,B) = 3 1:, d (A , B )= 2 + 4 : 6
B(-2,4)
l.
L
3
ot-r,,rf'' "
d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s d(A,B):4 1=3
5. 12 . ConreÌro&Ad
ÀlatemáÌ.à (àóe5
:
ld(4,B)]'] 3':+ 2'?+ d(4,B): 14J [d(4,8)]'z 3: + 5, + d(A, : út
B)
-
Podêmog que indica â dìstânciã
determinaruma expressão entre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya)
yB).
e B(xB,
OtriânguloABCretânguloem
é C,logopodemos a relação Pitágoras:
usar de
(xB xÀ)': {yB ya)'? d(4, B) = úx,
ld{A,B)1'?: + - 3 xJ' +(y, y^f
Obseryaçâo: expressão
A obtidâpâraâ dìstância
€ntredoispontosA e B independe localizâçáo e B,ou seja,
da deA
valeparaA e B quaìsquer,
Vejamos 29,49e 6-Õ
no exemplos analisados
anteriormente:
2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l' = ,6'+ C = ús:s
4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = ' 6' + * = r ç= :
6q) Â (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):,fr 2 )F +I( - 3) - 2) l'= !6t+ ( - sf
( = v5t
Concluímos,
então,quea
distância pontos e B quâisquerdo
entredois A plano, yB),
talqueA(xa,ya)B(xB, é:
e
=arn. = o(,, -
er
',t'
* tv; vJ
@_, para
I veirìque ostfes I
ourÍosexemPros. ,,
I
1. Umpor'ìto 2) é eqüid
P(a, stanre ponros
dos A[3, èg 6a+/+1=4 4a+ / +4+
B[2,4) Calcue abscssa ponto
a do P. +-6a+4a=4+4 I t=
Resoluçâol ) 2a:-2..2a=2:+a=1
Como é eqüidistante A € B, d€vernoster:
P d€
= dtP,Bl = Verifcandol
dtP,A)
= Jt3 - aÍ + (r z)' = .,1t2 â)' + (4 2)'1
.+
=1 G- a f' + r =út âf'+4 =
=[3 a],+l =(2-a),+4= Então, abscjssa ponto é ]
a do P
6. Gpílulol. Geomer
aãna/írkãrponro
Êrel.
2. Demonstrc o ÍângLro
que comvénces 2, 4].
A[ Corno : I3 + 52,podernos
65 que
afÍrnaf o tánguto
Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles. ABCé fetângulo C.
em
Resolução:
p[x,
4. Cons urnponto y] ta queasLtadtstâncaaopon
dere
UrnÍángulo é isósceles
qlandotem dos adoscon to A[3,2) é semprc vezes suad stânc aoponto
duas a a
gruent€s(med iguaisl.
das Vamos calc!af, então, B( 4 ll. Nessâs condçÕes,€ncontfeurnaequação
as
Ínedidas ados rángLr ÁBC:
dos do o quesela sâtisfeita ascoordenadas ponto
com do p.
Resolução:
dtA. = i[.t+ A' + 0
B) 4), = Deacordo o pÍoberna,
com d€vernosteÍ
=" 6+s =" 4 ã = : ú d(P A) = 2d(p B) o! sejê,
[dtp,A)], = 4ldtp,Bll,
d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ = . ,) -t2 ,r_4- 1-J- ll _y.1.
= ! ' i 6 + r = fi =9-6x+xr+4-4y+yz= -
=4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)=
drB.C'- ir 6-cJ 5 -J,- 6 =9.6x1'x:+4-4y+yr:
=64+32x+4xr+4 8y+4yr+
d(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto é sósceres.
Como + -3x'z- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 +
ABC
= 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55 = 0
3. CoJìsideEndo ces
osvéft At- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5),
vefique o rânguo ABC fetângu
se é o. 5, A Íìred
atrzdeumsegnì€nto é a reta
AB forrnâda pelos
pontos eqüdstanì
que deA€ B. Encontre rclâção
uma
Resoluçâo: p[x,
eǹ ascoordenadas y do ponto y), sabendo
xe
Paru tfânglo fetánguo quadrado !m ado
ser o de que ele pertence medatrzdo segrnento coÍn
à AB,
deve guêlà soma quadÉdos outfos
sef dos dos oots. A[3,2]e Bt-2 41.
Re6oluçào:
dA.Bì -JL6-D tt .3Ì - Jrg--6 SeP[x,y) pedence med
à atdzdeAB,então
= J6s= t./ãFl,= os dtP A; = 61pBl, ou seja.
ldtp All, = ldtp Bll,
d ( 4cl = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4
, =
t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (_ _Jl. ,
= + = r:
"/iã [.,4ã],
=rxr-ox+9+yz-4y14=
=x?+4x+4+yr+By+16='
diB,c) = ii2 - 6Í + t-5 rlz = !í6-1 36 =
+ 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas
= Jsz.+ (Jsz)" sz
= Tnane de€xpTessafâação
|as re €nÌre
rey.
i1tg:Eqr'!@< dados
E. Ca a dstância ospontos
clle entrc @ Quale a d stância ponïoA[cos a, senêJ ao porìto
do
al A{3 , € Btr,a) dl Mt0, 2l € N [./6, -2J B(sen -cos al?
a,
bl Et3, e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l
-rl I1. Umponto peftenc€ eixo âbscssâs é €qüÌdis
P âo d€s e
cl Ht-2, 5l e O(0, fl C(-a, 0l e D(0,
0l ra'redosoonLos .2JeBLt { euatssÍ;o coo.
AL a!
3l
denadas porìto
do P)
A
tgl Á dstáncia poJìro ]J aoponro
do A[a. B[0,2]é guaa [?
A aosc'"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncE ponro
ao
" 3,CacLreovaorda âbscssã
a q0 3) e J7a. DercÍn d o-oelaoa po-ro.
-F oo
7. 14 . tomexto kaçóe5
Matemátka &Ap
Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌa ponto
ao l :1,Demonstfe uÍntriângulocom vértices
q!e A[0 5],
A[5 3] ó sempíeduasvezesdstância Pao ponto
a de Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce e calcu o seu
€s e
Bí --'. e5)dsco d çoes,
escÍe/a 1a eq-cÉo
J perímetÍ0.
quedeve satisfeita ascooÍdenadasponto
sef corn do P.
L,l!s!ls jlvEqr
Sejam g e Ptrêspontosdo
A, plano que
cartesìano,tais PdivideosegmentoiiB
numarazão =
r
nadarazão seção.
dè Observe figura
nâ que
âbaixo ostÍângulosAPCPBDsão
e semelhantes. PB
Então,temosì
AP X I_X P YE- Y'
pB xp -xg yp-ys
Coordenadas pontomédiode um segmento reta
do de
Dadoum segmento íeta ABtal que A(xÀ, e B(xB, vamosdeterminar coordênadãs M, o ponto
de yÀ) yB), as de
médiode A-B.
À(r"yJ
O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmento duaspârte5
em Sendo e B os pontosextre'
iguais. A
mosdo segmento com ponto médioM,teremos4
A-8, = L Ponanto:
t!18
;ì;
.# =* I. -) = x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" *" = l!+
,,=
_+- r =
. g v : -& -r - y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y, &+
-
/48 yM - yB * - r - ys
yM
Coordenadas baricentro um triângulo
do de
Dôdo triângulo devértjces ya, B{xB, e C(xc,
um ABC A(xa, yB) yc),vamos
dêtêÊ
minaras
coordenadas baricenío
dec, dotriángulo
ABC.
ladoBc.Então = laj-lL
Seja o pontomédiodo
M xM y, = &+
"
Seja bâricentro Íiânguloquedivide medianã êmduas
Go do a AM partes,
em
oueumaé o dobro outra,
da Nesse E = z.
caso,
GM
8. .
CâpituloI GeomerÍladèlítka:
Ponanto:
.lq= *, ,o
,o =r= ". 2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & -
cM xc X u -r" "
Xu xc
= 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x.
. *: } j + - r :} 2yM y a- y c+ 3 y c y a+ 2 y M 3 y c y À 2 y s y . = +
: = = +
}=zv" + 1
Y,- Y Y -Y t 'n z
ys- y.- y,- Y +Y 32
- 3 yc= yo
6. Detemin€ pontornédio Ã8, nossegu
M, de nr€sca- Resolução:
como
nal!a! Y
al Ai3,-21 e Bi-t, 6)
zz)
1Y. ],enuo.
bl Ato,7l e Bi6, 0l
- a= - r .= t**= 6ìx= _13
Aí 1 .-Lì" Bí_] ' ì
"] 2 3) | 3/
-. l3+v
Resolução: 24=-=13+y=48-y:35
ConsideÉndo yM],
M[xM, temos:
LoSo,
B[-]3,3b1.
alx".= - ' '=1=r 8. Caculeoscornpf
mentosdasmedanasdeumtfaÍrguo
'22
devertces
A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l.
- ! -' =
v",= -:= a
'22
Mtr,-4)
bìr =i :=::?
22-
7+A 7 -1
Yv
22
"(. .i)
i)","ft Resohrção:
Obseruandoa ÍguÍa,temos:
M, é o pontornédio adoA-Bi
do
M, é o pontomédìo adom;
do un triângulo
M3 é o ponto
médodo tado m
Cálcu dascoofdenâdas Mjl
o d€
t2
J x= ::= l
v.,= r =_
' 22
. ïodorriânguto
M Í_ ]. Lì
4 2) Cálculo coordenád€sM2i
das de
7, Umâdasextrem dadesde urnsegmento o po|ro 0+2 =
é *= t
A(7, l3) e a ouÌÍa o ponto yl. Sendo ,- triângulo.
é Bix, Mt-3,2a)
0 ponto rnédto,deterÍnrne coordenadâs extrerni_
as da 46
dade do segÍnento.
B
9. Ma$mÍka. ontexto Ap
& kaçõe5
Cálcu dascoordenadasMs:
o de .1:t^ tP ' ^
- -
04 3 v, v" v t 3l-
2 y)-2i 6-36-3y ,
-211+3)-3(12-
á5)7=30+)?=6
v= :3
- Logo,
P(S,
6).
Vâmos
cacular,
agorâ, comprmentos Ínedia-
os das
Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo os pollocAf . l)
são
Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne cooÍdenadas
as do
lúediane sendoA(2, e Ms(-2,3):
ÃMs, -6) bâfc€ntrc
dessetâng!lo.
d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)' Resolução:
{
lvledana sendo 4,2)eM,(1,-l):
6M,, B(
dtB. = 10 4I + l-1- 2)' =
rvlt +
=rr5+s = l E
i,4ediana sendo
õM| C(0,4l e Mi[-], -21:
d(c, = ./(-r ol' + t-2 - 4y
r,1,) -
9. Dados pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍm o
ne G:baricenÍo
[ponto encontrc med
d€ das anas]
os
ponto
Pdo segmentoÂBta quea râzão
entre Ínedi'
âs xo + It + xc
sabernos xc =
que e
:.
das APe PBsearouala
de
3
Resolução:
apz 3
PB3 5
Fazendo y),temos:
P[x,
I + 3 + r-2 ì 2
2x^x,5x
3
. 3 x 15
.+2t - lb) - 3(5- x)r2x- 30 = 15- 3r- Loqo, coôÍdenádâs barcenÍosão-i
as do e: 0u
33
sep, -*. * I.
cl
+5x=45=x=9
15. DeteÍm o pontomédio segmento e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles,aturae a med€na
ne do de a rclátivâs
à
des: bâse segmentos ncldentes.
são co Calcule medidã
a dâ
a)A[-],6) e B(-5,4l âltum isósceles véÊ
relatva base de urntriângulo
à BC de
b)A(r,-71 e B(3, -5) ucesAi5,3), Bt2,'21 Ct8,2).
e
c) A(-r, O e B(5,-2) 19. J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlo e_
de
d)A( a, 2) eB(-2,-4) que
contrcdasdiagonais e BD.Sabe-se A[q, 3) e
AC
16. uÍnâ das e*uemìdades um segÍnento o ponro
de é 6(6. ) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos. vel ilueâs
Ura
A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio dagonàs cortam
se mutuamente Íneio,
ao dercrmrneas
desse s€gmento, caculeas coordenâdas ponto
do coofdenadas vértcesC e D.
dos
B[x,y], queé a oltm extrernidadesêgmento.
do 20. Delerm ascoordenadas ponto yl quedivide
ne do P(x, o
17. Câlcule compÍimentos medianas tÍiângulo
os dãs do Apl
segÍre_lo 0) e Br'7.20ì 'ìa dzão_ -
A[2.
cujosvédices ospontosA[0,0), 2) e C(2,4)
são B(4, PB4
10. (ò p i t ülol'úeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà
'17
.tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" Deterrnine
o bâficenrrc
dotÍiânsurovértÌces3J,
de 12,
I s ê9. ì o etre T ro a d e? . trê r' B j F r Ìrp .ocÍ
ê1r dó ls ,
] ," 6 l t,
È s glas
Condiçãode atinlramentode três pontos
Dizemos quetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão
colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passa petostres.
A, I e C sãotrêspontosalinhados.
Vejamos que ocoffequandotrês
o pontosA,B e C estãoalinhados:
Peloteoremade Tales:
AB A,B, AB x, x
AC A,C, ac O
AB A,B, AB
Ac A,C, AC
(D
h - y1
Comparando e @, temos:
Q
x: xr_Y:-Y,_y:-!,
_ Y t-Yt..> Yz -l t Y r-y, = n*
Yi-yj Xu X, X:X ,X:X :X,
+(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj yr)= o + xry,- x3y,
- -xJ,+ !ú _x2,, +x,yt+xJt =o.+
lí
+xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O
Oprimeiro
termo iguãÍdade
da corresponde
aoder"r,
"""," lï; ;; ;l Verifìqu€ o prìmêlÍo
que
podemos
DâL dizerque: l"' y, rl
SetrêspontosA(x| y1),
B(xzyJ e C(x3, estãoãtinhados,
yj) então:
]"' r' t
D = lx, y, 1 l:0
lx: Y: l
I L -*"0*.0*"0*o-o-.'
I
+ coruna abs.Èsas
dâs dospontos.
Obseruação:
Fâzendo
ocâminhoinverso,
podemos
verifica tambémquel
r
v' 'l
l'' y, 1
SeD:]x, 0,êntão
A(xi, ),S(x,, e C(x3, são
yr y,) yJ pontos
- cotineares
(recíproca pr.priedade
da anteri.r).
J
l x: Yr 1l
11. t8 .
Màtêníio tunrxlo AplloÍôer
&
I l.VerÍquese os pontos
Ai-3, 51,
80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo ospontos -4), Bt- 1,-2) e C(2,t)
que Aia,
estão
alinhados. estão
ainhados,câÌclle
ovaorde a.
Resolução: Rêsoluçâo:
Usando coordenadas,
as cacuiâmosdeterminante:
o Seospontos estão
âlÌnhados,
devemosteÍ:
13 5 r
D=l r 1 1 =-3+15-l-3-5-3= 2 1 :A
3tl 211
=+15 15=0 Resovendoa equáqão,
teÍnos: .i
Corno = 0,os pontos
D dados
estão
alinhados. -2a-8-1+ / / -a=a,+
Observaçâo: ) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= -3
Logo, _3.
a:
13. Detêm o valofdex modo ospontosA[ 3,]l
ne de que
B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍn vértices umnìesmo
os de
triángLro.
Resolução:
que
Para A, B e C sejâm vé(jces Ltm
os de tfiânguo,
eesnãodevem estaÍalinhados.
Então,
l-: r rl
Il z r l^ o - d-3-'+d--3,0,
t
geÒÍn€alcamente,pontos
AÍguÊrlustra, queos dados l- 3 - r r l
es6o" inhddo'.Tes ó
eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd, è x -x + 3 + 3 = 2 x + -6 + x + -3
o processo Ít co qLre
ana gêrânte prcp edade.
a Logo,I -3.
x
23.Verifqueseos pontos: 25. Considerando fetar que passa
uma peospontos
al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esião
alinhados; A(- I , 2l e B[4,2) e intercectaeixo
o y nopontoP,
blAt l, 31, al eCt-4, 10J
Bt2, podemsefosvénces detemine coodenadasoonto
as do P.
d€ uÍnmesmo ângulo.
t
24. DeteÍm x de mane queos pontos 51,
ne ra Ai3, Btl, 3l
e C(x,1)sejam vértices umt ângúlo.
os de
âo de uma reta
Seja â medida ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada eixox para
o do do
a retâÌ, no senüdoanti-horário, denomina-se
e ,inclin
acãoda tetaJ.
12. Qpilülo1 ' Gmmetria ítka:
ma Fnroeera 19
Quantoà inclinação retãsnão-parâlelas eixox, podemos
de ao ter:
0o< a < 9 0 o 90o<o<180o
,
Sea reta ré paralelâao eixo )ç dizemos
que suainclinação
ézêro,ou seja, : 0..
d
podemos
Entáo, dizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180".
CoeÍiciente
angularde uma Íeta
Consideremos retarde inclinação em relação eixox,
uma d ao
o coeÍiciente
angularoua dêclividade
dessaretaré o númerorealm queexpressa tangentêt.gonomêtrica
â
de suaincrinaçãoa, seja:
ou
m = tg,g ,
Vamosobservar vários
os câsos,
considerando < a < l8O.:
Oo
Parao-0',temos Para < q < 'ì80',
90"
m --tg0=tg0q:0. temos cr< 0:ì m < 0.
tg
4e)
Para0"<a<90', Para : 90', a tg a nãoé defìnida.
e Dizemos
então
temostge>0=m>0. que,quandoor= 90o, é, quandoa retaé verti
isto
cal,elã nãotem declividade.
13. 20 e .
Àlatemát Conro(o
&Aplka!Õês
agoraque é possível
Vejamos angulardê uma retaa partìrdascoordenadas dois de
calcular coefìciente
o de
Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos
ânalisar casos 0'< a < 90'e 90'< o < 180":
os de
1r)0.<a<90"
Sejã Íetadeterminada
Ìa porA(,yr)e B(x,,
y:)e seja
C(x,,yr).
NoÌriánguloretângulo
ABCG é reto),
temos:
d(C.B) Av
- d(4,C) Ax xz Xr
Então:
-_ v, v1
2r)90.<o<180"
A(x,,yr), yr)e c(xtr,
B(x,, y1)
retángulo (e é reto),temos:
NotÍiângulo ABC
.l/a aÌ
^v
d(A,
c) Àx
Comotg(180" o) : -tg e, vem:
v,
4 v,
,ì Àv ,2 ,l
tqo - Ìaa-:jL=
- x -x . -m - Ax X : -^ ,
Então:
Obsêrvequex, xÍjá quer nãoé paralela eìxo
+ ao y.
Podemos se yr)e
concluirque, A(xr, B(xr,yr)são pontos
dois quaisquer retaÌ, quenãoé paralela
distintos na ao
eixoy(xr xr),a
+ declividâdeo coeficiente
ou angulaÍde indìcaremos m,é dada
Ì,que por por:
v. v,
^v
ax x: Xr
Assim,temosduâsmaneira5 obteÍ o coeficiente
de angular de umareta,quandoele
existir:
. conhecendoainclinaçãooda m=
reta,calculamos t9 d;
. conhecendodois y': yr
pontos
A(xr,yr)e calculamos :
B(x/yr)dareta, m .
x: Xr
Naprática,é
maisdifÍcilobterâìnformâçáo
sobreã inclinàçãoda porissoé importante
reta, nuncaesquecerque
rn=J:-Jror.; Yr, Y:
ObseÌvaçáo: Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicar âlinhamento três pontos,
o de comparando
os
angulâres retasque passam
coeficientes dãs pelospontosdois a dois,Porexemplo, veíiÍicâçáo alinhamen-
na do
to de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65 q66rÍs f!-l]!
vsrifiça1ss =
Ficaa seucÍitério
:.
usaresse
métodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmento náo de três pontos.
ou
14. -
(apíülo1 ' Gúmeíiâ ftìGr
ana poÌrrorcta
e
21
14. Calcule coeÍciente
o angutar rctaquepassa
da pelos
pontosA[2,3) B[4,D
e Oânsulooéasudo
Resoluçâo: ' [0'<d<90'],poìs
7-3 4 =2oum= " ConÍÌrm€
aonsrrulndo
a
= a =t
4'2 2 242- frguÌaaomA€8.
ì
propostos
Exercídos
:ìi:.,Determine coefrciefte
o anglrlar dectivìdade)
[ou da
|eraquepassâ petospontos:
al4t3,2) e Bt 3, -r)
bl At2,-3) e Bt-4,31
cl P,t3,2l e P,t3,-2)
dl Prt l, 4l ê P,t3,2l
el P(5,21 qt 2, -3)
e
0 4t200, 100) 8(300,801
e
ll: Seo é a Íned da Ìncl
da nâção urnê e m é a sua
de rcta
(o!
declivdâde coeÍìciente
angLtlat,
cornplete
a raDeEl
Equação reta quandosão conhecidos ponto
da um
Á(xo,yo) e a cieclividade da reta
m
Jávimosquedois pontosd istintos
dêtermina umareta,ou seja,
m dadosdoispontosd istintos,
existeumaúnica
rètaque pâssa
pelosdoispontos,
Damesma formã,um ponto A(xo,yo)e declividade dêterminâm
a m p(x,
umaretâÍ.Considerando y) um ponto
genérlcodessareta,veremos sepode chegaraumaequação, variáveis e, a panÍrdos números yoe
que de x xo, m,
que seíâchamadaequacàoda rcta r.
15" DetenÌin€ equação retar quepassa
a da peloponÌo
Al4.2l e tenìlnclinaçãode
45..
Resoluçâo:
consdefar pontop[x, y] q-ue
Varnos Lm penence
ã
NotfiânguloAPC é fero],
[ô temos:
ãT' Dì
UIÀ, UJ
=y-2=Ã(x-4)=y-2
Os paÌes y] quesatisfazem
[x,
=y-2 x+4=0+-x+y+2=0+ eçsaisualdãd€(soluções
da
equâçãol r€presentam
os
pontos rêtari t0, -21,[5,5J,
da
Logo, equação tlo,8l,( t _t e oütr3s.
a pedida
éx y - Z = 0.
15. 22 . (omeÍro Ap
MatemáÌka & kaçõe5
16, Deteffnineequação rctar quepassa
a da peo pomo Sem = -2, então Jìcinação ré urnâìguo obtu,
a de
angulaf = -2.
A[5,3) etemcoeícierìte m so,ou seja. 0 : 2.
tg
NotrlánglloACP,retángLr C,emq!€ P[x,y] é urn
o eÍn
p0nt0g€nófco rcta,
da Ìernos:
2=i-y 3 = -2[x 5)-
(y
{J=
yo) fr(x to)
1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ =
=2x+y t3=0
f
Então, equação rctaré 2x + y - t3- 0
a da
podemos
Genericãmente obterâ equaçáo retaque passâ um ponto A(xo,
da por yo)etem um coefìciente
ân-
gular
m:
Considerando ponto P(x, qualquersobrea
um y) reta,temos:
m- Y-Yo y-y":m(x-x^)
-
ObseÌvaçõesl
1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe m serpositivo nêgativo da localização pontoA.
de ou e do
2:) Sea retaé paralela eixo)ç temosm = 0 e â equaçáo retasêrá
ao da dadâpory = yo.
3ã)Sea retaé paralelâ eixoy,todosos pontosda retatêm a mesma
âo abscissa equaçáo
ea sêrádãdapor x: xô,
17. Deteffnine €quação retaqle passa
a da peloponro R€solüção:
A(-1, 4) e Ìemcoefciente
angul€r
2. Jásabernos calcuÌaro
como coefrciente
angularda
rcta
R€dução: determináda pontos ], -21 e B[5,2):
pelos A[
Usando equâção - yo]= m(x xJ, temos:
a [y 2+2 2
n=Ys-]yA -4
Y-4=2[x t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l + xe -Xa 5+l 6 3
.+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y 6:0= usando pontoA[ ], -2l,temos:
o
= 2x y+6=0
y-t /ì-^( | ll-i'2-'-t.'lJ-
é 2x y + 6 = 0.
procLrmda
Aequação
18. Derermineeqirâção r€taquepassâ
a da petos
pontos =3y+€=2x+2ã2x 3y 4=0
- At-], -2) e Bts,2l. Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y 4 = 0.
16. :
CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra
1'
outta resolução: 0s pontos r têrn
de ordenada quaquerqueseja
7, a
Chamando P(x,y) um pontogenéÍico retaAB,
de da
podemos aímãrqLt€ A e I estão
P, alnhâdos.
Logoi Logo, equação ré y = 7.
a de
V]
l Podemos jlstiÍcarass i seÍé pâÉela
tambérn m ao
l-l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A= €ixo temcoeftcient€
x anguiaÍ = 0.
m
5 21
=-4x+6y+8=0= Log0:
=4x-6y 8=0=2x 3y-4-0 Y 7=0(Ì 4l=y 7=a+y=7
A €quação fetaAB é 2x 3y - 4 = 0.
da
oJ
19, DeteÍmÌnea equação retanosseguintes
da casos:
al r passa [4, , e é paráteta e]xo
pof ao x.
b) r passa (4,, e é paË€taaoeixo
por y.
Resolução:
êJ
Ser é pâralea eixo seus
âo y, pontos abscissa
têm
4, quaiquer seja ord€nâda.
que â
Logo, eqLiação fetaré x = 4
a dâ
propostos
Exerddos ,
r' DetenÌìne eqLração retaqLte
a da saÌisfaz segutnt€s
âs dJPassapelos
pontosA[3, e Bt-5,41.
])
condlgôes: el Passê
peopontop[-3, 4] eé pamtela exoy.
au
a)A declvdade 4 e passa ponto
é pelo A[2, -3).
b)A nclinâçãode 45'e passa ponÌo p(4, ll. 29, Vedftq!€ o ponto
se p[2, 3) penence fetaÌ quepassa
à
é peto
pelo
cJP€ssa pontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre pelos
pontosA[ì, e B(0, 31.
]l
€n_
gular
0.
t
Vimosque a êquação retaque passâ um pontoA(xo, com dêclividade é dadaporl
da por yo) m
Y-Yo:m(x_xoj
se escolhermos ponto particulãr n),istoé, o ponto em que a retaintersectâ
o (0, o eixoy, parao ponto (xor
yÕ),
teremos:
y- n - m(x-0)+y- n : mx+y= mx+ n
o númeroreaI n, que é a ordènada ponro em que â reta Intêrsecta eixo é chamado
do o y,
. coeficiente
linear
Lcoêt5crênre tinêÍ
Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
17. MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes
&
Essaforma é especialmente
importantepoÍque permiteobter o coeficiente
angular uma retaa pâftirde uma equação,
de alémde expressar claÍamente a
y
coordenãda em funçãode x.
Éconhecida como formdfeduzido equãçáoda
dã reta.
íì
20. Detemne o coeÍcient€
ângular o co€Íìc
e €nt€ neaf rn =
SLrbstituindo 3 naparne eqLração
|a remos:
da fetadeequação + 3y : I
2x 3-n=_5= n=_8=n=8
Resoluçào: Logo,âequação = 3x
coffespondenteéy + 8.
2x+3V=l=3v= Zx+l:v: ?x+]
33
Faça exercÍcio
o r€solyido de
2l
Logo, coeÍcient€
o angLraf rn: : e o coeÍcente
é umaterc€ira rnanêirâ,
usndo o
lr
3 X Y ìI
21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u. -l 5r
passa pelospontosA[],51e Bt-3, t).
3 t1
Resolução:
Vârnos,incalm€nte, cacular coefcient€
o anguafd€ 22. Detemne
â equação fe.llzida r€ta coftaos ei
cla que
xosnospontos 5, 0] e [0.3].
[
v" v. l5-6
Resolução:
-3+t 2 - A€quação daforrna = rnx+ n e.como Íetacorta
é y a
Usandoponto ].5l.temos:
o A[ o ex0y em[0.3], ternos = 3.
n
Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+ Ficân'ìosentão, y = mx + 3. Como retapassa
com a
+y 5=3x+3+y=3x+8 Ìambem ponto 5,0].
peo vern:
[
Looo. pouú!;o o(
"
p -3 -8.
"d"ei 0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9
Autu resoiuÇàt 5
A equação Í€duzidê rctaé dafoÍma : mx+ n
da y
Corno passa [-] 5l temos:
ea pof Logo €qìração
a pfocuÉdê = :x + 3.
éy
5:m[ ]l+n 23. Delenìlne €qlação
a feduzda rctar quepassa
da peta
Corno tambérn
ea passa [ 3, ]l,vern:
pof orrg€rnteminc Íìação 60'
e de
I =mi 3l+n
0svaofes m e n seéocaculados Í€solução
de pela Resolução:
do
A equâção ÍeduzÌda r é dafoffna = mx+ n
de y
Corno rpassa pela ofgem(0,01, tenìos = 0
n
fm -n = s ['+/=s Como ncinação de 60",então:
â é
[3m n=] lsÍl í:r m=ts60'=!ã
2rn:6=rn=3 Logo, €qlação
a rcduzi.la.le y = Jgx.
re
Exercício-spropostos
: Dada reta
a quet€rn eqLração3x4y = 7,detefm
a + ne Escr€va foffìraÍedu
fa
s!a decividad€. zda a eqLração reta
da
que passapeos pontos
r" Determne eqdação fetade coeÍicent€
a da arrgla Plr-2. e P't-1, -51
7)
m = 2 e queIntersecta y no ponto
o exo A[0, 3J
EscfevaeqLrâção:
a
.l Uína passa ponto ], 5l €rem
reta peo P[ coefcien al darctabssetrizdos
quadrânÌes
ímparcs:
bl dafetab ssetdz quadÉntes
dos pâÍesi
te anglrlâr = :-. EscrevaequaÇão rctanaforrna
rn a da cl do exox;
dl do exoy.
18. (apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch
Snrmasegmentáriada equação da reta
Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),inteÍsêcta êixox no ponto A{a,
uma por o QJ Intersecta eixoy no
e o
ponto A(0,b).
Calculando coeíiciente
o angular,temos:
o_b b
. â-0 a
Usando foíma reduzida : mx + n, em que m =
a y ! n : b, u"r,
a " Podenoscì€gàrão m€smo
b resultãdo
tonsiderando
!m
Y= - x + b+ay= -bx+ ab=bx + ay= ab pontogenérìco y) e
Ptx,
-,""," ll..
ltbã
Dividindo doismembros
os porâb (a + 0 e b + 0),têmos:
bxâvabx
---' +
aDaoabati
=) - +::1 lo r
-=-
Esta â forma
é segmenfárd equação retaquenáopassâ (0,0)e intersecta eixos pontos
da dâ por os (ô,
nos O)
e (0,b).
Exemplos:
1e)AfoÍma segmentáriâ
daequação retâ corra eixos (5, e (0,_21"a .. -L = 1.
da que os em O)
2e)Aretacuja equação naÍorma segmentária + I : .l (ortâoseixos (5,0) (0,2).
éI em ê
39)Sey:2x 5 é a equaçâode Íeta íorma
uma na podemos
reduzidô, chegaÍà
forma segmentárÌa:
y = 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r :- + I : j
55:-s -
2
tssàretacorla eixoç
os em - . 0J e (0, 5,
l
ì
., ......, l
24- Escrevâ íonÌa segrnentáda
na a equação rcÌaque
da
passa
pelospontos -]l e [-2, 4]. = -! 1 -, L = r
[j, 14 -14
Resolução: Tb
Determinamos
o coeÍcient€
angulâr:
Outraresoluçao:
m= =_1::
ConsideraÍnos gené co p(x,yl e fazemos:
o ponto
Usêndo ponto
o [3, ]1,ternos:
y+t=-[{
^gom
vâÍnos
I
3]
obÌeraeqlraçâo íorma
y+l=-[x-3]=5v+5=3À
na segrnentáÍìâ:
l;ir
-a
-x 4 12- 2-3y +4x= 0=
9+
33;1-5y:14341-L=1
'
ì3x qv=,r-3*-5Y
5y = t 4 -1 :l = t=
-, . 14 -14
- 3x
ã5
19. 26 , (onrexro
íftremátka. &Artka.óes
propostos
ExeÍ(í(ios
35, Escrevâ foffna
n€ a equação retaque
segrnentáÍia da ' Nafg!É dada, ponto é a of gern sstemâ
o O do de
satisíaz seguintes çô€s:
as cond coofdenadas oftogonaisOABC uÍnquadrado ado
e é de
al Passapelos
ponlosA(3,01 B[0,2]
e 4 Sabendo M é o ponro
que rnódio O*A N, o poJìb
de e
blP€ss€ pelos
pontos 0.)_q decliviçade
A(5, tem 2; médode OC,escreva equação rctaqlr€psssa
a da por
'c$kssapetospontoíp,3r: p"trâs);
-3),e C e M e a equação fetaquepassa
da porA e IÌ.
oìSud eq-açao /,ore i - -ì - 5
êo
:i ii, NaíguÍEdâda, ponto é aoÍigem sistema cooÊ
o O do de
denadasorrogonais
e OABC umquâdEdo ado3.
é de
Escre s equ€çãoda sLrpoi€ diagona
rcta da AC Í
geratda reta
ftll Equação
Todaretado plânopossuiumaequação
dêÍormai
âx+by+c-O
naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta.
Exemplot
ì
.y :x - I podeserescrità tormà
nà geralpor I ay -4=O-
3x
xv = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0.
. t
Z t
. y:5, queé pârâlela eixoX podeserdàda
ao porox+ ìy- 5 =o,
. x - 2,queé umâretavenical,
podeserdadâ por 1x + 0y 2=0.
.y - 3 5(x- 1)podeserdada por5x - ly - 2 : 0.
-
Observaçôes:
13) Vimosque a equação retapode serescrita várias
da de formas, resolução exercícios
Na de devemos escolhera
maÍsconveniente relaçáoaos
em dadose à proposta problema.
do
Assim:
. nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo);
. nâ formareduzida mx + n, jdentificamos inclinaçáoo
y: â (m: tg o),o pontode interseciãoda
retacom o
eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n);
I
. naformasegmentària + + = t, idenrificâmos pontos intersetção retacom oseixos: O)e(0,b),
os de da (â,
b
x
v tl
. quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos fazêrcálcu doispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr),
sem los
Y, 1
. aformageralax by + c:0 podeserobtida partìrde
+ â quàlquer dasantêriores.
uma
20. Apftulol . GeoneÍia
daÌítjor
p0nÌo
ereta
2ã)A mesma pode diversas
reta teÍ representações
naformâ geral, seja, + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0,
ou x
x 2y + 1= 0 e inÍinitâs
equaçõesequivarentes por
a essa;. e.r" i"reo,e pr"r"riuut ,,obter
equação
geralda
reta,,a,,obìer umd
d equacãogeralda comonoexercício
reta,,, "rcrever
resolvido abaixo, exemplo,
31) Dadaumaequaçao 26 por
gerarde retar: ax + by + c = o,seucoefìciente
uma
,sanao.n.-. " o"ã"_ì"r"0,'0"rapidamente
""n"i", '
ou-. ffi---
4') A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_..
à
1. ll*,"*".,,",i- l
' b/ ,,
Jobservàcò€s
Í
25. Escreva fomâs reduzÌda,
nas segmentáfa gera â
e ConoA,B e p estão alÍìhados,devemos
eq!€ção rerâquepêssa
da p€toporìto _6J e tem tefi
[],
Inctnação t3b.
de t
]'
Resolução: I 4 '] = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 =
I
Pelosdados prcblema mais
do é coJìveniente
escrcv€f 1s-: ri
rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r. ,- 7x+ 2y - 15 = 0
Uomo = 135".
a então: zr. ê rgL' " ddd" .o po ro O e d
rÌ=tga=tgt35o= l o.i geì oo st,, I d o-
coo del add)otogonar e qB C Dê qLèr doo ae
E,como retapassa [], 6),temos:
a por -n
y+6=-t[x-]l èdo3J2 -s.Íeê Lnà poLêç:o gpra, retêdeÌetr
oa
nâdap€os ponÌosA e D.
Daiveml
5_ |
| " --"
. Ìorma segrnentãria:
y + 6 = - x + t = ì+y= s=-]:+{ =r
. foma o€ral:
y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 +
+x+y+5=0 Resolução:
S€a ÍÌgu|a !m quadÍ€do
é Ìemos = OD.
OA
ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g.
. Essa reminctinaçàoI35',
ÌPtã de passpeto
ponrc. lo AOD temos
r/, ôJ€ conãeixos [ 5,01eÍ0,_5ì.
€m fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_
. O^rnân€ulo eta
qu€ d€rêÍmina oseixos !m
com e 2[oA]:= 163 1941: e = 64 =.
=
InangutoretànsÌrto
lsóscetes. a medtda
cltcute dà -
spnooêçcn. no is pr a d- coordenaoas
o1oou,
ar,
temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l
26, Dere-r-,ne
,.o 9",u, ,"trì*1,-o,o o",0.
o" umaequação geral fetadeteffninâda DonÌos
"qur.;o da peios
pontos
A[], 4) e B[3, 3) AeDédadapor:
Resolução:
Vanìos
caÌcu a dectivÌdadefeta:
âr dâ
l' v tl
o I = o + -s + 3 y -3 x = o +
] -:
lo 3 r l
Conslderando
o ponto
A[], 41,
ternos: =3x 3y+9=O=x-y+3=0
Loqo.Lr
êequeÇão
ge.dtoètetae., _ j _ C
Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l=
2- .o. LreÌe^-Trne
os oofÌosde i.te.òecç;o et oe equd_
oê
77
=y-4 =--x+_+2v-8= 7+73 ção3x 2y- l2 - 0comoseixosxey
Resoluçào:
=7x+2y 15=0 o ponto intercecção o exox t€rnordenada
de com 0.
Logo,
íâzendo = 0,temos
y
Auïa resaluçaa:
3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+
unì p[x,
Corìsderamos porìto y] quatqler rctaque
da
passa ospontos B.
pe Ae Então, retacortro eixo noponto 0].
a r [4,