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t

  GeemefrÍo     enalÍiÍca:
            pantoercta
                                               tabeleceu

 Vi'ii:ü;xíïi'"--"rir
                                                         relaçõesentrecurvasno plano e
                                               equações  algébricasem daas vaúáveís.As
                                               propried.ades  geométricasdas curvas fo-
 culares,ond,e cadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,'traduzidas" meiode equa-
                                                                       por
 identif,cado por sua poiíçã,o.Imagine que ções osresultados álgebra
                                                    e             da        foram ínter-
 vocêqueira índícar oncledeveser colocado pretadx geometrícawent4nós     E    ganhamos
 um pregonumaparede- bastadizer a qae conl ísso,        poís temosmaitas vezes maisía.ci
 altara eledeveestardo chãoe qual suadís'      lidade com a Álgebra ou corna Geometría
 lànciaa uma   paredelaLeral. Fazendo    isso, glaçasa essa comprees^o,e a pa.ssa.gelnd.e
 voeê estaráaplicando ewttctmente púncí-
                                   o           uma representação  (algeb .a oa geométuí-
pío de representação pontos no pl,ano ca) à'oatrn toma clarososconceítos
                       dos                                                         mate'
 cat'tesíat1o a cacía
            -         posíçã,o plano fica
                              no               mátícos.
 associ1.do ponto.
           am                                      Descartes estova,acima de tado, empe-
     Foi RenéDescartes  (1596-1650), filóso- nhad,o descobrír
                                                      em          umafórmala quedisct-
fo famoso  por suafrase: "penso,logoerísto': plinasse mciocinio unifcasse conheci.
                                                       o           e           o
 que, percebendo  essaconespondêncía,     es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso
                                               do metodoparabem ccinduzìr razàoa       e
                                               procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637,
                                               contém  Lrèsapëndices ilustramo "mè-
                                                                     que
                                               todo" com exemplospráticos. LÌtu desses
                                               apêndices, chamadoA Geomelúra,    contém
                                               as ídéias básícasda Geometríaanalítica
VamosÍecordaf âp icação representação pontosno
                                                            a        dê           de
 (cham anteriorm ntedc Geometri              panocârtesiano.
                                                         A lustraçãoabaixo
                                                                         mosÍaumasaa ceaua.
        ada             e                a
 cartesi ).Ësse
        ana        simples ndiceécon-
                           apé
 siderado alguns
           por         estud iosos "maioÌ
                                  o
 avaço, em um sópasso,11o       progresso
 d.as cíêncías eratas:
      Oufro estudioso Matenàtica que
                       da                                                                                  r
 colúríbaiu p6ríí o desenvolúmento     da
 GeometrÌa   analtticaíoi ofrancèsPiene
 Fefthat (1601-  1665).  Sua cohttibuiçào
 nes.e Lampo numtertodenominado
              eslà
 lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos
        pot
 escrito voltade 1636.porém publi-i          a)Locallze mesaque esténa terceiía
                                                        a                       fileka, partirdã parede
                                                                                      a
                                               quecontêm lousa/ naprimerãíle ra, partiÍdêparede
                                                           a     e                 a               que
 cado14 anosdepois suamorte.Assím
                      d,e
                                               contéma poíta,marc.ndo,a  coÍì um X.
 aomoDecartes,    Fermat associou   eqaa-   b) Representa asmesas
                                                          ndo         num p ano, acoÍdo
                                                                                de        com oesque-
 ções curvasesuperíícíÊs,
      a                                         maa seguiÍ,     rnãrcou suacorna letÍap. ExplÌque
                                                           PaLrlo      a                          como
     Ernbora comuma idëiadeque
              seja                              estásltuada mesa Pau (vocêpodetomarcornoexem
                                                           a      de    o
                                                ploa maneiÍa descrita Ìtern
                                                                    no     a).
 a Geometuía    analítíca é uma redaçãa
 da Geometria Algebra, escritos
                 à           os        de
 Descartes  mostram que saapreocupa-
                                                                   trtrtr
 ção  era a. cottstraçãogeométrící e a
possibílidade encontrar corres-
                d,e            um                                  trn n        2e
pondente geométrícoàs operações        al-                         ntr tr
gébricas.Já com rclação a Ferma.t,o
 usode coord,eadassurgeda aplícação
                                                                   n n tr         &


 da Álgebru da Renascença proble-
                                a
                                             c)Seconslderarmos eÌxos, coincjdÌndo a pãredêda
                                                                dois      um          corn
 mas geométrícos Antíguídade. Isso
                    da                          lousa outrocorÍìa parede porta,
                                                     e                   da     sendo inteÍsecção
                                                                                      sua           a
 mostra qae os caminhos       percorridos       oílgerndessesisterna êlxos, repreçentarmos
                                                                   de       e             a posjçãô
                                                                                                  de
por eles foram índ,ependentes, século
                                  O            cada       por
                                                     mesa metode parordenado n),
                                                                      Lrrn         (m, noquaméa
XVIIÍoi, assim,                                distância parede ponaà mesa n a distância paÍede
                                                        da       da            e            da
                  marcado um gran-
                            por
                                               da Ìousa mesa, uaI par corresponderá çãoda rnesã
                                                        à     q                   à pos           de
de avançona Matemátícaao ser esta               Pau o/
desligadad,asimplesaplícaçao às ne-          d) lvlaÍque, esquemã
                                                        no          acÌma, mesade Rosa,
                                                                           a             representada
cessídades   econômíca,s  e tecnológíca.s,      poÍ (1,3)e dê Martã,
                                                          a          repÍesentadd (2,4).
                                                                               por
     Começaremos estudoda Geome-
                     o
tria analítíca, nestecapítulô,por seus
elementos   púmítívos, o ponto e a reta.,
obseruaqdo    como a recarsode proces-
 sosalgéb cos ímprime uma precísão
qasmedídas noscá.lcalos e coL-
               e               não
trada na Geometriae como,       por oatro
lado, a representuçAo   geométríca  torna
                                                                                                      lt
concfetasas expressões     algébrícas,na
maíoría das wzes Ìão d,bstratas.



                                                                                                           I
10                                                                                           . (onterto
                                                                                    ttatemi,rka      &Aptk4ôês


ff? sistemacanesiano
                   ortogonal
    Existe umacorrespondência  biunívoca entreospontosde plânoeoconjuntodos
                                                          um                        paresordenãdosde números
reais, é,a cada
     isto        pontodo planocorresponde únicoparoÍdenado
                                            um                     (x,y)eacada  parordenado y) está
                                                                                            (x,     associado
um únìcopontodoplano.Arelação     biunívocâ é única,
                                           não        depende sjstema eixos
                                                                do         de      onogonais adotado.
    Para  estabelecer dessas
                     uma        correspondências biunívocas usados
                                                           são         doisêixos ortogonais(eixoxê eixoy)que
íotmam o sistema cattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema.
Exemplo:
     Ao pãrordenado números
                    de         reâis:
. (0,0)estáassociado ponto O (origem),
                    o                                                                                            I
. (3,2)estáassociado ponto Â;
                    o
. ( 1,4)estáâssociâdo ponto B;
                      o
. ( 2, -3)está âssociado ponto C;
                        o
. (2,-1) estáâssociâdo ponto D.
                      o
     Considerando ponto Â(3,2),dizemos
                o                    que o número3 é a coor-
denada ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenada
       x                                                you
a oidênâdado oonto A,

Observaçôês:
1.) Oseixos e y chama seeixos
            x          m        coordenadosdividem plânoem quâtro
                                           e         o
    regiõeschamadâs quddrontet cujaidentìÍcação feitâconforme fìgura.
                                              é              a
    O sinalpositivoou negativoda abscissâ dâ ordenada
                                         e             variade acordo
    com o quadrante.
2q) Seo ponto P pertence eixox, suas
                         ao           coordenadas (a,0),com a C lR.
                                                  sáo
31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suas coordenadâs (0,b),com b € lR.
                                                 são


                                                  O pontoOtO,0l
                                                  pertence doiseixos,
                                                         aos

4ã) SeopontoP penence bissetriz quadrantes
                      à      dos        Ímpares, coordenadastêm
                                              suas           ordenãdô
                                                                    iqualàabscissa,
                                                                                 ou
    seja, dotipo{â,â)coma e R.
        são




5?) Seo ponto P pertence bìssetriz
                       à                     pares,
                                 dosquadrantes    suascoordenadastêm
                                                                   abscissa ordenada
                                                                          e        opostas,
                                                                                          òu
    seja, dotipo (a,-a)com â c lR,
        são
.
Qpílülo1 GqgmeÍia   ponto
              analÍtka: êÍeli                                                                       'tl

        propostos
 Exercí<ios
   l.obseÍÌe a ÍguÍa e d"tetn ê oò porÌos o- sô,è.
                                                 ce   3. Nofetângu daiigura, = 2aeBÌ = a. Dêascooroe-
                                                                  o        ÃE
      suâs
         cooÍdenadas                                     nadas véftices rcünguo
                                                              dos       do


     clc
     d)D



                                                      4. 0 èlo dek,. ab"roo o oo-.o "
                                                                            oLe      P      . 2k pele-
                                                                                                          t
                                                         ceà bss€trz quadÍantes
                                                                    dos         ímpares,
                                                                                       é:
                                                        a) .pl
                                                         -r. r                       dr
                                                               "),+                   +        "r+
                                                      5. O Éio da cìrcunfeÉncia f-
                                                                             da
                                                         glrmrnede undadesQuais
                                                                   2
                                                         sãoas coordenadês pon
                                                                          dos
                                                         tosA,B,CeD?

  2. ÍVlarque sisternâ coofdenadas
             nurn    de             cartesianas
                                             orto-
     gonais pontos:
            os
     a)Atr,             íl Nt0, -ìl
            -21                                       6" Sabendo P[a b], comab > 0, emqu€quadrante
                                                               que                              s€
     blDtO,3)           d ci4, 4)
     cl qt3 :2).                                         encontm ponto
                                                               o     P]
                          hlM(-4,ol
     dt-a---tã            D Rt3,
                               o)                     7. Sabendo P[2m+ 1. -3rn 4] peftence terceifo
                                                               que                        ao
     e)P(-1, 5l                                          quadEnte
                                                                determin€ possiv€is
                                                                        os       valofes de m
                                                                                       feas



ffil Distância
             entredoispontos
    Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentode
extremidâdesAe B,
Exemplos:
te)                                                   3e)




   d{A,B) = 3 1:,                                           d (A , B )= 2 + 4 : 6

                                                             B(-2,4)
                                                                   l.
                                                                   L
                                                                            3


                                                            ot-r,,rf'' "


   d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s                                     d(A,B):4       1=3
12                                                                                              . ConreÌro&Ad
                                                                                         ÀlatemáÌ.à        (àóe5




              :
     ld(4,B)]'] 3':+ 2'?+ d(4,B): 14J                       [d(4,8)]'z 3: + 5, + d(A, : út
                                                                                    B)
                                                                    -

    Podêmog                       que indica â dìstânciã
            determinaruma expressão                     entre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya)
      yB).
e B(xB,
    OtriânguloABCretânguloem
                 é           C,logopodemos a relação Pitágoras:
                                           usar         de




          (xB xÀ)': {yB ya)'? d(4, B) = úx,
ld{A,B)1'?:        +   -    3                  xJ' +(y,    y^f
Obseryaçâo: expressão
            A         obtidâpâraâ dìstância
                                          €ntredoispontosA e B independe localizâçáo e B,ou seja,
                                                                       da          deA
valeparaA e B quaìsquer,
                      Vejamos 29,49e 6-Õ
                              no          exemplos analisados
                                                            anteriormente:
2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l'    = ,6'+ C = ús:s

4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = ' 6' + *    = r ç= :

6q) Â (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):,fr 2 )F +I( - 3) - 2) l'= !6t+ ( - sf
                                         (                                       = v5t
     Concluímos,
              então,quea
                       distância      pontos e B quâisquerdo
                              entredois    A               plano,                yB),
                                                                talqueA(xa,ya)B(xB, é:
                                                                            e

                                     =arn. = o(,, -
                                         er
                                                         ',t'
                                                                * tv; vJ
                                                                                         @_,      para
                                                                                         I veirìque ostfes I
                                                                                           ourÍosexemPros. ,,
                                                                                         I




   1. Umpor'ìto 2) é eqüid
               P(a,        stanre ponros
                                dos      A[3,                   èg   6a+/+1=4       4a+ /       +4+
      B[2,4) Calcue abscssa ponto
                   a       do      P.                           +-6a+4a=4+4      I t=
      Resoluçâol                                                )  2a:-2..2a=2:+a=1
      Como é eqüidistante A € B, d€vernoster:
           P            d€
             = dtP,Bl =                                         Verifcandol
      dtP,A)
      = Jt3 - aÍ + (r z)' = .,1t2 â)' + (4 2)'1
                                              .+
      =1 G- a f' + r =út        âf'+4 =
      =[3    a],+l =(2-a),+4=                                   Então, abscjssa ponto é ]
                                                                    a         do    P
Gpílulol. Geomer
              aãna/írkãrponro
                         Êrel.


  2. Demonstrc o ÍângLro
                que          comvénces 2, 4].
                                     A[                        Corno : I3 + 52,podernos
                                                                   65                      que
                                                                                     afÍrnaf o tánguto
     Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles.                             ABCé fetângulo C.
                                                                           em
     Resolução:




                                                                                p[x,
                                                            4. Cons urnponto y] ta queasLtadtstâncaaopon
                                                                    dere
     UrnÍángulo é isósceles
                          qlandotem dos adoscon                to A[3,2) é semprc vezes suad stânc aoponto
                                                                                 duas    a          a
     gruent€s(med iguaisl.
                 das        Vamos calc!af, então,              B( 4 ll. Nessâs  condçÕes,€ncontfeurnaequação
                                                as
     Ínedidas ados rángLr ÁBC:
            dos      do      o                                 quesela sâtisfeita ascoordenadas ponto
                                                                               com              do      p.
                                                               Resolução:
     dtA. = i[.t+ A' + 0
        B)                         4), =                       Deacordo o pÍoberna,
                                                                         com          d€vernosteÍ
     =" 6+s =" 4 ã = : ú                                       d(P A) = 2d(p B) o! sejê,
                                                                                       [dtp,A)], = 4ldtp,Bll,
     d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ =                               . ,) -t2 ,r_4-        1-J-     ll _y.1.
     = ! ' i 6 + r = fi                                        =9-6x+xr+4-4y+yz=                        -
                                                               =4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)=
    drB.C'- ir 6-cJ         5         -J,-    6               =9.6x1'x:+4-4y+yr:
                                                               =64+32x+4xr+4        8y+4yr+
       d(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto é sósceres.
    Como                                                       + -3x'z- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 +
                                ABC
                                                               = 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55 = 0
  3. CoJìsideEndo ces
               osvéft At- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5),
     vefique o rânguo ABC fetângu
            se           é        o.                        5, A Íìred
                                                                     atrzdeumsegnì€nto é a reta
                                                                                        AB         forrnâda pelos
                                                               pontos eqüdstanì
                                                                      que          deA€ B. Encontre rclâção
                                                                                                     uma
     Resoluçâo:                                                                                  p[x,
                                                               eǹ ascoordenadas y do ponto y), sabendo
                                                                                  xe
     Paru tfânglo fetánguo quadrado !m ado
         ser               o           de                      que ele pertence medatrzdo segrnento coÍn
                                                                               à                       AB,
     deve guêlà soma quadÉdos outfos
         sef         dos          dos       oots.              A[3,2]e Bt-2 41.
                                                               Re6oluçào:
    dA.Bì -JL6-D          tt .3Ì    - Jrg--6                   SeP[x,y) pedence med
                                                                                à     atdzdeAB,então
    = J6s= t./ãFl,= os                                         dtP A; = 61pBl, ou seja.
                                                                                      ldtp All, = ldtp Bll,
    d ( 4cl = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4
         ,                                         =
                                                              t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (_ _Jl. ,
    =       +       = r:
        "/iã [.,4ã],
                                                              =rxr-ox+9+yz-4y14=
                                                              =x?+4x+4+yr+By+16='
    diB,c) = ii2 - 6Í + t-5        rlz = !í6-1 36 =
                                                              + 2x 12y 7=A)2x+12y=         Ì êunadas
    = Jsz.+ (Jsz)" sz
                 =                                            Tnane de€xpTessafâação
                                                                  |as           re  €nÌre
                                                                                        rey.



i1tg:Eqr'!@< dados
 E. Ca a dstância ospontos
      clle     entrc                                   @      Quale a d stância ponïoA[cos a, senêJ ao porìto
                                                                              do
    al A{3 , € Btr,a)    dl Mt0, 2l € N [./6, -2J             B(sen -cos al?
                                                                   a,
    bl Et3, e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l
          -rl                                          I1. Umponto peftenc€ eixo âbscssâs é €qüÌdis
                                                                   P       âo   d€s      e
    cl Ht-2, 5l e O(0, fl C(-a, 0l e D(0,
                      0l                                   ra'redosoonLos .2JeBLt { euatssÍ;o coo.
                                                                       AL                  a!
                                          3l
                                                           denadas porìto
                                                                  do    P)
  A
 tgl Á dstáncia poJìro ]J aoponro
             do     A[a.        B[0,2]é guaa           [?
                                                              A aosc'"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncE ponro
                                                                                                        ao
  " 3,CacLreovaorda âbscssã
                          a                                   q0 3) e J7a. DercÍn d o-oelaoa po-ro.
                                                                                  -F             oo
14                                                                                        . tomexto kaçóe5
                                                                                    Matemátka    &Ap


 Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌa ponto
                                           ao            l :1,Demonstfe uÍntriângulocom vértices
                                                                       q!e                       A[0 5],
      A[5 3] ó sempíeduasvezesdstância Pao ponto
                               a       de                     Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce e calcu o seu
                                                                                         €s       e
      Bí     --'. e5)dsco d çoes,
                                 escÍe/a 1a eq-cÉo
                                        J                     perímetÍ0.
      quedeve satisfeita ascooÍdenadasponto
               sef      corn            do     P.




L,l!s!ls jlvEqr
   Sejam g e Ptrêspontosdo
        A,                plano            que
                               cartesìano,tais PdivideosegmentoiiB
                                                                 numarazão =
                                                                         r
nadarazão seção.
        dè      Observe figura
                      nâ            que
                              âbaixo ostÍângulosAPCPBDsão
                                                     e      semelhantes.     PB




      Então,temosì
                                              AP   X I_X P   YE- Y'
                                              pB   xp -xg    yp-ys


Coordenadas pontomédiode um segmento reta
          do                       de
   Dadoum segmento íeta ABtal que A(xÀ, e B(xB, vamosdeterminar coordênadãs M, o ponto
                  de                  yÀ)     yB),            as          de
médiode A-B.




                                     À(r"yJ

      O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmento duaspârte5
                                                       em               Sendo e B os pontosextre'
                                                                  iguais.    A
mosdo segmento com ponto médioM,teremos4
             A-8,                            = L Ponanto:
                                        t!18
 ;ì;
.# =*                   I. -)        = x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" *" = l!+
                                                                  ,,=
             _+- r =

. g       v : -& -r -                         y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y, &+
                                                                             -
  /48    yM - yB       * - r - ys
                        yM


Coordenadas baricentro um triângulo
          do         de
   Dôdo triângulo devértjces ya, B{xB, e C(xc,
        um      ABC        A(xa,      yB)    yc),vamos
                                                     dêtêÊ
minaras
      coordenadas baricenío
              dec,        dotriángulo
                                   ABC.
                        ladoBc.Então = laj-lL
      Seja o pontomédiodo
         M                         xM            y, = &+
                                               "
      Seja bâricentro Íiânguloquedivide medianã êmduas
         Go        do                 a       AM        partes,
                                                             em
oueumaé o dobro outra,
               da    Nesse   E = z.
                         caso,
                             GM
.
CâpituloI GeomerÍladèlítka:

      Ponanto:
.lq=            *,     ,o
                       ,o =r=                     ".         2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & -
  cM            xc     X u -r" "
                       Xu                         xc

  = 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x.

. *: } j + - r :}                                            2yM y a- y c+ 3 y c y a+ 2 y M 3 y c y À 2 y s y . = +
                                                               :                =                = +
                                                  }=zv"                                   +                1
                Y,- Y                        Y -Y t                                              'n       z
                           ys- y.-            y,- Y +Y 32
  - 3 yc= yo




   6. Detemin€ pontornédio Ã8, nossegu
             M,          de          nr€sca-                                  Resolução:

                                                                              como
                                                                                 nal!a!             Y
       al Ai3,-21 e Bi-t,                     6)
                                                                                         zz)
                                                                                                        1Y. ],enuo.
       bl Ato,7l e Bi6, 0l
                                                                              - a= - r .= t**=             6ìx= _13
            Aí 1 .-Lì" Bí_] ' ì
      "]        2    3)                |    3/
                                                                             -.  l3+v
      Resolução:                                                             24=-=13+y=48-y:35
      ConsideÉndo    yM],
                 M[xM, temos:
                                                                             LoSo,
                                                                                B[-]3,3b1.
      alx".= -              '           '=1=r                             8. Caculeoscornpf
                                                                                        mentosdasmedanasdeumtfaÍrguo
         '22
                                                                             devertces
                                                                                    A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l.
                       -            !    -'   =
         v",=                                      -:=   a
            '22
         Mtr,-4)

      bìr       =i         :=::?
                       22-
                     7+A                7 -1
         Yv
                                        22


         "(. .i)
           i)","ft                                                          Resohrção:
                                                                            Obseruandoa ÍguÍa,temos:
                                                                            M, é o pontornédio adoA-Bi
                                                                                             do
                                                                            M, é o pontomédìo adom;
                                                                                             do                   un triângulo
                                                                            M3 é o ponto
                                                                                       médodo tado  m
                                                                            Cálcu dascoofdenâdas Mjl
                                                                                 o               d€
                      t2
                      J                                                     x=     ::=          l
        v.,=                    r        =_
         ' 22
                                                                                                                . ïodorriânguto

        M Í_ ]. Lì
                    4 2)                                                   Cálculo coordenád€sM2i
                                                                                  das        de
 7, Umâdasextrem     dadesde urnsegmento o po|ro                               0+2 =
                                        é                                   *=        t
    A(7, l3) e a ouÌÍa o ponto yl. Sendo                                         ,-                               triângulo.
                      é      Bix,      Mt-3,2a)
    0 ponto rnédto,deterÍnrne coordenadâs extrerni_
                            as         da                                        46
    dade do segÍnento.
          B
Ma$mÍka. ontexto Ap
                                                                                                       & kaçõe5


      Cálcu dascoordenadasMs:
          o             de                             .1:t^         tP        '     ^
                                                                          -         -
         04                                                3     v, v"        v t 3l-
           2                                                                       y)-2i       6-36-3y   ,
                                                         -211+3)-3(12-
                                                         á5)7=30+)?=6
      v=        :3
            -                                          Logo,
                                                           P(S,
                                                              6).
      Vâmos
          cacular,
                 agorâ, comprmentos Ínedia-
                      os          das
                                                    Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo os pollocAf . l)
                                                                                  são
                                                         Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne cooÍdenadas
                                                                                     as          do
      lúediane sendoA(2, e Ms(-2,3):
            ÃMs,      -6)                                bâfc€ntrc
                                                                 dessetâng!lo.
      d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)'                       Resolução:
                                                                                                                  {


      lvledana sendo 4,2)eM,(1,-l):
            6M,,   B(
      dtB. = 10 4I + l-1- 2)' =
         rvlt   +
      =rr5+s = l E
      i,4ediana sendo
              õM|    C(0,4l e Mi[-], -21:
      d(c, = ./(-r ol' + t-2 - 4y
         r,1,)   -


 9. Dados pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍm o
                                          ne           G:baricenÍo
                                                                 [ponto encontrc med
                                                                      d€        das  anas]
          os
    ponto
        Pdo segmentoÂBta quea râzão
                                  entre Ínedi'
                                       âs                             xo + It + xc
                                                       sabernos xc =
                                                              que                  e
                        :.
      das APe PBsearouala
         de
                        3
      Resolução:
      apz                                                           3
      PB3                                                                                  5

      Fazendo y),temos:
            P[x,
                                                               I + 3 + r-2 ì        2
        2x^x,5x
                                                                                    3
  .     3              x 15
       .+2t - lb) - 3(5- x)r2x-     30 = 15- 3r-       Loqo, coôÍdenádâs barcenÍosão-i
                                                            as         do                           e:   0u
                                                                                                  33
                                                        sep, -*. * I.
                                                          cl
        +5x=45=x=9




15. DeteÍm o pontomédio segmento e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles,aturae a med€na
           ne               do        de                                   a               rclátivâs
                                                                                                   à
    des:                                             bâse segmentos ncldentes.
                                                          são           co         Calcule medidã
                                                                                         a        dâ
    a)A[-],6) e B(-5,4l                              âltum                            isósceles véÊ
                                                           relatva base de urntriângulo
                                                                  à    BC                     de
    b)A(r,-71 e B(3,   -5)                           ucesAi5,3), Bt2,'21 Ct8,2).
                                                                       e
    c) A(-r, O e B(5,-2)                         19. J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlo e_
                                                                                              de
    d)A( a, 2) eB(-2,-4)                                                                que
                                                     contrcdasdiagonais e BD.Sabe-se A[q, 3) e
                                                                        AC
16. uÍnâ das e*uemìdades um segÍnento o ponro
                           de            é           6(6. ) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos. vel ilueâs
                                                                                      Ura
    A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio     dagonàs cortam
                                                               se      mutuamente Íneio,
                                                                                  ao     dercrmrneas
    desse s€gmento,   caculeas coordenâdas ponto
                                          do         coofdenadas vértcesC e D.
                                                                  dos
    B[x,y], queé a oltm extrernidadesêgmento.
                                  do             20. Delerm ascoordenadas ponto yl quedivide
                                                             ne              do     P(x,           o
17. Câlcule compÍimentos medianas tÍiângulo
            os              dãs         do                                            Apl
                                                     segÍre_lo 0) e Br'7.20ì 'ìa dzão_ -
                                                               A[2.
    cujosvédices ospontosA[0,0), 2) e C(2,4)
                 são                B(4,                                              PB4
(ò p i t ülol'úeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà
                                                                                                        '17


        .tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1"                       Deterrnine
                                                                                   o bâficenrrc
                                                                                            dotÍiânsurovértÌces3J,
                                                                                                     de      12,
  I     s ê9. ì o etre T ro a d e? . trê r' B j F r Ìrp .ocÍ
              ê1r dó              ls                                        ,
                                                                    ]            ,"    6 l t,
        È s glas




         Condiçãode atinlramentode três pontos
      Dizemos   quetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão
 colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passa  petostres.
      A, I e C sãotrêspontosalinhados.
     Vejamos que ocoffequandotrês
                o                     pontosA,B e C estãoalinhados:




      Peloteoremade Tales:
 AB     A,B,   AB x, x
 AC    A,C,    ac                         O
 AB      A,B,        AB
 Ac      A,C,        AC
                                          (D
                             h - y1
      Comparando e @, temos:
               Q
 x:    xr_Y:-Y,_y:-!,
                                       _ Y t-Yt..>    Yz -l t      Y r-y,       = n*
             Yi-yj          Xu    X,      X:X ,X:X :X,

+(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj yr)= o + xry,- x3y,
                          -                   -xJ,+ !ú                                 _x2,, +x,yt+xJt          =o.+
                                                                                                           lí
+xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O

      Oprimeiro
              termo iguãÍdade
                  da       corresponde
                                    aoder"r,
                                                                        """," lï; ;; ;l                 Verifìqu€ o prìmêlÍo
                                                                                                               que
        podemos
      DâL    dizerque:                                                        l"' y, rl
      SetrêspontosA(x| y1),
                          B(xzyJ e C(x3, estãoãtinhados,
                                       yj)            então:

                                                             ]"' r' t
                                                          D = lx, y, 1 l:0
                                                                lx: Y: l
                                                                 I L      -*"0*.0*"0*o-o-.'
                                                                 I
                                                                 +    coruna abs.Èsas
                                                                           dâs             dospontos.

Obseruação:
          Fâzendo
                ocâminhoinverso,
                               podemos
                                     verifica tambémquel
                                            r
           v' 'l
       l'' y, 1
SeD:]x,                   0,êntão
                                A(xi, ),S(x,, e C(x3, são
                                    yr      y,)    yJ    pontos
                 -                                            cotineares
                                                                      (recíproca pr.priedade
                                                                              da           anteri.r).
                J
       l x: Yr 1l
t8                                                                                          .
                                                                                     Màtêníio tunrxlo AplloÍôer
                                                                                                    &




 I l.VerÍquese os pontos
                       Ai-3, 51,
                               80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo ospontos -4), Bt- 1,-2) e C(2,t)
                                                           que         Aia,
      estão
          alinhados.                                estão
                                                        ainhados,câÌclle
                                                                       ovaorde a.
      Resolução:                                    Rêsoluçâo:
      Usando coordenadas,
            as           cacuiâmosdeterminante:
                                 o                  Seospontos estão
                                                                   âlÌnhados,
                                                                            devemosteÍ:

         13 5 r
     D=l r       1 1 =-3+15-l-3-5-3=                                2   1 :A
           3tl                                                211
     =+15 15=0                                             Resovendoa equáqão,
                                                                            teÍnos:                               .i
     Corno = 0,os pontos
         D             dados
                           estão
                               alinhados.                   -2a-8-1+    /  / -a=a,+
     Observaçâo:                                           )   2a-a=8+ 1+3a= -9âa=                  -3
                                                           Logo, _3.
                                                                a:

                                                        13. Detêm o valofdex modo ospontosA[ 3,]l
                                                                   ne          de     que
                                                            B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍn vértices umnìesmo
                                                                                    os       de
                                                            triángLro.
                                                            Resolução:
                                                                 que
                                                            Para A, B e C sejâm vé(jces Ltm
                                                                                   os      de   tfiânguo,
                                                            eesnãodevem   estaÍalinhados.
                                                            Então,
                                                            l-: r rl
                                                            Il     z r l^ o -   d-3-'+d--3,0,
                                                            t
                geÒÍn€alcamente,pontos
     AÍguÊrlustra,         queos     dados                  l- 3 - r r l
                                  es6o" inhddo'.Tes ó
     eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd,                        è x -x + 3 +     3 = 2 x + -6 + x + -3
     o processo Ít co qLre
               ana         gêrânte prcp edade.
                                   a                       Logo,I -3.
                                                              x




23.Verifqueseos pontos:                            25. Considerando fetar que passa
                                                                     uma                   peospontos
    al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esião
                                    alinhados;         A(- I , 2l e B[4,2) e intercectaeixo
                                                                                     o     y nopontoP,
    blAt l, 31, al eCt-4, 10J
               Bt2,               podemsefosvénces     detemine coodenadasoonto
                                                                as              do     P.
       d€ uÍnmesmo ângulo.
                  t
24. DeteÍm x de mane queos pontos 51,
           ne       ra           Ai3, Btl, 3l
    e C(x,1)sejam vértices umt ângúlo.
                os       de



                   âo de uma reta




     Seja â medida ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada eixox para
          o        do                                                               do
a retâÌ, no senüdoanti-horário, denomina-se
                              e           ,inclin
                                                acãoda tetaJ.
Qpilülo1 ' Gmmetria ítka:
                ma      Fnroeera                                                                 19
    Quantoà inclinação retãsnão-parâlelas eixox, podemos
                     de                ao              ter:




               0o< a < 9 0 o                  90o<o<180o
                                   ,
    Sea reta ré paralelâao eixo )ç dizemos
                                         que suainclinação
                                                         ézêro,ou seja, : 0..
                                                                      d




         podemos
    Entáo,      dizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180".


     CoeÍiciente
               angularde uma Íeta
    Consideremos retarde inclinação em relação eixox,
                  uma                 d          ao
    o coeÍiciente
                angularoua dêclividade
                                     dessaretaré o númerorealm queexpressa tangentêt.gonomêtrica
                                                                         â
de suaincrinaçãoa, seja:
                  ou
                                              m = tg,g ,
   Vamosobservar vários
               os      câsos,
                            considerando < a < l8O.:
                                       Oo




   Parao-0',temos                                         Para < q < 'ì80',
                                                              90"
   m --tg0=tg0q:0.                                        temos cr< 0:ì m < 0.
                                                               tg
                                                    4e)




  Para0"<a<90',                                        Para : 90', a tg a nãoé defìnida.
                                                            e                          Dizemos
                                                                                             então
  temostge>0=m>0.                                      que,quandoor= 90o, é, quandoa retaé verti
                                                                            isto
                                                       cal,elã nãotem declividade.
20                                                                                                    e .
                                                                                                 Àlatemát Conro(o
                                                                                                               &Aplka!Õês

           agoraque é possível
     Vejamos                                    angulardê uma retaa partìrdascoordenadas dois de
                             calcular coefìciente
                                    o                                                  de

   Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos
ânalisar casos 0'< a < 90'e 90'< o < 180":
      os     de
1r)0.<a<90"
                                        Sejã Íetadeterminada
                                            Ìa               porA(,yr)e B(x,,
                                                                             y:)e seja
                                                                                     C(x,,yr).
                                        NoÌriánguloretângulo
                                                           ABCG é reto),
                                                                       temos:
                                                 d(C.B)        Av
                                         -       d(4,C)        Ax        xz    Xr
                                        Então:

                                        -_ v,      v1



2r)90.<o<180"
                                                      A(x,,yr), yr)e c(xtr,
                                                             B(x,,       y1)
                                                                retángulo (e é reto),temos:
                                                      NotÍiângulo        ABC
                                                                              .l/a aÌ
                                                                                           ^v
                                                                              d(A,
                                                                                 c)        Àx
                                                      Comotg(180" o) : -tg e, vem:
                                                                    v,
                                                                    4     v,
                                                                          ,ì                         Àv   ,2    ,l
                                                        tqo                             - Ìaa-:jL=
                                                          -         x -x .     -m          -         Ax   X : -^ ,
                                                      Então:



   Obsêrvequex, xÍjá quer nãoé paralela eìxo
               +                      ao    y.
   Podemos           se     yr)e
           concluirque, A(xr, B(xr,yr)são pontos
                                         dois              quaisquer retaÌ, quenãoé paralela
                                                   distintos      na                       ao
eixoy(xr xr),a
       +     declividâdeo coeficiente
                      ou           angulaÍde indìcaremos m,é dada
                                             Ì,que           por        por:

                                                          v.    v,
                                                 ^v
                                                 ax       x:    Xr


    Assim,temosduâsmaneira5 obteÍ o coeficiente
                          de                  angular de umareta,quandoele
existir:
. conhecendoainclinaçãooda              m=
                         reta,calculamos t9 d;

. conhecendodois                                     y':                         yr
              pontos
                   A(xr,yr)e            calculamos :
                           B(x/yr)dareta,       m                                   .
                                                     x:                          Xr

   Naprática,é
             maisdifÍcilobterâìnformâçáo
                                       sobreã inclinàçãoda porissoé importante
                                                         reta,               nuncaesquecerque
rn=J:-Jror.;     Yr, Y:


ObseÌvaçáo: Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicar âlinhamento três pontos,
                                                           o           de            comparando
                                                                                              os
           angulâres retasque passam
coeficientes       dãs                  pelospontosdois a dois,Porexemplo, veíiÍicâçáo alinhamen-
                                                                         na           do
to de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65         q66rÍs f!-l]!
                                                   vsrifiça1ss                             =
                                                                               Ficaa seucÍitério
                                                                       :.
usaresse
       métodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmento náo de três pontos.
                                                                          ou
-
(apíülo1 ' Gúmeíiâ ftìGr
                 ana poÌrrorcta
                          e
                                                                                                      21


 14. Calcule coeÍciente
           o          angutar rctaquepassa
                           da            pelos
                                             pontosA[2,3) B[4,D
                                                        e                        Oânsulooéasudo
     Resoluçâo: '                                                                [0'<d<90'],poìs
              7-3         4 =2oum= "                                             ConÍÌrm€
                                                                                        aonsrrulndo
                                                                                                 a
                                        =     a =t
              4'2         2        242-                                          frguÌaaomA€8.



                ì
         propostos
  Exercídos
 :ìi:.,Determine coefrciefte
                  o           anglrlar dectivìdade)
                                     [ou         da
       |eraquepassâ  petospontos:
       al4t3,2) e Bt 3, -r)
       bl At2,-3) e Bt-4,31
       cl P,t3,2l e P,t3,-2)
       dl Prt l, 4l ê P,t3,2l
       el P(5,21 qt 2, -3)
                 e
       0 4t200,  100) 8(300,801
                      e
 ll:   Seo é a Íned da Ìncl
                   da     nâção urnê e m é a sua
                              de      rcta
                 (o!
       declivdâde coeÍìciente
                            angLtlat,
                                   cornplete
                                           a raDeEl



         Equação reta quandosão conhecidos ponto
               da                        um
        Á(xo,yo) e a cieclividade da reta
                                m
    Jávimosquedois  pontosd istintos
                                   dêtermina umareta,ou seja,
                                           m                dadosdoispontosd istintos,
                                                                                     existeumaúnica
rètaque pâssa
            pelosdoispontos,
    Damesma  formã,um ponto A(xo,yo)e declividade dêterminâm
                                      a         m                                    p(x,
                                                              umaretâÍ.Considerando y) um ponto
genérlcodessareta,veremos sepode chegaraumaequação, variáveis e, a panÍrdos números yoe
                         que                             de       x                        xo,  m,
que seíâchamadaequacàoda rcta r.




 15" DetenÌin€ equação retar quepassa
               a         da         peloponÌo
     Al4.2l e tenìlnclinaçãode
                            45..
       Resoluçâo:
            consdefar pontop[x, y] q-ue
       Varnos       Lm                penence
                                            ã

       NotfiânguloAPC é fero],
                    [ô       temos:
               ãT'   Dì

               UIÀ, UJ

       =y-2=Ã(x-4)=y-2


                                                               Os paÌes y] quesatisfazem
                                                                        [x,
       =y-2         x+4=0+-x+y+2=0+                            eçsaisualdãd€(soluções
                                                                                    da
                                                               equâçãol r€presentam
                                                                                  os
                                                               pontos rêtari t0, -21,[5,5J,
                                                                      da
       Logo, equação                                           tlo,8l,( t _t e oütr3s.
           a       pedida
                        éx       y - Z = 0.
22                                                                                                  . (omeÍro Ap
                                                                                             MatemáÌka      & kaçõe5


 16, Deteffnineequação rctar quepassa
               a       da              peo pomo        Sem = -2, então Jìcinação ré urnâìguo obtu,
                                                                       a         de
                         angulaf = -2.
     A[5,3) etemcoeícierìte    m                       so,ou seja. 0 : 2.
                                                                 tg
                                                       NotrlánglloACP,retángLr C,emq!€ P[x,y] é urn
                                                                            o eÍn
                                                       p0nt0g€nófco rcta,
                                                                    da    Ìernos:

                                                         2=i-y                  3 = -2[x                5)-

                                                                      (y
                                                                           {J=
                                                                               yo)    fr(x    to)

                                                       1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ =
                                                       =2x+y     t3=0
                                                                                                                       f
                                                       Então, equação rctaré 2x + y - t3- 0
                                                            a       da




               podemos
    Genericãmente     obterâ equaçáo retaque passâ um ponto A(xo,
                                   da            por            yo)etem um coefìciente
                                                                                     ân-
gular
    m:




                                          Considerando ponto P(x, qualquersobrea
                                                     um         y)             reta,temos:

                                     m-    Y-Yo       y-y":m(x-x^)
                                                  -




ObseÌvaçõesl
1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe m serpositivo nêgativo da localização pontoA.
                                       de             ou        e           do
2:) Sea retaé paralela eixo)ç temosm = 0 e â equaçáo retasêrá
                     ao                            da        dadâpory = yo.
3ã)Sea retaé paralelâ eixoy,todosos pontosda retatêm a mesma
                     âo                                      abscissa equaçáo
                                                                    ea      sêrádãdapor x: xô,




 17. Deteffnine €quação retaqle passa
                a        da          peloponro         R€solüção:
     A(-1, 4) e Ìemcoefciente
                            angul€r
                                  2.                   Jásabernos calcuÌaro
                                                                como      coefrciente
                                                                                   angularda
                                                                                           rcta
     R€dução:                                          determináda pontos ], -21 e B[5,2):
                                                                 pelos  A[
     Usando equâção - yo]= m(x xJ, temos:
          a       [y                                                  2+2                           2
                                                       n=Ys-]yA           -4
     Y-4=2[x   t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l +                 xe -Xa      5+l    6                      3
     .+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y    6:0=                    usando pontoA[ ], -2l,temos:
                                                            o
     = 2x y+6=0
                                                       y-t   /ì-^(        |         ll-i'2-'-t.'lJ-
                   é 2x y + 6 = 0.
            procLrmda
     Aequação

18. Derermineeqirâção r€taquepassâ
             a        da         petos
                                     pontos            =3y+€=2x+2ã2x                     3y         4=0
 -  At-], -2) e Bts,2l.                                Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y                   4 = 0.
:

    CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra
         1'


        outta resolução:                                           0s pontos r têrn
                                                                           de      ordenada quaquerqueseja
                                                                                          7,             a
        Chamando P(x,y) um pontogenéÍico retaAB,
                  de                      da
        podemos  aímãrqLt€ A e I estão
                          P,         alnhâdos.
                                             Logoi                 Logo, equação ré y = 7.
                                                                         a      de
          V]
                   l                                               Podemos       jlstiÍcarass i seÍé pâÉela
                                                                           tambérn           m             ao
        l-l    2 ll:0:+-â+5y-2+10+y        U=A=                    €ixo temcoeftcient€
                                                                       x              anguiaÍ = 0.
                                                                                            m
         5 21
        =-4x+6y+8=0=                                               Log0:
        =4x-6y       8=0=2x     3y-4-0                             Y   7=0(Ì   4l=y    7=a+y=7
        A €quação fetaAB é 2x 3y - 4 = 0.
                  da
                                                              oJ
    19, DeteÍmÌnea equação retanosseguintes
                          da                casos:
        al r passa [4, , e é paráteta e]xo
                 pof               ao    x.
        b) r passa (4,, e é paË€taaoeixo
                 por                     y.
        Resolução:
        êJ




                                                                 Ser é pâralea eixo seus
                                                                             âo    y,     pontos abscissa
                                                                                               têm
                                                                 4, quaiquer seja ord€nâda.
                                                                          que    â
                                                                 Logo, eqLiação fetaré x = 4
                                                                      a       dâ




          propostos
    Exerddos     ,
     r' DetenÌìne eqLração retaqLte
                 a        da        saÌisfaz segutnt€s
                                           âs                 dJPassapelos
                                                                         pontosA[3, e Bt-5,41.
                                                                                  ])
        condlgôes:                                            el Passê
                                                                     peopontop[-3, 4] eé pamtela exoy.
                                                                                               au
        a)A declvdade 4 e passa ponto
                      é        pelo      A[2, -3).
        b)A nclinâçãode 45'e passa ponÌo    p(4, ll.    29,   Vedftq!€ o ponto
                                                                     se        p[2, 3) penence fetaÌ quepassa
                                                                                             à
                     é            peto
                pelo
        cJP€ssa pontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre               pelos
                                                                  pontosA[ì, e B(0, 31.
                                                                            ]l
                                                    €n_
          gular
              0.



t
      Vimosque a êquação retaque passâ um pontoA(xo, com dêclividade é dadaporl
                       da            por           yo)             m
                                           Y-Yo:m(x_xoj
    se escolhermos ponto particulãr n),istoé, o ponto em que a retaintersectâ
                 o                (0,                                       o eixoy, parao ponto (xor
                                                                                                    yÕ),
teremos:
                               y- n - m(x-0)+y-       n : mx+y= mx+ n
      o númeroreaI n, que é a ordènada ponro em que â reta Intêrsecta eixo é chamado
                                      do                            o     y,
.                                                                                   coeficiente
                                                                                              linear


                                                          Lcoêt5crênre tinêÍ
                                                     Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes
                                                                                                    &

    Essaforma é especialmente
                            importantepoÍque permiteobter o coeficiente
angular uma retaa pâftirde uma equação,
       de                               alémde expressar claÍamente  a
           y
coordenãda em funçãode x.
    Éconhecida como formdfeduzido equãçáoda
                                dã          reta.



íì

 20. Detemne o coeÍcient€
                        ângular o co€Íìc
                               e       €nt€ neaf                    rn =
                                                          SLrbstituindo 3 naparne eqLração
                                                                                |a       remos:
     da fetadeequação + 3y : I
                    2x                                    3-n=_5=        n=_8=n=8
     Resoluçào:                                           Logo,âequação               = 3x
                                                                        coffespondenteéy + 8.

         2x+3V=l=3v=        Zx+l:v:       ?x+]
                                          33
                                                                  Faça exercÍcio
                                                                     o          r€solyido de
                                                                                         2l
     Logo, coeÍcient€
          o            angLraf rn: : e o coeÍcente
                              é                                  umaterc€ira    rnanêirâ,
                                                                                        usndo o
                 lr
                 3                                                 X      Y ìI
 21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u.                     -l       5r
     passa pelospontosA[],51e Bt-3, t).
                                                                    3      t1
     Resolução:
     Vârnos,incalm€nte,  cacular coefcient€
                                o         anguafd€ 22. Detemne
                                                                 â equação     fe.llzida r€ta coftaos ei
                                                                                        cla    que
                                                       xosnospontos 5, 0] e [0.3].
                                                                       [
          v" v.         l5-6
                                                       Resolução:
                      -3+t        2 -                  A€quação daforrna = rnx+ n e.como Íetacorta
                                                                 é             y                   a
     Usandoponto ].5l.temos:
            o       A[                                 o ex0y em[0.3],    ternos = 3.
                                                                                  n
     Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+                        Ficân'ìosentão, y = mx + 3. Como retapassa
                                                                        com                       a
     +y     5=3x+3+y=3x+8                              Ìambem ponto 5,0].
                                                               peo                   vern:
                                                                            [
     Looo. pouú!;o o(
          "
                     p            -3 -8.
                           "d"ei                       0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9
     Autu resoiuÇàt                                                                          5
     A equação Í€duzidê rctaé dafoÍma : mx+ n
                        da            y
     Corno passa [-] 5l temos:
          ea        pof                                Logo €qìração
                                                             a           pfocuÉdê = :x + 3.
                                                                                     éy
     5:m[ ]l+n                                     23. Delenìlne €qlação
                                                                 a            feduzda rctar quepassa
                                                                                       da            peta
     Corno tambérn
          ea          passa [ 3, ]l,vern:
                            pof                        orrg€rnteminc Íìação 60'
                                                              e                  de
      I =mi 3l+n
     0svaofes m e n seéocaculados Í€solução
              de                     pela              Resolução:
                                               do
                                                       A equâção ÍeduzÌda r é dafoffna = mx+ n
                                                                             de             y
                                                       Corno rpassa   pela ofgem(0,01,    tenìos = 0
                                                                                                n
     fm -n = s ['+/=s                                  Como ncinação de 60",então:
                                                             â            é
     [3m n=]          lsÍl í:r                         m=ts60'=!ã
                       2rn:6=rn=3                      Logo, €qlação
                                                            a            rcduzi.la.le y = Jgx.
                                                                                      re



 Exercício-spropostos
     :   Dada reta
              a     quet€rn eqLração3x4y = 7,detefm
                          a         +             ne     Escr€va foffìraÍedu
                                                                 fa
         s!a decividad€.                                 zda a eqLração reta
                                                                         da
                                                         que passapeos pontos
 r" Determne eqdação fetade coeÍicent€
            a        da               arrgla             Plr-2. e P't-1, -51
                                                              7)
    m = 2 e queIntersecta y no ponto
                       o exo       A[0, 3J
                                                         EscfevaeqLrâção:
                                                                 a
 .l      Uína passa ponto ], 5l €rem
            reta  peo   P[          coefcien             al darctabssetrizdos
                                                                            quadrânÌes
                                                                                    ímparcs:
                                                         bl dafetab ssetdz quadÉntes
                                                                         dos        pâÍesi
         te anglrlâr = :-. EscrevaequaÇão rctanaforrna
                  rn             a     da                cl do exox;
                                                         dl do exoy.
(apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch


       Snrmasegmentáriada equação da reta
   Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),inteÍsêcta êixox no ponto A{a,
              uma                 por              o                    QJ Intersecta eixoy no
                                                                         e          o
ponto A(0,b).




     Calculando coeíiciente
              o           angular,temos:
                                                              o_b                 b
                                           .                  â-0                 a
     Usando foíma reduzida : mx + n, em que m =
          a              y                                            !    n : b, u"r,
                                                                       a "                            Podenoscì€gàrão m€smo
                                                   b                                                  resultãdo
                                                                                                             tonsiderando
                                                                                                                        !m
                                   Y= -                x + b+ay=    -bx+ ab=bx + ay= ab               pontogenérìco y) e
                                                                                                                  Ptx,



                                                                                                      -,""," ll..
                                                                                                         ltbã
     Dividindo doismembros
              os          porâb (a + 0 e b + 0),têmos:
                                bxâvabx
                               ---' +
                                aDaoabati
                                                  =) - +::1                                              lo r
                                        -=-
     Esta â forma
         é      segmenfárd equação retaquenáopassâ (0,0)e intersecta eixos pontos
                        da       dâ              por              os            (ô,
                                                                         nos      O)
e (0,b).
Exemplos:
1e)AfoÍma  segmentáriâ
                   daequação retâ corra eixos (5, e (0,_21"a .. -L = 1.
                            da   que    os    em O)
2e)Aretacuja equação  naÍorma  segmentária + I : .l (ortâoseixos (5,0) (0,2).
                                          éI                   em    ê
39)Sey:2x 5 é a equaçâode Íeta íorma
                               uma na                 podemos
                                               reduzidô,     chegaÍà
                                                                   forma segmentárÌa:
  y = 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r      :- + I  : j
                               55:-s     -
                                             2
  tssàretacorla eixoç
                os       em - . 0J e (0, 5,
                            l
                           ì
.,     ......,              l
24- Escrevâ íonÌa segrnentáda
          na                a equação rcÌaque
                                    da
    passa
        pelospontos -]l e [-2, 4].                                      = -! 1 -, L = r
                   [j,                                                        14          -14
    Resolução:                                                               Tb
    Determinamos
               o coeÍcient€
                         angulâr:
                                                                        Outraresoluçao:
     m=              =_1::
                                                                        ConsideraÍnos     gené co p(x,yl e fazemos:
                                                                                    o ponto
     Usêndo ponto
          o      [3, ]1,ternos:
     y+t=-[{


     ^gom
          vâÍnos
                 I
                      3]
               obÌeraeqlraçâo íorma
     y+l=-[x-3]=5v+5=3À
                            na    segrnentáÍìâ:
                                                                        l;ir
                                                                        -a
                                                                             -x       4    12- 2-3y +4x= 0=
                                  9+
                                                                        33;1-5y:14341-L=1
                                                                              '
     ì3x     qv=,r-3*-5Y
             5y = t 4 -1        :l = t=
                                      -,       .                                     14   -14
     - 3x
                                                                                     ã5
26                                                                         ,              (onrexro
                                                                                 íftremátka.    &Artka.óes

             propostos
     ExeÍ(í(ios
    35, Escrevâ foffna
               n€                 a equação retaque
                       segrnentáÍia        da          ' Nafg!É dada, ponto é a of gern sstemâ
                                                                      o      O         do        de
        satisíaz seguintes çô€s:
               as        cond                            coofdenadas oftogonaisOABC uÍnquadrado ado
                                                                              e     é             de
        al Passapelos
                    ponlosA(3,01 B[0,2]
                                 e                       4 Sabendo M é o ponro
                                                                    que          rnódio O*A N, o poJìb
                                                                                      de    e
        blP€ss€ pelos
                    pontos 0.)_q decliviçade
                          A(5,     tem        2;         médode OC,escreva equação rctaqlr€psssa
                                                                            a        da              por
        'c$kssapetospontoíp,3r:      p"trâs);
                               -3),e                     C e M e a equação fetaquepassa
                                                                          da            porA e IÌ.
        oìSud eq-açao /,ore i - -ì - 5
                      êo
    :i ii, NaíguÍEdâda, ponto é aoÍigem sistema cooÊ
                      o     O          do     de
           denadasorrogonais
                          e OABC umquâdEdo ado3.
                                 é           de
           Escre s equ€çãoda sLrpoi€ diagona
                           rcta       da     AC                                                              Í




           geratda reta
ftll Equação
      Todaretado plânopossuiumaequação
                                     dêÍormai
                                             âx+by+c-O
naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta.
Exemplot


          ì
.y       :x   - I podeserescrità tormà
                              nà      geralpor I ay -4=O-
                                             3x

   xv    = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0.
.     t
   Z t
. y:5, queé pârâlela eixoX podeserdàda
                   ao                   porox+ ìy- 5 =o,
. x - 2,queé umâretavenical,
                          podeserdadâ   por 1x + 0y    2=0.
.y - 3 5(x- 1)podeserdada   por5x - ly - 2 : 0.
       -
Observaçôes:
13) Vimosque a equação retapode serescrita várias
                         da                    de     formas, resolução exercícios
                                                            Na          de          devemos escolhera
    maÍsconveniente relaçáoaos
                      em            dadose à proposta problema.
                                                     do
    Assim:
    . nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo);
    . nâ formareduzida mx + n, jdentificamos inclinaçáoo
                        y:                      â          (m: tg o),o pontode interseciãoda
                                                                                           retacom o
      eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n);
                         I
      . naformasegmentària + + = t, idenrificâmos pontos intersetção retacom oseixos: O)e(0,b),
                                                os      de         da               (â,
                             b
                        x
                        v tl
     . quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos fazêrcálcu doispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr),
                                            sem        los
                    Y,   1
     . aformageralax by + c:0 podeserobtida partìrde
                   +                       â       quàlquer dasantêriores.
                                                          uma
Apftulol . GeoneÍia
                 daÌítjor
                        p0nÌo
                           ereta

 2ã)A mesma pode diversas
            reta    teÍ         representações
                                           naformâ  geral, seja, + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0,
                                                         ou      x
      x 2y + 1= 0 e inÍinitâs
                            equaçõesequivarentes      por
                                               a essa;. e.r" i"reo,e pr"r"riuut      ,,obter
     equação
           geralda
                 reta,,a,,obìer                                                            umd
                              d equacãogeralda comonoexercício
                                            reta,,,                           "rcrever
                                                                  resolvido abaixo, exemplo,
 31) Dadaumaequaçao                                                       26       por
                   gerarde retar: ax + by + c = o,seucoefìciente
                           uma
    ,sanao.n.-.                                                   " o"ã"_ì"r"0,'0"rapidamente
                                                               ""n"i", '
                   ou-.                                                                    ffi---
4') A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_..
                                                               à   
                                                                            1. ll*,"*".,,",i- l
                                                                          '         b/                          ,,
                                                                                           Jobservàcò€s

                                                                                                                     Í
 25. Escreva fomâs reduzÌda,
             nas               segmentáfa gera â
                                           e             ConoA,B e p estão   alÍìhados,devemos
     eq!€ção rerâquepêssa
             da              p€toporìto _6J e tem                                                tefi
                                       [],
     Inctnação t3b.
              de                                              t
                                                         ]'
     Resolução:                                           I   4 '] = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 =
                                                                   I
     Pelosdados prcblema mais
                do         é     coJìveniente
                                            escrcv€f         1s-: ri
     rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r.              ,- 7x+ 2y - 15 = 0
     Uomo = 135".
          a        então:                            zr. ê rgL' " ddd" .o po ro O e d
     rÌ=tga=tgt35o=      l                                                             o.i geì oo st,, I d o-
                                                         coo del add)otogonar e qB C Dê         qLèr doo ae
     E,como retapassa [], 6),temos:
            a        por                                                                    -n
    y+6=-t[x-]l                                          èdo3J2 -s.Íeê Lnà poLêç:o    gpra, retêdeÌetr
                                                                                             oa
                                                         nâdap€os ponÌosA e D.
    Daiveml

                     5_          |
      |  " --"
    . Ìorma  segrnentãria:
      y + 6 = - x + t = ì+y=    s=-]:+{          =r
    . foma  o€ral:
      y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 +
      +x+y+5=0                                              Resolução:
                                                           S€a ÍÌgu|a !m quadÍ€do
                                                                    é             Ìemos = OD.
                                                                                       OA
                                                           ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g.
     . Essa reminctinaçàoI35',
           ÌPtã           de    passpeto
                                       ponrc.              lo AOD temos
       r/, ôJ€ conãeixos [ 5,01eÍ0,_5ì.
                       €m                                  fAD -rAO|      OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_
     . O^rnân€ulo eta
                 qu€ d€rêÍmina oseixos !m
                              com        e                    2[oA]:= 163 1941: e = 64 =.
                                                                                 =
       InangutoretànsÌrto
                      lsóscetes. a medtda
                             cltcute       dà              -
                                                           spnooêçcn. no is pr a d- coordenaoas
                                                                                              o1oou,
                                                                                                   ar,
                                                           temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l
26, Dere-r-,ne
            ,.o            9",u, ,"trì*1,-o,o o",0.
                               o"                          umaequação  geral fetadeteffninâda DonÌos
                 "qur.;o                                                   da               peios
   pontos
        A[], 4) e B[3, 3)                                  AeDédadapor:
   Resolução:
   Vanìos
        caÌcu a dectivÌdadefeta:
             âr           dâ
                                                           l'     v tl
                                                                  o   I = o + -s + 3 y -3 x = o +
                                                           ] -:
                                                           lo 3 r l
   Conslderando
             o ponto
                   A[], 41,
                          ternos:                          =3x 3y+9=O=x-y+3=0
                                                           Loqo.Lr
                                                                 êequeÇão
                                                                       ge.dtoètetae., _ j _ C
   Y-Y =mLx x j=y       4=-:[x-]l=
                             2-                       .o. LreÌe^-Trne
                                                                   os oofÌosde i.te.òecç;o et oe equd_
                                                                                         oê
             77
   =y-4 =--x+_+2v-8=              7+73                   ção3x   2y- l2 - 0comoseixosxey
                                                          Resoluçào:
   =7x+2y       15=0                                      o ponto intercecção o exox t€rnordenada
                                                                 de          com                   0.
                                                          Logo,
                                                              íâzendo = 0,temos
                                                                      y
  Auïa resaluçaa:
                                                          3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+
              unì    p[x,
  Corìsderamos porìto y] quatqler rctaque
                                da
  passa ospontos B.
       pe         Ae                                      Então, retacortro eixo noponto 0].
                                                              a                 r       [4,
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Cap.1 geometria analítica-ponto e reta

  • 1. t GeemefrÍo enalÍiÍca: pantoercta tabeleceu Vi'ii:ü;xíïi'"--"rir relaçõesentrecurvasno plano e equações algébricasem daas vaúáveís.As propried.ades geométricasdas curvas fo- culares,ond,e cadapontof,ca perÍeitamehte r^m, assim,'traduzidas" meiode equa- por identif,cado por sua poiíçã,o.Imagine que ções osresultados álgebra e da foram ínter- vocêqueira índícar oncledeveser colocado pretadx geometrícawent4nós E ganhamos um pregonumaparede- bastadizer a qae conl ísso, poís temosmaitas vezes maisía.ci altara eledeveestardo chãoe qual suadís' lidade com a Álgebra ou corna Geometría lànciaa uma paredelaLeral. Fazendo isso, glaçasa essa comprees^o,e a pa.ssa.gelnd.e voeê estaráaplicando ewttctmente púncí- o uma representação (algeb .a oa geométuí- pío de representação pontos no pl,ano ca) à'oatrn toma clarososconceítos dos mate' cat'tesíat1o a cacía - posíçã,o plano fica no mátícos. associ1.do ponto. am Descartes estova,acima de tado, empe- Foi RenéDescartes (1596-1650), filóso- nhad,o descobrír em umafórmala quedisct- fo famoso por suafrase: "penso,logoerísto': plinasse mciocinio unifcasse conheci. o e o que, percebendo essaconespondêncía, es- mento,Sua obut maisÍamosa.,o Discurso do metodoparabem ccinduzìr razàoa e procurar a verdadenas ciêÍrciag de 1637, contém Lrèsapëndices ilustramo "mè- que todo" com exemplospráticos. LÌtu desses apêndices, chamadoA Geomelúra, contém as ídéias básícasda Geometríaanalítica
  • 2. VamosÍecordaf âp icação representação pontosno a dê de (cham anteriorm ntedc Geometri panocârtesiano. A lustraçãoabaixo mosÍaumasaa ceaua. ada e a cartesi ).Ësse ana simples ndiceécon- apé siderado alguns por estud iosos "maioÌ o avaço, em um sópasso,11o progresso d.as cíêncías eratas: Oufro estudioso Matenàtica que da r colúríbaiu p6ríí o desenvolúmento da GeometrÌa analtticaíoi ofrancèsPiene Fefthat (1601- 1665). Sua cohttibuiçào nes.e Lampo numtertodenominado eslà lntroduçãoaoslugaresplanose sólidos pot escrito voltade 1636.porém publi-i a)Locallze mesaque esténa terceiía a fileka, partirdã parede a quecontêm lousa/ naprimerãíle ra, partiÍdêparede a e a que cado14 anosdepois suamorte.Assím d,e contéma poíta,marc.ndo,a coÍì um X. aomoDecartes, Fermat associou eqaa- b) Representa asmesas ndo num p ano, acoÍdo de com oesque- ções curvasesuperíícíÊs, a maa seguiÍ, rnãrcou suacorna letÍap. ExplÌque PaLrlo a como Ernbora comuma idëiadeque seja estásltuada mesa Pau (vocêpodetomarcornoexem a de o ploa maneiÍa descrita Ìtern no a). a Geometuía analítíca é uma redaçãa da Geometria Algebra, escritos à os de Descartes mostram que saapreocupa- trtrtr ção era a. cottstraçãogeométrící e a possibílidade encontrar corres- d,e um trn n 2e pondente geométrícoàs operações al- ntr tr gébricas.Já com rclação a Ferma.t,o usode coord,eadassurgeda aplícação n n tr & da Álgebru da Renascença proble- a c)Seconslderarmos eÌxos, coincjdÌndo a pãredêda dois um corn mas geométrícos Antíguídade. Isso da lousa outrocorÍìa parede porta, e da sendo inteÍsecção sua a mostra qae os caminhos percorridos oílgerndessesisterna êlxos, repreçentarmos de e a posjçãô de por eles foram índ,ependentes, século O cada por mesa metode parordenado n), Lrrn (m, noquaméa XVIIÍoi, assim, distância parede ponaà mesa n a distância paÍede da da e da marcado um gran- por da Ìousa mesa, uaI par corresponderá çãoda rnesã à q à pos de de avançona Matemátícaao ser esta Pau o/ desligadad,asimplesaplícaçao às ne- d) lvlaÍque, esquemã no acÌma, mesade Rosa, a representada cessídades econômíca,s e tecnológíca.s, poÍ (1,3)e dê Martã, a repÍesentadd (2,4). por Começaremos estudoda Geome- o tria analítíca, nestecapítulô,por seus elementos púmítívos, o ponto e a reta., obseruaqdo como a recarsode proces- sosalgéb cos ímprime uma precísão qasmedídas noscá.lcalos e coL- e não trada na Geometriae como, por oatro lado, a representuçAo geométríca torna lt concfetasas expressões algébrícas,na maíoría das wzes Ìão d,bstratas. I
  • 3. 10 . (onterto ttatemi,rka &Aptk4ôês ff? sistemacanesiano ortogonal Existe umacorrespondência biunívoca entreospontosde plânoeoconjuntodos um paresordenãdosde números reais, é,a cada isto pontodo planocorresponde únicoparoÍdenado um (x,y)eacada parordenado y) está (x, associado um únìcopontodoplano.Arelação biunívocâ é única, não depende sjstema eixos do de onogonais adotado. Para estabelecer dessas uma correspondências biunívocas usados são doisêixos ortogonais(eixoxê eixoy)que íotmam o sistema cattesianoottogonol, Aintese<çáo dos eixosx e y é o ponto O, chamadode o/iqemdo sjstema. Exemplo: Ao pãrordenado números de reâis: . (0,0)estáassociado ponto O (origem), o I . (3,2)estáassociado ponto Â; o . ( 1,4)estáâssociâdo ponto B; o . ( 2, -3)está âssociado ponto C; o . (2,-1) estáâssociâdo ponto D. o Considerando ponto Â(3,2),dizemos o que o número3 é a coor- denada ou a abacÍt9 do ponto Aeo númêro2 é a coordenada x you a oidênâdado oonto A, Observaçôês: 1.) Oseixos e y chama seeixos x m coordenadosdividem plânoem quâtro e o regiõeschamadâs quddrontet cujaidentìÍcação feitâconforme fìgura. é a O sinalpositivoou negativoda abscissâ dâ ordenada e variade acordo com o quadrante. 2q) Seo ponto P pertence eixox, suas ao coordenadas (a,0),com a C lR. sáo 31) Seo ponto P pertênceaoeixoy,suas coordenadâs (0,b),com b € lR. são O pontoOtO,0l pertence doiseixos, aos 4ã) SeopontoP penence bissetriz quadrantes à dos Ímpares, coordenadastêm suas ordenãdô iqualàabscissa, ou seja, dotipo{â,â)coma e R. são 5?) Seo ponto P pertence bìssetriz à pares, dosquadrantes suascoordenadastêm abscissa ordenada e opostas, òu seja, dotipo (a,-a)com â c lR, são
  • 4. . Qpílülo1 GqgmeÍia ponto analÍtka: êÍeli 'tl propostos Exercí<ios l.obseÍÌe a ÍguÍa e d"tetn ê oò porÌos o- sô,è. ce 3. Nofetângu daiigura, = 2aeBÌ = a. Dêascooroe- o ÃE suâs cooÍdenadas nadas véftices rcünguo dos do clc d)D 4. 0 èlo dek,. ab"roo o oo-.o " oLe P . 2k pele- t ceà bss€trz quadÍantes dos ímpares, é: a) .pl -r. r dr "),+ + "r+ 5. O Éio da cìrcunfeÉncia f- da glrmrnede undadesQuais 2 sãoas coordenadês pon dos tosA,B,CeD? 2. ÍVlarque sisternâ coofdenadas nurn de cartesianas orto- gonais pontos: os a)Atr, íl Nt0, -ìl -21 6" Sabendo P[a b], comab > 0, emqu€quadrante que s€ blDtO,3) d ci4, 4) cl qt3 :2). encontm ponto o P] hlM(-4,ol dt-a---tã D Rt3, o) 7. Sabendo P[2m+ 1. -3rn 4] peftence terceifo que ao e)P(-1, 5l quadEnte determin€ possiv€is os valofes de m feas ffil Distância entredoispontos Dadosdois pontos, e B, a distânciâentreeles,que seráindicadapor d(A, B),é a medidado segmentode extremidâdesAe B, Exemplos: te) 3e) d{A,B) = 3 1:, d (A , B )= 2 + 4 : 6 B(-2,4) l. L 3 ot-r,,rf'' " d ( 4 8 ) = 3 + 2 :s d(A,B):4 1=3
  • 5. 12 . ConreÌro&Ad ÀlatemáÌ.à (àóe5 : ld(4,B)]'] 3':+ 2'?+ d(4,B): 14J [d(4,8)]'z 3: + 5, + d(A, : út B) - Podêmog que indica â dìstânciã determinaruma expressão entre A e B, quaisquerque sejâmA(xa,ya) yB). e B(xB, OtriânguloABCretânguloem é C,logopodemos a relação Pitágoras: usar de (xB xÀ)': {yB ya)'? d(4, B) = úx, ld{A,B)1'?: + - 3 xJ' +(y, y^f Obseryaçâo: expressão A obtidâpâraâ dìstância €ntredoispontosA e B independe localizâçáo e B,ou seja, da deA valeparaA e B quaìsquer, Vejamos 29,49e 6-Õ no exemplos analisados anteriormente: 2 e ) a (2 , - r ) e B(3 ,-1 )rd (A ,B ):ú 3 (r)I + ( r ) 1r ) l' = ,6'+ C = ús:s 4q) a (2 , 1 ) e B ( -2 ,4 )+a i A e l :l i i2 tr2 )F+ ( a lf = ' 6' + * = r ç= : 6q)  (2 , 2 ) e B ( 1 ,-3 )+d (4 ,B ):,fr 2 )F +I( - 3) - 2) l'= !6t+ ( - sf ( = v5t Concluímos, então,quea distância pontos e B quâisquerdo entredois A plano, yB), talqueA(xa,ya)B(xB, é: e =arn. = o(,, - er ',t' * tv; vJ @_, para I veirìque ostfes I ourÍosexemPros. ,, I 1. Umpor'ìto 2) é eqüid P(a, stanre ponros dos A[3, èg 6a+/+1=4 4a+ / +4+ B[2,4) Calcue abscssa ponto a do P. +-6a+4a=4+4 I t= Resoluçâol ) 2a:-2..2a=2:+a=1 Como é eqüidistante A € B, d€vernoster: P d€ = dtP,Bl = Verifcandol dtP,A) = Jt3 - aÍ + (r z)' = .,1t2 â)' + (4 2)'1 .+ =1 G- a f' + r =út âf'+4 = =[3 a],+l =(2-a),+4= Então, abscjssa ponto é ] a do P
  • 6. Gpílulol. Geomer aãna/írkãrponro Êrel. 2. Demonstrc o ÍângLro que comvénces 2, 4]. A[ Corno : I3 + 52,podernos 65 que afÍrnaf o tánguto Bi 5. ll e ct-6 5)é sósceles. ABCé fetângulo C. em Resolução: p[x, 4. Cons urnponto y] ta queasLtadtstâncaaopon dere UrnÍángulo é isósceles qlandotem dos adoscon to A[3,2) é semprc vezes suad stânc aoponto duas a a gruent€s(med iguaisl. das Vamos calc!af, então, B( 4 ll. Nessâs condçÕes,€ncontfeurnaequação as Ínedidas ados rángLr ÁBC: dos do o quesela sâtisfeita ascoordenadas ponto com do p. Resolução: dtA. = i[.t+ A' + 0 B) 4), = Deacordo o pÍoberna, com d€vernosteÍ =" 6+s =" 4 ã = : ú d(P A) = 2d(p B) o! sejê, [dtp,A)], = 4ldtp,Bll, d(4,c) = ít-6 + 2Ì + (5 aÌ = . ,) -t2 ,r_4- 1-J- ll _y.1. = ! ' i 6 + r = fi =9-6x+xr+4-4y+yz= - =4fl6+8x+x,+ 1 2y+y,)= drB.C'- ir 6-cJ 5 -J,- 6 =9.6x1'x:+4-4y+yr: =64+32x+4xr+4 8y+4yr+ d(4,Cl = d(B Cl,o trìánguto é sósceres. Como + -3x'z- 3y, - 38x+ 4y - 55 = 0 + ABC = 3x'+ 3y'+ 38x- 4y+ 55 = 0 3. CoJìsideEndo ces osvéft At- t, -3) Bt6,ll eCt2, 5), vefique o rânguo ABC fetângu se é o. 5, A Íìred atrzdeumsegnì€nto é a reta AB forrnâda pelos pontos eqüdstanì que deA€ B. Encontre rclâção uma Resoluçâo: p[x, enÍ€ ascoordenadas y do ponto y), sabendo xe Paru tfânglo fetánguo quadrado !m ado ser o de que ele pertence medatrzdo segrnento coÍn à AB, deve guêlà soma quadÉdos outfos sef dos dos oots. A[3,2]e Bt-2 41. Re6oluçào: dA.Bì -JL6-D tt .3Ì - Jrg--6 SeP[x,y) pedence med à atdzdeAB,então = J6s= t./ãFl,= os dtP A; = 61pBl, ou seja. ldtp All, = ldtp Bll, d ( 4cl = J( 2+ rl, + i 5+31, =!6+4 , = t 3ì, _ t) /r _ ( ._2)) (i _ (_ _Jl. , = + = r: "/iã [.,4ã], =rxr-ox+9+yz-4y14= =x?+4x+4+yr+By+16=' diB,c) = ii2 - 6Í + t-5 rlz = !í6-1 36 = + 2x 12y 7=A)2x+12y= Ì êunadas = Jsz.+ (Jsz)" sz = Tnane de€xpTessafâação |as re €nÌre rey. i1tg:Eqr'!@< dados E. Ca a dstância ospontos clle entrc @ Quale a d stância ponïoA[cos a, senêJ ao porìto do al A{3 , € Btr,a) dl Mt0, 2l € N [./6, -2J B(sen -cos al? a, bl Et3, e F(3,51 el Pt3, 3l e qi 3,3l -rl I1. Umponto peftenc€ eixo âbscssâs é €qüÌdis P âo d€s e cl Ht-2, 5l e O(0, fl C(-a, 0l e D(0, 0l ra'redosoonLos .2JeBLt { euatssÍ;o coo. AL a! 3l denadas porìto do P) A tgl Á dstáncia poJìro ]J aoponro do A[a. B[0,2]é guaa [? A aosc'"ade - r oorÌoP é -6 e s. ã d stáncE ponro ao " 3,CacLreovaorda âbscssã a q0 3) e J7a. DercÍn d o-oelaoa po-ro. -F oo
  • 7. 14 . tomexto kaçóe5 Matemátka &Ap Ì 3" Consderc um pontoP[x,y] cujad stâncÌa ponto ao l :1,Demonstfe uÍntriângulocom vértices q!e A[0 5], A[5 3] ó sempíeduasvezesdstância Pao ponto a de Bt3,-21 e Ct-3, -21 é isósce e calcu o seu €s e Bí --'. e5)dsco d çoes, escÍe/a 1a eq-cÉo J perímetÍ0. quedeve satisfeita ascooÍdenadasponto sef corn do P. L,l!s!ls jlvEqr Sejam g e Ptrêspontosdo A, plano que cartesìano,tais PdivideosegmentoiiB numarazão = r nadarazão seção. dè Observe figura nâ que âbaixo ostÍângulosAPCPBDsão e semelhantes. PB Então,temosì AP X I_X P YE- Y' pB xp -xg yp-ys Coordenadas pontomédiode um segmento reta do de Dadoum segmento íeta ABtal que A(xÀ, e B(xB, vamosdeterminar coordênadãs M, o ponto de yÀ) yB), as de médiode A-B. À(r"yJ O ponto médioé o ponto divisorquedivideo segmento duaspârte5 em Sendo e B os pontosextre' iguais. A mosdo segmento com ponto médioM,teremos4 A-8, = L Ponanto: t!18 ;ì; .# =* I. -) = x , - x , = xÁ- xM = 2 xv= x" *" = l!+ ,,= _+- r = . g v : -& -r - y s - yo y*.- 2 yu - y^ - v,- y, &+ - /48 yM - yB * - r - ys yM Coordenadas baricentro um triângulo do de Dôdo triângulo devértjces ya, B{xB, e C(xc, um ABC A(xa, yB) yc),vamos dêtêÊ minaras coordenadas baricenío dec, dotriángulo ABC. ladoBc.Então = laj-lL Seja o pontomédiodo M xM y, = &+ " Seja bâricentro Íiânguloquedivide medianã êmduas Go do a AM partes, em oueumaé o dobro outra, da Nesse E = z. caso, GM
  • 8. . CâpituloI GeomerÍladèlítka: Ponanto: .lq= *, ,o ,o =r= ". 2xM= x Á x c â 3 x c = x a + 2 x M= 3 x o = * o + z Ì o & - cM xc X u -r" " Xu xc = 3xc:xÀ+xB+x.= xn = xot!+x. . *: } j + - r :} 2yM y a- y c+ 3 y c y a+ 2 y M 3 y c y À 2 y s y . = + : = = + }=zv" + 1 Y,- Y Y -Y t 'n z ys- y.- y,- Y +Y 32 - 3 yc= yo 6. Detemin€ pontornédio Ã8, nossegu M, de nr€sca- Resolução: como nal!a! Y al Ai3,-21 e Bi-t, 6) zz) 1Y. ],enuo. bl Ato,7l e Bi6, 0l - a= - r .= t**= 6ìx= _13 Aí 1 .-Lì" Bí_] ' ì "] 2 3) | 3/ -. l3+v Resolução: 24=-=13+y=48-y:35 ConsideÉndo yM], M[xM, temos: LoSo, B[-]3,3b1. alx".= - ' '=1=r 8. Caculeoscornpf mentosdasmedanasdeumtfaÍrguo '22 devertces A[2, 6],B(-4 2) e CtO,4l. - ! -' = v",= -:= a '22 Mtr,-4) bìr =i :=::? 22- 7+A 7 -1 Yv 22 "(. .i) i)","ft Resohrção: Obseruandoa ÍguÍa,temos: M, é o pontornédio adoA-Bi do M, é o pontomédìo adom; do un triângulo M3 é o ponto médodo tado m Cálcu dascoofdenâdas Mjl o d€ t2 J x= ::= l v.,= r =_ ' 22 . ïodorriânguto M Í_ ]. Lì 4 2) Cálculo coordenád€sM2i das de 7, Umâdasextrem dadesde urnsegmento o po|ro 0+2 = é *= t A(7, l3) e a ouÌÍa o ponto yl. Sendo ,- triângulo. é Bix, Mt-3,2a) 0 ponto rnédto,deterÍnrne coordenadâs extrerni_ as da 46 dade do segÍnento. B
  • 9. Ma$mÍka. ontexto Ap & kaçõe5 Cálcu dascoordenadasMs: o de .1:t^ tP ' ^ - - 04 3 v, v" v t 3l- 2 y)-2i 6-36-3y , -211+3)-3(12- á5)7=30+)?=6 v= :3 - Logo, P(S, 6). Vâmos cacular, agorâ, comprmentos Ínedia- os das Ì U. Seos vélKesde ur InángLlo os pollocAf . l) são Bt 2,3l e C(-4, 2), deteÍnìne cooÍdenadas as do lúediane sendoA(2, e Ms(-2,3): ÃMs, -6) bâfc€ntrc dessetâng!lo. d(A,M3)= {(-2 -2Í + (3 + 6)' Resolução: { lvledana sendo 4,2)eM,(1,-l): 6M,, B( dtB. = 10 4I + l-1- 2)' = rvlt + =rr5+s = l E i,4ediana sendo õM| C(0,4l e Mi[-], -21: d(c, = ./(-r ol' + t-2 - 4y r,1,) - 9. Dados pontosA[5, ]21 € B[]5, 31,deteÍm o ne G:baricenÍo [ponto encontrc med d€ das anas] os ponto Pdo segmentoÂBta quea râzão entre Ínedi' âs xo + It + xc sabernos xc = que e :. das APe PBsearouala de 3 Resolução: apz 3 PB3 5 Fazendo y),temos: P[x, I + 3 + r-2 ì 2 2x^x,5x 3 . 3 x 15 .+2t - lb) - 3(5- x)r2x- 30 = 15- 3r- Loqo, coôÍdenádâs barcenÍosão-i as do e: 0u 33 sep, -*. * I. cl +5x=45=x=9 15. DeteÍm o pontomédio segmento e*rrcmidâ- 18, Numtiárìguo sósceles,aturae a med€na ne do de a rclátivâs à des: bâse segmentos ncldentes. são co Calcule medidã a dâ a)A[-],6) e B(-5,4l âltum isósceles véÊ relatva base de urntriângulo à BC de b)A(r,-71 e B(3, -5) ucesAi5,3), Bt2,'21 Ct8,2). e c) A(-r, O e B(5,-2) 19. J.r osraleog"ÍÌo ABCD. M(l -2) e o oonlo e_ de d)A( a, 2) eB(-2,-4) que contrcdasdiagonais e BD.Sabe-se A[q, 3) e AC 16. uÍnâ das e*uemìdades um segÍnento o ponro de é 6(6. ) sàooorsvéÍtcesco1sec-ïvos. vel ilueâs Ura A[ 2, -2]. $bendo qle M[3, 2] é o pontomédio dagonàs cortam se mutuamente Íneio, ao dercrmrneas desse s€gmento, caculeas coordenâdas ponto do coofdenadas vértcesC e D. dos B[x,y], queé a oltm extrernidadesêgmento. do 20. Delerm ascoordenadas ponto yl quedivide ne do P(x, o 17. Câlcule compÍimentos medianas tÍiângulo os dãs do Apl segÍre_lo 0) e Br'7.20ì 'ìa dzão_ - A[2. cujosvédices ospontosA[0,0), 2) e C(2,4) são B(4, PB4
  • 10. (ò p i t ülol'úeoneüià a n a trÌc à :o o n t0 ê rp Ìà '17 .tïïli;."::.ï:",:",T:.:":.p^"::ï.1,-"-dlll"1" Deterrnine o bâficenrrc dotÍiânsurovértÌces3J, de 12, I s ê9. ì o etre T ro a d e? . trê r' B j F r Ìrp .ocÍ ê1r dó ls , ] ," 6 l t, È s glas Condiçãode atinlramentode três pontos Dizemos quetrêspontosdistintosestãoalinhados,ouquetrêspontossão colÌredres, quandoexÍsteumaretaque passa petostres. A, I e C sãotrêspontosalinhados. Vejamos que ocoffequandotrês o pontosA,B e C estãoalinhados: Peloteoremade Tales: AB A,B, AB x, x AC A,C, ac O AB A,B, AB Ac A,C, AC (D h - y1 Comparando e @, temos: Q x: xr_Y:-Y,_y:-!, _ Y t-Yt..> Yz -l t Y r-y, = n* Yi-yj Xu X, X:X ,X:X :X, +(x3 - xrxy, y,) (x, x,)(yj yr)= o + xry,- x3y, - -xJ,+ !ú _x2,, +x,yt+xJt =o.+ lí +xry: - xry3+ xry3 xryr + x3yr- x3y,: O Oprimeiro termo iguãÍdade da corresponde aoder"r, """," lï; ;; ;l Verifìqu€ o prìmêlÍo que podemos DâL dizerque: l"' y, rl SetrêspontosA(x| y1), B(xzyJ e C(x3, estãoãtinhados, yj) então: ]"' r' t D = lx, y, 1 l:0 lx: Y: l I L -*"0*.0*"0*o-o-.' I + coruna abs.Èsas dâs dospontos. Obseruação: Fâzendo ocâminhoinverso, podemos verifica tambémquel r v' 'l l'' y, 1 SeD:]x, 0,êntão A(xi, ),S(x,, e C(x3, são yr y,) yJ pontos - cotineares (recíproca pr.priedade da anteri.r). J l x: Yr 1l
  • 11. t8 . Màtêníio tunrxlo AplloÍôer & I l.VerÍquese os pontos Ai-3, 51, 80, ll e C(3,-1) 12. Sab€ndo ospontos -4), Bt- 1,-2) e C(2,t) que Aia, estão alinhados. estão ainhados,câÌclle ovaorde a. Resolução: Rêsoluçâo: Usando coordenadas, as cacuiâmosdeterminante: o Seospontos estão âlÌnhados, devemosteÍ: 13 5 r D=l r 1 1 =-3+15-l-3-5-3= 2 1 :A 3tl 211 =+15 15=0 Resovendoa equáqão, teÍnos: .i Corno = 0,os pontos D dados estão alinhados. -2a-8-1+ / / -a=a,+ Observaçâo: ) 2a-a=8+ 1+3a= -9âa= -3 Logo, _3. a: 13. Detêm o valofdex modo ospontosA[ 3,]l ne de que B[x,2] e C[-3, -]) sejaÍn vértices umnìesmo os de triángLro. Resolução: que Para A, B e C sejâm vé(jces Ltm os de tfiânguo, eesnãodevem estaÍalinhados. Então, l-: r rl Il z r l^ o - d-3-'+d--3,0, t geÒÍn€alcamente,pontos AÍguÊrlustra, queos dados l- 3 - r r l es6o" inhddo'.Tes ó eÍão 1JÌa Tìesìa Íelê.oL sejd, è x -x + 3 + 3 = 2 x + -6 + x + -3 o processo Ít co qLre ana gêrânte prcp edade. a Logo,I -3. x 23.Verifqueseos pontos: 25. Considerando fetar que passa uma peospontos al A(0,2),8t 3, l) e C[4,5] esião alinhados; A(- I , 2l e B[4,2) e intercectaeixo o y nopontoP, blAt l, 31, al eCt-4, 10J Bt2, podemsefosvénces detemine coodenadasoonto as do P. d€ uÍnmesmo ângulo. t 24. DeteÍm x de mane queos pontos 51, ne ra Ai3, Btl, 3l e C(x,1)sejam vértices umt ângúlo. os de âo de uma reta Seja â medida ânguloquea retaÌforma com o eixox. A medidãddo ânguloé considerada eixox para o do do a retâÌ, no senüdoanti-horário, denomina-se e ,inclin acãoda tetaJ.
  • 12. Qpilülo1 ' Gmmetria ítka: ma Fnroeera 19 Quantoà inclinação retãsnão-parâlelas eixox, podemos de ao ter: 0o< a < 9 0 o 90o<o<180o , Sea reta ré paralelâao eixo )ç dizemos que suainclinação ézêro,ou seja, : 0.. d podemos Entáo, dizerque,pârâcadaretaÍroângulo d é únìcoê talque O.< d < 180". CoeÍiciente angularde uma Íeta Consideremos retarde inclinação em relação eixox, uma d ao o coeÍiciente angularoua dêclividade dessaretaré o númerorealm queexpressa tangentêt.gonomêtrica â de suaincrinaçãoa, seja: ou m = tg,g , Vamosobservar vários os câsos, considerando < a < l8O.: Oo Parao-0',temos Para < q < 'ì80', 90" m --tg0=tg0q:0. temos cr< 0:ì m < 0. tg 4e) Para0"<a<90', Para : 90', a tg a nãoé defìnida. e Dizemos então temostge>0=m>0. que,quandoor= 90o, é, quandoa retaé verti isto cal,elã nãotem declividade.
  • 13. 20 e . Àlatemát Conro(o &Aplka!Õês agoraque é possível Vejamos angulardê uma retaa partìrdascoordenadas dois de calcular coefìciente o de Comoparao=0'(retahorizontal)adeclividadeé0eparao:90'(retaverticât)nãohádeclividade,vamos ânalisar casos 0'< a < 90'e 90'< o < 180": os de 1r)0.<a<90" Sejã Íetadeterminada Ìa porA(,yr)e B(x,, y:)e seja C(x,,yr). NoÌriánguloretângulo ABCG é reto), temos: d(C.B) Av - d(4,C) Ax xz Xr Então: -_ v, v1 2r)90.<o<180" A(x,,yr), yr)e c(xtr, B(x,, y1) retángulo (e é reto),temos: NotÍiângulo ABC .l/a aÌ ^v d(A, c) Àx Comotg(180" o) : -tg e, vem: v, 4 v, ,ì Àv ,2 ,l tqo - Ìaa-:jL= - x -x . -m - Ax X : -^ , Então: Obsêrvequex, xÍjá quer nãoé paralela eìxo + ao y. Podemos se yr)e concluirque, A(xr, B(xr,yr)são pontos dois quaisquer retaÌ, quenãoé paralela distintos na ao eixoy(xr xr),a + declividâdeo coeficiente ou angulaÍde indìcaremos m,é dada Ì,que por por: v. v, ^v ax x: Xr Assim,temosduâsmaneira5 obteÍ o coeficiente de angular de umareta,quandoele existir: . conhecendoainclinaçãooda m= reta,calculamos t9 d; . conhecendodois y': yr pontos A(xr,yr)e calculamos : B(x/yr)dareta, m . x: Xr Naprática,é maisdifÍcilobterâìnformâçáo sobreã inclinàçãoda porissoé importante reta, nuncaesquecerque rn=J:-Jror.; Yr, Y: ObseÌvaçáo: Agoravocêpode utilizâroutro métodoparaveriÍicar âlinhamento três pontos, o de comparando os angulâres retasque passam coeficientes dãs pelospontosdois a dois,Porexemplo, veíiÍicâçáo alinhamen- na do to de trê5pontosA{x| yì), B(x,,yr)e c(x3,y3)podgrn65 q66rÍs f!-l]! vsrifiça1ss = Ficaa seucÍitério :. usaresse métodoou continuarutilizandoo determinanteparaverifìcaroalinhâmento náo de três pontos. ou
  • 14. - (apíülo1 ' Gúmeíiâ ftìGr ana poÌrrorcta e 21 14. Calcule coeÍciente o angutar rctaquepassa da pelos pontosA[2,3) B[4,D e Oânsulooéasudo Resoluçâo: ' [0'<d<90'],poìs 7-3 4 =2oum= " ConÍÌrm€ aonsrrulndo a = a =t 4'2 2 242- frguÌaaomA€8. ì propostos Exercídos :ìi:.,Determine coefrciefte o anglrlar dectivìdade) [ou da |eraquepassâ petospontos: al4t3,2) e Bt 3, -r) bl At2,-3) e Bt-4,31 cl P,t3,2l e P,t3,-2) dl Prt l, 4l ê P,t3,2l el P(5,21 qt 2, -3) e 0 4t200, 100) 8(300,801 e ll: Seo é a Íned da Ìncl da nâção urnê e m é a sua de rcta (o! declivdâde coeÍìciente angLtlat, cornplete a raDeEl Equação reta quandosão conhecidos ponto da um Á(xo,yo) e a cieclividade da reta m Jávimosquedois pontosd istintos dêtermina umareta,ou seja, m dadosdoispontosd istintos, existeumaúnica rètaque pâssa pelosdoispontos, Damesma formã,um ponto A(xo,yo)e declividade dêterminâm a m p(x, umaretâÍ.Considerando y) um ponto genérlcodessareta,veremos sepode chegaraumaequação, variáveis e, a panÍrdos números yoe que de x xo, m, que seíâchamadaequacàoda rcta r. 15" DetenÌin€ equação retar quepassa a da peloponÌo Al4.2l e tenìlnclinaçãode 45.. Resoluçâo: consdefar pontop[x, y] q-ue Varnos Lm penence ã NotfiânguloAPC é fero], [ô temos: ãT' Dì UIÀ, UJ =y-2=Ã(x-4)=y-2 Os paÌes y] quesatisfazem [x, =y-2 x+4=0+-x+y+2=0+ eçsaisualdãd€(soluções da equâçãol r€presentam os pontos rêtari t0, -21,[5,5J, da Logo, equação tlo,8l,( t _t e oütr3s. a pedida éx y - Z = 0.
  • 15. 22 . (omeÍro Ap MatemáÌka & kaçõe5 16, Deteffnineequação rctar quepassa a da peo pomo Sem = -2, então Jìcinação ré urnâìguo obtu, a de angulaf = -2. A[5,3) etemcoeícierìte m so,ou seja. 0 : 2. tg NotrlánglloACP,retángLr C,emq!€ P[x,y] é urn o eÍn p0nt0g€nófco rcta, da Ìernos: 2=i-y 3 = -2[x 5)- (y {J= yo) fr(x to) 1y - 3= -2x+ l0 = 2x- y - 3 t0 ={ = =2x+y t3=0 f Então, equação rctaré 2x + y - t3- 0 a da podemos Genericãmente obterâ equaçáo retaque passâ um ponto A(xo, da por yo)etem um coefìciente ân- gular m: Considerando ponto P(x, qualquersobrea um y) reta,temos: m- Y-Yo y-y":m(x-x^) - ObseÌvaçõesl 1e)Aequaçãoy % = m(x xo)independe m serpositivo nêgativo da localização pontoA. de ou e do 2:) Sea retaé paralela eixo)ç temosm = 0 e â equaçáo retasêrá ao da dadâpory = yo. 3ã)Sea retaé paralelâ eixoy,todosos pontosda retatêm a mesma âo abscissa equaçáo ea sêrádãdapor x: xô, 17. Deteffnine €quação retaqle passa a da peloponro R€solüção: A(-1, 4) e Ìemcoefciente angul€r 2. Jásabernos calcuÌaro como coefrciente angularda rcta R€dução: determináda pontos ], -21 e B[5,2): pelos A[ Usando equâção - yo]= m(x xJ, temos: a [y 2+2 2 n=Ys-]yA -4 Y-4=2[x t ]ll =r y - 4 = 2(x+ 1l + xe -Xa 5+l 6 3 .+y - 4- 2x+ 2=. -2x+y 6:0= usando pontoA[ ], -2l,temos: o = 2x y+6=0 y-t /ì-^( | ll-i'2-'-t.'lJ- é 2x y + 6 = 0. procLrmda Aequação 18. Derermineeqirâção r€taquepassâ a da petos pontos =3y+€=2x+2ã2x 3y 4=0 - At-], -2) e Bts,2l. Aêqlaçãoda fetaABé 2x - 3y 4 = 0.
  • 16. : CapÍtulo 6!omèÍaanâtíriGrpontoercra 1' outta resolução: 0s pontos r têrn de ordenada quaquerqueseja 7, a Chamando P(x,y) um pontogenéÍico retaAB, de da podemos aímãrqLt€ A e I estão P, alnhâdos. Logoi Logo, equação ré y = 7. a de V] l Podemos jlstiÍcarass i seÍé pâÉela tambérn m ao l-l 2 ll:0:+-â+5y-2+10+y U=A= €ixo temcoeftcient€ x anguiaÍ = 0. m 5 21 =-4x+6y+8=0= Log0: =4x-6y 8=0=2x 3y-4-0 Y 7=0(Ì 4l=y 7=a+y=7 A €quação fetaAB é 2x 3y - 4 = 0. da oJ 19, DeteÍmÌnea equação retanosseguintes da casos: al r passa [4, , e é paráteta e]xo pof ao x. b) r passa (4,, e é paË€taaoeixo por y. Resolução: êJ Ser é pâralea eixo seus âo y, pontos abscissa têm 4, quaiquer seja ord€nâda. que â Logo, eqLiação fetaré x = 4 a dâ propostos Exerddos , r' DetenÌìne eqLração retaqLte a da saÌisfaz segutnt€s âs dJPassapelos pontosA[3, e Bt-5,41. ]) condlgôes: el Passê peopontop[-3, 4] eé pamtela exoy. au a)A declvdade 4 e passa ponto é pelo A[2, -3). b)A nclinâçãode 45'e passa ponÌo p(4, ll. 29, Vedftq!€ o ponto se p[2, 3) penence fetaÌ quepassa à é peto pelo cJP€ssa pontoM[-2, S] e teÍncoeíicienre pelos pontosA[ì, e B(0, 31. ]l €n_ gular 0. t Vimosque a êquação retaque passâ um pontoA(xo, com dêclividade é dadaporl da por yo) m Y-Yo:m(x_xoj se escolhermos ponto particulãr n),istoé, o ponto em que a retaintersectâ o (0, o eixoy, parao ponto (xor yÕ), teremos: y- n - m(x-0)+y- n : mx+y= mx+ n o númeroreaI n, que é a ordènada ponro em que â reta Intêrsecta eixo é chamado do o y, . coeficiente linear Lcoêt5crênre tinêÍ Lcoe6.iêntêanqúÌãÌ
  • 17. MatemiÍie CorteÍtoAplkàçôes & Essaforma é especialmente importantepoÍque permiteobter o coeficiente angular uma retaa pâftirde uma equação, de alémde expressar claÍamente a y coordenãda em funçãode x. Éconhecida como formdfeduzido equãçáoda dã reta. íì 20. Detemne o coeÍcient€ ângular o co€Íìc e €nt€ neaf rn = SLrbstituindo 3 naparne eqLração |a remos: da fetadeequação + 3y : I 2x 3-n=_5= n=_8=n=8 Resoluçào: Logo,âequação = 3x coffespondenteéy + 8. 2x+3V=l=3v= Zx+l:v: ?x+] 33 Faça exercÍcio o r€solyido de 2l Logo, coeÍcient€ o angLraf rn: : e o coeÍcente é umaterc€ira rnanêirâ, usndo o lr 3 X Y ìI 21. Dêêrn êclo.rd .o. io" o" eo.d.aodd ."u. -l 5r passa pelospontosA[],51e Bt-3, t). 3 t1 Resolução: Vârnos,incalm€nte, cacular coefcient€ o anguafd€ 22. Detemne â equação fe.llzida r€ta coftaos ei cla que xosnospontos 5, 0] e [0.3]. [ v" v. l5-6 Resolução: -3+t 2 - A€quação daforrna = rnx+ n e.como Íetacorta é y a Usandoponto ].5l.temos: o A[ o ex0y em[0.3], ternos = 3. n Y-Yr =mtx x,l+jr 5=3[x+]l+ Ficân'ìosentão, y = mx + 3. Como retapassa com a +y 5=3x+3+y=3x+8 Ìambem ponto 5,0]. peo vern: [ Looo. pouú!;o o( " p -3 -8. "d"ei 0 = Íìr[ 5]+3=5m=3+rn=9 Autu resoiuÇàt 5 A equação Í€duzidê rctaé dafoÍma : mx+ n da y Corno passa [-] 5l temos: ea pof Logo €qìração a pfocuÉdê = :x + 3. éy 5:m[ ]l+n 23. Delenìlne €qlação a feduzda rctar quepassa da peta Corno tambérn ea passa [ 3, ]l,vern: pof orrg€rnteminc Íìação 60' e de I =mi 3l+n 0svaofes m e n seéocaculados Í€solução de pela Resolução: do A equâção ÍeduzÌda r é dafoffna = mx+ n de y Corno rpassa pela ofgem(0,01, tenìos = 0 n fm -n = s ['+/=s Como ncinação de 60",então: â é [3m n=] lsÍl í:r m=ts60'=!ã 2rn:6=rn=3 Logo, €qlação a rcduzi.la.le y = Jgx. re Exercício-spropostos : Dada reta a quet€rn eqLração3x4y = 7,detefm a + ne Escr€va foffìraÍedu fa s!a decividad€. zda a eqLração reta da que passapeos pontos r" Determne eqdação fetade coeÍicent€ a da arrgla Plr-2. e P't-1, -51 7) m = 2 e queIntersecta y no ponto o exo A[0, 3J EscfevaeqLrâção: a .l Uína passa ponto ], 5l €rem reta peo P[ coefcien al darctabssetrizdos quadrânÌes ímparcs: bl dafetab ssetdz quadÉntes dos pâÍesi te anglrlâr = :-. EscrevaequaÇão rctanaforrna rn a da cl do exox; dl do exoy.
  • 18. (apíÌulol. 6úÍìetdâanaíÌtc:ponroerch Snrmasegmentáriada equação da reta Consideremos retaÌ que não pâssa (0,0),inteÍsêcta êixox no ponto A{a, uma por o QJ Intersecta eixoy no e o ponto A(0,b). Calculando coeíiciente o angular,temos: o_b b . â-0 a Usando foíma reduzida : mx + n, em que m = a y ! n : b, u"r, a " Podenoscì€gàrão m€smo b resultãdo tonsiderando !m Y= - x + b+ay= -bx+ ab=bx + ay= ab pontogenérìco y) e Ptx, -,""," ll.. ltbã Dividindo doismembros os porâb (a + 0 e b + 0),têmos: bxâvabx ---' + aDaoabati =) - +::1 lo r -=- Esta â forma é segmenfárd equação retaquenáopassâ (0,0)e intersecta eixos pontos da dâ por os (ô, nos O) e (0,b). Exemplos: 1e)AfoÍma segmentáriâ daequação retâ corra eixos (5, e (0,_21"a .. -L = 1. da que os em O) 2e)Aretacuja equação naÍorma segmentária + I : .l (ortâoseixos (5,0) (0,2). éI em ê 39)Sey:2x 5 é a equaçâode Íeta íorma uma na podemos reduzidô, chegaÍà forma segmentárÌa: y = 2x - s .+ 2x - y : s = 4 - ,L : r :- + I : j 55:-s - 2 tssàretacorla eixoç os em - . 0J e (0, 5, l ì ., ......, l 24- Escrevâ íonÌa segrnentáda na a equação rcÌaque da passa pelospontos -]l e [-2, 4]. = -! 1 -, L = r [j, 14 -14 Resolução: Tb Determinamos o coeÍcient€ angulâr: Outraresoluçao: m= =_1:: ConsideraÍnos gené co p(x,yl e fazemos: o ponto Usêndo ponto o [3, ]1,ternos: y+t=-[{ ^gom vâÍnos I 3] obÌeraeqlraçâo íorma y+l=-[x-3]=5v+5=3À na segrnentáÍìâ: l;ir -a -x 4 12- 2-3y +4x= 0= 9+ 33;1-5y:14341-L=1 ' ì3x qv=,r-3*-5Y 5y = t 4 -1 :l = t= -, . 14 -14 - 3x ã5
  • 19. 26 , (onrexro íftremátka. &Artka.óes propostos ExeÍ(í(ios 35, Escrevâ foffna n€ a equação retaque segrnentáÍia da ' Nafg!É dada, ponto é a of gern sstemâ o O do de satisíaz seguintes çô€s: as cond coofdenadas oftogonaisOABC uÍnquadrado ado e é de al Passapelos ponlosA(3,01 B[0,2] e 4 Sabendo M é o ponro que rnódio O*A N, o poJìb de e blP€ss€ pelos pontos 0.)_q decliviçade A(5, tem 2; médode OC,escreva equação rctaqlr€psssa a da por 'c$kssapetospontoíp,3r: p"trâs); -3),e C e M e a equação fetaquepassa da porA e IÌ. oìSud eq-açao /,ore i - -ì - 5 êo :i ii, NaíguÍEdâda, ponto é aoÍigem sistema cooÊ o O do de denadasorrogonais e OABC umquâdEdo ado3. é de Escre s equ€çãoda sLrpoi€ diagona rcta da AC Í geratda reta ftll Equação Todaretado plânopossuiumaequação dêÍormai âx+by+c-O naquala,becsãoconstanteseâêbnãosãosimultaneamentenulos,Elaédenomifiàdaequaçãogeraldarcta. Exemplot ì .y :x - I podeserescrità tormà nà geralpor I ay -4=O- 3x xv = I pode 1erdadana Íormageíàlpor 5x 2y 10 = 0. . t Z t . y:5, queé pârâlela eixoX podeserdàda ao porox+ ìy- 5 =o, . x - 2,queé umâretavenical, podeserdadâ por 1x + 0y 2=0. .y - 3 5(x- 1)podeserdada por5x - ly - 2 : 0. - Observaçôes: 13) Vimosque a equação retapode serescrita várias da de formas, resolução exercícios Na de devemos escolhera maÍsconveniente relaçáoaos em dadose à proposta problema. do Assim: . nâformay- yo=m(x-xo,identifìcamosainclinaçãoddareta(m:tgC[)eumpontodareta(xo,yo); . nâ formareduzida mx + n, jdentificamos inclinaçáoo y: â (m: tg o),o pontode interseciãoda retacom o eixoy (0,n) e aindâo ponto (1,m + n); I . naformasegmentària + + = t, idenrificâmos pontos intersetção retacom oseixos: O)e(0,b), os de da (â, b x v tl . quandofazemosxr y, I :0, identiíicamos fazêrcálcu doispontosdâ rêtà(xr,yr)e{x/yr), sem los Y, 1 . aformageralax by + c:0 podeserobtida partìrde + â quàlquer dasantêriores. uma
  • 20. Apftulol . GeoneÍia daÌítjor p0nÌo ereta 2ã)A mesma pode diversas reta teÍ representações naformâ geral, seja, + 2y _ 1:O,2x+4y _2=0, ou x x 2y + 1= 0 e inÍinitâs equaçõesequivarentes por a essa;. e.r" i"reo,e pr"r"riuut ,,obter equação geralda reta,,a,,obìer umd d equacãogeralda comonoexercício reta,,, "rcrever resolvido abaixo, exemplo, 31) Dadaumaequaçao 26 por gerarde retar: ax + by + c = o,seucoefìciente uma ,sanao.n.-. " o"ã"_ì"r"0,'0"rapidamente ""n"i", ' ou-. ffi--- 4') A Í e t a r t a l q u e à x-b y.c-o i n re rse cràoseixosnospontosf- !,0ì"Í0,_.. à 1. ll*,"*".,,",i- l ' b/ ,, Jobservàcò€s Í 25. Escreva fomâs reduzÌda, nas segmentáfa gera â e ConoA,B e p estão alÍìhados,devemos eq!€ção rerâquepêssa da p€toporìto _6J e tem tefi [], Inctnação t3b. de t ]' Resolução: I 4 '] = 0 = 4x+ 3y- 3 - 12- V+ 3x = 0 = I Pelosdados prcblema mais do é coJìveniente escrcv€f 1s-: ri rnr"r'en,ea.c-aL:oêorndg ,,.. n.. -,r. ,- 7x+ 2y - 15 = 0 Uomo = 135". a então: zr. ê rgL' " ddd" .o po ro O e d rÌ=tga=tgt35o= l o.i geì oo st,, I d o- coo del add)otogonar e qB C Dê qLèr doo ae E,como retapassa [], 6),temos: a por -n y+6=-t[x-]l èdo3J2 -s.Íeê Lnà poLêç:o gpra, retêdeÌetr oa nâdap€os ponÌosA e D. Daiveml 5_ | | " --" . Ìorma segrnentãria: y + 6 = - x + t = ì+y= s=-]:+{ =r . foma o€ral: y + 6 = - x + l =x+y-t+6 =0 + +x+y+5=0 Resolução: S€a ÍÌgu|a !m quadÍ€do é Ìemos = OD. OA ADltdìooo eo,erêdeDttaoo.d.ro .érg-o,p€.g. . Essa reminctinaçàoI35', ÌPtã de passpeto ponrc. lo AOD temos r/, ôJ€ conãeixos [ 5,01eÍ0,_5ì. €m fAD -rAO| OOr.- ;J. i - lo{r ! OAJ_ . O^rnân€ulo eta qu€ d€rêÍmina oseixos !m com e 2[oA]:= 163 1941: e = 64 =. = InangutoretànsÌrto lsóscetes. a medtda cltcute dà - spnooêçcn. no is pr a d- coordenaoas o1oou, ar, temosAt-3,01, B[0. 3].Ct3,0l Dt0.3l 26, Dere-r-,ne ,.o 9",u, ,"trì*1,-o,o o",0. o" umaequação geral fetadeteffninâda DonÌos "qur.;o da peios pontos A[], 4) e B[3, 3) AeDédadapor: Resolução: Vanìos caÌcu a dectivÌdadefeta: âr dâ l' v tl o I = o + -s + 3 y -3 x = o + ] -: lo 3 r l Conslderando o ponto A[], 41, ternos: =3x 3y+9=O=x-y+3=0 Loqo.Lr êequeÇão ge.dtoètetae., _ j _ C Y-Y =mLx x j=y 4=-:[x-]l= 2- .o. LreÌe^-Trne os oofÌosde i.te.òecç;o et oe equd_ oê 77 =y-4 =--x+_+2v-8= 7+73 ção3x 2y- l2 - 0comoseixosxey Resoluçào: =7x+2y 15=0 o ponto intercecção o exox t€rnordenada de com 0. Logo, íâzendo = 0,temos y Auïa resaluçaa: 3x 2.0 tZ=0=3x-12=0=3x=12+ unì p[x, Corìsderamos porìto y] quatqler rctaque da passa ospontos B. pe Ae Então, retacortro eixo noponto 0]. a r [4,