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OCTAVO GRADOUNIDAD No 3,[object Object],MIDAMOS Y CONSTRUYAMOS CON TRIANGULOS.,[object Object],Por: Vidal Cruz,[object Object]
TRIÁNGULOS.,[object Object],DEFINICIÓN:,[object Object],El triángulo es un polígono de tres lados que se cortan entre sí.,[object Object],Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros,si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos. ,[object Object]
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. ,[object Object],Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso. ,[object Object]
TRIANGULOS RECTANGULOS.,[object Object],Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.,[object Object],Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. ,[object Object],El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2,[object Object]
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, ,[object Object],c2 = a ·m, ,[object Object],b2 = a · n,[object Object]
ALTURAS DE UN TRIANGULO,[object Object],Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. ,[object Object],Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.,[object Object],En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide: h2 = m ·n,[object Object],Esta relación se conoce como teorema de la altura.,[object Object]
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. ,[object Object],Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo. ,[object Object]
En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. ,[object Object]
MEDIANAS DE UN TRIANGULO,[object Object],Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. ,[object Object],Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.,[object Object],El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro: ,[object Object]
CIRCUNFERENCIA INSCRITA.,[object Object], Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo. ,[object Object],Para dibujar las bisectrices, es necesario medir cuántos grados tiene cada uno de los ángulos del triángulo, luego a esta cantidad se le saca mitad y se dibuja una recta dividiendo el ángulo en dos partes iguales.,[object Object]
CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS,[object Object],La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.,[object Object],Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas. ,[object Object]
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.,[object Object],Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.,[object Object],AREA DE UN TRIANGULO,[object Object],El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a ·ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc,[object Object]
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguente fórmula, llamada fórmula de Herón: ,[object Object],en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.,[object Object]
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS,[object Object],Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.,[object Object]
Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.,[object Object],La igualdad de triángulos cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.,[object Object]
Propiedades de la igualdad de triángulos,[object Object],Carácter reflexivo:,[object Object],Todo triángulo es igual a si mismo.,[object Object]
Carácter simétrico:,[object Object],Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a primero.,[object Object]
Carácter transitivo:,[object Object],Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.,[object Object]
Criterios de igualdad de triángulos,[object Object],Primer criterio:,[object Object],Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Segundo criterio:,[object Object],Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Tercer criterio:,[object Object],Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Cuarto criterio:,[object Object],Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Criterios de igualdad de triángulos rectángulos,[object Object],Primer criterio:,[object Object],Dos triángulos rectángulos que tienen sus catetos respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Segundo criterio:,[object Object],Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Tercer criterio:,[object Object],Dos triángulos que tienen un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Cuarto criterio:,[object Object],Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.,[object Object]
Triángulos semejantes,[object Object],Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.,[object Object],Una semejanza es la composición de una isometría (o sea, una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia.,[object Object],En la rotacion se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.,[object Object],Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.,[object Object]
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).,[object Object],Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.,[object Object],En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.,[object Object]
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. ,[object Object],Por lo tanto las razones,[object Object],longitud imagen / longitud origen,[object Object],son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:,[object Object],Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.,[object Object]
Ecuación,[object Object],Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:,[object Object],Corolarios,[object Object],1. Todos los triángulos equiláteros son semejantes.,[object Object],2. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.,[object Object]
Propiedades de la semejanza,[object Object],Propiedad reflexiva, refleja o idéntica,[object Object],Todo triángulo es semejante a sí mismo.,[object Object],Propiedad idéntica o simétrica,[object Object],Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.,[object Object],Propiedad transitiva,[object Object],Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.,[object Object],Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.,[object Object]
Teorema de Thales,[object Object],Un caso particular es el que se da en el teorema de Thales, donde los triángulos tienen dos lados (vistos como rectas) comunes: (CA) = (CA') y (CB) = (CB'), y los lados restantes son dos catetos paralelos: (AB) // (A'B').,[object Object],Triángulos semejantes según el teorema de Thales,[object Object],Los lados son así paralelos dos a dos y, por lo tanto, definen ángulos iguales. Por ello, los triángulos CAB y CA'B' son semejantes (de hecho son homotéticos), lo que implica la igualdad de los cocientes:,[object Object]
Otro teorema famoso de la geometría, el teorema de Pitágoras, es también una consecuencia inmediata de la doble caracterización de los triángulos semejantes.,[object Object],Teorema fundamental de la semejanza de triángulos,[object Object],Toda paralela a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.,[object Object],H),[object Object],ABC; r || AC,[object Object],r corta AB en L,[object Object],r corta BC en M,[object Object]
Midamos Y Construyamos Con Triangulos
Podrán presentarse 3 casos:,[object Object],I - r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.,[object Object],Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):,[object Object],Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:,[object Object],por carácter reflejo,[object Object],por ser correspondientes entre r || BC, secante AB,[object Object],por ser correspondientes entre r || BC, secante AC,[object Object]
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:,[object Object],Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en ,[object Object],se obtiene:,[object Object],De       y       se obtiene la consideración que llamaremos (2):,[object Object]
Luego de (1) y (2), resulta:,[object Object],                                            por definición de semejanza.,[object Object],II - r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.,[object Object],Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:,[object Object],                                                      por carácter simétrico.,[object Object]
III - r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.,[object Object],Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.,[object Object],Quedan entonces                            por el caso I, semejanza que llamaremos               ,[object Object]
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:,[object Object],BN=BM por construcción,[object Object],α=α' por ser opuestos por el vértice.,[object Object],β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN,[object Object],Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM         por el primer corolario de la definición.,[object Object],De         y        , y por carácter transitivo:,[object Object],BAC ~ BLMBLM ~ BAC,[object Object]
TEOREMA DE PITÁGORAS,[object Object],Teorema de Pitágoras, teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).,[object Object],El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos: ,[object Object],o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto: ,[object Object]
Ejemplo 1:,[object Object],Un triángulo rectángulo miden 4 cm. de base y 3 cm. de alto. Encuentre el valor de la hipotenusa.,[object Object],SOLUCIÓN:,[object Object],Fórmula a utilizar:    a2 = b2 + c2,[object Object],b = base,[object Object],c = altura,[object Object],a = hipotenusa = ?,[object Object],a2 = (4) 2 + (3)2,[object Object],a2 = 16 + 9,[object Object],a2 = 25,[object Object],a = √25,[object Object],a = 5,[object Object],Por lo tanto la hipotenusa será igual a 5 cm.,[object Object],a,[object Object],c,[object Object],b,[object Object]
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