Paper presentado en el congreso Latinoamericano de Dinámica de sistemas en Cancún México 2006

1. Contactos:
Víctor Germán Ledesma García, vigelega@hotmail.com
Roberto Osorno Hinojosa, rosorno@iteso.mx
Universidad ITESO
Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585,
Tlaquepaque, Jalisco, México. C.P. 45090
Teléfono: (052 + 33) 36 69 34 34
Versión: CLDDS 20 - Octubre – 2006
Extracto:
El contenido esta enfocado a la conformación de modelos para los procesos de valor presente y valor futuro
orientados a metas utilizando la metodología de la dinámica de sistemas, permitiéndosele transitar al valor del dinero
en ambos sentidos sobre la línea del tiempo y además configurar la composición de sub periodos desde eventos
discretos hasta los continuos.
Palabras clave:
Aplicación de dinámica de sistemas, simulación, interés compuesto, valor presente, valor futuro.

2. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 2 de 12
Introducción
La presente es un caso de la recapitulización actualizada de una investigación de tesis (Ledesma, 2003) en
ITESO. Este material puede considerarse una herramienta de apoyo para potenciar el conocimiento en el
campo educacional sobre el proceso de interés compuesto y su proceso inverso.
El proceso del valor del dinero sobre la línea del tiempo se explica sistemáticamente por acciones de flujo
que acumulan o desacumulan al monto, figurando el laso de retroalimentación; el modelo experimental
permite la iteración sobre escenarios diferentes y orientación a metas. La explicación de procesos
utilizando esta estructura de modelos permite la herencia de aprendizajes al paso del tiempo.
En esta investigación el problema es tratado metodológicamente en siete pasos y aborda de forma
sintetizada la interpretación matemática – temporal, además ofrece una nueva formulación de una tasa de
interés efectiva sujeta al paso del tiempo; así como el proceso reversible mediante descuentos, del cual
poco se habla.
Antecedentes
Históricamente los cálculos financieros han sido objeto de numerosas aplicaciones y mejoras. Hemos
encontrado con que el análisis financiero no solo se puede entender como el estudio de un estado
determinado en un momento, sino como un continuo sujeto a cambios, ajustes y entorno. En este
supuesto, podemos descubrir comportamientos financieros más exactos en modelos sistémicos. El
comportamiento financiero de una empresa obedece a la interacción de diferentes agentes, mismos que
añaden complejidad dinámica al sistema: encontramos no solo relaciones causales sino acumulaciones,
demoras y ciclos de retroalilmentación (Sterman 2000).
La visión del comportamiento financiero en función de flujos y niveles no es del todo nueva, sin embargo
el modelado y aplicación para la toma de decisiones y el aprendizaje son terrenos que deben ser aún
explorados. El reto de encontrar aplicaciones prácticas en las organizaciones es abordado en el presente
trabajo.
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3. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 3 de 12
Casos de valor presente y valor futuro
Paso 1. Formulación del problema
En la necesidad de realizar operaciones del dinero en el tiempo resulta socorrida el uso de la hoja de
cálculo y calculadora financiera, sin embargo estos instrumentos solo operan con tasas de interés fijas y
no soportan la incorporación de periodos de subcomposición, por lo que no da posibilidad de entrada a
una fluctuación o manipulación intermedia en el rango de cómputo total; es decir calculan por un factor
multiplicativo para la capitalización. Ampliamente sobre el tema son difundidas las siguientes formulas:
Tasa Fija Fija fraccionada
mn
 i 
Vf n  Vp 1  i  (1)
n
Interés Vf n  Vp1   (3)
 m
 mn
 i 
Vp  Vf n 1  i 
n
Descuento (2) Vp  Vf n 1   (4)
 m
Ante este tipo de limitaciones en consecuencia el objetivo a perseguir es la obtención de un modelo
mediante dinámica de sistemas que sirva para entender el proceso de acumulación de intereses y
desacumulación por descuentos; tanto en pasos de tiempo discreto como en continuo. Pues desea
verificarse si existe un proceso retroalimentado adaptativo en contraste con el proceso explicado
tradicionalmente de capitalización de progreso geometrico en el tiempo por medio de un factor.
El primer reto es identificar todos los elementos del sistema y emprender su desarrollo matemático.
Se conocen como premisas: Formulas desarrolladas: Terminología
Vf 0  Vp (P1)  i 
m Vf  Valor futuro
e i  lim 1   (5) Vp  Valor presente
m 
 m
1 m h  Frecuencia de paso del tiempo
h  d
(P2) e  d  lim 1   (6) m  Número de sub-periodos
dt m 
 m
(frecuencia de capitalización o
1
m (P3) descapitalización)
t
Vf k  Vf k 1 1  ie  (P4) Vf n  Vp1  ie 
n
(7) i  Tasa de interés nominal
Rédito  Vf k 1ie (P5) Vf n  Vp e in (8) k  Elemento comprendido entre 0
yn
Vf k 1  Vf k 1  d e  (P6) Vp  Vf n 1  d e 
n
(9) d  Tasa de descuento nominal
Descuento  Vf k d e (P7) Vp  Vf n e  dn
(10) n  Número de periodos
Vf ( t  t )  Vf ( t ) t  Tiempo
Vf n  Vp   Vf j 1 ie j 
n
Rédito discreto  Sec t  

(P8) (11)
t ∆t  Incremento de tiempo
j 1
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4. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 4 de 12
Vf n  Vp 1  iej  (12)
n
j 1
Vf (t )  Vf ( t t ) dt  Diferencial de tiempo
Vp  Vf n   Vf j d e j  (13)
1
Descuento discreto  Sec t  

(P9)
t j n
1  d 
Vp  Vf n  1  ej  (14)
 1 d 
j n  ej 
Vf ( t  dt )  Vf (t )  i 
m ie  Interés efectivo
Rédito continuo  Vf (t )   lim (P10) ie  1    1 (15)
dt  0 dt  m
Vf (t )  Vf ( t  dt )  d
m de  Descuento efectivo
Descuento continuo  Vf (t )  lim (P11) d e  1  1   (16)
dt  0 dt  m
Paso 2. Modelado por pensamiento Causal
Monto inicial Monto inicial
(Vp) (Vf)
+ + + +
+ +
+ -
Rédito + Descuento +
(Vp)(ie) ó (valor (Vf)(de) ó (valor
Valor liquido Monto final Valor liquido Monto final
liquido)(ie) + (Vp+Réditos) (Vf)
liquido)(de) - (Vf-Descuentos) (Vp)
+ +
m m
+ + + +
Tasa de interés Tasa de descuento
efectiva (ie) + i efectivo (de) + d
Fig. 1. Diagrama causal de Valor futuro Fig. 2. Diagrama causal de Valor Presente
Paso 3. Prototipo de simulación para computadora
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5. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 5 de 12
Cobrar Réditos Vf Vp Retirar Descuentos
Vf0 Vfn
Debe dar Debe recibir Debe dar Debe recibir
i ie de d
Vp Vf
m m
Fig. 3. Esquema Vf Fig. 4. Esquema Vp
“Cobrar Réditos” como flujo de réditos esta constituido por (P5) y sustentado en la tasa de interés efectiva
de (15), por su parte “Retirar Descuentos” esta hecho por (P7) y el descuento efectivo de (16).
Paso 4. Ejecución del modelo, verificación y validación.
Tabla I. m’s Tabla III. Valor presente y futuro a diferentes frecuencias de composición
10% ie de Tiempo Vf (m=0.5) Vp (m=0.5) Vf (m=1) Vp (m=1) Vf (m=2) Vp (m=2) Vf (m+∞) Vp(m+∞)
m=0.5 9.544% 8.712% 0.0 4.0 10.000 12.000 10.000 14.641 10.000 14.774 10.000 14.918
m=1.0 10.000% 9.090% 0.5 3.5 10.500 14.071 10.512 14.190
m=2.0 10.250% 9.297% 1.0 3.0 11.000 13.310 11.025 13.400 11.051 13.498
m+∞ 10.517% 9.516% 1.5 2.5 11.576 12.762 11.618 12.840
2.0 2.0 10.954 10.954 12.100 12.100 12.155 12.155 12.214 12.214
Tabla II. h’s 11.618
2.5 1.5 12.762 11.576 12.840
m=1 Vf(t=1) Vp(t=1)
3.0 1.0 13.310 11.000 13.400 11.025 13.498 11.051
h=1 11.000 11.000
3.5 0.5 14.071 10.500 14.190 10.512
h=2 10.976 10.973
4.0 0.0 12.000 10.000 14.641 10.000 14.774 10.000 14.918 10.000
h=4 10.964 10.960
En la tabla I se recogen los resultados de la ejecución cuando se consideran a prueba los casos de i en
capitalización bianual (m=2), anual (m=1), semestral (m=0.5) y continua (m+∞), convalidándose
correctamente con el obtenido mediante la formula (15).
Al trasladar parte de la experimentación a la prueba de diferentes h’s (pasos de tiempo en el simulador)
como lo muestran la tabla II y la figura 5 se obtiene un nuevo hallazgo que gravita sobre las diferentes
curvas de valor para la tasa de interés efectiva a pesar de tratarse de la misma m.
La tabla III y figura 6 indican como el valor futuro se ve aumentado ya sea por la frecuencia de
capitalización m o por el paso del tiempo del simulador h, agregando con ello importancia a la fracción de
intervalos que componen un subperiodo de tiempo sujeto a m.
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6. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 6 de 12
h = 10 h=5 h=2
h=1 h = 1/2 h-->0
28
26
V 24
F 22
20
18
(
$ 16
14
)
12
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (años)
Fig. 6. VF al 10% con diferentes h's
m =0 m =1/10 m =1/5
m =1/2 m =1 m =2
m =4 m =360 m =IN F
17.5%
16.5%
15.5%
14.5%
13.5%
I 12.5%
11.5%
e 10.5%
9.5%
8.5%
7.5%
6.5%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
h's (años)
Fig. 5. Ie con diferentes m's y h's
Cuando se corre una misma m con diferentes h’s
se obtienen resultados disparejos para el mismo valor liquido en el tiempo. Se descubre así que existen
valores efectivos para interés (ie) y descuento (de) condicionados a m (frecuencia de capitalización o
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7. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 7 de 12
descapitalización), así como valores efectivos condicionados a m-h (frecuencia de composición y del paso
del tiempo) para interés (ieh) y para descuento (deh).
Paso 5. Formulación de un modelo más completo.
Los esquemas de las figuras 3 y 4 en conclusión son validos solamente si m=h, son además funcionales
para tasas de interés y descuentos constantes. Bajo esta limitación es beneficioso agregar un lazo que
funja para política de cambio con objeto de permitir la incorporación de tasas flotantes, así también sería
ventajoso extender las capacidades del modelo con la añadidura de orientación a metas.
Rédito + +
+ (Vp)(ie) ó (valor ie i
liquido)(ie)
+ +
Meta +
+ + + + h
+ Valor liquido +
Monto inicial Monto final
Discrepancia (Vp+Réditos)
(Vp) o (Vf) (Vf) o (Vp)
(Vf-Descuentos)
+
- - + m
+
+ Descuento +
(Vf)(de) ó (valor de d
liquido)(de)
+ +
Fig. 7. Diagrama causal de Valor Presente / Valor Futuro
Adicionalmente podría conjuntarse la capacidad de integración y desintegración de flujos para con ello
llegar a obtener un modelo más genérico y minimalista. Y para la mejora final, apoyándose en una capa
de interfase visual se le pueden instalar selectores a la capa del modelo para escoger el tipo de evento
(continuo o discreto) y el monto final (VF o VP).
Para eventos discretos:
 m

Cobrar Réditos Monto Final Retirar Descuentos  i h 
ie h  h 1    1 (17)
 m  
 
 m

  dh 
d e h  h1  1    (18)
  m 
i
ieh deh
d  
h m Para eventos continuos:
Monto Inicial  hi

VF Continua
ie h  h e  1 (19)
 
Detener  
Meta discrepancia VP Discreta   
i
d e h  h1  e  (20)

h 
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Fig. 8. Esquema Genérico  

8. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 8 de 12
La formula 17 tiene un razonamiento origen de la combinación de frecuencias de composición y de paso
m h
 i   ieh 
de tiempo para la obtención de tasa de interés efectiva, es decir de ie  1    1  1    1 se despeja
 m  h
para ieh. Los hallazgos restantes sobre las formulas 18, 19 y 20 son incorporados al esquema genérico; y el
modelo tiene como extra la capacidad de hacer un alto en el avance del paso de tiempo cuando la meta se
alcanza.
Paso 6. Experimentación de escenarios aplicando metas y políticas.
Suponer que se tiene un monto inicial de $10, mediante simulación desea conocerse el tiempo que será
necesario para alcanzar un monto final de $5,000,000; se requiere un margen de error de un día. Las tasas
de interés anualizadas con capitalización trimestral requieren montos mínimos y están politizadas de la
siguiente manera: (10%, $10), (12%, $2,000), (15%, $40,000), (20%, $1,000,000).
Para obtener la solución es necesario ajustar los parámetros de la siguiente manera: m=4, monto
inicial=10, Meta=5000000, h=360, y condicionar i con respecto al valor líquido; adicionalmente se puede
agregar el periodo anual máximo de búsqueda en la capa de interfase visual, la cual podría establecerse
por omisión en 120 años.
Como resultado de este escenario la meta es alcanzada a los 109 años y 32 días.
Paso 7. Aprendizaje en el horizonte del tiempo.
Basado en el comportamiento del modelo esencialmente puede concluirse que la capitalización de
intereses es un proceso en el cual al monto inicial se le va acumulando réditos; por su parte la
descapitalización por descuentos es un proceso en el cual al monto final se le desacumulan descuentos.
El tiempo esta presente para ejercer influencia tanto en tasas de interés como de descuento, ya sea para
valor efectivo por medio de la frecuencia de capitalización así como en la del paso de tiempo.
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9. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 9 de 12
Cuando h=m las formulas para ieh y deh se simplifican como las desarrolladas en el paso 1. El hallazgo de
las formulas influidas con h es relevante ya que ello permite obtener el valor de una fracción simple en un
intervalo de tiempo sin que esto repercuta en la formación de un nuevo periodo de subcomposición.
El modelo mejorado tiene la posibilidad de incursionar en escenarios donde la tasa de interés o descuento
nominal fluctúe en el devenir del tiempo y conlleva a simplificar procesos muy elaborados de cálculo.
Conclusiones
Para entender el proceso del valor del dinero en el tiempo se conoce que se inicia de un monto inicial que
pasa por un valor liquido para llegar a un monto final, en este pasar del tiempo pueden agregársele réditos
o aplicársele descuentos lo cual le señala como una tarea de acumulaciones o desacumulaciones que, ha
decir de estos últimos poca importancia se le brinda al origen de los réditos y al destino de los descuentos.
El plano matemático es fundamental en la elaboración de modelo prototipo, cabe mencionar que en los
cálculos de réditos y descuentos de eventos discretos (P8, P9) se trabaja con rectas secantes y al llevarle a
los eventos continuos se obtienen rectas tangentes (P10, P11), para ambos casos se tienen la recta
izquierda para descuentos y recta derecha para réditos.
En las operaciones para Valor futuro y Valor presente de las formulas (7, 9) al llevarles por intervalos de
tiempo infinitamente pequeños que es a lo apuntado por (5, 6) da por resultado (8, 10). Siendo esta la
puerta que permite entender la elevación de casos de eventos discretos a continuos. En este contexto (11,
13) expresan que existen procesos recursivos motivados por lasos de retroalimentación, a diferencia de
(12,14) que solo sitúan al cálculo por factores de multiplicación.
Queda manifiesta la importancia de las acciones de flujo de réditos y descuentos como instrumentos de
apalancamiento que usa la discrepancia para llegar a la meta y así darle rumbo al sistema.
Logra visualizarse la trascendencia de los lazos de alimentación de regreso para operar con políticas de
cambio en variables que en este caso particular le permite tasa de interés flotante.
Durante la experimentación resulta obligatorio considerar el timestep del simulador (h) y la frecuencia de
composición de un periodo (m) a fin de obtener valores efectivos en el paso del tiempo, esta experiencia
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10. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 10 de 12
puede servir como procedimiento para evitar técnicas de interpolación lineal para valores comprendidos
dentro en un subperiodo de composición.
Respecto al paso 6, la experimentación con un escenario donde la composición de periodos se ejecuta de
forma trimestral requiere el monitoreo de la discrepancia en intervalos de tiempo diarios, ello retoma la
importancia que tienen las frecuencias de composición y de paso de tiempo de las formulas (17,18), así
como la retroalimentación para poder interactuar con tasas de interés flotantes (o variables).
La dinámica de sistemas logra cosechar otro éxito como metodología ya que fortalece la comunicación
del conocimiento utilizando modelos experimentales que, como instrumento de apoyo didáctico mejora el
razonamientos de formulas, consolidándose como un recurso potencialmente empleable para la enseñanza
de matemáticas financieras.
Observaciones finales
Esta investigación interdisciplinaria fue desarrollada empleando un constructivismo matemático y
acompañándole en la administración del proyecto el método de la espiral; la metodología de dinámica de
sistemas consistió de siete pasos, en este trabajo aplicó un procedimiento sujeto a propuestas abiertas
como las recomendadas en (Sterman, 2000) y (Cavana, 2002). Actualmente esta representa la cuarta
vuelta de refinamiento evolutivo desde Septiembre del 2001.
Con la metodología de dinámica de sistemas se obtienen respuestas en cualquier fracción de tiempo, de
manera que es posible analizar paso a paso cualquier evento en el tiempo; lo cual abre camino al campo
de otros procesos derivativos de intereses y muy posiblemente a instrumentos de análisis e interpretación
financiera.
En estos modelos se precisó en hacer hincapié que las válvulas se nombran con acciones derivadas del
flujo de objetos, en estos casos no se nombraron solo como “Réditos” o “Descuentos” pues se quiere
diferenciar a las válvulas de flujo de ser simples índices de cambio (tasas) a ser acciones dependientes al
cambio del tiempo (verbos en modo infinitivo bajo su forma verbal infinitivo); ello consideramos que
facilita el uso del lenguaje para el apalancamiento en los modelos pues permite expresar transitividad
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11. Aplicación de dinámica de sistemas al valor del dinero 11 de 12
entre un sujeto y un acusativo, emanando entera y finalmente en un rumbo contemplativo de acciones
cronológico.
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Acerca de los autores
ISC. Víctor Germán Ledesma Garcia es egresado de ITESO. Tiene interés en Dinámica de Sistemas y su
Aplicación a Negocios.
MIA. Roberto Osorno Hinojosa es coordinador de la Maestría en Informática Aplicada en ITESO. Tiene
intereses en Dinámica de Sistemas y en Estrategias con Tecnologías de la Información.
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