1. August 16 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro

2. Phần VI
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
http://my.opera.com/vinhbinhpro
http:my.opera.com/vinhbinhpro

3. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số .
Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số .
i) Tính đạo hàm y’(x) - Giải phƣơng trình y’(x) = 0
( tìm tất cả các điểm mà tại đó y’ = 0 hay đạo hàm không xác định )
ii) Xét dấu y’(x) - Suy ra chiều biến thiên của hàm số
iii) Tìm cực trị của hàm số (nếu có)
iv) Tìm lim f ( x ) ; lim f ( x )
x x
- Tìm tất cả các đƣờng tiệm cận (nếu có)
Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số ( tổng kết các kết quả ở trên vào bảng này )
Có thể bỏ qua
Bước 4 : Vẽ đồ thị của hàm số . phần này nếu phép
* Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có ) tính phức tạp
* Xác định một số điểm đặc biệt nhất là giao điểm của đồ thị với trục tọa độ.
* Chỉ ra trục và tâm đối xứng (nếu có)

4. Khảo sát hàm số bậc 3
3 2
y ax bx cx d (a 0, b , c , d R)
Bƣớc 1 : Tập xác định : D = R
Bƣớc 2 : y' 3ax
2
2bx c Giải phương trình y’ = 0
2
4 b 3 ac
∆>0 ∆ 0
1. 0 y' 0 x1 x2
x a
y' 0 (a b) y’ luôn cùng dấu với a , x
x b
2. ∆ < 0 : y’ luôn cùng dấu với a , x R
y’ = 0 có 2 nghiêm phân biệt y’ = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm
Lướt chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp

5. Khảo sát hàm số bậc 3 *
x a
a>0 y' 0 (a b) a<0
x b
x -∞ a b +∞ x -∞ a b +∞
y’ + 0 ̶ 0 + y’ ̶ 0 + 0 ̶
y +∞
-∞ CĐ y +∞ CĐ
CT CT
-∞
lim y lim y lim y lim y
x x x x
b 3 2
y '' 6 ax 2b y '' 0 x0 y0 a x0 b x0 cx0 d
3a
Điểm uốn : I x 0 ; y 0
I
I
Điểm
đặc biệt Điểm đặc
trở về biệt

6. Khảo sát hàm số bậc 3 **
a>0 ∆<0 a<0
x -∞ +∞ x -∞ +∞
y’ + y’ ̶
+∞
y y +∞
-∞
lim y lim y lim y lim y
-∞
x x x x
b
Điểm uốn : I
3 2
y '' 6 ax 2b y '' 0 x0 y0 a x0 b x0 cx 0 d x0 ; y 0
3a
I x0 ; y 0
I x0 ; y 0
trở về  Biên tập pps : vinhbinhpro

7. Khảo sát hàm số bậc 3 ***
a>0 ∆=0 a<0
x -∞ α +∞ x -∞ α +∞
y’ + 0 + y’ ̶ 0 ̶
+∞
y y +∞
-∞
lim y lim y lim y lim y
-∞
x x x x
b
Điểm uốn : I
3 2
y '' 6 ax 2b y '' 0 x0 y0 a x0 b x0 cx0 d x0 ; y 0
3a
I x0 ; y 0
I x0 ; y 0
trở về  Biên tập pps : vinhbinhpro

8. Chú ý :
Để việc vẽ đồ thị hàm số đƣợc chính xác ta cần bổ sung KiẾN THỨC về :
1. (a ; b) là khoảng lồi của đồ thị (C) Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía trên (C)
2. (a ; b) là khoảng lõm của đồ thị (C) Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía dƣới (C)
3. Điểm tiếp giáp giữa khoảng lồi và khoảng lõm của (C) gọi là ĐIỂM UỐN của (C)
* ĐỊNH LÝ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( a ; b )
f ''( x ) 0; x a ;b Đồ thị (C) LỒI trên ( a ; b )
f ''( x ) 0, x a ;b Đồ thị (C) LÕM trên ( a ; b )
* Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua điểm xₒthì I (xₒ ; f(xₒ)) điểm UỐN của
là
(C)
Khoảng lồi Điểm uốn
Khoảng lỏm
 Biên tập pps:vinhbinhpro

9. Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)
4 2
y ax bx c (a 0,b ,c R)
Bƣớc 1 : Tập xác định : D = R
Bƣớc 2 : Xét chiều biến thiên của hàm số
3 2
y' 4 ax 2 bx 2 x 2 ax b
x 0 (1)
2
2x 0
y' 0 (* ) 2 x 2 ax b 0 2 2 b
2ax b 0 x (2)
2a
Có hai trƣờng hợp xảy ra :
1. a , b cùng dấu (a.b > 0 ) => phƣơng trình (2) vô nghiệm => Pt (*) chỉ có 1 nghiệm
2. a , b trái dấu (a.b < 0 ) => phƣơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
=> Phƣơng trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
Click chuột vào đây để xem tiếp Click chuột vào đây để xem tiếp
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm

10. 4 2
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)* y ax bx c (a 0 ,b,c R)
http://my.opera.com/vinhbinhpro
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt
a>0 a<0
x 0 x 0
2x 0
y' 0 (* ) 2 2 b b
2 ax b 0 x x
2a 2a
4 b c 4 b c
lim y lim x a 2 4
lim y lim x a 2 4
x x x x x x x x
Tƣơng tự lim y Tƣơng tự lim y
x
x
b b
b b
x -∞ 2a 0 2a +∞ x -∞ 2a 0 2a +∞
y’ ̶ 0 + 0 ̶ 0 + y’ + 0 ̶ 0 + 0 ̶
+∞ +∞ y
y CĐ CĐ CĐ
ct ct ct
-∞ -∞
2 2 b b b
y '' 12ax 2b y '' 0 x do ab 0 0 x
6a 6a 6a
b b
x -∞ 6a 6a +∞
+ ̶ +
y’’ 0 0
( ̶ ) (+) ( ̶ )

11. Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)** y ax 4 bx 2 c ( a 0 , b , c R )
b b
Vậy đồ thị hàm số có hai ĐIỂM UỐN I1 ; y1 ; I2 ; y2
6a 6a
Bƣớc 3 : Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục Oy ( hàm số chẳn )
y y
a>0 a<0
CĐ CĐ
CĐ
0 x
U U
U U
0 x
ct
ct ct
Điểm đặc biệt
Trục đối xứng
Trở về
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

12. Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)3* y ax
4
bx
2
c (a 0 ,b ,c R)
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a>0 3 2
a<0
y' 4 ax 2 bx 2 x 2 ax b
Dấu của y’ phụ thuộc vào : h ( x ) 2 x ; g ( x) 2ax
2
b
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )

13. 4 2
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)4* y ax bx c (a 0 ,b,c R)
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
3 2
a>0 y' 4 ax 2 bx 2 x 2 ax b a<0
2
Dấu của y’ phụ thuộc vào : h ( x ) 2 x ; g ( x) 2ax b
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
x ̶ ∞ 0 +∞ x ̶ ∞ 0 +∞
2x ̶ 0 + 2x ̶ 0 +
2ax
2
b + + 2ax
2
b ̶ ̶
y’ ̶ 0 + y’ + 0 ̶
y +∞ +∞
y CĐ
y ct c
yCD c
ct ̶ ∞ ̶ ∞
lim y lim y
x x
 Biên tập pps:vinhbinhpro

14. Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phƣơng)5* y ax
4
bx
2
c (a 0 ,b ,c R)
Trình bày tóm tắt :
a>0 a<0
x ̶ ∞ 0 +∞ x ̶ ∞ 0 +∞
y’ ̶ 0 + y’ + 0 ̶
+∞
y +∞ y ct c y
yCD c
̶ ∞ ̶ ∞
* Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn :
2
y '' 12 ax 2b y '' 12ax
2
2b
vì a >0 và ab > 0 y '' 0; x R vì a <0 và ab > 0 y '' 0; x R
=> Đồ thị luôn lõm => Đồ thị luôn lồi
y y
c
x
0
0
x
trở về
c

16. Bài tập 1
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x
3
3x
2
4x 2
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
2 2
y' 3x 6x 4 ' 9 12 0 3x 6x 4 0; x R
y' 0; x R Hàm số luôn nghịch biến trên R
3 3 4 2 3 3 4 2
lim y lim x 1 2 3
lim y lim x 1 2 3
x x x x x x x x x x
x ̶ ∞ +∞ y '' 6x 6 ; y '' 0 x 1
y’ ̶ x ̶ ∞ -1 +∞
y’’ + 0 ̶
y +∞
y điểm uốn lồi
̶ ∞ lõm
yU 4
* Đồ thị : Điểm đặc biệt x 0 y 2; x 1 y 6
 Biên tập pps : vinhbinhpro

17. Bài tập 1
y
Điểm uốn I (-1 ; 4 )
Tâm đối xứng
4
2 Điểm đặc biệt ( 0 ; 2 )
1 x
-1 0
-6
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )

18. f(x) f(x)=-x^3-3*x^2-4*x+2
Khoảng lõm
Điểm uốn (tâm 5
đối xứng)
4 Khoảng lồi
1 x
-8 -6 -4 -2 - 1 2 4 6 8
Điểm đặc biệt
-5
-6
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )

19. Bài tập 2
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x
3
6x
2
9x 2
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số: y' 3x
2
12 x 9 3 x
2
4x 3
2
* y' 0 x 4x 3 0 x 1 hay x 3
3 6 9 2
* lim y lim x 1 * lim y
2 3 x
x x x x x
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

20. Bài tập 2
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x
3
6x
2
9x 2
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số: y' 3x
2
12 x 9 3 x
2
4x 3
2
* y' 0 x 4x 3 0 x 1 hay x 3
3 6 9 2
* lim y lim x 1 2 3 * lim y
x x x x x x
x ̶ ∞ -3 -1 +∞ yCD y ( 3) 2
y’ + 0 ̶ 0 +
y ct y ( 1) 2
y CĐ +∞
ct Điểm cực đại: ( - 3 ; 2 )
̶ ∞
Điểm cực tiểu : ( - 1 ; - 2 )
* Hàm số đồng biến trên : ( ̶ ∞ ; - 3 ) ; ( - 1 ; +∞ )
* Hàm số nghịch biến trên : ( - 3 ; - 1 )
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

21. Bài tập 2
* Khoảng lồi , khoảng lõm và điểm uốn y '' 6x 12 ; y '' 0 x 2
x ̶ ∞ -2 +∞
y’’ _
0 +
y lồi điểm uốn lõm
yU 0 x ̶ 4 0
* Đồ thị hàm số : Điểm đặc biệt :
y ̶ 2 2
điểm đặc biệt y
điểm cực đại 2 điểm uốn
-4 -1 0 x
-3 -2
điểm cực tiểu
điểm đặc biệt
-2

22. f(x) f(x)=x^3+6*x^2+9*x+2
điểm đặc biệt (0 ; 2)
5
điểm cực đại
điểm uốn
2
x
-8 -6 -4 -3 -2 2 4 6 8
-2
điểm đặc biệt (-4 ;- 2)
-5 điểm cực tiểu

23. Bài tập 3
4 2
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x x
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
3 2
* Chiều biến thiên của hàm số: y' 4x 2x 2x 2x 1
x 0
2x 0
y' 0 2 1
2x 1 0 x
2
1 1 1
x 0; y (0) 0 x ; y
2 2 4
*Bảng biến thiên

24. Bài tập 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x
4
x
2
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
3 2
* Chiều biến thiên của hàm số: y' 4x 2x 2x 2x 1
x 0
2x 0
y' 0 2 1
2x 1 0 x
2
1 1 1
x 0; y (0) 0 x ; y
2 2 4
1 1
x ̶ ∞ 0 2 +∞ 4 1
2 lim y lim x 1 2
_ _ x x x
y’ 0 + 0 0 +
y +∞ +∞ 1
CĐ lim y lim x
4
1
ct ct 2
x x x

25. Bài tập 3
 yCD y (0) 0 => Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
1 1 1 1 1 1
 y ct y => Điểm cực tiểu : ; ; ;
2 4 2 4 2 4
2 1 1 5
y '' 12 x 2 y '' 0 x ; y
6 6 36
1 5 1 5
=> Điểm uốn : ; ; ;
6 36 6 36

26. Bài tập 3
 yCD y (0) 0 => Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
1 1 1 1 1 1
 y ct y => Điểm cực tiểu : ; ; ;
2 4 2 4 2 4
2 1 1 5
y '' 12 x 2 y '' 0 x ; y
6 6 36
1 5 1 5
=> Điểm uốn : ;
36
; ;
36
6 6
1 1
x ̶ ∞ 6 6 +∞
_
y’’ + 0 0 +
y lõm lồi lõm
điểm uốn điểm uốn
* Đồ thị :
Điểm đặc biệt : x 1 y 0 ; x 1 y 0

27. Bài tập 3
y trục đối xứng
điểm cực đại
điểm đặc
biệt
1 1 1
1
2 6 0 6 2 x
-1 1
1
4
điểm cực tiểu điểm cực tiểu
điểm uốn
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

28. f(x) Ham so bac 4 (dang trung phuong)
điểm cực
trục đối xứng
đại 2
điểm đặc biệt 1
1 1
2 0 2 x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
điểm cực tiểu điểm cực tiểu
-2
điểm uốn

29. Bài tập 4
4
x 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y x
2
2 2
Hướng dẫn :
1) Tập xác định : D = R
2) Chiều biến thiên của hàm số : y' 2x
3
2x 2x x
2
1
y' 0 x 0 x
2
1 0; x Dấu của y’ phụ thuộc vào g(x) = - 2x
1 1 3
 lim y lim x
4
2 4
Tƣơng tự : x
lim y
x x 2 x 2x
* Bảng biến thiên 0
x -∞ +∞
3
yCD y (0)
2
y’
+ 0 -
y CĐ
-∞ 3/2 -∞
* Khoảng lồi ,lõm , điểm uốn: y '' 6x
2
2 2 3x
2
1 0, x R
Biên tập pps : vinhbinhpro
Đồ thị là đƣờng cong lồi

30. Bài tập 4
* Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .
* Điểm đặc biệt : y 0 x
4
2x
2
3 0 x 1
y
3/2 điểm cực đại f(x) f(x)=(-x^4-2*x^2+3)/2
1
x x
-3 -2 -1 1 2 3
-1 0 1
-1
trục đối
-2
xứng
điểm đặc biệt -3
http://my.opera.com/vinhbinhpro