векторная алгебра+аналитическая геометрия

ТЕМА II – ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§5. Векторы
5.1. Основные понятия

 Рассмотрим направленный отрезок прямой на ā
В
плоскости или в пространстве, пусть А – начальная А
точка этого отрезка, В – конечная точка.
uuu
r
Такой отрезок называется вектором и обозначается a = AB . Точки А и В
называются началом и концом вектора соответственно. Длина отрезка АВ
uuu
r
называется длиной или модулем вектора: a = AB .
Для того, чтобы задать вектор, необходимо указать:
1) прямую, на которой лежит вектор или которой он параллелен;
2) направление (ориентацию) вектора на этой прямой;
3) длину вектора.
Один и тот же вектор может быть отложен от любой точки пространства при
помощи параллельного переноса, при этом сохраняются все три указанные
характеристики этого вектора.
uuur v
 Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают: AA = 0
 Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на параллельных
или совпадающих прямых, обозначают a  b .
 Векторы a и b называются сонаправленными, если они коллинеарны и
одинаково направлены.
 Векторы a и b называются равными, если они сонаправлены и имеют
одинаковую длину, обозначают a = b .
Заметим, что от любой точки пространства можно отложить вектор a ,
равный данному, и при этом только один.
 Три вектора a , b , c называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.

5.2. Операции над векторами
 Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b , построенный по
правилу параллелограмма или треугольника:

18

ā
c ā b

b
c

Из правила треугольника сложения векторов следует правило их
вычитания: действительно, если c = a + b , то b = c − a .
 Произведением вектора a на число λ называется вектор b = λ a ,

коллинеарный вектору a , длиной b = λ a , который сонаправлен с
вектором a , если λ>0 и противоположно направлен, если λ<0.
a
 Любому ненулевому вектору a можно поставить в соответствие орт a0 =
a
, имеющий единичную длину a0 = 1 и направление которого совпадает с
направлением вектора a .
Свойства: v
v v v
1) a + b = b + a
v v v v uu v v v v v
2) a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
v v v v
3) λ (a + b) = λ a + λ b
v v
4) λ ( µ a) = (λµ )a
v v v
5) (λ + µ )a = λ a + µ a

Теорема 5.1. Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда b = λ a
для некоторого λ.

Пример. В треугольнике АВС точки M, N,uuuu –uuur uuu
uuur Kr середины сторон АВ, АС, ВС
r uuu
r uuur
соответственно. Найти векторы AK , CM , BN , BC , если AB = a , AC = b .
В uuur 1 uuuu 1r
Решение: По условию, AN = b , AM = a . Применяя
M K 2 2
правило вычитания, находим:
uuu uuur uuu
r r uuuu uuuu uuur
r r
А С BN = AN − AB = 1 b − a , CM = AM − AC = 1 a − b .
N 2 2
Далее, AK - половина диагонали параллелограмма, сторонами которого
являются отрезки АВ и АС (так как диагонали параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам). Следовательно, по правилу параллелограмма
uuur 1
сложения векторов, имеем AK = (a + b ) .
2

19

5.3. Координаты векторов

 Ортонормированным репером в трехмерном пространстве называется
v v v
совокупность начальной точки О и векторов i, j , k , таких, что:
v v v
1) i = j = k = 1 (единичные векторы), z
v v v v v v
2) i ⊥ j , i ⊥ k , j ⊥ k (попарно перпендикулярные), 1 v
v v v k
3) векторы i, j , k образуют правую тройку векторов, то 1
v v v О v
есть из конца вектора k поворот от вектора i к вектору j 1 v j y
виден в положительном направлении – против часовой x i
стрелки.
В таком случае обычная декартова система координат соответствует
заданному ортонормированному реперу, так что направления осей Ох, Оу, Oz
v v v
совпадают с направлениями базисных векторов i, j , k .
z
v а3
Рассмотрим теперь произвольный вектор a в
трехмерном пространстве.
v v
 Координатами вектора a называются его v a
проекции а1, а2, а3 на оси координат. Обозначают: k а2
v
a = { a1; a2 ; a3 } . О v
v j y
i
Отметим, что если вектор отложен от начала а1
координат, то его координаты совпадают с x
координатами конца этого вектора.
Применив дважды правило параллелограмма, замечаем, что
v v v v
a = a1i + a2 j + a3 k .
v v v v
 Это соотношение называется разложением вектора a по базису i, j , k .

Свойства:
v v
Пусть a = { a1 ; a2 ; a3 } , b = { b1 ; b2 ; b3 } . Тогда
v v
1) a + b = { a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 }
v
2) λ a = { λ a1 ; λ a2 ; λ a3 }
v v
3) a = b ⇔ ai = bi (i = 1, 2,3)
v v a a a
4) a b ⇔ 1= 2 = 3
b1 b2 b3

20

uu
r r
5) Орт вектора a0 = {cos α ; cos β ; cos γ } , где α, β, γ - углы между вектором a
и координатными осями. Координаты орта называют направляющими
r
косинусами вектора a . z В
Теорема 5.2. Пусть точка А имеет координаты
(xA, yA, zA), точка В(xВ, yВ, zВ).
А
Тогда a = { xB − x A ; y B − y A ; z B − z A } .
Для доказательства достаточно заметить, что
uuu uuu uuu
v v v О y
AB = OB − OA ,
uuu
v uuu
v
причем OA = { x A ; y A ; z A } , OB = { xB ; yB ; z B } .
x
Замечание. Координаты вектора не изменятся, если этот вектор отложить от
любой другой точки пространства.
Доказательство этого факта предоставим читателю.

Многие геометрические задачи на плоскости и в пространстве легко
решаются с помощью векторов. При этом надо все условия задачи,
сформулированные для точек и отрезков (а в дальнейшем – и углов)
переформулировать для векторов, а затем перевести в координатную форму.
Если рассматривается задача на плоскости, то и точки, и векторы имеют 2
координаты, и все сформулированные выше свойства имеют место для первых
двух координат.

Пример 1: Точка М делит пополам отрезок АВ, где А(xA, yA, zA), В(xВ, yВ, zВ).
Найти координаты точки М.
Решение: Для решения этой задачи используем векторы.
uuuu uuu
r r
Точка М лежит на отрезке АВ ⇔ AM  AB , причем эти
векторы сонаправлены.
uuuu 1 uuu
r r
А М В Кроме того, по условию, AM = AB .
2
uuuu 1 uuu
r r
Следовательно, AM = AB .
2 uuu
r
Обозначим координаты точки М (xМ, yМ, zМ). Тогда AB ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )
uuuu
r
, AM ( xM − x A , yM − y A , zM − z A ) .
Используя свойство 2) координат, имеем:
1 1 1
xM − x A = ( xB − x A ), yM − y A = ( yB − y A ), zM − z A = ( z B − z A ) ,
2 2 2
откуда выражаем
21

1 1 1
xM = ( x A + xB ), yM = ( y A + yB ), zM = ( z A + zB ) .
2 2 2

Пример 2. Даны точки: A(1; 0), B(4; 2), C(2; 5). Найти точку пересечения
медиан треугольника АВС.
Решение: Как известно, все медианы треугольника пересекаются в
одной точке. Обозначим эту искомую
В
точку К(xK, yK) и рассмотрим две
M медианы: BN и CM.
К
Найдем сначала координаты точек N и M как середин
А С сторон АВ и АС (см. Пример 1)
N
5
Точка М – середина отрезка АВ ⇒ M ( ;1) .
2
3 5
Аналогично, N ( ; ) . Следовательно, можем найти координаты векторов:
2 2
uuuu 1
r uuur 5 1
CM ( ; − 4), BN ( − ; )
2 2 2
uuu uuuu
r r x − 2 yK − 5
Точка К∈СМ ⇔ CK  CM ⇔ K = (свойство 4). Аналогично,
1/ 2 −4
uuu uuu
r r x − 4 yK − 2
точка К∈BN ⇔ BK  BN ⇔ K = .
−5/ 2 1/ 2
Мы получили два линейных уравнения с двумя неизвестными –
координатами точки К. Решаем полученную систему:
8 xK + yK = 21, 7 7
 ⇒ xK = , y K = .
 xK + 5 y K = 14; 3 3
7 7
Таким образом, искомая точка K ( ; ) .
3 3

Замечание. При решении задачи использовался схематический рисунок.
Однако часто при решении задачи на плоскости удобнее использовать чертеж в
системе координат, отражающий истинное положение данных точек. Это
позволяет, в частности, оценить правильность решения.

22

5.4. Скалярное произведение векторов.
ā
v v ϕ
 Скалярным произведением двух векторов a и b называется
v v vv v v
( )
число a, b = a b = a b cos ϕ b
v v
(где ϕ - угол между векторами a и b , отложенными из одной точки).

Свойства:
v v v v v v
1) ( ) ( )
a, b = b, a для любых векторов a, b
v v v v v v
2) ( ) ( )
λ a, b = λ a, b для любых векторов a, b и числа λ
v v v v v v v v v v
3) ( ) ( ) ( )
a+b, c = a, c + b, c для любых векторов a, b, c
v v v2
4) ( a, a ) = a
v v v v
5) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 0 (при этом считается, что нулевой вектор перпендикулярен
любому) v v
( a, b)
6) cos ϕ = v v .
ab

Теорема 5.3 (о вычислении скалярного произведения).
v v v v
Пусть a = { a1; a2 ; a3 } , b = { b1; b2 ; b3} . Тогда (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
Доказательство: Воспользуемся разложением векторов по базису и свойствами
скалярного произведения:
v v v v v v v v vv v v v v v v
(a, b) = (a1i + a2 j + a3 k , b1i + b2 j + b3 k ) = a1b1 (i , i ) + a1b2 (i , j ) + a3b3 (i , k ) + a2b1 ( j , i ) +
v v v v v v v v v v
+ a2b2 ( j , j ) + a2b3 ( j , k ) + a3b1 (k , i ) + a3b2 (k , j ) + a3b3 (k , k ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
Последнее равенство следует из свойств базисных векторов:
v v v2 v v v v
( ) ( )
i, i = i = 1, i, j = 0 (т.к. i ⊥ j ) и т.п.

v
Следствие. a = a12 + a22 + a32 .

Замечание. Для векторов на плоскости, соответственно,
v v v
(a, b) = a1b1 + a2b2 ; a = a12 + a2 2 .

v v
Пример 1. Найти угол между векторами a = { 3; 0; − 4} , b = { 5;1; 2}
v v
( a, b) 3 ×5 + 0 × + (−4) ×2
1 7 7
Решение: cos ϕ = v v = 2 = , ϕ = arccos .
ab 3 + 02 + (−4) 2 52 + 12 + 22 5 30 5 30

23

v u v v u v
v v uv v u v π
v v v
Пример 2. a = 2 p + q, b = p − q; p = 2, q = 5, ∠( p, q ) = . Найти (a, b) .
3
Решение: Используем свойства скалярного произведения:
v v u v u v
v v u u
v v u v
v v uv v v
( )
(a, b) = (2 p + q, p − q) = 2 p, p − 2( p, q) + (q, p) − (q, q) =
u 2 u v
v v v2 π
= 2 p − ( p, q) − q = 2 ×22 − 2 ×5 ×cos − 52 = −22 .
3

Пример 3. Даны точки: А(-2; 1), В(3; 0), С(1; 4). Найти основание высоты
треугольника АВС, проведенной из точки В.
uuur uuur xN − ( −2) y N − 1
Решение: Точка N(xN, yN) ∈ АС ⇒ AN  AC ⇒ = ;
1 − (−2) 4 −1
В uuu uuur
r
BN – высота треугольника, то есть BN ⊥ AC ⇒
uuur uuur
( )
BN , AC = 0 ⇒ ( xN − 3)(1 − ( −2)) + ( y N − 0)(4 − 1) = 0 .
Получили два линейных уравнения относительно
А С
N координат:
3 xN − 3 y N = −9
 ⇒ xN = 0, yN = 3 . Таким образом, искомая точка N(0; 3).
 3 xN + 3 y N = 9

5.5. Векторное произведение.
v v
 Векторным произведением двух векторов aиb
v v v c
называется вектор c =  a, b  , обладающий
b
 
следующими свойствами: ϕ
v v v v v
1) c = a b sin ϕ , где ϕ - угол между векторами a и b ā
v v v v
2) c ⊥ a, c ⊥ b
v v v
3) векторы a, b, c образуют правую тройку векторов.

Свойства:
v v v v
1) b, a  = −  a, b  (антикоммутативность);
   
v v v uuv v v
2)  λ a, b  =  a, λb  = λ  a, b  ;
     
v v v v v v v
3)  a+b, c  =  a, c  + b, c 
     
v v v v
4) a  b ⇒  a, b  = 0
 
5) (геометрический смысл векторного произведения):
b
S
24 ā

v v
модуль векторного произведения   a, b  = S - площади параллелограмма,

v v
построенного на векторах a и b .

Теорема 5.4. (о вычислении векторного произведения).
v v
Пусть a = { a1; a2 ; a3} , b = { b1; b2 ; b3} . Тогда
v v v
i j k
v v
 a, b  = a1 a2 a3
 
b1 b2 b3
Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы о
скалярном произведении, с поправкой на свойства векторного произведения.

Замечание. Для векторов на плоскости (с двумя координатами) векторное
произведение не определено.

v v
Пример. Два вектора отложены из одной точки: a = { 1; − 2; 2} , b = { 3; 0; 4} .
Найти высоту параллелограмма, построенного на этих векторах, опущенную из
v
конца вектора a .
Решение:
Рассмотрим параллелограмм ABCD,
B
ā C построенный на данных векторах.
h v
С одной стороны, как известно, S ABCD = b ×h . С
А
b D другой стороны,воспользовавшись
v v
геометрическим смыслом векторного произведения, имеем: S ABCD =  a, b  .
 
v v v
i j k
v v v v v
Найдем векторное произведение:  a, b  = 1 −2 2 = −8i − (−2) j + 6k ,
 
3 0 4
v v
следовательно,  a, b  = 64 + 4 + 36 = 2 26 .
 
v S 2 26
Кроме того, найдем b = 9 + 0 + 16 = 5 . Таким образом, h = v = .
b 5

5.6. Смешанное произведение.
v v v
 Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число,
) ( )
v v v v v v
определяемое соотношением a, b, c =(  a, b  , c .
 
25

Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике
представляет его геометрический смысл:

Теорема 5.5. Модуль смешанного произведения трех
v v v
ненулевых векторов a, b, c равен объему c
параллелепипеда, построенного на этих V
векторах, отложенных из одной точки: b
v v v
( )
a, b, c = V . ā
Следствие. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно 0.

Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении
скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:

Теорема 5.6. (о вычислении смешанного произведения). v
v v
Пусть a = { a1; a2 ; a3} , b = { b1; b2 ; b3 } б c = { c1; c2 ; c3} . Тогда
a1 a2 a3
v v v
( )
a, b, c = b1 b2 b3 .
c1 c2 c3

Пример. Выяснить, лежат ли точки A(5; 7; -2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4),
D(1; 5; 0) в одной плоскости.
Решение: Данные точки будут лежать в одной плоскости в том и только том
uuu uuur uuur
r
случае, если векторы AB, AC , AD компланарны, что в свою очередь,
равносильно утверждению, что смешанное произведение этих векторов равно
0. Проверим, так ли это.
uuur uuur uuur
AB (−2; − 6;1), AC (4; − 3; − 2), AD(−4; − 2; 2) ;
−2 −6 1 −2 −6 1
uuu uuur uuur
r −2 1
( )
AB, AC , AD = 4 −3 −2 = 4 −3 −2 = −(−5)
4 −2
=0,
−4 −2 2 0 −5 0
следовательно, данные точки лежат в одной плоскости.

§6. Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Уравнения прямых на плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной декартовой системой координат.

26

 Общее уравнение прямой
Утверждение. Любая прямая на плоскости описывается уравнением линии
первого порядка:
Ax+By+C=0 (А2+В2≠0).
Это значит, что если точка плоскости принадлежит данной прямой, то ее
координаты удовлетворяют уравнению этой прямой и наоборот, если два числа
x и y удовлетворяют уравнению прямой, то точка с такими координатами
принадлежит соответствующей прямой.
В частности,
если С=0, А≠0, В≠0, то прямая проходит через начало координат;
если А=0, В≠0, С≠0, то прямая параллельна оси Ох;
если В=0, А≠0, С≠0, то прямая параллельна оси Оy;
ось Ох имеет уравнение y=0; ось Оy имеет уравнение х=0.

Для того, чтобы написать уравнение прямой, можно использовать
различные данные. Соответственно, получаются различные виды уравнения
прямой (каждый из которых, тем не менее, можно привести к виду общего
уравнения). Собственно, вывод уравнения прямой на плоскости и является
доказательством сформулированного выше утверждения.
y P
 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть известно, что точка Р0(х0, y0) принадлежит P0
прямой, а угол, образованный данной прямой с С
α
положительной полуосью Ох, равен α. Составим
уравнение прямой. O x
Пусть точка Р(х;y) – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.
Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник VP0 PC :
y − y0
tg ∠PP0C = tgα = . Обозначив k=tgα, получаем уравнение прямой в виде
x − x0
y-y0=k(x-x0), или y =kx+b (b= y0+kx0)

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой, а точку Р0 – ее
начальной точкой .

 Каноническое уравнение прямой
Пусть точка Р0(х0; y0) – начальная точка прямой, а вектор v = { v1; v2 }
параллелен прямой (он называется ее направляющим вектором).
27

Точка Р(х; y) принадлежит данной прямой
тогда и только тогда, когда векторы P
uuuv
P0 P = { x − x0 ; y − y0 } и v коллинеарны. Вспомнив v
свойства координат векторов, запишем это условие
P0
в координатной форме:
x − x0 y − y0
= .
v2 v2

 Уравнение прямой, проходящей через две точки:
P2
Если даны две точки Р1(x1; y1), P2(x2; y2),
принадлежащие прямой, то в качестве направляющего P1
вектора мы можем выбрать вектор
uuuu
v
P P2 = { x2 − x1; y2 − y1} и записать каноническое уравнение:
1

x − x1 y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1

 Нормальное уравнение прямой n
Пусть Р0(х0; y0) – начальная точка прямой, а вектор Р
v
n = { n1; n2 } , перпендикулярен данной прямой (будем его
Р0
называть нормальным вектором).
Точка Р(х; y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда
uuuv v
векторы P0 P = { x − x0 ; y − y0 } и n перпендикулярны, следовательно, их
скалярное произведение равно нулю:
n1 ( x − x0 ) + n2 ( y − y0 ) = 0 .

 Взаимное расположение прямых на плоскости
Сравнивая различные виды уравнения прямой на плоскости, легко видеть,
что, с точностью до постоянного множителя, А=n1=v2, B=n2=-v1.

Пусть даны две прямые
l1: A1x+B1y+C1=0 ; l2: A2x+B2y+C2=0. Тогда:
A1 B1
а) l1l2 ⇔ = (в частности, может быть А1=А2, В1=В2);
A2 B2
A1 B1 C1
б) l1=l2 ⇔ = = ;
A2 B2 C2
в) l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1B2 = 0 (в частности, может быть В1=А2, В2=-А1);
г) Точка пересечения прямых определяется системой линейных уравнений:

28

 A1x + B1 y + C1 = 0,

 A2 x + B2 y + C2 = 0. uu
v
д) Угол между прямыми равен острому углу n1 uu
v
uu
v v2
между их направляющими векторами, а также n2 ϕ ϕ uv
острому углу между их нормальными v1
векторами. Следовательно,
uvuuv
n1 n2 A1 A2 + B1B2 l1
cos ϕ = uv uu =
v . l2
n1 n2 A12 + B12 A2 2 + B22
Пусть теперь две прямые заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
l1: y=k1x+b1; l2 y=k2x+b2. Тогда:
а) l1l2 ⇔ k1=k2;
б) l1=l2 ⇔ k1=k2 и b1=b2 ;
в) l1 ⊥ l2 ⇔ k1k2 = −1;
г) Решив совместно данные уравнения, получаем координаты точки
b2 − b1 b −b
пересечения прямых: x = , y = k1 2 1 + b1 ;
k1 − k2 k1 − k2
д) Если k2 > k1,т.е. ϕ2 > ϕ1 , то угол между прямыми ϕ = ϕ 2 − ϕ1 ,
tgϕ2 − tgϕ1 k2 − k1
следовательно: tgϕ = tg(ϕ 2 − ϕ1 ) = = .
1 + tgϕ1tgϕ2 1 + k1k2

Пример. Дано общее уравнение прямой l: 2x-5y+6=0.
1) выяснить, лежит ли на данной прямой точка А(2; 2);
2) написать для прямой l уравнение с угловым коэффициентом;
3) написать уравнение прямой l1, параллельной данной и
проходящей через точку В(1; -3);
4) найти проекцию точки В на прямую l.
Решение.
1) Точка А лежит на прямой l ⇔ координаты точки А удовлетворяют
уравнению прямой. Проверим: 2⋅2-5⋅2+6=0 – верно. Следовательно, точка А
принадлежит данной прямой.
2) Для того, чтобы написать уравнение с угловым коэффициентом, выразим из
2x + 6 2 6
данного общего уравнения у: y = ; y= x+ .
5 5 5
3) Из общего уравнения прямой l найдем координаты вектора n ⊥ l : n (2; − 5) .
Пусть n1 ⊥ l1 , тогда n1  n . В частности, можно считать, что n1 = n . Тогда
29

запишем уравнение прямой l1 с перпендикулярным вектором, проходящей
через точку В: 2(х-1)-5(y+3)=0. Таким образом, получаем искомое уравнение:
l1: 2x-5y-17=0.
4) Сначала решим эту задачу на чертеже. Проведем
B через точку В прямую l2, перпендикулярную прямой l
l и найдем пересечение прямых l и l2.
Найденная точка N и будет искомой проекцией
N точки В на прямую l. Теперь проделаем те же
l2 действия в аналитической форме.
Найдем уравнение прямой l2. Поскольку l2 ⊥ l , то
v2  n ; пусть v2 = {2; − 5} . Запишем уравнение прямой l2, проходящей через
точку В, с направляющим вектором:
x −1 y + 3
l2 : = , откуда получаем общее уравнение l2 : 5 x + 2 y + 1 = 0 .
2 −5
Найдем точку пересечения N = l ∩ l2 , решив систему уравнений
2 x − 5 y + 6 = 0, 17 28
 ⇒ x=− , y=
 5x + 2 y + 1 = 0 29 29
17 28
Таким образом, искомая точка N (− ; ) .
29 29

6.2. Кривые второго порядка на плоскости

 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.
Если выбрать систему координат на у
плоскости так, чтобы начало координат R
совпадало с центром окружности, то ее
R
уравнение будет выглядеть так: х
x +y =R ,
2 2 2

где R – радиус окружности.

 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма
расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть
величина постоянная (которая больше, чем
расстояние между фокусами). у
Если система координат расположена по b
отношению к эллипсу так, чтобы фокусы -a -c c a
F2 F1 х
30
-b

эллипса находились на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в
точках F1(c;0) и F2(-c;0), то этот эллипс будет описываться каноническим
уравнением:
x2 y 2
(1) + = 1, (a>b)
a 2 b2
где а – большая полуось, b – малая полуось эллипса; сумма расстояний от
любой точки эллипса до его фокусов равна 2а, причем a2=b2+c2.
Точки А1(а;0), А2(-а;0), B1(b;0), B2(-b;0) называют вершинами эллипса.
Эллипс – центральносимметричная фигура; его центр в рассматриваемом
случае совпадает с началом координат.
Для того, чтобы изобразить эллипс, описываемый уравнением (1) в системе
координат, удобно сначала начертить так называемый осевой прямоугольник,
отмеченный на чертеже пунктирной линией, а затем вписать в него эллипс.
Отметим, что, если в уравнении вида (1) b>a, то b – большая полуось и
эллипс расположен «вертикально», т.е. его фокусы находятся на оси Оу.
c
Величина ε = < 1 называется эксцентриситетом эллипса и
a
характеризует его «сплюснутость». Если ε=0, то с=0, a=b, в этом случае эллипс
превращается в окружность. Если ε=1, то с=а, следовательно, b=0, и эллипс
вырождается в отрезок F1F2.
Взаимное расположение точки М1(х1;у1) и эллипса (1) определяется
следующими условиями:
x12 y12 x12 y12
если 2 + 2 = 1, то точка лежит на эллипсе; если 2 + 2 < 1 , то точка лежит
a b a b
2 2
x y
внутри эллипса; если 12 + 12 > 1, то точка лежит вне эллипса.
a b

 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль
разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная (которая меньше, чем расстояние между фокусами).
Если поместить фокусы гиперболы в у
точках F1(c;0) и F2(-c;0), то эта гипербола В1 b
будет описываться каноническим -c -a a c
уравнением: F2 А2 А1 F1 х
x2 y2 В2 -b
(2) − = 1,
a 2 b2

31

где b2=c2-a2; 2a – постоянная величина из определения гиперболы.
c
Эксцентриситет гиперболы ε = > 1 .
a
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично
относительно осей координат. Точки А1(а;0) и А2(-а;0) называются вершинами
гиперболы, отрезок А1А2 называется действительной осью гиперболы, а
отрезок В1В2 (где В1(b;0), B2(-b;0)) – мнимой осью. Гипербола имеет две
b
асимптоты, уравнения которых y = ± x . Как и эллипс, гипербола –
a
центральносимметричная фигура; ее центр в данном случае совпадает с
началом координат.
Для того, чтобы изобразить гиперболу (2) в системе координат, следует
вначале построить осевой прямоугольник (изображен пунктирной линией).
Далее, проводят асимптоты гиперболы – прямые, соединяющие
противоположные вершины этого прямоугольника. Затем строят симметричные
ветви гиперболы, которые проходят через вершины, касаются осевого
прямоугольника и приближаются к асимптотам, но не пересекают их.
Уравнение
у
y 2 x2
(3) − =1
b2 a 2 В1 b
также является уравнением гиперболы, но -a a
действительной ее осью служит отрезок А2 А1 х
В1В2 оси Оу, так что эта гипербола В2 -b
расположена «вертикально».
Гиперболы (2) и (3), у которых одни и те же полуоси и одни и те же
асимптоты, но мнимая ось одной гиперболы служит действительной осью для
другой, называют сопряженными.

 Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково
удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой,
называемой директрисой. у p>0
Если директрисой параболы является прямая
p
x = − , а фокусом – точка F(p/2;0), то уравнение
2 p/2
параболы имеет вид -p/2
х
(4) y 2 = 2 px . F
Эта парабола расположена симметрично относительно
оси Ох.

32

Точка пересечения параболы и ее оси симметрии (в рассматриваемом случае –
начало координат) называется вершиной параболы.
Уравнение
(5) x 2 = 2 py .
является уравнением «вертикальной» параболы, которая симметрична
относительно оси Оу. Если p>0, то ветви параболы обращены в положительную
сторону оси (вправо и вверх соответствиенно), при p<0 – в отрицательную
сторону (влево и вниз).

 Общий вид уравнения кривой второго порядка на плоскости следующий:
(6) Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0.
При помощи параллельного переноса и поворота осей координат, любое
уравнение вида (6) можно привести к каноническому виду, получив в новой
системе координат одно из следующих уравнений (в скобках указаны кривые,
задаваемые этими уравнениями):
x2 y 2
+ = 1 (эллипс)
a2 b2
x2 y 2
+ = 0 (вырожденный эллипс - единственная точка (0;0))
a2 b2
x2 y 2
+ = −1 (мнимый эллипс, которому не принадлежит ни одна точка плоскости)
a2 b2
x2 y2 y2 x2
− = 1 или 2 − 2 = 1 (гиперболы)
a 2 b2 b a
x 2
y 2
b
− 2 = 0 (две прямые: y = ± x )
a2 b a
y = 2 px или x = 2 py (параболы)
2 2

y 2 = a 2 или x 2 = a 2 , a ≥ 0 (две прямые: y = ± a или x = ± a )
y 2 = −a 2 или x 2 = − a 2 , a>0 (мнимые прямые)
В частности, если уравнение кривой второго порядка (6) не содержит
слагаемого Вху, то оно приводится к каноническому виду путем выделения
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
полных квадратов. Например, уравнение + = 1 описывает
a2 b2
эллипс, центр которого смещен из начала координат в точку (х0;у0).

Пример 1. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника,
стороны которого заданы уравнениями х-у+1=0, х+5у+13=0, 2х+у-1=0.
33

Решение. Найдем координаты вершин треугольника – точек пересечения
данных прямых. Для этого решим три системы уравнений:
 x − y + 1 = 0,  x − y + 1 = 0,  x + 5 y + 13 = 0,
  
 x + 5 y + 13 = 0; 2 x + y − 1 = 0;  2 x + y − 1 = 0.
Получаем точки А(-3;-2), В(0;1), С(2;-3).
Будем искать уравнение окружности в общем виде, т.е.
(х-а)2+(у-b)2=R2.
Поскольку искомая окружность должна быть описана около треугольника
АВС, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности.
Подставляя поочередно координаты всех трех точек уравнение окружности,
получаем три уравнения относительно неизвестных параметров a, b, R:
( −3 − a) 2 + (−2 − b) 2 = R 2 ,

 (−a) + (1 − b) = R ,
2 2 2

 (2 − a) 2 + (3 − b) 2 = R 2 .

Преобразуем систему:
( −3 − a) 2 + (−2 − b) 2 = a 2 + (1 − b) 2 , 9 + a 2 + 6a + 4 + b 2 + 4b = a 2 + 1 + b 2 − 2b,
 
(2 − a) + (−3 − b) = a + (1 − b) , 4 + a − 4a + 9 + b + 6b = a + 1 + b − 2b,
2 2 2 2 2 2 2 2

a 2 + (1 − b) 2 = R 2 ; a 2 + (1 − b) 2 = R 2 ;
 
6a + 6b = −12,
 1 5 65
−4a + 8b = −12, откуда a = − , b = − , R =
2
.
a 2 + (1 − b) 2 = R 2 ; 3 3 9

1 2 5 2 65
Таким образом, искомое уравнение имеет вид ( x + ) + ( y + ) = .
3 3 9

Пример 2. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип
задаваемой им кривой, построить: 16х2+25у2-32х+50у-359=0.
Решение. Выделим в левой части данного уравнения полные квадраты:
16х2-32х=16(х2-2х)=16(х2-2х+1-1)=16(х-1)2-16,
25у2+50у=25(у+1)2-25.
Перенеся свободный коэффициент в правую часть уравнения, получаем:
16(х-1)2+25(у+1)2=400.
Для того, чтобы привести это уравнение к каноническому виду, разделим обе
части уравнения на 400:
( x − 1) 2 ( y + 1) 2
+ =1
25 16

34

Получили уравнение эллипса с центром в точке (1;-1) и полуосями а=5,
b=4. Построим его:
у

х

§7. Аналитическая геометрия в пространстве

7.1. Уравнение плоскости в пространстве

Рассмотрим трехмерное пространство с заданной декартовой системой
координат.

 Общее уравнение плоскости
Утверждение. Любая плоскость в трехмерном пространстве описывается
уравнением первого порядка: Ах+Ву+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0)

В частности, если D=0, то плоскость проходит через начало координат;
плоскость хОу имеет уравнение z=0; плоскость xOz имеет уравнение y=0;
плоскость yOz имеет уравнение х=0.
v
 Нормальное уравнение плоскости n = { A; B; C}
Пусть известна точка М0(х0;у0;z0), n ( A; B; C )
принадлежащая плоскости (начальная точка) и
v
ненулевой вектор n = { A; B; C} , M0(x0;y0;z0)
перпендикулярный этой плоскости (нормальный α M(x; y; z)
вектор плоскости).
Произвольная точка пространства М(х; у; z) принадлежит данной
v uuuuuu v v uuuuuuv
плоскости тогда и только тогда, когда n ⊥ M 0 M , то есть n, M 0 M = 0 . ( )
Записывая скалярное произведение в координатной форме, получаем
нормальное уравнение плоскости:

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
35

Если в этом уравнении раскрыть скобки, получится общее уравнение
плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 (где D=-Ax0-By0-Cz0). Этот факт и доказывает
сформулированное выше утверждение.

 Уравнение плоскости по трем точкам или по точке и двум векторам
Пусть даны три точки, принадлежащие плоскости: М1(х1;у1;z1), M2(x2;y2;z2),
M3(x3;y3;z3).
r uuuuuur uuuuuur
u u
Три данные точки задают два вектора, n = [ M1M 2 ; M1M 3 ]
uuuuuuv uuuuuuv
u u
параллельных плоскости: M1M 2 и M1M 3 . Их
M3
векторное произведение будет вектором, М1
перпендикулярным им обоим, а значит, M2
перпендикулярным и искомой плоскости. α
Таким образом, мы можем воспользоваться нормальным уравнением
плоскости, взяв в качестве начальной точки одну из данных, (например, М1), и в
r uuuuuur uuuuuur
u u
качестве нормального вектора векторное произведение n = [ M 1M 2 ; M1M 3 ]

Аналогично, если дана точка М0(х0;у0;z0), принадлежащая плоскости
v v
(начальная точка) и два вектора u = { u1; u2 ; u3} , v = { v1; v2 ; v3 } , параллельные этой
плоскости, то уравнение плоскости можно записать в нормальном виде, взяв в
r r r
качестве нормального вектора векторное произведение n = [u; v]

7.2. Уравнения прямой в пространстве

 Общее уравнение прямой π2
Пусть прямая задана как пересечение
двух плоскостей: l = π1 ∩ π 2 , где l
π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,
π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 . π1
 A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,
Тогда система  задает множество точек прямой и
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
называется общим уравнением прямой.

 Канонические уравнения прямой
P
Пусть задана начальная точка прямой v
Р0(х0, y0, z0)∈l и направляющий вектор
v l
v = { v1; v2 ; v3 } l . P0
uuuv v
Тогда P ( x, y, z ) ∈ l ⇔ P0 P v , откуда получаем уравнения прямой в виде

36

x − x0 y − y0 z − z0
= = .
v2 v2 v3

Аналогичным образом составляются канонические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки Р1 и Р2, так что в качестве направляющего
uuuu
v
вектора можно выбрать вектор P P2 .
1

 Параметрические уравнения прямой
Введение коэффициента пропорциональности t в канонические уравнения
прямой позволяет записать ее параметрические уравнения:
 x = x0 + v1t

 y = y0 + v2t
z = z +v t
 0 3
Эти уравнения означают, что для каждой точки прямой существует
значение параметра t через который выражаются координаты этой точки и
наоборот, для каждого значения t точка с соответствующими кооординатами
принадлежит прямой.
Применение этих уравнений удобно, например, для нахождения точки
пересечения прямой и плоскости.

7.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Пусть прямые и плоскости заданы своими уравнениями:
π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ,
x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2
l1 : = = , l2 : = = .
v1 v2 v3 w1 w2 w3
Заметим, что этиuv уравнения позволяют нам выписать нормальные векторы
uuv
данных плоскостей: n1 = { A1; B1; C1} , n2 = { A2 ; B2 ; C2 } , направляющие векторы
v uv
прямых: v = { v1; v2 ; v3} , w = { w1; w2 ; w3 } и начальные точки прямых:
M1 ( x1, y1, z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) .
Тогда:
uv uu v A1 B1 C1
а) π1 π 2 ⇔ n1 n2 ⇔ = = ;
A2 B2 C2
uv uu v uv uuv
( )
б) π1 ⊥ π 2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1 , n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 ;
в) углом между плоскостями называется острый угол между их нормальными
uv uuv
(
n1, n2
векторами: cos ϕ = uv uuv
)
n1 n2

37

uv v A1 B1 C1
г) l1 ⊥ π 1 ⇔ n1 v ⇔ = = (например, A1 = v1 , B1 = v2 , C1 = v3 );
v1 v2 v3
uv v uv v
(
д) l1 π1 ⇔ n1 ⊥ v ⇔ n1, v = 0 ; )
v u v v1 v2 v3
е) l1 l2 ⇔ v w ⇔ = = (например, v1 = w1, v2 = w2 , v3 = w3 );
w1 w2 w3
v u uuuuuuu
v v
ж) l1 ∩ l2 ⇔ v, w, M 1M 2 компланарны l1
l 2 v
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
v
⇔ v1 v2 v3 = 0 ; M2 u
v
M1
w1 w2 w3 w
v u
v
( v, w )
з) угол между прямыми: cos ϕ = v u v ;
v w
и) угол между прямой l1 и плоскостью π1 равен углу между
прямой и ее проекцией на плоскость, но удобнее его
uv v
n1
находить при помощи угла между прямой и
перпендикуляром к плоскости:
ϕ
π
uv v
(
n1, v) π1
sin ϕ = cos( − ϕ ) = uv v .
2 n1 v
l
Пример. Найти точку Q, симметричную точке P(10; -5; 6) относительно
плоскости α, в которой лежат прямые
x +1 y − 3 z − 2 x −1 y − 3 z + 4
l1 : = = , l2 : = =
2 −2 −9 2 2 −3
Решение: Прежде всего, найдем уравнение P
плоскости α. Эта плоскость проходит через точку v
n
М1(-1; 3; 2) параллельно двум векторам
v u
v
v = { 2; − 2; − 9} и w = { 2; 2; − 3} . Вычислим их N
векторное произведение: α
r r r
i j k l
r r r r r
[v ; w] = 2 −2 −9 = 24i − 12 j + 8k Q
2 2 −3
1
Удобно умножить полученный вектор на и взять в качестве нормального
r 4
вектора n = {6; −3;2} . Запишем нормальное уравнение плоскости:
α : 6( x + 1) − 3( y − 3) + 2( z − 2) = 0 , или, раскрыв скобки:
α : 6 x − 3 y + 2 z + 11 = 0 .

38

Для того, чтобы найти точку, симметричную данной относительно
плоскости, необходимо опустить из точки Р на плоскость α перпендикуляр l,
затем найти точку N пересечения полученной прямой и плоскости и отложить
на этой прямой отрезок NQ, равный от резку PN.
Поскольку l ⊥ α , то в качестве направляющего вектора прямой мы
можем выбрать нормальный вектор плоскости. Следовательно, уравнение
перпендикуляра:
x − 10 y + 5 z − 6
l: = = .
6 −3 2
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости N = l ∩ α , запишем
уравнения прямой l в параметрической форме и подставим в уравнение
плоскости α:
l : x = 10 + 6t , y = −5 − 3t , z = 6 + 2t ;
6(10 + 6t ) − 3( −5 − 3t ) + 2(6 + 2t ) + 11 = 0; 49t + 98 = 0; t = −2 .
Следовательно, координаты точки N:
xN = 10 + 6( −2) = −2, y N = −5 − 3(−2) = 1, z N = 6 + 2(−2) = 2 .
Далее, точка N является серединой отрезка PQ, следовательно,
xP + xQ
xN = ⇒ xQ = 2 xN − xP = −14 . Аналогично находим yQ = 7, zQ = −2 .
2
Таким образом, Q(-14; 7; -2).

7.4. Поверхности второго порядка

В общем виде поверхность второго порядка в трехмерном пространстве
задается алгебраическим уравнением второго порядка:
a11x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + a12 xy + a13 xz + a23 yz + a1x + a2 y + a z + a0 = 0 .
Как и в случае кривых второго порядка на плоскости, при помощи
параллельного переноса и поворота осей системы координат, такое уравнение
сводится к одному из канонических уравнений, а поверхность принадлежит к
одному из типов, описанных ниже.
z
 Эллипсоид
x2 y 2 z 2 c
+ 2 + 2 =1
a 2
b c y
На примере эллипсоида опишем процесс a b
построения поверхности. Для этого применяется
метод линий уровня, то есть линий пересечения x
поверхности с плоскостями, параллельными, например, плоскости хОу.

39

x2 y2
При z=0 (т.е. в плоскости хОу) получаем 2 + 2 = 1 - эллипс с полуосями a, b.
a b
При z=const, z < c (в плоскостях, параллельных хОу) получаем
x2 y 2 z2
+ = 1 − 2 - эллипсы с полуосями, меньшими чем a, b.
a2 b2 c
x2 y 2
При z = ±c получаем + = 0 - точка (0; 0).
a2 b2
При z=const, z > c получаем мнимые эллипсы. То есть пересечений с
поверхностью нет.
Итак, линии уровня данной поверхности – эллипсы. Теперь найдем
пересечения с плоскостями xOz и yOz:
x2 z 2 y2 z2
при y=0 получаем эллипс 2 + 2 = 1 ; при х=0 получаем эллипс 2 + 2 = 1 .
a c b c
 Однополостной  Двуполостной  Конус
гиперболоид гиперболоид
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2
+ − =1 + − = −1 + =
a 2 b2 c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c 2
z
z
z

y y
b
a c y
x x
x

 Эллиптический параболоид  Гиперболический параболоид
x2 y 2 x2 y 2
+ = 2 pz − = 2 pz
a 2 b2 a2 b2
z z
y
y
x x

Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные прямыми,
параллельными некоторой оси. Уравнение такой поверхности не содержит
переменной, соответствующей этой оси. Для построения цилиндрической
40

поверхности надо построить образующую, которую задает данное уравнение в
одной из координатных плоскостей и восстановить над ней цилиндр.
 Эллиптический цилиндр  Гиперболический цилиндр  Параболический
z
x2 y 2 x2 y 2 цилиндр y 2 = 2 px
y
+ =1 − =1
a 2 b2 a2 b2
z z z
y x
y
y

x x
x

41

векторная алгебра+аналитическая геометрия

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (9)

Similar a векторная алгебра+аналитическая геометрия

Similar a векторная алгебра+аналитическая геометрия (20)

векторная алгебра+аналитическая геометрия