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PROPOSICIONEjemplos:"Hoy es Lunes""Estoy en la clase de Física"a:b:Enunciado al que se lo puede calificar obien como Verda...
• NO PROPOSICIONES ¡Ojala deje de llover! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto.VALOR DE VERDADVe...
OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOSNEGACIÓN NoSímbolo :baEjemplos: "Hoy no es Lunes ":“ No Estoy en la clase de Física"No es v...
CONJUNCIÓN“y”Símbolo:Ejemploa : "Tengo un lápiz"b : "Tengo un cuaderno"ba : "Tengo un lápiz y un cuaderno "baa b0110 00 00...
DISYUNCION INCLUSIVA“O”Símbolo:Ejemploa : "Tengo un lápiz"b : "Tengo un cuaderno ": "Tengo un lápiz o un cuaderno "0110 00...
DISYUNCION EXCLUSIVA“0……o.…..”Símbolo:Ejemploa : “Daniel está en España "b : “Daniel está en Italia": “Daniel está en Espa...
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)Símbolo:Ejemploa : “Apruebas el preuniversitario"b : “Te regalaré un carro": “Si aprue...
AntecedenteHipótesisPremisaConsecuenteTesisConclusión.baOTROS LENGUAJES RELACIONADOS:a implica bBasta a para ba sólo si...
ba“a es condición suficiente para b”“b es condición necesaria para a”Ejemplo:"Si un número es divisible para 4 entonces es...
baVARIACIONESLA RECÍPROCA: b aLA INVERSA: a bLA CONTRARRECÍPROCA: b aEjemplo:Si me pagan entonces iré a trabajar“Iré a tra...
baVARIACIONESOPERADORES LÓGICOSImportante"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"RECÍPROCA:"Si un n...
BICONDICIONALbaSímbolo: abba0110 10 00 011 1TABLADEVERDADa b baLenguaje RelacionadoEjemplo:OPERADORES LÓGICOSSignifica:a :...
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASSimples: No poseen operador lógicoCompuestas: Formadas por varias proposicionesy operado...
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASa b c d a c dEjemplo:Determine el valor de verdad de las proposicionessimples sabiendo q...
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IMPLICACIONES LÓGICASSean A y B dos formas proposicionales, sedice que A implica lógicamente a B si y sólosi es una tautol...
IMPLICACIONES LÓGICASAlgunas implicaciones lógicas típicas son:qpp Adiciónpqp Simplificaciónqqpp Modus Ponenspqqp Modus To...
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ALGEBRA DE PROPOSICIONESOtras:Ley del tercer excluido1p p0p p Ley de la contradicciónp q r p q r Ley de exportación0p q p ...
Demostrar:EJEMPLOp p q pSolución:0p p qp p qp q q p qIdentidadContradicciónp q p q p q Distributivasp q p q Idempotenciap ...
Sea la proposición:“Si tú eres inteligente y no resuelves el problemaentonces desconoces la materia ”Siendo: m: Tú eres in...
Sea la proposición:“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero sihay huelga, entonces no voy a la Universidad”Siendo: a...
RAZONAMIENTOS  CONCLUSIÓNPRINCIPALOPERADORHIPOTESISOPREMISASn CHHHH 321VALIDEZUn razonamiento es VÁL...
RAZONAMIENTOSEJEMPLO1"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; siaumentan los ingresos, se recupera la inversión. ...
EJEMPLO1rprqqpPRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalenciasp q q r p r Implicaciónp q q r p r De Morganp q q r p r De Mo...
EJEMPLO1010rprqqp1 1 1 01 01p0r1 1VALIDO(0)(0)(1)Segundo Método: Reducción al AbsurdoRAZONAMIENTOS30
RAZONAMIENTOSEJEMPLO2"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, noaprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ...
RAZONAMIENTOSEJEMPLO2PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalenciasp q r q p r Implicaciónp q r q p r De Morganp q r q p ...
RAZONAMIENTOS1rpqrqp01011 01 111 11p1rVALIDO(0)(0)(1) 33Segundo Método: Reducción al AbsurdoEJEMPLO2
La Lógica es difícil o no les gusta a muchosestudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces laLógica no es difícil. Por...
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Lógica matemática

  1. 1. 1
  2. 2. PROPOSICIONEjemplos:"Hoy es Lunes""Estoy en la clase de Física"a:b:Enunciado al que se lo puede calificar obien como Verdadero o bien como Falso.NOTACIÓN:Primeras letras del abecedario en minúscula2
  3. 3. • NO PROPOSICIONES ¡Ojala deje de llover! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto.VALOR DE VERDADVerdadero: 1Falso: 0Cualidad de una proposición de ser verdadera ode ser falsa.3
  4. 4. OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOSNEGACIÓN NoSímbolo :baEjemplos: "Hoy no es Lunes ":“ No Estoy en la clase de Física"No es verdad queNo es cierto quea a0011Tabla de verdadLenguajeRelacionado4
  5. 5. CONJUNCIÓN“y”Símbolo:Ejemploa : "Tengo un lápiz"b : "Tengo un cuaderno"ba : "Tengo un lápiz y un cuaderno "baa b0110 00 00 011 1Tabla de verdadOPERADORES LÓGICOSLenguajeRelacionado “pero”5
  6. 6. DISYUNCION INCLUSIVA“O”Símbolo:Ejemploa : "Tengo un lápiz"b : "Tengo un cuaderno ": "Tengo un lápiz o un cuaderno "0110 00 10 111 1Tabla de verdada ba b baLenguajeRelacionadoOPERADORES LÓGICOS6
  7. 7. DISYUNCION EXCLUSIVA“0……o.…..”Símbolo:Ejemploa : “Daniel está en España "b : “Daniel está en Italia": “Daniel está en España o en Italia"0010 00 10 111 1Tabla de verdada b“o bien……o bien…..”babababaLenguajeRelacionadoOPERADORES LÓGICOSa bbaSignifica:7
  8. 8. ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)Símbolo:Ejemploa : “Apruebas el preuniversitario"b : “Te regalaré un carro": “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro"0110 10 10 011 1Tabla de verdad a bbababaLenguajeRelacionadoOPERADORES LÓGICOS“Si…..entonces.….”a b8
  9. 9. AntecedenteHipótesisPremisaConsecuenteTesisConclusión.baOTROS LENGUAJES RELACIONADOS:a implica bBasta a para ba sólo si bb si ab cada vez que aa solamente si bb siempre que ab puesto que ab porque ab con la condición de que aOPERADORES LÓGICOSENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)9
  10. 10. ba“a es condición suficiente para b”“b es condición necesaria para a”Ejemplo:"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"OPERADORES LÓGICOSverdadera1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2"2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4"“Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2"“Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4"Condición Necesaria yCondición SuficienteENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)10
  11. 11. baVARIACIONESLA RECÍPROCA: b aLA INVERSA: a bLA CONTRARRECÍPROCA: b aEjemplo:Si me pagan entonces iré a trabajar“Iré a trabajar si me pagan”OPERADORES LÓGICOSLA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me paganLA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajarLA CONTRARRECÍPROCA: Si no voy a trabajar entonces no me paganENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)11
  12. 12. baVARIACIONESOPERADORES LÓGICOSImportante"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"RECÍPROCA:"Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"FalsoContraejemplo:“6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4"ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)Condicional:12
  13. 13. BICONDICIONALbaSímbolo: abba0110 10 00 011 1TABLADEVERDADa b baLenguaje RelacionadoEjemplo:OPERADORES LÓGICOSSignifica:a : “Un triángulo es equilátero”b : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida”: “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos deigual medida”a b“…..si y sólo si.….”a b13
  14. 14. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASSimples: No poseen operador lógicoCompuestas: Formadas por varias proposicionesy operadores lógicosa b c a bEjemplo: El valor de verdad deuna proposicióncompuesta depende delvalor de verdad de susproposiciones simples.Suponga que: 1a 0b 1c1 0 1 1 0 0011 0 1 1 0 00101 0 1 1 0 001011 0 1 1 014
  15. 15. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTASa b c d a c dEjemplo:Determine el valor de verdad de las proposicionessimples sabiendo que el valor de verdad de laproposición compuesta es VERDADERO.1111 1 11a0c1d1 000110b15
  16. 16. 11110000110011001010101011111100010101010101010011000000111010111111000011001100101010101111110001010101010101001100000011101011111000011001100101010101111110001010101010101001100000111010111110000110011001010101011111100010101010101010110000011101011111000011001100101010101111110001010100101010110000011101011111000011001100101010101111110010101001010101100000111010111110000110011001010101011111100101010010101011000001110101111000011001100101010101111110010101001010101100001110101111000011001100101010101111110010101001010111000011101011110000110011001010101011111100101010101011100001110101111000011001100101010101111110101010101011100001110101111000011001100101010101111110101010101011100001110111110000110011001010101011111101010101010111000111011111000011001100101010101111110101010101011000111011111000011001100101010101111110101010101011000111011111000011001100101010101111110101001010110001110111110000110011001010101011111010100101011000111011111000011001100101010101111101010010101100011101111000011001100101010101111101010010101100111011110000110011001010101011111010100101110011101111000011001100101010101111101010101110011101111000011001100101010101111010101011100111011110000110011001010101011110101010111001111111000011001100101010101111010101011101111111000011001100101010101111010101011011111110000110011001010101011110100101101111111000011001100101010101110100101101111111000011001100101010101110100101101111110000110011001010101011101001011111111000011001100101010101110100111111111000011001100101010101110101111111110000110011001010101011010111111111000011001100101010101101011111111000011001100101010101101011 111110000110011001010101011010 1 1111100001100110010101010110 0 1 11111000011001100101010101 0 0 1 11111000011001100101010101 0 0 11111000011001100101010101 0 01111000011001100101010101 011110000110011001010101011111000011001100101010101111000011001100111100001100111100001111FORMAS PROPOSICIONALESExpresión constituida por símbolos querepresentan o conectores lógicos o variablesproposicionales.Ejemplo p q r p q núm. var. prop.Total = 2p q r p q r p q r p q p q r p q16
  17. 17. 1Ejemplop q p q1 11 1 11 1 1 01 1 1 0 11 1 1 0 1 1111 1 0 1 111101 0 1 11110100 1 1111010001 1111010001011110100010111101010001011101011000101110101101001011101011010011011101011010011011110101101001101111110010110100110111111001010101001101111110010101011001110111111100101010110011101111110010101011001101111110010101011001110111111p q qp p qp p q p qSi se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valoresde verdad de las variables proposicionalesFORMAS PROPOSICIONALESTAUTOLOGÍASi se obtienen sólo proposiciones falsasSi se obtienen proposiciones verdaderas yotras falsas.CONTRADICCION:CONTINGENCIA:17
  18. 18. IMPLICACIONES LÓGICASSean A y B dos formas proposicionales, sedice que A implica lógicamente a B si y sólosi es una tautología.A BEn este caso se escribe: BAEjemplop q p q18
  19. 19. IMPLICACIONES LÓGICASAlgunas implicaciones lógicas típicas son:qpp Adiciónpqp Simplificaciónqqpp Modus Ponenspqqp Modus Tollensqpqp Silogismo Disyuntivorprqqp Silogismo Hipotético19
  20. 20. 111010001011110101000101110101100010111101000101110101101001011101011010011011101011010011011110101101001101111110010110100110111111001010101001101111110010101011001110111111100101010110011101111110010101011001101111110010101011001110111111111010001 1EQUIVALENCIAS LÓGICASSean A y B dos formas proposicionales. Se diceque A es lógicamente equivalente a B si y sólo sies una tautología.BAEn este caso se escribe:También:qp qpEjemploBABA11 11 1 11 1 1 01 1 1 0 11 1 1 0 1 1111 1 0 1 111101 0 1 11110100 1 1p q qp p qp qpqp20
  21. 21. ALGEBRA DE PROPOSICIONESCONJUNCIÓN DISYUNCIÓN11p00prqprqprqprqppqqp pqqpppp ppppp 1 pp 0ConmutativaAsociativaIdempotenciaIdentidadAbsorción21
  22. 22. ALGEBRA DE PROPOSICIONESOtras:rpqprqprpqprqpLeyes distributivaspp Doble negaciónp q p qLeyes de De MorganpqqpqpqpContrarrecíprocaImplicaciónp q p q22
  23. 23. ALGEBRA DE PROPOSICIONESOtras:Ley del tercer excluido1p p0p p Ley de la contradicciónp q r p q r Ley de exportación0p q p q Reducción al absurdo23
  24. 24. Demostrar:EJEMPLOp p q pSolución:0p p qp p qp q q p qIdentidadContradicciónp q p q p q Distributivasp q p q Idempotenciap q q Distributivas0p Contradicciónp Identidad24
  25. 25. Sea la proposición:“Si tú eres inteligente y no resuelves el problemaentonces desconoces la materia ”Siendo: m: Tú eres inteligenten: Tú resuelves el problemap: Tú desconoces la materiam n pa)Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:b) p m nc) m n pd) m p ne) m n pSolución:Primero: Traducción: m n pTransformamos empleando el álgebra deproposiciones:Segundo:m n pm n pm n pm n pEJEMPLOImplicaciónLey de De MorganImplicaciónAsociativa de la disyunción25
  26. 26. Sea la proposición:“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero sihay huelga, entonces no voy a la Universidad”Siendo: a: Hoy es juevesb: Tengo que dar un examenc: Hay huelgaa b c da)Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:b)d c a bc)a b c dd) a b c de) c d a bSolución:Primero: Traducción: a b c dTransformamos :Segundo:a b d ca b d cd c a bEJEMPLOContrarrecíprocaDoble NegaciónConmutativad: Me voy a la Universidad26
  27. 27. RAZONAMIENTOS  CONCLUSIÓNPRINCIPALOPERADORHIPOTESISOPREMISASn CHHHH 321VALIDEZUn razonamiento es VÁLIDO cuando la formaproposicional que se obtiene de la proposicióncompuesta que lo define, es tautológica.27
  28. 28. RAZONAMIENTOSEJEMPLO1"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; siaumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lotanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión"SOLUCIÓN:a: Aumenta la producciónb: Aumentan los ingresosc: Se recupera la inversióncacbbarprqqpTraducción:Forma proposicional:28
  29. 29. EJEMPLO1rprqqpPRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalenciasp q q r p r Implicaciónp q q r p r De Morganp q q r p r De Morganp q p q r r Asociativap p q p q r r rDel Tercero excluido1 1q p q rDistributivaRAZONAMIENTOSq p q r Identidad para la conjunciónq q p r Asociativa1 p r Del Tercero excluido1 Absorción para la disyunción29
  30. 30. EJEMPLO1010rprqqp1 1 1 01 01p0r1 1VALIDO(0)(0)(1)Segundo Método: Reducción al AbsurdoRAZONAMIENTOS30
  31. 31. RAZONAMIENTOSEJEMPLO2"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, noaprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudiosoy fiestero al mismo tiempo"Solución: a: Soy estudiosob: Aprobaré el cursoc: Soy fiesterocabcbarpqrqpTraducción:Forma proposicional:31
  32. 32. RAZONAMIENTOSEJEMPLO2PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalenciasp q r q p r Implicaciónp q r q p r De Morganp q r q p r De Morganp q r q p r Doble negaciónp q p r q r Asociativap p q p r r q r Distributiva1 1q p q r Del tercero excluidoq p q r Identidad para la conjunciónq q p r Asociativa1 p r Del tercero excluido1 Absorción para la disyunción32
  33. 33. RAZONAMIENTOS1rpqrqp01011 01 111 11p1rVALIDO(0)(0)(1) 33Segundo Método: Reducción al AbsurdoEJEMPLO2
  34. 34. La Lógica es difícil o no les gusta a muchosestudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces laLógica no es difícil. Por lo tanto, la Lógica es difícil.Solución: a: La lógica es difícilb: La lógica les gusta a muchos estudiantesc: La Matemática es fácil. aacbaEJEMPLO3 pprqp011011 1 10p0qNO VALIDO0 01r 0r0RAZONAMIENTOS34

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