1. Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
1 / 26

2. Subgraf
Un subgraf al unui graf G este un graf H astfel ˆ ıt V (H ) ⊆ V (G),
ıncˆ
E(H ) ⊆ E(G) si pentru orice muchie din E(H ) capetele acesteia sˆ ˆ
ınt ın
,
V (G).
Altfel spus, trebuie s˘ avem E(H ) ⊆ [V (H )]2 pentru ca H s˘ poat˘ fi
a
a
a
numit subgraf al lui G.
Pentru a desemna c˘ H este subgraf al lui G utiliz˘m notatia H ⊆ G si
a
a
,
,
putem spune c˘ H se contine ˆ G (sau G contine H ).
a
ın
,
,
Dac˘ H ⊆ G, H = ∅ si H = G spunem c˘ H este un subgraf propriu al
a
a
,
lui G.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 26

3. Subgraf
Un subgraf al unui graf G este un graf H astfel ˆ ıt V (H ) ⊆ V (G),
ıncˆ
E(H ) ⊆ E(G) si pentru orice muchie din E(H ) capetele acesteia sˆ ˆ
ınt ın
,
V (G).
Altfel spus, trebuie s˘ avem E(H ) ⊆ [V (H )]2 pentru ca H s˘ poat˘ fi
a
a
a
numit subgraf al lui G.
Pentru a desemna c˘ H este subgraf al lui G utiliz˘m notatia H ⊆ G si
a
a
,
,
putem spune c˘ H se contine ˆ G (sau G contine H ).
a
ın
,
,
Dac˘ H ⊆ G, H = ∅ si H = G spunem c˘ H este un subgraf propriu al
a
a
,
lui G.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 26

4. Subgraf
Un subgraf al unui graf G este un graf H astfel ˆ ıt V (H ) ⊆ V (G),
ıncˆ
E(H ) ⊆ E(G) si pentru orice muchie din E(H ) capetele acesteia sˆ ˆ
ınt ın
,
V (G).
Altfel spus, trebuie s˘ avem E(H ) ⊆ [V (H )]2 pentru ca H s˘ poat˘ fi
a
a
a
numit subgraf al lui G.
Pentru a desemna c˘ H este subgraf al lui G utiliz˘m notatia H ⊆ G si
a
a
,
,
putem spune c˘ H se contine ˆ G (sau G contine H ).
a
ın
,
,
Dac˘ H ⊆ G, H = ∅ si H = G spunem c˘ H este un subgraf propriu al
a
a
,
lui G.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 26

5. Subgraf
Un subgraf al unui graf G este un graf H astfel ˆ ıt V (H ) ⊆ V (G),
ıncˆ
E(H ) ⊆ E(G) si pentru orice muchie din E(H ) capetele acesteia sˆ ˆ
ınt ın
,
V (G).
Altfel spus, trebuie s˘ avem E(H ) ⊆ [V (H )]2 pentru ca H s˘ poat˘ fi
a
a
a
numit subgraf al lui G.
Pentru a desemna c˘ H este subgraf al lui G utiliz˘m notatia H ⊆ G si
a
a
,
,
putem spune c˘ H se contine ˆ G (sau G contine H ).
a
ın
,
,
Dac˘ H ⊆ G, H = ∅ si H = G spunem c˘ H este un subgraf propriu al
a
a
,
lui G.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 26

6. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
H = ({u, v, x, z}, {uv, xz})
G
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
I = ({u, v, x, y, z}, {})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
J = ({u, v, x, z}, {uv, xz, vy})
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 26

7. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
H = ({u, v, x, z}, {uv, xz})
G
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
I = ({u, v, x, y, z}, {})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
J = ({u, v, x, z}, {uv, xz, vy})
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 26

8. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
H = ({u, v, x, z}, {uv, xz})
G
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
I = ({u, v, x, y, z}, {})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
J = ({u, v, x, z}, {uv, xz, vy})
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 26

9. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
H = ({u, v, x, z}, {uv, xz})
G
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
I = ({u, v, x, y, z}, {})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
J = ({u, v, x, z}, {uv, xz, vy})
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 26

10. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
H = ({u, v, x, z}, {uv, xz})
G
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
I = ({u, v, x, y, z}, {})
J = ({u, v, x, z}, {uv, xz, vy})
Structura J nu este subgraf al lui G
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 26

11. Cazuri particulare de subgrafuri
Dac˘ H ⊆ G si V (H ) = V (G), atunci H se numeste subgraf de
a
,
,
acoperire.
Dac˘ H ⊆ G si E(H ) contine toate muchiile uv ∈ E(G) cu
a
,
,
u, v ∈ V (H ), atunci H se numeste subgraf indus(sau generat) de
,
multimea V (H ) – si se noteaz˘ H = G[V (H )].
a
,
,
Dac˘ H ⊆ G si V (G) const˘ numai din extremit˘tile muchiilor din
a
a
a,
,
E(H ) atunci H se numeste subgraf muchie-indus de E(H ) si se
,
,
noteaz˘ G[E(H )].
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 26

12. Cazuri particulare de subgrafuri
Dac˘ H ⊆ G si V (H ) = V (G), atunci H se numeste subgraf de
a
,
,
acoperire.
Dac˘ H ⊆ G si E(H ) contine toate muchiile uv ∈ E(G) cu
a
,
,
u, v ∈ V (H ), atunci H se numeste subgraf indus(sau generat) de
,
multimea V (H ) – si se noteaz˘ H = G[V (H )].
a
,
,
Dac˘ H ⊆ G si V (G) const˘ numai din extremit˘tile muchiilor din
a
a
a,
,
E(H ) atunci H se numeste subgraf muchie-indus de E(H ) si se
,
,
noteaz˘ G[E(H )].
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 26

13. Cazuri particulare de subgrafuri
Dac˘ H ⊆ G si V (H ) = V (G), atunci H se numeste subgraf de
a
,
,
acoperire.
Dac˘ H ⊆ G si E(H ) contine toate muchiile uv ∈ E(G) cu
a
,
,
u, v ∈ V (H ), atunci H se numeste subgraf indus(sau generat) de
,
multimea V (H ) – si se noteaz˘ H = G[V (H )].
a
,
,
Dac˘ H ⊆ G si V (G) const˘ numai din extremit˘tile muchiilor din
a
a
a,
,
E(H ) atunci H se numeste subgraf muchie-indus de E(H ) si se
,
,
noteaz˘ G[E(H )].
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 26

14. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
G
H = G[{u, v, x, z}]
u
v
x
z
y
J = G[{uv, xz, vy}]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 26

15. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
G
H = G[{u, v, x, z}]
u
v
x
z
y
J = G[{uv, xz, vy}]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 26

16. Exemple
u
u
v
x
v
x
z
y
z
y
G
H = G[{u, v, x, z}]
u
v
x
z
y
J = G[{uv, xz, vy}]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 26

17. Cazuri particulare de subgrafuri
Evident, orice graf G ˆ, i este subgraf de acoperire.
ıs
Evident, G = G[V (G)].
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
6 / 26

18. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un subgraf H este maximal ˆ raport cu o proprietate dac˘ nu
a
ın
a
exist˘ un alt subgraf I cu acest˘ proprietate si H ⊂ I .
a
a
,
Spunem c˘ un subgraf H este minimal ˆ raport cu o proprietate dac˘ nu
a
ın
a
exist˘ un alt subgraf I cu acest˘ proprietate si H ⊃ I .
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
7 / 26

19. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un subgraf H este maximal ˆ raport cu o proprietate dac˘ nu
a
ın
a
exist˘ un alt subgraf I cu acest˘ proprietate si H ⊂ I .
a
a
,
Spunem c˘ un subgraf H este minimal ˆ raport cu o proprietate dac˘ nu
a
ın
a
exist˘ un alt subgraf I cu acest˘ proprietate si H ⊃ I .
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
7 / 26

20. Maximalitate/minimalitate
v1
v2
v4
v0
v3
G
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 26

21. Maximalitate/minimalitate
v1
v2
v4
v0
v3
G
ˆ graful G subgraful evidentiat [cu sur] este un subgraf minimal care
In
,
contine un ciclu.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 26

22. Maximalitate/minimalitate
v1
v2
v4
v3
v1
v0
v2
v0
u0
u1
v3
G
H
ˆ graful G subgraful evidentiat [cu sur] este un subgraf minimal care
In
,
contine un ciclu.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 26

23. Maximalitate/minimalitate
v1
v2
v4
v3
v1
v0
v2
v0
u0
u1
v3
G
H
ˆ graful G subgraful evidentiat [cu sur] este un subgraf minimal care
In
,
contine un ciclu.
,
ˆ graful H cel dou˘ subgrafuri evidentiate [cu sur] sˆ maximal conexe.
In
a
ınt
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 26

24. Componente conexe
Subgrafurile maximal conexe se numesc componente conexe (sau simplu
coponente).
Un graf conex const˘ dintr-o singur˘ comonent˘ conex˘.
a
a
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
9 / 26

25. Componente conexe
Subgrafurile maximal conexe se numesc componente conexe (sau simplu
coponente).
Un graf conex const˘ dintr-o singur˘ comonent˘ conex˘.
a
a
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
9 / 26

26. Componente conexe
G
H
Graful G const˘ din 2 componente conexe.
a
Graful H const˘ din 3 componente conexe.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
10 / 26

27. Operatii; Suprimarea unui vˆ
ırf
,
Suprimarea unui vˆ v dintr-un graf G presupune ˆ
ırf
ındep˘rtarea vˆ
a
ırfului
propriuzis si ˆ
ındep˘rtarea tuturor muchiilor incidente cu v; se noteaz˘
a
a
,
G − v.
Echivalent, G − v = G[V (G) {v}].
v
K4
K4 − v
Sinonime pentru operatia “suprimare”: “stergerea”, “ˆ aturarea”,
ınl˘
,
,
“ˆ
ındep˘rtarea”, “eliminarea” unui vˆ
a
ırf.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 26

28. Operatii; Suprimarea unui vˆ
ırf
,
Suprimarea unui vˆ v dintr-un graf G presupune ˆ
ırf
ındep˘rtarea vˆ
a
ırfului
propriuzis si ˆ
ındep˘rtarea tuturor muchiilor incidente cu v; se noteaz˘
a
a
,
G − v.
Echivalent, G − v = G[V (G) {v}].
v
K4
K4 − v
Sinonime pentru operatia “suprimare”: “stergerea”, “ˆ aturarea”,
ınl˘
,
,
“ˆ
ındep˘rtarea”, “eliminarea” unui vˆ
a
ırf.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 26

29. Operatii; Suprimarea unui vˆ
ırf
,
Suprimarea unui vˆ v dintr-un graf G presupune ˆ
ırf
ındep˘rtarea vˆ
a
ırfului
propriuzis si ˆ
ındep˘rtarea tuturor muchiilor incidente cu v; se noteaz˘
a
a
,
G − v.
Echivalent, G − v = G[V (G) {v}].
v
K4
K4 − v
Sinonime pentru operatia “suprimare”: “stergerea”, “ˆ aturarea”,
ınl˘
,
,
“ˆ
ındep˘rtarea”, “eliminarea” unui vˆ
a
ırf.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 26

30. Suprimarea unei muchii
Suprimarea unei muchii e dintr-un graf G presupune ˆ
ındep˘rtarea doar
a
muchiei propriuzise; se noteaz˘ G − e.
a
Echivalent, G − e este graful (V (G), E ) cu E = E {e}.
x
y
x
v
y
v
z
z
G
G − xy
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
12 / 26

31. Suprimarea unei muchii
Suprimarea unei muchii e dintr-un graf G presupune ˆ
ındep˘rtarea doar
a
muchiei propriuzise; se noteaz˘ G − e.
a
Echivalent, G − e este graful (V (G), E ) cu E = E {e}.
x
y
x
v
y
v
z
z
G
G − xy
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
12 / 26

32. Suprimarea unei muchii
Suprimarea unei muchii e dintr-un graf G presupune ˆ
ındep˘rtarea doar
a
muchiei propriuzise; se noteaz˘ G − e.
a
Echivalent, G − e este graful (V (G), E ) cu E = E {e}.
x
y
x
v
y
v
z
z
G
G − xy
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
12 / 26

33. Contractia muchiilor
,
Contractia unei muchii e = uv [ˆ
ıntr-un vˆ ve ] presupune suprimarea
ırf
,
muchiei e si ˆ
ınlocuirea vˆ
ırfurilor u, v printr-un singur vˆ ve adiacente
ırf
,
vecinilor atˆ vecinilor lui u cˆ si vecinilor lui v.
ıt
ıt ,
Contractia unei muchii e a unui graf G se noteaz˘ G/e.
a
,
/
Formal G/e = (V (G) {u, v} ∪ {ve }, E ) unde v ∈ V (G) ∪ E(G), iar
E
= {xy ∈ E(G) : xy ∩ uv = ∅}
∪{ve y : uy ∈ E(G) {e} sau vy ∈ E(G) {e}}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 26

34. Contractia muchiilor
,
Contractia unei muchii e = uv [ˆ
ıntr-un vˆ ve ] presupune suprimarea
ırf
,
muchiei e si ˆ
ınlocuirea vˆ
ırfurilor u, v printr-un singur vˆ ve adiacente
ırf
,
vecinilor atˆ vecinilor lui u cˆ si vecinilor lui v.
ıt
ıt ,
Contractia unei muchii e a unui graf G se noteaz˘ G/e.
a
,
Formal G/e = (V (G) {u, v} ∪ {ve }, E ) unde v ∈ V (G) ∪ E(G), iar
/
E
= {xy ∈ E(G) : xy ∩ uv = ∅}
∪{ve y : uy ∈ E(G) {e} sau vy ∈ E(G) {e}}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 26

35. Contractia muchiilor
,
Contractia unei muchii e = uv [ˆ
ıntr-un vˆ ve ] presupune suprimarea
ırf
,
muchiei e si ˆ
ınlocuirea vˆ
ırfurilor u, v printr-un singur vˆ ve adiacente
ırf
,
vecinilor atˆ vecinilor lui u cˆ si vecinilor lui v.
ıt
ıt ,
Contractia unei muchii e a unui graf G se noteaz˘ G/e.
a
,
Formal G/e = (V (G) {u, v} ∪ {ve }, E ) unde v ∈ V (G) ∪ E(G), iar
/
E
= {xy ∈ E(G) : xy ∩ uv = ∅}
∪{ve y : uy ∈ E(G) {e} sau vy ∈ E(G) {e}}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 26

36. Contractia muchiilor
,
u
ve
v
G/uv
G
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
14 / 26

37. Ad˘ugarea unei muchii
a
Suma dintre un graf G si o muchie e se noteaz˘ G + e si este graful
a
,
,
(V (G) ∪ V (e), E(G) ∪ e).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
15 / 26

38. Generalizarea unor operatiilor
,
Stergerea unei multimi de vˆ
ırfuri U ⊆ V ,
,
,
G − U = G[V U ].
Stergerea unei multimi de muchii F ⊆ E,
,
,
G − F = (V , E F ).
Suma dintre un graf G si o mutime de muchii F ,
,
,
G + F = (V ∪ V (F ), E ∪ F ).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
16 / 26

39. Generalizarea unor operatiilor
,
Stergerea unei multimi de vˆ
ırfuri U ⊆ V ,
,
,
G − U = G[V U ].
Stergerea unei multimi de muchii F ⊆ E,
,
,
G − F = (V , E F ).
Suma dintre un graf G si o mutime de muchii F ,
,
,
G + F = (V ∪ V (F ), E ∪ F ).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
16 / 26

40. Generalizarea unor operatiilor
,
Stergerea unei multimi de vˆ
ırfuri U ⊆ V ,
,
,
G − U = G[V U ].
Stergerea unei multimi de muchii F ⊆ E,
,
,
G − F = (V , E F ).
Suma dintre un graf G si o mutime de muchii F ,
,
,
G + F = (V ∪ V (F ), E ∪ F ).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
16 / 26

41. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un graf G este muchie-maximal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G + uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri neadiacente
u si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Spunem c˘ un graf G este muchie-minimal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G − uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri adiacente u
si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Un graf G este maximal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt graf H cu H ⊃ G nu are acest˘ proprietate.
a
Un graf G este minimal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt subgraf H cu H ⊂ G nu are acest˘ proprietate.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
17 / 26

42. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un graf G este muchie-maximal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G + uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri neadiacente
u si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Spunem c˘ un graf G este muchie-minimal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G − uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri adiacente u
si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Un graf G este maximal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt graf H cu H ⊃ G nu are acest˘ proprietate.
a
Un graf G este minimal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt subgraf H cu H ⊂ G nu are acest˘ proprietate.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
17 / 26

43. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un graf G este muchie-maximal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G + uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri neadiacente
u si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Spunem c˘ un graf G este muchie-minimal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G − uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri adiacente u
si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Un graf G este maximal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt graf H cu H ⊃ G nu are acest˘ proprietate.
a
Un graf G este minimal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt subgraf H cu H ⊂ G nu are acest˘ proprietate.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
17 / 26

44. Maximalitate/minimalitate
Spunem c˘ un graf G este muchie-maximal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G + uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri neadiacente
u si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Spunem c˘ un graf G este muchie-minimal cu o anumit˘ proprietate
a
a
dac˘ G are acest˘ proprietate, dar G − uv, pentru orice vˆ
a
a
ırfuri adiacente u
si v din G, nu are aceast˘ proprietate.
a
,
Un graf G este maximal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt graf H cu H ⊃ G nu are acest˘ proprietate.
a
Un graf G este minimal cu o anumit˘ proprietate dac˘ G are aceast˘
a
a
a
proprietate, iar orice alt subgraf H cu H ⊂ G nu are acest˘ proprietate.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
17 / 26

45. Maximalitate/minimalitate
v1
v1
v2
v3
v0
v0
v2
v3
Aceste grafuri sˆ muchie-maximale cu P3 ⊆ G
ınt
[p.165, Diestel]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 26

46. Punti
,
Fiind dat un graf G, o muchie e ∈ E(G) se numeste punte dac˘ G − e
a
,
are mai multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Sˆ grafuri care nu au punti, de exemplu, Kn sau Cn .
ınt
,
Dac˘ G este conex si orice muchie a sa este punte ⇔ G este
a
,
muchie-minimal conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 26

47. Punti
,
Fiind dat un graf G, o muchie e ∈ E(G) se numeste punte dac˘ G − e
a
,
are mai multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Sˆ grafuri care nu au punti, de exemplu, Kn sau Cn .
ınt
,
Dac˘ G este conex si orice muchie a sa este punte ⇔ G este
a
,
muchie-minimal conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 26

48. Punti
,
Fiind dat un graf G, o muchie e ∈ E(G) se numeste punte dac˘ G − e
a
,
are mai multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Sˆ grafuri care nu au punti, de exemplu, Kn sau Cn .
ınt
,
Dac˘ G este conex si orice muchie a sa este punte ⇔ G este
a
,
muchie-minimal conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 26

49. Punti
,
u
v
x
z
y
Muchia zx este punte; celelalte muchii nu sˆ punti.
ınt
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 26

50. Vˆ
ırfuri de articulare
Fiind dat un graf G, un vˆ v ∈ V (G) se numeste vˆ de articulare dac˘
ırf
ırf
a
,
G − v are mai multe componenete conexe decˆ G.
ıt
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
21 / 26

51. Vˆ
ırfuri de articulare
v0
v1
v2
v3
v4
Toate vˆ
ırfurile cu exceptia vˆ
ırfurilor v0 si v4 sˆ vˆ
ınt ırfuri de articulare
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
22 / 26

52. Punti; Cicluri
,
Teorem˘
a
O muchie e a unui graf conex G este punte dac˘ si numai dac˘ nu exist˘
a ,
a
a
un ciclu ˆ G [ˆ care s˘ [se] contin˘ aceast˘ muchie.
ın
ın]
a
a
a
,
Demonstratie; Necesitatea.
,
Fie e ∈ E(G) o punte ˆ G atunci G − e contine mai multe componente
ın
,
decˆ G.
ıt
Adic˘ exist˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri u si v care-s conexe ˆ G, dar nu si ˆ
ın
,
,
, ın
G − e.
Acest fapt implic˘ existenta unui uv-lant P care trece prin e (de fapt toate
a
,
,
uv-lanturile trec prin e).
,
Not˘m prin x si y capetele muchiei e si consider˘m c˘ x precede y ˆ P.
a
a
a
ın
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
23 / 26

53. Punti; Cicluri
,
Teorem˘
a
O muchie e a unui graf conex G este punte dac˘ si numai dac˘ nu exist˘
a ,
a
a
un ciclu ˆ G [ˆ care s˘ [se] contin˘ aceast˘ muchie.
ın
ın]
a
a
a
,
Demonstratie; Necesitatea.
,
Fie e ∈ E(G) o punte ˆ G atunci G − e contine mai multe componente
ın
,
decˆ G.
ıt
Adic˘ exist˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri u si v care-s conexe ˆ G, dar nu si ˆ
ın
,
,
, ın
G − e.
Acest fapt implic˘ existenta unui uv-lant P care trece prin e (de fapt toate
a
,
,
uv-lanturile trec prin e).
,
Not˘m prin x si y capetele muchiei e si consider˘m c˘ x precede y ˆ P.
a
a
a
ın
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
23 / 26

54. Punti; Cicluri
,
Teorem˘
a
O muchie e a unui graf conex G este punte dac˘ si numai dac˘ nu exist˘
a ,
a
a
un ciclu ˆ G [ˆ care s˘ [se] contin˘ aceast˘ muchie.
ın
ın]
a
a
a
,
Demonstratie; Necesitatea.
,
Fie e ∈ E(G) o punte ˆ G atunci G − e contine mai multe componente
ın
,
decˆ G.
ıt
Adic˘ exist˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri u si v care-s conexe ˆ G, dar nu si ˆ
ın
,
,
, ın
G − e.
Acest fapt implic˘ existenta unui uv-lant P care trece prin e (de fapt toate
a
,
,
uv-lanturile trec prin e).
,
Not˘m prin x si y capetele muchiei e si consider˘m c˘ x precede y ˆ P.
a
a
a
ın
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
23 / 26

55. Punti; Cicluri
,
Teorem˘
a
O muchie e a unui graf conex G este punte dac˘ si numai dac˘ nu exist˘
a ,
a
a
un ciclu ˆ G [ˆ care s˘ [se] contin˘ aceast˘ muchie.
ın
ın]
a
a
a
,
Demonstratie; Necesitatea.
,
Fie e ∈ E(G) o punte ˆ G atunci G − e contine mai multe componente
ın
,
decˆ G.
ıt
Adic˘ exist˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri u si v care-s conexe ˆ G, dar nu si ˆ
ın
,
,
, ın
G − e.
Acest fapt implic˘ existenta unui uv-lant P care trece prin e (de fapt toate
a
,
,
uv-lanturile trec prin e).
,
Not˘m prin x si y capetele muchiei e si consider˘m c˘ x precede y ˆ P.
a
a
a
ın
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
23 / 26

56. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Necesitatea; Continuare.
,
Asadar ˆ G − e vˆ
ın
ırful u este conectat cu x printr-o sectiune a lui P si y
,
,
,
este conectat cu v prin alt˘ sectiune a lui P.
a
,
Dac˘ ˆ G ar fi existat un ciclu C care ar contine muchia e atunci x si y ar
a ın
,
,
fi conectati ˆ G − e prin lantul C − e si respectiv u si v ar fi conectati ˆ
, ın
,
,
,
, ın
G − e.
Am obtinut o contradictie.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
24 / 26

57. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Necesitatea; Continuare.
,
Asadar ˆ G − e vˆ
ın
ırful u este conectat cu x printr-o sectiune a lui P si y
,
,
,
este conectat cu v prin alt˘ sectiune a lui P.
a
,
Dac˘ ˆ G ar fi existat un ciclu C care ar contine muchia e atunci x si y ar
a ın
,
,
fi conectati ˆ G − e prin lantul C − e si respectiv u si v ar fi conectati ˆ
, ın
,
,
,
, ın
G − e.
Am obtinut o contradictie.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
24 / 26

58. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Necesitatea; Continuare.
,
Asadar ˆ G − e vˆ
ın
ırful u este conectat cu x printr-o sectiune a lui P si y
,
,
,
este conectat cu v prin alt˘ sectiune a lui P.
a
,
Dac˘ ˆ G ar fi existat un ciclu C care ar contine muchia e atunci x si y ar
a ın
,
,
fi conectati ˆ G − e prin lantul C − e si respectiv u si v ar fi conectati ˆ
, ın
,
,
,
, ın
G − e.
Am obtinut o contradictie.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
24 / 26

59. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

60. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

61. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

62. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

63. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

64. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

65. Punti; Cicluri
,
Demonstratie; Suficienta.
,
,
Vom demonstra implicatia invers˘, adic˘ dac˘ e nu este punte atunci ea se
a
a
a
,
contine ˆ
ıntr-un ciclu.
,
Presupunem c˘ e nu este punte, atunci G − e are acelasi numar de
a
,
componente ca si G.
,
Notˆ prin x si y capetele muchiei e reiese c˘ x si y sˆ conectate ˆ
ınd
a ,
ınt
ın
,
G − e.
Adic˘ exist˘ un xy-lant P ˆ G − e.
a
a
ın
,
Atunci e se contine ˆ ciclul P + e din G.
ın
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri la
distant˘ mai mic˘ decˆ k.
a
a
ıt
,
Fie u, v dou˘ vˆ
a ırfuri la distanta k.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 26

66. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

67. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

68. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

69. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

70. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

71. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26

72. Demonstratie; Suficienta; Continuare.
,
,
Adic˘ ˆ
a ıntre ele exist˘ un k-lant P.
a
,
Fie w un vˆ din P care precede v.
ırf
Atunci d(u, w) = k − 1 si deci ˆ
ıntre u si w exist˘ dou˘ lanturi
a
a
,
,
,
independente P si Q.
,
Deoarece G este 2-conex reiese c˘ dac˘ elimin˘m w graful r˘mˆ conex si
a
a
a
a ıne
,
deci ˆ
ıntre u si v exist˘ un lant P ˆ G − w.
a
ın
,
,
Acum dac˘ P nu intersecteaz˘ nici P nici Q teorema este demonstrat˘.
a
a
a
Deaceea presupunem f˘r˘ a pierde din generalitate c˘ V (P ) ∩ V (P) = x
aa
a
si deci iat˘ lanturile independente c˘utate: primul: u, sectiunea din P de
a
a
,
,
,
la u spre x, x, sectiunea din P de la x spre v, v.
,
Al doilea: Q ˆ
ımpreun˘ cu wv.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Grafuri; Subgrafuri; Operatii
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 26