1. Curso: Ciência da Computação
Turma: 3º Semestre
Matemática Discreta
Aula 2
Conjuntos e Combinatória

2. Notas de Aula
✔
O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro
do Gersting.
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3. Conjuntos
Conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos.
Usamos letras maiúsculas para denotarem conjuntos e o símbolo є para
denotar que um elemento pertence ao conjunto. Portanto, a є A
significa que a é um elemento, ou membro, do conjunto A e b ∉A
significa que o objeto b não é um elemento do conjunto A. Usamos
chaves para indicar conjuntos.
EXEMPLO 1
Se A = {violeta, mostarda, vermelho}, então mostarda є A e púrpura ∉A.
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4. Conjuntos
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada
de objetos, a ordem na qual os elementos são
escritos não importa; portanto {violeta,
mostarda, vermelho}, denota o mesmo conjunto
que {mostarda, vermelho, violeta}.
Além disso, cada elemento de um conjunto é
listado apenas uma vez; seria redundante listá-
los mais do que uma única vez.
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5. Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos
elementos. (Em uma definição, "se" significa, na
verdade, "se, e somente se", portanto dois
conjuntos são iguais se, e somente se, eles
contêm os mesmos elementos.)
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6. Conjuntos
Exemplos de conjuntos
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
B = {1,2,3,4,5,6,...}
C = { x | x é inteiro positivo par}
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7. Relações entre Conjuntos
Para A = {2, 3, 5, 12} e B = {2, 3,4, 5, 9, 12}, todo
elemento de A é também um elemento de B. Quando
isto acontece, dizemos que A é um subconjunto de B.
Se A é um subconjunto de B, escrevemos, A ⊆ B. Se A
⊆ B mas A ≠ B (existe pelo menos um elemento de B
que não é elemento de A), então A é dito um
subconjunto próprio de B e denotado por A ⊂ B.
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8. Operações em Conjuntos
Dado um conjunto arbitrário S, podemos definir
algumas operações binárias e unárias no
conjunto S, neste caso, é chamado o conjunto
universo ou universo de discurso P(S).
Operação binária: Trabalha com dois operandos.
Operação unária: Trabalha somente com um
operando.
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9. Operações em Conjuntos
União
– A U B que gera C, é o conjunto de todos os elementos de A mais os
elementos de B.
Intersecção
– A ∩ B que gera C, é o conjunto dos elementos quer pertecem a A e
também a B.
Complemento de um conjunto
– Para um conjunto A є P(S) o seu complemento A' é { x | x є S e x ∉A}
Produto Cartesiano
– Sejam A e B subconjuntos de S. O produto cartesiano de A e B,
denotado por A x B é definido por AxB = {(x,y) | x є A e y є B}.
– Portanto, o produto Cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de
todos os pares ordenados cujas primeiras coordenadas pertençam a
A e as segundas pertençam a B. O produto cruzado não é uma
operação binária em S.
– Quando fazemos o produto cartesiano de um conjunto para ele mesmo
denotamos A2
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10. Propriedades de Conjuntos
Propriedades de conjuntos
A U A = A ou A ∩ A = A → Idempotência.
A U B = B U A ou A ∩ B = B ∩ A → Comutatividade
(A U B) U C = A U (B U C) ou (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) →
Associatividade
(A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C) ou (A ∩ B) U C = (A U C) ∩ (B U C) →
Distributividade
(A U B) ∩ A = A ou (A ∩ B) U A = A → Absorção
A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C) ou A – (B ∩ C) = (A – B) U (A – C) →
Leis de Morgan
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11. Linguagem de Programação e
Conjuntos
Página 107 do livro texto.
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12. Conjuntos Contáveis e Incontáveis
Em um conjunto finito 5, podemos sempre designar um
elemento como o primeiro, s1; outro elemento corno o
segundo, s2, e assim por diante. Se houver k elementos no
conjunto, esses elementos podem ser listados na ordem que
selecionarmos:
s1, s2, s3, s4,...,sk
Esta lista representa todo o conjunto.
Se o conjunto for infinito, pode ser que ainda sejamos capazes
de selecionar um primeiro elemento s1, um segundo
elemento s2 e assim por diante, de forma que a lista
representa todos os elementos do conjunto.
s1, s2, s3, s4,...
Esse último conjunto é incontável.
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13. Contagem
A combinatória é o ramo da Matemática que trata
da contagem. Tratar a contagem é importante,
sempre que temos recursos finitos.
– Quanto espaço um banco de dados consome?
– Quantos usuários a configuração de um
computador pode suportar?
– Quantos cálculos um determinado algoritmo
envolve?)
Problemas de contagem normalmente se
resumem em determinar quantos elementos
existem em um conjunto finito. Esta questão
que parece trivial pode ser difícil de ser
respondida.
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14. O Princípio da Multiplicação
Exemplo: Um analista pode fazer escolha de um
entre dois banco de dados, e de uma entre três
linguagens de programação. Quantos conjuntos
diferentes dessa combinação o programador
pode ter?
*Estudar o exemplo 28 da página 121 do livro.
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15. O Princípio da Multiplicação
Seja M o conjunto de banco de dados M = {B1,
B2}
Seja A o conjunto das linguagens A = {L1, L2, L3}
Podemos construir um árvore de opções.
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16. O Princípio da Multiplicação
Se existem n1 possibilidades para um primeiro
evento e n2 possibilidades para um segundo
evento, então existem n1 . n2 possibilidades para
a sequência dos dois eventos.
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17. Exemplo 1
A última parte do número de seu telefone contém
quatro dígitos. Quantos números de quatro
dígitos existem?
5 minutos para pensar.
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18. Exemplo 1
A última parte do número de seu telefone contém quatro dígitos. Quantos
números de quatro dígitos existem?
Podemos imaginar um número de quatro dígitos como o total de possibilidades
de uma sequência de etapas de escolha do primeiro dígito, depois do segundo,
depois do terceiro e, finalmente, do quarto dígito. O primeiro dígito pode ser
qualquer dos 10 dígitos entre 0 e 9, portanto há 10 possibilidades para a
primeira etapa. Da mesma forma, há 10 possibilidades para as etapas de
escolha dos segundo, terceiro e quarto dígitos. Usando o Princípio da
Multiplicação, multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa da
sequência. Portanto, há 10.10.10.10 = 10.000 números diferentes.
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19. Exemplo 2
Pensando no exemplo anterior quantos números
de quatro dígitos sem repetições de dígitos
existem?
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20. Exemplo 2
Pensando no exemplo anterior quantos números de quatro
dígitos sem repetições de dígitos existem?
Novamente, temos a sequência de etapas de seleção dos
quatro dígitos, mas não são permitidas repetições. Existem
10 possibilidades para a escolha do primeiro dígito, mas
apenas nove para a escolha do segundo, pois não podemos
usar o que já foi usado para o primeiro dígito, e assim por
diante. Existem, portanto, 10.9.8.7 = 5040 números diferentes
sem repetições de dígitos.
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21. Conjuntos e o Princípio da Adição
Para qualquer conjunto finito S, seja |S| o número de
elementos em S. Se A e B são conjuntos finitos, então
|A X B| = |A|.|B|
A x B consiste em todos os pares ordenados com a
primeira componente em A e a segunda componente
em B. A escolha desses pares ordenados é equivalente
a escolher, em sequência, a primeira componente
dentre as possibilidades, e então escolher a segunda,
para a qual existem possibilidades. O resultado segue,
então, o Princípio da Multiplicação.
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22. O Princípio da Adição
Suponha que desejamos escolher uma sobremesa dentre três
tortas e quatro bolos. De quantas formas isto pode ser feito?
Existem dois eventos, um com três resultados possíveis
(escolher uma torta) e outro com quatro resultados possíveis
(escolher um bolo). No entanto, não estamos compondo uma
sequência de dois eventos, uma vez que desejamos apenas
uma sobremesa, que precisa ser escolhida dentre as
possibilidades de dois conjuntos disjuntos. O número de
possibilidades é o número total de opções que temos, 3 + 4 =
7. Isto ilustra o Princípio da Adição.
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23. O Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n 1 e n2
possibilidades, respectivamente, então o
número total de possibilidades para o evento A
ou B é n1 + n2.
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24. Exemplo do Princípio da Adição
Um comprador deseja comprar um veículo de uma
concessionária. A concessionária tem 23 carros e 14
caminhões em estoque. Quantas possíveis escolhas o
comprador pode ter?
O comprador deseja escolher um carro ou caminhão. São
eventos disjuntos; escolher um carro tem 23
possibilidades e escolher um caminhão tem 14. Pelo
Princípio da Adição, a escolha de um veículo tem 23 + 14
= 37 possibilidades. Perceba que os requisitos para os
eventos A e B são conjuntos disjuntos. Portanto, se um
comprador desejar comprar um veículo de uma
concessionária que tenha 23 carros, 14 caminhões e 17
veículos vermelhos, não podemos dizer que o comprador
tem 23 + 14 + 17 possibilidades de escolha.
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25. Exemplo 2 do Princípio da Adição
Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Podemos considerar dois casos disjuntos — números que
começam por 4 e números que começam por 5. Para a
contagem dos números que começam por 4, existe uma
forma de escolher o primeiro dígito, e 10 possibilidades
para as etapas de escolha de cada um dos outros
dígitos. Portanto, pelo Princípio da Multiplicação, existem
1 • 10 • 10 • 10 = 1000 formas de escolher um número de
quatro dígitos começando com 4. O mesmo raciocínio
mostra que existem 1000 formas de escolher um número
de quatro dígitos começando por 5. Pelo Princípio da
Adição, existem 1000 + 1000 = 2000 resultados possíveis
ao todo.
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26. Árvores de Decisão
Antônio está jogando "cara-ou-coroa". Cada
lançamento resulta em cara (C) ou coroa (K).
De quantas formas ele pode lançar a moeda
cinco vezes sem obter duas caras
consecutivas?
5 minutos para fazer a árvore de decisão.
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27. Árvores de Decisão
Antônio está jogando "cara-ou-coroa". Cada lançamento resulta
em cara (C) ou coroa (K). De quantas formas ele pode lançar a
moeda cinco vezes sem obter duas caras consecutivas?
Se desenharmos a árvore de decisão. Cada lançamento de
moeda tem duas possibilidades: o ramo à esquerda está
marcado com um C para cara, e o ramo da direita com um K
para coroa. Sempre que um C aparecer em um ramo, o
próximo nível pode conter apenas um ramo para a direita (K).
Existem 13 possibilidades.
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28. Próxima Aula
Ler o capítulo 3 do livro do Gersting.
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29. Exercícios
1. Exercício 1 da página 125 do livro texto.
2. Exercício 5 da página 125.
3. Exercício 12 da página 126.
4. Da página 126 fazer 16, 19, 23, 24, 41 até 50.
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