Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números. El sistema habitual de numeración para las personas es el Decimal, cuya base es diez y corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras que el método habitualmente utilizado por los sistemas electrónicos digitales es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para representar la información: el 0 y el1. Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en las computadoras.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERÍA
SAIA - EXTENSION SAN FELIPE
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Decimal, Binario, Octal, Hexadecimal y BCD

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración: Conjunto ordenado de
símbolos, denominados dígitos, cuyas reglas permiten
representar datos numéricos.
La norma principal en un sistema de numeración
posicional es que un mismo símbolo tiene distinto valor
según la posición que ocupe.
Dentro de los sistemas de numeración posibles un
conjunto importante, destacado, es el constituido por
los sistemas de numeración posicionales.
Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas
digitales son: el decimal, el binario, el octal y el
hexadecimal.

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
 En un sistema de numeración posicional de base b, la representación de
un número se define a partir de la regla:
(…a3a2a1a0.a-1 a-2 a-3 …)b= …+ a2b2+ a1b1+ a0b0+ a-1b-1+ a-2b-2+ a-3b-3+ …
 Donde b es un entero no negativo mayor a 1 y cuando los ai
pertenecen al conjunto de enteros en el rango 0 ≤ai< b
 El punto que aparece entre los dígitos a0 y a-1 se denomina punto
fraccionario.
 Cuando b = 10 se lo llama punto decimal y cuando b = 2, punto
binario.

4. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
 Sistema Decimal: Es el sistema de numeración utilizado en la vida
cotidiana, cuya base es diez (10), utilizando los símbolos o dígitos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la
posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares,
entre otros.
 Por ejemplo el numero 528 significa :
 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades
 500 + 20 + 8 o, lo que es lo mismo
 50⋅102 + 2⋅101 + 8⋅100 = 528

5. CONVERSIÓN:
DE DECIMAL
A BINARIO
Para convertir un numero decimal al sistema binario; basta con realizar
divisiones sucesivas entre 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una
de ellas. Para formar el número binario tomaremos los restos en orden
inverso al que han sido obtenidos.
Ejemplo : Convertir el numero 77 en Binario.
1.- Dividir 77 entre 2
Resto : 1 38
17
1

6. 2.- Dividir 38 entre 2
Resto : 0
19
19 : 2 = 9 Resto 1 18
9 : 2 = 4 Resto 1
4 : 2 = 2 Resto 0 0
2 : 2 = 1 Resto 0
1 : 2 = 0 Resto 1
Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al
que han sido obtenidos quedando. 7710 = 10011012

7. Otro Ejemplo de Conversión Decimal a Binario
Convertir 249 a Binario
249 2
1 124 2
0 62 2
0 31 2
1 15 2
1 7 2
1 3 2
1 1 2
1 0
24910 = 111110012

8. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
 Sistema Binario: Se utiliza solo dos dígitos, los cuales son el 0 y el 1,
los que reciben el nombre de bit (binarydigit), donde estos tienen distinto
valor dependiendo de la posición que ocupen. Usando la potencia de
base 2.
 Por ejemplo el numero binario 1011 tiene un valor en decimal que se
calcula así: :
◦ 1⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅20 = 8 + 0 + 2 + 1=11
◦ y lo escribimos así: 10112=1110

9. CONVERSIÓN:
DE BINARIO
A DECIMAL
Para convertir un número binario a decimal; hay que tener en cuenta
que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 2, cuyo
exponente es 0 en el BIT situado más a la derecha, y se incrementa de
1 en 1 según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Ejemplo : Convertir el numero 1010011 en Decimal.
1010011= 1x26 + 0x25 + 1x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
1010011= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
10100112 = 8310

10. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
 Sistema Octal: de base 8, los símbolos utilizados
son 0,1,2,3,4,5,6,7.
 Ejemplos:
 Representando el numero 4 en octal:
 48 → Octal binario= 100
 Representando el numero 12 en octal:
 148 → Octal binario= 001010
 Representando el numero 250 en octal:
 3728 → Octal binario= 011111010

11. CONVERSIÓN:
DE DECIMAL
A OCTAL
En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos
diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El valor de cada una de las posiciones
viene determinado por las potencias de base 8. La conversión de un
número decimal a octal, se realiza del mismo que la conversión a
binario, la diferencia es que se emplea como base el número 8 en lugar
del 2, colocando los restos obtenidos en orden inverso.
Ejemplo : Convertir el numero decimal 122 a 15
Octal.
1.- Dividir 122 entre 8 = 15
Resto : 2 42
2

12. 2.- Dividir 15 entre 8 = 1
Resto : 7
1
3.- Dividir 1 entre 8 = 0
Resto : 1
7
0
1
Para formar el número octal tomaremos los restos en orden inverso al
que han sido obtenidos quedando. 12210 = 1728

13. Otro Ejemplo de Conversión Decimal a Octal
Convertir 249 a Octal
249 8
a0
1 31 8
a1
7 3 8
a2
3 0
24910 = 3718

14. Para convertir un número octal a decimal; hay que tener en cuenta que el
valor de cada dígito está asociado a una potencia de 8, cuyo exponente
es 0 en el BIT situado más a la derecha, y se incrementa de 1 en 1 según
vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Ejemplo : Convertir el numero 2378 en Decimal.
237= 2x82 + 3x81 + 7x80
237= 128 + 24 + 7 = 159
2378 = 15910

15. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Hexadecimal Decimal Binario octal
 Sistema Hexadecimal: de base
16, con una combinación de 0 0 00000 0
1 1 00001 1
números y letras; los símbolos 2 2 00010 2
utilizados son 3 3 00011 3
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. 4 4 00100 4
5 5 00101 5
Nótese en la tabla de ejemplo 6 6 00110 6
que cada digito hexadecimal 7 7 00111 7
representa un grupo de 4 8 8 01000 10
dígitos hexadecimal, A a F son 9 9 01001 11
A 10 01010 12
equivalentes a los valores
B 11 01011 13
decimales del 10 al 15. C 12 01100 14
D 13 01101 15
E 14 01110 16
F 15 01111 17

16. En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B,
C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y
15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema
decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es
lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
Ejemplo : Convertir el numero decimal 1735 a Octal.
108
1.- Dividir 1735 entre 16 = 108
Resto : 7
13
13 5
7

17. 6
2.- Dividir 108 entre 16 = 6
Resto : 12 = C
12
3.- Dividir 6 entre 16 = 0
Resto : 6 0
6
Para formar el número hexadecimal tomaremos los restos en orden inverso
al que han sido obtenidos quedando. 173510 = 6C716

18. Otro Ejemplo de Conversión Decimal a Hexadecimal
Convertir 24910 a Hexadecimal 16
249 16
a0 9 15 16
a1 F 0
24910 = F916

19. Para convertir un número hexadecimal a decimal; hay que tener en
cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 16,
cuyo exponente es 0 en el BIT situado más a la derecha, y se incrementa
de 1 en 1 según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Ejemplo : Convertir el numero 1A3F16 en Decimal.
1A3F= 1x163 + A x162 + 3x161 + F x160
1A3F= 1x4096 + A x 256 + 3 x 16 + F
1A3F= 1x4096 + 10 x 256 + 3 x 16 + 15
1A3F= 4096 + 2560 + 48 + 15 = 6719

20. ¿QUE ES EL CÓDIGO BCD?
 Ahora que ya sabemos que los números del Sistema decimal tienen
equivalentes en el Sistema Binario, la agrupación ordenada de los 0
y 1 de un número Binario representa algún número Decimal.
 Los sistemas digitales utilizan por fuerza los números en Sistema
Binario, pero para nosotros en el mundo real siempre tienen que ser
convertidos al Sistema Decimal, como hemos visto, las
conversiones entre uno y otro Sistema de Números pueden
llevarnos demasiado tiempo y ser muy complicadas, por ejemplo, si
usamos números muy grandes. Para este tipo de conversiones y
usos, se utiliza un método sencillo que combina las características
de los Sistemas Decimal y Binario, este método lleva el nombre de
Codificación Binaria Directa.

21.  Cuando tomamos cada uno de los dígitos del Sistema Decimal, y lo
representamos con su equivalente del Sistema Binario, estamos
generando un “nuevo” código, el cuál lleva el nombre de Código
Decimal Codificado en Binario (BCD).
Partiendo de este nuevo código, el mayor número que podemos
representar es el 9 (1001), por lo tanto forzosamente necesitamos
de un número Binario de 4 Bits para hacerlo. Pero veamos
gráficamente que es y como funciona el BCD.
En esta ocasión usaremos los números Decimales 586 y 397, el
proceso de convertir cada dígito por un equivalente Binario sería el
siguiente:

22.  Cada uno de los dígitos del Número Decimal es convertido en su
equivalente Binario, Siempre utilizando 4 Bits para este proceso. En
resumen, el Código BCD representa por separado cada uno de los
numerales Decimales, empleando para ello números Binarios de 4 Bits.
Como es lógico, si sólo se puede representar un solo número decimal por
cada código BCD, los números del 10 al 15 (que es el número decimal
más alto para un código Binario de 4 Bits, 1111), están fuera del código,
de hecho, si tenemos algún circuito digital que trabaja sobre Código
BCD y nos diera una salida como las siguientes, algo no está
funcionando bien:
 Decimal 10 = Binario 1010
 Decimal 11 = Binario 1011
 Decimal 12 = Binario 1100
 Decimal 13 = Binario 1101
 Decimal 14 = Binario 1110
 Decimal 15 = Binario 1111

23. DIFERENCIAS ENTRE EL SISTEMA BINARIO Y
EL CÓDIGO BCD
 Como el nombre lo indica, el Código BCD no puede
ser catalogado como un Sistema (como el Binario,
Octal y Hexadecimal). Sólo es una forma de
Codificar el Sistema Binario.
Teniendo muy presente este hecho, Un número en
código BCD, NO es lo mismo que un número
Binario Directo. El código BCD toma cada uno de
los dígitos de un número Decimal y los representa,
Un número del Sistema Binario representa el
número Decimal Completo. Para comprender mejor
el concepto, usaremos el número Decimal 387.

24. TABLA DE CONVERSIÓN AL SISTEMA
BINARIO

25. BIBLIOGRAFÍA
 Null, L. and J. Lobur. The Essentials of Computer
Organization and Architecture, Jones and Bartlett Publishers,
Feb. 2003.
 Consulta en línea:
http://es.scribd.com/doc/3290086/Sistema-de-numeracion
 Consulta en línea:
http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.h
tml
 Consulta en línea:
http://www.unicrom.com/dig_Sist_Numeracion_Hexadecimal.
asp
 Consulta en línea:
http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal_codificado_en_binario