1. 指数時間アルゴリズムの最先端
岩田 陽一
PFIセミナー (2012/03/29)

2. 自己紹介
TopCoder: ◎wata
TCO2010Marathon優勝など Twitter: @wata_orz
東京大学情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻
理論計算機科学 (アルゴリズムの理論的な解析とか)
プログラミングコンテストチャレンジブック
第二版好評発売中！
PFIでは2011年夏インターン，その後アルバイト
2

3. 本日の内容
 NP困難問題を解くためのアルゴリズムを扱います
𝑂𝑃𝑇 𝐼 ≤ 𝐴 𝐼 ≤ 𝑐𝑂𝑃𝑇(𝐼)
近似アルゴリズム
ヒューリスティック 𝑓 𝑘 𝑝 𝑛
FPT アルゴリズム
max⁡ 𝑐𝑥|𝐴𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥: 整数}
{
𝑂∗ 𝑐 𝑛
整数計画 厳密指数時間アルゴリズム
3

4. 指数時間アルゴリズム
 指数時間アルゴリズムとは
 NP困難問題を指数時間かけて厳密に解く
 計算量をちゃんと解析
 近年盛んに研究され始めた
 アルゴリズムも証明もシンプルなのが多い
 入門編
 情報オリンピック春合宿講義
 http://www.slideshare.net/wata_orz/ss-12131479
 今日はキャンセリングを中心に最先端のアルゴリズ
ムを紹介
4

5. キャンセリング
 欲しいものを含む集合から，いらないものをうまいこ
と打ち消すことにより，欲しいものだけを残す手法
 近年の指数時間アルゴリズムでのブレークスルーは
大体この手法
 彩色数を𝑂 2
𝑛
3
 ハミルトン閉路を𝑂2 𝑛∗ 4
∗ 𝑤
 連結制約のある様々な問題を𝑂 𝑐
∗
 指定された𝑘点を通る最小単純閉路を𝑂 2𝑘
𝑛
 完全マッチングの個数を𝑂
∗ 2 2
5

6. 内容一覧
 包除原理
 ハミルトンパス，彩色数，シュタイナー木
 完全マッチングの個数
 偶奇で打ち消す
 完全マッチング(多項式時間)
 ハミルトン閉路，𝑘点通る最小単純閉路
6

7. 包除原理
 𝐴∪ 𝐵∪ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴∩ 𝐵 − 𝐵∩ 𝐶 −
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝐶 ∩ 𝐴 + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
𝐴
𝐵 𝐶
7

8. 包除原理
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)
𝑇⊆𝑆
 こっちの方が使いやすい
 𝑔 𝑆 = 𝑖∉𝑆 𝐴 𝑖 とおけば先の式に
𝑔 𝑆 = −1 𝑆 −|𝑇|
 𝑇⊆𝑆 𝑋⊆𝑇 𝑔(𝑋)
𝑆− 𝑇
= 𝑋⊆𝑆 𝑋⊆𝑇⊆𝑆 −1 𝑔(𝑋)
= 𝑔(𝑆)
8

9. 包除原理
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)
 𝑔を計算したいが，直接は難しい時に，その和𝑓を
計算することが出来れば2 𝑛 回𝑓を計算することで𝑔
が求まる
 𝑔 → 𝑓: ゼータ変換，𝑓 → 𝑔: メビウス変換
• フーリエ・逆フーリエみたいな感じ
9

10. ハミルトンパス
 0から5へ，全ての頂点をちょうど一度ずつ通って移動
できるか？
1
2
0
3
5
4
10

11. ハミルトンパス
 0から5へ，全ての頂点をちょうど一度ずつ通って移動
できるか？
1
2
0
3
5
4
11

12. ハミルトンパス
 ハミルトンパスを求めるのは難しい
 同じ頂点を通らないためには，すでに訪れたか覚
えていないといけない
1
2
0
3
5
4
12

13. ハミルトンパス
 長さ𝑛 − 1のパスを求めるのは簡単
 同じ頂点を通っても良いなら，現在の長さとどこに
いるかしか覚える必要がない
1
2
0
3
5
4
13

14. ハミルトンパス
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)
 𝑔 𝑆 ≔ 𝑆のみを通り，かつ𝑆を全て通る長さ𝑛 − 1の
パスの個数
 𝑔(𝑉) := ハミルトンパスの個数
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)
 𝑆のみを通る長さ𝑛 − 1のパスの個数
𝑆のみを通るパス 𝑆 𝑇 実際に通ったのは𝑇
14

15. ハミルトンパス
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)
 𝑔 𝑆 ≔ 𝑆のみを通り，かつ𝑆を全て通る長さ𝑛 − 1の
パスの個数
 𝑔(𝑉) := ハミルトンパスの個数
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)
 𝑆のみを通る長さ𝑛 − 1のパスの個数
 𝑂 2 𝑛 ⁡𝑛𝑚 time, 𝑂(𝑛) space
𝑛 𝑛
 動的計画法だと， 𝑂 2 𝑚 time, 𝑂(2 𝑛) space
15

16. 除原理
 𝑆を全て通るパスの総数 =
(𝑆 ∖ 𝑣 を全て通り，𝑣はどちらでもよいパスの総数)
− (𝑆 ∖ 𝑣 を全て通り，𝑣は通らないパスの総数)
 再帰的に展開していくと，先の式が得られる
 引き算しかないので，コンテスト界では除原理と呼ば
れている
 こっちのほうが多項式部分が良くなることが時々
ある
16

17. 彩色数
 隣接する頂点が異なる色となるように彩色するため
に必要な最小色数を求める
1
2
0
3
5
4
17

18. 彩色数
 隣接する頂点が異なる色となるように彩色するため
に必要な最小色数を求める
1
2
0
3
5
4
18

19. 彩色数 [1]
 グラフ𝐺 = (𝑉, 𝐸)が𝑘彩色可能⇔𝑉を𝑘個の独立集合
で被覆できる
 独立集合から𝑘個選んで𝑉を覆う方法の総数を数
えることが出来れば良い (もちろん難しい)
 独立集合を𝑘個選ぶ方法の総数は簡単
𝑘
 独立集合の個数
 包除原理を用いて全ての頂点を覆っているのだけ取
り出そう！
[1] A. Björklund and T. Husfeldt, “Inclusion--Exclusion Algorithms for Counting Set Partitions,” FOCS 2006.
19

20. 彩色数 [1]
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)⁡
 𝑔 𝑆 ≔ 𝑆の部分集合で独立なもの𝑘個選び，Sを覆う
方法の総数
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)
 𝑆の部分集合で独立なもの𝑘個選ぶ方法の総数
𝑆 𝑇 実際に覆ったのは𝑇
𝑆の部分集合から
独立なのを𝑘個
20

21. 彩色数 [1]
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)⁡
 𝑔 𝑆 ≔ 𝑆の部分集合で独立なもの𝑘個選び，Sを覆う
方法の総数
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)
 𝑆の部分集合で独立なもの𝑘個選ぶ方法の総数
 𝐼 𝑆 : 𝑆の部分集合で独立なものの個数とすると，
𝑓 𝑆 = 𝐼 𝑆 𝑘
 𝐼 𝑆 = 𝐼 𝑆∖ 𝑣 + 𝐼 𝑆 ∖ 𝑁 𝑣 という漸化式から
𝑂(2 𝑛 𝑛)時間で全ての𝑆 ⊆ 𝑉について計算可能
21

22. 彩色数 [1]
 𝑂 2 𝑛 𝑛 time, 𝑂(2 𝑛 ) space
 動的計画法だと 𝑂 3
𝑛 time かかる
 実は，彩色方法の総数を求めることも可能
 𝑔 𝑆 ≔ 独立集合から𝑘個，サイズの総和が𝑛と
なるように選んでSをちょうど覆う方法の総数
 𝑓(𝑆)の計算はDPをすればよい
22

23. シュタイナー木
 辺の部分集合であって，与えられた𝑘点のターミナル
を連結にする最小のものを求める
23

24. シュタイナー木
 辺の部分集合であって，与えられた𝑘点のターミナル
を連結にする最小のものを求める
24

25. シュタイナー木 [2]
 シュタイナー木を求めるのは難しい
 全てのターミナルを通り，木でないといけない
 木という条件は外して問題ない
 同じ辺を複数回使ったり，閉路を作ることでよくな
らない
 全てのターミナルを通るという条件は包除原理を用
いて外すことが出来る
[2] J. Nederlof, “Fast Polynomial-Space Algorithms Using Möbius Inversion: Improving on Steiner Tree
and Related Problems,” ICALP 2009.
25

26. シュタイナー木 [2]
 木という条件を外したもの(分岐路)の個数を数える
 𝑑𝑝 𝑣 𝑖 ≔ 𝑣を根とする大きさ𝑖の分岐路の個数
 𝑑𝑝[𝑣][𝑖] = 𝑢∈𝑁 𝑣 𝑗 𝑑𝑝 𝑣 𝑗 × 𝑑𝑝 𝑢 [𝑖 − 𝑗 − 1]
𝑢
𝑣
26

27. シュタイナー木 [2]
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇) , 𝑔 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 −1 𝑆 −|𝑇| 𝑓(𝑇)⁡
 𝑔 𝑆 ≔ 𝑆のみを通り，かつ𝑆を全て通る大きさ𝑡の分
岐路の個数
 𝑓 𝑆 = 𝑇⊆𝑆 𝑔(𝑇)
 𝑆のみを通る大きさ𝑡の分岐路の個数
 𝑂(2 𝑘 ⁡𝑚𝑛2 ) time 𝑂 𝑛2 space
 動的計画法だと𝑂 3 𝑘 𝑛 time 𝑂 2 𝑘 𝑛 space
27

28. 完全マッチングの個数
𝑛
 完全マッチング：端点を共有しない 本の辺集合2
1
2
0
3
5
4
28

29. 完全マッチングの個数
𝑛
 完全マッチング：端点を共有しない 本の辺集合2
1
2
0
3
5
4
29

30. 完全マッチングの個数
𝑛
 完全マッチング：端点を共有しない 本の辺集合2
1
2
0
3
5
4
30

31. 完全マッチングの個数
𝑛
 完全マッチング：端点を共有しない 本の辺集合2
1
2
0
3
5
4
31

32. 完全マッチングの個数
𝑛
 完全マッチング：端点を共有しない 本の辺集合2
1
2
0
3
5
4
32

33. 完全マッチングの個数 [3]
 頂点を二つ切り離し，ラベルaの付いた辺を張る
1
2
0
3
5
4
[3] A. Björklund, “Counting perfect matchings as fast as Ryser,” SODA 2012.
33

34. 完全マッチングの個数 [3]
 マッチングにラベルaのついた辺25を使う→元のグラ
フで辺05,12を使う
2
※ラベル無しの辺と
1 ラベルaの辺があるの意味
1+a 1+a
a 3
0
5
4
1+a
34

35. 完全マッチングの個数 [3]
 もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ
フでラベルaをちょうど一回使う完全マッチングの個数
2
1
1+a 1+a
a 3
0
5
4
1+a
35

36. 完全マッチングの個数 [3]
 もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ
フでラベルabをちょうど一回ずつ使う完全マッチング
の個数
2
1
1+b
1+a
0 3
5
4
1+a+b+ab
36

37. 完全マッチングの個数 [3]
 もとのグラフでの完全マッチングの個数=新しいグラ
フでラベルabcをちょうど一回ずつ使う完全マッチング
の個数 → これは包除原理で2 𝐿 で求まる (𝐿 = 𝑛 )
2
2
1
1+b
1+a 4通り！
0 3
5
4
1+c+ac+bc+abc
37

38. 完全マッチングの個数 [3]
 ラベル集合𝐿をちょうど一回ずつ使う方法の総数
＝各ラベルを一回以上使い，合計|𝐿|回使う方法の総数
＝(ラベル𝑎 ∈ 𝐿を0回以上使い，合計 𝐿 回使う方法)
− (ラベル𝑎 ∈ 𝐿を使わず，合計|L|回使う方法)
(除原理)
𝑛
計算量は全体で𝑂 2 𝑛2 time, 𝑂 𝑛4 space
2
38

39. 行列式を用いた完全マッチング
 det 𝐴 = 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn 𝜎 𝑖 𝐴 𝑖,𝜎(𝑖)
3
 ガウスの消去法で𝑂 𝑛 で計算できる
 グラフ𝐺 = 𝑉, 𝐸 に対し，以下のような行列を考える
𝑥 𝑢,𝑣 ⁡ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸
 𝐴 𝑢,𝑣 = ⁡
0⁡⁡⁡⁡⁡⁡( 𝑢, 𝑣 ∉ 𝐸)
 𝑥 𝑢,𝑣 = −𝑥 𝑣,𝑢
 det⁡ 𝐴)は𝑥の多項式で，
(
det 𝐴 ≠ 0 ⇔ 𝐺に完全マッチングが存在
39

40. 行列式を用いた完全マッチング
 det 𝐴 = 𝜎∈𝑆 𝑛 sgn 𝜎 𝑖 𝐴 𝑖,𝜎(𝑖)
 これは閉路カバー上での和と考えることができる
 det 𝐴 = 𝐶∈𝑐𝑐(𝐺) sgn(𝐶) 𝑒∈𝐶 𝑥𝑒
𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 4, 𝜎 3 = 5, 𝜎 4 = 6, 𝜎 5 = 3, 𝜎 6 = 1
1 2 5
6 4 3
40

41. 行列式を用いた完全マッチング
 閉路カバーに奇数長の閉路があると，向きを反転さ
せると符号も反転して打ち消しあう
𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 3, 𝜎 3 = 1 𝜎 1 = 3, 𝜎 2 = 1, 𝜎 3 = 2
1 2 1 2
3 3
41

42. 行列式を用いた完全マッチング
 長さ2の閉路は向きを反転しても同じなので，完全
マッチングに対応する閉路カバーは打ち消されない
𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 1 𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 1
1 2 1 2
42

43. 行列式を用いた完全マッチング
 変数のままだと行列式が効率良く計算できないが，
ランダムに𝑥に値を入れて計算すれば良い
 体𝐹次数𝑑の非零多変数多項式に，ランダムに値
𝑑
を入れた時，たまたま0になる確率は高々 𝐹
(Schwartz-Zippel Lemma)
• 一変数だと，次数dの多項式の根は高々d個
 行列のランクを求めれば最大マッチングが求まる
43

44. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 無向グラフ𝐺 = 𝑉, 𝐸 に対し，以下のような行列を考
える
𝑥 𝑢,𝑣 ⁡ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸
 𝐴 𝑢,𝑣 = ⁡
0⁡⁡⁡⁡⁡⁡( 𝑢, 𝑣 ∉ 𝐸)
 𝑢, 𝑣 ≠ 1に対して，𝑥 𝑢,𝑣 = 𝑥 𝑣,𝑢
𝑘
 行列の要素はGF(2 ) とする
• 二倍すると0になる体
 頂点1の周りだけ非対称にしたことで，頂点1を含む
閉路は打ち消されなくなる
[4] A. Björklund, “Determinant Sums for Undirected Hamiltonicity,” FOCS 2010.
44

45. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 閉路カバーに頂点1を通らない長さ3以上の閉路があ
ると，向きを反転させることで打ち消しあう
𝜎 2 = 3, 𝜎 3 = 4, 𝜎 4 = 2 𝜎 2 = 4, 𝜎 3 = 2, 𝜎 4 = 3
2 3 2 3
4 4
45

46. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 つまり，頂点1を含む閉路+マッチングからなる閉路カ
バーだけが残る
 マッチング部分がなければハミルトン閉路
1
46

47. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 長さ2の閉路が悪さをしている
 向きを反転できない
 辺に𝑛種類のラベルを張り，包除原理を用いて全て
のラベルを用いる閉路カバーについて和を取れば，
長さ２の閉路も向きを反転することで打ち消しあうよう
になる
𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 1 𝜎 1 = 2, 𝜎 2 = 1
𝑎 𝑎
1 2 1 2
𝑏 𝑏
47

48. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 ラベルは𝑛種類 → 包除原理に𝑂 2 𝑛 → 計算量が良
くなっていない (´・ω・｀)
 実は頂点の一部をラベルとして用いることができる！
 簡単なニ部グラフの場合だけ紹介
48

49. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 片側の頂点をラベルにしてしまう
a b c d e 1
a,b
c
5 2
a,b
d a,b
1 2 3 4 5 4 3
e
49

50. 行列式を用いたハミルトン閉路 [4]
 変換後のグラフでラベルを全部使うハミルトン閉路を
求めれば良い
 これはラベルを全部使う閉路カバーについて和を取
𝑛
𝑛
ればよく，ラベルの数は なので 𝑂∗ 2 2
2
 一般の場合はランダムに半分をラベルにし，追加で 3
𝑛 ∗ 4𝑛
もう 4 個くらいラベルがあれば足りて 𝑂 2
50

51. 𝑘点通る最小単純閉路
 無向グラフで，指定された𝑘点を通る最小の単純な閉
路を求める
1
2
0
3
5
4
51

52. 𝑘点通る最小単純閉路
 無向グラフで，指定された𝑘点を通る最小の単純な閉
路を求める
1
2
0
3
5
4
52

53. 𝑘点通る最小単純閉路 [5]
 先の行列式を用いたハミルトン閉路と似たことをする
 必ず通らなければいけない点から一つ選び𝑠とする
 各辺𝑢𝑣に𝑠以外で対称な変数𝑥 𝑢,𝑣 ∈ 𝐺𝐹 2 𝑘 を割り当
て，ある長さ𝑖の閉路集合𝑪 𝒊 上での和 𝐶∈𝑪 𝒊 𝑒∈𝐶 𝑥 𝑒
の値を評価する
 この値が非零であることと，指定された点を通る長さ𝑖
の単純閉路が存在することが同値で，かつ𝑪 𝒊 上での
和が高速に計算できるような集合𝑪 𝒊 を設計したい
[5] A. Björklund, T. Husfeldt, and N. Taslaman, “Shortest cycle through specified elements,” SODA 2012.
53

54. 𝑘点通る最小単純閉路 [5]
 𝑪 𝒊 ≔ 長さ𝑖の単純とは限らない閉路で指定された点
を全て通るもの，とする
 単純でない閉路は，向きを反転させることで打ち消し
あう
単純でない閉路
54

55. 𝑘点通る最小単純閉路 [5]
 再び長さ2の閉路が悪さをする
 反転できない！
 𝑪 𝒊 ≔ 長さ𝑖の単純とは限らない閉路で指定された点
を全て通り，Uターンしないものすればよい
55

56. 𝑘点通る最小単純閉路 [5]
 𝐶∈𝑪 𝒊 𝑒∈𝐶 𝑥𝑒
 𝑪 𝒊 ≔ 長さ𝑖の単純とは限らない閉路で指定された点
を全て通り，Uターンしないもの
 これはDPで𝑂(2 𝑘 𝑚𝑖)で計算できる
 dp[長さ][通った点集合][直前の点][現在地]
𝑘
 𝑖を0から𝑛まで順に増やすと全体で𝑂(2 𝑛𝑚)
56

57. その他のキャンセリングによるアルゴリズム
 畳み込み (FFTみたいなの) [6]
 群環を用いてキャンセリング [7]
 非連結性を用いた偶奇でキャンセリング [8]
他にも色々
[6] A. Björklund, T. Husfeldt, P. Kaski, and M. Koivisto, “Fourier meets möbius: fast subset
convolution,” STOC 2007.
[7] I. Koutis and R. Williams, “Limits and Applications of Group Algebras for Parameterized
Problems,” ICALP 2009.
[8] M. Cygan et al. “Solving Connectivity Problems Parameterized by Treewidth in Single Exponential
Time,” FOCS 2011.
57