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UACH Fisica En La Terapia Ocupacional 1 3 Rotacion Teoria UACH Fisica En La Terapia Ocupacional 1 3 Rotacion Teoria Presentation Transcript

  • Física en la Terapia Ocupacional 1.3 Rotación Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto de Física, Universidad Austral, Valdivia, Chile 27.08.2009 W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 1 / 52
  • Describiendo una Rotación Para describir una rotación debemos primero que todo estudiar ▶ Ejes ▶ Angulos ▶ Arcos ▶ Grados y Radianes W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 2 / 52
  • Ejes Para poder describir una rotación de un objeto en el espacio debemos primero que todo identificar un eje alrededor del ˆ z cual se rotara este. El eje se describe mediante un vector. Los ejes mas simples son los ejes del sistema del sistema de coordenada. En ese caso por ˆ x ˆ y ejemplo rotamos en trono a un eje ˆ, ˆ o ˆ, donde el techito indica de x y z que se trata de un vector normado (su largo es uno). W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 3 / 52
  • Ángulos Fuera del Eje debemos indicar el Angulo en que se ha rotado el Objeto. Al igual que en el caso de la Posición x, debemos indicar desde donde se inicio el Movimiento. En analogía al caso de la Posición podemos designar el Angulo inicial Δ como 0 . 0 En tal caso el Angulo total recorrido sera: Δ = − 0 (1) W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 4 / 52
  • Arcos Uno de los movimientos que podemos describir mediante la rotación es el movimiento a lo largo de un Arco. Si el Angulo se mide en Radianes se puede calcular la Distancia recorrida Δs (el largo del Arco) simplemente multiplicando el Angulo Δ recorrido por el radio r mediante r Δ Δs = rΔ (2) Δs De hecho la formula clásica del calculo del Perímetro de un Circulo (2 r) no es otra cosa que un Arco de largo 2 . W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 5 / 52
  • Grados y Radianes Es necesario trabajar radianes pues solo con ellos se puede calcular en forma directa la distancia recorrida a lo largo de un circulo. Por ello cada vez que tengamos grados deberemos convertirlos a radianes mediante [rad] = [grad] = 0,17453⋅[grad] 180∘ (3) En caso que se desee convertir grados en radianes se puede emplear 180∘ [grad] = [rad] = 57,296 ⋅ [rad] W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría (4) 27.08.2009 6 / 52
  • Velocidad de Rotación Al igual que en el caso de la traslación podemos describir la forma como varia el Angulo que describe la posición (rotación) del cuerpo. Por ello estudiaremos: ▶ Velocidad Tangencial ▶ Velocidad Angular Media ▶ Velocidad Angular Instantánea W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 7 / 52
  • Velocidad Tangencial Si estudiamos la traslación a lo largo del perímetro Δs veremos que la velocidad definida anteriormente como el camino Δs recorrido en el tiempo Δt resulta en este caso: Δs = (5) Δt r que con ayuda de (2) resulta Δ rΔ Δs = (6) Δt El termino Δ /Δt corresponde a una Velocidad de la Rotación. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 8 / 52
  • Velocidad Angular Media Podemos definir una Velocidad de Rotación o Velocidad Angular como Δ = Δt Si recordamos la discusión de la velocidad de traslación para tiempos finitos (Δt > 0) concluimos que en el fondo se trata en realidad de una Velocidad Angular Promedio: Δ ¯= (7) Δt W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 9 / 52
  • Velocidad Angular Instantánea Al igual que en la Velocidad de Traslación existe el Concepto de Velocidad Angular Instantánea que es aquella Velocidad Angular que existe en un tiempo especifico. Esta se calcula en la aproximación de tiempos muy pequeños (Δt → 0) o sea Δ d = limΔt→0 = (8) Δt dt W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 10 / 52
  • Velocidad y Velocidad Angular Con (6) y la definición de la Velocidad Angular (7) se obtiene que ¯ = r¯ (9) que es el equivalente en velocidad a lo que era la relación para el arco s=r W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 11 / 52
  • Ecuaciones de Movimiento Sobre la base de lo que hemos visto, se puede inferir las ecuaciones de Movimiento para lo que es una Rotación. Para ello estudiaremos: ▶ Analogía con la Traslación ▶ Aceleración Angular ▶ Aceleración Angular Media ▶ Aceleración Angular Instantánea ▶ Caso Aceleración Angular Constante ▶ Ecuación de Velocidad Angular ▶ Ecuación de Angulo W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 12 / 52
  • Aceleración Angular Media Al igual que en el caso de la traslación, se puede definir una medida de la variación de la Velocidad Angular Δ ¯= (10) Δt que denominaremos Aceleración Angular. Al igual que en la Aceleración de la Traslación se trata de un valor promedio para el caso de Tiempo Δt finito. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 13 / 52
  • Aceleración Angular Instantánea Al igual que en la Aceleración de Traslación existe el Concepto de Aceleración Angular Instantánea que es aquella Aceleración Angular que existe en un tiempo especifico. Esta se calcula en la aproximación de tiempos muy pequeños (Δt → 0) o sea Δ d = limΔt→0 = (11) Δt dt W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 14 / 52
  • Analogía con la Traslación Si observamos la Ecuación para el arco (2) en el caso de condiciones iniciales nulas (s0 = 0, 0 = 0) se tiene la Ecuación simplificada del Arco s=r (12) Para el caso de velocidad tenemos (9) =r (13) Por ello se puede inferir que lo mismo aplica a la Aceleración con La Tierra rota a velocidad angular constante. a=r (14) W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 15 / 52
  • Caso Aceleración Angular Constante Como la aceleración gravitacional es constante podemos imaginar un sistema en que dicha aceleración puede llevar a una rotación de aceleración constante. Esto se puede lograr si una masa que cae se amarra vía una cuerda a un disco. De esta forma la masa arrastra el disco consigo acelerándolo. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 16 / 52
  • Ecuación de Velocidad Angular De la Ecuación de Velocidad en función del Tiempo para Aceleración constante = 0 + at (15) tenemos por analogía la Ecuación de Velocidad Angular en función del tiempo para Aceleración Angular constante = 0 + t (16) W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 17 / 52
  • Ecuación de Angulo De igual forma de la Ecuación de la Evolución de la Posición para Aceleración constante 1 s = s0 + 0t + at2 (17) 2 se tiene por analogía la Ecuación de la Evolución del Angulo para Aceleración Angular constante 1 2 = 0 + 0t + t (18) 2 W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 18 / 52
  • Caminar y Correr Para comprender como la rotacion de la ▶ Movimiento circula ▶ Aceleración Centrifuga ▶ Aceleración Centripeta W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 19 / 52
  • Movimiento Circular Si estudiamos una catapulta notaremos que la bala primero se mueve a lo largo de la curva que describe la cuchara. Esto lo hace porque la cuchara esta diseñada para retener la bala. Una vez se detiene el brazo la bala continua en linea recta en forma tangencial al circulo que recorría. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 20 / 52
  • Aceleración Centrifuga I Si un cuerpo no es retenido y viaja con una velocidad tangencial recorrerá en un tiempo Δt la B Δt C distancia Δt viajando desde B a C. Sin embargo, si continua D Δr orbitando, llegara tras el tiempo Δt r r al punto D. Si el objeto llega a C A para un Observador en la tierra existira una aceleración por la cual un objeto se aleja de la tierra (aceleración centrifuga) recorriendo en el tiempo Δt la distancia Δr. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 21 / 52
  • Aceleración Centrifuga II Para un Observador en el espacio un objeto que se mueve en la orbita se encuentra en una permanente caída: en vez de terminar en C cae en Δt la distancia Δr hasta llegar a D. En ambos casos podemos graficar la situación y empleando Pitagóricas podemos ver que se debe cumplir (r + Δr)2 = r2 + ( Δt)2 Si desarrollamos el cuadrado la ecuación se reduce a 2Δrr + Δr2 = 2 Δt2 W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 22 / 52
  • Aceleración Centrifuga III Como la Variación del Radio Δr es mucho mas pequeña que el radio mismo (r ≪ Δr) se puede concluir que 2Δrr = 2 Δt2 o despejando Δr 1 2 2 Δr = Δt 2 r Comparando esta Ecuación con (17) se concluye que el cuerpo acelera con 2 ac = (19) r W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 23 / 52
  • Aceleración Centripeta Si el cuerpo no esta atado al sistema que gira y se aleja en forma tangencial (como la bala de la catapulta) para un Observador en el Sistema que gira el cuerpo acelera alejándose del Centro del Sistema. Por ello el hablara de Aceleración Centrifuga. Para un Observador externo que ve un Objeto que esta fijo a un Sistema Giratorio el Cuerpo debiese continuar en linea recta pero acelera en dirección del Centro. Por ello el hablara de una Aceleración Centripeta. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 24 / 52
  • Caminar y Correr simplificado I El Giro de la Pierna sobre su Punto de Apoyo genera una Aceleración Centrifuga ¯2 ac = (20) l donde l es el largo de la Pierna y ¯ la Velocidad promedio. Si esta Aceleración es superior a la Aceleración Gravitacional g el Cuerpo de la Persona se elevara. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 25 / 52
  • Caminar y Correr simplificado II La Velocidad limite en que pasamos del Caminar al Correr se da cuando la Aceleración (20) es igual a g o sea 2 c g= l Despejando la Velocidad critica se obtiene c = gl (21) que para una persona de largo de Pierna l = 0,8 m es c = 9,8 m/s2 0,8 m = 2,8 m/s W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 26 / 52
  • Caminar y Correr Para comprender como la rotación de la ▶ Análisis del Caminar ▶ Levantamiento del Talón ▶ Levantamiento del Metatarso ▶ Movimiento Oscilante ▶ Limite Caminar y Correr ▶ Respuesta a la Carga W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 27 / 52
  • Análisis del Caminar Cuando una Persona camina vemos que su Tobillo se eleva. Esta elevación es una consecuencia directa de la aceleración centrifuga que experimenta nuestro cuerpo por efecto de rotar la Pierna en torno al Punto de apoyo. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 28 / 52
  • Levantamiento del Talón I Volviendo a revisar los datos del Capitulo anterior vemos que el Angulo Talón-Metatarso-Suelo aumenta al comenzar a acelerar el pie (tiempo 2,54 s) hasta llegar a un máximo en 1,2 rad o 69∘ . Esto ocurre a 0,29 s de haber comenzado a acelerar que en si dura 0,50 s. El segundo Peak de la Gráfica corresponde a la Fase de Reposo Angulo donde el Talón esta en el Suelo Talón-Metatarso-Suelo pero el Metatarso se eleva. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 29 / 52
  • Levantamiento del Talón II El camino que recorre el inicialmente estaba dado (ver Capitulo 1.2) por x(t) 1 2 x(t) = aa t (22) 2 Δ1 La rotación significa que el Angulo esta ligado a x ya que Δ1 (1 − cos x = Δ1 (1 − cos 1) (23) 1) donde Δ1 es la Distancia entre Talón y Metatarso. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 30 / 52
  • Levantamiento del Talón III Si reemplazamos (22) en (23) y despejamos en el tiempo t obtenemos el tiempo en que se eleva el Talón: ′ 2Δ1 (1 − cos 1) 1 = (24) aa Si medimos que en la fase portante media el Angulo alcanza 70∘ y la distancia Talón a Metatarso tiene un largo de 19 cm obtendríamos un tiempo Desplazamiento Talon ′ 2 ⋅ 0,19(1 − cos 70∘ ) 1 = = 0,22 s 5,02 m/s2 W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 31 / 52
  • Levantamiento del Metatarso I En la segunda fase, hasta el termino de la fase portante, el pie gira en torno a su punta levantando el Metatarso. Este proceso se inicia en nuestro Ejemplo en el tiempo 2,83 s y culmina en el tiempo 3,04 s, tiempo en que el Pie como un todo inicia el frenado. El punto de giro es Angulo Metatarso-Punta ahora la Punta del Pie. de Pie-Suelo W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 32 / 52
  • Levantamiento del Metatarso II Ahora el camino recorrido es x = (Δ1 + Δ2 )(1 − cos 2) (25) donde Δ2 es el largo de los dedos x(t) Δ1 + Δ2 y 2 el angulo que forman estos con el Suelo. Si se observan los datos del Δ1 movimiento del Talón veremos que el Angulo se va reduciendo. El Talón no continua girando en torno 1 2 al Metatarso si no solo en función (Δ1 + Δ2 )(1 − cos 2) del giro de la Punta del Pie. De esta forma se esta volviendo a una situación en que el Pie esta plano. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 33 / 52
  • Levantamiento del Metatarso III En la Curva de Posición del Eje se ve como el Metatarso se eleva dos veces. La primera vez cuando el Talón se ha alzado y el Metatarso comienza a elevarse para pasar a la fase Oscilante. Al termino de esta el Metatarso se encuentra cercano al suelo hasta que el Pie se detiene apoyado en el Talón. En esta ultima fase el Metatarso vuele a subir hasta quedar en contacto Desplazamiento con el Suelo al reponer la Carga. Metatarso W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 34 / 52
  • Levantamiento del Metatarso IV En el momento que el Giro en torno de la Punta del Pie termina, el Pie se desprende del Suelo y el Proceso de Frenado se inicia. Esto se debe a que ya no podemos hacer Fuerza contra el Suelo para Impulsarnos. Desplazamiento Punta del Pie W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 35 / 52
  • Movimiento Oscilante I Si se analiza el Movimiento hasta este Punto, se ve que el Pie no solo tiene la Componente de z0 t Velocidad calculada en el Capitulo anterior max , también tiene una Componente vertical que de 2 max hecho puede llegar a levantar el Pie. Esta componente se calcula 2 directo del Angulo que forma el Pie y de la Velocidad ya determinada: z0 = max cot 2 = 2¯ cot 2 (26) W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 36 / 52
  • Movimiento Oscilante II Al perder la Pierna contacto con el Suelo cesa el Movimiento que origino la Aceleración Centrifuga y el Pie inicia una caída libre hasta que toque suelo nuevamente. Este esta acompañado con una t Velocidad horizontal que ya max calculamos en el Capitulo anterior 2 ( max ) y que va reduciéndose para permitir que el Talón se pose sobre el Suelo. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 37 / 52
  • Movimiento Oscilante III El Movimiento depende tanto de la Altura que Alcanzo el Pie como de la Velocidad vertical z0 que alcanzo. Si el largo (talón-dedos) es de d la altura sera h = d sin 2 (27) Con ambas condiciones iniciales el Movimiento en la altura sera 1 z(t) = h + z0 t − gt2 (28) Desplazamiento del 2 Tobillo W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 38 / 52
  • Movimiento Oscilante IV Como el tiempo de Frenado es 2 ′ y este periodo termina cuando el Talón toca el Suelo (z = 0) tendremos que ′ 1 ′2 h+ z0 2 − g 2 =0 2 lo que nos lleva al Tiempo + 2 − 2gh z0 z0 ′ 2 = (29) g Desplazamiento del Tobillo W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 39 / 52
  • Limite Caminar y Correr I Si observamos el Tobillo de un Corredor notaremos que al final de la fase portante, al iniciar la fase Oscilante, el Pie se desprende del suelo. Esto es lo que ya estudiamos en la lamina anterior. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 40 / 52
  • Limite Caminar y Correr II De hecho se observa como toda la Pierna continua subiendo y recién avanzado el movimiento logra bajar para posicionar el Tobillo. De la ecuación se el tiempo que tarda la pierna para llegar al punto mas alto: z0 c = (30) g y la Altura desde el Suelo 2 z0 zmax = h + (31) Desplazamiento del Tobillo 2g W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 41 / 52
  • Limite Caminar y Correr III La Persona comenzaría a Correr al momento que el Tiempo hasta aterrizar del Pie ′ 2 comienza a ser mayor que el tiempo de Frenado que calculamos en el Capitulo anterior ′ 2 > 2 (32) Movimiento (x,y) del Tobillo W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 42 / 52
  • Respuesta a la Carga Finalmente el Talón se apoya en el ¯ 3 suelo (contacto inicial), el pie ya no se desplaza horizontalmente y solo gira para dejar la planta paralela al Suelo. Al ser la Velocidad de Traslación constante (¯) la Velocidad angular también lo sera. Si 3 es el Angulo que se forma entre Planta de Pie y Suelo la Velocidad Angular sera 3 3 = (33) 3 3 donde 3 es el Tiempo de Reposo. W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 43 / 52
  • Anexos ▶ Unidades ▶ Conversiones ▶ Bibliografia ▶ Contacto W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 44 / 52
  • Unidades Simbolo Tipo Ejemplos L Largo m, cm, mm, m T Tiempo s, min, hrs M Masa kg % Porcentaje − Simbolo Tipo Ejemplos L2 Área, Superficie m2 , cm2 L3 Volumen m3 , cm3 M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3 W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 45 / 52
  • Conversiones I 1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3 1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m 1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3 1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3 1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3 1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3 1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3 1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3 1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3 1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt 1m2 = 10−4 ha W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 46 / 52
  • Conversiones II 1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min 1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr 1s = 1,16 × 10−5 dias 1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos 1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s 1 dia = 8,64 × 10+4 s 1 hr = 3600 s 1 min = 60 s W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 47 / 52
  • Bibliografia I Textos recomendados. En caso de links a Google Books se trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro. Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J. Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008, ISBN-13: 9780736076135 → Leer en Google Books Dance Anatomy and Kinesiology, K. Clippenger, K.S. Clippinger, Human Kinetics Publishers, 2006, ISBN-13: 9780880115315 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 48 / 52
  • Bibliografia II Kinesiology: Movement in the Context of Activity, D.P. Greene, S.L. Roberts, Elsevier Science, 2004, ISBN-13: 9780323028226 → Leer en Google Books Kineseology for Occupational Therapy, M. Rybski, SLACK, Inc., 2004, ISBN-13: 9781556424915 → Leer en Google Books ACSM’s Resources for the Personal Trainer: Techniques, Complications, and Management, American College of Sports Medicine, K.E. Baldwin, N.I. Pire (Editors), Lippincott Williams Wilkins, 2006, ISBN-13: 9780781790536 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 49 / 52
  • Bibliografia III Biomechanics: Principles and Applications, D.R. Peterson, J.D. Bronzino (Editors), Taylor Francis, Inc., 2007, ISBN-13: 9780849385346 → Leer en Google Books Principles of Biomechanics Motion Analysis, I.W. Griffiths, Lippincott Williams Wilkins, 2005, ISBN-13: 9780781752312 → Leer en Google Books Comparative Biomechanics: Life’s Physical World, S. Vogel, A. Defarrari, Princeton University Press, 2003, ISBN-13: 9780691112978 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 50 / 52
  • Bibliografia IV Human-Like Biomechanics: A Unified Mathematical Approach to Human Biomechanics and Humanoid Robotics, V.G. Ivancevic, T.T. Ivancevic, Springer-Verlag New York, LLC, 2006, ISBN-13: 9781402041167 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 51 / 52
  • Contacto Dr. Willy H. Gerber wgerber@gphysics.net Instituto de Física Universidad Austral de Chile Campus Isla Teja Valdivia, Chile +(56) 63 221125 Set del Curso: http://www.gphysics.net/physics-in-occupational-therapy-uach W. Gerber Física en la Terapia Ocupacional - 1.3 Rotación - Teoría 27.08.2009 52 / 52