Probabilidad y Estad´                    ıstica Distribuciones de probabilidad         Dr. H´ctor Avil´s              e   ...
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  1. 1. Probabilidad y Estad´ ıstica Distribuciones de probabilidad Dr. H´ctor Avil´s e eIngenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n ıa ıas o Universidad Polit´cnica de Victoria e Cd. Victoria Tamaulipas Agosto-Diciembre 2011
  2. 2. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasContenido Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones de probabilidad discretas Distribuciones de probabilidad continuasH. Avil´s e UPV2/44
  3. 3. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasContenido Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones de probabilidad discretas Distribuciones de probabilidad continuasH. Avil´s e UPV3/44
  4. 4. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un concepto muy util en probablidad es el de variables ´ aleatoria o variables estoc´stica aH. Avil´s e UPV4/44
  5. 5. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un concepto muy util en probablidad es el de variables ´ aleatoria o variables estoc´stica a Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y las probabilidades asociadasH. Avil´s e UPV4/44
  6. 6. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un concepto muy util en probablidad es el de variables ´ aleatoria o variables estoc´stica a Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y las probabilidades asociadas Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos e que describan los eventos, en vez de los eventos en siH. Avil´s e UPV4/44
  7. 7. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un concepto muy util en probablidad es el de variables ´ aleatoria o variables estoc´stica a Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y las probabilidades asociadas Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos e que describan los eventos, en vez de los eventos en si Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores a num´ricos eH. Avil´s e UPV4/44
  8. 8. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un concepto muy util en probablidad es el de variables ´ aleatoria o variables estoc´stica a Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos y las probabilidades asociadas Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores num´ricos e que describan los eventos, en vez de los eventos en si Las variables aleatorias nos ayudar´n a obtener tales valores a num´ricos e Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valores num´ricos a cada salida de un experimento eH. Avil´s e UPV4/44
  9. 9. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma a o un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → RH. Avil´s e UPV5/44
  10. 10. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma a o un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los eventos donde se utilizan A, B ´ C ) oH. Avil´s e UPV5/44
  11. 11. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma a o un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los eventos donde se utilizan A, B ´ C ) o Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en o alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos u u monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) = a 1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0 a a aH. Avil´s e UPV5/44
  12. 12. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias M´s formalmente, una V.A. X es una funci´n que transforma a o un evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a los eventos donde se utilizan A, B ´ C ) o Una V.A. se puede ver como el resultado de una medici´n en o alg´n proceso, e.g., Y = “El n´mero de soles al lanzar dos u u monedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2, Y ({´guila, sol}) = a 1, Y ({sol, ´guila}) = 1, Y ({´guila, ´guila}) = 0 a a a En casos especiales, un evento e es igual al valor num´rico e deseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El n´mero que resulta u de lanzar un unico dado) ´H. Avil´s e UPV5/44
  13. 13. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por u una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona” oH. Avil´s e UPV6/44
  14. 14. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por u una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona” o En general, una V.A. puede ser discreta o continuaH. Avil´s e UPV6/44
  15. 15. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por u una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona” o En general, una V.A. puede ser discreta o continua Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, X ∈ N es discreta finitaH. Avil´s e UPV6/44
  16. 16. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por u una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona” o En general, una V.A. puede ser discreta o continua Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, X ∈ N es discreta finita Tambi´n hay V.A. discretas infinitas como el n´mero de e u granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el o u cieloH. Avil´s e UPV6/44
  17. 17. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Un ejemplo es X = “El n´mero de coches rojos que pasan por u una calle en 10 minutos” ´ Y = “La estatura de una persona” o En general, una V.A. puede ser discreta o continua Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambos resultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, X ∈ N es discreta finita Tambi´n hay V.A. discretas infinitas como el n´mero de e u granos de arena en una playa ´ el n´mero de estrellas en el o u cielo Para casos especiales, las V.A pueden considerar valores cualitativos X ∈ {alto, mediano, bajo}, Y ∈ {estudiante, profesionista}H. Avil´s e UPV6/44
  18. 18. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un rango o intervalo de RH. Avil´s e UPV7/44
  19. 19. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un rango o intervalo de R Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa” o ´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una persona”H. Avil´s e UPV7/44
  20. 20. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en un rango o intervalo de R Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa” o ´ Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de una persona” Las V.A. pueden representar eventos simples o eventos compuestosH. Avil´s e UPV7/44
  21. 21. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta Las V.A son importantes porque nos permiten definir distribuciones de probabilidad sobre ellasH. Avil´s e UPV8/44
  22. 22. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta Las V.A son importantes porque nos permiten definir distribuciones de probabilidad sobre ellas Una distribuci´n de probabilidad es una funci´n que nos o o permite asignar valores de probabilidad para los valores de una V.A. Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuci´n de o probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los valores de XH. Avil´s e UPV8/44
  23. 23. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta Las V.A son importantes porque nos permiten definir distribuciones de probabilidad sobre ellas Una distribuci´n de probabilidad es una funci´n que nos o o permite asignar valores de probabilidad para los valores de una V.A. Para el caso de una V.A. discreta X , la distribuci´n de o probabilidad es una lista de probabilidades asociadas a los valores de X A una distribuci´n de probabilidad de este tipo se les o denomina distribuci´n de probabilidad discreta oH. Avil´s e UPV8/44
  24. 24. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta Sea X una V.A. discreta que puede tomar N valores distintos, X ∈ {xi |1 ≤ i ≤ N}, entonces P(X = xi ) = p(xi ), N donde 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 y i=1 p(xi ) =1H. Avil´s e UPV9/44
  25. 25. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta - Ejemplo Para un dado que no es justo y privilegia resultados impares: xi p(xi ) 1 3/12 2 1/12 3 3/12 4 1/12 5 3/12 6 1/12 Las distribuciones de probabilidad discreta pueden representarse por medio de tablas o gr´ficamente (i.e., mediante histogramas de a probabilidad)H. Avil´s e UPV10/44
  26. 26. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasFunci´n de probabilidad acumulada o Una funci´n importante es la funci´n de probabilidad o o acumulada P(X ≤ xi ) = p(xj ) j≤i A su gr´fica se le llama funci´n escalera a oH. Avil´s e UPV11/44
  27. 27. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasValor esperado Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza o o matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X : a E [X ] = xi · p(xi ) ∀iH. Avil´s e UPV12/44
  28. 28. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasValor esperado Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza o o matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X : a E [X ] = xi · p(xi ) ∀i Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es: 1 1 1 1 1 1 E [X ] = 1 · +2· +3· +4· +5· +6· = 6 6 6 6 6 6H. Avil´s e UPV12/44
  29. 29. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasValor esperado Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza o o matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X : a E [X ] = xi · p(xi ) ∀i Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es: 1 1 1 1 1 1 E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5 6 6 6 6 6 6H. Avil´s e UPV12/44
  30. 30. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasValor esperado Otra funci´n importante es el valor esperado ´ esperanza o o matem´tica E [X ] de una V.A. discreta X : a E [X ] = xi · p(xi ) ∀i Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo con X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es: 1 1 1 1 1 1 E [X ] = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = 3.5 6 6 6 6 6 6 Si la gr´fica de la distribuci´n de probabilidad se ve como un a o objeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa del objeto en dos partes igualesH. Avil´s e UPV12/44
  31. 31. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se e “esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el o eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o a probabilidades)H. Avil´s e UPV13/44
  32. 32. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se e “esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el o eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o a probabilidades) Para una variable X la varianza viene dada por n 2 V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi ) i=1H. Avil´s e UPV13/44
  33. 33. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza V (X ) es una medida que nos indica qu´ tanto se e “esparcen” o varian los valores de X en la distribuci´n (en el o eje horizontal de su gr´fica), tomando en cuenta sus pesos (o a probabilidades) Para una variable X la varianza viene dada por n 2 V (X ) = E [(X − E [X ]) ] = (xi − E [X ])2 · p(xi ) i=1 Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia al cuadrado entre cada valor para X y su esperanza matem´tica aH. Avil´s e UPV13/44
  34. 34. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza tambi´n se puede calcular como: e V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al cuadrado)H. Avil´s e UPV14/44
  35. 35. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza tambi´n se puede calcular como: e V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al cuadrado) Por ejemplo, para un dado justo E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5, y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 = ((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25H. Avil´s e UPV14/44
  36. 36. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza tambi´n se puede calcular como: e V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al cuadrado) Por ejemplo, para un dado justo E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5, y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 = ((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25 As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25 ı,H. Avil´s e UPV14/44
  37. 37. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVarianza La varianza tambi´n se puede calcular como: e V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor de X elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X al cuadrado) Por ejemplo, para un dado justo E [X 2 ] = ∀i (xi )2 · p(xi )(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 )/6 = 15.5, y (E [X ])2 = ( ∀i xi · p(xi ))2 = ((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25 As´ V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 = 15.5 − 12.25 = 3.25 ı, Esta forma es muy util cuando se tiene una descripci´n ´ o anal´ ıtica de la distribuci´n oH. Avil´s e UPV14/44
  38. 38. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio Considere la siguiente tabla de edades y la V.A. X ´ la edad o de una persona del grupo. Grafique p(xi ) ∀i, su funci´n o acumulada, y obtenga E , V y P(X = 25 ´ X = 21) o Edad 25 22 21 24 25 29 21 22 25 24 21H. Avil´s e UPV15/44
  39. 39. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio Para los siguientes valores de una variable X , grafique p(xi )∀i, su funci´n acumulada, y calcule E , V y P(X ≤ 25) o 13, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 24, 23, 38, 36, 24, 29, 25, 17, 17, 34, 36, 39, 34, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 37, 31, 37, 34, 32, 35, 28, 32, 31, 28, 15, 32, 13H. Avil´s e UPV16/44
  40. 40. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad o de Y = y est´ dada por: a b P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy aH. Avil´s e UPV17/44
  41. 41. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad o de Y = y est´ dada por: a b P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy a donde a y b son los l´ ımites inferior y superior en que p(y ) debe evaluarseH. Avil´s e UPV17/44
  42. 42. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad o de Y = y est´ dada por: a b P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy a donde a y b son los l´ ımites inferior y superior en que p(y ) debe evaluarse ∞ Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0H. Avil´s e UPV17/44
  43. 43. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | − ∞ ≤ y ≤ ∞} y su funci´n de densidad de probabilidad es p(y ), la probabilidad o de Y = y est´ dada por: a b P(a ≤ Y ≤ b) = p(y )dy a donde a y b son los l´ ımites inferior y superior en que p(y ) debe evaluarse ∞ Se debe satisfacer −∞ p(y )dy = 1 y p(y ) ≥ 0 y Recordar que y p(y )dy = 0, por tanto, no podemos usar una forma tabular para P(·) de V.A. continuasH. Avil´s e UPV17/44
  44. 44. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasFunci´n de probabilidad acumulada y valor esperado o La funci´n de distribuci´n acumulativa es: o o b P(Y ≤ b) = p(y )dy −∞H. Avil´s e UPV18/44
  45. 45. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasFunci´n de probabilidad acumulada y valor esperado o La funci´n de distribuci´n acumulativa es: o o b P(Y ≤ b) = p(y )dy −∞ La esperanza matem´tica de Y es: a ∞ P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy −∞H. Avil´s e UPV18/44
  46. 46. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasFunci´n de probabilidad acumulada y valor esperado o La funci´n de distribuci´n acumulativa es: o o b P(Y ≤ b) = p(y )dy −∞ La esperanza matem´tica de Y es: a ∞ P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) = y · p(y )dy −∞ La varianza es: ∞ V (Y ) = (y − E (Y ))2 · p(y )dy −∞H. Avil´s e UPV18/44
  47. 47. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Ejemplos de una funci´n de probabilidad continua (izquierda) y el o comportamiento de su funci´n acumulativa (derecha) oH. Avil´s e UPV19/44
  48. 48. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento a [a, b] de la curva:H. Avil´s e UPV20/44
  49. 49. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento a [a, b] de la curva: Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como a e tri´ngulos y trapecios) aH. Avil´s e UPV20/44
  50. 50. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento a [a, b] de la curva: Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como a e tri´ngulos y trapecios) a Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n) o oH. Avil´s e UPV20/44
  51. 51. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento a [a, b] de la curva: Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como a e tri´ngulos y trapecios) a Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n) o o Cuando la forma de la integral es conocida (o puede conocerse) y resolviendo para a y bH. Avil´s e UPV20/44
  52. 52. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas Hay diferentes maneras de calcular el ´rea bajo un segmento a [a, b] de la curva: Gr´ficamente (para figuras geom´tricas simples como a e tri´ngulos y trapecios) a Calculando la suma de segmentos (s´lo aproximaci´n) o o Cuando la forma de la integral es conocida (o puede conocerse) y resolviendo para a y b Recordar de los teoremas fundamentales de c´lculo: a b b = P(Y ≤ b) − P(Y ≤ a) P(a ≤ Y ≤ b) = a p(y )dy = P(Y )|a ¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!H. Avil´s e UPV20/44
  53. 53. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo b Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n, i=a para una variable Y con densidad de probabilidad 1 2y 0≤y ≤2 p(y ) = 0 de lo contrario calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4H. Avil´s e UPV21/44
  54. 54. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo b Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n, i=a para una variable Y con densidad de probabilidad 1 2y 0≤y ≤2 p(y ) = 0 de lo contrario calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4 b−a 1−0 1 ∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆nH. Avil´s e UPV21/44
  55. 55. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo b Si se considera que a p(y )dy = limn→∞ b p(yi ) · ∆n, i=a para una variable Y con densidad de probabilidad 1 2y 0≤y ≤2 p(y ) = 0 de lo contrario calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4 b−a 1−0 1 ∆n = n = 4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) = i=0 p(yi ) · ∆n 1 1 1 P(0 ≤ Y ≤ 1) = ·i=0 2 (yi ) = (4) ( 4 ) · ( 1 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 1 2 9 32 o ´ 0.28H. Avil´s e UPV21/44
  56. 56. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo 1 1 1 Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydyH. Avil´s e UPV22/44
  57. 57. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo 1 1 1 Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy Resolviendo la integral definida: 1 1 1 y2 1 1 1 ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25 0 2 2 2 0 4 0 4 4H. Avil´s e UPV22/44
  58. 58. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo 1 1 1 Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy Resolviendo la integral definida: 1 1 1 y2 1 1 1 ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25 0 2 2 2 0 4 0 4 4 Si se grafica la ecuaci´n 1 y , se observa que es una l´ o 2 ınea recta y forma un tri´ngulo en los l´ a ımites b y aH. Avil´s e UPV22/44
  59. 59. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo 1 1 1 Dado que 0 p(y )dy = 0 2 ydy Resolviendo la integral definida: 1 1 1 y2 1 1 1 ydy = ( ) |1 = ( )y 2 |1 = ( )[(1)2 −(0)2 ] = = 0.25 0 2 2 2 0 4 0 4 4 Si se grafica la ecuaci´n 1 y , se observa que es una l´ o 2 ınea recta y forma un tri´ngulo en los l´ a ımites b y a Si se recuerda que ´rea = base·altura , y a 2 base = b − a = 1 − 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 1 · 1) = 1/2, 2 base · altura 1· 1 2 ´rea = a = = 1/4 2 2H. Avil´s e UPV22/44
  60. 60. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como 2 2 2 2 3 1 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 1 y 2 dy = ( 1 ) y3 |2 = 2 2 0 3 ( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 2 3 2 3 = 4/3 ≈ 1.33H. Avil´s e UPV23/44
  61. 61. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como 2 2 2 1 2 1 2 1 y3 2 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 = 3 ( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33 2 3 2 3 Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla 2 2 2 2 1 calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 2 1 3 1 y4 2 1 24 1 16 0 2 y dy = (2) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2H. Avil´s e UPV23/44
  62. 62. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejemplo E [Y ] de p(y ) = 1 y se obtiene como 2 2 2 1 2 1 2 1 y3 2 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 0 2 y dy = ( 2 ) 3 |0 = 3 ( 1 )[ 2 − 0] = ( 1 )( 8 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33 2 3 2 3 Si V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 , V (Y ) podemos obtenerla 2 2 2 2 1 calculando E [Y 2 ] = 0 y · p(y )dy = 0 y · 2 ydy = 2 1 3 1 2 y4 1 24 1 16 0 2 y dy = ( 2 ) 4 |0 = ( 2 )[ 4 − 0] = ( 2 )( 4 ) = 4/2 = 2 As´ V (Y ) = E [Y 2 ] − (E [Y ])2 = 2 − (1.33)2 ≈ .23 ı,H. Avil´s e UPV23/44
  63. 63. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejercicio 1 Considere una variable Y con densidad de probabilidad 1 10 (y + 3) −1 ≤ y ≤ 2 p(y ) = 0 de lo contrario calcule P(1 ≤ Y ≤ 2) para n = 5 incrementos, resolviendo la integral definida; adem´s calcule E [Y ] y V (Y ) aH. Avil´s e UPV24/44
  64. 64. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasVariables aleatorias continuas - Ejercicio 2 Considere una variable Y con densidad de probabilidad 6y (1 − y ) 0≤y ≤1 p(y ) = 0 de lo contrario calcule P(0.5 ≤ Y ≤ 1) con 10 incrementos, resolviendo la integral definida y obtenga E [Y ] y V (Y )H. Avil´s e UPV25/44
  65. 65. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones discretas x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones de probabilidad discretas Distribuciones de probabilidad continuasH. Avil´s e UPV26/44
  66. 66. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones discretas Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser muy importantes en la pr´ctica y teor´ a ıaH. Avil´s e UPV27/44
  67. 67. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones discretas Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser muy importantes en la pr´ctica y teor´ a ıa Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´ ıficosH. Avil´s e UPV27/44
  68. 68. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones discretas Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser muy importantes en la pr´ctica y teor´ a ıa Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´ ıficos Esto ayuda a su aplicaci´n y al estudio de sus propiedades oH. Avil´s e UPV27/44
  69. 69. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuciones discretas Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen ser muy importantes en la pr´ctica y teor´ a ıa Por esto, algunas formas han recibido nombres especi´ ıficos Esto ayuda a su aplicaci´n y al estudio de sus propiedades o Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: la distribuci´n uniforme, de Bernoulli y la distribuci´n binomial o oH. Avil´s e UPV27/44
  70. 70. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones o discretas m´s simples aH. Avil´s e UPV28/44
  71. 71. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones o discretas m´s simples a La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos iguales) que toma una V.A. discreta XH. Avil´s e UPV28/44
  72. 72. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones o discretas m´s simples a La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos iguales) que toma una V.A. discreta X Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad P(xn ) = 1/n, ∀nH. Avil´s e UPV28/44
  73. 73. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o La distribuci´n uniforme discreta es una de las distribuciones o discretas m´s simples a La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementos de un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalos iguales) que toma una V.A. discreta X Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidad P(xn ) = 1/n, ∀n En general, nos permitir´ representar problemas en los que a todos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g., lanzar un dado o una moneda “justa”)H. Avil´s e UPV28/44
  74. 74. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o El valor esperado es: E [X ] = n xi · p(xi ) = i=1 1 n n i=1 xi · = 1 n · ( x1 +xn · n) = 2 x1 +xn 2H. Avil´s e UPV29/44
  75. 75. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme o El valor esperado es: E [X ] = n xi · p(xi ) = i=1 1 n n i=1 xi · = 1 n · ( x1 +xn · n) = 2 x1 +xn 2 La varianza es: n V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = i=1 (xi − E [X ])2 · p(xi )H. Avil´s e UPV29/44
  76. 76. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n uniforme - Ejercicio o Sea X una V.A. discreta con X ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} distribuida uniformemente. Su representaci´n gr´fica es: o a Calcule su valor esperado, su varianza y grafique su funci´n o escalonadaH. Avil´s e UPV30/44
  77. 77. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la o probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un e experimento aleatorioH. Avil´s e UPV31/44
  78. 78. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la o probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un e experimento aleatorio Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no o en una unica repetici´n del experimento aleatorio ´ oH. Avil´s e UPV31/44
  79. 79. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la o probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un e experimento aleatorio Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no o en una unica repetici´n del experimento aleatorio ´ o En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli o con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso) a eH. Avil´s e UPV31/44
  80. 80. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La distribuci´n de Bernoulli nos sirve para representar la o probabilidad de ´xito (p) y fracaso (q =1 − p) de un e experimento aleatorio Considere una V.A. X que indica si un evento se cumpli´ o no o en una unica repetici´n del experimento aleatorio ´ o En este caso X se comporta con una distribuci´n de Bernoulli o con par´metro p (X = 1 en caso de ´xito, X = 0 en fracaso) a e La funci´n de probabilidad es P(X ) = px · (1 − p)1−x , es o decir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1 − pH. Avil´s e UPV31/44
  81. 81. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) = a i=0 0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = pH. Avil´s e UPV32/44
  82. 82. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli o La esperanza matem´tica es: E [X ] = 1 x = i · p(x = i) = a i=0 0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p La varianza es: V (X ) = E [(X − E [X ])2 ] = 1 (x = i − E [X ])2 · p(x = i) = i=0 1 2 2 i=0 (x = i − p) · p(x = i) = (0 − p) · p(x = 0)+(1−p) 2 ·p(x = 1) = (0−p)2 ·(1−p)+(1−p)2 ·p = p·(1−p)H. Avil´s e UPV32/44
  83. 83. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli - Ejemplo o Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer cara, entonces p = P(X = 1) = .6H. Avil´s e UPV33/44
  84. 84. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli - Ejemplo o Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer cara, entonces p = P(X = 1) = .6 Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado “justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6H. Avil´s e UPV33/44
  85. 85. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli - Ejemplo o Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamiento de una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caer cara, entonces p = P(X = 1) = .6 Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado “justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6 Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3, p = P(Z = 1) = 1/2H. Avil´s e UPV33/44
  86. 86. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli oH. Avil´s e UPV34/44
  87. 87. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n de Bernoulli - Ejercicio o Para los 3 ejemplos anteriores, calcule E (·), V (·) y grafique su funci´n p(·) oH. Avil´s e UPV35/44
  88. 88. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r o u de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes” e de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ nH. Avil´s e UPV36/44
  89. 89. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r o u de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes” e de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en o una autopista o se detenga en un momento r determinado (asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de tiempo)H. Avil´s e UPV36/44
  90. 90. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o La distribuci´n binomial mide la probabilidad de un n´mero r o u de ´xitos en un conjunto de n repeticiones “independientes” e de Bernoulli, e.g., P(X = r ) donde 0 ≤ r ≤ n Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una moneda n veces, ´ la probabilidad de que un coche siga avanzando en o una autopista o se detenga en un momento r determinado (asumiendo que cada intento corresponde a una unidad de tiempo) La probabilidad de ´xito es p y de fracaso q = 1 − p eH. Avil´s e UPV36/44
  91. 91. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados o exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1 y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´ ındice indica la posici´n del experimento aleatorio en la secuencia oH. Avil´s e UPV37/44
  92. 92. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados o exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1 y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´ ındice indica la posici´n del experimento aleatorio en la secuencia o As´ para esta situaci´n ı, o p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−rH. Avil´s e UPV37/44
  93. 93. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Para obtener P(X = r) suponga una sucesi´n de r resultados o exitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1 y Xr +1 = 0 ∧ Xr +2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ´ ındice indica la posici´n del experimento aleatorio en la secuencia o As´ para esta situaci´n ı, o p1 ·p2 ·...·pr ·(1−p)r +1 ·(1−p)r +2 ·...·(1−p)n = pr (1−p)n−r Como s´lo estamos interesados en la probabilidad de r ´xitos o e (sin importar el orden), entonces hay que calcular el n´mero u de r combinaciones en n elementos: n n! = r r !(n − r )!H. Avil´s e UPV37/44
  94. 94. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de o combinaciones posibles: n! n pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r r !(n − r )! rH. Avil´s e UPV38/44
  95. 95. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de o combinaciones posibles: n! n pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r r !(n − r )! r De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con o n distribuci´n binomial es P(X = r ) = o pr (1 − p)n−r , r 0≤r ≤nH. Avil´s e UPV38/44
  96. 96. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Como se tiene la probabilidad para una combinaci´n o pr (1 − p)n−r s´lo resta multiplicar por el total de o combinaciones posibles: n! n pr (1 − p)n−r = pr (1 − p)n−r r !(n − r )! r De esta manera, la funci´n de probabilidad de la V.A. X con o n distribuci´n binomial es P(X = r ) = o pr (1 − p)n−r , r 0≤r ≤n El valor esperado est´ dado por np y la varianza por np(1 − p) aH. Avil´s e UPV38/44
  97. 97. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n binomial o Distribuci´n binomial para n = 20 y p = 0.1(rojo), p = 0.5(verde), o p = 0.8(azul)H. Avil´s e UPV39/44
  98. 98. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasOtras distribuciones La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de o e un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito u eH. Avil´s e UPV40/44
  99. 99. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasOtras distribuciones La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de o e un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito u e La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que o ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas u en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo) ıaH. Avil´s e UPV40/44
  100. 100. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasOtras distribuciones La distribuci´n geom´trica permite calcular la probabilidad de o e un n´mero r de repeticiones antes del primer ´xito u e La distribuci´n de Poisson calcula la probabilidad de que o ocurra un cierto evento r veces en un per´ıodo de tiempo (o espacio) determinado (e.g., el n´mero de piezas defectuosas u en un d´ o las estrellas en un segmento particular del cielo) ıa Para estas distribuciones describe su funci´n de probabilidad, el o valor esperado, su varianza y de un ejemploH. Avil´s e UPV40/44
  101. 101. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasContenido x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza x Distribuciones de probabilidad discretas Distribuciones de probabilidad continuasH. Avil´s e UPV41/44
  102. 102. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n normal o La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las o m´s utilizadas en la literatura aH. Avil´s e UPV42/44
  103. 103. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n normal o La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las o m´s utilizadas en la literatura a Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la u o a cienciaH. Avil´s e UPV42/44
  104. 104. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n normal o La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las o m´s utilizadas en la literatura a Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la u o a ciencia Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su o densidad de probabilidad est´ dada por: a 1 1 y −µ 2 P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ ) σ 2πH. Avil´s e UPV42/44
  105. 105. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n normal o La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las o m´s utilizadas en la literatura a Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la u o a ciencia Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su o densidad de probabilidad est´ dada por: a 1 1 y −µ 2 P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ ) σ 2π donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y ) es la desviaci´n est´ndar (´ ra´ cuadrada de la varianza) o a o ızH. Avil´s e UPV42/44
  106. 106. Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuasDistribuci´n normal o La distribuci´n normal, de Gauss, o Gaussiana es una de las o m´s utilizadas en la literatura a Permite modelar m´ltiples fen´menos en muchas ´reas de la u o a ciencia Para una V.A. Y continua con distribuci´n normal, su o densidad de probabilidad est´ dada por: a 1 1 y −µ 2 P(Y = y ) = √ e − 2 ( σ ) σ 2π donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ = V (Y ) es la desviaci´n est´ndar (´ ra´ cuadrada de la varianza) o a o ız La distribuci´n normal frecuentemente se denota como o N (µ, σ)H. Avil´s e UPV42/44

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