1. Ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
Ejercicios

2. Leyes de exponentes
10
a )0(a
n
n
a
a
1
)0(a
nnn
baab
n
nn
b
a
b
a
nmnm
aaa
mnnm
aa )(
nm
n
m
a
a
a

3. Radicales
nn
aa
1
)0(aaaaa n nn
n
n
mm
nn m
aaa
nnn
baab
n
n
n
b
a
b
a
mnm n
aa
)0(b

4. Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra
como exponente.
Ejemplo: 82x
Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es)
de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de
las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.
Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de
exponentes:
3
22
82
3
x
x
x Factorizamos el 8 y lo expresamos con
exponente y como las bases son iguales
podemos igualar los exponentes, de esta forma
determinamos el valor de “x” que hace que la
igualdad se verifique.

5. Ejemplos
4
44
4
1
4
256
1
4
4
4
x
x
x
x
Resolver:
2
11
11
55
5
1
5
2.05
11
1
1
x
x
x
x
x
x
5
1
5
1
15
14
41
22
)2(2
42
41
221
21
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
3
8
83
353
533
33
33
333
533
532
532
x
x
x
x
x
xx
xx
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener
soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.

6. Tarea: Resuelve las siguientes ecuaciones en tu libreta.
156255x
3437 2x
7293 1x
32
1
2
2
1 x
3222 1xx

7. Logaritmos
El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar
elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.
abcaLog c
b
aeba b
ln
El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”
El logaritmo natural de “a” es igual a “b”
Existe dos tipos de logaritmos:
Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)
Logaritmo natural (neperiano):

8. Definición de logaritmo
3
4
81
1
log
81
1
27
27
34
Reescribe las siguientes cantidades en forma logarítmica y verifica el
resultado con la calculadora:
25125
32
3
2
25log
25125
125
32
Ahora en tu libreta:
32
1
8 35
2
3
27
8
31

9. Propiedades de logaritmos
xnx b
n
b log)(log
yx
y
x
bbb logloglog
yxxy bbb loglog)(log
b
x
xb
log
log
log
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades multiplicándose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades dividiéndose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad
elevada a un exponente:
Cambio de base: De base “b” a base 10
Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.

10. De las propiedades anteriores podemos deducir
las siguientes:
ENa
EN
b
b
b
b
b
/)(log
/0log
01log
1log

11. Practiquemos las propiedades de los
logaritmos
5
43
4
)2(
)5(
log
z
yx
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
)2log(
4
15
)5log(5log20
)2log()43)(5()5log(5log)4)(5(
)2log(5)5log(5log5
)2(
)5(
log5
434
43
4
zyx
zyx
zyx
z
yx
36
43 2
)3(
)42(
ln
zw
yx
zwyx
zwyx
zwyx
ln33ln3ln6)42ln(4ln
3
2
3ln3ln6)42ln(4ln
)3ln(ln)42ln(ln
32
3643 2

12. Ahora a la inversa:
3log2log yx
Expresa con un solo logaritmo:
1ln
2
1
3lnln2 xxx
3)log(
3loglog
2
2
xy
yx
21
2
212
)1(
3
ln
)1ln(3lnln
x
x
xx
x
x

13. Tarea: Practica en tu libreta:
Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:
x
x
xxxx 4323
2
43198
log 4
3 2
4
70
ln
x
x
exx
Expresa con un solo logaritmo:
3ln21ln52ln xxx
xxxxxx lnlnlnloglog81110log 22
2
2

14. Ecuaciones exponenciales
Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones
exponenciales utilizando las propiedades de los logaritmos:
82x
3
2ln
2ln3
2ln32ln
2ln2ln 3
x
x
x
x
4
4log
256log
256log04log
256log1log4log
256
1
log4log
256
1
4
x
x
x
x
x
x
3
8
3ln8
3ln3
)3(ln8)3ln3(
3ln3ln5)3ln23(ln
3ln53ln33ln23ln
3ln53ln)32(3ln
3ln53ln3ln
)3ln()33ln(
333
32
532
532
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx

15. Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita
se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como
base del logaritmo.
Ejemplo: 24logx265log3 x
Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso
de la definición de logaritmos así como de sus propiedades.
Resolviendo los ejemplos:
965
365
265log
2
3
x
x
x
3
5
15
155
695
x
x
x
x
2
4
4
24log
2
x
x
x
x

16. Más ejemplos resueltos:
4
1
12
3
312
58210
28510
)4(2510
2
4
510
2ln
4
510
ln
2ln4ln510ln
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
xx
2
1
24
12
2
5
55
55
1224
1225
2512
5
12
2
12
log
2log12log
2log12log
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener
soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.

17. Inténtalo tú solo:
24log3 x
2log23log2log xxx
26log xx
1log31log 22 xx