1. Funciones
Rosa Margarita López
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
Recinto de Ponce
Departamento de Estudios Graduados

2. Funciones II
Funciones
Inversas
Funciones
Exponenciales Funciones
Logarítmicas
Funciones
Trigonométrica
Inversas

3. Funciones Inversas
3

4. 4
• Definir la inversa de una función.
• Verificar si dos funciones son inversas.
• Trazar la gráfica de la inversa de una
función.
• Dada la tabla de valores de una función,
encontrar los valores de la inversa.
• Encontrar la inversa de una función
algebraicamente.
Objetivos

5. 5
Def. Una función f se dice que es uno a
uno si, para cualquiera números x1 y x2,
x1  x2 , en el dominio de f, tenemos que
f (x1)  f (x2).
Ejemplos:
Determina si las funciones son 1-1.
La función es uno a uno.
2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)}
La función no es uno a uno.
1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}

6. 6
Teorema:
Prueba de la línea Horizontal.
Si alguna línea horizontal interseca la
gráfica de una función f en más de un
punto, entonces f no es una función 1-
1.

7. 7
500
100
f x( )
2015 x
10 0 10 20
500
Ej. Use la gráfica para determinar si la función
es 1-1.

8. 8
Def. Sea una función uno a uno.
Decimos que es es la función
inversa de si
y para todo en el dominio de
y todo en el dominio .
)(xf
( )g x
)(xf  ( )f g x x  ( )g f x x
x
Denotamos la inversa de por .
)(xf
x ( )g x
)(xf 1
( )f x
Nota:
 1
a. ( )f f x x

 1
b. ( )f f x x


9. 9
Dominio de f Alcance de f
1
deAlcance 
f
1
deDominio 
f
f 1
f
1
1
deDominiodeAlcance
deAlcancedeDominio




ff
ff

10. 10
¿Cuándo una función tiene una función inversa?
• Considere la siguiente función:
• Halla su función inversa:
x 3 2 -2 4 7 5 10
2 3 4 -1 6 8 -3 xf 1
x 2 3 4 -1 6 8 -3
3 2 -2 4 7 5 10 xf

11. 11
Teorema:
La gráfica de una función f y la gráfica
de su inversa son simétricas con
respecto a la línea identidad y = x.
f 1

12. 12
2 0 2 4 6
2
2
4
6 f
f 1
y = x
(2, 0)
(0, 2)

13. 13
Ej. Verificar si las funciones son inversas.
    3,3)1 1
 
xxfxxf
  
xff 1
 3xf   33  x
33 x x
  
xff 1
 31

xf 33 x x

14. 14
   
3
2
g,23)2 1- 

x
xxxg
  
xgg 1





 
3
2x
g 2
3
2
3 




 

x
22 x x
  
xgg 1
 231

xg
 
3
223 

x
x

15. 15
Ej. Construir la tabla de la función inversa.
x -6 -4 -2 0 2 4 6
-10 -8 -4 1 3 7 10
x -10 -8 -4 1 3 7 10
 xf 1
 xf
6 4 2 0 2 4 6

16. 16
3
5


x
y
3
5


y
x
53  xxy
53  xxy
x
x
y
53 

x
x
xf
53
)(1 

Ej. Halla la inversa def x
x
x( ) ,


5
3
La función es 1-1.
3 .

17. 17
inversas.son
3
5
)(y
53
)(siVerifica




x
xg
x
x
xf








3
5
))((
x
fxgf
3
5
5
3
5
3









x
x
3
3
3
5
5
3
5
3












x
x
x
x

18. 18
3
3
3
5
5
3
5
3












x
x
x
x  
5
3515 

x
x
x

5
5





 

x
x
gxfg
53
))((
3
53
5



x
x x
x
x
x




3
53
5
xx
x
353
5

 x
x

5
5

19. 19
Ej. Encuentra la función inversa de:
3
5
1. 3 6
2. 1
3. ( ) 2, 2
4. ( ) 10
y x
y x
f x x x
g x x
 
 
  
 

20. Función Logarítmica

21. Objetivos
• Reconocer y analizar las funciones
logarítmicas
• Estudiar sus gráficas.
• Aplicar dichas funciones a la solución de
problemas.

22. Tabla de contenido
Definición de
logaritmo
Logaritmo natural
Funición inversa
exponencial
Escribir ecuaciones
logarítmicas como
ecuaciones
Determinar
logaritmos comunes
y naturales
Función inversa
logaritmo
Evaluar
logaritmos
Logaritmo común
Dominio y
alcance de la
función logaritmo
Gráficas de funciones
logarítmicas con base
mayor que 1
Ecuaciones
logarítmicas
Problemas de
Aplicación
Gráficas de funciones
logarítmicas con base
menor que 1
Selecciona el tema que trabajarás
Leyes de los
logaritmos

23. Logaritmos
El logaritmo de x con base b está definido por:
Ej.
 
 
 
4
3
0
7
-2
1/ 3
1
5
log 81 4; 3 81
log 1 0; 7 1
1
log 9 2; 81
3
log 5 1; 5 5
 
 
  
       
 

24. Escribir ecuaciones logarítmicas como
ecuaciones exponenciales y viceversa
• La ecuación exponencial es de la forma donde
base
exponente
argumentoo
resultado
Presiona aquí para continuar
Si observas la base 2 en la forma exponencial
se escribe un poco más abajo del logaritmo, el
resultado se escribe al lado del logaritmo y el
exponente fuera. Es muy distinto a la forma
exponencial.
Entonces si tenemos 24 = 16 en
forma exponencial
al escribirla en forma logarítmica es
así: log2 16 = 4
b
c
= a
Forma logarítmica
logb a = c

25. Ejemplos
Ej. Resuelve cada ecuación
2log 5x 
5
2 32x  
27log 3 x
3 27x

3
3 3 x

1 3x
1
3
x
 m n
a a m n  

26. Escribir ecuaciones logarítmicas
como exponenciales y viceversa
Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta
correcta .
1. La forma exponencial del log10 10 = 1 es:
a. 1010 = 1 b. 110 = 10 c. 101 = 10
2. La forma logarítmica de 33 = 27 es:
a. log3 27 = 3 b. log27 3 = 3 c. log3 3 = 27

27. Notación:
Logaritmo Común
Logaritmo Natural
10log log
ln loge
x x
x x


Leyes de Logaritmos
1. log log log
2. log log log
3. log log
4. log 1 0
5. log 1
b b b
b b b
n
b b
b
b
mn m n
m
m n
n
m n m
b
 
 
  
 



Conociendo las
propiedades
podrás evaluar
los logaritmos
Presiona aquí para continuar

28. Ejemplo
Utilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:
7 1/2
5 5 5 5log 25 log log logx y z   
7
5
25
log
x y
z
5 5 5
1
2 7log log log
2
x y z   

29. Evaluar logaritmos
• Para evaluar un
logaritmo observa el
siguiente ejemplo:
log4 16 = x
• Puedes hacerte la
siguiente pregunta: ¿ 4
elevado a qué potencia
es 16?
• En este momento
puedes cambiarlo a
forma exponencial, así:
4x = 16
4x = 42
x = 2
El 16 lo represento en
forma exponencial
Al ser las bases iguales
los exponentes también
son iguales
Entonces:
log4 16 = 2
Presiona aquí para continuar

30. Evaluar logaritmos
Evalúa los siguientes logaritmos.
a. log3 81 =
b. log5 125 =
c. log4 256 =
d. log2 32 =
Es tu turmo
Presiona para verificar
tus respuestas

31. Evaluar logaritmos
Soluciones
a. log3 81 = 4
b. log5 125 = 3
c. log4 256 = 4
d. log2 32 = 5

32. Logaritmo Común ( denominados
también como logaritmos de Brigg)
• La función logarítmica con base 10 se conoce
como función logaritmo común.
• La misma se evalúa con la tecla de
en la calculadora. Para usar esta tecla, debes
cambiar la base.
Fórmula de Cambio de base:
loga x = log10 x
log10 a
log

33. Logaritmo Natural
( logaritmos neperianos )
• Si x es un número real positivo, entonces el
logaritmo natural de x se denota por:
loge x o ln x
( la segunda notación es la más común)
• Una función dada por f(x) = a + ln bx es
llamada función logaritmo natural.
• Ejemplo: Resuelve 2 11
10
3
x
e 

Presiona aquí para continuar

34. Logaritmo Natural
( logaritmos neperianos )
• Ejemplo: Resuelve 2 11
10
3
x
e 

2 1
30x
e 

2 1 ln(30)x   Aplicar ln en ambos
lados
ln(30) 1
1.2
2
x

 

35. Determinar logaritmos comunes y
naturales
• Intenta tu lo
siguiente:
Halla el logartimo
común de:
a. log2 10 =
b. log3 10 =
c. log6 216 =
d. log5 12 =
e. ln 52400
f. ln 2.35
g. ln x = 2.386
Verifica tu
respuesta

36. Determinar logaritmos comunes y
naturales
Soluciones:
a.log2 10 ≈ 3.32
b.log3 10 ≈ 2.10
c.log6 216 = 3
d.log5 12 ≈ 1.54
e. ln 52400 ≈ 10.87
f. ln 2.35 ≈ 0.85
g. ln x = 2.386
Verifica tu
respuesta
ln x = 2.386
e2.386 = x
10.87

37. Dominio y alcance de la
función logaritmo
• El dominio de una función logarítmica es el
conjunto de todos los números reales positivos
y su rango es el conjunto de los números
reales.
Presiona aquí para continuar

38. Función Logarítmica
 ( ) log 0, 1bf x x b b  
La función logarítmica de x con base b está definida por:
Propiedades:
1. Dominio: ( 0,  )
2. Rango: ( - , )
3. Intercepto en x: (1, 0)
4. Continua en (0,  )
5. Creciente en (0,  ) si b > 1
6. Decresiente en (0,  ) si b < 1

39. Gráficas de funciones
logarítmicas con base
mayor que 1
La gráfica siempre
contendrá al punto (1,0), ya
que loga 1 = 0
y = loga x ( a > 1)
Dominio ( 0, ∞ )
Recorrido ℝ
Puntos ( 1, 0) y ( a, 1)
Creciente
Continua

40. Gráficas de funciones
logarítmicas con base
menor que 1
La gráfica siempre
contendrá al punto (1,0), ya
que loga 1 = 0
Cuando 0 < a < 1,
entonces
Dominio ( 0, ∞ )
Recorrido ℝ
Puntos ( 1, 0) y ( a, 1)
Decreciente
Continua
Presiona aquí para continuar

41. Gráficas de Funciones
Logarítmicas
Ej.
3( ) logf x x
(1,0)
3x
y 
3logy x
1
3
x
y
 
  
 
1/3logy x
1/3( ) logf x x
x x
y
y
(1,0)
(0, 1) (0, 1)

42. Función inversa exponencial
• Las funciones exponenciales también son
inyectivas y tiene su inversa. Si y = bx ( a0 = 1)
entonces la función inversa de ésta debería
intercambiar la x y y de modo que x = by .
Definiremos la inversa de la fórmula como:
y = logb x
Presiona aquí para continuar

43. Función inversa exponencial
Ejemplo: y = 2x
x = 2y
y = log2 x
Pasos:
1. Intercambiar las variables,
o sea la y la cambias por la
x en la función y la x por la
y .
2. Escribir la función en
forma logarítmica.

44. Función inversa logarítmica
• La inversa de la función logarítmica es la
función exponencial.
Ejemplo: ln x = y
ln y = x
ex = y

45. Ecuaciones logarítmicas
• Para resolver las ecuaciones logarítmicas
debes repasar las propiedades logarítmicas ya
estudiadas. Observa el ejercicio a
continuación.
• Resuelve la ecuación: log4 64 = -x + 3
Presiona aquí para continuar

46. Ecuaciones logarítmicas
• log4 64 = -x + 3
Solución:
log4 64 = -x + 3
4-x + 3 = 64
4-x + 3 = 43
-x + 3 = 3
3-3 = x
0 = x
Cambiar a forma exponencial
Expresar el 64 como exponente
Despejas para x.
Presiona aquí para continuar

47. Ecuaciones logarítmicas
• Otro ejemplo:
log x + log (x + 3) = 2 log (x + 1)
log [ x ( x + 3) ] = log (x + 1)2
x ( x + 3) = (x + 1)2
x2 + 3x = x2 + 2x + 1
x = 1
Se aplicaron las
reglas de producto
y la de potencia de
los logaritmos.

48. Problemas de Aplicación de
Funciones logarítmicas
Ejercicio 1: Crecimiento de una
colonia de hormigas
Ejercicio 2: Rapidez al caminar
Ejercicio 3: La presión arterial de
un niño
Selecciona en el menú de
la izquierda que ejercicio
quieres trabajar.

49. Ejercicio 1
• Una colonia de hormigas se triplica cada
semana. Si actualmente hay unas 8,000
hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que
hallan 100,000?
Presiona aquí para continuar

50. Ejercicio 1
• Si definimos y como el número de hormigas en
la colonia cada t semanas entonces
y = 8,000 (3)t
Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir
este número en la fórmula obtenemos que
100,000 = 8,000 (3)t
Presiona aquí para continuar

51. Ejercicio 1
• Solución:
y = 8,000 (3)t
100,000 = 8,000 (3)t
8,000 8,000
12.5 = 3t
t = log3 12.5
Presiona aquí para continuar

52. Problemas de Aplicación de
Funciones Logarítmicas
• Solución:
t = log3 12.5
Necesitamos hacer un cambio de base:
t ≈ 2.30
Así que se tomará más de 2 semanas,
aproximadamente dos y un tercio de semanas,
para que hallan 100,000.

53. Ejercicio 2
• En una investigación realizada por los
sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la
conclusión de que la función
R(P) = .37lnP + .05
da la rapidez del caminar de las personas, en
pies, en una comunidad de población P, dada
en miles. La población en Seattle, Washington
es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus
habitantes?
Solución

54. Ejercicio 2
• Solución:
R(P) = .37lnP + .05
R(531,000) = .37ln (531,00) + .05
= .37 (13.18) +.05
= 4.88 + .05
= 4.93 ft/sec

55. Ejercicio 3
La presión sistólica normal de un niño es aproximada
a la función
donde p(x) es la medida en milímetros del mercurio, x
es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que
m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un
niño que pesa 92 lb.
= 105.72lb
( ) (ln )p x m x b 

56. Muy bien, felicitaciones.

57. Inténtalo nuevamente.

58. Funciones Trigonométricas
Inversas

59. Objetivos
• Representar las funciones trigonométricas inversas.
• Hallar el periodo de las funciones trigonométricas
inversas
• Construir la función inversa de la funciones:
y = sen x.
y = cos x.
y = tan x
• Conocer el dominio y recorrido de las funciones:
y = arc sen x
y = arc cos x
y = arc tan x

60. ArcoSeno
• En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en
radianes (dado que un radián es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio), suele
denominarse arco a cualquier cantidad expresada
en radianes; por eso las funciones inversas se
denominan con el prefijo arco, así que:
y es igual al seno de x, la función inversa: lo
que significa que: lo que significa que
Si sin 30 = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30 , es
decir, arc sin 0.5 = 30 .

61. ArcosenoLa función f(x)=sin x, definida en el intervalo
cerrado [-π /2, π /2], es continua, estrictamente
creciente y transforma dicho intervalo en el
[-1, 1]. A su función inversa la denotaremos
por
f -1(x)=arc sin x
estará definida de [-1, 1] siendo también
continua y estrictamente creciente.

62. Arco Coseno
• La función f(x)=cos x, definida en el intervalo
cerrado [0,  ], es continua, estrictamente
decreciente y transforma dicho intervalo en el
[-1, 1]. Esta función es pues un
homeomorfismo del primer intervalo sobre el
segundo y su función inversa que denotaremos
por
f -1(x)=arc cos x
estará definida de [-1, 1] siendo también
continua y estrictamente decreciente.

63. Arco Coseno

64. Arc Tangente
• En la función tangente, esta tiene un
periodo de π y completa un ciclo en el
intervalo
( −/2 , /2 ). Cuando y = tan x está
restringida a − /2 ≤ x ≤ /2 tenemos
una función uno a uno cuyo rango consta de
todos los números Reales.

65. Gráfica de Arctan

66. Gráfica de Arctan

67. Hallar el inverso de Seno,
coseno y tangente utilizando
la calculadora
Localiza en la calculadora las
teclas de sin, cos y tan.
sin
cos
tan

68. Hallar el inverso de Seno,
coseno y tangente utilizando
la calculadora
Sobre estas teclas están sin-1 , cos-1
y tan-1 .
sin-1
cos-1
tan-1

69. Calculadora
• Sin-1 no quiere
decir
• Cos-1 no quiere
decir
• Al igual que con la
tangente
• Sino que sin-1 es el arcsin
• Y el cos-1 es el arcocoseno.
• Lo mismo sucede con la
tangente

70. Ejercicios de Práctica
• Encuentra el valor.
1. Tan -1 ( − 1) =
2. Sin-1 ( cos /2 ) =
3. Arcsin ( - 1 ) =
4. Arccos (− ½ ) =
5. Cos ( arcsin 0 ) =
6. Sin ( arcsin 1 ) =