Analisis de la varianza Est ind clase04

ANOVA
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
Ing. William León Velásquez
TEMA 04

ANALISIS DE
LAS
VARIANZAS
Ing William León Velásquez 2

ANOVA de un factor
ANOVA de dos factores

Suposiciones en el análisis de
la varianza (ANOVA)
5
Ing. William león Velásquez
Para emplear ANOVA se supone lo
siguiente:
Las poblaciones siguen la
distribución normal.
Las poblaciones tienen
desviaciones estándar iguales (σ).
Las poblaciones son
independientes.

El análisis de la varianza (ANOVA)
6
• El término
tratamiento se
identifican las
poblaciones
diferentes que se
examinan.
• ANOVA permite comparar las medias de
tratamientos de forma simultánea y evitar la
acumulación del error tipo I.
• ANOVA se desarrolló para aplicaciones en
agricultura, y aún se emplean muchos de los
términos relacionados con ese contexto.

Ing. William león Velásquez 7
EJEMPLO DIDACTICO
El gerente de un centro financiero, desea comparar la
productividad, medida por el número de clientes
atendidos en tres de sus empleados.
Selecciona cuatro días en forma aleatoria y se registra
el número de clientes atendidos por cada empleado.
Los resultados son:
Walter Willy Kike
55 66 47
54 76 51
59 67 46
56 71 48
¿Habrá alguna diferencia en el número de clientes
atendidos?

 Las poblaciones en la gráfica de la
izquierda siguen la distribución
normal y la variación en cada
población es la misma. Sin
embargo, las medias no son
iguales.
EJEMPLO DIDACTICO
Suponer que las poblaciones son
iguales es decir que no hay diferencia
en las medias (tratamiento). Esto se
muestra en la gráfica de la derecha.
Las poblaciones siguen la distribución
normal y la variación en cada población
es la misma.
Kike
Kike
Walter
Walter
Willy
Willy
Servicio al
cliente
Servicio al
cliente
En las siguiente gráficas se ilustra cómo pueden
aparecer las poblaciones si hubiera una diferencia
en las medias del tratamiento.

La prueba ANOVA
9
Si se desea determinar si varias medias
muestrales provienen de una sola
población o de poblaciones con medias
diferentes, lo que se hace en realidad,
es que estas medias muestrales se
comparan mediante sus varianzas.
Una de las suposiciones para aplicar la
prueba ANOVA es que la desviación
estándar de las diversas poblaciones
normales tienen que ser las mismas. Se
aprovecha este requisito en la prueba
ANOVA.

La prueba ANOVA
 La estrategia es estimar la varianza de la
población de dos formas y después
determinar la razón de dichos estimados.
 Si esta razón es aproximadamente 1,
entonces por lógica los dos estimados
son iguales, y se concluye que las medias
poblaciones son iguales.
 La distribución F sirve como un
árbitro al indicar en que instancia
la razón de las varianzas
muestrales es mucho mayor que
1 para haber ocurrido por
casualidad.

La prueba ANOVA
 Se definirá algunos conceptos que nos
ayudaran a entender mejor en problemas
posteriores, a través del ejemplo planteado.
VARIACIÓN TOTAL (SS) Suma de las
diferencias elevadas al cuadrado entre cada
observación y la media global

La variación total del ejemplo:
 Se calcula la media global de las 12
observaciones:
𝑋 𝐺 =(55+54+59+56+66+76+67+71+47+
51+46+48)/12 = 58
58GX
EJEMPLO DIDACTICO

SS= (55-58)2+(54-58)2+(59-58)2+(56-58)2+
(66-58)2+(76-58)2+(67-58)2+(71-58)2+
(47-58)2+(51-58)2+(46-58)2+(48-58)2=
 Después, para cada una de las 12
observaciones se encuentra la diferencia
entre el valor particular y la media global.
Cada una de estas diferencias se eleva al
cuadrado y estos cuadrados se suman, este
resultado es la variación total,
SS= 1082.
EJEMPLO DIDACTICO

Luego se divide esta variación total en
dos componentes:
 la que se debe a los tratamientos y
 la que es aleatoria.
 Para encontrar estas dos
componentes, se determina la media
de cada tratamiento.
 La primera fuente de variación se
debe a los tratamientos.
SS = SST + SSE
SS: Suma de cuadrados
SST: Suma de cuadrados de los
tratamientos
SSE: Suma de cuadrados del error
EJEMPLO DIDACTICO

La primera fuente de variación:
La prueba ANOVA
VARIACIÓN DEL TRATAMIENTO (SST) Suma de las
diferencias elevadas al cuadrado entre la media de
cada tratamiento y la media global

16
En el ejemplo:
 La variación debida a los tratamientos es la
suma de las diferencias al cuadrado entre la
media de cada empleado y la media global.
 Para calcularlo, primero se encuentra la
media de cada uno de los tres tratamientos.
La media de Walter es 56, determinada por:
(55 + 54 + 59 + 56)/4.
La media de Willy es son 70 determinada
por:
(66 + 76 + 67 + 71)/4.
La media de Kike es 48 determinada por:
(47 + 51 + 46 + 48)/4.
EJEMPLO DIDACTICO

17
SST=(56 – 58)2 +(56 – 58)2 + … ..+ (48 – 58)2 + (48 – 58)2 =
=4(56 – 58)2 + 4(70 – 58)2 + 4(48 – 58)2 = 992
 Si existe una variación considerable entre las
medias de los tratamientos, es lógico que este
término sea grande.
 El valor más bajo posible es cero. Esto ocurrirá
cuando todas las medias de los tratamientos
sean iguales.
SST = 992
EJEMPLO DIDACTICO
La suma de los cuadrados debida a
los tratamientos es:

La prueba ANOVA
• La otra fuente de variación se le conoce como
componente aleatorio o componente de error.
VARIACIÓN ALEATORIA (SSE) Suma de las
diferencias elevadas al cuadrado entre cada
observación y su media de tratamiento.

En el ejemplo:
 Este término es la suma de las diferencias al
cuadrado entre cada valor y la media para ese
empleado en particular.
SSE=(55 – 56)2 +(54 – 56)2 + ……… + (46 – 48)2+
(48 – 48)2 = 90
 La variación de error es de 90.
SSE = 90
Walter es 56
Willy es 70
Kike es 48
EJEMPLO DIDACTICO
Las medias de cada empleado:

En resumen:
 La suma de la diferencia entre el valor
particular y la media global elevado al cuadrado
es la variación total, y es igual 1082.
 La suma de los cuadrados debida a los
tratamientos es 992
 La variación de error es de 90.
EJEMPLO DIDACTICO
=
+
Por lo tanto:
SS = SST + SSE
1082 = 992 + 90

La prueba ANOVA
El estadístico de prueba, es la razón de los dos
estimados de la varianza poblacional, se
determina a partir de la siguiente ecuación:
𝐹 =
𝑀𝑆 𝑇
𝑀𝑆 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
F =
Estimado de la varianza poblacional basado en
las diferencias entre las medias muestrales
Estimado de la varianza poblacional basado en
la variación dentro de la muestra

La prueba ANOVA
Diferencias dentro de
cada grupos
Diferencia entre grupos
𝐹 =
𝑀𝑆 𝑇
m-1
n -m
𝐹 =
𝑆2
𝑇
𝑚 − 1
𝑆2
𝐸
𝑛 − 𝑚

El primer estimado de la varianza
poblacional entre los tratamientos,
es decir, de la diferencia entre las
medias.
Éste es 992/2.
¿Por qué se divide entre 2?
Recuerde que para encontrar una
varianza muestral , se divide entre el
número de observaciones menos uno
(n-1).
En este caso hay 3 tratamientos por lo
que se divide entre 2.
El primer estimado poblacional es
992/2.
Entre grupos
EJEMPLO DIDACTICO

El estimado de la varianza dentro
de los tratamientos es la
variación aleatoria dividida entre el
número total de observaciones
menos el número de tratamientos.
Es decir 90 / (12-3).
De aquí, el segundo estimado de la
varianza poblacional es 90/9.
Dentro de cada
grupos
EJEMPLO DIDACTICO

𝐹 =
𝑀𝑆 𝑇
Por tanto
Entre grupos
Dentro de cada
grupos
EJEMPLO DIDACTICO
𝐹 =
𝑆2
𝑇
𝑚 − 1
𝑆2
𝐸
𝑛 − 𝑚

Como esta razón es muy distinta a 1, se
concluye que las medias de los
tratamientos no son iguales.
Por lo tanto hay una diferencia en el
número medio de clientes atendidos por
los tres empleados.
Al igual que en la prueba de hipótesis de
dos muestras y una muestra se sigue la
regla de los cinco pasos.
EJEMPLO DIDACTICO

Comparación de varias medias
Análisis de Varianza (ANOVA)
Es la relación entre una variable
cualitativa (con más de 2
categorías) y una variable
cuantitativa

El problema
• Se tiene varias medias muestrales
y se desea saber si realmente son
evidencia de una diferencia entre
los diferentes grupos.
• Existe una variable cuanlitativa X
que podría explicar los cambios
en una variable cuantitativa Y

Esquema ANOVA
Variable
Independiente o
Explicativa
CUALITATIVA
Variable
dependiente o
Respuesta
CUANTITATIVA
FACTOR que
incluye varios
posibles
tratamientos que
pueden influir en
la respuesta
Medición que
puede
RESPONDER a los
varios posibles
tratamientos del
factor estudiado
X  Y

La Hipótesis
Ho: No hay relación entre X e Y
Ho: Las medias de Y en los
diferentes grupos son iguales
Ho: μ1 = μ2 = μ3
Ha: Si hay relación entre X e Y
Ha: Por lo menos una media de Y
es diferente en los grupos
definidos por la variable X
Ha: No todas las medias
poblacionales son iguales

Ilustración mediante un ejemplo
La muestra seleccionada permite ver que hay
diferencias, pero esta diferencia representa sólo en la
muestra
Se ha calculado la producción promedio de tres
líneas de producción de una empresa de productos
electrónicos
Línea 1 Línea 2 Línea 3
Producción
promedio
(unidades)
11.1 15.9 22.7
Desviación
estándar
(unidades)
5.6 6.2 5.9
Base n 244 206 139

Si se asume que Ho es cierta
(No hay relación)
En la población las medias deberían ser iguales (Este es
el supuesto de Ho)
Línea 1 Línea 2 Línea 3 Media
general
Producción
promedio
15.5 15.5 15.5 15.5
Base (n) 244 206 139 589

Modelo de ANOVA de un factor
Y=
Media general
Efecto del tratamiento en
el factor analizado
Error aleatorio

En el ejemplo
 La hipótesis nula dice que no
hay diferencia en la producción
en los tratamientos.
 La hipótesis alternativa dice
que por lo menos uno de los
tratamientos (línea de
producción) tiene efecto sobre
la cantidad comprada
 El efecto sobre la cantidad producida de cada
tratamiento (línea de producción) en la muestra
no tiene que ser el mismo.
X: Es el factor analizado
Variable cualitativa
Línea 1 Línea 2 `Línea 2
Variable
cuantitativa
Y:
Producción
promedio
11.1 15.9 22.7

Resultados de ANOVA
Como el valor de p es casi 0 se rechaza la Ho
Con lo cual se rechaza la hipótesis de igualdad de medias
Por lo tanto al menos una línea tiene una producción diferente
En otras palabras hay una relación en el factor línea y la
producción.
Efecto del factor Línea de Producción
Efecto del Error aleatorio

SUPUESTOS DE ANOVA
La dispersión debe ser la misma en
cada grupo o categoría (igualdad
de varianza)
La distribución de las
observaciones en cada grupo debe
ser normal
ANOVA es más sensible al primer supuesto que la segundo
En casos extremos hay que considerar alternativas no
paramétricas

Ejemplo 1
 Una gran ciudad está dividida en cuatro distritos. El jefe
de policía quiere determinar si hay alguna diferencia en
el número promedio de infracciones cometidos en cada
distrito.
 Se registró el número de infracciones reportados en
cada distrito en una muestra de seis días.
 Al nivel de significancia 0,05; puede el funcionario
concluir que hay diferencia en el número promedio de
infracciones?
Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 4
13 21 12 16
15 13 14 17
14 18 15 18
15 19 13 15
14 18 12 20
15 19 15 18

a) Formulación de las hipótesis
Ho: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
H1: Al menos una de las μi es diferente
Al menos en unos de los distritos la
cantidad promedio de infracciones
cometidos es diferente
b) Obtención del valor crítico:
Nivel de significancia=0.05
GL numerador: k-1 = 4-1=3
GL del denominador: n-k = 24-4 =20
Fcrítico= 3.098
Regla de decisión:
Se rechazará la Ho si F> 3.10
Ejemplo 1

c) Cálculo del valor del estadístico de la prueba:
Distrito
01
x2
Distrito
02
x2
Distrito
03
x2
Distrito
04
x2 total
13 169 21 441 12 144 16 256
15 225 13 169 14 196 17 289
14 196 18 324 15 225 18 324
15 225 19 361 13 169 15 225
14 196 18 324 12 144 20 400
15 225 19 361 15 225 18 324 ∑∑x
∑x
(T) 86 108 81 104 379
n 6 6 6 6 ∑∑x2
∑ x2 1236 1980 1103 1818 6137
Ejemplo 1

(86)2 (108)2 (81)2 (104)2 (379)2
SST=------ + ------ + ------ + -------- - --------
6 6 6 6 24
SST= 1232.67 + 1944.00 + 1093.50 + 1802.67 - 5985.04 = 87.79
𝑆𝑆𝑇 =
𝑇2
𝑗
𝑛𝑗
−
𝑋 2
𝑁
𝑆𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑋2 −
𝑋 2
𝑛
𝐒𝐒𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟔𝟏𝟑𝟕 −
𝟑𝟕𝟗 2
24
= 𝟏𝟓𝟏. 𝟗𝟓𝟖
SSE=SSTotal – SST SSE=151.958 – 87.79 =64.188
SSTotal= SST+ SSE
Ejemplo 1

d) Criterio de decisión
Se rechaza la Ho debido a que el valor del Fcalculado es 9.118 y es
mayor al valor del Fcrítico de 3.10.
e) Conclusión:
Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%
Que al menos en unos de los distritos la cantidad promedio de
infracciones cometidos es diferente
Por lo tanto existe diferencia en el número promedio de infracciones
cometidos en cada distrito Ing. William león Velásquez
41
F.
Variación
Suma de
Cuadrado
s
G.L.
Media
Cuadrad
o
F
Tratamientos 87.770 3 29.256 9.118
Error 64.188 20 3.2094
Total 151.958 23
Ejemplo 1

• Al nivel de significancia de 0,05; existe alguna diferencia
entre las cuatro empresas, en el promedio de meses antes
de recibir un aumento de sueldo?
 Una egresada de ingeniería industrial tiene ofertas
de trabajo de cuatro empresas. Para examinar un
poco más las propuestas, solicitó a un grupo de
personas recién ingresadas a dichas empresas,
que le indiquen cuántos meses trabajaron cada una
para su compañía, antes de recibir un aumento de
sueldo.
 La información muestral fueron lo siguiente:
Empresa1 Empresa2 Empresa3 Empresa4
12 14 18 12
10 12 12 14
14 10 16 16
12 10
Ejemplo 2

Ho:μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Al menos en una de las empresas el
promedio de meses antes de recibir un
aumento de sueldo es diferente
Fcritico= 3.708
Regla de decisión:
Ejemplo 2

 C) Obtención del F de los datos de la muestra
Empresa
01
Empresa
02
Empresa
03
Empresa
04
X2 X2
X2 X2 Total
Ejemplo 2

 
n
X
XSStotal
2
2  
 
 





n
X
n
TSST
c
c
2
2
Ejemplo 2

Conclusión
 Como el valor Fcalculado (2.360) es menor al valor Fcrítico (3.71)
no se rechaza la Ho,
 No se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%,
que al menos en una de las empresas el promedio de meses
antes de recibir un aumento de sueldo es diferente
 Es decir no existe diferencia entre las cuatro empresas, en el
promedio de meses antes de recibir un aumento de sueldo
 Por lo tanto debe elegir otro criterio para seleccionar a una
de las empresas
ANOVA
Factor de
Variación
SC GL CM F
Tratamiento 32.33 3 10.777 2.360
Error 45.67 10 4.567
Total 78.00 13
Ejemplo 2

 Los miembros de un equipo ciclista se dividen
al azar en tres grupos que entrenan con
métodos diferentes.
 El primer grupo realiza largos recorridos a
ritmo pausado, el segundo grupo realiza
series cortas de alta intensidad y el tercero
trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita
en el pedaleo de alta frecuencia.
 Después de un mes de
entrenamiento se realiza un test
de rendimiento consistente en un
recorrido cronometrado de 9
Km.
Ejemplo 3

Los tiempos empleados fueron los siguientes
Aun nivel de confianza del 95% ¿Puede considerarse que
los tres métodos producen resultados equivalentes? O por el
contrario ¿Hay algún método superior a los demás?
Método I Método II Método III
15 14 13
16 13 12
14 15 11
15 16 14
17 14 11
Ejemplo 3

Ho:μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Al menos uno de los tres métodos producen en el
test de rendimientos resultados diferentes
Fcritico= 3.89
Regla de decisión:
Ejemplo 3

c.- Se encuentra el Fcalculado
Primero se calcula los totales y los cuadrados de los
totales divididos por el numero de observaciones
Ejemplo 3

SC(total) = 2984 - 2940 = 44
SC(entre) = 2966,8 – 2940 = 26,8
SC(intra) = 2984 – 2966,8 = 17,2
SS = SST + SSE
SST = SS - SSE
 
n
X
XSStotal
2
2  
 
 





n
X
n
TSST
c
c
2
2
2984
2
X
  2940
2

n
X
A partir de estas cantidades básicas calculamos las
Sumas de Cuadrados:
Ejemplo 3

Los cuadrados medios serán:
MSA= CM(entre) = 26,8/2 = 13,4
MSerror= CM(intra) = 17,2/12 = 1,43
mn
E
m
T
S
S
F

 2
1
2
Por consiguiente el estadístico de contraste es:
F = 13,4/ 1,43 = 9,37
𝐹 =
𝑀𝑆 𝑇
Ejemplo 3

d.- Conclusión:
• Como el F calculado (9.37) es mayor que es
valor de la F teórica (3,89) se rechaza la Ho.
• Se puede afirmar con un nivel de
significancia del 5% que al menos uno de los
tres métodos producen en el test de rendimientos
resultados diferentes
• Se concluye que los tres métodos de
entrenamiento producen diferencias
significativas.
Ejemplo 3

Un estudio muestra en la pantalla de cuatro computadores una
lista de palabras sin sentido con procedimientos diferentes,
asignados aleatoriamente a un grupo de personas. Luego se les
realiza una prueba de memoria de dichas palabras,
obteniéndose los siguientes resultados:
¿Qué conclusiones pueden obtenerse acerca de las cuatro formas
de presentación de las palabras, con un nivel de significación del
COMP 1 COMP 2 COMP 3 COMP 4
5 9 8 1
7 11 6 3
6 8 9 4
3 7 5 5
9 7 7 1
7 4 4
4 4
2
Ejemplo 4

Ho:μ1 = μ2 = μ3 = μ4
Al menos en una de las cuatros formas de
presentar las palabras se obtiene
resultados diferentes
Fcritico= 3.05
Regla de decisión:
Ejemplo 4

c) Encontrar el Fcalculado
Calcular los totales y los cuadrados de los totales
divididos por el número de observaciones:
Ejemplo 4

Luego calcular los cuadrados de las observaciones y su total
Ejemplo 4

SC(total) = 988 – 820 = 168
SC(entre) = 902 – 820 = 82
SC(intra) = 988 – 902 = 86
𝑆𝑆𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑋2 −
𝑋 2
𝑛
A partir de estas cantidades básicas calcular las Sumas de
Cuadrados:
𝑆𝑆𝑇 =
𝑇2
𝑗
𝑛𝑗
−
𝑋 2
𝑁
Los cuadrados medios serán:
CM(entre) = 82/3 = 27,3
CM(intra) = 86/22 = 3,9
Ejemplo 4

Por lo tanto el estadístico de prueba será:
d.- Conclusión
Como el F calculado (7.0) es mayor que el Fcritico
(3.05) se rechaza la hipótesis nula
Se puede afirmar con un nivel de significancia del
5%
Que al menos en una de las cuatros formas de
presentar las palabras se obtiene resultados diferentes
Y se concluye que los cuatro procedimientos de
presentación producen diferencias significativas.
𝐹 =
27.3
3.9
=7.0
Ejemplo 4

ANOVA de dos factores
◦ Se consideran los efectos de
dos factores simultáneamente
Diseño de bloques aleatorios
◦ Cuando una característica puede
afectar la medición de la variable
dependiente, se trata de controlar
o bloquear esta variable, de tal
manera que se pueda comparar
mejor la influencia de un
determinado tratamiento

Diseño de Bloques aleatorios
Y=
Media general
Efecto del tratamiento específico
del primer factor
Efecto del bloque
Error aleatorio

ANOVA de dos factores
Y=
Media general
Efecto del tratamiento
específico del primer factor
Efecto del tratamiento
específico del segundo factor
Efecto de la interacción entre
tratamientos
Error aleatorio
Con Interacción

ANOVA – P.H. para probar la igualdad de
medias de varias poblaciones con dos factores
64
Se trata de probar si el efecto de un factor o
Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema
es significativo, al realizar experimentos variando los
niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.) por
FILAS
Y Considerando los niveles de otro factor que se
piensa que tiene influencia en la prueba – FACTOR
DE BLOQUEO por COLUMNA

ANOVA – P.H. para probar la igualdad de
medias de varias poblaciones con dos factores
65
Para el tratamiento – en filas
Para el factor de bloqueo – en columnas
Ho: µ1=µ2=µ3=………….µi
Ha: Al menos unas de las µs es diferente
No todas las medias de tratamientos son iguales
Ho: µ’1=µ’2=µ’3=………….µ’i
Ha: Al menos unas de las µs es diferente

ANOVA 2 Factores - Ejemplo
66Ing. William león Velásquez
Experiencia de los operadores
Máquinas 1 2 3 4 5
1 27 31 42 38 45
2 21 33 39 41 46
3 25 35 39 37 45

ANOVA – Dos factores o
direcciones
67
 La SCTot y SCTr (filas) se determina de la
misma forma que para la ANOVA de una
dirección o factor
 En forma adicional se determina la
suma de cuadrados del factor de
bloqueo (columnas) de forma similar a
la de las filas
 La SCE = SCT – SCTr - SCBl

ANOVA de 2 factores –
68
)1/(
1.
)( 2
1


 
bSCCM
bSCgl
XXaSC
BlBl
Bl
Bl j
b
j
Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor
de bloqueo (en cols)

ANOVA de 2 factores –
Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio
para el error
69
))(/(
))((.
bnanSCBlCME
bnanSCEgl


SCBlSCTrSCTSCE 

ANOVA 2 Factores
Cálculo del estadístico Fc y Ftabla
𝐹𝑐 =
𝑀𝐶 𝑇𝑟
𝑀𝐶 𝐸
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝐹𝑎𝑙𝑓𝑎, 𝑔𝑙. , 𝑆𝐶 𝑇𝑟, 𝑆𝐶 𝐸
𝐹𝑐 =
𝑀𝐶 𝐵𝑙
𝑀𝐶 𝐸
𝐹𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 = 𝐹𝑎𝑙𝑓𝑎, 𝑔𝑙. , 𝑆𝐶 𝐵𝑙, 𝑆𝐶 𝐸

ANOVA 2 Factores
Tabla final
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F
de tabla para una cierta alfa
FUENTE DE VARIACIÓN
SUMA DE
CUADRADOS
GRADOS DE
LIBERTAD
CUADRAD
O MEDIO VALOR F
Entre muestras
(tratamiento) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME
Entre Bloques (Factor
Bloque) SCBl b-1 CMBL CMBL/CME
Dentro de muestras
(error) SCE (a-1)(b-1) CME
Variación total
SCT n-1 CMT

ANOVA – 2 F.
Toma de decisión
72
Ftabla
Fc: Tr o Bl
Alfa
Zona de rechazo de Ho
o aceptar Ha
Zona de no rechazo de Ho
O de no aceptar Ha
Distribución F
Zona de no
rechazo

ANOVA – 2 F. Toma de
decisión
73
Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Ftabla se rechaza Ho.
Aceptando Ha donde las medias son diferentes
O
Si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl) es menor
de Alfa se rechaza Ho

 Una empresa realiza una investigación para
determinar el rendimiento en km por galón,
característico de tres marcas de gasolina: Como
cada gasolina da rendimientos distintos en
automóviles de marcas diferentes,
• Se eligen cinco marcas
de automóviles que se
tratan como bloques
en el experimento, es
decir el automóviles de
cada marca se prueba
con los tres tipos de
gasolina.
Ejemplo 5

 Los resultados del experimento (en Km.
por galón) se presenta a continuación:
AUTOMOVI
LES
MARCA DE GASOLINA
I II III
A 18 21 20
B 24 26 27
C 30 29 34
D 22 25 24
E 20 23 24
Con un α= 0.05 ¿Existirá alguna diferencia entre los
rendimientos medios en miles por galón de los tres tipos de
gasolina?
Ejemplo 5

 Ho: Los consumos de gasolina según la
marca de gasolina no son diferentes
 Ha: Los consumos de gasolina según la
marca de gasolina son diferentes
 Como la relación entre la marca de gasolina
y la marca de automóvil es de uno a uno no
existirá prueba de interacción entre las dos
variables.
Ejemplo 5
1.- Establecer las hipótesis

2.- Establecer el Criterio de Contraste
Gl T1 =2
Gl SCE= 8
F=4.459
Gl T2 =4
Gl SCE= 8
F= 3.838
a b n
3 5 15
gl T1 a-1 2
gl T2 b-1 4
gl Tot n-1 14
gl
SCE glTot-gl T1 -gl T2 8
77
4.459 3.838
nivel de significancia de .05
T1 T2
Ejemplo 5

3. Elaborar la tabla ANOVA
I II III ∑X ∑X2 n
A 18 21 20 59 1165 3
B 24 26 27 77 1981 3
C 30 29 34 93 2897 3
D 22 25 24 71 1685 3
E 20 23 24 67 1505 3
∑X 114 124 129 367 ∑∑X
∑X2 2684 3112 3437 9,233 ∑∑X2
n 5 5 5 15 ∑∑n
Ejemplo 5
3.1- Cálculo de la Suma de cuadrados

3.2- Cálculo del Factor de corrección


n
X
FC
2
)( Factor de corrección
(367)2
FC = ----------- = 8979.267
15
Suma total de
cuadrados
SSTot = 9,233 - 8,979.267= 253.733
3.3- Cálculo de la Suma cuadrado de totales
  FCXSCTotales 2
Ejemplo 5

3.4- Cálculos de los tratamientos
-
Suma de cuadrados
del tratamiento 1
SST1 = (114)2 (124)2 (129)2
-------- + --------- + --------- - 8979.2667 = 23.3333
5 5 5
Suma de cuadrados
del tratamiento 2
SST2 = (59)2 (77)2 (93)2 (71)2 (67)2
-------- + ------- + --------- + --------- + --------- -8979.2667= 217.067
3 3 3 3 3
Suma de cuadrados del error
SSE = 253.7333 - 23.3333 - 217.067 = 13.3333333
Ejemplo 5
FC
n
X
SCTi    2
)(

FCRITICO
FT1= 4.459
FT2= 3.838
FDATOS
7
32.56
Conclusión
Se rechaza la Ho
Se rechaza la Ho
4. Conclusión
FCrítico
3. Construir la Tabla ANOVA
FUENTE SS GL SM F
T1 23.33333 2 11.66667 7
T2 217.0667 4 54.26667 32.56
ERROR 13.33333 8 1.666667
TOTAL 253.7333 14
Ejemplo 5

abr-17 Ing. William León Velasquez 82
 Cuando se emplea ANOVA de dos vías para
estudiar la interacción, en lugar de emplear los
términos tratamientos y bloques, ahora a las dos
variables se les denominan factores.
 La interacción tiene lugar si la combinación de
dos factores ejerce algún efecto sobre la variable
en estudio, además de hacerlo en cada factor por
sí mismo.
 A la variable en estudio se le llama variable de
respuesta.
ANOVA de dos factores con
interacción

abr-17 Ing. William León Velasquez 83
Un ejemplo cotidiano de interacción:
• Es el efecto de dieta y ejercicio sobre el peso. En general,
se acepta que el peso de una persona (la variable de
respuesta) se controla con dos factores, dieta y ejercicio.
ANOVA de dos factores con
interacción
• Las investigaciones demuestran
que sólo una dieta afecta al peso de
una persona, y también que el solo
ejercicio tiene un efecto sobre el
peso.
• Sin embargo, el método
recomendado para controlar el
peso se fundamenta en el efecto
combinado o en la interacción
entre dieta y ejercicio.

• Se ha diseñado una prueba de vocabulario para
detectar la afinidad hacia la mecánica.
• La prueba consiste en un cierto número de palabras
tomadas de una lista de términos alusivos a la
mecánica y a la maquinaria; y que la calificación que
una persona puede obtener en esa prueba es,
simplemente, el número de palabras que puede
definir correctamente.
• Suponer que se quiere probar si
hay diferencias relativas a dos
características: sexo y lugar
donde viven, y también si se
presentan diferencias atribuibles
a la combinación de ambas.
Ejemplo 6

• Las calificaciones (cantidad de palabras bien
definidas) de las personas clasificadas de
acuerdo a las dos variables fueron las
siguientes:
Urbano Rural
Hombre Mujer Hombre Mujer
4 1 3 4
9 4 7 4
9 5 7 4
10 6 7 8
C
a
n
t
i
d
a
d
d
e
p
a
l
a
b
r
a
s
Ejemplo 6

 Es posible, llevar a efecto un análisis de
varianza de una sola clasificación con estos
cuatro grupos de sujetos, sin embargo, si
se encuentra una diferencia significativa
entre estos cuatro grupos.
¿Como saber si esas diferencias deben
atribuirse al sexo o al lugar donde viven o a
una combinación de ambos?
 Es por ello que en estos casos se utiliza el
método de análisis de varianza de doble
clasificación.
Ejemplo 6

Pasos
1.- Establecer Hipótesis
Se tiene que establecer hipótesis para cada uno
de los tratamientos y para la interacción de
ambos:
a) Primer tratamiento:
Ho: “Con respecto al sexo no existe
diferencia en las calificaciones
obtenidas, que mide la afinidad hacia la
mecánica”
Ha: “Con respecto al sexo existe diferencia
en las calificaciones obtenidas, que
mide la afinidad hacia la mecánica”
Ejemplo 6

b) Respecto al segundo tratamiento:
Ho: “Con respecto al lugar donde viven no existe
diferencia en las calificaciones obtenidas, que
Ha: “Con respecto al lugar donde viven existe
diferencia en las calificaciones obtenidas, que
Ejemplo 6

 c) Respecto a la interacción de los dos
tratamientos
Ho: ”La combinación de las circunstancias sexo y
lugar de residencia no afecta de manera
significativa el tener más afinidad hacia la
mecánica”
Ha: ”La combinación de las circunstancias sexo y
lugar de residencia afecta de manera
significativa el tener más afinidad hacia la
mecánica”
Ejemplo 6

2.- Establecer el Criterio de Contraste
a=2 b=2 n=16
gl T1 a-1 1
gl T2 b-1 1
gl Iter (a-1)(b-1) 1
gl Tot n-1 15
gl SCE glTot-gl T1 -gl T2 - gl Iter 12
Gl T1 =1
Gl SCE= 12
F= 4 .75
Gl T2 =1
Gl SCE= 12
F= 4 .75
Gl Iter =1
Gl SCE= 12
F= 4 .75
90
nivel de
significancia de
.05
Ejemplo 6

3.- Calcular el Estadístico de Prueba
Urbano Rural
Hombre x2
Mujer x2
Hombre x2
Mujer x2
4 16 1 1 3 9 4 16
9 81 4 16 7 49 4 16
9 81 5 25 7 49 4 16
10 100 6 36 7 49 8 64 ΣΣ
ΣX = 32 16 24 20 92
ΣX² = 278 78 156 112 624
n 4 4 4 4 16
Sumatoria de los totales
Ejemplo 6

Cálculo del Factor de corrección:
  529
16
92
2
FC


n
X
FC
2
)(
Ejemplo 6

Cálculo de la Suma Total de
Cuadrados
SCTotal = X 2 - FC
= ( 278 + 78 + 156 + 112) - 529 = 95
= 624 - 529 = 95
Ejemplo 6

• Calcular la suma de cuadrados por cada tipo de
tratamiento
• SCT1 (por el lugar donde viven)

Ejemplo 6
FC
n
T
SCT
i
   2
1
)(

• Calcular la suma de cuadrados por cada
tipo de tratamiento
• SCT2 (por sexo)

Hombre Mujer
Ejemplo 6
FC
n
Bl
SCT
i
   2
2
)(

Calcular la suma de cuadrados por grupos
*Este valor nos servirá para calcular el SCI y SCE
Ejemplo 6
FC
n
X
SCG    2
)(

 Calcular la suma de cuadrados de la
interacción de los dos tratamientos
SCI = SCG – SCT1 – SCT2 =
= 35 – 1 – 25 = 9
 Calcular la suma de cuadrados del error
SCE = SCTOT – SCG =
= 95 – 35 = 60
Ejemplo 6

• Construir la Tabla ANOVA
FUENTE SC GL MC F
TRATAMIENTO 1 1.0 1 1 0.2
TRATAMIENTO 2 25.0 1 25 5
POR GRUPOS 35
INTERACCION 9.0 1 9 1.8
ERROR 60 12 5
TOTAL 95 15
Ejemplo 6

99
FCRITICO
FT1= 4 .75
FT2= 4 .75
FINT= 4 .75
FDATO
S
0.2
5
1.8
Conclusión
Se rechaza la Ho
No se rechaza la Ho
No se rechaza la Ho
4.- Tomar Decisión y Conclusión
Decisión
FCrítico
Como los Estadísticos de Prueba, en los casos de las variables de
localidad (F*1 = 0.2) y la combinación de sexo y localidad (F*i =1.8)
son mas pequeños que sus respectivos criterios de contraste (F =
4.75), en estos casos no se rechaza la hipótesis nula,
Mientras que en el caso del sexo el Estadístico de Prueba (F*2 = 5.0)
es mas grande que el Criterio de Contraste (F = 4.75), entonces por
lógica inferimos que F* queda dentro de la zona crítica y por lo tanto
se rechaza la hipótesis nula por lo tanto aceptamos la hipótesis
alterna
Ejemplo 6

y la conclusión :
 “Hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de
.05, para afirmar que con respecto al sexo existe
diferencia en las calificaciones obtenidas que mide la
afinidad hacia la mecánica”
 “Hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de
.05, para afirmar que con respecto al lugar de
procedencia no existe diferencia en las calificaciones que
 ni tampoco podemos afirmar que la combinación de
ambas circunstancias influya en la afinidad hacia la
mecánica de las personas”.
Ejemplo 6

 Se hacen cuatro pruebas de
los tres tipos de concentrado
de jugo de naranja que fue
congelado durante tres
periodos de tiempo diferentes
(en días)
 El departamento de nutrición de cierta universidad
lleva a cabo un estudio para determinar si hay
diferencia o no en el contenido de ácido ascórbico
entre tres diferentes marcas de concentrado de jugo
de naranja.
Ejemplo 7

 Los resultados, en miligramos de ácido
ascórbico por litro, son los siguientes:
MARCA
TIEMPO ( DÍAS )
0 3 7
RICA 52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8
49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6
BUENA 56.0 48.0 48.8 44.0 49.2 44.0
49.6 48.4 44.0 42.4 42.0 43.2
BARATA 52.5 52.0 48.0 47.0 48.5 43.3
51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6
• Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis que:
• Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo son
diferentes
• Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de congelamiento
son diferentes
• Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes debido a la
interacción de las dos variables.
Ejemplo 7

a) Planteamiento de las hipótesis:
Ho: Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo
son iguales
Ha: Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo
son diferentes
Ho: Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de
congelamiento son iguales
Ha: Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de
congelamiento son diferentes
Ho: Los contenidos de ácido ascórbico son iguales
debido a la interacción de las dos variables.
Ha: Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes
debido a la interacción de las dos variables.
Ejemplo 7

2.- Establecer el Criterio de Contraste
Gl T1 =2
Gl SCE= 27
F=3.35
Gl T2 =2
Gl SCE= 27
F= 3.35
Gl Iter =4
Gl SCE= 27
F=2.73
a b n
3 3 36
gl T1 a-1 2
gl T2 b-1 2
gl Iter (a-1)(b-1) 4
gl Tot n-1 35
gl
SCE
glTot-gl T1 -gl T2 - gl
Iter 27
3.35
3.35
2.73
nivel de
significanci
a de .05
Ejemplo 7

Elaborar la tabla ANOVA
n
0 3 7
RICA
52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8 12 577.2
49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6
BUENA
56 48 48.8 44 49.2 44 12 559.6
49.6 48.4 44 42.4 42 43.2
BARATA
52.5 52 48 47 48.5 43.3 12 587.3
51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6
1724.1
Tratamientos 615 566.6 542.5 1724.1
n 12 12 12 36
𝑥
𝑥
𝑥
Ejemplo 7

 1- Cálculo del Factor de corrección
2,972,520.81
FC= ---------------- = 82,570.0225
36
FC = 82570
  81.2972520)1.1724( 22
X


n
X
FC
2
)(
Ejemplo 7

 2- Cálculo de la Suma cuadrado de totales
107
83,102.01 - 82,570 =
531.987
5
SCTotales=
  FCXSCTotales 2
Ejemplo 7

3- Cálculos de los tratamientos
108
TIEMPO SCT1 = 31518.75 + 26752.96 + 24525.52 - 82570.02
ΣX²/ n0 ΣX²/ n3 ΣX²/ n7
SCT1 = 82,797.23 - 82,570.02 = 227.212
FC
n
X
SCT   2
1
FCSCT 
12
5.542
12
6.566
12
615 222
1
Ejemplo 7

 3- Cálculos de los tratamientos
MARCA SCT2 = 27763.32 + 26096.01 + 28743.44 - 82570.02
ΣX²/ nRICA ΣX²/ nBUENA ΣX²/ nBARATA
82602.77 - 82570.02 = 32.752SCT2=
- FC
FCSCT 
12
3.587
12
66.559
12
2.577 222
2
FC
n
X
SCT   2
2
Ejemplo 7

4- Calcular la suma de cuadrados por bloques
110
0 3 7
RICA 203.1 194.6 179.5
BUENA 202 179.2 178.4
BARATA 209.9 192.8 184.6
SCG = 10312.40 + 9467.29 + 8055.06 +
+ 10201 + 8028.16 + 7956.64 +
+ 11014.50 + 9292.96 + 8519.29 - 82570.02 = 277.29
n=4
  FC
n
X
SGG   
2
    4.10312
4
41249.61
4
1.203
22

n
X
X
Ejemplo 7

5- Calcular la suma de cuadrados de la interacción
de los dos tratamientos
SCI = SCG – SCT1 – SCT2 =
SCI = 277.29 - 227.212 - 32.752
=
17.322
Ejemplo 7

6- Calcular la suma de cuadrados del error
SCE = SCTOT – SCG
SCE = 531.9875 - 277.29 = 254.703
Ejemplo 7

Construir la Tabla ANOVA
FUENTE SC GL MC F
TRATAMIENTO 1 227.21 2 113.606 12.0429
TRATAMIENTO 2 32.75 2 16.376 1.7359
POR GRUPOS 277.29
INTERACCION 17.32 4 4.330 0.4591
ERROR 254.70 27 9.433
TOTAL 531.99 35
Ejemplo 7

FCRITICO
FT1= 3.35
FT2= 3.35
FINT= 2.73
FDATOS
12.0429
1.7359
0.4591
Conclusión
Se rechaza la Ho
No se rechaza la Ho
No se rechaza la Ho
Conclusión
FCrítico
Ejemplo 7

Ing. William León Velásquez 116

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