3. CONTENIDO
Distribución t de Student
Prueba de hipótesis para una
muestra pequeña
Pruebas de hipótesis de dos
muestras: muestras dependientes
Pruebas de hipótesis de dos
muestras: muestras
independientes
La distribución F
3Ing William León Velásquez
5. DISTRIBUCIÓN t de
Student
La distribución t de student fue
descubierta por William S. Gosset en
1908.
Gosset era un estadístico, empleado
por la compañía de cerveza Guinness
con quien tenía un contrato que
estipulaba que no podía usar su
nombre en sus publicaciones.
Recurrió al sobrenombre de “Student”
que es como ahora conocemos el tipo
de estadística que desarrolló.
Ing William León Velásquez 5
6. Distribución t de Student
El tamaño de la muestra sea suficientemente grande. o
Cuando se conoce la desviación estándar de la población
Entonces se puede calcular un valor z y emplear la
distribución normal para evaluar probabilidades sobre la
media de la muestra.
Si los tamaños de las muestras son muy pequeños, y no se conoce
la desviación estándar de la población, se utiliza una distribución
conocida como la “t de student” cuyos valores están dados por:
Diferencia a probar
Desviación estándar de la
diferencia o Error EstándarIng William León Velásquez 6
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
Según el Teorema del Límite Central, la distribución
muestral de un estadístico (como la media de la muestra)
seguirá una distribución normal, siempre y cuando:
7. Distribución t de Student
Se observa que la ecuación es prácticamente
igual a la que se utiliza para la distribución
muestral de medias para muestras grandes.
Solo se ha reemplazado la desviación
estándar de la población por la desviación
estándar de la muestra.
n
X
z
Ing William León Velásquez 7
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
8. Distribución t de Student
De forma similar como en la
distribución muestral de medias cuando
n > 30, en donde se usa la distribución
normal, se encontrará la distribución de
los valores t de student para aquellos
casos para cuando n < 30.
Ing William León Velásquez 8
Existe una diferencia en
su aplicación y es que
ahora se utilizará una o
más tablas de valores t en
lugar de la tabla para valor
Z.
9. Diferencias de la
Distribución t y de la Z
La varianza de t no es igual a 1 como en la de Z,
Depende del tamaño de la de muestra y siempre es
mayor a uno.
• Solo cuando el tamaño
de la muestra tiende a
infinito las dos
distribuciones serán las
mismas.
Ing William León Velásquez 9
10. La forma de la distribución t de student
depende de un parámetro llamado el número
de grados de libertad.
El número de grados de libertad es igual al
tamaño de la muestra (número de
observaciones independientes) menos 1.
gl= df= n –1
Nota: cuando se utiliza un software es posible que el número de
grados de libertad se denomine como df o DF (“degrees of
freedom”).
Ing William León Velásquez 10
GRADOS DE LIBERTAD
11. GRADOS DE LIBERTAD
El concepto de grados de libertad se
puede visualizar haciendo referencia a la
varianza muestral que es igual a:
• Esta fórmula puede verse como un promedio
de las distancias a la media sobre n-1 datos.
• La terminología de grados de libertad resulta
del hecho de que si bien s2 considera n
cantidades, sólo n –1 de ellas pueden
determinarse libremente.
𝑆2 =
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1
Ing William León Velásquez 11
12. Ejemplo:
Si tenemos 4 datos (n= 4) entonces tenemos cuatro diferencias:
Se sabe que la suma de ellas es = 0,
Por lo que si se conoce 3 de las diferencias
𝑥1 − 𝑥 = 4,
𝑥2 − 𝑥 = −2,
𝑥4 − 𝑥 = 3,
La suma de las diferencias 𝑥𝑖 − 𝑥 es 4 – 2 + 3 = 5
La última diferencia queda definida por 𝑥3 − 𝑥 = −5
porque 5 – 5= 0
Por lo tanto
GRADOS DE LIBERTAD
Lo que indica que sólo 3 de las diferencias (n–1= 4 –1 = 3) son
“libres” y la otra queda definida por las demás.
Ing William León Velásquez
12
13. PROPIEDADES DE LA
DISTRIBUCIÓN t
• Es simétrica.
• Más plana que la normal.
• Hay una distribución t
diferente para cada tamaño
posible de muestra.
• Una distribución t es
menor en la media y mayor
en las colas que una
distribución normal.
Ing William León Velásquez 13
14. -
Propiedades de la distribución t
o Es unimodal, con media en 0
o Es una familia de curvas, en
función de los llamados “grados
de libertad”. Es decir, hay una
distribución t de Student con 1 gl,
una distribución t de Student con
2 gl, etc.
o A medida que aumentan los
grados de libertad, la distribución
tiende más y más a una
distribución normal
estandarizada.
Ing William León Velásquez 14
15. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN
t de Student
• La tabla t es más compacta y muestra áreas y
valores de t sólo para algunos porcentajes.
• La tabla de la distribución t, no se concentra en
la probabilidad de que el parámetro de la
población que se está estimando se encuentre
dentro del intervalo de confianza.
Ing William León Velásquez 15
• En lugar de ello, mide la probabilidad
de que este parámetro NO esté dentro
de nuestro intervalo de confianza
(mide la probabilidad de que esté
fuera).
• En la tabla t debemos especificar los
grados de libertad que se manejan.
16. df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005
Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas
0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
Ing William León Velásquez 16
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN
t de Student
19. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA. INTRODUCCIÓN
En sesiones anteriores se
utilizo la distribución z,
siempre y cuando los
tamaños de las muestras
fueran mayores o iguales
a 30 ó en muestras más
pequeñas si se conocen la
desviación estándar de la
población.
En esta sesión se podrán utilizar muestras
pequeñas siempre y cuando la distribución de
donde proviene la muestra tenga un
comportamiento normal.
Ing William León Velásquez 19
20. Si de una población Normal con media
y desviación estándar se extrae una
muestra de tamaño n, entonces el estadístico
es:
Que se distribuye como una t de Student
con n-1 grados de libertad.
Ing William León Velásquez 20
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Calculo del valor de t de la muestra
21. Ing William León Velásquez 21
Un supervisor desea probar que el promedio de
calificaciones (media: µ) en las escuelas de
ingenierías son menores a 12 pts.
Se selecciona una muestra aleatoria de 25
escuelas y se obtiene una media muestral 𝑋 =
11,916 y una desviación estándar es de S = 1,40.
21
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
• Se asume que la
distribución de
calificaciones es
aproximadamente
normal.
• Con un α=0.05
22. Ing William León Velásquez 22
PROBLEMAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN
t
Paso 1
Definir el valor supuesto que se
desea probar:
– La Hipótesis Nula (H0) y
– La hipótesis alternativa (H1).
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
23. Ing William León Velásquez 23
1.- Formulación de las hipótesis:
H0 : µ = 12
H1 : µ < 12
La H1 indica que se trata de una
prueba de una cola hacia la
izquierda
El promedio de calificaciones en las escuelas de
ingenierías son menores a 12 pts.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
24. Ing William León Velásquez 24
Paso 2:
• Seleccionar el nivel de significación α
y los grados de libertad n-1.
Luego buscar el valor de tc utilizando
estos datos:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
25. Ing William León Velásquez
25
2. Si se utiliza α = 0.05 y
25 - 1 = 24 grados de libertad,
El valor crítico de t tabla para una
cola
a)Según la Tabla “Distribución t de
Student”
b)Podemos encontrar +/-1.71 para
t de una cola, va depender de la
dirección expresada en la Ha.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
26. Ing William León Velásquez 26
Paso 3
Calcular el estadístico t aplicando la
fórmula
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA
UNA MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
27. Ing William León Velásquez 27
3. Cálculo el estadístico t aplicando formula,
utilizar la calculadora
Se tiene los siguientes datos:
n=25
𝑋=11.916
μ=12
S=1.40
Reemplazando en la fórmula:
Se obtiene
t=-0.3
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
𝑡 =
11.916 − 12
1.40
25
28. Ing William León Velásquez 28
Paso 4
Formular la regla de decisión y concluir
tomando y justificando la decisión:
rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula
(H0 )
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para
solucionar
29. t = - 0,3Ing William León Velásquez 29
4. Como el valor calculado del estadístico t =-0.3,
es menor que el valor de t tabla t(0,05; 24) : -1.71,
Entonces no se rechaza la H0.
En otras palabras No se puede afirmar con un
nivel de significancia del 5% que la calificación
promedio de los alumnos de ingeniería sea menor
de12 puntos.
-1,71
Zona de
no
rechazo
95%
5%
Gráficamente se observa:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
30. Ing William León Velásquez 30
Un ingeniero químico afirma que el rendimiento
medio de cierto proceso en lotes es 500 gramos
por milímetro de materia prima.
• Para verificar esta afirmación el fabricante
toma una muestra de 25 lotes cada mes.
• ¿A Qué conclusión se llegará con un nivel
de confianza del 90%; si la muestra
extraída tiene una media de 518 gramos
por milímetro y una desviación estándar
de 40 gramos?
• Suponer que la distribución de
rendimientos es aproximadamente normal.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
PEQUEÑA: Ejemplo 02
31. Ing William León Velásquez 31
Solución:
1. Formulación de las hipótesis
Ho: µ=500
H1: µ ≠ 500
De la hipótesis alternativa
observamos que se trata de una
prueba de dos colas
• El rendimiento medio de cierto proceso en lotes
es DIFERENTE de 500 gramos por milímetro
de materia prima.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
32. Regla de decisión: el fabricante quedará satisfecho
con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde
un valor t entre –1.71 y 1.71.
Ing William León Velásquez 32
2.- Con un α=0.01
prueba de dos colas
De la tabla de la
Distribución de t de student
encontramos que α/2=
0.05 para 24 grados de
libertad el valor de t es 1.71
O directamente a través de
la tabla de doble entrada α
=0.01 para dos colas es es
1.71.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
33. Ing William León Velásquez 33
3.- Se procede a calcular el valor de t:
4.- Este valor de 2.25 es mayor de 1.711,
Entonces se rechaza la Ho
es decir se puede afirmar con un nivel de significancia
del 1% que el rendimiento medio de cierto proceso en
lotes es diferente de 500 gramos por milímetro de
materia prima
Por lo tanto el fabricante concluye que no es cierta la
afirmación del ingeniero
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
𝑡 =
518 − 500
40
25
= 2.25
34. Ing William León Velásquez 34
Gráficamente:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
-1.711 1.711
90%
tc=2.25
Cae en la zona de rechazo
0.050.05
t-t
35. Ing William León Velásquez 35
Para hallar la probabilidad de
obtener un valor de Tcalculado :2.25,
con 24 grados de libertad
1. Se busca en la tabla la línea del
grado de libertad: 24
2. Se ubica un valor cercano a 2.25
3. Finalmente se ubica el valor de la
probabilidad en la parte superior
de la tabla
4. Como se observa es
aproximadamente 0.02 (valor de
p).
Como p<α (0.1)
Se confirma el rechazo de la Ho 2.2
5
Valor de
p≈0.02
Alfa=0
.1
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
PEQUEÑA: Ejemplo 02. Calculando el valor p
37. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE
DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez
37
38. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 38
Esta estrategia de la investigación surge cuando
cada observación para un tratamiento está
apareada con otra observación para el otro
tratamiento.
Este par está compuesto por las mismas unidades
experimentales observadas dos veces en distintos
momentos de la investigación, o por unidades
semejantes
39. Ing William León Velásquez 39
El procedimiento consiste
en buscar pares de
unidades experimentales
con características
similares y asignar
aleatoriamente cada
unidad del par a cada uno
de los dos tratamientos
en estudio.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
40. Ing William León Velásquez 40
Ejemplo de aplicación:
Se desea probar dos tipos
de alimentos en dos
grupos de terneros para
ello se forman pares de la
misma raza, edad, sexo,
etc. y después de un
periodo, ver si existe
diferencia significativa o
no, entre los promedios de
ganancia de peso de
ambos grupos.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
41. Ing William León Velásquez 41
Ejemplo de aplicación:
Se desea estudiar en dos
lotes de plantas del mismo
tipo, la aplicación de dos tipos
de herbicidas, y comprobar si
existen diferencias en la
resistencia de ciertas plagas
entre los lotes de plantas).
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE
DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
42. Ing William León Velásquez 42
1.- Se plantea las hipótesis :
Ho: D=0 ó Ho: D=0 o D=0
Ha: D≠0 ó Ha: D>0 o D<0
2.- Se obtiene tT
Con el α y como se establece una hipótesis de
un único parámetro poblacional (se podría
pensar en una sola muestra) ,
Y con el número de grados de libertad (n - 1)
Se obtiene el t n-1,0.05
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
43. Ing William León Velásquez 43
3.- Se calcula el tC
Donde:
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
44. Ing William León Velásquez 44
4.- Luego se compara el
tc con tn -1 .
Las reglas de decisión son:
No se rechaza H0 cuando -tc < t < tc
Rechazar H0 si t < -tc ó t > tc
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
45. Ing William León Velásquez 45
Ejemplo 03
Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona
durante el descanso, Para ello se examina a diez
voluntarias antes y después de seguir un programa de
ese tipo durante seis meses,
Volunta
ria
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72
Despu
és
68 72 64 60 71 77 74 60 64 68
• Sus pulsaciones, en latidos por
minuto, dieron los siguientes
registros:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
46. Ing William León Velásquez 46
Usar α= 0.05 para calcular si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo cardiaco
durante el reposo.
Calcular
– Por la región crítica y
– Por el valor de P.
SOLUCIÓN
α= 0.05
GL: n-1 =10-1=9
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
47. Ing William León Velásquez 47
1.- Formulación de la hipótesis:
Ho: µA-µD=0 o µA=µD
H1: µA-µD>0 o µA>µD
El ritmo cardiaco de una persona durante
el descanso antes del programa es mayor
al ritmo cardiaco después del programa
Método de la región crítica
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
48. Ing William León Velásquez 48
2.- Cálculo del tT
tT=1.833Regla de decisión:
Si tc <=1.833 No se rechaza Ho
Si tc > 1.833 se rechaza Ho
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
49. Ing William León Velásquez 49
3.- Cálculos:
Se procederá a calcular las diferencias de cada par:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
50. Ing William León Velásquez 50
La media muestral de las diferencias 𝑑= 3.6
La desviación estándar muestral de la
diferencia sd = 1.58.
Para calcular el estadístico tc
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
𝑡 𝑐 = 3.6−0
1.58
10
=7.20
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
51. Ing William León Velásquez 51
4.- Justificación y decisión:
Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H0,
Se puede afirmar con un nivel de significancia
del 5% que el ritmo cardiaco de una persona
durante el descanso antes del programa es
mayor al ritmo cardiaco después del programa
• Y se concluye con un nivel de
significancia de 0.05 que los
datos indican que los ejercicios
aeróbicos disminuyen
significativamente el ritmo
cardiaco durante el reposo.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
52. Ing William León Velásquez 52
Método por el valor de p:
Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el
renglón de 9 grados de libertad en la tabla t,
𝑡 𝑐 = 3.6−0
1.58
10
=7.20
y se observa que el valor mayor que aparece en dicha tabla es
4.781 al cual le corresponde una área a la derecha de 0.0005,
entonces se puede concluir que el valor de P es prácticamente
cero.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
53. • Se realizó un estudio de 2 dietas a 11 obrero
diabéticos insulino-dependientes de una fabrica.
• Se utilizó la glucosa sérica como variables de
respuesta.
Ing William León Velásquez 53
• La dieta consistió en alta
(AF) y baja (BF) en fibra.
• Cada obrero fue
asignado aleatoriamente
para su primera dieta
donde se mantuvo por 6
meses y luego se le
cambió a la otra dieta
por otros 6 meses.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
54. En la tabla siguiente se resumen los resultados de
glucosa pos-tratamiento.
• ¿Las dietas propuestas ejercen algún efecto sobre el nivel
de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01?
Ing William León Velásquez 54
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Id
Obrero
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
AF 94 176 98 169 104 118 151 91 196 98 232
BF 93 87 99 127 99 89 154 68 119 81 173
Ejemplo 04
55. Ing William León Velásquez 55
1.- Formulación de la Hipótesis:
Ho : D = 0
H1 : D≠ 0
el nivel de glucosa sérica con las dietas de
alta fibra es diferente al nivel obtenido con
la dieta de baja fibra
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
56. 2.- Cálculo del tc
Con α=0.01 de dos colas
Gl=11-1=10
ttab=3.169
Si t > 3.169 o si t <-3.169 se rechaza Ho
Ing William León Velásquez 56
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
57. 3.- Se calcula el tC
Primero se calcula las diferencias y sus estadísticos
Ing William León Velásquez 57
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
58. =
30.73−0
32.26
11
=1.73
Ing William León Velásquez 58
Los resultados de la muestra fueron:
𝑑=30.727
𝑆 𝑑=32.26
n=11
Se obtiene el estadístico de la prueba:
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
59. 4.- Interpretación y conclusión:
Como 1.73<3.17 No Se rechaza la Ho
No se puede afirmar con un nivel de significancia
del 1%, que no existe diferencias en las
cantidades de glucosa en los dos grupos
Por lo tanto se pueden concluir las dietas
propuestas no ejercen algún efecto diferente
sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de
significación de 0,01.
Ing William León Velásquez 59
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
60. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 60
61. Ing William León Velásquez 61
Meta: Prueba de Hipótesis o formar un intervalo
de confianza para la diferencia entre la media de
las dos poblaciones.
1.- Dos medias poblacionales, Muestras
independientes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Diferentes fuentes de datos
• No relacionados
• Independientes
– Muestra seleccionada de una
población no tiene efecto
sobre la muestra seleccionada
de otra población.
62. Ing William León Velásquez 62
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 < μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2<0
Prueba Cola
Superior
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 > μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2>0
Prueba de dos
Colas
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 ≠ μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
63. Ing William León Velásquez 63
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2<0
Prueba Cola
Superior
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2>0
Prueba de dos
Colas
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Rechazar Ho si tc<-tα Rechazar Ho si tc> tα
Rechazar Ho si tc> tα/2 y
tc< tα/2
64. Ing William León Velásquez 64
3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene
dos opciones.
o Prueba “t” para dos muestras suponiendo
varianzas iguales.
oEs la prueba “t” donde se compara los
promedios de dos grupos independientes,
cuyas varianzas sean iguales u
homocedásticas.
o Prueba “t” para dos muestras suponiendo
varianzas desiguales.
oEs la prueba “t” donde se compara los
promedios de dos grupos independientes,
cuyas varianzas sean desiguales o
heterocedásticas.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
65. Ing William León Velásquez 65
• Se probará la
igualdad de
varianza
• Se usará Sp para
estimar σ
desconocidas
σ1 y σ2
desconocid
os
Se asumen
iguales
• Se probará la
igualdad de
varianza
• Se usará S1 y S2
para estimar σ1 y
σ2 desconocidas
σ1 y σ2
desconocidos
No se asumen
iguales
3. Para calcular el estadístico de la muestra
se tiene dos opciones.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
66. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
SE ASUME VARIANZAS IGUALESIng William León Velásquez 66
67. Ing William León Velásquez 67
Se asume:
Las muestras son aleatorias e independientes
Las Poblaciones son normalmente distribuidas o el
tamaño muestral de ambas muestra es por lo menos 30
Varianzas poblacionales son asumidas iguales y
desconocidas
La varianza ponderada es: El estadístico de prueba es:
Donde t tiene d.f. = (n1 + n2 – 2)
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
𝑡 𝑐 =
𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
68. Ing William León Velásquez 68
El intervalo de confianza para μ1 – μ2 es:
Donde tα/2 tiene d f = n1 + n2 – 2
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼
2
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
69. Ejemplo 5
Ing William León Velásquez 69
Un analista financiero quiere saber si
existe una diferencia entre los dividendos
de dos depósitos tal como se muestra en la
tabla. (A y B)
Los datos son los siguientes:
A B
Numero 21 25
Media muestral 3.27 2.53
Desv. Est. Muest. 1.30 1.16
Asumiendo que ambas poblaciones son normales
con varianzas iguales, existirá una diferencia entre
los dividendos(α = 0.05)?
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
70. Ing William León Velásquez 70
1.- Formulación de las Hipótesis:
H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2)
H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ μ2)
existe una diferencia entre los dividendos de los dos
depósitos
2.- Cálculo del estadístico
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
𝑆2
𝑝 =
21 − 1 1.302
+ (25 − 1)1.162
21 − 1 + (25 − 1)
= 1.5021
𝑡 𝑐 =
𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑡 𝑐 =
3.27 − 2.53 − 0
1.5021
1
21
+
1
25
= 2.040
Ejemplo 5
71. Ing William León Velásquez 71
3. Hallando el valor crítico:
α = 0.05
df = 21 + 25 - 2 = 44
Valores Críticos: t = ± 2.0154
Estadístico t
4.-Decisión y Conclusión:
Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que
existe una diferencia entre los dividendos de los dos
depósitos
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 5
𝑡 =
3.27 − 2.53
1.5021
1
21
+
1
25
= 2.040
Se Rechaza la Ho
72. Con Intervalo de confianza para μ1 - μ2
Ing William León Velásquez 72
Como se rechaza la H0,
Establecer un 95% de intervalo de confianza de tal
manera que μA ≠μB?
95% I.C. para μA - μB
Se observa que O está fuera del intervalo de confianza,
Por lo tanto se puede concluir con 95% que μA ≠ μB
𝑿 𝟏 − 𝑿 𝟐 =3.27 - 2.53=0.74
Tα/2 =2.0154
Error tm=0.3628
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼
2
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
=
= 0.74 ± 2.0154 * 0.3628 = (0.009,1.471)
Ejemplo 5
73. Ejemplo 6 mediante el valor de p
Ing William León Velásquez 73
• Se estudia la capacidad antioxidante de la lecha
materna versus la leche de fórmula. Para ello se
selecciona un grupo de 22 niños que recibió
leche materna normal durante sus primeros 3
meses de vida. Y otro grupo de 14 niños, que no
pudieron ser amamantados por su madre, y que
recibió leche con una fórmula especial.
• A los tres meses de vida se mide la
capacidad antioxidante desarrollada en los
dos grupos de niños.
• En base a los resultados adjuntos, realice una
prueba de hipótesis comparando las medias
de la capacidad antioxidante, para revisar los
supuestos (asuma normalidad).
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
74. Ejemplo 6 mediante el valor de p
Los datos recopilados se
muestran en la tabla adjunta:
Ing William León Velásquez 74
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Tipo de
leche
N Medi
a
Desv
Est.
Error
Est. de
Media
Materna 22 80.3
3
8.144 1.736
Formula 14 71.8
3
9.194 2.457
75. Ing William León Velásquez 75
Solución:
o Nos interesa comparar las medias de
dos grupos independientes
o Primero se debe revisar los supuestos:
1.Nos dicen que asuman normalidad
2.Se asume Homogeneidad de
varianzas
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
76. Ing William León Velásquez 76
1.- Formulación de la hipótesis:
Se trata de una Prueba bilateral
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
La capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son
diferentes
77. Ing William León Velásquez 77
2.- Cálculo del estadístico de la prueba:
34~2,904
927,2
50,8
927,2
71,83-80,33
11
21
21
)t(
nn
s
xx
t
c
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
𝑆2
𝑐 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
=
22−1 8.1442+(14−1)9.1942
22−1 +(14−1)
=73.285
Sc=8.56
78. Ing William León Velásquez 78
3.- Obtención del valor de p
El valor p se encuentra entre 0.010 y 0.005,
para hallar el valor mas aproximado , se
debe interpolar
GL: n1+n2-2 = 22 + 14 – 2 = 34
t=2.94
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
x
79. Ing William León Velásquez 79
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Entonces el valor de p
es aproximadamente
0.007
Valor de p=0.007
Ejemplo 6
Como el valor de p
(0.007) es menor que alfa
(0.05) se rechaza la Ho
80. Ing William León Velásquez 80
4.- Conclusiones:
Por lo tanto,
Se puede afirmar con un nivel de significancia
del 5% que la capacidad antioxidante entre los
dos grupos de niños son diferentes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
• Se concluye que la capacidad
antioxidante de la leche materna y de
la fórmula usada en este estudio, son
distintas, con un nivel de
significación del 5%.
82. • La distribución F es una de
las familias de
distribuciones que se utiliza
en el análisis estadístico, se
identifica por los grados de
libertad del numerador y del
denominador en relación a
sus varianzas muestrales
• Se denomina así en honor a
Sir Ronald Fisher, uno de
los fundadores de la ciencia
estadística moderna.
Ing William León Velásquez 82
83. Uso:
Para probar si dos muestras
provienen de poblaciones con
varianzas iguales.
Para comparar
simultáneamente varias
medias poblacionales
(ANOVA).
Para probar y comparar, las poblaciones deben
ser normales, y los datos, por lo menos deben
estar en nivel de intervalo
Ing William León Velásquez 83
84. Es continua
Esto significa que puede
tomar una cantidad
infinita de valores entre 0
y más infinito
Ing William León Velásquez 84
La distribución F.
Características
85. Es asintótica
Conforme los valores de
X aumentan, la curva de
la distribución F se
aproxima al eje X, pero
nunca lo toca. Es la
misma característica que
describe una distribución
normal.
Ing William León Velásquez 85
La distribución F.
Características
86. Sus valores no pueden
ser negativos
El menor valor que
puede asumir F es
cero
Ing William León Velásquez 86
La distribución F.
Características
87. Tiene sesgo positivo
La cola larga de la
distribución se encuentra a
la derecha. Conforme el
numero de grados de
libertad aumenta, tanto en
el numerador como en el
denominador, la
distribución se aproxima a
una distribución normal.
Ing William León Velásquez 87
La distribución F.
Características
88. Existe una familia de
distribuciones F
Un miembro específico
de la familia queda
determinado por dos
parámetros: los grados
de libertad en el
numerador y los grados
de libertad en el
denominador.
Ing William León Velásquez 88
La distribución F.
Características
89. 89
Ing William León Velásquez
La distribución F. Usos
Comparación de
dos varianzas
poblacionales
• Se utiliza para probar la
hipótesis de que la varianza de
una población normal es igual a
la varianza de otra población
normal.
Prueba de
medias de mas
de dos muestras
• Análisis de la técnica de la
varianza (ANOVA), en la cual
se comparan tres o más medias
poblacionales para determinar
si pueden ser iguales.
90. 90
El índice de rendimiento medio de los
dos tipos de acciones comunes
puede ser el mismo, pero quizás haya
más variación en el índice de
rendimiento en un tipo que en otro.
Una muestra de 10 acciones
relacionadas con la tecnología y 10
acciones de compañías de servicios
presentan el mismo índice de
rendimiento medio, pero es probable
que haya más variación en las
acciones vinculadas a la tecnología.
Ejemplos de aplicación:
Ing William León Velásquez
La distribución F. Comparación de
dos varianzas poblacionales
91. 91
Un estudio del departamento
de marketing de un periódico
importante reveló que los
hombres y las mujeres utilizan
la misma cantidad de tiempo
navegando por la Web.
Sin embargo, en el mismo
reporte se indica que había
casi el doble de variación en el
tiempo pasado por día entre
los hombres que las mujeres.
Ejemplos de aplicación :
Ing William León Velásquez
La distribución F. Comparación de
dos varianzas poblacionales
92. Ing William León Velásquez 92
Para realizar la prueba, se selecciona una muestra
aleatoria de n1 observaciones de una población y
una muestra de n2 observaciones de la segunda
población.
H0: σ1
2 = σ2
2
H1: σ1
2 ≠ σ2
2
1.- Formulación de las hipótesis:
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
93. Ing William León Velásquez 93
2.- Cálculo del estadístico:
Para realizar la prueba, se selecciona una
muestra aleatoria de n1 observaciones de
una población y una muestra de n2
observaciones de la segunda población.
El estadístico de prueba se define como:
F0 =
𝑆2
1
𝑆2
2
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
Para fines prácticos se elige la varianza mas grande la
muestra se coloca en el numerador, de allí que la razón
de F será mayor que 1
94. Ing William León Velásquez 94
3.- Obtención del FT
Con los grados de libertad de las dos
muestras n1 y n2 y el nivel de significancia,
Se va a las tablas y se obtiene
𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1)
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
95. Ing William León Velásquez 95
4.- Conclusión
Si F0 > Se Rechazará la Ho𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1)
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
96. Ing William León Velásquez 96
Una empresa importadora tiene dos
rutas para llegar al aeropuerto.
Si se desea estudiar el tiempo en
conducir al aeropuerto por cada ruta y
luego comparar los resultados.
Se recopiló los siguientes datos
muestrales que aparecen en la tabla,
Mediante el nivel de significancia 0.10,
¿hay alguna diferencia en la variación
en los tiempos de manejo para las dos
rutas?
La distribución F. Ejemplo 7
Ruta
1
57 72 61 50 75 59 69
Ruta
2
64 65 66 56 61 68 62 70
97. 97
Paso 1: Se establece la hipótesis nula
(H0) y la hipótesis alternativa H1
H0: σ1
2 = σ2
2
H1: σ1
2 ≠ σ2
2
Paso 2: Se selecciona un nivel de
significancia
α = 0.05 como se menciona en
el problema
Paso 3: Se selecciona el estadístico de
prueba .
Su usa la distribución F
Ing William León Velásquez
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
98. Ing William León Velásquez 98
Paso 2: Se obtiene el FT.
Calculo de las varianzas de las muestras
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
Como la varianza de la ruta 1 es mayor que la varianza de
la ruta 2, la ruta1 será el numerador
𝑆𝑖 =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛 − 1
𝑥 =
𝑥
𝑛
99. Ing William León Velásquez 99
Se formula la regla de decisión.
Se rechaza la H0 si F > F,v1,v2
F > F.05,7-1,8-1 F > 3.866
con α=0.05
F=3.866
Paso 2: Se obtiene el FT.
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
GLR1=6
GLR2=7
100. 1 0 0
Paso 3: Se calcula el valor de F
Ruta 1 Ruta 2
Ing William León Velásquez
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
𝑆1 =
660.43
7 − 1
= 10.49 𝑆2 =
334
8 − 1
= 6.91
𝐹𝑐 =
(10.49)2
(6.91)2
= 2.30𝐹𝑐 =
𝑆2
1
𝑆2
2
Calculando el valor de Fc
101. 1 0 1
FT=3.866
FC=2.30 La decisión es no rechazar la hipótesis nula,
debido a que el valor F calculado es mayor que el
valor crítico
No se puede afirmar con un nivel de significancia del
5%, que haya una diferencia en la variación de los
tiempos recorridos por las dos rutas.
Ing William León Velásquez
Ejemplo 7: Solo de Comparación de
Varianza
Paso 4: se toma una decisión
102. Ing William León Velásquez 102
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Con verificación de igualdad de varianzas
104. Ing William León Velásquez 104
Prueba de hipótesis sobre la diferencia
de medias. Muestras independientes, Varianzas
desconocidas pero se asume iguales
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 ≠ µ2
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
tT(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo
con el tC
105. Ing William León Velásquez 105
Prueba de hipótesis sobre la diferencia de
medias. Muestras independientes, Varianzas
desconocidas pero se asume diferentes
Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el
tC
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 ≠ µ2
tc(glp)
𝑔𝑙 𝑝 =
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑆2
1
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
106. La cantidad de impurezas presente en un lote de sustancia
química utilizada como materia prima es determinante para
evaluar la calidad
Un fabricante que usa dos líneas de producción 1 y 2, hizo un
ligero ajuste a la línea 2 con la esperanza de reducir la
cantidad promedio de impurezas en la sustancia química.
Ing William León Velásquez 106
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
¿Los datos aportan suficiente
evidencia para concluir que la
impurezas del proceso es menor para
la línea 2?
Muestras aleatorias en cada línea arrojaron las siguientes mediciones
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
107. Solución:
Nos interesa comparar las medias de dos grupos
independientes
Primero se debe revisar los supuestos:
1.Nos dicen que asuman normalidad
2.En este caso ya no se asume Homogeneidad de
varianzas, tenemos que probarla
Ing William León Velásquez 107
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
108. Fase 1: de Comparación de Varianzas
1.- Formulación de las hipótesis
Ho:𝜎1
2=𝜎2
2
La varianza de la población 1 es igual a la
varianza de la población 2
H1:𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
La varianza de la población 1 es diferente a la
varianza de la población 2
Ing William León Velásquez 108
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
109. Ing William León Velásquez 109
Si el Fc muestral es menor que 2.4. No rechazamos la hipótesis Ho
Si el Fc muestral es mayor que 2.4. Rechazamos la hipótesis nula
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Como la varianza de la población 1 es mayor que la
varianza de la población 2 el numerador le
corresponde a la línea 1
Gl1=16-1=15 Gl2=16-1=15
Con un valor de α=5%
𝐹0.05,15,15 = 2.40
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
110. Ing William León Velásquez 110
No se puede afirmar con un nivel de significancia del 10% que La varianza
de la población 1 sea diferente a la varianza de la población 2
Por lo tanto se pueden asumir que las varianzas de la población son
iguales
2.40
2. 04
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Los datos muestrales arrojaron la siguiente información:
𝐹 =
1.04
0.51
= 2.04
𝐹 =
𝑆2
1
𝑆2
2
No
recha
zo
Con un nivel de
significancia de 0.05,
no se rechaza Ho
111. Ing William León Velásquez 111
Fase 2: Prueba de Hip. Para muestras pequeñas
independientes.
Paso 1:
Para probar la disminución de impurezas se utiliza la
siguiente prueba de hipótesis:
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 > µ2
La cantidad de promedio de impurezas de la línea 1
es mayor que la línea 2
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
112. Ing William León Velásquez 112
Paso 2
El estadístico de prueba teniendo en cuenta que
mediante la prueba F, se concluyó que se asumen
varianzas iguales es:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
113. Ing William León Velásquez 113
Paso 3
Definición de la región crítica:
Con un α=5% y con GL:30
De la tabla se tiene:
𝑡(0.05,30) = 1.6973
Si el tc muestral es menor que 1.6973. No
rechazamos la Ho
Si el tc muestral es mayor que 1.6973. Rechazamos
la Ho
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
No rechazo
114. Ing William León Velásquez 114
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Linea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
Se calcula, primero la Desviación estándar ponderada
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑆2
𝑝 =
15 1.04 + 15 0.51
30
= 0.775 Sp=0.88
115. Ing William León Velásquez 115
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
𝑡 =
3.2−3.0
0.88
1
16
+
1
16
= 0.9
116. Como td (0.9) se encuentra en la región de no rechazo
entonces No se rechaza la Ho,
NO Se puede afirmar con in nivel de significancia del 5% que
la cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 sea
mayor que de la línea 2
Lo que quiere decir que el ajuste no produjo ninguna
reducción
Ing William León Velásquez 116
Paso 5: Decisión y conclusión:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Tα=1.6973
Tc=0.9No rechazo