1. Jorge Iván Hernández Bautista
Diógenes Morales Castellanos
Jorge Salvador Coll Morales
Salvador Sánchez Canela
Alejandro Domínguez Rodas
Fabián García López

2. Las decisiones que toman los ingenieros por lo general son
el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo
las decisiones reflejan la elección fundamentada de una
persona sobre cómo invertir mejor fondos, también
llamados capital.

3. La ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar
los resultados económicos cuando existan alternativas
disponibles para llevar a cabo un propósito definido.
Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en
describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que
simplifican las comparaciones económicas, toda estas
decisiones implican los elementos básicos de flujos de
efectivo, tiempo y tasas de interés.

4. La gente toma decisiones; ni las computadoras, las
matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y
modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a
tomar decisiones. Por lo tanto, en un análisis de
ingeniería económica los números constituyen las mejores
estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. La
ingeniería económica se aplica, asimismo, para analizar los
resultados del pasado.

5. 1. Comprensión del problema y definición del objetivo.
2. Recopilación de información relevante.
3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones
realistas.
4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o más
atributos.
5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad para
reforzar la evaluación.
6. Elección de la mejor alternativa.
7. Implantar la solución.
8. Vigilar los resultados.

6. A menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación
es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente
esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o
empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital
del préstamo original. Este hecho también se explica por medio del
valor del dinero en el tiempo.
La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo
dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el
concepto más importante de la ingeniería económica.

7. El uso del dinero no es gratuito, como tampoco lo es de
cualquier otro activo (una casa, un automóvil); y tampoco lo
de un servicio (luz, agua, teléfono, etc.); por tanto, el
usuario del dinero, activos o servicios, debe satisfacer los
deseos de utilidad de quien las proporciona.
En el paso del dinero, esta utilidad se mide en utilidades
monetarias, la cual unida al capital en uso hace que este
cambie de valor del dinero con el tiempo, y por esto se
habla del valor del dinero en el tiempo.

8.  Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero
tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones
contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de
dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo
(plazo) y la tasa de interés aplicada.
 Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación
comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en
tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da
por año.

9.  Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación
financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año.
 Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de
interés
(año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diari
o, etc.).
 Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina
valor presente.

10. Monto : Es el capital formado por el capital actual más
los intereses devengados en el periodo, comúnmente se
le denomina valor futuro.
Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se
cobra cada cierto periodo.

11. Días Transcurridos: Para obtener los días transcurridos
de una operación financiera, primero: se obtiene la
diferencia entre el día del mes terminal y el día del mes
inicial; segundo: utilizando la tabla de tiempo
exacto, obtenemos la cantidad de días definida por la
intersección entre el mes inicial y el mes terminal; y tercero:
sumar los días del primero y segundo paso y así obtener
los días transcurridos.

12. Una empresa prestó una cantidad el 16 de Abril de 2012;
dicha cantidad se devolverá el 16 de Octubre del mismo
año. Determinar el tiempo exacto.
Número de día del 16/Abril en la tabla: 107
Número de día del 16/Octubre en la tabla: 290
Resta de días: 183 días
Dias Transcurridos.xlsx

13. Para encontrar la fecha de vencimiento de un
documento, primero: se utiliza la tabla de tiempo exacto para
localizar el mes de transacción y buscar por ese renglón el
número de días más próximo o exacto al establecido en la
transacción; segundo: se suman el plazo dado en días;
tercero; el resultado se busca en la tabla y obtienes tu fecha
de vencimiento

14. Un certificado CDT se constituye el 24 de Febrero con un
plazo de 90 días ¿Cuándo vence el CDT? usar tiempo
real, dado que así se manejan estos certificados.
Número de día del 10 de marzo: 69
Mas la cantidad de días de plazo: 90
Número de día final: 145
El día 145 equivale al 24 de Mayo.
Dias Transcurridos.xlsx

15. El interés es la manifestación del valor del dinero en el
tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la
diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad
original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.

16. Existen dos variantes del interés: el interés pagado y el
interés ganado.
El interés se paga cuando una persona u organización
pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una
cantidad mayor.
El interés se gana cuando una persona u organización
ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad
mayor.

17. El interés que se paga por fondos que se piden prestados
(préstamo) se determina mediante la relación
• Interés = cantidad que se debe ahora - cantidad original
Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de
tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma
original (principal), el resultado recibe el nombre de tasa de
interés.

18. La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de
interés. Por ahora, el periodo de interés más comúnmente
utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible
considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual.
Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de
la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por
ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de
un año.

19. Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y
debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el
interés y la tasa de interés pagada.
Solución
Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que
los $10,700 pagan un préstamo.
Interés = $10,700 - $10,000 = $700
Tasa porcentual de interés == $700 x 100% == 7% anual

20. Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el
interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.
“Interés generado = cantidad total actual - cantidad original”
El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como
porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).

22. Una consideración económica adicional para cualquier estudio de
ingeniería económica es la inflación. Hay varios comentarios
imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la
inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor
de una moneda determinada.

23. El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado.
En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada
tasa real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de
rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido
comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente:
 La reducción del poder de compra.
 El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor).
 El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento.
 El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas.
 La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas.
 En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y
empresarial.

24. Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y
símbolos. Incluyen unidades de muestra.
P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe
el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y
costo capitalizado (CC); unidades monetarias
F= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor futuro (VF);
unidades monetarias
A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina
valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades
monetarias por mes
n = número de periodos de interés; años, meses, días
i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento
diario
t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

25. Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de
sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo
de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos
interés simple e interés compuesto se toman importantes.
El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando
cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple
total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés)
“Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”

26. Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses
al capital, es decir:
F = P+I
Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que:
F = P + Pnr = P (1 + nr)
donde:
F = Monto Simple
P = Capital
n = Plazo
r = Tasa Nominal
( 1+nr) = Factor de crecimiento, siendo P y F factores de pago único.

27. Problema: Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de
interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses.
Solución:
P = $ 189, 000
r = 20% Anual
n = 11 meses = 11/12
F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)]
F = $ 223, 650.00

28. En el caso del interés compuesto, el interés generado durante
cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el
monto total del interés acumulado en todos los periodos
anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el
interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo
sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la
siguiente manera:
Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)

36. La inflación es un proceso sostenido de elevación del nivel
general de precios en una economía, tiene como
consecuencia la disminución del valor del dinero. En
México la inflación se mide a partir de los incrementos en el
Índice Nacional de Precios al Consumidor
(INPC), publicado quincenalmente por el banco de
México, y se expresa en forma porcentual.

37. La inflación puede ser medida desde diferentes puntos de
vista, dependiendo de las necesidades del analista, de tal
manera que se han desarrollado varios conceptos para el
manejo de la inflación:
• Inflación Acumulada.
• Inflación Remanente.
• Inflación Anual (Según Banxico).
• Inflación Promedio.

46. Es la medida de la perdida del valor de la unidad monetaria nacional frente a
otra moneda extranjera. En nuestro caso, la moneda extranjera frente a la
cual tiene mayor aplicación éste concepto es el dólar de los E. U.
id = [(TCn/ TCD) - 1] x 100
Donde:
id= tasa de devaluación;
TCn = Tipo de Cambio en el tiempo n
TCD= Tipo de cambio en el tiempo D.

47. Problema: Si el 1 de enero de un año un dólar varía $9.45 y
el 31 se diciembre del mismo año el cambio estaba en $10.
¿Cuál es la tasa de devaluación de ese año?
Solución:
Tcn = $10
TcD = $9.45
id = [(10/ 9.45) - 1] x 100 = 5.82%
id = 5.82% Anual.

48. La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se
usa para hacer las equivalencias entre dinero de diferentes
períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de
oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en
alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos
tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar
que existan otras alternativas que si cumplen con esta
condición.

49. Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como
criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será
superior al costo promedio ponderado del capital con el que
la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital
necesarios. Por lo tanto, la desigualdad
TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital
debe satisfacerse para un proyecto aceptado.

50. Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de
dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas
estimaciones se realizan para cada alternativa.
Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo
establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de
ingeniería económica. La variación esperada de los flujos
de efectivo indica una necesidad real de un análisis de
sensibilidad.

51. Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de
los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de
la actividad propuesta y de la clase de negocio que se
emprenda.
Ejemplos de entradas de efectivo (estimación)
• Ingresos (por lo general incrementales provenientes de
una alternativa).

52. Reducciones en los costos de operación (atribuibles a
una alternativa).
Valor de salvamento de activos.
Recepción del principal de un préstamo.
Ahorros en impuesto sobre la renta.
Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.
Ahorros en costos de construcción e instalaciones.
Ahorros o rendimiento de los fondos de capital
corporativo.

53. Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar
constituidas por los siguientes elementos, dependiendo, de
nueva cuenta, de la naturaleza de la actividad y del tipo de
negocio.
Ejemplos de salidas de efectivo (estimación)
• Costo de adquisición de activos.

54. Costos de diseño de ingeniería.
 Costos de operación (anual e incremental).
 Costos de mantenimiento periódico y de remodelación.
 Pagos del interés y del principal de un préstamo.
 Costo de actualización (esperados o no esperados).
 Impuestos sobre la renta.
 Gasto de fondos de capital corporativos.

55. La información necesaria para llevar a cabo las
estimaciones puede estar disponible en departamentos
tales como
contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, di
seño, manufactura, producción, servicios de campo y
servicios computacionales.

56. Flujo de efectivo neto
= ingresos - desembolso
= entradas de efectivo - salidas de efectivo
Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en
puntos variables del tiempo dentro de un periodo de
interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.

57. El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy
importante en un análisis económico, en particular cuando la serie
del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una
representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una
escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo
de efectivo resulta importante.
Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de
efectivo positivo.
Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo
de efectivo negativo.

58. Antes de dibujar un diagrama de flujo de efectivo y colocar un
signo en él, es necesario determinar la perspectiva o punto de
vista.
EJEMPLO: si una persona obtiene un préstamo de $2500 para
comprar en efectivo una Harley-Davidson usada de $2 000 y
utiliza el resto para pagar un trabajo de pintura, pueden
adoptarse diferentes perspectivas. Las perspectivas, los signos
del flujo de efectivo y las cantidades son las siguientes.

62. La base para aplicar este método es identificar los posibles
escenarios del proyecto de inversión, los cuales se clasifican
en los siguientes:
Pesimista:
Es el peor panorama de la inversión, es decir, es el resultado
en caso del fracaso total del proyecto.

63. Probable:
Éste sería el resultado más probable que supondríamos en
el análisis de la inversión, debe ser objetivo y basado en la
mayor información posible.
Optimista:
Siempre existe la posibilidad de lograr más de lo que
proyectamos, el escenario optimista normalmente es el que
se presenta para motivar a los inversionistas a correr el
riesgo.

64. La TIR trata de medir la rentabilidad de un proyecto o activo.
Representa la rentabilidad media intrínseca del proyecto.
La regla de decisión consiste en aceptar proyectos cuya TIR sea mayor
que el costo de capital para activos del mismo nivel de riesgo: TIR > r
La TIR es una medida de rentabilidad que depende del perfil de flujos
de caja particulares del proyecto, mientras que el costo de capital es la
rentabilidad ofrecida en el mercado de capitales por activos del mismo
nivel de riesgo.

65. El factor fundamental en la ingeniería económica es el que
determina la cantidad de dinero que se acumula después
de años (o periodos), a partir de un valor único presente
con interés compuesto una vez por año (o por periodo).
“Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre
el interés”

66. Donde:
P = una cantidad que se invierte en algún momento T=0.
F = es la cantidad de dinero que se habrá acumulado en un
año a partir de la inversión a una tasa de interés de i.
i = inversión a una tasa de interés.
n = años o periodos.
factor de cantidad compuesta de pago único o F/P.

67. La fórmula para calcular el valor “P” para una cantidad dada
“F” que ocurre en “n” periodos en el futuro queda como:
Esta expresión se conoce como el factor de valor presente de
pago único (FVPPU)

68. Nota: los dos son factores derivados son para pago único; es
decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura
cuando se tiene sólo un pago o recibo.

69. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de
interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general
(X/Y, i, n). La literal “X” representa lo que se busca; mientras que
la literal “Y” representa lo que está dado.
Por ejemplo, F/P significa encuentre “F” cuando “P” está dado. La
“i” es la tasa de interés en porcentaje, y “n” representa el número
de periodos implicados. En consecuencia, (F/P, 6%,20) representa
el factor que encuentra la cantidad futura “F” acumulada en 20
periodos si la tasa de interés es de 6% por periodo. La P está dada.

71. Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería
económica se han elaborado las tablas de valores del
factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y
periodos del tiempo van desde 1 hasta grandes valores de
“n”, dependiendo del valor “i”.

72. Por ejemplo: el valor del factor (P/F, 5%,10) se encuentra en la
columna P/F de la tabla 10 en el periodo 10: 0.6139.
Este valor se determina aplicando la ecuación

74. FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
Supóngase que una cantidad dada de dinero P, gana
interés a una tasa i, capitalizada anualmente. La cantidad
total de dinero, F , que se habrá acumulado a partir de una
inversión P después de n años esta dada por F=P(1+i)n. La
relación
F/P=(1+i) n
se llama factor de cantidad compuesta de un pago único.

75. Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga
interés de 6% anual, capitalizada cada año. Si se deja que el dinero se
acumule, ¿cuánto dinero tendrá el estudiante después de 12 años?
F= P(1+i) n
Se quiere obtener F, dados P, i, y n. Entonces:
F=P*(F/P, i%,n)=$1,000(F/P,6%,12)=$1,000(2.0122)=$2,012.20

76. FACTOR DE VALOR PRESENTE
El factor de valor presente de un pago único es el
reciproco del factor de cantidad compuesta de un
pago único:
P/F= (F/P)-1= (1+i)-n
Los valores numéricos de este factor se pueden
obtener directamente de la formula anterior.
P=F(1/(1+i)n

77. EJEMPLO: Se depositara cierta suma de dinero en una cuenta de ahorros
que paga interés anual a una tasa de 6% capitalizada anualmente. Si se
permite que todo el dinero se acumule, ¿cuánto deberá depositarse en un
principio para disponer de $5,000 después de 10 años?
P=F (1/(1+i)n
Se quiere encontrar el valor de P, dados F, i y n. Entonces,
P=F*(P/F, i%, n)=$5,000(P/F, 6%, 10)=$5,000(0.5584)=$2,792.00

78. FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN
El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el
reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme:
1 i
A/ F ( F / A)
(1 i ) n 1

79. Supóngase que se deposita una cantidad fija de dinero, A, en
una cuenta de ahorros al final de cada año durante 20 años. Si el
banco paga 6% anual, capitalizado cada año, encuéntrese A, tal
que al final de los 20 años se hayan acumulado $50,000.
1 i
A/ F ( F / A)
F=50000 (1 i ) n 1
i= 6%
n=20
A=F*(A/F, i%, n)=$50,000(A/F, 6%, 20)=$50,000(0.02718)=$1,359

80. FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA EN SERIE
UNIFORME
Este factor se emplea para encontrar el valor futuro (F) a
partir de una serie uniforme que inicie en el periodo 1 y se
extienda hasta (n) periodos, dada una tasa de interés (i).
Fórmula:
F= A ((1+i) ^n -1/i)

81. Un estudiante planea depositar $600 cada año en una cuenta
durante 10 años. Si el banco paga 6%anual, capitalizado cada
año. ¿Cuánto dinero habrá acumulado al final de los 10 años?
(1 i ) n 1
F/A
i
datos
A=600
i= 6%
n =10
F=A*(F/A, i%, n)=$600(F/A, 6%, 10)=$600(13.1808)=$7,908.48

82. FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL
Supóngase que se deposita una suma dada P, en una cuenta de ahorros
en la que gana interés a una tasa i anual, capitalizada cada año. Al final
de cada año se retira una cantidad fija A ¿A cuanto debe ascender A
para que la cuenta de banco se agote justo al final de los n años?
i i(1 i) n
A P (1 i) n P
(1 i) n 1 (1 i) n 1

83. Un ingeniero que esta a punto de retirarse ha reunido $50,000 en una
cuenta de ahorros que paga 6% anual, capitalizado cada año.
Supóngase que quiere retirar una suma de dinero fija al final de cada
año, durante 10 años. ¿Cuál es la cantidad máxima que puede retirar?
i i(1 i) n
A P (1 i) n P
(1 i) n 1 (1 i) n 1
P=50000
i= 6%
n= 10
A=P*(A/P, i%, n)=$50,000((A/P, 6%, 10)=$50,000(0.1359)=$6,795

84. FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME
El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de
recuperación de capital.
1 (1 i ) n 1 1 (1 i ) n
P/ A ( P / A)
i (1 i ) n i

85. EJEMPLO: Un ingeniero está planeando su retiro y está planeando retirar
$10,000 cada año de su cuenta de ahorros.
¿Cuánto dinero deberá tener en el banco al principio de su retiro si su
dinero gana el 6% al año, capitalizado anualmente
y está planeando su retiro de 12 años (es decir, 12 retiros anuales)?
A=10000
i= 6%
n= 12
P=A*(P/A, i%, n)=$10,000(P/A, 6%, 12)=$10,000(8.3839)=$83,839

86. Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una
cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la
misma cantidad aritmética cada periodo.
El símbolo G para los gradientes se define como:
G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un
periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

87. Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener
ingresos de $80,000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los
ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200,000 en 9 años.
Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solución:
La cantidad base es $80,000 y el aumento total de ingresos es:

88. Se derivan tres factores para los gradientes aritméticos:
* factor P/G para el valor presente,
* factor A/G para serie anual,
* factor F/G para el valor futuro.
El factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se calcula con la siguiente
fórmula:
El factor de gradiente aritmético de una serie uniforme, o factor A/G se calcula con la
siguiente fórmula:
El factor gradiente aritmético, valor futuro, o factor F/G se calcula con la siguiente fórmula:

89. El valor presente total PT para una serie gradiente debe considerar por separado la base y el
gradiente.
Las ecuaciones generales para calcularlo es:
Donde PA es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1y se extiende hasta n.
Donde PG es un gradiente creciente y debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme.
Donde -PG es un gradiente decreciente y debe restarse de la cantidad de la serie uniforme.
De manera similar, las series anuales totales equivalentes son:
Donde AA es la cantidad anual y AG es la cantidad anual equivalente de serie gradiente.

90. Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para
remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los
condados estimaron que, al final del próximo año, se depositará un total de $500,000 en una
cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres
condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100,000 por año durante 9 años a
partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor
presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa del 5% anual.
Se deben realizar dos cálculos y luego se tiene que
sumar: el primero para el valor presente de la cantidad
base PA, el 2do PG, y El valor presente total PT

91. También aquí es necesario considerar por separado al gradiente ya la cantidad base. La serie
anual total AT

92. Factores Para Series Gradiente
Geométrico
Es común que las series de flujo de efectivo, tales como los costos de operación, los costos
de construcción y los ingresos, aumenten o disminuyan de un periodo a otro mediante un
porcentaje constante. Esta tasa de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico
de flujos de efectivo. Además de los símbolos i y n utilizados hasta el momento, ahora se
necesita el término
Para calcular Pg , en el periodo t = 0 para una serie gradiente geométrico que inicia en el
periodo 1 en la cantidad A1 y aumenta por una tasa constante de g cada periodo, son:

93. EJEMPLO 1:
Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, lnc., desarrollaron una innovación en un
deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta sólo $8,000 y se espera que
dure 6 años con un valor de salvamento de $1,300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de
mantenimiento sea de $1,700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor
presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento, tanto a mano como con computadora.
La tasa de interés es de 8% anual.
Calcular Pg, la PT es:

94. Cálculo De Tasas De Interés
Desconocidas
En algunos casos se conocen la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibido
luego de un número especificado de años, pero se desconoce la tasa de interés o la tasa de
rendimiento. la tasa desconocida puede determinarse para por una solución directa de la
ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes o
muchos factores, el problema debe resolverse empleando un método de ensayo y error o un
método numérico.
Las fórmulas de pago único pueden reordenarse con facilidad y expresarse en términos de
i, pero para las ecuaciones de serie uniforme y de gradientes, comúnmente es necesario
resolver para el valor del factor y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de
factores de interés

95. EJEMPLO 1:
Si Laurel puede hacer una inversión de negocios que requiere un gasto de $3,000 ahora con
el objetivo de recibir $5,000 dentro de cinco años, ¿cuál sería la tasa de rendimiento sobre la
inversión? Si Laurel puede recibir 7% anual de intereses de un certificado de depósito, ¿qué
inversión debe realizarse?
la i puede determinarse directamente a partir del factor P/F

96. EJEMPLO 2:
Professional Engineers, Inc., requiere colocar $500 por año en la cuenta de un fondo de amortización para
cubrir cualquier reparación mayor inesperada en el equipo de campo. En un caso, $500 se depositaron a
15 años y cubrieron un costo de reparación de $10,000 en el año 15. ¿Qué tasa de rendimiento ofreció
esta práctica a la compañía? Resuelva a mano y con la ayuda de una computadora.
Cualquiera de los factores, A/F o F/A, puede utilizarse. Si se utiliza A/F:
Según las tablas de interés 8 y 9, bajo la columna A/F para 15
años, el valor 0.0500 se encuentra entre 3% y 4%. Por
interpolación, i=3.98% (que se considera un bajo rendimiento para
un proyecto de ingeniería).

97. Fórmulas Para Las Tasas De Interés Nominal Y Efectiva
Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas
es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas
personales

98. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva
Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: año, meses,
trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera.
Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que
cada una de las siguientes tasas:
r = 1.5% mensual x 24 meses Mayor que 1 mes
= 36% por un periodo de 2 años
= 1.5% mensual x 12 meses Mayor que 1 mes
= 18% anual
= 1.5% mensual x 6 meses Mayor que 1 mes
= 9% por medio año
= 1.5% mensual x 3 meses Mayor que 1 mes
= 4.5% trimestral
= 1.5% mensual x 1 mes Igual a 1 mes
= 1.5% mensual
= 1.5% mensual x 0.231 mes Menor que 1 mes
= 0.346% semanal

99. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de
tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la
acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal
correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva
ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

100. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva
Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés.
Periodo de capitalización o composición (PC): es la unidad de
tiempo más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se
identifica por el término capitalización (o composición*).
Frecuencia de composición: es el número de veces que la
capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t

101. Ejemplo:
A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario
para tres proyectos distintos de equipo de generación de
electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando
el periodo de composición.
a) 9% anual, compuesto trimestralmente.
b) 9% anual, compuesto mensualmente.
e) 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.

102. Ejemplo:
Solución:
Aplique la ecuación rm para calcular la tasa efectiva por PC para
diferentes frecuencias de composición. La gráfica adjunta indica la
distribución de la tasa de interés en el tiempo.

103. Tasas De Interés Efectivas Anuales
Las literales utilizadas para representar las tasas de interés
nominal y efectiva son las siguientes:
r=tasa de interes nominal anual
m=número de periodos de capitalizacion o composicion por año
r=tasa de interes efectiva por periodo de composicion (PC)=r/m
ia= tasa de interes efectiva anual

104. Tasas De Interés Efectivas Anuales

105. EJEMPLO 1:
Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una
tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo
de $1 000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al
banco MBNA después de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa
ningún pago durante el año.
Solución:
Hay 12 periodos de composición por año. m = 12 e i = 18%/12 = 1.5% mensual. Si el
saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación [4.5] y enseguida
la ecuación [4.3] para obtener la información necesaria para Jacki.
i_a=(1+0.015)^12-1=1.19562-1=0.19562
F=$ 1,000(1.19562)=$ 1,195.62
Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del
dinero del banco durante el año.

106. Tasas De Interés Efectivas Para Cualquier Periodo
Es necesario considerar la frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el
periodo de transacción de flujo de efectivo. Por sencillez, éste recibe el
nombre de periodo de pago (PP).
La fórmula de la tasa de interés anual efectiva se generaliza fácilmente
para cualquier tasa nominal, sustituyendo la tasa de interés del periodo por
r/m en la ecuación quedando como:
i efectivo= (1+r/m)^m -1
Donde:
r = tasa de interés nominal por periodo de pago (PP)
m = número de periodos de composición por periodo de pago (pe por PP)

107. EJEMPLO:
Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de
capital riesgoso, que actualmente reembolsa 18% anual con un periodo de
composición diario. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva
a) anual y b) semestral?
Solución:
a)Aplique la ecuación i efectivo=(1+r/m)^m-1 con r = 0.18 y m = 365.
i efectivo anual=(1+(0.18)/365)^365-1= 19.716%
b)En este caso, r = 0.09 cada 6 meses y m = 182 días.
i efectivo cada 6 meses=(1+(0.09)/182)^182-1= 9.415%