Matemática para bachillerato

1. CAPÍTULO 1
EL BINOMIO DE NEWTON
a  b  a  b a  b  a  ab  b a 
b
a  b  a  b a  b  a  a b  ab  b a 
b
a ab ab ab b
1
Contenido del capítulo:
 El triángulo de Pascal.
 Números combinatorios.
 El binomio de Newton.
Resultados del Aprendizaje:
1. Calcula potencias de binomios.
2. Determina un término cualquiera del desarrollo de un binomio
EL BINOMIO DE NEWTON
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un
binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula
para desarrollar la expresión:
a  bn , n.
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas
cualesquiera.
Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: 2 3 , n x  2 3  , n xz  y
3 5  , n a  b etc.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a  b :
 0 a  b 1
 1 a  b  a  b
a  b2  a  ba  b  a2  ab  b2 (cuadrado de la suma)
 3  2    2 2  
3 3 2 3 2 3
a ab ab b
   
(cubo de la suma)
 4  3    3 3 2 3
2 3  
4 3 22 3 4
4 6 4 .
    

2. Utilizando el último resultado, si a  2x y b  3, se sigue que:
 2 x  3 4   2 x 4  4  2 x 3  3  6  2 x 2  3 2  4  2 x
  3 3 
3
4
4 3 2
x x x x
16 96 216 216 81.
    
Se observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Se observa además que las potencias del primer sumando del binomio, es decir a, comienzan por n
y en cada sumandovan disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias
del segundo sumandodel binomio, es decir b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno
hasta llegar a n.
La estructura en el triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de
Tartaglia.
Observe que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”. A partir de
latercera fila, el método de construcción es el siguiente:
 Primer número: 1.
 Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.
 Último número: 1.
Observe también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen
formanuna fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el
tercero igualal antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar  5 a  b :
 La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1
 Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia:
a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 ab4 a0b5 o también a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5
2
Por tanto:
a  b5  a5  5a4b 10a3b2 10a2b3  5ab4  b5.
La construcción del triángulo anterior no es así por capricho, o por casualidad, sino que es
consecuenciade la definición de número combinatorio.
Para definir un número combinatorio es preciso saber con anterioridad lo que es el factorial de un
número, n!, que se define de la siguiente forma:
0!1; que se lee “cero factorial”;
n! nn 1n  2321; que se lee “ n factorial”:
Por ejemplo:
 1!1

3.  3! 321 6
 4! 4321 24
 6! 654321 720
 12!121110987654321 479001600.
Este último factorial se ha realizado con una calculadora (¡busque la tecla que hace esta operación!).
 
  
 
Un número combinatorio es un número natural de la forma , donde
n n
m m n m
 
     
 
 
 
   
   
   
     
     
     
       
       
       
3
n
n m
m
y se lee “ n sobre
m”. Para obtenerlo se aplica la siguiente fórmula:
! .
 
! !
Veamos algunos ejemplos:
0 0! 1.
0 0! 0 0 !
 
        
 
1 1! 1.
0 0! 1 0 !
1 1! 1.
1 1! 1 1 !
 
        
 
      
2 2! 1.
0 0! 2 0 !
 
        
 
2 2! 2.
1 1! 2 1 !
2 2! 1.
2 2! 2 2 !
 
        
 
      
3 3! 1.
0 0! 3 0 !
 
        
 
3 3! 3.
1 1! 3 1 !
3 3! 3.
2 2! 3 2 !
 
        
 
      
3 3! 1.
3 3! 3 3 !
 
        
 
4 4! 1.
0 0! 4 0 !
4 4! 4.
1 1! 4 1 !
 
        
 
      
4 4! 6.
2 2! 4 2 !
 
        
 
4 4! 4.
3 3! 4 3 !
4 4! 1.
4 4! 4 4 !
 
        
 
      
5 5! 10.
3 3! 5 3 !
 
        
 
8 8! 56.
5 5! 8 5 !
 
      
Teniendo en cuenta la definición de número combinatorio y, si con los ejemplos anteriores has
entendido cómo se utiliza la fórmula, será fácil comprender que el Triángulo de Pascal o Triángulo
de Tartaglia es, de hecho, el siguiente:
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
         
         
         

4. El hecho de que las dos primeras filas sean siempre “unos”, así como la razón por la que el primer y
el último número de las demás son también “unos”, se debe a las dos siguientes propiedades:
n n n n n
 
           
! ! ! !1
n n n n
n n n n n
n n n n n n n
 
           
! ! ! ! 1.
n n n n n
m m n m n m m n m n n m n m
   
                   
! ! ! .
n n n n n n
n m n m n n m n m n n m n m m m n m m
   !  ! ! !  
       .
                
Veamos unos ejemplos (puedes comprobarlos utilizando la definición de número combinatorio):
n  n   n   n   n   n   n

n n  n  n  n  n a b a a b a b a b ab b
           
                      
4
 
0 0! 0 ! 0! ! 1 ! !
 
! ! !0! !1 !
Además, que los números que aparecen en una misma fila formen una fila simétrica, o sea, el
primero igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al antepenúltimo, etc; es
debido a la siguiente propiedad:
.
n n
m n m
   
         
La demostración es sencilla:
       
! ! ! ! ! !
           
! ! ! ! ! !
5 5! 5 5 5! 5 8 8! 8 10 ; 5 ; 56 .
2 2!3! 3 1 1!4! 4 3 3!5! 5
           
                    
           
Teniendo en cuenta todo lo anterior es fácil generalizar el desarrollo de la potencia de un binomio a
un exponente natural cualquiera, conocida como fórmula de Newton:
  1 22 2 2 1 .
n n n
0 1 2 2 1
Esta fórmula tiene n 1 términos y, en cada uno de ellos, las potencias de a y b suman n :
 Primer término o término que ocupar el lugar 1:
n n
a
 
  0


n n
a  b  
 
 
 Segundo término o término que ocupa el lugar 2: 1
1
n n
a  b  
 
 
 Tercer término o término que ocupar el lugar 3: 2 2
2
n n
  
    
 n 1 -ésimo término o término que ocupa el lugar n 1: 2 2
2
a b
n

5. n n
  
    
 n  ésimo término o término que ocupa el lugar n : 1
    
     
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
         
a b a b a b a b ab a b
               
         
    
a ab ab ab b
x  2 x  x  4 x 2 x  6 x 2 x  4 x 2 x 
2
x
x x x x x
a b a a b a b a b a b b
5 10 10 5
5 10 10 5 .
           
T x x x x x     
      
 
5
1
ab
n
 n 1-esimo término o término que ocupa el lugar n 1: n n
 
 
 
b
n
Observe que el número de abajo del número combinatorio de cada término (o el número al que está
elevado b, es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término. Dicho de otra manera, si en el
desarrollo del binomio  23 a  b , quisiéramos saber exactamente el término que ocupa el lugar 17,
desarrollaríamos la expresión 7 16 23
.
16
a b
 
 
 
Generalizando esta idea podemos obtener el término que ocupa el lugar k del desarrollo de
  , , n
k a  b T mediante la fórmula:
  1 1.
1
n k k
k
n
T a b
k
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Desarrollar  x2  2x 4 .
Solución
Tomemos como modelo el desarrollo de  4 a  b , y sustituyamos a por x2 y b por 2x :
 4 4 0 3 2 2 3 0 4
4 3 22 3 4
4 6 4 .
Luego:
                 2 4 2 4 2 3 2 2 2 2 3 4
8 7 6 5 4
8 24 32 16 .
    
2. ¿Cuál es el desarrollo de  5 a  b ?
Solución
Basta observar que a  b puede escribirse de la forma a  (b); por lo tanto,
 5 5 4   3  2 2  3  4  5
5 4 32 23 4 5
a ab ab ab ab b
     
Todos los términos en los que el exponente de b es impar son negativos, y son positivos los
términos en los que dicho exponente es par.
Del desarrollo de  x2  3x 6 sólo nos interesa el término quinto. ¿Cuál es?
Solución
     2 6 5 1 5 1 4 4 8
5
6
3 15 81 1215 .
4

6. 3. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de
k k
 
                           
7 1 7 1 1 3 3 .
1 1
             
                           
      x    x    x  y       x   x x x   xy
           xy

6
7
3x2 1 .
     x


Solución
Supongamos que el término buscado es , k T es decir, que ocupa el lugar k :
     
8 28 
1
2 7 1 2 8
7
3
1 1
k
k k
k k k
x
k
T x x
k x k x x
 

  
 
El grado del término es el exponente definitivo de x, que sería la diferencia entre los dos
exponentes 28  k  y k 1, puesto que para dividir dos potencias de x basta restar los
exponentes del numerador y del denominador. Por consiguiente:
28  k   k 1  816  2k  k 1  83k  9k  3.
4. Es decir, el término de grado 8 es el tercero:   2
         
   
2 5 8
3
7 1 3 5103 .
2
T x x
x
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Desarrolla las potencias siguientes:
         x  y 7 ; x  y 7 ; 2x  3y 4 ; 3x  2y 5 ; 2x3  3x 3 ;  5 3x  2y ;  8 x  3 ;
        3x  4 6 ; x2  5x 5 ; 3x  2y 7 ; 2x2  3y 5 .
  6  5 5 4 2. Desarrollar:3 1 , 2 3  ,  2 3  ,  2 3 2  , 3 1 5 4
; 2
1 2 2
   
6 4 5 6 2 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 .
2 3 3 3
3. Desarrollar:
5 4 5 6 4 1 ; 3 ; 3 ; 1 ; 1 ;
2
5
1 1 ;
x x
     3


7 1 x ;
x
    
 
5 5 4
2x 1 ; x 1 ; x 1 .
        x 3
     x        x

4. Escribe directamente el cuarto término del desarrollo de  9 x  y y el quinto del desarrollo de
 8 2x  y .
5. Escribe el término sexto del desarrollo de la potencia siguiente, y averigua su grado:
 3x  x3 9 .
6. Escribe y simplifica el tercer término del desarrollo de
7
x3 2 .
     x



7. 7. Escribe y simplifica el término central del desarrollo de
    
 
    
 
    
 
7
2 4
 
  
 
1 .
3
x
9
x
8. ¿Cuál es el grado del término central del desarrollo de  3x2  5x4 12 ?
9. El tercer término del desarrollo de
5
x2 3
x
coincide con el cuarto del desarrollo de
5
x3 1 .
     x


Calcula x.
10. Averigua qué valor debe darse a x para que el tercer término del desarrollo de
5 3 x
x
    
 
sea
igual a 90.
11. El tercer término del desarrollo de 2 3 n
x
x
es de segundo grado. Calcula n y desarrolla la
potencia del binomio.
12. El segundo término del desarrollo de 2 1 n
x
x
es de grado 11. Escribe los términos restantes.
13. Averigua si hay algún término del desarrollo de
6
2x2 5
     x


que sea de grado 3. Si lo hay,
escríbelo.
14. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 13 en el desarrollo de la potencia  3x  x2 8 .
15. Escribe la fórmula de Newton, y sustituye a y b por 1. ¿Qué resultado obtienes? ¿Qué
significadopuedes dar a ese resultado?
16. Calcular 115 por medio de la fórmula de Newton y comprueba el resultado con la calculadora.
17. Teniendo en cuenta que el trinomio a b  c puede escribirse como un binomio: a  b  c,
desarrolla las potencias           a  b  c 2 ; 2  x  x2 2 ; a  b  c 2 ; a b  c 2 ; a  b  c 3 .
18. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 2 en el desarrollo de
7
3x2 1
     x


y escríbelo.

8. 19. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de
       
                    
     
x y x y
x y
8
6
x 2 .
   3
 
 x
2

20. Calcular:
6 6 6 7 8 12 10 18 100 25 9
, , , , , , , , , , .
3 4 5 5 4 8 3 14 2 20 3
                     
                     
                     
21. Resuelve las ecuaciones
8 8
x x
x
21; 9; .
x
2 2 2 6
22. Utiliza las fórmulas para justificar la siguiente igualdad:
9 6 9! .
3 2 3! 2! 4!
   
         
23. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a.  3  3 x  2  x  y  98
b. 3 x  6  x.
24. Resuelve el sistema de ecuaciones:
   
 
2 2
3
8
27
  

9. CAPÍTULO 2
EL PRINCIPIO DE
9
INDUCCIÓN
Contenido del capítulo:
 El principio de inducción.
 Definiciones por recurrencia.
 Ejercicios de aplicación.
Resultados del Aprendizaje:
1. Aplica una definición por recurrencia.
2. Demuestra propiedades relativas a números naturales usando el principio de inducción.
Giuseppe Peano (1858 - 1932), analista y lógico
italiano, da la formulación actual del razonamiento
por inducción o recurrencia al realizar la
construcción axiomática del conjunto de los
números naturales . Dicho razonamiento utiliza
su quinto axioma, llamado también principio de
recurrencia: “Si un conjunto de números naturales
contiene 0 y contiene el sucesor de cada uno de
sus elementos, entonces ese conjunto es igual a 
”.

10. n n
10
Prepárese para comenzar
1. En cada caso, decir si la afirmación es verdadera o falsa. Justificar la respuesta.
a. Para todo número natural n, 2 2n  4n.
b. Para todo número natural
1 , 4 3 2 3 .
3 2 2
n
         
   
2. En cada caso, decir si la propiedad es verdadera o no cuando n  0, n 1 y luego n  2.
a. n2 5n 1 0.
b. 5n  4n 3 es un múltiplo de 3.
c. 5 1 .
n     n  
 
4 4
3. u es una sucesión numérica y L designa un número real.
u L
a. Escribir la definición de lim n 
n
 (es decir que la sucesión u converge hacia L ).
u
b. Demostrar que si lim 1 n 
n
 entonces, a partir de un cierto rango, todos los términos de
la sucesión u son estrictamente superiores a 1 .
2
4. v es la sucesión definida por 0 v  2 y para todo número natural  2 2
1 , 1 . n n n v n v    
a. Justificar que para todo 1, 2. n n  v  n
b. Deducir el límite de la sucesión v.
5. En cada caso, decir si la sucesión es o no geométrica. Justificar la respuesta.
a. Para todo número natural , 2n 2n 1.
n n u   
b. 0 v  1 y para todo número natural 1 , 2 5. n n n v v   
6. En período de crecimiento, una planta de bambú duplica su altura todos los días. Si la planta
mide 10cm, ¿cuántos días serán necesarios para pasar los 5m de altura?
7. u es la sucesión geométrica de razón 5 tal que 0 u  2.
a. Expresar en función de n, la suma 1 5 52  5n.
b. Deducir la expresión en función de n de 0 1 2 . n n S  u  u  u  u
8. v es la sucesión geométrica de razón 1
3
tal que 1 v  8. Expresar en función de n, la suma
1 2 . n v  v  v
Razonamiento por inducción o recurrencia
Sea P(n) una propiedad dependiente de un entero n. Sea 0 n .
Definición. Se dice que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 0 n cuando, si para un
entero 0 n  n , P(n) es verdadera, entonces P(n 1) es verdadera.
La propiedad hereditaria se transmite del número natural n a su sucesor n 1.

11. Observación. Un axioma es una propiedad admitida, que sirve de base en la construcción de una
teoría. Aquí, este axioma está ligado a la definición del conjunto de los números naturales .
Axioma. P(n) es una propiedad que depende de un número natural n y 0 n designa un número
natural.
Si la propiedad P(n) verifica las dos condiciones siguientes:
1. Inicialización: 0 P(n ) es verdadera;
2. P es hereditaria: Si P(k) es verdadera para un número natural 0 k  n , entonces P(k 1)
11
es verdadera;
entonces, para todo número natural 0n  n , P(n) es verdadera.
Observaciones.
 La propiedad P(n) puede ser una igualdad, una desigualdad, una propiedad expresada
mediante una frase, etc.
 La condición hereditaria es una implicación: Se supone que P(k) es verdadera para un
número natural k superior o igual a 0 n (es lahipótesis de inducción o recurrencia) y se
muestra que entonces Pk 1 también es verdadera.
 La fase de inicialización es a menudo simple de verificar, pero ella es indispensable. En
efecto, una propiedad hereditaria puede ser falsa. Por ejemplo: la proposición “ 2n es un
múltiplo de 3 ” es hereditaria, puesto que si 2n  3 k, con k , entonces
2n1  2n  2  3k  2  32k , es también un múltiplo de 3. Por tanto, para todo número
natural n, esta proposición es falsa.
Ilustración: Imagen de la escalera o de las piezas del dominó
 Se puede ilustrar el principio de inducción o recurrencia con ayuda de la imagen de una
escalera que tiene infinitos escalones (No se dice que tiene un gran número de escalones).
Si se puede:

12. o acceder al primer escalón de la escalera (inicialización),
o subir a un escalón k 1 a partir del escalón precedente k,
entonces se puede acceder a todo escalón arriba del primero.
También podemos utilizar la siguiente analogía: Disponemos de una larguísima fila de
fichas de dominó colocadas de modo que, si se cae una, tirará a la siguiente. Es claro que si
empujamos a la primera, acabarán cayendo todas.
12

13. El razonamiento por recurrencia es a menudo utilizado para demostrar una propiedad sobre
los números enteros cuando una demostración “directa” es difícil, por ejemplo para establecer
igualdades, o también para estudiar sucesiones definidas por recurrencia.
Observando como el argumento que está a la base del principio de inducción puede ser aplicado no
solo para demostrar propiedades, sino también para dar definiciones. Se considera por ejemplo la
definición de potencia con exponente natural de una base a. Tal definición se puede enunciar
del modo siguiente: a0  1 an1  a  an , para todo n.
EJEMPLO: Definición de factorial de un número natural. Se define 0!1 y, para todo
n, n 1!n 1 n!.
De acuerdo a la definición se sigue que: 1!10!1; 2! 21!; 3! 32! 6; 4! 43! 24;
y así sucesivamente.
Realizar un razonamiento por inducción
Ejercicios resueltos
Enunciado. Demostrar por inducción que para todo número natural n  3, 2n  2n.
Solución
Primera etapa (Inicialización): para n  3 se tiene 23  8 y 23  6 , por tanto 23  23.
Segunda etapa (Propiedad hereditaria): Se considera un número natural k  3 para el cual
2k  2k (hipótesis de inducción) y se muestra que también 2k 1  2k 1.
En efecto, de 2k  2k se deduce que 22k  22k, es decir, 2k1  4k. Comparemos ahora
4k y 2k 1. Como 4k  2k 1  2k  2, para k  3, 2k  2  0, luego 2k 1  4k  2k 1.
Conclusión: Para todo número natural n  3, 2n  2n.
EJEMPLO 1. Enunciado. Se considera un número real a positivo. Demostrar por inducción o
recurrencia que, para todo entero natural : 1  1 . n n  a   na
Solución
Para todo número natural n, se llama P(n) la propiedad: “ 1  1 n  a   na ”. Se quiere demostrar
por inducción que, para todo número natural n, P(n) es verdadera.
Inicialización
13

14. Para n  0, se tiene:  0 1 a 1 y 1 0 a 1. Por tanto  0 1 a 1 0 a. La propiedad es
verdadera para n  0.
Propiedad hereditaria
Se supone que para un entero n  0, P(n) es verdadera: es la hipótesis de inducción o
recurrencia. Se busca probar que entonces, Pn 1 es verdadera.
14
P(n 1) se escribe:   1   1 1 1. n a n a     
Como   1     1 1 1 n n a a a       y de acuerdo a la hipótesis de inducción: 1  1 , n  a   na
multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por 1 a, que es estrictamente positivo, se
obtiene:
1  1  1  1 ; n  a   a   a   na
es decir, 1  1 1 2 , na naana       o también 1  1 1  1 2. n a n a na       Como na2  0,
entonces 1 n 1a  na2  1 n 1a. Se sigue entonces que
1  1 1  1 2 1  1 , n a n a na n a         
es decir que Pn 1 es verdadera.
Se ha probado entonces que la propiedad P(n) es hereditaria a partir del rango 0.
Conclusión
La propiedad P(0) es verdadera, y la propiedad P(n) es hereditaria a partir del rango 0. Por tanto,
por inducción, se ha probado que P(n) es verdadera para todo número natural n  0. Así: para todo
número natural : 1  1 . n n  a   na
Observación. Cuando se escribe la hipótesis de inducción, es necesario considerar P(n) verdadera
para un número natural n, y no para todo natural n.De lo contrario, se admite la propiedad que se
quiere demostrar.
Se recomienda escribir Pn 1 y tratar de hacer aparecer la propiedad P(n) supuesta verdadera,
para utilizar la hipótesis de inducción.
EJEMPLO 2. Enunciado
Sea   n u la sucesión definida por: 0 u  2 y para todo n de 1 , 3 2. n n u u    
a) Calcular 1 2 3 u , u y u .

15. b) Establecer una conjetura para n u y probarla por inducción.
n u   para todo número natural n.
   
         
n n
A
 
 
 
15
Solución
a) u1  3u0  2  4, u2=3u1  2 10 y u3  3u2  2  28. Se constata que 1
1 u  3 1,
u =3 2
1 10 y u  3 3
1.
23 En los tres casos se tiene: 3n 1;
n u   sin embargo ello no es suficiente para estar seguros
que 3n 1
b) Para demostrar que la igualdad 3n 1
n u   es verdadera para todo número natural n, vamos
a hacerlo por inducción o recurrencia.
Inicialización: Para n  0, de una parte, 0 2, n u  u  y de otra parte, 3n 1 30 111 2.
La propiedad 3n 1
n u   es entonces verdadera para n  0.
Hipótesis de inducción: Supongamos que para un número natural k  0, la propiedad sea
verdadera, es decir que se tiene: 3k 1
k u   (hipótesis de inducción).
Mostremos que la propiedad es verdadera para el número natural siguiente k 1, es decir
que 1
1 3k 1.
k u 
   En efecto, se tiene de acuerdo a la definición de la sucesión que
1 3 2 k k u u    y por la hipótesis de inducción 3k 1,
k u   con lo cual se sigue que
  1
1 3 2 3 3k 1 2 3k 1.
k k u u 
        La propiedad es entonces hereditaria.
Conclusión: Como la propiedad es verdadera para n  0 (inicialización) y supuesto que
P(k) es verdadera, P(k 1) también es verdadera, entonces por el principio de inducción,
podemos concluir que la propiedad es verdadera para todo número natural n. Se tiene
entonces: Para todo , 3n 1.
n n u  
EJEMPLO 3. Enunciado.Determinar una potencia de una matriz
Sea
1 2
0 1
A
 
 
 
y n un número natural no nulo.
c) Calcular A2 , A3 y A4.
d) Conjeturar una expresión de An en función de n. Demostrar dicha conjetura por inducción.
Solución
a) 2 3 2 1 4 1 6
A A A ,
A A A
0 1 0 1
   
y 4 3 1 8
.
0 1
A A A
 
   
 
b) Parece que An es de la forma
1 2
.
0 1
Demostremos por inducción que para todo
1 2
n
n 1, .
0 1
n A
 
  
 

16. Primera etapa (inicialización): Para n 1,
1 1 2 1 2 1 1 2
y .
0 1 0 1 0 1
k k k k k
A  A A         
           
n n
16
A A
      
        
     
Segunda etapa (Propiedad Hereditaria): Se considera un número natural k 1 para el
cual
k k
A
1 2
0 1
 
 
 
y se muestra que entonces   1 1 2 1
.
k k
A    
 
 0 1

En efecto,
  1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
.
0 1 0 1 0 1 0 1
      
Conclusión: Para todo
1 2
1, .
0 1
n A
 
  
 
Ejercicios de aplicación
1. Mostrar que las dos proposiciones: “10n 1 es un múltiplo de 3” y “10n 1 es un múltiplo
de 9” son hereditarias. ¿Son verdaderas para todo número natural n ?
2. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 23n 1 es un múltiplo de 7.
3. Demostrar que, para todo número natural n, se tiene 2n  4n.
4. Demostrar que, para todo número natural n, se tiene 2n  n2.
5. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 4n 1 es un múltiplo de 3.
6. Se considera la sucesión u definida por 0 u 1 y para todo número natural
1 , 2 3. n n n u u n     Demostrar que para todo  2 , 1 . n n u  n 
7. Demostrar que el número de cuerdas que unen n puntos distintos de un círculo ( n  2 ) es
igual a   1
.
n n
2
8. ¿Verdadero o falso?
Se considera la sucesión u definida en  por su primer término 0 u y para todo número
natural 1 : 3 1. n n n u u   
a. La proposición “ n n 1 u u  ” es hereditaria.
b. La proposición “ n n 1 u u  ” es hereditaria.
c. Si 0 u 1, entonces la sucesión u es creciente.
d. Si 0 u  2, entonces la sucesión u es decreciente.
e. Si 0 u  0,5, entonces la sucesión u es estacionaria.
9. Análisis crítico de un resultado

17. Sea P(n) la propiedad definida en  por: “ 4n 1 es divisible por 3 ”. Supongamos que
existe 0 n   tal que 0 P(n ) es verdadera. Mostremos que Pn 1 es verdadera. Puesto
que 0 P(n ) es verdadera, existe k  tal que 4n0 1 3k. Se tiene entonces:
 
 
n n n n n
            
4 0 1 1 4 4 0 1 3 1 4 0 1 3 4 0 4 0
1
n k n k
3 4 3 3 4 .
  0    0

Lo que prueba que 4n0 1 1 es múltiplo de 3 y por lo tanto que 0 P(n 1) es verdadera.
Se deduce entonces que cualquiera que sea n, P(n) es verdadera. ¿Este razonamiento
es correcto? ¿Por qué?
   
17
10. Indicar la (o las) buena(s) respuesta(s).
a. Para todo natural n, se considera la proposición P(n) : “ 6n 1 es un múltiplo de 5. ”
i. La proposición P es hereditaria.
ii. La proposición P es verdadera en .
iii. Existe un número natural n tal que P(n) es falsa.
b. Para todo natural n, se considera la proposición Q(n) : “ 6n 1 es un múltiplo de 5. ”
i. La proposición Q es hereditaria.
ii. La proposición Q es verdadera en .
iii. Existe un número natural n tal que Q(n) es falsa.
11. Mostrar por inducción que: Para todo número natural n  2, se tiene la desigualdad
1! 2! 3! n 1! n!
12. Para todo número natural n, se considera la proposición: P(n) : ”  2 2n  n 1 ”.
a. Mostrar que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 2.
b. ¿Para qué valores de n, esta propiedad es verdadera?
13. Para todo número natural n 1:
   
n  n

  
1 1 1 
3 
.
1  2  3 2  3  4 n  n  1  n  2 4 n  1 n

2
14. Se considera la sucesión v definida en  por: 0 v  0 y para todo número natural
1 , 2 1. n n n v v n     Calcular los cinco primeros términos de la sucesión v, luego hacer una
conjetura acerca de la expresión de n v en función de n. Demostrar por inducción la
conjetura establecida en la parte anterior.
15. Demostrar por inducción que la sucesión u definida en  por 0
7
11
u  y para todo
1 , 100 63 n n n u u    es estacionaria (es decir constante)
16. Demostrar por inducción que, para todo natural n no nulo, se tiene: n! 2n1.
Recuerde que: El factorial de un número natural n  0, notado n!, es el producto de los
números naturales estrictamente positivos comprendidos entre 1 y n :

18. n! nn 1 21. La notación n! fue introducida en 1808 por el matemático francés
Christian Kramp (1760 - 1826).
17. Para todo natural n, se nota n f la función definida en  por ( ) n .
18
n f x  x Demostrar que para
todo natural n, la función n f es derivable en  y para todo real , ' ( ) n 1.
n x f x  nx 
18. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 4n  4n 1.
19. u es la sucesión definida por 0 u  3 y para todo número natural 1
n u u
: 5 3.
3
n
n
n
u 



a. Calcular 1 2 u y u . Emitir una conjetura.
b. Demostrar esta conjetura por inducción.
20. En la siguiente figura se tiene 0 0 1 1 2 OA 1, A A  A A  2; los triángulos
0 1 1 2 OA A , OA A , son triángulos rectángulos.
Demostrar por inducción que para todo número natural , 4 1. n n OA  n 
21. Sea
1 0
0 2
A
 
 
 
y n un número natural no nulo.
a. Calcular A2 , A3 y A4.
b. Conjeturar una expresión de An en función de n. Demostrar dicha conjetura por
inducción.
22. Establecer una conjetura. Sea n un número natural no nulo. En un círculo, se coloca n
puntos y se unen todos esos puntos mediante segmentos de recta. Se busca conocer, de una
parte el número n C de cuerdas trazadas y de otra parte el número máximo n S de regiones
así creadas en el disco.
Con ayuda de las figuras del gráfico de arriba, dar y n n C S para 1 n  4. Hacer un gráfico
para n  5 y determinar 5 5 C y S . ¿Qué valores de 6 6 C y S se puede pensar obtener?
Verifique su conjetura con ayuda de una figura.

19. 23. Diagonales de un polígono. Para n un número natural, con n  4, se nota n d el número de
diagonales de un polígono convexo de n lados.
a. Determinar gráficamente 4 5 6 7 d , d , d y d .
b. Como ejemplo, trazar un pentágono ABCDE y luego agregar un punto F exterior al
pentágono. ¿Cuáles son las diagonales de ABCDEF que no son diagonales de ABCDE ?
Deducir una relación entre 5 6 d y d .
c. Establecer una relación entre 1 y . n n d d
d. Mostrar por inducción que un polígono a n lados admite
    
k k r
        
19
 3
2
n n
diagonales.
Nota. Un polígono se dice convexo cuando todo segmento con extremos en el interior del
polígono está totalmente situado en el interior del polígono.
24. Mostrar que las dos proposiciones: “10n 1 es un múltiplo de 3” y “10n 1 es un múltiplo
de 9” son hereditarias. ¿Son válidas para todo natural n?
25. Demostrar que para todo n  1, vale la siguiente fórmula:
 
1
! 1!1.
n
k
k k n

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Probar que 7n 1 es divisible por 6 para todo entero positivo n.
Solución
Paso 1. Inicialización. Cuando n 1, 7n 1  71 1  6. Como 6 es divisible por 6, la
afirmación es verdadera para n 1.
Paso 2. Hipótesis de inducción. Asumimos que 7k 1 es divisible por 6 para algún entero
positivo k. Esto significa que existe un número entero r tal que 7k 1 6r.
Paso 3. Mostremos que la afirmación es verdadera para n  k 1.
Se tiene 7k1 1 77k 1. De la hipótesis de inducción 7k 1 6r se tiene
7k 1 6r. Reemplazando este valor en 7k 1 1 77k 1, se sigue que
 
 
7 1 1 7 7 1 7 1 6 1
r
r r
7 7 6 1
6 7 6 6 1 7
   
    
Como r, entonces 1 7r, por lo tanto 7k1 1 es divisible por 6. En consecuencia, la
afirmación es verdadera para n  k 1.
Esto prueba que 7n 1 es divisible por 6 para todo entero positivo n.
2. Sea x un número real distinto de 1. Para todo número natural n,
1
 
1 2 3 1.
1
n
x x x xn x
x
     


Probaremos por inducción (es decir, utilizando el principio de inducción) este resultado
Sea P(n) la condición

20.        
    
k  k k 
k
 
x  1 xk 1 x  1
 x 
x
x  1 x

1
 
P n n n
    
  
  
 
P k k k
    
20
1
 
1 2 3 1.
1
n
x x x xn x
x
     


Verifiquemos que se satisfacen (i) y (ii):
P(0) es verdadera pues el primer miembro de P(n) para n  0 es 1 y el segundo 1 1.
1
x
x



Supongamos ahora que
1
 
( ) : 1 2 3 1,
1
k
P k x x x xk x
x
     


es verdadera, y demostremos que
2

( 1) : 1 2 3  1 
1,
1
k
P k x x x xk xk x
x

es verdadera. Para esto sumemos xk1 a los dos miembros de P(k) :
1
1 2 3 1 1 1.
1
k
x x x xk xk x xk
x


 
  

El primer miembro de esta igualdad es el primer miembro de P(k 1) y el segundo
miembro
1 1 2 1
2
1,
1
k
x
x





 
coincide también con el segundo miembro de P(k 1), luego se cumple P(k 1).
El principio de inducción garantiza que P(n) es verdadera para todo natural n.
3. Para todo entero n  1,
n  n 1  2 n
1
 1 2 2 2 3 2 2 .
6
n
 
   
Sea P(n) la condición dada, es decir,
n  n 1  2 n
1
 2 2 2 2 ( ): 1 2 3 , 1.
6
P(1) es verdadera, pues:
   2 1 1 1 2 1 1
1 11.
6
Supuesto que se cumple
k  k 1  2 k
1
 2 2 2 2 ( ): 1 2 3 , con 1,
6
Demostremos
2 2 2 2       2 k 1 k 2 2 k
3
( 1):1 2 3 1 .
6
P k k k
  
      
Sumando  2 k 1 a los dos miembros de P(k) se obtiene

21.   2 k k 1  2 k
1
 2 2 2 2 k  k
2 1 2 3 1 1.
k k k k k
    
1 2 1 2 1
k k
6 6
k  1  1 k  1 k 
1
k
10  3  10  5  10  10  3  10  10 
5
k 
1
k
10 10 3 10 5
10 10 3 10 5 5 5
10 10 3 10 5 50 5
10 9 45 (Por la hipótesis de inducción)
10 9 9 5
9 10 5 , donde 10 5 pues
   
 k 
1
  k
  
 k 
1
  k
  
  p

  p
 
 p  p   p

21
6
k
 
       
El segundo miembro
      1     1

     
 
   
2
k k k
2 1 6 1
2
1
6
1
2 7 6
6
1
1
2 2 3,
6
k
k
k k
k k k
k
     
 
    
   
 

    
  

 
coincide con el segundo miembro de P(k 1) y esto muestra que se cumple P(k 1).
Por el principio de inducción se concluye que P(n) es verdadera para todo entero n  1.
4. Use el principio de inducción para probar que 10n1 310n 5 es divisible por 9 para todo
n.
Prueba:
Para n 1, 102 310 5 135 159 que es divisible por 9. En consecuencia P(1) es
verdadera.
Si P(k) es verdadera, entonces 10k1  310k  5  9 p, donde p. Luego:
 
 
 
 
 
En consecuencia 10k11  310k1  5 es divisible por 9.
Por lo tanto P(k 1) es verdadera siempre que P(k) es verdadera y como P(1) es verdadera
entonces P(n) es verdadera para todo n.
5. Use el principio de inducción para probar que 5n  8n2  4n 1 para todo n.
Prueba:
Para n 1, se tiene 51  812  411, es decir 5  5 que es verdadero. En consecuencia P(1)
es verdadera.
Si P(k) es verdadera, entonces 5k  8k2  4k 1. Es decir, 5k 8k2  4k 1 0.
Ahora:

22.      
             
k k k k k
5 8 1 4 1 1 5 5 8 2 1 4 4 1
5 5 8 16 8 4 4 1
4 1 5 8 16 8 4 4 1
5 8 4 1 4 5 16 4, donde
5 8 4 1 0 (Por la hipótesis de inducción)
       
        
       
 
 
   k  k  para algún entero positivo k.
1 5 25 5 5 1 5 1 5
k k k k
1 1 1 1 1
    
       
22
1 2 2
2
2
2
2
k k
k
k
k k
k
k k k
k k k
k k k
k k
   
y 45k 16k  4  48k 2  4k 116k  4 (Por la hipótesis de inducción.) Es decir,
45k 16k  4  32k2 32k o también 45k 16k  4  32k k 1  0 pues k 1.
Luego 5k 1 8k 12  4k 1 1 0 pues es la suma de dos enteros no negativos, y por tanto
5k 1  8k 12  4k 1 1.
Por lo tanto P(k 1) es verdadera siempre que P(k) es verdadera y P(1) es verdadera.
En consecuencia P(n) es verdadera para todo n.
6. Probar que 1  5  25  5 n 1  1 5 n 
1.
4
Solución:
Paso 1. Cuando n  1, el lado izquierdo de la ecuación es 1. El lado derecho es 1 51 1
4
 que
es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para n  1.
Paso 2. Asumamos que 1 5 25 5 1 1 5 1,
4
Paso 3. Mostremos que la ecuación dada es verdadera para n  k 1.
     
4
1  5 1 
5
4
5 1 4 5
k k
  
k k
  
4
5 5 1
4
15  1
1.

4
k
k


 

 

Por lo tanto la afirmación es verdadera para n  k 1.
Contraejemplo
7. Encontrar un contraejemplo para 14  24  34  44  n4  1 4n  42 .
Solución: El valor n  3 es un contraejemplo.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar un contraejemplo para la afirmación 2n2 11 es primo para todo entero positivo n.

23. 2. Pruebe que cada afirmación es verdadera para todos los enteros positivos.
1 1 1 1 1 1 1 1 .
4 4 4 4 4n 3 4n
a  a  d  a  d  a  d   a  n  d   n  a  n  d      
               n
       
 1 1 1 1 1 1 2 .
1, 1 1 1 1 2 1 .
     
23
1 1 1 1 1 1 1 .
2 2 2 2 2n 2n      
a. 2 3 4
b. 4n 1 es divisible por 3.
c. 5n  3 es divisible por 4.
d. 1 5  9  4n  3  n2n 1
e. 2 5 8   n  3 n
1
 3 1
2
n

    
f. 8n 1 es divisible por 7.
g. 9n 1 es divisible por 8.
h. 2 3 4
1  1  1  1   1  1  1  1  .
3 3 3 3 3n 2  3n

 

          
i. 2 3 4
 

j. 12n 10 es divisible por 11.
k. 13n 11 es divisible por 12.
l. 1 2  4  6  2n1  2n 1.
m. 6n 1 es divisible por 5.
n. 3n 1 es divisible por 2.
  n  3 n
1
 o. 1 4 7 3 2
2
n

    
3. Use inducción matemática para probar la fórmula
          1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1
2
para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
4. Use inducción matemática para probar la fórmula
  2 3 1 1
1 1 1 1 1
1
1
n
n a r
a ar ar ar ar
 
r
     


para la suma de n primeros términos de una progresión geométrica.
5. Demostrar por inducción que para todo entero positivo n.
 n 2  n


4 9 1 2 1
6. Utilice inducción para demostrar que para un entero natural n, la cantidad
n3  n 13  n  23 es siempre divisible por 9. Puede hacer uso de la identidad
a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 .
7. Demostrar que para todo entero 2 3 2
2 3
n
n n
8. Use el principio de inducción para probar que:

24. a a a  a son n números reales, la suma 1 2 3 n a  a  a  a se
    
0 3 2 5
24
a. 5n  8n2  4n 1, para todo n.
b. 3n  7n para n  3, n .
c. nn  n! para n  2, n .
d. 3n  n! para n  6, n .
EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
En ejemplos anteriores aparecen las expresiones
1 x  x2  x3  xn ; 12  22  32  n2 .
Estas expresiones se las puede escribir en forma más corta usando el símbolo de sumatoria .
Así, la primera se puede expresar por
0
n
k
k
x
 
y la segunda 2
1
.
n
k
k
 
En general, si 1 2 3 , , , ,n
puede expresar por
1
.
n
k
k
a
 
Por supuesto, la suma puede comenzar a partir de cualquier subíndice 0 k ; así por ejemplo:
0 0 0
0
1 2 .
n
k k k k n
k k
a a a a a  

EJEMPLOS
  7
        
1
2 1 3 5 7 9 11 13 15.
k
k

    5
0
2 2 2 2
0 1 0 1 0 1 1.
k
sen k sen sen sen sen sen sen
   
 

                     
       
      

   
2 3
1
2 3 .
2 2 2 2
n
k n
k
k n

1
1
 
1
. k
k
a a

 
1
1 .
n
k
n

El símbolo de sumatoria tiene las siguientes propiedades evidentes cuya demostración formal
requiere del principio de inducción.

25.    donde  es un número real.
    Propiedad telescópica.
  en forma desarrollada:
         
 
a  a  a  a  a 
a
a a a a
a a
   
 
25
Propiedades
   
1.  
a b a b
1 1 1
.
n n n
k k k k
k k k
  
2.
 a  a
 
1 1
,
n n
k k
k k
3.  1 1
2
.
n
k k n
k
a a a a 

4.
1
1
 
a a

1 2
.
n n
k k
k k

 
Probaremos únicamente la propiedad (3).
Notemos en primer lugar que al expresar la suma  1
2
n
k k
k
a a

          1 2 1 3 2 1 2 1
2
,
n
k k n n n n
k
a a a a a a a a a a    

Los términos intermedios se anulan, quedando únicamente 1 a y . n a
Una demostración formal se puede realizar de la siguiente manera:
   
Sea P(n) la condición  1 1
2
.
n
k k n
k
a a a a 

P(2) es verdadera pues   2
   
1 2 1
2
. k k
k
a a a a 

Si se cumple P(n), entonces
     
   
1
1 1 1
2 2
1 1
1 1,
n n
k k k k n n
k k
n n n
n

  
 


y por tanto también se cumple P(n 1).

26. CAPÍTULO 3
NÚMEROS COMPLEJOS
Contenido de la unidad:
 Operaciones.
 módulo, conjugado.
 Representaciones: algebraica, trigonométrica y geométrica.
 Teorema de Moivre.
 Raíces de n-ésimas.
 Aplicaciones a la geometría.
26
Resultados del Aprendizaje:
1. Expresa como par ordenado o en forma rectangular un número complejo empleando la
unidad imaginaria i
2. Calcula potencias de la unidadimaginaria i
3. Simplifica expresiones complejas empleando potencias de i y de propiedades algebraicas de
los números reales.
4. Determina el conjugado de un número complejo.
5. Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos.
6. Realiza y verifica propiedades de las operaciones suma, producto y división entre dos
números complejos.
7. Aplica las propiedades de la suma y producto al realizar operaciones con números
complejos.
8. Expresa en notación polar un número complejo.
9. Representa gráficamente en el plano complejo un número complejo identificando su módulo
y argumento.
10. Demuestra propiedades del módulo y argumento respecto a las operaciones entre números
complejos.
11. Aplica las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números
complejos.
12. Expresa en notación de Euler un número complejo.
13. Realiza operaciones de multiplicación, división, y potenciación de dos o más números
complejos empleando la identidad de Euler.
14. Determina lasn raíces de un número complejo y explica la relación geométrica entre ellas.
15. Define y analiza gráficamente las funciones hiperbólicas.
16. Deduce identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos.
17. Resuelve ecuaciones polinómicas con raíces complejas, empleando el teorema fundamental
del Álgebra.
18. Resuelve logaritmos de números complejos

27. PARTIR CON PIE DERECHO
Revisión del trinomio
Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la única respuesta correcta.
1. El discriminante del trinomio es el real:
ax2  bx  c, con a  0,
ax2  bx  c, con a  0,
   
 
ax2  bx  c, con a  0, 1 x 2 x ,

AB.
27
a.
b.
c.
ax2  bx  c, con a  0
b
a

2
b2  4ac
4ac  b2
2. La “forma canónica” del trinomio es:
a.
b.
c.
2
a x b
      
 
a a
2 4
2
a x b
      
 
a a
2 4
2
a x b
      
 
a a
2 4
3x2  x  2  0
3. La ecuación tiene como conjunto de solución:
a.
 1 1; 2
3
4. Si el trinomio admite dos raíces y entonces su forma
factorizada es:
a.
a  x  x  x  x
 1 2 b.
 x  x  x  x
 1 2 c.
a  x  x  x  x
 1 2 Utilizar coordenadas
5. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, se considera los puntos
A1;3, B0;2 y E4;3.
a. Calcular las coordenadas del vector
b. Calcular las coordenadas del punto medio del segmento
c. Calcular la distancia
C BE.
OE.

28. d. Calcular las coordenadas del punto tal que el cuadrilátero sea un paralelogramo.
e. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al origen
f. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al eje
g. ¿Las rectas y son perpendiculares?
Las matemáticas en todo lado
El matemático franco americano Benoit Maandelbrot desarrolló la noción de fractales que ha
permitido modelar formas naturales como las de una coliflor, de un pultmón, de una costa rocosa,
etc. Utilizó sucesiones de números complejos para trazar con ayuda de un computador conjuntos
como el indicado en la figura siguiente.
Los números complejos aparecen en el siglo XVI para resolver las ecuaciones de tercer grado bajo
el impulso de los matemáticos italianos Cardano, Bombelli y Tartaglia. No es sino en el siglo XIX
que el suizo Argand propone una representación geométrica de esos números que fue tomada y
adoptada por Gauss y Cauchy.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Teorema (Admitido). Existe un conjunto de números, notado y llamado conjunto de
losnúmeros complejos, que posee las propiedades siguientes:
 contiene
 Se define en una adición y una multiplicación que siguen las mismas reglas de cálculo
que la adición y multiplicación de números reales;
 Existe en un número tal que
 Todo elemento de se escribe de manera única con reales.
28
EJEMPLO
Sean Se tiene:
F ABEF
E ' E O.
A' A X.
BI  EJ 

 ;

 i i2  1;
z  z  x  iy x y y
1 2 z  5 3i y z  2  7i.

29.    
z z i i
  5  3  2 
7
1 2 i i
i
i
5 3 2 7
5 2 7 3
7 4.
   
   
 
 
  
z z i i
  
   
        
5 3 2 7
10 35 i 6 i 21
i
10 29 i 21 1 10 29 i 21 31 29 i
.
 
1 2
2
VOCABULARIO
Si un número complejo se escribe con reales, entonces:
z  x  iy x y y
x  iy z;
x z; x  Re(z);
y z; y  Im(z);
y  0, z  x  
 se llama la forma algebraica de
 es la parte real de se nota
 es la parte imaginaria de se nota
 Si entonces (se reencuentra el hecho de que contiene );
 Si entonces se dice imaginario puro; se nota el conjunto de los
x  0, z  iy i
z  z ' Re(z)  Re(z ') e IM(z)  Im(z ').
z  0 Re(z)  Im(z)  0.
z x  iy. z
Rez  Re(z) e Imz  Im(z).
29
imaginarios puros.
Atención. La parte imaginaria de un número complejo es un número real.
Observaciones
1. Dos números complejos son iguales si y solamente si tienen la misma parte real y la
misma parte imaginaria.
2. En particular:
Conjugado de un número complejo
Definición. Sea un número complejo de forma algebraica Se llama conjugado de y se
nota z el número complejo
z  x  iy.
Así:
EJEMPLOS
1.
2.
3.
5 3i  53i.
3  3
7i  7i.
La noción de conjugado permite caracterizar los números reales y los números imaginarios puros
entre los números complejos.

30. z iz i x iy i x iy i
3   25   3     25

x iy ix i y i
x iy ix y i
x y i y x i
x y y x
x y x x
     
     
     
                
  y   x  y   x  y
          x    x    x
 
30
Propiedad. Sea un número complejo:
Demostración
Se nota la forma algebraica de
Propiedades
1.
2.
3.
Utilizar la forma algebraica.
1. Resolver en las ecuaciones de incógnita siguientes:
Solución
Es decir que el conjunto solución es
Si hacemos entonces
El conjunto solución es entonces
2. Se considera el número complejo con Determinar el valor de en los casos
siguientes:
z
z  z  z y zi  z  z.
x  iy z;
z  z  x  iy  x  iy  2iy  0 y  0 z  x x.
z  z  x  iy  x  iy  2x  0 x  0 z  iy  zi.
z  z.
z  z  2Re(z).
z  z  2i Im(z).
 z 2z 1 i  5  3i; z  i z  2  5i.
2z 1i  53i2z  53i 1i2z  6  4i z  3 2i.
S  3 2i.
z  x  iy
   
 
 
2
3 3 2 5
3 3 2 5
3 3 25
3 2 2 3
3 5 3 2 3 5
2 3 17 2 3 8 . 6 8 5 11 11
8 8
11 17 .
8 8
S    i
 
z  a  2i, a. a
z2 i; z  a z .

31. Solución
Si entonces Por otra parte
z  a  2i, z2  a  2i2  z2  a2  4ai  4.
z2 i  a2  4  0 a  2 o a  2.
z  a z  a  2i  aa  2i a  a2  21 ai. z  a z ,
21 a  0, a  1.
31
Como queremos que su parte
imaginaria debe ser igual a cero; es decir, de donde
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar la parte real, la parte imaginaria y el conjugado de cada uno de los números
complejos siguientes:
2. Resolver en las ecuaciones siguientes:
3. Escribir en forma algebraica los números complejos siguientes
a.
b.
c.
d.
e.
f.
z    i     i 
4. Sea . Calcule y escriba bajo la forma algébrica los números complejos:
a. ,
b. ,
c. ,
d.
5. Si y calcule:
a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)
z
z
1
z
z .
iz
6. Exprese en la forma cada uno de las números complejos siguientes:
i
 i
i i
a) b) c)
   2
1 2 3 4 z  3i  2; z  5i; z  i 1 2i ; z  2  3i .
 3z  i  1 2i; iz  3  2  2i; z  i  3z 1.
    1 z  2  3i  5  i ;
2
2 3 1 2 ;
5 3
   
   3 z  2  3i 3  i ;
 3
4 z  1 3i ;
 2
5 z  i 2  3i ;
2 3
6 z 1 i  i  i .
z  2  3i; z '  i 5
z  z '
2z 3z '
z z '
z2.
1 z  3 2i 2 z  3 i,
1 2 z  z 1 2 2z  3z 1 2 iz z
1 2z 1 2 z z 1
2
2 iz 2
1 z , 2
2 z
1
1 2 z  z 2
1 2 z z 2
1
z  a  bi
1 3
(3 
)
2 
3
i
1 
2
3  i 2 
i

32.  2 3 2i
(x  iy)(2  i)  i x, y, x y
1 z  2  3i 2 z  3 i 3 z  1 2i 4 z  2 i 9 1 2 z  2z 3z
6z  i 7 z 1 8 z  i 3 5z  i   10 3 4 2 z  z z  z
3 2i3 2i 1
z  35i z '  2  3i z z ' z  z ' z  z ' z  z ' z z ', z z ' z z '.
1
2
i
2  7i
5 3
i
i
 i

 1 3
z 2  z z i
  
i i
i i
2 3 5
 
32
d)
1i1 2i 1 2
e)
f)
 2 1 i  3 1 i .
g) h)
 
  
 
i i
3 3
7. Si con determine los valores de y .
1 , 2
5 5
x  y  
Solución .
x y
8. Encuentre los números reales e tales que:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2 3 6 i x  y  x  i
x2  xi  4  3i
(x  iy)(3 2i)  8  i
(5  2i)(x  iy)  i
(x  2i)(1 i)  5  iy
(x  iy)(2  i)  2x  ( y 1)i.
1
1
w z


z  a  bi.
9. Si donde Encuentre las condiciones bajo las cuales:
z

ww
a. es real.
b. es imaginario puro.
10. Coloque en el plano complejo, los puntos de afijos:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) j)
11. Calcule . Deduzca la forma algébrica de .
12. Determine la forma algebraica de los números complejos:
1
1 i
1
3i
1
i
a. ; b. ; c. .
3 2i
13. Calcule las partes reales e imaginarias de los números complejos siguientes:
i
i
 3 3 4i ;  3 7  2i ; 3 4 ;


a. b. c. d.
7 2
 3  3 3 4i  7  2i .
14. Sea y . Calcule ; ; ; ; ; ;
15. Escriba bajo forma algebraica los números complejos siguientes :
4
3 i
2 
i
i
a. ; b. ; c. ; d. ; e. .
16. Determine los números complejos tales que es un número real.
17. Calcule el complejo conjugado de
2  .
7


18. Resuelva la ecuación 1 i z  3 2i
, dar la solución bajo la forma algebraica.
19. ¿Es el número complejo 2 i solución de la ecuación 1i z 1 3i  0
?

33.  i 5z2  2z  2  0
1 3
5
20. ¿Es el número complejo solución de la ecuación ?
i i
i i
7 5 2 7 2.
2 7 2 7 5
21. Escriba de la forma más simple el número complejo
22. Calcule el módulo de los números complejos siguientes:
i
i
7  35i3 2i 7 35


a. ; b. ; c.
 
 
3 2
5 3 1 
i i
i
 
4

M z z z  4
23. Determine todos los puntos de afijo tales que .

.
CÁLCULOS CON EL CONJUGADO
Cálculo de un inverso. Cálculo de un cociente
Propiedad. Sea un número complejo de forma algebraica y su conjugado. Se tiene:
z x  iy z
zz  x2  y2.
zz z  0.
es entonces un real no negativo y es nulo si y solamente si
Demostración
zz  x  iyx iy  x2 ixy  ixy i2 y2  x2 1 y2  x2  y2.
z x  iy
Consecuencia: Todo número complejo no nulo de la forma algebraica tiene un inverso:
1 
z .
z x 2 
y
2
Conjugado y 0peraciones
Propiedades. Para todos los números complejos y si
1 2 z y z , 1 2 1 2 z  z  z  z 1 2 1 2 z z  z z ;
 
z 0, z z .
z n, zn  z n , z  0 n
33
z 0, 1 1
     
además y si
z z
 
   
1 1
2
z z
 
2 2
Para todo número complejo y todo entero con si es negativo.
Ecuación de segundo grado a coeficientes reales
Teorema. Se considera la ecuación ax2  bx  c  0, cuya incógnita z
es un número complejo y los
coeficientes a,b, c son números reales, con a  0. Se nota  el número real b2  4ac,
llamado el
discriminante.

34. b b
a a
     
  0, y .
 Si entonces la ecuación admite dos soluciones reales:
 Si entonces la ecuación admite una sola solución real:
 Si entonces la ecuación admite dos soluciones complejas conjugadas:
b i b i
     
a a
Demostración
Cuando la resolución en fue tratada en primero de bachillerato y como las
soluciones son las mismas en
             
                                   
ax bx c a z b a z b i
a a a a
    
        
a a a a
i i i i z i z z
1  1  2 
3 2  3  1
    
i i i
2  3 2  3 2 
3
2  3  2  3 5 
5 1 .
2 3 13 13 13
z i i i z i z i
      
34
Si
ax bx c a z b
a a

i
a

En es el cuadrado de se puede entonces factorar:
a z b i z b i
b i
  
De donde se obtiene las dos soluciones complejas conjugadas: y
Ejercicio resuelto. Resolver en las ecuaciones siguientes:
Solución
z z
z
Luego el conjunto solución es
2 2
  0, .
2
b
a

  0,
y .
2 2
  0 o   0, 
.
  0,
2
2
2 0 0.
2 4
  
, 4a2
;
2
2 2 2
2
2 0 0 0
2 4 2 2
0.
2 2 2 2
  
2
a
.
b i
  
2
a
 2  3i z 1 i. z2  16.
z2  z 1  0. 2 .
1



    
  
 
2
2 2
i

5 1 .
13 13
S    i
 

35. 2 16 2 4 2 2 4 2 0
z z i z i
      
z i z i z i z i
Luego el conjunto solución es:
Esta ecuación de segundo grado es a coeficientes reales, ella tiene por discriminante:
 i 1 3 .
 12  411  3   3 , : 1 3
  i
ella tiene entonces dos soluciones en y El
35
conjunto solución es:
      
 
S i i
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribir en forma algebraica los inversos de los números complejos no nulos siguientes:
2. Resolver en las ecuaciones siguientes, dando la solución en forma algebraica:
3. Sea un número complejo no nulo de forma algebraica Calcular las partes real e
imaginaria de los números complejos siguientes:
 2 z i z .

 z i z i.
4. Se considera el punto de afijo . Determine el conjunto de los puntos de afijo
tales que
5. Sea . Calcule . Demuestre que . Deduzca que .(Se dice que
es una raíz cúbica de 1).
6. En el plano complejo, se considera los puntos y de afijos respectivos y
.Calcule las distancias , y Deduzca la naturaleza del triángulo
7. Dé la forma algebraica de los complejos
a.
b.
c.
d.
   
  
4 4 0 4 o 4.
       
S  4i; 4i.
 2
2
2
1 3 ; 1 3 .
2 2
1 z  i;
2 3 z  3i; z  2i 1.
 i 3z  i  2;
2 5i3z  i  3z i. z2  9  0; z4  81; z2  7  0; z2  2iz 1  0. z2  5z  6  0.
z2  2z  5  0.
z x  iy.
1 z z ;
z
z
z i
 

2 .
2
z 
 
z
z z

A 2  3i M z
z  2  3i  5.
1 3
2 2
j    i j j2  j j3 1 j
A B a  2 3i
b  5i OA OB AB. OAB.
1 2z y z .
1 2 z  (1 i)(1 2i); z  (2  3i)(3i)
2 3
1 2 z  (3 i)(2i 1) ; z  (3 i)
2
1 z  (2i 1)(1 i) (3i  4); 2 z  (5  4i)(3 7i)(2 3i).
 3
z  (1i) 2 (1 i) 2
; z  1 i 3
1 2

36.  1;1,
36
e.
1 (2 3 )(2 ) 2 ; 13 4 2 4
1 2
z i i z i
(8  3 )( 
4); 23
(2 5)(3 7 )
f.   
.
z i
z i
8. Sean y ¿Por qué se puede afirmar sin realizar cálculos que es
un número real y que es un imaginario puro?
      
 
9. Sea un número complejo no nulo. Simplifique la expresión:
10. Encuentre el conjugado de puntos del plano cuyo afijo verifica la condición dada:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
11. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los cuatro puntos de afijos:
a.
b.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
El plano cartesiano, es llamado plano complejo, pues se asocia un único punto del plano a cada
número complejo y recíprocamente. Así:
 Al complejo con reales, se asocia el punto de coordenadas se
dice que es la imagen de y se nota
 Al punto se asocia el número complejo se dice que es el afijo de

El vector que tiene las mismas coordenadas que el punto se dice también que

es el afijo del vector
 El eje de las abscisas es llamado eje real y el de las ordenadas, eje imaginario.
EJEMPLO
tienen por afijos respectivos 0,1 e tiene por coordenadas por tanto el vector
tiene por afijo el complejo
1
i
z i i z i
i
i

     
 

 3
1 2
i  
i
1
5 2
7
i


 2
5 
2 .
7
i

 1 2 z  z
1 2 z  z
1 z
 z z
1 .
z z
M z
z  4  z  2i z 1 i  z 3 z 5 3i  3
z  5i  z  4i iz  4  z  2 z  4 i  iz 1 i
iz 5 i  5 z i  z  i  4 z i  z  i  2
z i  z  i 1 z 1  z 1  5 z 1  z 1  2
z 1  z 1 1 z2  z z  z  z
1 2 3 4 z  5  3i; z  2  2i; z  2  4i; z  6  4i
  1 2 3 4 z  3; z 1 3  i; z 1 3 1 i; z  i 3.
z  x  iy x y y M x; y;
M z M(z);
M x; y ; Mz  x  iy M z
M. OM
M,
x  iy OM.
O, I, J i. IJ

IJ
z  1 i.

37.   3  3; arg(3)  mod(2 ).
37
Observaciones
 Los puntos de afijos son simétricos con respecto al eje real.
 Los puntos de afijos son simétricos con respecto al origen.
Propiedad. Cualesquiera que sean los puntos del plano complejo:

i) El afijo del vector es el complejo
ii) El punto medio del segmento tiene por afijo
z z z
A B
Módulo y argumento de un número complejo
Definición. Sea un número complejo y su imagen en el plano complejo. El módulo de
notado es la distancia es decir que
Si es no nulo, se llama argumento de notado toda medida en radianes del ángulo
es decir,
EJEMPLOS
Observaciones
z y z
z y  z
A y B
AB
; AB B A z  z  z
I AB .
2
I


z M z,
z , OM; z  OM.
z z, arg(z),
    
u;OM ;
arg(z)  u;OM  mod(2 ).
i i 
1; arg( ) ;
2

38. z  x  iy x y y z  x2  y2 .
z, z  z  z .
arg(z)  arg(z)  mod(2 ); argz   arg(z) mod(2 );
z arg(z)  0 mod( );

z arg( z )  mod( 
).
A, B,C y D
5 ; Az  i 3; B z   2 3; Cz    i 4 3. Dz  i 
A y B 1 2 y 2 . A B z   i z   i
z  6; z  2; z  3i; 3 .
z x  Re(z), y  Im(z),
r  z ,   arg(z) mod(2 ). x  r cos y y  r sen .
z  r cos  i sen , z.
38
 Si con reales, entonces
 Para todo número complejo
 Para todo número complejo no nulo
 es un número real si y solo si
 es un imaginario puro si y solo si
z :
2
 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el plano complejo, colocar los puntos respectivamente asociados a los números
complejos siguientes:
a. b. c. d.
2. Se considera los puntos de afijos respectivos Determinar el
C OABC
afijo del punto tal que sea un paralelogramo:
a. utilizando los afijos de vectores;
b. utilizando el afijo de un punto medio.
M z,
3. En cada uno de los casos siguientes, colocar el punto de afijo luego dar el módulo y un
z :
argumento de
a. b. c. d.
z   i
2
Forma trigonométrica, notación exponencial
Forma trigonométrica
Propiedad - Definición. Sea un número complejo no nulo; se pone:
Se tiene entonces: Se obtiene así la
escritura que es llamada forma trigonométrica del número complejo

39. Paso de una forma a la otra
Si el número complejo no nulo se escribe bajo forma algebraica y bajo
forma trigonométrica, entonces:
r x y ; cos x ; sen y .
     
 = arctan y
 
 
 < <
Si , , el argumento es tal que y por tanto , si
.
 = arctan y

  3 < < 2
  
Si , entonces y si , .
El número de no es más que el módulo de .
Arg i    o  y Arg i             o 
 
z 
z i       
z  3 3 = cos sen
z  i 

z i       
39
EJEMPLOS
1.
2.
3.
4. Si , entonces y . Luego
.
5. Si , con , entonces y si ; si .
o .
6. Si , , y .
7. Sea , entonces está entre y y por tanto
.
Luego:
z x  iy r cos  i sen ,
x  r cos y y  r sen ;
2 2
2 2 2 2
x  y x 
y
z = x  iy x  0  tan = x
y
x
2 2
< < 3
2 2
 
x
2
  = arctan y 2
x
r z = r cos  i sen  z
r = z .
Arg(1)  0 (0 2 o 4 o )
Arg(1)  (0  o )
( ) 0 3 ( ) 0 3
2 2 2 2
   
z =1i r = z = 2 arg = arctan1 =
4
= 2 cos sen
4 4
 
z = a a r = a arg z = 0 a > 0 arg z = a < 0
z = acos  i sen  z = acos  i sen 
z = i z =1 arg = 3
2
2 2
z =1 3i arg  z 
3
2
 2
arg   = arctan  3 2 = 2 = 5
3 3
z
 
     
= 2 cos 5 sen 5
3 3
 

40. z   3  i z  r cos  i sen    
8. Exprese en la forma , donde .
Solución: En un diagrama de Argand, mostremos la posición del número .
Aquí, está en el segundo cuadrante por lo que el argumento requerido es .
Encontremos ahora :
         
            
                   

sen   z .
z i              
40
;
Por lo tanto,
z  
z i        
9. Exprese en la forma , donde .
Aquí, está en el tercer cuadrante por lo que el argumento requerido es .
Encontremos ahora y :
;
Por lo tanto,
z  
z i
10. Si se verifica que Una forma trigonométrica de es entonces
  2 .
y Así, un argumento de es De donde
Note que otra forma trigonométrica de es por ejemplo
o o ...
z   3  i
z  
r y 
 2
r   3 12  4  2 arg( ) tan 1 1 5 .
3 6 6
 
2 cos 5 sen 5 .
6 6
 
z  1i z  r cos  i sen    
z  
r 
 2  2 r  1  1  2 arg( ) tan 1 1 3 .
1 4 4
 
2 cos 3 sen 3 .
4 4
2 2
2 2
z   i z 1. z
cos 2
2
2
4
z i          
cos sen .
4 4
   
z
cos 9 sen 9
z i            
4 4
   
cos 7 sen 7
4 4
   

41. z 1i 3, z  2; z z  2(cos  isen )
11. Si una forma trigonométrica de es entonces con

     ,
z i                   
   2 cos sen .
de donde y
        
41
Observaciones.
1 no tiene argumento.
2 Todo complejo es el producto de un real (su módulo) por un complejo de módulo 1 (a saber
siempre que
3 Paso de una forma trigonométrica a la forma algebraica
Desarrollando una forma trigonométrica se obtiene
que es la forma algebraica de
4 con Es decir que el producto tiene un
argumento que es la suma de un argumento de y de un argumento de
Interpretación geométrica de
 z  z

   z  z

 z  z

   z  z

Propiedad. Sean y tres puntos distintos de afijos respectivos y , ,
 
es una medida del ángulo .
Observación. Los tres puntos y de afijos respectivos y , con y distintos,
están alineados si y solo si
z 
z
z z
 


z 
z
z 
z
Los vectores no nulos y son ortogonales si y solo si es un número imaginario
puro.
EJERCICIOS PROPUESTOS
z   i
1. Calcule el módulo de cada uno de los números complejos: ; ; ;
; ; ; ; .
2. Halle las formas trigonométricas de : ; ; ; .
3. En cada uno de los siguientes casos, dé una forma trigonométrica de
a) b) c)
d) e) f)
g)
z i
h) i)
cos 1 , sen 3 ,
2 2
3
3 3
z  0
cos  i sen , z  0.
z  z (cos  i sen )
z  z cos  i z sen z.
arg(zz ')  arg(z)  arg(z ')  2h , k . zz '
z z '.
arg C A
B A
A, B C , A B z z C z arg C A
B A
AB, AC
A, B C , A B z z C z A B
C A 
.
B A
AB
AC
C A ,
B A
1 z  3 4i 2 z 1 i 3 5
2
4 z  3 5 z  i  4 6z  i 7 z  5 8
2 2
2 2
z   i
1 z 1 i 2 z  3  i 3 z 1i 3 4z  i
z.
z 1i 3 z  2 z  3  3i
2
1
z
i


4
1 3
z
i


3
e z  (1 
i )3 i 4 
z  2(1 i)6 3 1
1
i
 9
i
3
(1 )
12
z

i



42. 1 z  2  2i 2 z 1 i 3 1 2 z y z
z
z
1 2 z  z 1
i i i
cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos
               
 
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i
cos sen .
   
   
       2 z  0
  1 1 1 1 zn = rn cos(n )  i sen(n ) n
z  zz  r  i r 
i
z z r
   
r i i
r
r i
r
      
   
42
j)
k) l)
 12
z  1 i 3
4. Sean y . Escriba bajo la forma trigonométrica. Deduzca
además las formas trigonométricas de ; ; ; ; ; .
Las operaciones producto, cociente y potenciación entre números complejos se simplifican usando
la forma polar. Estos resultados se establecen en el siguiente teorema.
Probaremos antes un lema previo.
Lema. Para todo par de números reales y
.
Demostración
Teorema. Sean y , números complejos
cualesquiera. Entonces:
1.
z = r 2. cos i sen
si .
z r
3. para todo entero .
Demostración.
1. Es consecuencia inmediata del lema.
2.
3. Probaremos por inducción para .
2
 3
1 z 1 z 2 z
 2
1
2
z
z
1 
2 
       1 1 2 2 1 2 1 2 cos  i sen cos  i sen = cos    i sen  
    
   
1 2 1 2
1 1 1 1 z = r (cos  i sen ) 2 2 2 2 z = r (cos  i sen )
    1 2 1 2 1 2 1 2 z z = r r cos    i sen   
1 1    
1 2 1 2
2 2
   
     
   
1 1 2
2 2 1 1 1 2 2 2
2 2 2
1
1 1 2 2
2
1
1 2 1 2
2
1 cos sen cos sen
cos sen cos sen
cos   sen  
.
     
n  0

43. n = 0
Para es claro que se cumple el resultado.
Supuesto que para , , se tiene que
n     1 1 1 1 zn = rn cos n  i sen n 
     
n n n

1
1 11 1 1 1 1 1 1
z zz r n i n r i
cos sen cos sen
   
 
     
 r n

1
 cos  n  1   i sen  n
 1 
,
1 1 1

donde la última igualdad es consecuencia de la parte (a).
z i
= 1 = cos0 
sen 0
z r cos n i sen
n
n n
  
 
1 1 1 1
= 1 cos 0 sen 0
n
n
n i n
r
     


r n i n
= cos sen
 
    
1 1 1
n

r n i n
= cos sen
 
    
1 1 1
 3     cos  i sen  cos 3  i sen 3
cos  i sen 3  cos3 sen2 cos  i sen cos2 sen3 .
cos3  i sen 3  cos3  sen2 cos  i sen cos2  sen3 .
cos3  cos3 sen2 cos
sen3  sen cos2 sen3 .
43
1 z  0
Ahora, si .
   
   
1 1
   
   

1
1
n
Esto muestra que el resultado también es válido para exponentes enteros negativos. Este
último resultado se conoce como el Teorema de Moivre.
EJEMPLOS
1. Usaremos el Teorema de Moivre para calcular senos y cosenos de ángulos múltiples. Por el
Teorema de Moivre:
Por otra parte:
Es decir que:
2. Igualando las partes reales y las imaginarias se obtiene:
= 2 cos 5 sen 5
z i       
3. Sea z 1 3 i. Expresado z en la forma polar se tiene . Entonces:
6 6
 

44. 5 25 cos 25 sen 25 = 32 cos sen
              
z i i
6 6 6 6
   
 
32 3 i 1 =16 3 16 i
.
    
   
6 2 6 cos 25 sen 25
         
 
z i
 
1 cos sen
64
1 .
64
 i

 
5i 3  i 2  2i 1i
8 3 4i 8 6i 2  3 i.
44
y
2 2
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS
z  r cos  i sen 
1. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde
  
.
a) 7 b) c) d) e)
f) g) h) i)
j) 1i.
x  iy x y y
2. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde .
z    5   cos
 isen  
2 2
 
a) b)
6 cos 5 5
z isen        
6 6
 
c) d)
z        2 2  cos
   isen   4     4
 
e) f)
1 cos
2 6 6
z isen        
 
3 cos 2 2
z            3   isen      3
 
4 cos 7 7
z            6   isen      6
 
Notación exponencial
Sea la función que, a todo real asocia el número complejo Se tiene:
f  , cos  i sen .

45.      
f isen
' cos ' '
    
     
sen sen i sen sen
cos cos ' ' cos ' 'cos
   
       
      
f f i sen i sen
' cos cos ' '
cos cos ' ' cos ' 'cos
   
     
sen sen i sen sen
   
       
 y  ' f   '  f   f  '.
expa  b  exp(a) exp(b). ei  cos  i sen .
ei  .
z  r cos  i sen  z  rei ;
ei
e2i  ei 2 y eiab  ei a  ei b ;
sen2a  2 sen a cos a cos2a  cos2 a  sen2a,
45
y
 
 
Así, para todos los reales se tiene
Se reencuentra la misma propiedad algebraica que para la función exponencial:
por esta razón, se adopta la notación
Así, designa el número complejo de módulo 1 y de argumento
La forma trigonométrica se escribe entonces también como que es
llamada la forma exponencial de
z.
Nota. Todo número complejo de la forma es representado por un punto del círculo
trigonométrico y recíprocamente.
Observación. La forma exponencial permite escribir de manera “natural” las igualdades:
y desarrollándolas, se reencuentra las fórmulas de duplicación:
cosa  b  cos a cosb  sen a senb
Así como las fórmulas de adición: y
sena  b  sen a cosb  senbcos a.

46. z     i sen 
1 2 z z 1 2 cos
      
i i z z e e
1 2 2 2 ;
46
EJEMPLO
Determinar el módulo y los argumentos de con: y
z  isen 
 
Solución
4 4
 
 
z  2 e i y z 
e
i , 1 2    
Se escribe y se obtiene de donde
y
z z 
arg( )  7 mod(2 
).
EJERCICIOS PROPUESTOS
2 cos .
3 3
4 3
7
4 3 12
1 2 z z  2 1 2
12

47. 1. Exprese los siguientes números complejos en la forma r ei donde    . Dar el valor
exacto de r y cuando sea posible, o valores con dos decimales.

 5

 4
 9


sen ei e i
     
i sen i sen              
  
47
a) b)
c)
d) e)
f)
g) h)
i)
z isen        
z isen        
z isen        
2. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
 4e i
a) e
i b) c)

d) e) f)
g) h) i)


i e


3. Exprese los siguientes números complejos en la forma, donde
.
 17
a. b. c.
4. Use para mostrar que .
i
5. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
a.
b.
3 6i
8 cos
4 4
 
2 3  2i 8i
8 cos
6 6
 
2 5i 2 3  2 3 i 2 cos
5 5
 
x  iy, x y y
3
3 2 4 i e
8 6 i e
3 3 i e
6
e i 3
3 2e 4i
8 3 i e
z  r cos  i sen 
  
16
13
i e
4 5 i e
5 8 i e
ei  cos  i sen   1
2
x  iy, x y y
cos 2  i sen 2 cos3  i sen3 
cos 3 3 cos 8 8
11 11 11 11

48.    i sen     i sen  
   
i sen i sen                           
i sen i sen                                    
i sen i sen i sen                     
     
cos 4  i sen 4 cos i sen 
i sen i sen              
   
    
 
    
 
 
 
48
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3 cos 2 cos
6. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
i sen
i sen
 
 
a. b.
 
   i sen
 
 
    
 
c. d.
 
i sen
i sen
 
i sen
i sen
i sen

7. y son dos números complejos tales que y . Exprese
los siguientes números complejos en la forma , donde .
a. b. c. d.
8. Simplifique
4 4 12 12
6 cos 3 cos
12 12 3 3
4 cos 5 5 1 cos 5 5
9 9 2 18 18
6 cos 5 cos 1 cos 2 2
10 10 3 3 3 5 5
3 cos 2 cos
12 12 3 3
x  iy, x y y
cos5 
5
cos 2 
2
2 cos
2 2
1 cos
2 4 4
 
3 cos
3 3
4 cos 5 5
6 6
cos 2 
2
cos3 
3
z  z  9  3 3 i,   3, arg( ) 7
12
 
r cos  i sen    
z  z z .

5
3
cos 9 9
 
   i sen
 
 17 17

  cos 2   i sen
2

  17 17



49. 5 5
cos 9 9 cos 9 9
   
   i sen    i sen
 17 17       17 17


                      
3 3
cos 2 2 2 2 cos
   
i sen i sen
17 17 17 17
cos 45 45
 
    i sen

17 17
  
cos 6 6
 
     i sen
 17   
   17

cos 45 6 45 6
                   
           
   
17 17 17 17
 
cos 51 51 cos3 3
17 17
   
cos 1.
  
 
    
   
    
 
 
49
Solución:
En consecuencia:
i sen
i sen
9. Exprese en la forma donde .
Solución: Se necesita encontrar primero el módulo y el argumento del complejo
;
Realizando un diagrama de Argand se tiene:
i sen
i sen i sen
i sen
 
 
5
3
cos 9 9
17 17 1.
cos 2 2
17 17
 7
1 3 i x  iy, x y y
 7
1 3 i .
   2 2 r  1  3  4  2 1 arg( ) tan 3 .
1 3
z

   
    
 

50. i isen         
z  r cos  i sen  1 3 2 cos
Aplicando se sigue: , luego
  7
           
 
i isen
1 3 2 cos
2 cos 7 7
 7
    
 
i sen
 
 
512 1 3 .
   
     i sen
 
 
i sen
i sen
i sen
i sen
 
 
50
Por lo tanto
3 3
 
7
3 3
3 3
i
2 2
 
10. Use el teorema de Moivre para simplificar cada uno de los siguientes números complejos:
a) b)
c)
     i sen
 
 
d) e) f)
g)
h) i)
j)
k) l)
 7
1 3 i  256  256 3 i.
 6 cos  i sen  4 cos3  i sen3 5
    cos
 i sen
 
 6 6

8
cos
3 3
5 cos 2 2
5 5
15
    cos
 i sen
 
 10 10

i sen
i sen
cos5 5
cos 2 2
 

 

 
 
7
3
cos 2 2
cos 4 4
 
 
1

  cos 2  i sen 2
3
 
 
4
3
i sen
i sen
cos 2 2
cos3 3
 

 

cos5 
5
cos3 
3
i sen
i sen
 
 
cos

cos 2 
2

51. isen i sen i sen isen
cos cos 3 cos 3 cos
           

i sen sen i sen
   
51
11. Evalúe
 
   i sen
 
 
    
 
 
i sen
12. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
a) b) c)
d)
e)
f)
13. Exprese en la forma donde y son enteros.
14. Exprese en términos de .
Solución:
Aplicando el teorema de Moivre, se tiene: .
Desarrollando el primer miembro de esta igualdad se tiene:
Es decir que
Igualando las partes reales y las partes imaginarias se tiene:
, .
De donde
4
6
cos 7 7
13 13 .
cos 4 4
13 13
x  iy, x y y
 5 1 i  8 2  2i  6 1 i
 6
1 3 i
9 3 1 3
2 2
  i 
 
 5
2 3  2i
 5
3 3 i a  b 3 i a b
cos3  cos
 3     cos  i sen  cos 3  i sen 3
 3 3 2 2 2 3 3
3 2 2 3
cos 3 cos 3cos
     
cos3  3i cos2 sen 3cos sen 2 i sen3  cos3   i sen3 
cos3   cos3 3cos sen 2 sen3   3cos2 sen  sen3

52. 3 2
   sen 
cos 3 cos 3cos
 
  
  
 
cos 3cos 1 cos
cos 3cos 3cos
4cos 3cos .
  
  
 
 
i sen i sen i sen i sen
cos   cos  6 cos  15 cos 
20 cos
        
i sen i sen i sen
  
i sen i sen sen i sen
cos   cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
i sen i sen sen i sen
cos6  6  cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
52
Finalmente
 
Se deduce además que: y de
,
sen sen
se sigue que .
15. Expresar:
a. en términos de potencias de .
b. , con , en términos de potencias de .
Solución:
a. . Desarrollando el primer miembro se sigue :
Es decir que:
Igualando las partes reales se sigue:
 
3 2
3 3
3
cos 3   4cos3 3cos .
  3 cos 3 3cos
cos
4



sen3   31 sen2 sen  sen3  3sen  4 sen3
  3 3 3
4
sen
 



cos6 cos
sen 6
sen


  n , n cos
 6 cos  i sen  cos 6  i sen 6
 6 6 5 2 4 2 3 3 3
4 2 4 5 5 6 6
15 cos 6 cos .
    
 6 6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    
6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    

53. 6 4 2 2 4 6
   sen   sen  sen 
cos 6 cos 15cos 15cos
   
      
     
   
6 4 2 2 2 2 2 3
cos 15cos 1 cos 15cos 1 cos 1 cos
cos 15cos 1 cos 15cos 1 2cos cos
1 3cos 3cos cos .
     
     
6 4 2 2 2 4
cos 6 cos 15cos 15cos 15cos 30cos 15cos 1
      
      
  
   
3cos 3cos cos
32cos 48cos 18cos 1
  
  
i sen i sen sen i sen
cos6  6  cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
5 3 3 5
sen 6 6cos sen 20cos sen 6cos
sen
sen sen
      
 
 

 5  3 sen 2 
sen
4
    
     
     
32cos5 32cos3 6cos .
6cos 20cos 6cos
6cos 20cos 1 cos 6cos 1 cos
6cos 20cos 1 cos 6cos 1 2cos cos
6cos 20cos 20cos 6cos 12cos 6cos
    
    
     
    
53
O lo que es lo mismo
O también,
b. Igualando las partes imaginarias de
Se sigue que
Luego
Por lo tanto
16. Probar que :
cos 6  cos6 15cos4 sen2 15cos2 sen 4  sen6 .
     
   
 2 4 6

  
6 4 6 2 4 6
2 4 6
6 4 2
6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    
sen6  6cos5 sen  20cos3 sen3  6cos sen5 .
   
   
5 3 2 2 2
5 3 2 2 4
5 3 5 3 5

     
sen 6 
32cos5 32cos3 6cos .
sen
  

  

54.      
     
1 cos cos 2cos
z i sen i sen
     
1 cos cos 2 .
n n
z isen n i sen n
   
        
1 cos cos cos .
1 cos cos 2cos
z   n  i sen n  n  i sen n 
n
1 cos cos 2 .
      
 
54
Solución: Si entonces
Se sigue entonces:
Se tiene también,
De donde
.
cos cos
17. Exprese en la forma donde son constantes.
Solución:
Por otra parte,
1 2cos ; n 1 2cos  
n z z n
z z
1 2 ; n 1 2  
n z isen z isenn
z z
z  cos  i sen
1 z 1 cos i sen  1 cos   i sen  cos i sen .
z
                
 
z
z i sen i sen i sen
z
    
    
     
     
         
n n
n
z isen n i sen n n i sen n
z
   
       
         
         
n
n
n
n
z
z n i sen n n i sen n i sen n
z
    
    
       
cos5 Acos5  B sen3  C cos , A, B y C
 
5
z 1 2cos 5 32cos5 .
z

55. 1 5 10 10 5 1
 z    
 z  z  z
    
z z z z
1 5 1 10 1
     z     z     z z    z
 
     z

  
Es decir que y en consecuencia
      
   
  sen         sen
 
1 2 cos cos = 2 = 0
          
1 2= 2 cos = 0
55
Es decir que .
Raíces enésimas
Dado un número complejo y un entero positivo , se trata de encontrar los números
complejos tales que . Estos números se conocen como las raíces -ésimas de y se los
nota por o .
Notemos en primer lugar que si y solo si existe un entero tal que . En
efecto es equivalente a:
o también:
   
5
5 3
3 5
5 3
5 3
2cos5 5 2cos3 10 2cos .
  
32cos5  2cos5  52cos3  102cos 
cos5 1 cos5 5 cos3 5 cos .
16 16 8
1 , 5 y 5 .
16 16 8
A  B  C 
z  0 n
  n = z n z
n z z1/n
1 = 2 i i e e   k 1 2  =  2k
1 = 2 , i i e e  
1 2 cos = cos
1 2 sen = sen
1 2 1 2
2 2
 
   
1 2 1 2
2 2
sen sen sen
   
 
   

56. De estas igualdades se sigue que la condición es equivalente a: pues si
k n n i i k i re n re re
  
 
 
   
 
   
     
56
debería tenerse:
lo cual no es posible. Finalmente, significa que existe un entero tal que
, o lo que es lo mismo
Ahora, sea con y sea tal que . Entonces:
o también: y
De aquí se sigue que y existe un entero tal que , es decir
 
Hemos demostrado que todo número complejo que satisface es de la forma:
para algún entero . Por otra parte, del teorema de Moivre se sigue inmediatamente que cualquier
número de esta forma elevado a la es igual a
Finalmente, probaremos que las únicas raíces distintas de son los números complejos.
Si y son enteros distintos en , entonces:
pues:
1 2 = 0
2
sen
  
 
 
1 2 0
2
sen
     
 
1 2 = cos 1 2 = 0,
2 2
sen
     
   
   
1 2 = 0
2
sen
  
 
 
k
  1 2 =
2
k
 


1 2  =  2k , k .
z = rei r  0  = ei  n = z
 nein = rei
 n = r ein = ei .
 = n r k n =  2k = 2k .
n


  n = z
2
=
i k n re n
 


k
n z :
 
2
= 2 =
 
  

z
2
para = 0,1,2, , 1.
i k
n re n k n
1 k 2 k 0,1,2,,n 1
2k1 2k2
e i i
n 
e n

57. 1 2  1 2  2 2 2 =
k k k k
n n n
  
   

2 1 2 0 k  k n
no es múltiplo entero de ya que .

n z
i 2k
   
 
 
n re n
Veamos ahora que cualquier raíz -ésima de es uno de los números para
k = 0,1, 2,, n 1 . Sea  = n rei( 2m )/n , donde m es un entero cualquiera. De la división de
m
n q r 0  r  n 1 m = qn  r
por se sigue que existen enteros y , con tales que . Luego:
2  2 2
  qn  r  i    r  i   q 
 n re  n n re  n  n re
i 
r n = = = ( 2 )/ ,
  
r 0,1, 2,, n 1
lo que demuestra la afirmación pues es uno de los enteros .
EJEMPLOS
1. Sea . En su forma polar . Las raíces cuartas de son: ,
con Para estos valores de se obtiene: ; ;
z =1i z = 2e7i /4 z zk = 8 2 ei(7 /42k )/4
k = 0,1, 2,3. k 8 7 /16
k i
e n k n
, 0,1,2, , 1.
  
n 1 1,w,w2 , ,wn1. 
57
z = 8 2e 23 i /16
;
z = 8 2e 31 i /16
.
232. Puesto que , las raíces n-ésimas de la unidad son:
0z = 2e i 8 15 /16
1z = 2e i
1= ei0
2

2

= i
w e n
Si notamos , las raíces -ésimas de son
  2 n
 1 
Puesto que los argumentos de estas raíces son 0, 2 , 4 , 
,
; ellas constituyen los
n n n
vértices de un polígono regular de n
lados con centro en el círculo de radio 1.

58. 3. Resuelva la ecuación: z3 1 y represente dichas soluciones en un diagrama de Argand.
r 1   arg(z)  0 r cos  i sen 
 
   
3 1 cos0 0
z isen
 
   
k i sen k
cos 0 2 0 2 .
   1/3 z  cos 0  2k  i sen 0  2k  ,
z k i sen k            
cos 2 2 .
3 3
   
k z isen
k z isen i
0, cos 0 0 1.
1, cos 2 2 1 3 .
   
             
 
3 3 2 2
   
   
2, cos 4 4 cos 2 2 1 3 .
                         
k z i sen i sen i
3 3 3 3 2 2
       
z    i
58
Solución:
Necesitamos primero encontrar el módulo y el argumento de 1.
Es obvio que y . Aplicando se sigue:
Por lo tanto, de donde
k
Para los diferentes valores de se tiene:
1
2
3
z    i 3
1 z 1 2
1 3
2 2
1 3
2 2
Dibujando , y en un diagrama de Argand se tiene:

59. 1 3
1,,2     i
También podemos escribir las tres raíces cúbicas de 1 como , donde ,
   
  i i
             
   
r z 
         
59
Note también que
i i
Resolución de ecuaciones
Resuelva la ecuación .
Solución:
Necesitamos primero determinar el módulo y el argumento de . Encontremos .
.
2 2
2 1 3 1 3
2 2 2 2
1 3 i 3 i 3 1 i
4 4 4 4 2 3.
2

  
     
  
     
1 2 1 1 3 1 3 0.
2 2 2 2
   
z4  2  2 3 i
2  2 3 i r y 
   2 2 2 2 3 4 12 4; arg( ) tan 1 2 3
2 3
 

60.          
                       
4 4 cos 4 cos 2 2
z isen k i sen k
 
3 3 3 3
                        
 
z 4 cos 2 k i sen 2
k
 
3 3
   
     2 k        2
k
 
4 cos 3 i sen
3
       
4 4
           
  2 cos   2 k   i sen   2
k
             
   
12 4 12 4
z k i sen k
                   12 2     12 2
  
 
      
k z isen
12 12
 
   1,  2 cos         2  cos 7  7
                
     
k z isen isen
12 2 12 2 12 12
1, 2 cos 5 5
 
                     
k z isen
12 12
2, 2 cos 11 11
 
                     
k z isen
12 12
60
r cos  i sen 
Aplicando se sigue:
Por lo tanto
1/4
2 cos
Es decir que: .
1/4
k
Necesitamos ahora encontrar los valores de las cuatro raíces. Dando valores a se tiene:
0, 2 cos
0
1
2
3
k
Hemos cambiado el valor de para encontrar las cuatro raíces con el argumento en el
intervalo   
.