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ResumenEste texto abarca las actividades a desarrollarse durante la segunda gesti´n del a˜ o acad´mico                    ...
´Indice general1. Sistemas Num´ricos               e                                                                      ...
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Bibliograf´          ıa[Mi]   Vivien Michel Llanos: “Texto de ense˜ anza para el curso de Admisi´n”. Facultad de          ...
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Texto de matematicas 2009-2011

  1. 1. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES ´ FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES PREFACULTATIVO ´PENSAMIENTO LOGICO ´ MATEMATICOMARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO Texto de ense˜ anza para el curso de n Admisi´n de la Facultad de Ciencias sociales o La Paz - Bolivia 2009
  2. 2. ResumenEste texto abarca las actividades a desarrollarse durante la segunda gesti´n del a˜ o acad´mico o n e2009 en el curso Pre-Facultativo de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayorde San Andr´s (U.M.S.A.) y ha sido elaborado tomado en cuenta que la formaci´n b´sica de un e o aLicenciado en Ciencias Sociales radica en el manejo de los conceptos de aritm´tica y ´lgebra. e aLa comprensi´n de estos conceptos y la destreza en hacer c´mputos elementales usando las o opropiedades del algebra le permitir´n afrontar las asignaturas propias de la carrera, que no solo ason imprescindibles en el aspecto te´rico, sino de forma especial, en el pr´ctico. o aAgradezco la confianza de las autoridades de la Facultad de Ciencias Sociales para realizar estalabor did´ctica educativa. a I
  3. 3. ´Indice general1. Sistemas Num´ricos e 1 1.1. Conjuntos de N´ meros y operaciones aritm´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . u e 1 1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritm´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . e 6 1.3. Reglas para los par´ntesis y corchetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Exponentes 9 2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Operaciones Algebraicas 11 3.1. Marco Te´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 3.2. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Productos Notables y Factorizaci´n o 15 4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3. Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 o 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Ecuaciones de primer y segundo grado con una inc´gnita o 19 5.1. Marco Te´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 5.2. Ecuaci´n de primer grado con una inc´gnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o o ii
  4. 4. ´ INDICE GENERAL 5.3. Resoluci´n de ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 o 5.4. Problemas de Aplicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 o 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226. Sistemas de ecuaciones lineales 24 6.1. M´todo de igualaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e o 6.2. M´todo de sustituci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e o 6.3. M´todo de sumas y restas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e 6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267. Signo simple de sumar 27 7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288. Signo doble de sumar 30 8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329. Introducci´n al c´lculo de probabilidades o a 33 9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.Reglas de contar 37 10.1. Notaci´n factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 o 10.2. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 10.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 10.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Bibliograf´ ıa 41 III
  5. 5. CAP´ ITULO 1Sistemas Num´ricos e1.1. Conjuntos de N´ meros y operaciones aritm´ticas u eLos n´ meros son entes ideales que el hombre tuvo que inventar para poder contar los elementos ude las colecciones que observaba en su mundo circundante.Los n´ meros se clasifican de la siguiente manera: u N´meros Naturales: N = {1, 2, 3, 4, ....} u A partir del n´ mero 1 podemos expresar todos los dem´s n´ mero naturales a trav´s de u a u e la suma, por ejemplo 2 = 1+1 3 = 1+1+1 4 = 1+1+1+1 . . . n veces n = 1+···+1 Suma: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces la suma entre a y b es otro numero en N dado por a veces b veces a+b = 1+···+1+1+···+1 Ejemplo 1. 1
  6. 6. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS 3 veces 5 veces 3 + 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8. Multiplicaci´n: Si a ∈ N y b ∈ N, entonces el producto entre a y b es un numero en N o dado por b veces a veces ab = a + · · · + a = b + · · · + b Ejemplo 2. 5 veces 3 veces 3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 = 15 N´meros Enteros: Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ....} u A partir del n´ mero −1 podemos expresar todos los n´ meros negativos a trav´s de la u u e suma, por ejemplo −2 = (−1) + (−1) −3 = (−1) + (−1) + (−1) −4 = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) . . . n veces −n = (−1) + · · · + (−1) Suma: 1 + (−1) = 0. Ejemplo 3. 3 veces 5 veces (−3) + 5 = (−1) + (−1) + (−1) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2. Ejemplo 4. 3 veces 5 veces 3 + (−5) = 1 + 1 + 1 + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −2. Resta: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces a menos b es un numero c en Z siempre que b mas c es a, esto es a − b = c simpre que b + c = a. 2
  7. 7. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS Ejemplo 5. 5 − 3 = 2 por que 3 + 2 = 5. Ejemplo 6. 3 − 5 = −2 por que 5 + (−2) = 3. Multiplicaci´n: o 1(−1) = (−1)1 = −1. Ejemplo 7. 3 veces 3 · (−5) = −5 − 5 − 5 = −15 5 veces (−3) · 5 = −3 − 3 − 3 − 3 − 3 = −15 Regla de signos: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces (−a)(−b) = ab. (−a)b = a(−b) = −ab. Ejemplo 8. (−3)(−5) = 3 · 5 = 15. (−3)5 = 3(−5) = −15. N´meros Racionales o fraccionarios: u a Q= : a, b ∈ Z, b = 0 b Ejemplo 9. 4 1 2 9 12 11 , , − , , , 3 2 7 8 53 56 Interpretaci´n geom´trica: Si consideramos como unidad el rect´ngulo de la figura 1, o e a las figuras 2, 3, 4, 5, corresponden a las fracciones indicadas en cada caso. Suma de fracciones: Para sumar dos facciones, 3
  8. 8. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS Figura 1.1: 1 Figura 1.2: La parte sombreada se describe con la fracci´n 1/3 (un tercio). o(1) se determina el m´ ınimo com´ n denominador, u(2) se expresa cada fracci´n en t´rminos del m´ o e ınimo com´n denominador, y u(3) se suman los numeradores y se divide la suma entre el com´n denominador. uSi a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces a c ad + bc + = . b d bdEjemplo 10. 4 2 4·5+3·2 26 + = = . 3 5 3·5 15Resta de fracciones: Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces a c ad − bc − = . b d bdEjemplo 11. 4 2 4·5−3·2 14 − = = . 3 5 3·5 15Multiplicaci´n de fracciones: Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si olos numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces a c ac · = . b d bdEjemplo 12. 4
  9. 9. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS Figura 1.3: La parte sombreada se describe con la fracci´n 3/9 (tres novenos). o 4 2 4·2 8 · = = . 3 5 3·5 15Divisi´n de fracciones: Si p ∈ Q, q ∈ Q, p dividido entre q es c ∈ Q si qc = p, esto es, o p = c simpre que qc = p. qEjemplo 13. 7 3 = 28 por que 1 28 · 7 = . 1 3 4 3 3 4Si a ∈ Z, b ∈ Z, c ∈ Z y d ∈ Z con b = 0, d = 0 entonces a b = ad . c bc dEjemplo 14. 7 3 = 7 · 4 = 28 . 6 3·6 18 4Regla de signos: Si a ∈ Z y b ∈ Z, entonces −a a = . −b b −a a a = =− . b −b bEjemplo 15. 5
  10. 10. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS −2 2 = . −7 7 −3 3 3 = =− . 4 −4 4 N´ meros Iracionales: Qc = {x : x ∈ Q} u / N´ meros Reales: R = Q ∪ Qc u1.2. Reglas para el orden de las operaciones aritm´ticas e El orden en que se suman los n´ meros no modifica el resultado. u 6 + 4 + 11 = 4 + 6 + 11 = 11 + 6 + 4 = 21 6 + (−3) + 2 = −3 + 6 + 2 = 2 + 6 + (−3) = 5 El orden en que se multiplican los n´ meros no modifica el resultado. u 3x5x8 = 8x5x3 = 5x8x3 = 120 Si aparece una multiplicaci´n y una suma o resta, la multiplicaci´n debe realizarse en o o primer lugar, a menos que los par´ntesis o corchetes indiquen lo contrario. e 4x5 + 2 = 20 + 2 = 22 6x(14 − 12)x3 = 6x2x3 = 36 6x(4 + 3)x2 = 6x7x2 = 84 Si aparece una divisi´n y una suma o resta, la divisi´n debe realizarse en primer lugar, a o o menos que los par´ntesis o corchetes indiquen lo contrario e 12/4 + 2 = 3 + 2 = 5 12/(4 + 2) = 12/6 = 2 12/4 − 2 = 3 − 2 = 1 12/(4 − 2) = 12/2 = 61.3. Reglas para los par´ntesis y corchetes e Los par´ntesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como un e solo n´ mero. u 6
  11. 11. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS (2 + 8)(6 − 3 + 2) = 10(5) = 50 Cuando haya par´ntesis dentro de unos corchetes, primero se realizan las operaciones e dentro de los par´ntesis. e [(4)(6 − 3 + 2) + 6][2] = [(4)(5) + 6][2] = [26][2] = 52 Cuando no sea conveniente reducir a un solo n´ mero lo encerrado por unos par´ntesis, u e estos pueden eliminarse como sigue: a) Si aparece un signo positivo antes de los par´ntesis, ´stos se eliminan sin modificar e e el signo de los n´ meros contenidos en ellos u 1 + (3 + 5 − 2) = 1 + 3 + 5 − 2 = 7 b) Si aparece un signo negativo antes de los par´ntesis, ´stos se eliminan cambiando el e e signo de los n´ meros contenidos en ellos u 4 − (6 − 2 − 1) = 4 − 6 + 2 + 1 = 1 c) Si aparece un n´ mero multiplicando fuera de los par´ntesis, todos los t´rminos dentro u e e de ellos deben ser multiplicados por dicho n´ mero u 3(2 + 3 − 4) = 6 + 9 − 12 = 3 a(b + c + d) = ab + ac + ad d) El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma por los elementos de la otra. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd e) Si los n´ meros contenidos dentro de los par´ntesis se operan de alguna otra forma, u e siempre se realizan primero la operaci´n antes de combinarlos con otros t´rminos. o e 5 + 4(3 + 1) + 6 = 5 + 4(4) + 6 = 5 + 16 + 6 = 27 4 + (3 + 1)/2 = 4 + 4/2 = 4 + 2 = 61.4. Ejercicios (I) Una vez que terminaste de leer las operaciones aritm´ticas, resuelve los siguientes ejerci- e cios, ten cuidado al realizar tus c´lculos num´ricos. a e 7
  12. 12. CAP´ ´ ITULO 1. SISTEMAS NUMERICOS (1) 2 + 12 + 4 + 14 + 49 + 52 =. (2) −16 + 14 + (−25) + 45 + 12 + (−19) = (3) 4(12)(−2)(−5)(13)(−6)(100) − (12000) = (4) d) − 1/4 + 3/5 − (−5) + 1/2 + 1/4 + (−2/9) = (5) (−a)(−b)(−c)(−d) = (6) (a)(b)(c)(−d) = (−2)5(−3) (7) 20 (−a)(−b)(c) (8) = −h (9) 8(3 − 5)4(3 + 5 − 16) =(II) Una vez que terminaste de leer las reglas para los par´ntesis y corchetes, resuelve los e siguientes ejercicios, ten cuidado al realizar tus c´lculos num´ricos. a e (1) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] =. (2) [5 + (4 × 3) − (6 × 6)] × [3 × (5 + 6)] + 10 = (3) [15 + (4 × 2) − (5 × 6 + 5)] × [−3 × (5 + 6) × (8 − 12)] + 40 = (4) [9 × (4 × 2 − 5) − (5 × 6 − 15)] × [3 × (5 − 6) × (8 − 12)] − 60 = 8
  13. 13. CAP´ ITULO 2Exponentes Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo 2 veces o u a2 = aa 42 = 4 × 4 = 6 Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo 3 veces o u a3 = aaa 43 = 4 × 4 × 4 = 64 Multiplicaci´n de un n´ mero por si mismo n veces o u n veces an = a × · · · × a n veces n 4 = 4×···×4 Propiedades 1 Multiplicaci´n de dos cantidades exponenciales con la misma base: El producto de dos o cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes. an am = an+m 2 3 2 5 = 28 9
  14. 14. CAP´ ITULO 2. EXPONENTES 2 Elevar una base a un exponente negativo: Una base a un exponente negativo es igual a 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente. 1 a−n = an 1 5−3 = 3 5 2 Divisi´n de dos cantidades exponenciales con la misma base: El cociente de dos canti- o dades exponenciales con la misma base es la base elevada a un exponente igual a la resta del exponente en el numerador menos el exponente en el denominador. an m = an−m a 23 1 = 23−5 = 23−5 = 2−2 = 2 2 5 22.1. Ejercicios.Una vez que terminaste de leer las fracciones y exponentes, resuelve los siguientes ejercicios,realiza con cuidado las operaciones que te piden. 1. 32 × 34 × 33 = 2. 12−3 × 124 × 126 × 12−3 = 3. [15 × 156 × (152 )]2 = 1 4. 2−3 × 2−2 × = 24 1 1 5. × 104 × −2 = 103 10 10
  15. 15. CAP´ ITULO 3Operaciones Algebraicas3.1. Marco Te´rico o ´DEFINICION 3.1 (Expresi´n Algebraica). Una expresi´n algebraica es una combinaci´n de o o os´ ımbolos representativos de n´meros reales, mediante las operaciones suma, diferencia, producto uy cociente.Ejemplo. 2x + 5y; 4x3 + 3y − 2 ´DEFINICION 3.2 (Polinomios). Un polinomio en una variable es una expresi´n algebraica ode la forma: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .El grado del polinomio es el valor de n. En el caso de polinomios de dos o m´s variables el agrado es la mayor suma de exponentes.Ejemplo 1. Los polinomios P y Q son de una variable, R es de dos variables P (x) = 4x3 + 2x2 + x + 2 Q(x) = x5 + x2 − 2x R(x, y) = 2x2 y + 3xy 3Donde: Grado de P (x) es 3. Grado de Q(x) es 5 y el Grado de R(x, y) es 4. 11
  16. 16. CAP´ ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS ´DEFINICION 3.3 (T´rminos semejantes). Son aquellos que tienen los mismos factores lit- eerales, cada uno con el mismo exponente. Los t´rminos semejantes tiene el mismo coeficiente eliteral.Ejemplo 1. 6x2y y 4x2y son t´rminos semejantes. e Ejemplo 2. En el siguiente polinomio: x6+3x5+2x4−2x+1. Indicar: a) N´ mero de t´rminos. u eb) Grado del polinomio.Soluci´n: a) El polinomio tiene 5 t´rminos: x6, 3x5, 2x4, −2x, 1. b) Grado es 6. o e3.2. Operaciones con polinomiosSuma y diferencia.- Para sumar o restar polinomios, simplemente sumamos o restamos loscoeficientes de los t´rminos semejantes. eEjemplo 3. 3x + 4x = (3 + 4)x = 7xProcedimiento para sumar y restar polinomios: I. Ordenar los polinomios, situando los t´rminos semejantes en la misma columna. e II. Sumar o restar los t´rminos semejantes eEjemplo 4. Si P (x, y) = 4x2 + 3xy − 2y 2 y Q(x,y) = 3x2 + 2xy . Hallar: (P + Q)(x, y)Soluci´n. 1ro. Se ordenan los polinomios, situando los t´rminos Semejantes en la misma colum- o ena. 2do. Se suman los t´rminos semejantes: e 4x2 + 3xy - 2y 2 3x2 + 2xy 7x2 + 5xy - 2y 2Multiplicaci´n.- Para multiplicar polinomios se usa el axioma de la distributividad a∆(b+c) = oab + ac y las propiedades de los exponentes.Procedimiento para multiplicar polinomios. I. Ordenar cada polinomio. II. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio. e III. Sumar t´rminos semejantes. e 12
  17. 17. CAP´ ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICASEjemplo 5. Multiplicar: 2x2 + 2x − 3 por 3x + 1Soluci´n. 1ro. Se ordena cada polinomio. 2do. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por o etodos y cada uno de los del otro polinomio. 3ro. Se suman los t´rminos semejantes. e 2x2 + 2x - 3 3x + 1 6x3 + 6x2 - 9x + 2x2 + 2x - 3 3 6x + 8x2 - 7x - 3Divisi´n.- Para dividir polinomios se usa las siguientes propiedades de los exponentes. o an = an−m si n m. am an = 1. an an 1 m = m−n si n m. a aProcedimiento para dividir polinomios. I. Disponer los polinomios en la forma ordinaria de efectuar una divisi´n num´rica en orden o e decreciente, dejando espacios para los t´rminos que no aparezcan en el dividendo. e II. Dividir el primer t´rmino del dividendo entre el primer t´rmino del divisor, obteni´ndose e e e as´ el primer t´rmino del cociente. ı e III. Multiplicar el primer t´rmino del cociente por cada uno de los t´rminos del divisor. e e IV. Restar los t´rminos semejantes y bajar uno a m´s t´rminos del dividendo seg´ n se necesite. e a e u V. Repetir los pasos II a IV, utilizando el resto como un nuevo dividendo; esto es dividir, multiplicar, restar y bajar. VI. Continuar repitiendo los pasos II a IV tanto como sea posible.VII. Multiplicar cada t´rmino de un polinomio por todos y cada uno de los del otro polinomio. eVIII. Sumar t´rminos semejantes. ePara comprobar la divisi´n multiplicar el cociente por el divisor y a˜ adir el resto (si hubiera), o nel resultado debe ser igual al dividendo.Ejemplo 6. Dividir x3 − 2x2 − 6x + 2 entre x − 3 y realizar la prueba.Soluci´n. o 13
  18. 18. CAP´ ITULO 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS3.3. Ejercicios 1. Escribir un polinomio de una variable 4 t´rminos y grado 6. e 2. Escribir 3 t´rminos semejantes de grado 2. e 3. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los t´rminos semejantes. e a) 2xy − 3xy + 4yz − yz. b) y 2 − x2 + 3z 2 − 4y 2 c) xy 2 + x2 y 2 − 3x2 y + 7x2 y d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y) 4. Hallar el grado de: P (x) = 2x2 y + 3xy 2 + xy 3 5. Realizar las siguientes operaciones algebraicas. a) 5x + 10x b) (−3y3) + (−7y3) c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2) d) 6y 2 − x2 + 10xy + 8x2 6. Expresar algebraicamente: cuatro veces c disminuido en un quinto de d. a)4c − 5d, b)4c − d/5, c)4c + d/5, d)d + 4c, e)4c + 5d. 7. 7. Dados los polinomios: A(x) = −3x4 + 2x3 − x2 − 6 y B(x) = x4 − 2x3 − 3x. Hallar S(x) = A(x) + B(x). 8. Dados dos polinomios Q1 (x) = x5 +2x3 +4x2 , y Q2 (x) = x3 −2x2 , encuentre los siguientes polinomios: P1 = Q1 + Q2 , P2 = Q1 − Q2 , P3 = Q1 ∗ Q2 14
  19. 19. CAP´ ITULO 4Productos Notables y Factorizaci´n o4.1. Productos NotablesEs conveniente recordar algunos ”Productos Notables”que se presentan con mucha frecuencia enel .Algebra”todos ellos naturalmente est´n basados en los Axiomas o Teoremas de los n´ meros a ureales. A continuaci´n se presenta una tabla de los productos notables m´s utilizados: o a x Axioma de Distributividad a(x + y) = ax + ay y Diferencia de cuadrados. (x + y)(x − y) = (x2 − y2) z Binomio al cuadrado (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2. { Producto de binomios (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab | Diferencia de cubos (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3 } Suma de cubos (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3 ~ Cubo de suma (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3  Cubo de diferencia (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 € Cuadrado de trinomio (x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + xz + yz) 15
  20. 20. CAP´ ´ ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION4.2. Ejercicios Resueltos 1. Resolver empleando productos notables: (x + 5y)2. Soluci´n: Empleando el producto no- o table Binomio al cuadrado se tiene: (x + 5y) = x + 10xy + 25y 2 2 2 2. Resolver empleando productos notables: (y + 6)(y − 3) Soluci´n: Empleando el producto o de binomios. Se tiene: (y + 6)(y − 3) = y + (6 − 3)y + (6)(−3) = y 2 + 3y + 3 2 3. Resolver empleando productos notables: (4 + 5y)3 Soluci´n: Empleando el cubo de una o suma se tiene: (4+5y)3 = (4)3 +(3)(42 )5y+(3)(4)(5y)2 +125y 3 = 64+240y+300y 2 +125y 3 4. Resolver empleando productos notables: (x + y + z)2 Soluci´n: Empleando el producto o notable cuadrado de un trinomio se tiene: (x + 2y + z)2 = x2 + (2y)2 + z 2 + 2(x(2y) + xz + (2y)z) == x2 + 4y 2 + z 2 + 2(2xy + xz + 2yz) 5. Resolver empleando productos notables: (2x+y)(2x−y) Soluci´n: Empleando el producto o notable diferencia de cuadrados: 4x2 − y 2 6. Multiplicar: (a − b)(a2 + ab + b2 ) Utilizando el producto notable (5) el resultado es: a3 − b3 7. Multiplicar: (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ). Utilizando el producto notable 10 y se obtiene: a4 − b44.3. Factorizaci´n oAl factorizar una expresi´n algebraica, intentamos reducir la expresi´n a los componentes m´s o o asencillos tales que al ser multiplicados entre si dan la expresi´n original. o Factor Com´n. Se usa la ley distributiva u ab + ac = a(b + c). Si tenemos un polinomio con la variable x y queremos factorizarlo se debe elegir el m´ximo a factor com´ n. El t´rmino axn es el m´ximo factor com´ n del polinomio si: u e a u 1. a es el m´ximo entero que divide a cada uno de los coeficientes del polinomio. a 2. n es el m´ ınimo exponente de x en todos los t´rminos del polinomio. e Ejemplo 1. Factorizar 24x3 + 18x2 . Soluci´n. Para factorizar 24x3 + 18x2 hallemos el m´ximo factor com´ n. o a u 16
  21. 21. CAP´ ´ ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION (i) Descomponemos 24 y 18 en sus factores primos. 24 = 23 · 3. 18 = 2 · 32 Entre 23 y 2 elegimos 2 (el de menor exponente). Entre 3 y 32 elegimos 3 (el de menor exponente). Luego el m´ximo entero que divide a 24 y a 18 es 2 · 3 = 6. a (ii) Para la letra x: elegimos el de menor exponente que es x2 . (iii) El m´ximo factor com´ n es 6x2 . a u 24x3 + 18x2 = 6x2 (4x + 3). Diferencia de dos cuadrados. Se usa la formula a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ejemplo 2. Factorizar x2 − 16. Soluci´n. o x2 − 16 = x2 − 42 = (x + 4)(x − 4). Suma y diferencia de cubos. Se usan las formulas a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2 ), a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Ejemplo 3. Factorizar a3 − 27. Soluci´n. o a3 − 27 = a3 − 33 = (a − 3)(a2 + a3 + 32 ) = (a − 3)(a2 + 3a + 9). Agrupamiento de T´rminos. Dada una expresi´n no siempre es f´cil reconocer si e o a pertenece a uno de los casos anteriores, pero puede reducirse a ´l haciendo algunas op- e eraciones como agrupar los t´rminos adecuados. e Ejemplo 4. Factorizar 16x2 y 2 + 12ab − 4a2 − 9b2 . Soluci´n. o 16x2 y 2 + 12ab − 4a2 − 9b2 = 16x2 y 2 − 4a2 + 12ab − 9b2 = 16x2 y 2 − [4a2 − 12ab + 9b2 ] = 16x2 y 2 − [(2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2 ] = 16x2 y 2 − (2a − 3b)2 = (4xy)2 − (2a − 3b)2 = [4xy + (2a − 3b)][4xy − (2a − 3b)] = (4xy + 2a − 3b)(4xy − 2a + 3b). 17
  22. 22. CAP´ ´ ITULO 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION4.4. Ejercicios 1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2 2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2 3. Representar el ´rea de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m. a a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2 , d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7. 4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto. a)a2 − b2 , b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b. 5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2. 6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1) 7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2 )(x2 − a2 ) a)x2 a2 , b)x4 + a4 , c)x2 + a4 , d)x4 − a4 , e)x4 − x2 + a2 x2 8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2 9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2 10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2) a)a3 + ab + a3 , b)a3 + b3 , c)a3 + ab2 + a2 b + b3 , d)a3 − b3 e)N.A. 11. Factorizar a) 16x2 y 2 − 81a2 b2 c2 b) x2 y 2 − 36y 4 c) 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2 12. Factorizar a) 8x3 − 27y 3 b) 64(m + n)3 − 125 c) (x + y)3 − (x − y)3 13. Factorizar a) 3ax − ay − 3bx + by b) x2 − 4y 2 + x + 2y c) x3 + 6x6 y + 12xy 2 + 8y 3 18
  23. 23. CAP´ ITULO 5Ecuaciones de primer y segundo gradocon una inc´gnita o5.1. Marco Te´rico o Se llama ecuaci´n o igualdad condicional, a la que s´lo se satisface o verifica para valores o o particulares atribuidos a sus letras o inc´gnitas. o La soluci´n de una ecuaci´n es el conjunto de valores que satisfacen o verifican la ecuaci´n. o o o Al sustituir estos valores en la ecuaci´n esta se transforma en una identidad num´rica. o e Resolver una ecuaci´n es efectuar en ella todas las operaciones necesarias para obtener o sus ra´ o soluciones. ıces5.2. Ecuaci´n de primer grado con una inc´gnita. o oEs una igualdad (condicional) que tiene la forma: ax + b = c.Donde: x es la inc´gnita, a, b y c son constantes reales. La soluci´n o ra´ de esta ecuaci´n es: o o ız o c−b x= . a 19
  24. 24. CAP´ ´ ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Ejemplo 1. Resolver la siguiente ecuaci´n: x + 3 = 8 oSoluci´n. Para despejar x, el n´ mero 3 debe pasar otro lado de la igualdad con diferente signo, o use tiene: x = 8 − 3x = 5. Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuaci´n: 12y = 3 oSoluci´n. Para despejar y, el numero 12 que esta multiplicando debe pasar al otro lado de la oigualdad a dividir. y = 3/12 = 1/4. Ejemplo 3. Resolver la siguiente ecuaci´n: 3x − 5 = x + 3 oSoluci´n. Se deben transponer t´rminos semejantes reuniendo en un solo miembro los t´rminos o e eque contengan a la inc´gnita y en el otro miembro las cantidades conocidas 3x − x = 5 + 3 Se osuman o restan los t´rminos semejantes en cada miembro. 2x = 8 Para despejar la inc´gnita el e on´ mero 2 pasa al segundo miembro dividiendo: x = 8/2x = 4. u5.3. Resoluci´n de ecuaciones de segundo grado o.Para resolver la ecuaci´n de segundo grado se utiliza los siguientes m´todos: o e a) M´todo de completar cuadrados. e b) M´todo de factorizaci´n. e o c) Uso de f´rmula o M´todo de completar cuadrados. El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado e perfecto. (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2. Procedimiento: I. Escribir la ecuaci´n en la forma: x2 + px = q. o II. Sumar a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. III. Sustituir el trinomio por el cuadrado del binomio correspondiente. IV. Extraer la ra´ cuadrada de ambos miembros. Resolver las dos ecuaciones que resul- ız tan V. Resolver las dos ecuaciones que resultan VI. Comprobar las dos ecuaciones en la ecuaci´n general. o 20
  25. 25. CAP´ ´ ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Ejemplo 4. Resolver la ecuaci´n x2 + 6x -7 =0 completando el cuadrado. o Soluci´n. x2 + 6x − 7 = 0, x2 + 6x = 7. Cuadrado de 6/2 es o (6/2)2 = 9 . Sumando 9 a ambos miembros x2 + 6x + 9 = 7 + 9 (x + 3)2 = 16√ x + 3 = ± 16. x+3 =4 x + 3 = −4 x=1 x = −7. M´todo de factorizaci´n. e o Procedimiento: I. Escribir la ecuaci´n en la forma: ax2 + bx + c = 0 o II. Descomponer en factores ax2 + bx + c. III. Igualar a cero cada factor. IV. Resolver cada ecuaci´n que resulta. o V. Comprobar cada ra´ o soluci´n en la ecuaci´n original. ız o o Ejemplo 5. Resolver x2 − x = 6 por factorizaci´n. o Soluci´n. o x2 − x − 6 = 0 (x − 3)(x + 2) = 0 x−3= 0 x+2 =0 x=3 x = −2. M´todo empleando f´rmula. e o F´rmula general: Si ax2 + bx + c = 0, su soluci´n es: o o √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a Procedimiento: I. Escribir la ecuaci´n en la forma normalizada ax2 + bx + c = 0. o 21
  26. 26. CAP´ ´ ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA II. Identificar los coeficientes a, b y c. III. Sustituir los valores de a, b y c en la f´rmula. o IV. Calcular el valor de x. Ejemplo 6. Resolver empleando la f´rmula. 2x2 + x − 3 = 0. o Soluci´n. a = 2, b = 1 y c = −3. o √ −1 ± 12 − 4(2)(−3) −1 ± 25 x= = 2(2) 4 x = 1, x = −3/2.5.4. Problemas de Aplicaci´n oEjemplo 1. Hallar un n´ mero tal que restando 5 de tres veces dicho n´ mero se obtiene 19. u uSoluci´n: Sea n = n´ mero. Expresando la proposici´n en una ecuaci´n se tiene: 3n − 5 = 19. o u o oDespejando n se tiene: n = 8. Ejemplo 2. Hallar la edad de dos personas sabiendo que una de ellas es el doble de la otra yque la mayor es igual a la menor m´s 10. Soluci´n: Sea s la menor edad Sea 2s la edad mayor a opuesto que es el doble de la menor. El planteamiento ser´ 2s = s + 10. Resolviendo se tiene: ıa:2s − s = 10, s = 10. Ejemplo 3. Se hace una inversi´n al 8 % de inter´s compuesto anualmente. La inversi´n o e oaumenta a 783 bs. al cabo de un a˜ o. ¿Cu´nto se invirti´ originalmente? n a oSoluci´n: Formulamos la situaci´n de la siguiente forma: La cantidad invertida m´s el inter´s o o a esuma 783, es decir: x + 8 %x = 783, x + 0,08x = 783, 1,08x = 783, x = 725.5.5. Ejercicios 1. Resolver las siguientes ecuaciones de todas las formas conocidas. 3x − (77 − 12x) = 7x + 22. 32y − [87y − 2(1 − y)] = −(3 − (4 − y)). −{1 − [2 − (3 − x)]} = −{4 − [5 − (6 − x)]}. x2 + 10x + 25 = 0. x2 − x − 6 = 0. 22
  27. 27. CAP´ ´ ITULO 5. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA x2 + 4x − 21 = 0.2. Un jugador perdi´ la mitad de su dinero, volvi´ a jugar y perdi´ 1/2 de lo que le quedaba, o o o repiti´ lo mismo por 3ra vez y 4ta vez, despu´s de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cu´nto dinero o e a ten´ al comenzar el juego?. ıa a)84, b)94, c)86, d)96, e)N.A.3. La edad de Marcelo hace 6 a˜ os era la ra´ cuadrada de la edad que tendr´ dentro de 6 n ız a a˜ os. Hallar su edad actual. n a)4 a˜ os, n b)6 a˜ os, n c)8 a˜ os, n d)10 a˜ os, n e)N.A.4. El cociente de dividir 84 entre cierto n´ mero, excede en 5 a ´ste n´ mero. Hallar el n´ mero. u e u u a)3, b)5, c)7, d)9, e)N.A. 23
  28. 28. CAP´ ITULO 6Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones como dice su nombre, esta formado por 2 o m´s ecuaciones de 2 o am´s variables, llamadas inc´gnitas. Cuyos valores se deben calcular utilizando propiedades de a olos n´ meros reales y los conocimientos del ´lgebra y de la aritm´tica. u a eEn este cap´ ıtulo resolveremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´gnitas que tienen ola forma: ax + by = u cx + dy = vPara resolver este tipo de sistemas existen varios m´todos como: e a) Igualaci´n o b) Sustituci´n. o c) Sumas y restas.6.1. M´todo de igualaci´n e oEjemplo 1. Resolver el sistema empleando el m´todo de igualaci´n. e o 2x + y = 5 (1) 3x − y = 5 (2) 24
  29. 29. CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSoluci´n. De la ecuaci´n (1) despejamos y, y = 5 − 2x. De la ecuaci´n (2) tambi´n despejamos o o o ey, y = 3x + 5. 5 − 2x = 3x − 5 −2x − 3x = −5 − 5 −5x = −10 x = 2.Por lo tanto: y = 5 − 2(2) = 1.6.2. M´todo de sustituci´n e oEjemplo 2. Resolver por el m´todo de sustituci´n. e o 3x + y = 5 (1) 2x + 3y = 8 (2)Soluci´n. De la ecuaci´n (1) despejamos y, y = 5 − 3x. Reemplazando en la ecuaci´n (2) o o otenemos 2x + 3(5 − 3x) = 8 2x + 15 − 9x = 8 −7x = −7 x = 1.Por lo tanto: y = 5 − 3(1) = 2.6.3. M´todo de sumas y restas eEjemplo 3. Resolver por el m´todo de sumas y restas e 2x + 3y = 5 (1) −x + 4y = 3 (2)Soluci´n. Multiplicando la ecuaci´n (2) por 2 tenemos o o 2x + 3x = 5 −2 + 8x = 6 + 11y = 11Por lo tanto: y = 1, Reemplazando en (1) 2x + 3(1) = 5, de donde x = 1. 25
  30. 30. CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES6.4. Ejercicios 1. Resolver por los tres m´todos los siguientes sistemas e 3x + 2y = 8 −x − 10y = 4 2x + 22y = 2 8x − y = 2 3x + 5y = −2 22x − 2y = −2 2. Pedro tiene doble dinero que Carlos, si Pedro pierde 10 Bs y Carlos pierde 5 Bs, Pedro tendr´ 20 Bs m´s que B. ¿Cu´nto tiene cada uno?. a a a a)50 y 25Bs., b)52 y 26Bs., c)54 y 27Bs., d)56 y 28Bs., e)N.A. 3. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuaci´n a otra velocidad o durante 3h, se han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h m´s a cada una de a las velocidades se habr´ recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades. ıan a)10 y 15Km/h, b)35 y 25Km/h, c)40 y 45Km/h, d)30 y 35Km/h, e)N.A. 4. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, la velocidad deber´ haber sido 10 Km/h m´s. Hallar la velocidad del tren en ıa a Km/h. a)20Km/h, b)30Km/h, c)40Km/h, d)50Km/h, e)N.A. 5. Dos turistas se dirigen simult´neamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de a ellos. El 1ro. De ellos hace por hora 1 km m´s debido a lo cu´l llega a la ciudad una hora a a antes. Hallar las velocidades de los turistas en Km/h. a)5 y 4Km/h, b)4 y 3Km/h, c)6 y 5Km/h, d)7 y 6Km/h, e)N.A. 6. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m de la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Qu´ distancia hacia abajo se mueve la parte superior?. e 26
  31. 31. CAP´ ITULO 7Signo simple de sumarEl signo de sumar, n , viene a significar lo siguiente: “Sume los n t´rminos obtenidos susti- i=1 etuyendo el sub´ ındice i por 1, 2, 3, ..., n en la expresi´n afectada por dicho signo”. Esto es, o n xi = x1 + x2 + · · · + xn . i=1Ejemplo 1. Si xi = i, tenemos que 5 xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. i=1Ejemplo 2. Si xi = (i + 1)2 , tenemos que 3 xi = x1 + x2 + x3 = (1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (3 + 1)2 . i=1de donde 3 (i + 1)2 = 22 + 32 + 42 . i=1Propiedades. n x k = kn. i=1 27
  32. 32. CAP´ ITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR n n y cxi = c xi . i=1 i=1 n n z (xi + k) = xi + kn. i=1 i=1 n n { (cxi + k) = c xi + kn. i=1 i=1 n n n | (xi + yi ) = xi + yi . i=1 i=1 i=1 Ejemplo 3. Si x1 = −3, x2 = 1, x3 = 6, x4 = −8, x5 = 20, x5 = −1, y1 = 4, y2 = 1, y3 = −6,y4 = 8, y5 = 2, y5 = 10. Hallar 6 1. 2 = 2(6) = 12. i=1 6 n 2. 2xi = 2 xi = 2(−3 + 1 + 6 − 8 + 20 − 1) = 30. i=1 i=1 6 n 3. (xi + 4) = xi + 4(6) = 15 + 24 = 39. i=1 i=1 6 n 4. (−1xi − 3) = −1 xi − 3(6) = −15 − 18 = −33. i=1 i=1 6 5. (xi + yi ) = 15 + 19 = 39. i=17.1. Ejercicios 1. Si x1 = 45, x2 = 11, x3 = 16, x4 = −18, x5 = 2, x5 = −21, y1 = 41, y2 = −1, y3 = −16, y4 = 82, y5 = 23, y5 = 100. Hallar 6 a) 4xi = i=1 6 b) (xi − 66) = i=1 28
  33. 33. CAP´ ITULO 7. SIGNO SIMPLE DE SUMAR 6 c) (−11xi + 56) = i=1 6 d) (xi + yi ) = i=1 12. Si xi = , hallar (i + 1)2 3 xi = i=13. Si xi = i3 , hallar 10 xi = i=1 29
  34. 34. CAP´ ITULO 8Signo doble de sumarSupongamos que un grupo de n personas queda descompuesta en k subgrupos, con n1 , n2 , n3 ,...,nk personas respectivamente, esto es n1 + n2 + n3 + · · · + nk = nSupongamos que xij representa la puntuaci´n de la persona i que pertenece al grupo j, entonces opodemos formar la siguiente tabla con estas puntuaciones. Grupo 1 Grupo 2 . . . Grupo k x11 x12 ... x1k x21 x22 ... x2k . . . . . . . . . . . . xn1 1 xn2 2 ... xnk kLa suma de las puntuaciones del grupo 1 vendr´ dada por a n1 xi1 . i=1La suma de las puntuaciones del grupo 2 vendr´ dada por a n2 xi2 . i=1 30
  35. 35. CAP´ ITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMARLa suma de las puntuaciones del grupo k vendr´ dada por a nk xik . i=1La asuma de las n puntuaciones del grupo total viene dada por k nj xij . j=1 i=1Propiedad. k n k n n k xij = xij = xij . j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 Ejemplo 1. Supongamos que a tres personas les han sido aplicadas dos pruebas. Llamemosxij a la puntuaci´n obtenida por la persona i en la prueba j. Es decir x11 es la puntuaci´n o oobtenida por la primera persona en la prueba primera, x12 es la puntuaci´n obtenida por la oprimera persona en la prueba segunda, etc. Supongamos adem´s que las puntuaciones obtenidas apor estas tres personas en las dos pruebas son las siguientes: Pruebas (j) x11 = 1 x12 = 1 Personas (i) x21 = −1 x22 = 2 x31 = 3 x32 = −2Con este supuesto, tenemos 3 2 a) xij = 4. j=1 i=1 3 2 b) x2 = 20. ij j=1 i=1 3 2 2 c) xij = 16. j=1 i=1 31
  36. 36. CAP´ ITULO 8. SIGNO DOBLE DE SUMAR8.1. EjerciciosSupongamos que Pruebas (j) x11 = −1 x12 = 2 Personas (i) x21 = +1 x22 = 3 x31 = −3 x32 = −4Con este supuesto, desarrollar las siguientes expresiones y calcular su valor num´rico: e 3 2 a) xij =. j=1 i=1 3 2 2 b) xij =. j=1 i=1 3 2 2 c) xij =. j=1 i=1 32
  37. 37. CAP´ ITULO 9Introducci´n al c´lculo de o aprobabilidades ´DEFINICION 9.1 (Experimento Aleatorio). Es toda operaci´n cuyo resultado no puede ser opronosticado con certeza. Ejemplo 1. Ser´n experimentos aleatorios: lanzar una moneda al aire, aplicar un test a una apersona, disparar una flecha a una diana, contar las piezas defectuosas entre las fabricadas und´ cualquiera en cierta empresa industrial. ıaEl experimento aleatorio es, pues, una operaci´n o proceso que puede ser llevado a cabo repeti- odas veces bajo las mismas condiciones iniciales, pero cuyo resultado final no es siempre elmismo.Conviene advertir que el experimento aleatorio puede ser entendido o como un proceso realizadof´ ısicamente, o como un proceso concebido idealmente. Lo importante es que sean posibles doso m´s resultados, sin que podamos afirmar con certeza cu´l de ellos se verificar´ en cada una a a ade las pruebas, bien realizadas f´ ısicamente, bien concebidas idealmente. ´DEFINICION 9.2 (Espacio de muestras, S). Es el conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento aleatorio. Ejemplo 2. Lancemos al aire un dado. Si aceptamos como resultado posible “el n´ mero de ula cara hacia arriba”, tendremos el espacio de muestras compuesto de 6 resultados posibles. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 33
  38. 38. CAP´ ´ ´ ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES Ejemplo 3. Lancemos al aire dos monedas. Si aceptamos como resultados posibles que loslados de una moneda sean Cara (C) o Cruz (X), tendremos el espacio de muestras compuestode 4 resultados posibles. S = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} ´DEFINICION 9.3 (Suceso). Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, S Ejemplo 4. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f } ser´n suceso los siguientes asubconjuntos A = {b, c}, B = {a, c, d}, C = {e}.Diremos que un suceso A, B, o C tiene lugar, cuando se verifica uno cualquiera de los elementosque lo constituyen.Vamos a distinguir cuatro tipos de sucesos, de acuerdo con el n´ mero de elementos del espacio umuestral finito S, de los que constan dichos sucesos. Suceso simple o elemental, es el que consta de un solo elemento de S, as´ en el ejemplo de ı la definici´n 3, el suceso C = {e} , es simple o elemental. o Suceso compuesto, es el que consta de dos o m´s, son compuestos los sucesos A = {b, c}, a B = {a, c, d}. Suceso seguro o cierto, el que consta de todos los elementos de S, es decir el mismo S = {a, b, c, d, e, f } . Lo llamaremos seguro o cierto porque al realizar el experimento, se verificara segura o ciertamente uno de los resultados posibles o elementos de S, y, por consiguiente, seg´ n lo acabado de indicar, tendr´ lugar S. u a Suceso imposible, el que no consta de elemento alguno de E. As´ en el ejemplo de la ı definici´n 3, es imposible el suceso D = {g, h} . Lo llamaremos imposible porque al realizar o el experimento, es imposible que se verifique un suceso cuyos elementos no pertenecen a S. A dicho suceso lo representaremos con { } ´DEFINICION 9.4 (Uni´n). Dados dos sucesos, A y B, subconjuntos del espacio de muestras oS, llamaremos uni´n de A y B, al suceso constituido por los elementos de S que pertenecen o a oA, o a B, o a los dos a la vez.Designaremos la uni´n de A y B por A ∪ B. Evidentemente se cumple que: o A∪S =S y A ∪ { } = A. ´DEFINICION 9.5 (Intersecci´n). Llamaremos intersecci´n de A y B, al suceso constituido o opor los elementos de S que pertenecen simult´neamente a A y B. aDesignaremos la intersecci´n de A y B por A ∩ B. Evidentemente se cumple que: o A ∩ S = A y A ∩ { } = { }. 34
  39. 39. CAP´ ´ ´ ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES ´DEFINICION 9.6 (Complemento). Llamaremos complemento de A al suceso constituido porlos elementos de E que no pertenecen al suceso ADesignaremos el complemento de A por Ac . Evidentemente se cumple que: A ∪ Ac = S y A ∩ Ac = { }. ´DEFINICION 9.7 (Diferencia). Llamaremos diferencia, A-B, al suceso constituido por loselementos de A que no pertenecen a B. An´logamente, llamaremos diferencia de B-A, al suceso aconstituido por los elementos de B que no pertenecen a A.Ejemplos Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y los sucesos A = {c, d, f, g}y B = {a, c, f, i, j}, tendremos: Uni´n de A y B o A ∪ B = {c, d, f, g, a, i, j}, Intersecci´n de A y B o A ∩ B = {c, f }, Complemento de A Ac = {a, b, e, h, i, j}, Complemento de B B c = {b, d, e, g, h}, Diferencia de A-B A − B = {d, g}, Diferencia de B-A B − A = {a, i, j},N´tese que o A ∪ B = B ∪ A, A∩B =B∩Apero A − B = B − A. ´DEFINICION 9.8 (Mutua exclusividad o mutuamente excluyentes). Diremos que A y B sonmutuamente exclusivos si A ∩ B = { } ; es decir, si no tienen elemento alguno en com´n. u Ejemplo 5. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h} y los sucesos A = {c, f, h}y B = {c, d, e, g}, son mutuamente exclusivos.Los llamamos mutuamente exclusivos porque la verificaci´n de uno de ellos excluye la verifi- ocaci´n del otro, al no tener elemento alguno en com´ n. o uLas definiciones de uni´n, intersecci´n y mutua exclusividad pueden ser extendidas al caso de o on sucesos (donde n es un n´ mero finito mayor que 2), del modo siguiente u ´DEFINICION 9.9 (Uni´n de n sucesos). Dados n sucesos A1 , A2 , A3 , ..., An , subconjuntos de oun espacio muestral S, llamaremos uni´n de A1 , A2 , A3 , ..., An (designada por A1 ∪A2 ∪· · ·∪An ) oal suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecen al menos a uno, al menos,de dichos sucesos. 35
  40. 40. CAP´ ´ ´ ITULO 9. INTRODUCCION AL CALCULO DE PROBABILIDADES ´DEFINICION 9.10 (Intersecci´n de n sucesos). Dados n sucesos A1 , A2 , A3 , ..., An , sub- oconjuntos de un espacio muestral S, llamaremos intersecci´n de A1 , A2 , A3 , ..., An , (designada opor A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) al suceso constituido por todos aquellos elementos de S que pertenecensimult´neamente a los n sucesos. aEjemplo 6. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g} y los sucesos A = {c, d, g},B = {a, b, c, d} y C = {a, c, g}, tendremos: Uni´n de A, B y C o A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g}, Intersecci´n de A, B y C o A ∩ B ∩ C = {e}. ´DEFINICION 9.11 (Mutua exclusividad de n sucesos). Diremos que A1 , A2 , A3 , ..., An , sonmutuamente exclusivos si Ai ∩ Aj = { } , es decir, si ninguno de ellos tiene elemento algunoen com´n con ninguno de los dem´s. u aEjemplo 7. Supuesto el espacio muestral S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} y los sucesos A = {a, d},B = {b, h, i} y C = {c, f }, son mutuamente exclusivos. Uni´n de A, B y C o A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, g}, Intersecci´n de A, B y C o A ∩ B ∩ C = {e}.9.1. EjerciciosResponde a las siguientes preguntas 1. Qu´ podemos afirmar de los sucesos A y B si: e a) A ∪ B = { } b) A ∩ B = { } c) A ∪ B = S d) A ∩ B = S e) A ∩ S = { } f) A ∪ { } = S 2. Siendo S un espacio muestral finito de tama˜ o n, demostrar que son 2n todos los sucesos n o subconjuntos posibles (incluidos S y ) que podemos formar a partir de los n elementos de S. 36
  41. 41. CAP´ ITULO 10Reglas de contarCuando es reducido el n´ mero de resultados posibles de un experimento aleatorio (es decir, usu espacio muestral S), suele ser tarea sencilla contar tanto ese n´ mero, como el n´ mero de u uresultados de cada uno de los sucesos o subconjuntos de S. Sin embargo cuando el n´ mero es ugrande, no suele ser f´cil el recuento de dichos resultados y, por ello, necesitamos ciertas reglas aque nos ayuden esta tarea enumerativa.Comenzaremos proponiendo la notaci´n factorial, como condici´n instrumental previa. o o10.1. Notaci´n factorial oLlamaremos “n factorial”(o factorial de n), design´ndolo por n!, al producto de los n primeros an´ meros naturales. Es decir, u n! = (1)(2)(3) · · · (n − 1)(n)Por ejemplo, 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120. De la misma definici´n se deduce las siguientes orelaciones: n!(n + 1) = (n + 1)!En efecto. n!(n + 1) = [1 · 2 · 3 · · · · · n](n + 1) = (n + 1)! 37
  42. 42. CAP´ ITULO 10. REGLAS DE CONTARAs´ por ejemplo. ı 4!5 = [1 · 2 · 3 · 4]5 = 5!10.2. VariacionesDados n elementos, llamaremos variaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntosson distintos si difieren en uno, al menos de sus elementos o si, teniendo id´nticos elementos, edifieren en el orden de los mismo. n! Vn,r = (n − r)!Por ejemplo, el n´ mero de variaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres en tres uvaldr´ V4,3 = (4)(3)(2) = 24 que son las siguientes: a abc abd acd bcd acb adb adc bdc bca bda cda cdb bac bad cad cbd cab dab dac dbc cba dba dca dcbLas cuatro ternas de la primera fila difieren entre si en uno, al menos, de sus elementos. Lomismo sucede a las cuatro de cada una de las cinco filas restantes. Por el contrario, las seisternas de la primera columna tienen id´nticos elementos difiriendo entre si en el orden de los emismos. Lo mismo le sucede a las seis de cada una de las tres columnas restantes.10.3. PermutacionesDados r elementos llamaremos permutaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos r elementos, tomados de r en r. Dado que todos los conjuntos constande los mismos r elementos, s´lo podr´n diferir en el orden de los mismos. Pues bien, se demuestra o aque el n´ mero de permutaciones de orden r, designado por Pr vale u Pr = r!Por ejemplo, el n´ mero de permutaciones de los tres elementos (a, ,b, c) valdr´ Pr = 3!, que u ason las siguientes: 38
  43. 43. CAP´ ITULO 10. REGLAS DE CONTAR abc acb bac bca cab cba10.4. CombinacionesDados n elementos, llamaremos combinaciones de orden r a todos los conjuntos distintos quepodamos formar con esos n elementos, tomados de r en r, y entendiendo que dos conjuntos sondistintos si difieren en uno, al menos, de sus elementos. Pues bien se demuestra que el n´ mero ude combinaciones de orden r (supuestos n elementos) designado por Cn,r vale n! Cn,r = r!(n − r)!Por ejemplo, el n´ mero de combinaciones de cuatro elementos (a, b, c, d) tomados de tres en utres, valdr´ a 4! 24! C4,3 = = = 4. 3!(4 − 3)! 6(1)Son inmediatas las siguientes relaciones: a) Cn,n = 1 b) 0! = 1 c) Cn,0 = 1 d) Cn,1 = n e) Cn,n−r = Cn,r10.5. EjerciciosResponde a las siguientes preguntas 1. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, cu´ntos n´ meros de tres cifras distintas podemos formar a u 2. Con las letras a, b, c, d, e, f, cuantos grupos de tres letras distintas podemos formar. 3. De cuantas maneras distintas pueden ser colocados cuatro libros en un estante. 4. Cuantos tribunales de cuatro profesores podemos formar con seis profesores de manera que cada tribunal difiera de los restantes en un profesor, por lo menos 39
  44. 44. CAP´ ITULO 10. REGLAS DE CONTAR5. De cuantos modos distintos podemos distribuir cinco juguetes entre dos ni˜ os de manera n que a cada ni˜ o le corresponda por lo menos, un juguete. n6. De cuantas maneras distintas pueden ser repartidos tres premios (A de 50000 bolivianos, B de 30000 bolivianos y C de 10000) entre cinco personas.7. Diez personas se presentan a una competici´n deportiva en la que se ofrecen tres premios o distintos. Sabiendo que cada persona s´lo puede ganar uno de ellos, de cuantas maneras o distintas pueden ser distribuidos estos tres premios.8. Lanzamos una moneda al aire doce veces consecutivas. De cuantas maneras distintas podemos obtener el resultado: siete caras y cinco cruces. 40
  45. 45. Bibliograf´ ıa[Mi] Vivien Michel Llanos: “Texto de ense˜ anza para el curso de Admisi´n”. Facultad de n o Ciencias Sociales, UMSA (2008)[Ma] “Matem´ticas”. Facultad de Ciencias Sociales, UMSA (2008) a

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