O documento discute os conceitos de descontos compostos em matemática financeira, incluindo suas definições, divisões, fórmulas e aplicações práticas.

1. Washington Soares Alves

2.  Conceituar as principais definições
associadas ao estudo dos Descontos
Composto, estudados em matemática
financeira;
 Conhecer as suas divisões;
 Conhecer as principais formulas associadas
aos cálculos envolvendo os descontos
compostos;
 Saber aplicar as fórmulas em aplicações dos
Descontos Composto.

3.  Conceitos Iniciais – Desconto;
 Desconto composto;
 Desconto Composto Racional ou por dentro;
 Desconto Composto Comercial (ou bancário)
ou por fora;
 Principais Fórmulas;
 Aplicações práticas.

4.  Descontos: São os juros recebidos (ou
devolvidos) concedidos quando o pagamento
de um título é antecipado;
 Desconto: é a diferença entre o valor nominal
(N = valor indicado no título ou valor no
vencimento) e o valor atual (A = valor do
título calculado para antes do vencimento).
Dc  N  A

5.  Desconto simples: A taxa de desconto incide
sobre o valor nominal (N) dos títulos, tantas
vezes quantos forem os períodos unitários;
 Desconto Composto: Equivale a soma dos
descontos simples, calculados isoladamente
em cada um dos períodos que faltam para o
vencimento do título.

6.  O valor descontado é a diferença entre o valor
nominal N e o valor atual (A) de um título
Dc  N  A
 O desconto composto é geralmente utilizado
nas operações financeiras com período
superior a doze meses.

7.  Existem dois tipos de Descontos composto:
 Desconto comercial, chamado de desconto
por dentro; (Esse tipo de desconto não é
empregado);
 Desconto Racional, chamado de desconto por
fora.

8. O desconto comercial composto é calculado
sobre o valor nominal (N) do título.
O valor atual (A) é obtido por meio de uma
sucessão de descontos sobre o valor nominal,
isto é, sobre o valor expresso no título.

9. Dessa forma:
Instante n: valor do título é N = VF
Instante (n – 1) (ou 1 período anterior): valor do
título era:
N – i N = N (1 - i)
Instante (n – 2): valor do título era:
(N – i N) - i (N – i N) = N (1 - i)-i N (1 - i)
= (N –iN) (1 - i)
= N (1 - i) (1 - i)
= N (1 – i ) 2
e, assim sucessivamente. Dessa forma, n períodos
antes do vencimento o valor do título era:
A = N(1 – i) n

10. O desconto comercial é a diferença
entre o valor nominal do título e o seu
valor atual. Assim,
d = N – A A = N(1 – i)n
d = N – N(1 – i) n
d = N[1 – (1- i) n ]

12. Calcular o valor atual de um título de R$
20.000,00 descontado um ano antes do
vencimento à taxa de desconto bancário
composto de 5% ao trimestre, capitalizável
trimestralmente.
SOLUÇÃO
N = R$20.000,00
i = 5% a.t. = 0,05 a.t.
n = 1 ano = 4 trimestres
A = N(1 - i)n
= 20.000 (1 - 0,05)4
= 20.000 . 0,814506 = 16.290,13

13. Qual é o valor nominal de um título que foi
resgatado 1 ano antes de seu vencimento por
R$ 16.290,13, à taxa de desconto bancário
composto de 5% ao trimestre, capitalizados
trimestralmente?
SOLUÇÃO
A = R$ 16.290,13
i = 5% a.t.
n = 1 ano = 4 trimestres
Pela fórmula, temos:

14. O valor do desconto é calculado sobre o valor
atual, divergindo apenas por agora
considerarmos uma capitalização, isto é,
usarmos potenciação como em capitalização
composta.
O valor nominal é o valor que consta no título
e é dado por:
N  A1 in

15. O valor atual é o valor de resgate, valor
presente ou valor líquido de um título
descontado antes do seu vencimento. É
dado por:
N
 n i
A


1

16. O desconto racional é a diferença entre o
valor nominal e o valor atual de um título
que foi saldado antes do seu vencimento
Dr  N  A
N
 n i
Dr N

 
1

   


 
  n i


Dr N
1
1
1

18. Qual é o valor do título que, descontado 3 meses
antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m.,
capitalizável mensalmente, determinou um valor de
resgate de R$ 12.400,00?
Solução
A = 12.400,00
i = 10% a.m.
n = 3 meses
N = A(1 + i)n
= 12.400(1 + 0,1)3
= 12.400 1,331
= 16.504,40

19. Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40
vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto
racional composto de 46,41% a.a. capitalizável
trimestralmente?
Solução
N = 16.504,40
i = 46,41% a.a
n = 9 meses = 3 trimestres
Inicialmente, devemos encontrar as
equivalência das taxas. Assim
A(1 + i) = A(1 + i’)4
Como os valores futuros devem ser iguais.
(1 + 0,4641) = (1 + i’)4
 1 + i’ = (1,4641)1/4 = 1,1
 i’ = 1,1 - 1 = 0,1 a.t.

20. Sabendo todos os dados, podemos,
agora, calcular o valor que o título
foi descontado antes do vencimento.
A’= N’/(1 + i)n
= 16.504,40/(1 + 0,1)3
= 16.504,40/1,331000
= 12.400,00

21.  WALTER De Francisco. Matemática Financeira.
5. Ed. São Paulo: Atlas, 1985.
 ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática
Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São
Paulo: Atlas, 2001.
 CRESPO, Antônio Arnot. Matemática
Financeira Fácil. 14ª Ed. São Paulo: Saraiva
2009 .