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Ingeniería Industrial
Circuitos eléctricos
Antonio Pastor Gutiérrez
Jesús Ortega Jiménez
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didáctica
Antonio Pastor Gutiérrez
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Volumen II
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Volumen II
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y el tratamiento informático, y la distribución
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o préstamo públicos.
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Madrid, 20
© Antonio Pastor Gutiérrez y Jesús Ortega Jiménez
ISBN : 978-84-362-
dición : febrero de 20
ÍNDICE
Presentación.........................................................................................................................15
UNIDAD DIDÁCTICA 4
Capítulo 15
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO
ORDEN O SUPERIOR
1. Introducción ....................................................................................................................21
2. Escritura de la ecuación diferencial ................................................................................21
3. Resolución directa de la ecuación diferencial .................................................................24
4. Circuitos de segundo orden .............................................................................................34
5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos .................................47
6. Simulación de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes ..52
Problemas ............................................................................................................................65
Soluciones de los problemas ...............................................................................................69
8 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Capítulo 16
ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
1. Introducción ....................................................................................................................95
2. Definiciones y propiedades fundamentales de la transformada de Laplace ...................95
2.1 Propiedades de la transformada de Laplace............................................................99
2.1.1 Teorema del valor inicial .............................................................................99
2.1.2 Teorema del valor final ..............................................................................100
2.1.3 Teorema de la traslación en el campo complejo ........................................101
2.1.4 Teorema de la traslación en el tiempo .......................................................102
2.1.5 Teorema de la derivación compleja ...........................................................103
2.1.6 Teorema de la integración compleja ..........................................................104
2.1.7 Teorema del cambio de escala ...................................................................104
3. Análisis de circuitos lineales mediante la transformada de Laplace .............................107
3.1 Escritura de las ecuaciones ..................................................................................107
3.2 Conversión del circuito al dominio de Laplace ...................................................114
3.3 Transformada inversa de Laplace. Descomposición en fracciones simples ........119
3.3.1 Polos simples .............................................................................................120
3.3.2 Polos múltiples ...........................................................................................128
4. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ...............................131
5. Maniobra de interruptores .............................................................................................135
Problemas ..........................................................................................................................145
Soluciones de los problemas .............................................................................................149
Capítulo 17
ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE VARIABLES DE
ESTADO
1. Introducción ..................................................................................................................167
2. Análisis de circuitos propios por inspección ................................................................173
2.1 Circuitos RLC ......................................................................................................174
2.1.1 Formulación por superposición .................................................................177
ÍNDICE 9
2.1.2 Método del árbol propio ............................................................................178
2.2 Circuitos con acoplamientos magnéticos .............................................................181
2.3 Circuitos con fuentes dependientes ......................................................................181
3. Análisis de circuitos impropios por inspección ............................................................184
3.1 Circuitos impropios RLC .....................................................................................185
3.2 Formulación por superposición ...........................................................................189
3.3 Ecuación de estado en forma normal ...................................................................191
4. Conceptos de estado y orden de complejidad ...............................................................199
5. Solución de la ecuación de estado ...............................................................................201
Problemas ..........................................................................................................................209
Soluciones de los problemas .............................................................................................211
Capítulo 18
CIRCUITOS LINEALES EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Introducción ..................................................................................................................233
2. Métodos numéricos de integración ...............................................................................233
3. Análisis de circuitos lineales en régimen transitorio por métodos numéricos ..............238
3.1 Equivalentes Thévenin y Norton de bobinas y condensadores ............................251
3.2 Equivalentes Thévenin y Norton de bobinas acopladas ......................................257
3.3 Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ......................264
4. Integración numérica de las ecuaciones de estado de circuitos lineales .......................274
Problemas ..........................................................................................................................279
Soluciones de los problemas .............................................................................................283
UNIDAD DIDÁCTICA 5
Capítulo 19
CUADRIPOLOS
1. Introducción ..................................................................................................................323
2. Parámetros de los cuadripolos ......................................................................................324
10 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
2.1. Impedancias a circuito abierto ............................................................................324
2.2. Admitancias en cortocircuito ..............................................................................330
2.3. Parámetros híbridos ............................................................................................335
2.4. Matriz de cadena y matriz de cadena inversa .....................................................338
2.5. Relaciones entre parámetros ...............................................................................341
3. Cuadripolo entre dipolos terminales .............................................................................344
4. Asociaciones de cuadripolos .........................................................................................350
4.1. Asociación en cascada ........................................................................................350
4.2. Asociación serie ..................................................................................................353
4.3. Asociación paralelo .............................................................................................359
4.4. Asociación serie–paralelo ...................................................................................363
4.5. Asociación paralelo–serie ...................................................................................366
4.6. Aplicaciones ........................................................................................................369
Problemas ..........................................................................................................................375
Soluciones de los problemas .............................................................................................379
Capítulo 20
CUADRIPOLOS ELEMENTALES
1. Cuadripolos recíprocos .................................................................................................403
2. Cuadripolos simétricos ..................................................................................................407
3. Dipolo en serie y dipolo en paralelo .............................................................................408
3.1. Dipolo en serie ....................................................................................................408
3.2. Dipolo en paralelo ...............................................................................................409
4. Cuadripolos en L (en ) y en L (en ) invertida ..........................................................410
4.1. Cuadripolos en L y en .....................................................................................410
4.2. Cuadripolos en L invertida y en invertida .......................................................411
5. Cuadripolos en y en T ...............................................................................................411
6. Cuadripolo en celosía ....................................................................................................420
7. Cuadripolos en T puenteada y en doble T ....................................................................425
8. Cuadripolo en escalera ..................................................................................................427
9. Circuitos equivalentes de cuadripolos no recíprocos ....................................................437
10. Cuadripolos con fuentes independientes .....................................................................441
11. Teorema de Bartlett......................................................................................................447
Problemas ..........................................................................................................................451
ÍNDICE 11
Soluciones de los problemas .............................................................................................455
Capítulo 21
ANÁLISIS DE CIRCUITOS RESISTIVOS NO LINEALES
1. Introducción ..................................................................................................................477
2. Resistencias no lineales de dos terminales ....................................................................478
3. Circuitos con una sola resistencia no lineal de dos terminales .....................................480
3.1 Solución gráfica ...................................................................................................481
3.2 Solución numérica ...............................................................................................483
3.3 Análisis mediante linealización por tramos de la característica ..........................496
4. Caso general de circuitos resistivos con resistencias no lineales de dos terminales .....499
4.1 Solución numérica ...............................................................................................499
4.1.1 Método de la tabla ........................................................................................499
4.1.2 Método nodal modificado ............................................................................500
4.2 Análisis mediante linealización por tramos de la característica ..........................504
5. Circuitos resistivos con resistencias no lineales multiterminales .................................508
5.1 Análisis de circuitos con resistencias multiterminales ........................................509
5.2 Circuitos con transistores bipolares .....................................................................513
5.3 Circuitos con amplificadores operacionales ........................................................524
Problemas ..........................................................................................................................535
Soluciones de los problemas .............................................................................................541
Capítulo 22
CIRCUITOS NO LINEALES CON BOBINAS Y
CONDENSADORES
1. Introducción ..................................................................................................................571
2. Análisis de circuitos no lineales con bobinas y condensadores lineales .......................571
3. Análisis de circuitos con bobinas y condensadores no lineales ....................................576
3.1. Definiciones .........................................................................................................576
3.2. Planteamiento de las ecuaciones ..........................................................................578
3.2.1. Condensadores no lineales ..........................................................................578
3.2.2. Bobinas no lineales .....................................................................................586
12 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
3.3. Equivalentes de bobinas y condensadores no lineales .........................................594
4. Análisis de pequeña señal .............................................................................................600
4.1. Elementos de dos terminales ................................................................................602
4.2. Elementos de cuatro terminales ...........................................................................608
Problemas ..........................................................................................................................617
Soluciones de los problemas .............................................................................................619
UNIDAD DIDÁCTICA 6
Capítulo 23
RESONANCIA
1. Análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia .....................................................641
2. Funciones de red ...........................................................................................................641
3. Conversión de circuitos equivalentes de bobinas y condensadores reales ...................644
4. Resonancia en un circuito serie RLC ............................................................................649
5. Resonancia en un circuito paralelo RLC........................................................................666
6. Circuito paralelo RLC (práctico) de dos ramas .............................................................667
Problemas ..........................................................................................................................675
Soluciones de los problemas .............................................................................................679
Capítulo 24
BOBINAS ACOPLADAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO
SINUSOIDAL
1. Bobinas acopladas en régimen estacionario sinusoidal ................................................697
2. Transformador ideal ......................................................................................................700
3. Transformador real con núcleo de aire .........................................................................707
4. Transformador real con núcleo de hierro ......................................................................716
Problemas ..........................................................................................................................725
Soluciones de los problemas .............................................................................................731
ÍNDICE 13
Capítulo 25
CIRCUITOS LINEALES CON ONDAS PERIÓDICAS NO
SINUSOIDALES
1. Introducción ..................................................................................................................749
2. Series de Fourier. Armónicos .......................................................................................750
3. Valores y factores característicos ..................................................................................758
4. Análisis de circuitos lineales .........................................................................................767
5. Resonancia ....................................................................................................................773
6. Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia .............................................778
7. Potencias reactiva y de distorsión .................................................................................786
8. Mejora del factor de potencia con elementos reactivos ................................................797
9. Armónicos en sistemas trifásicos equilibrados .............................................................807
Problemas ..........................................................................................................................823
Soluciones de los problemas .............................................................................................827
Capítulo 26
SENSIBILIDAD
1. Introducción ..................................................................................................................843
2. Cálculo de sensibilidades de forma directa ...................................................................843
3. Determinación de sensibilidades en un circuito resistivo mediante la red adjunta .......846
4. Sensibilidades en circuitos resistivos con fuentes dependientes ...................................854
5. Sensibilidades respecto de las fuentes independientes .................................................859
6. Aplicación de la red adjunta a la determinación de los equivalentes Thévenin y
Norton de un dipolo ......................................................................................................864
7. Cálculo de sensibilidades mediante el vector adjunto ..................................................869
8. Sensibilidades en circuitos lineales en régimen estacionario sinusoidal ......................874
Problemas ..........................................................................................................................879
Soluciones de los problemas .............................................................................................883
Circuitos eléctricos. vol. ii
PRESENTACIÓN
La actualización de los planes de estudios, que sitúan a la asignatura de Electrotecnia
en los cursos segundo y tercero de la carrera de Ingeniero Industrial, ha hecho necesario la
escritura de un texto para cubrir los programas de las asignaturas Electrotecnia I y
Electrotecnia II, en sustitución del utilizado en el plan de 1976.
Se presenta aquí el volumen II de este texto, Circuitos Eléctricos, orientado
principalmente a la asignatura Electrotecnia II. Se supone, por tanto, que el lector conoce
la materia presentada en el volumen I. La asignatura Electrotecnia II aparece en los planes
de estudios de algunas Universidades como una asignatura común en tercer curso para las
especialidades de Ingeniería Eléctrica y de Ingeniería Electrónica y Automática. Por ello,
el contenido del libro se ha estructurado en tres Unidades Didácticas, de forma que las dos
primeras (Unidades 4 y 5, siguiendo la numeración iniciada en el volumen I) se pueden
considerar como fundamentales para la asignatura, mientras que la última (Unidad 6) deja
un cierto grado de libertad para adaptar el libro a la especialidad correspondiente. Por
ejemplo, para los alumnos de la especialidad de Ingeniería Eléctrica se pueden seleccionar
los capítulos 23, Resonancia, y 24, Bobinas acopladas en régimen estacionario sinusoidal,
y para los alumnos de la especialidad de Electrónica y Automática, los capítulos 25,
Circuitos con ondas periódicas no sinusoidales, y 26, Sensibilidad. En todo caso, deberá
ser el criterio del profesor el que seleccione la materia. Además, es necesario incluir en
Electrotecnia II, si no ha dado tiempo a verlo en Electrotecnia I, el método de análisis
nodal modificado y completar el estudio de circuitos de primer orden en régimen
transitorio (ambos en el volumen I).
Por la materia tratada y por el tipo de alumnos a que va dirigido el libro, se presentan
un gran número de problemas al final de cada capítulo, totalmente resueltos. Se pretende
con ello que el alumno compruebe que ha comprendido la teoría y adquiera la capacidad
necesaria para ponerla en práctica. Se ha buscado, en general, que los problemas
correspondan a casos prácticos que se presentan en Ingeniería Eléctrica y en Electrónica.
A continuación se indica, de forma resumida, la materia cubierta por cada capítulo.
16 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
La Unidad Didáctica 4 se dedica al estudio de los métodos de análisis de circuitos en
régimen transitorio. En el capítulo 15 se desarrolla un método basado en la escritura de las
ecuaciones diferenciales del circuito y su posterior resolución. Es una continuación del
método seguido para los circuitos de primer orden en el capítulo 14 del volumen I y,
aunque no se lleva hasta sus últimas consecuencias, puede decirse que es un esbozo del
método operacional para el estudio de los circuitos en el dominio del tiempo, iniciado por
Heaviside y continuado posteriormente por Carson. Tal como se presenta, tiene aplicación,
sobre todo, para circuitos de segundo orden. El capítulo 16 se dedica al método basado en
la transformada de Laplace, con el que se pueden analizar circuitos de cualquier orden
pasando del dominio del tiempo al de la variable compleja s. En el capítulo 17 se estudia el
método de las variables de estado, que además de ser una alternativa a los métodos
anteriores, abre nuevos horizontes para la aplicación a los circuitos de conceptos de la
Teoría de Sistemas. Finaliza la Unidad Didáctica 4 con el capítulo 18 dedicado a los
métodos numéricos de análisis de circuitos lineales en régimen transitorio. Las técnicas
presentadas en él constituyen la base de programas de ordenador disponibles hoy día para
el análisis de circuitos electrónicos y de los sistemas de energía eléctrica en régimen
transitorio. Con algunos problemas del final del capítulo se hace ver la potencia de estos
métodos, con los que se pueden abordar circuitos de gran complejidad.
En la Unidad Didáctica 5 se presenta la teoría básica de cuadripolos y las técnicas de
análisis de circuitos con elementos no lineales. El capítulo 19 contiene las distintas formas
de caracterizar un cuadripolo y las asociaciones de cuadripolos, con algunas ideas prácticas
importantes para el estudio de cuadripolos que conectan dos dipolos, uno de ellos
considerado como transmisor y el otro como receptor. El capítulo 20 desarrolla aún más la
teoría de cuadripolos con las condiciones de reciprocidad y simetría. Se estudian asimismo
diferentes formas de cuadripolos equivalentes de uno dado, que permiten simplificar
considerablemente el estudio de una parte de un circuito por reducción del resto a uno de
éstos cuadripolos equivalentes. El capítulo 21 desarrolla las técnicas de análisis de
circuitos resistivos no lineales, basadas en métodos gráficos, en los equivalentes Newton o
en las técnicas de linealización por tramos. Se tratan tanto los elementos de dos terminales
(diodos, resistencias variables con la tensión, etc.) como los de cuatro terminales
(transistores, amplificadores operacionales, etc.). El capítulo 22 se dedica al estudio de
circuitos no lineales que contienen bobinas y/o condensadores. Se presentan métodos
numéricos que combinan las técnicas ya expuestas en los capítulos 18 y 21. Se finaliza con
el análisis de pequeña señal de circuitos no lineales.
La Unidad Didáctica 6 comprende: El capítulo 23 con una introducción al análisis de
circuitos en el dominio de la frecuencia y, sobre todo, a los circuitos en condiciones de
resonancia por sus importantes repercusiones de tipo práctico. El capítulo 24 que desarrolla
la teoría de bobinas acopladas y del transformador ideal en régimen estacionario sinusoidal
para llegar al circuito equivalente del transformador real. El capítulo 25 se dedica al
estudio de circuitos lineales en régimen permanente con formas de onda no sinusoidales.
Es un tema de gran actualidad en el que se amplían algunos de los conceptos estudiados en
los circuitos en régimen estacionario sinusoidal. El capítulo 26 trata el análisis de
Sensibilidad, es decir la variación producida en las respuestas de un circuito por la
variación de los parámetros de los elementos constituyentes del mismo.
UNIDAD DIDÁCTICA 4
Capítulo 15. Régimen transitorio. Circuitos de segundo orden o superior
Capítulo 16. Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace
Capítulo 17. Análisis de circuitos mediante variables de estado
Capítulo 18. Circuitos lineales en régimen transitorio. Métodos numéricos
Circuitos eléctricos. vol. ii
Capítulo 15
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO
ORDEN O SUPERIOR
1. Introducción
2. Escritura de la ecuación diferencial
3. Resolución directa de la ecuación diferencial
4. Circuitos de segundo orden
5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos
6. Simulación de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes
Problemas
Soluciones de los problemas
Circuitos eléctricos. vol. ii
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se va a estudiar el método de análisis de circuitos en régimen
transitorio, mediante la escritura y resolución directa de la ecuación diferencial de una
determinada respuesta, aplicado, sobre todo, a los circuitos de segundo orden. En los
circuitos de orden superior este procedimiento tiene una dificultad importante a la hora de
determinar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, por lo que no
se suele emplear y se sustituye por otros más cómodos, como el basado en la transformada
de Laplace.
En general, se va a suponer que el transitorio se inicia en t = 0, y que la respuesta
buscada se determina para t > 0, mediante la escritura de su ecuación diferencial (válida
para t > 0) y su posterior resolución, con la aplicación de condiciones de contorno
correspondientes a t = 0+
. Esto significa que no aparecerán en la solución posibles impulsos
debidos a cambios bruscos en tensiones (cargas) de condensadores o en intensidades
(enlaces de flujo) de bobinas, al pasar de t = 0-
a t = 0+
. Para obtener estos impulsos, se
realizará un estudio particular de la transición entre estos dos instantes, como se hizo con
los circuitos de primer orden al estudiar circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de
corte inductivos.
2. ESCRITURA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Para obtener la ecuación diferencial correspondiente a una determinada respuesta, de
un circuito dado, se trabaja en el dominio del tiempo con los elementos pasivos
caracterizados por sus impedancias o admitancias operacionales, sin tener en cuenta las
fuentes de tensión o de intensidad correspondientes a las condiciones iniciales de bobinas y
condensadores. Es decir, se considera el circuito a estado inicial cero al escribir la ecuación
diferencial de la variable en estudio. En un paso posterior, cuando se resuelve la ecuación
diferencial, se tienen en cuenta las condiciones iniciales para determinar las constantes de
integración.
22 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Si se aplica el método de análisis nodal modificado, se puede hacer que la respuesta
buscada aparezca como una incógnita del sistema de ecuaciones que resulta. Así, si es la
intensidad de una rama del circuito, se pone esta rama en el grupo 2 y, si es la tensión entre
dos puntos del circuito se toma uno de ellos como nudo de referencia, con lo que la tensión
buscada es una de las tensiones de nudo. De esta forma, al despejar del sistema de
ecuaciones
[T ]·[x] = [w] [15.1]
la variable en estudio, xj, se obtiene una expresión del tipo
p
jpj2j1
j
'''
wwwx 21 [15.2]
donde es el determinante de la matriz de coeficientes, [T ] y 'jk es el adjunto del
elemento situado en la fila k de la columna j de . Tanto como los 'jk , en general, son
funciones del operador D.
La expresión [15.2] se puede poner en la forma equivalente
·xj = 'j1·w1 + 'j2·w2 + ... + 'jp·wp [15.3]
donde el signo algebraico de multiplicación (·) tiene el significado de "aplicado sobre", ya
que se trata de funciones del operador D que se aplican sobre determinadas funciones del
tiempo.
Una ventaja de emplear el método de análisis nodal modificado, además de su
generalidad, es que se puede hacer que el operador D aparezca siempre como factor y
nunca como divisor, si se toman las ramas del circuito que contienen bobinas como del
grupo 2. De esta forma, los determinantes de la ecuación [15.3] son polinomios del
operador D, con lo que se tiene
P(D)·xj = Pj1(D)·w1 + Pj2(D)·w2 + ... + Pjp(D)·wp [15.4]
o bien, de forma abreviada,
P(D)xj = g(t) [15.5]
donde g(t) es una función conocida, ya que las funciones w1(t), w2(t), ... , wp(t), son, en
general, sumas algebraicas de las excitaciones del circuito.
La ecuación [15.5] es la ecuación diferencial buscada. Como se verá más adelante, en
circuitos con fuentes de continua o con fuentes sinusoidales, no es necesario conocer la
función g(t) para determinar la respuesta xj(t), por lo que solo hay que obtener el
determinante de la matriz de coeficientes, , esto es, el polinomio P(D).
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 23
El procedimiento descrito puede seguirse con cualquier otro método de análisis. Si, en
este caso, el operador D aparece como divisor en alguno de los términos de los
determinantes de la ecuación [15.2], habrá que realizar las operaciones algebraicas que
sean necesarias para llegar finalmente a la forma indicada en la ecuación [15.5]. Es muy
importante recordar, cuando se manejan expresiones con el operador D, que no hay
conmutatividad entre este operador y las funciones temporales sobre las que se aplica. En
todo caso será conveniente elegir un método de análisis en el que la respuesta buscada
aparezca como incógnita en el sistema de ecuaciones que se plantee.
Ejemplo 15.1
Obtener la ecuación diferencial de la variable i(t) en el circuito de la figura 15.1.
Figura 15.1
Puesto que
i = uB /1
se va a determinar la expresión de uB mediante el método de análisis por nudos.
La tensión del nudo A, uA, es conocida
uA = Us
por lo que basta escribir las ecuaciones de los nudos B y C:
Nudo B: 0
2
1
2
11
2
1
2
1
CBA
1DD
uuu
Nudo C: 0
11
2
11
CBA D
2DD
uuu
De aquí se obtiene
i
L1 = 1 H
Us = 10 V
A
B
C
0
L2 = 2 H
R1 = 1
R2 = 2
C = 1 F
24 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
sCB
DD
Uuu
2
1
2
1
2
3
2
1
sCB
D
D
2D
Uuu
111
2
1
y, en forma matricial,
s
s
C
B
2
D
D
2D
2DD2
2
1
-
2
1
-
2D
D
U
U
u
u
.
2
2
2
131
[15.6]
Si se multiplican por 2D ambos miembros de la ecuación [15.6] (se tratan las
ecuaciones diferenciales como si fueran algebraicas), se obtiene
s
s
C
B
2
2DD2D-
D-D
U
U
u
u
.
2
31
y, de aquí, se despeja la tensión del nudo B
22
s
2
2
2
s
s
B
D2)DDD)((
2)DD(
2DD2D-
D-D
2DD2
D-
231
32
31
2 UU
U
u
La ecuación diferencial correspondiente a uB y, por tanto, a i, es
(6D
3
+ 4D
2
+ 7D + 2)i = (2D
2
+ 3D + 2)Us
Si se sustituye en el segundo miembro Us por la constante 10 se obtiene finalmente
(6D
3
+ 4D
2
+ 7D + 2)i = 20
que es la ecuación diferencial buscada de la variable en estudio.
3. RESOLUCIÓN DIRECTA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
En un circuito lineal e invariable con el tiempo, la ecuación diferencial [15.5] es una
ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. Por consiguiente, la respuesta
buscada está formada por dos términos
xj(t) = x'j(t) + x''j(t) [15.7]
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 25
donde x'j(t) es la solución de la ecuación diferencial homogénea, y x''j(t) es una solución
particular de la ecuación diferencial completa.
La solución de la ecuación diferencial homogénea es de la forma
x'j(t) = A1. tr
e 1 + A2.
tr
e 2
+ A3. tr
e 3 + ... [15.8]
donde r1, r2, r3, etc., son las raíces de la ecuación característica
P(r) = 0 [15.9]
que se han supuesto distintas y reciben el nombre de frecuencias naturales del circuito.
P(r) es el polinomio P(D) de la ecuación diferencial [15.5], en el que se ha sustituido el
operador D por r.
Es de destacar que, al ser el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de
ecuaciones correspondiente al método de análisis seguido, el polinomio P(D) es el mismo
para cualquier variable y, por tanto, en la mayor parte de los casos, todas las respuestas del
circuito tienen las mismas frecuencias naturales (excepto en algunos circuitos particulares,
o que alguna de las constantes, Ak, se anule al imponer condiciones iniciales
posteriormente).
La solución particular de la ecuación diferencial completa, x"j(t), que, en circuitos
reales estables, es la respuesta de régimen permanente, xj (t), se obtiene siguiendo el
procedimiento ya estudiado en los circuitos de primer orden:
Si las fuentes son de continua, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos y los
condensadores por circuitos abiertos, respectivamente, y se analiza el circuito resultante.
Si las fuentes son sinusoidales, se pasa el circuito al campo complejo, se determina el
complejo correspondiente a la variable en estudio y se vuelve al dominio del tiempo.
Si las fuentes son de forma de onda diferente a las anteriores se aplica el método de
coeficientes indeterminados.
Es importante observar que, en este método de resolución de la ecuación diferencial,
cuando las fuentes son de continua o sinusoidales, no se utiliza el segundo miembro, ya
que éste solo afecta a la solución particular que, en estos casos, se obtiene de manera
directa por análisis de circuitos derivados del original.
Una vez hallada la respuesta de régimen permanente, si se sustituyen los resultados
anteriores en la ecuación [15.7], se tiene
xj(t) = xj (t) + A1. tr
e 1 + A2.
tr
e 2
+ A3. tr
e 3 + ... [15.10]
26 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Para finalizar, hay que determinar las constantes de integración Ak a partir de las
condiciones iniciales del circuito. La información disponible de forma inmediata en t = 0+
son las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, ya que son las
mismas que en t = 0
–
(o se pueden determinar a partir de éstas, como ya se ha visto en los
circuitos de primer orden, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos).
Figura 15.2
En general, para determinar las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se
puede seguir el procedimiento que se indica a continuación.
En primer lugar, se sustituyen las bobinas y condensadores por fuentes de intensidad y
de tensión, respectivamente, como se indica en la figura 15.2.
A continuación, cualquier variable del circuito resistivo resultante, por ejemplo, iR, se
puede obtener por superposición mediante la expresión
iR(t) = ku1,R.us1 +... + k i1,R.is1 +... + kC1,R.uC1 +... + kL1,R.iL1 +... [15.11]
donde los coeficientes k son números reales (no contienen el operador D), ya que en la
parte del circuito que queda en el interior del rectángulo no hay bobinas ni condensadores.
Esta expresión permite determinar la variable iR en cualquier instante, supuesto que en
dicho instante se conocen iL1, iL2, ... y uC1, uC2,... Para t = 0+
las tensiones en los
condensadores y las intensidades en las bobinas, son conocidas, ya que son las mismas que
en t = 0
–
(o se pueden determinar a partir de éstas, como ya se ha visto, cuando hay lazos
capacitivos o conjuntos de corte inductivos). Por tanto, se puede escribir
iR(0+
) = ku1,R.us1(0+
) + ... + ki1,R.is1(0+
) + ... + kC1,R.uC1(0+
) +... + kL1,R.iL1(0+
) +... [15.12]
donde el segundo miembro es conocido. Esto constituye la primera condición de contorno
para la ecuación diferencial.
b)
us1
is1
C.P.
Resistivo
iR
R
uC1
iL1
a)
us1
is1
C1
C.P.
Resistivo
iR
R
L1
uC1
iL1
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 27
Como segunda condición de contorno se utiliza la derivada de la variable en estudio,
particularizada para t = 0+
. Para calcularla, basta derivar en la expresión [15.11], con lo que
se obtiene
...
t
i
...
t
u
t
i
t
u
t
i L
RL
C
RCRiRu
R
d
d
k
d
d
k...
d
d
k...
d
d
k
d
d
,,
s1
1,
s1
1,
1
1
1
1 =
...
L
)t(u
...
C
)t(i
t
i
t
u L
RL
C
RCRiRu
1
1
1
1
1
1 ,,
s1
1,
s1
1, kk...
d
d
k...
d
d
k [15.13]
donde las derivadas de las excitaciones son conocidas en cualquier instante y los valores
iC1(t) y uL1(t) se obtienen con una expresión análoga a la [15.11], es decir, se determinan
mediante el análisis del circuito de la figura 15.2b
iC1(t) = ku1,C1.us1 +... + k i1,C1.is1 +... + kC1,C1.uC1 +... + kL1,C1.iL1 +... [15.14]
uL1(t) = ku1,L1.us1 +... + k i1,L1.is1 +... + kC1,L1.uC1 +... + kL1,L1.iL1 +... [15.15]
Si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.13] se tiene
)),...(),...(,...),(,...),(,...,
d
d
,...,
d
d
f(
d
d
s1s1
s1s1
titutitu
t
i
t
u
t
i
LC
R
11 [15.16]
y para t = 0+
)),...(0),...(0,...),(0,...),(0,...,
d
d
,...,
d
d
f(
d
d
1s1s1
0
s1
0
s1
0
LC
ttt
R
iuiu
t
i
t
u
t
i
1
[15.17]
donde el segundo miembro es conocido para t = 0+
, lo que permite determinar la segunda
condición de contorno para la ecuación diferencial.
Ejemplo 15.2
Figura 15.3
El circuito de la figura 15.3 se encuentra en régimen permanente. En un instante dado,
que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide:
C = 0,2 F
R1 = 1
R2 = 2
L = 3 H
is = 10sent A us = 20cost V
S
i
28 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
a) Hallar la ecuación diferencial de la intensidad i(t) para t > 0.
b) Hallar i(0+
) y (di/dt) t = 0+
a) Para obtener la ecuación diferencial de i(t) se emplean las impedancias
operacionales de los elementos del circuito, como se muestra en la figura 15.4a. En la
figura 15.4b se ha sustituido la fuente real de intensidad por la fuente real de tensión
equivalente y se ha utilizado la impedancia de la asociación serie del condensador y de la
resistencia R1.
Figura 15.4
Al aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 15.4b, se obtiene
10179
515
3
1
2
1
2011
1
32011
20
2
1
2
1
DD
D)(D
DD),(
DD),(
D),(
2
ss
ss
AB
ui
/
u
/
/i
ui
y, de aquí, se deduce la ecuación diferencial buscada
(9D
2
+ 17D + 10)i = 15Dis + (5 + D)us
donde, al sustituir las funciones temporales correspondientes a is y us, se obtiene
finalmente
(9D
2
+ 17D + 10)i = 250cost – 20sent
b) Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente
de intensidad y el condensador por una fuente de tensión, con lo que se obtiene el circuito
resistivo de la figura 15.5a. En éste se deduce inmediatamente
1
2
1
2 iu
i
R
iRu
ii C
L
C
L
y, al despejar la intensidad i, resulta
ZR1 = 1 ZL = 3D
is usZC = 1/(0,2D) ZR2 = 2
a) b)
ZR1C = 1 + 1/(0,2D) ZL = 3D
is/(0,2D) usZR2 = 2
i
A
B
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 29
)( LC iui
3
1
[15.18]
y, para t = 0+
,
)()()( 00
3
1
0 LC iui [15.19]
Figura 15.5
Para obtener las condiciones iniciales en la bobina y en el condensador, se pasa el
circuito correspondiente a t < 0 (con el interruptor abierto), que se encuentra en régimen
estacionario sinusoidal, al campo complejo, como se indica en la figura 15.5b.
Los valores complejos de las fuentes, si se refieren a la función coseno, son
Is = –j10 A y Us = 20 V. De forma inmediata se obtiene
UC = ZCIs = –j5 (–j10) = –50 V
13
1320
13
60
13
40
32
20
2
j
j
s
RL
L
ZZ
U
I /–56,31º A
y, por consiguiente, en el régimen permanente previo al cierre del interruptor, se tiene
uC(t) = –50·cost
)
,
cos()(
180
3156
13
1320
ttiL
y, de aquí, resulta
uC(0–
) = –50·cos(0) = –50 V
A
13
40
)
,
cos()(
180
3156
0
13
1320
0Li
b)
Is ZC = –j5
ZR1 = 1
ZR2 = 2
ZL = j3
UsUC
IL
a)
R1 = 1
is usR2 = 2uC
iL
uL
iC i
30 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Es interesante observar que una función temporal g(t) = Gmcos( t + ), que se ha
obtenido del complejo Gm / = Gmcos + j·Gmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide
con la parte real de dicho complejo
g(0) = Gmcos(0 + ) = Gmcos
De manera análoga, una función temporal g(t) = Gmsen( t + ), que se ha obtenido
del complejo Gm / = Gmcos + j·Gmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide con la
parte imaginaria de dicho complejo
g(0) = Gmsen(0 + ) = Gmsen
Puesto que uC (0+
) = uC (0–
) e iL(0+
) = iL(0–
), se tiene uC (0+
) = –50 V, iL(0+
) = 40/13 A y,
al sustituir valores en la ecuación [15.19], se obtiene la primera condición de contorno
i(0+
) = (–50 + 40/13 )/3 = –15,641 A
Para obtener la segunda condición de contorno se deriva la ecuación [15.18] respecto
del tiempo, con lo que se tiene
000 3
1
3
1
t
LC
t
LC
t L
u
C
i
t
i
t
u
t
i
d
d
d
d
d
d
[15.20]
Los valores de iC (0+
) y uL(0+
) se obtienen del circuito de la figura 15.5a como
A,
)(,
)( s 7218
1
5064152
00
01
2
t
C
C
R
uiR
ii
uL(0+
) = us(0+
) – R2i(0+
) = 20 – 2(–15,64) = 51,28 V
y, al sustituir estos valores en la ecuación [15.20], resulta
A/s,
,
,
,
d
d
9036
3
2851
20
7218
3
1
0tt
i
Para ecuaciones de orden superior al segundo, se imponen como condiciones de
contorno derivadas sucesivas de iR para las cuales se obtienen expresiones similares a la
[15.13]. Por ejemplo, para la derivada segunda, resulta de [15.16]
),...
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
(f
d
d s1s1s1
2
s1
22
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i LCR 11
222
=
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 31
),...
)(
,...,
)(
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
(f s1s1s1
2
s1
2
1
1
1
1
22 L
tu
C
ti
t
i
t
u
t
i
t
u LC
[15.21]
De nuevo, si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.21] resulta
)),...(,...,)(,...),(,...),(,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
,...,
d
d
(g
d
d
11s1s1
s1s1s1
2
s1
22
titutitu
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i
LC
R
222
[15.22]
donde el segundo miembro es conocido para t = 0+
.
Ejemplo 15.3
Resolver la ecuación diferencial correspondiente a i(t)
(6D
3
+ 4D
2
+ 7D + 2)i = 20
obtenida en el ejemplo 15.1, con las condiciones iniciales siguientes: uC(0+
) = 0 V,
iL1(0+
) = iL2(0+
) = 0 A
En primer lugar se determinan las raíces de la ecuación característica
6r
3
+ 4r
2
+ 7r + 2 = 0
Son las siguientes:
r1 = – 0,3157
r2 = – 0,1755 + j1,0125
r3 = – 0,1755 – j1,0125
La solución buscada, de acuerdo con la expresión [15.10], es de la forma
i(t) = i (t) + A1e
–0,3157t
+ e
–0,1755t
[A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.23]
La respuesta de régimen permanente, al tratarse de un circuito de continua, se obtiene
fácilmente después de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un
circuito abierto en la figura 15.1. El resultado es
i (t) = 10 A
con lo que la ecuación [15.23] queda
i(t) = 10 + A1e
–0,3157t
+ e
–0,1755t
[A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.24]
32 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Se puede obtener una expresión del tipo indicado en la ecuación [15.11], a partir del
circuito de la figura 15.1, si se sustituyen en él las bobinas por fuentes de intensidad y el
condensador por una fuente de tensión, con lo que resulta el mostrado en la figura 15.6.
Figura 15.6
Si se aplica el método de análisis por lazos básicos, elegido el árbol representado con
trazo más grueso, se tienen las ecuaciones siguientes:
Lazo a: –2ic +(2 + 1)ia = uC [15.25]
Lazo b: ib = iL1
Lazo c: ic = iL2
Como, además, i = ia, se puede despejar i de la ecuación [15.25], con lo que resulta
i(t) =
3
2 )()( 2 titu LC
[15.26]
La primera condición de contorno es
i(0+
) =
3
2 )(0)(0 2LC iu
= 0 [15.27]
Para la segunda condición de contorno se deriva respecto de t la expresión [15.26]
2
2
13
12
3
1
2
3
1
2
)()()()(
d
d
d
d
d
d 222 tuti
L
tu
C
ti
t
i
t
u
t
i LCLCLC
[15.28]
Además, del circuito de la figura 15.6 se obtiene
iC = iL1 + iL2 – i [15.29]
i
2
uC1us
A
B
C
0
iL1
iL2
ia
ib
ic
iC
uL1
uL2
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 33
uL1 = us – uC [15.30]
uL2 = us – 1.i [15.31]
Si se sustituyen [15.29] y [15.31] en [15.28] dan como resultado
)()())()()((
d
d
s21 titutititi
t
i
LL
3
1
Aquí, en este ejemplo, se puede sustituir i(t) en función uC e iL2, para llegar a una
expresión del tipo dado por la ecuación [15.16], o bien, se puede dejar sin sustituir:
)(2)()()(
d
d
s21 titutiti
t
i
LL
3
1
[15.32]
Particularizando para t = 0+
, se tiene la segunda condición de contorno
3
10
0000
3
1
0
)(2)()()(
d
d
s21 iuii
t
i
LL
t
A/s [15.33]
Para la tercera condición de contorno se deriva respecto de t la expresión [15.32]
d
d
2
)()(
d
d
2
d
d
d
d
d
d
d
d 21s21
2
t
i
L
tu
L
tu
t
i
t
u
t
i
t
i
t
i LLLL
0
3
1
3
1
21
2
[15.34]
y, si se sustituyen [15.30] y [15.31] en [15.34], se obtiene
d
d
2
)(
)()(
d
d
2
)()(
)()(
d
d
s
s
s
2
t
iti
tutu
t
ititu
tutu
t
i
CC
22
3
3
1
23
1
2
La tercera condición de contorno resulta
9
25
2
0
00
2
3
3
1
00
2 d
d
2
)(
)()(
d
d
s
2
t
C
t
t
ii
uu
t
i
A/s
2
[15.35]
Para calcular las constantes de integración se imponen las condiciones de contorno,
dadas por las ecuaciones [15.27], [15.33] y [15.35], a la variable en estudio, definida por la
ecuación [15.24], y a sus derivadas primera y segunda, particularizadas todas ellas para
t = 0+
.
Después de operar, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente
34 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
A1 + A2 = –10
–0,3157·A1 – 0,1755·A2 + 1,0125·A3 = 10/3
0,0997·A1 – 0,9944·A2 – 0,3554·A3 = 25/9
cuya solución es: A1 = –6,3282, A2 = –3,6718 y A3 = 0,6826.
Con estos resultados se obtiene, finalmente, la expresión buscada de i(t)
i(t) = 10 – 6,3282·e
–0,3157t
+ e
–0,1755t
[–3,6718·cos(1,0125t) + 0,6826·sen(1,0125t)] A
que tiene la representación gráfica mostrada en la figura 15.7.
Figura 15.7
4. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Son circuitos de segundo orden aquellos cuyas variables están caracterizadas por
ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Un circuito que tiene dos elementos almacenadores de energía de distinto tipo (una
bobina y un condensador) es, normalmente, un circuito de segundo orden. A veces hay
circuitos con más de dos elementos almacenadores de energía que son de segundo orden.
Por ejemplo, cuando se pueden agrupar elementos del mismo tipo en uno equivalente.
En los circuitos de segundo orden la ecuación característica [15.9] es un polinomio de
segundo grado, por lo que las raíces pueden ser
0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
10
i(t)
t [s]
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 35
a) Reales y distintas: m y n.
La respuesta tiene la forma
xj(t) = xj (t) + A1·e
m.t
+ A2·e
n.t
[15.36]
y se dice que es sobreamortiguada.
b) Real doble: r.
En este caso la respuesta es del tipo
xj(t) = xj (t) + (A + B·t) e
r·t
[15.37]
y recibe el nombre de críticamente amortiguada.
c) Complejas conjugadas: a jb.
La respuesta es ahora del tipo
xj(t) = xj (t) + e
a·t
(A·cos(bt) + B·sen(bt)) [15.38]
Además del término exponencial, la respuesta contiene oscilaciones de pulsación b. Se
dice que es una respuesta subamortiguada. Si el circuito no contiene resistencias, las raíces
complejas carecen de parte real, por lo que la respuesta es una oscilación de amplitud
constante y pulsación b, superpuesta a la componente xj (t). En este caso, la respuesta
xj (t) no llega a ser nunca la respuesta de régimen permanente, ya que las oscilaciones
correspondientes a la solución de la ecuación homogénea no se amortiguan.
Normalmente, los exponentes m, n, r y a son números negativos, por lo que los
términos exponenciales se hacen muy pequeños al cabo de un cierto tiempo, de forma que
solo queda con un valor significativo el término xj (t), que es la respuesta de régimen
permanente. Si alguno de los exponentes citados es positivo, la respuesta crecería
indefinidamente, haciendo el circuito inestable.
A continuación se van a estudiar tres ejemplos, correspondientes a los casos
críticamente amortiguado (ejemplo 15.4), subamortiguado (ejemplo 15.5) y
sobreamortiguado (ejemplo 15.6), con el fin de mostrar el aspecto de las formas de onda
que resultan en cada uno de estos casos y, también, la manera de obtener las constantes de
integración a partir de las condiciones iniciales.
Ejemplo 15.4
El circuito de la figura 15.8 lleva en la situación indicada un tiempo suficientemente
grande, de forma que se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se
36 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
tomará como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar la intensidad i(t)
para t > 0.
Figura 15.8
Antes de cerrar el interruptor no circula corriente por la bobina, luego iL(0–
) = 0.
Además, en el circuito que queda a la derecha del interruptor, que está en un régimen
permanente de continua, el condensador se puede sustituir por un circuito abierto, por lo
que no circula corriente por la resistencia. La tensión en el condensador, es u(0
–
) = 4 V.
Figura 15.9
Una vez cerrado el interruptor se tiene el circuito de la figura 15.9a, en el que los
elementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. La tensión en
la resistencia se puede determinar mediante el teorema de Millmann
1DD
D
D
4D
D
4D
1/D14D
1/D4D
2
s2
2
s1
s2
s1s2s1
A0
44
4
1
1111
UU
U
UUU
u
De aquí se puede obtener la ecuación diferencial correspondiente a uA0, que coincide
con la de la intensidad i, ya que uA0 = 1·i:
(4D
2
+ 4D + 1)i = Us1 + 4D
2
Us2
Us1 = 6 V R = 1
i
L = 4 H
Us2 = 4 V
uC
iL S
C = 1 F
a)
S
Us1 = 6 V ZR = 1
i
ZL = 4D
Us2 = 4 V
ZC = 1/D
A
0
b)
Us1 R = 1
i
Us2
uCiL
u
iCAS
0
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 37
Para t > 0, las tensiones de las fuentes son constantes: Us1 = 6 V y Us2 = 4 V, por lo
que D
2
Us2 = 0 y el segundo miembro de la ecuación diferencial se reduce al valor
constante 6. La ecuación diferencial queda en la forma
(4D
2
+ 4D + 1)i = 6
La ecuación característica
4r
2
+ 4r + 1 = 0
tiene una raíz real doble: r = –1/2, luego la solución buscada se puede escribir como
i(t) = i (t) + (A + Bt).e
–t/2
[15.39]
En primer lugar se va a determinar la respuesta de régimen permanente, i (t). Al
tratarse de un circuito de corriente continua, en régimen permanente la bobina se comporta
como un cortocircuito y el condensador como un circuito abierto. Por ello, la fuente de 4 V
queda aislada del resto del circuito y la tensión de la fuente de 6 V queda aplicada
directamente a la resistencia. Es decir, i (t) = 6 A.
A este mismo resultado se llega aplicando el método de coeficientes indeterminados.
Se supone una solución de la forma i (t) = K. Se sustituye esta solución en la ecuación
diferencial
(4D
2
+ 4D + 1)K = 6
con lo que resulta K = 6.
Con este resultado, la solución dada por [15.39] se puede escribir como
i(t) = 6 + (A + Bt).e
–t/2
[15.40]
Para determinar las condiciones de contorno, de acuerdo con el método general
expuesto, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una
fuente de tensión, tal como se muestra en la figura 15.9b.
En este circuito, la tensión en la resistencia queda definida por las dos fuentes de
tensión que quedan a su derecha
u = – uC + Us2
y, de aquí, resulta
R
tUtu
ti C )()(
)( s2
[15.41]
38 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
RC
ti
t
u
RR
t
U
t
u
t
i CC
C
)(
d
dd
d
d
d
d
d
s2
1
[15.42]
Se ha tenido en cuenta que, para t > 0, Us2 es constante y, por consiguiente, su
derivada es nula.
La intensidad en el condensador se obtiene en el circuito de la figura 15.9b al aplicar
la primera ley de Kirchhoff al nudo A:
iC(t) = i(t) – iL(t)
y, si se sustituye este resultado en la ecuación [15.42], se tiene
RC
titi
t
i L )()(
d
d
[15.43]
Por último se hace t = 0 en las ecuaciones [15.41] y [15.43], con lo que se determinan
las condiciones de contorno, con uC(0+
) = uC(0–
) = 4 V, iL(0+
) = iL(0–
) = 0 A,
0
1
4400
0
R
Uu
i C )()(
)( s2
0
00
0 RC
ii
t
i L
t
)()(
d
d
Al imponer estas condiciones de contorno a la solución de la ecuación diferencial,
dada en [15.40], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:
i(0+
) = 0 = 6 + A
2
A
-BB.0)(A.
2
1
-B.
d
d 0-0-
ee
t
i
t
0
0
Una vez resuelto se tiene: A = – 6, B = –3, con lo que la solución buscada es
i(t) = 6 – (6 + 3t).e
–t/2
A [15.44]
Este resultado se muestra gráficamente en la figura 15.10.
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 39
Figura 15.10
Ejemplo 15.5
El circuito de la figura 15.11 se encuentra en régimen permanente, con el condensador
descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el
interruptor S.
Determinar u(t), para t 0:
Figura 15.11
Antes de cerrar el interruptor el circuito está en un régimen permanente de alterna.
Para calcular la corriente que circula por la bobina, se pasa el circuito al campo complejo,
según se muestra en la figura 15.12a. Mediante divisores de intensidad se tiene
A
41
j
4141
)j(
j
s
2002504550
10
45
5
21
21
I
ZZZ
ZZ
I
LRR
RR
L
de donde se deduce
iL(0–
) = 250/41 = 6,098 A
Además, al estar el condensador descargado hasta t = 0, se tiene uC (0–
) = 0.
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
i(t)
t [s]
is = 10 cos 2t
C = 0,5 F
u
R1 = 3
L = 2 H
iL
uC
S
R2 = 2
40 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Con esto quedan determinadas las condiciones iniciales: iL(0+
) = iL(0–
) = 6,098 A y
uC (0+
) = uC (0–
) = 0 V.
Figura 15.12
La ecuación diferencial se obtiene a partir del circuito de la figura 15.12b, donde cada
elemento pasivo viene caracterizado por su impedancia operacional. Se tiene: u = ZR1i = 3i,
y, mediante divisores de intensidad, se puede escribir directamente
ss
2/D2
2·2/D
D
D
.
ii
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Zu
CR
CR
RL
L
R
32
2
3
2
2
1
1 =
= s
s
42D)2D)(2(3
2)D(2D
4/D2/D)2D)(2(3
2/D)D(2
i
i 66
[15.45]
y de aquí resulta
(4D
2
+ 10D + 10) u = – 6D(2D + 2)is
= 480.cos2t + 240.sen2t
que es la ecuación diferencial buscada.
La ecuación característica es
4r
2
+ 10r + 10 = 0
que tiene como raíces
r1 = – 1,25 – j0,968
r2 = – 1,25 + j0,968
es decir, se trata de un circuito subamortiguado.
La solución buscada es de la forma
a)
Is = 10/0 A ZL = j4
IL
ZC = –j1
ZR1 = 3
ZR2 = 2
b)
is
ZL = 2D
iL
ZC = 2/D
ZR1 = 3
ZR2 = 2
u
i
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 41
u(t) = u (t) + e
–1,25t
[ A·cos(0,968t) + B·sen(0,968t)] [15.46]
La respuesta de régimen permanente, u (t), se obtiene pasando al campo complejo el
circuito válido para t > 0 (con el interruptor cerrado), como se muestra en la figura 15.13a.
La tensión compleja U se obtiene mediante una expresión análoga a la [15.45],
sustituyendo D por j e is por Is ,
U = s
4)2j)(22j(3
2)(2jj
I
6
donde, a su vez, = 2 rad.s
–1
e Is = 10 + j0. Esto es
U = 10
22
226
4)2j)(22j(3
2)(2jj
= 25,7/–133,26º V
y, por tanto
u (t) = 25,7·cos(2t – 133,26 /180) V
La función u(t) se puede escribir como
u(t) = 25,7.cos(2t – 133,26 /180) + e
–1,25t
[ A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.47]
Figura 15.13
Para obtener las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se sigue el
procedimiento general de sustituir la bobina por una fuente de intensidad, iL, y el
condensador por una fuente de tensión, uC, tal como se muestra en la figura 15.13b. De
manera inmediata se obtiene
u(t) = R1·[iL(t) – is(t)] [15.48]
que, para t = 0+
, es
u(0+
) = R1·[iL(0+
) – is(0+
)] = 3.(6,098 – 10 ) = –11,706 V
a)
Is ZL = j4
IL
ZC = –j1
ZR1 = 3
ZR2 = 2
U
b)
R2 = 2
u
R1 = 3
iL
uC
uL
iC
is
42 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
Si se derivan ambos miembros de la expresión [15.48] se obtiene
)sen(2··
)(
d
d
d
d
.
d
d s
t
L
tu
R
t
i
t
i
R
t
u LL
21011 [15.49]
donde, uL se determina en el circuito de la figura 15.13b como
uL(t) = – uC(t) – u(t)
Si se sustituye este resultado en la ecuación [15.49] y se particulariza para t = 0+
se
tiene
559170
2
706110
3020
00
1
0
,
),(
)(sen.
)()(
d
d
L
uu
R
t
u C
t
V/s
A continuación, se imponen estas condiciones de contorno a la solución dada en
[15.47]
u(0+
) = – 11,706 V = 25,7·cos( –133,26 /180) + e
–0
[ A·cos(0) + B·sen(0)] =
= – 17,615 + A
0,968B1,25A37,433s(0))0,968·B·coA·sen(0)·,(
B·sen(0))A·cos(0)(.,)/,sen(2·,·,
d
d
0
0
9680
25118026133725255917 0
0
e
et
t
u
t
t
de donde
A = – 11,706 + 17,615 = 5,909
B = (17,559 – 37,433 + 1,25·A)/0,968 = –12,901
con lo que se tiene finalmente
u(t) = 25,7·cos(2t – 133,26 /180) + e
–1,25t
[ 5,909·cos(0,968t) – 12,901·sen(0,968t)] V
En la figura 15.14 se representa gráficamente la función u(t).
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 43
Figura 15.14
Ejemplo 15.6
El circuito de la figura 15.15 se encuentra en régimen permanente. En un instante
dado, que se toma como origen de tiempos, la fuente de tensión pasa, bruscamente, a un
valor de 0 V. Hallar las intensidades i1(t) e i2(t) para t > 0.
DATOS: L1 = 1 H, L2 = 4 H, M = 1,5 H.
Figura 15.15
Las ecuaciones circulares de las dos partes en que queda dividido el circuito son
Us – R1·i1 = L1·Di1 – M·Di2
– R2·i2 = –M·Di1 + L2·Di2
y, después de sustituir valores, queda
Us – 1·i1 = 1·Di1 – 1,5·Di2 [15.50]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–30
–20
–10
0
10
20
30
u(t)
t [s]
1'
R2 = 2
i11 i2 2
2'
u2u1Us = 5 V
R1 = 1
44 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
– 2·i2 = –1,5·Di1 + 4·Di2 [15.51]
En el régimen permanente de continua, previo al cambio de valor de la fuente,
Us = 5 V, i1 e i2 son constantes por lo que Di1 = Di2 = 0. Al sustituir este resultado en las
ecuaciones [15.50] y [15.51] se tiene
i1(0–
) = 5 A
i2(0–
) = 0 A
Para t > 0, Us = 0 V, las ecuaciones [15.50] y [15.51] se convierten en las siguientes
– i1 = 1.Di1 – 1,5·Di2 [15.52]
– 2.i2 = – 1,5·Di1 + 4·Di2 [15.53]
es decir,
(1 + D)i1 – 1,5Di2 = 0
–1,5Di1 + (2 + 4D)i2 = 0
De aquí se pueden despejar las intensidades
26751
0
512112
00
510
21
DD,D,)D)(D(
4D21,5D-
1,5D-D1
4D2
D,
)( 22
ti
26751
0
512112
0051
01
22
DD,D,)D)(D(
4D21,5D-
1,5D-D1
D,
D
)( 22
ti
y, por tanto, las ecuaciones diferenciales correspondientes son
(1,75D
2
+ 6D + 2)i1 = 0
(1,75D
2
+ 6D + 2)i2 = 0
Al no haber fuentes independientes en el circuito, se obtienen ecuaciones diferenciales
homogéneas, y, al tener todas las variables la misma ecuación característica, las ecuaciones
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 45
diferenciales tienen la misma forma. No obstante, las soluciones serán diferentes porque
las condiciones iniciales son distintas.
Las raíces de la ecuación característica
1,75r
2
+ 6r + 2 = 0
son las siguientes: r1 = –3,0544 y r2 = –0,3742
Son dos raíces reales y distintas. Se trata de un caso sobreamortiguado. En general,
cuando un circuito de segundo orden tiene los dos elementos almacenadores de energía
del mismo tipo (dos bobinas o dos condensadores), las respuestas son de tipo
sobreamortiguado.
La solución buscada es de la forma
i1(t) = A1·e
–3,0544t
+ B1·e
–0,3742t
i2(t) = A2·e
–3,0544t
+ B2·e
–0,3742t
Como condiciones de contorno se tiene, para las intensidades, los valores siguientes:
i1(0+
) = i1(0–
) = 5 A
i2(0+
) = i2(0–
) = 0 A
Para calcular las derivadas de las variables en t = 0+
, se hace uso de las ecuaciones
[15.52] y [15.53], en las que se despejan dichas derivadas
751
34
451
511
42
51
212
1
1
,
)()(
,
,
,
D
titii
i
i
751
251
451
511
251
1
212
1
2
,
)()(,
,
,
,
D
titii
i
i
y para t = 0+
751
20
751
0304 21
01
,,
)()(
D
ii
i t
= –11,429 A/s
46 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
751
57
751
02051 21
02
,
,
,
)()(,
D
ii
i t
= – 4,286 A/s
Al aplicar las condiciones de contorno a la expresión de i1 y su derivada,
particularizadas para t = 0+
, se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:
A1 + B1 = 5
–3,0544A1 – 0,3742B1 = – 11,429
que tiene como soluciones: A1 = 3,566 , B1 = 1,434.
De forma análoga, para la intensidad i2 se tiene el sistema de ecuaciones
A2 + B2 = 0
–3,0544A2 – 0,3742B2 = – 4,286
que tiene como soluciones: A2 = 1,599, B2 = – 1,599.
Figura 15.16
Por consiguiente, las respuestas buscadas son
i1(t) = 3,566.e
–3,0544t
+ 1,434.e
–0,3742t
A
i2(t) = 1,599.e
–3,0544t
– 1,599.e
–0,3742t
A
cuya representación gráfica se da en la figura 15.16.
0 5 10 15
–1
0
1
2
3
4
5
6
[A]
t [s]
i1
i2
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 47
5. CIRCUITOS CON LAZOS CAPACITIVOS Y/O CONJUNTOS DE
CORTE INDUCTIVOS
El tratamiento de los circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos
se realiza de acuerdo con el procedimiento establecido en el capítulo 14 (volumen I) al
estudiar los circuitos de primer orden.
A continuación, se presenta, como ejemplo, un circuito de segundo orden con un lazo
capacitivo, en el que se produce un cambio brusco de la tensión (carga) en los
condensadores que constituyen dicho lazo capacitivo y, por consiguiente, con la aparición
de un impulso de corriente en t = 0.
Ejemplo 15.7
El circuito de la figura 15.17 lleva en la posición indicada un tiempo suficientemente
grande para considerar que se encuentra en régimen permanente. En un instante, que se
toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S.
Hallar la intensidad i(t) para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuación
diferencial correspondiente y su posterior resolución.
Figura 15.17
Antes de cerrar el interruptor, el circuito está dividido en dos subcircuitos
independientes entre sí, que se encuentran en un régimen permanente de continua. Por
simple inspección se deduce que uC1(0–
) = 6 V, uC2(0–
) = 4 V, iL(0–
) = 0 A.
Al cerrar el interruptor se forma un lazo capacitivo con los dos condensadores, como
se muestra en la figura 15.18. Para t > 0, se cumple la condición
uC1(t) = uC2(t)
y, en particular, para t = 0+
uC1(0+
) = uC2(0+
)
Sin embargo, las tensiones en los condensadores no son iguales para t = 0–
. Por tanto,
en el intervalo (0–
, 0+
) hay un cambio brusco de las tensiones uC1 y uC2, lo que lleva a una
R1 = 2
Us1 = 6 V
i L = 2 H
C1 = 1 F uC1 uC2
iL
Us2 = 4 V
S R2 = 1
C2 = 2 F
48 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
circulación de corriente infinita a través de los mismos. Si se escribe la primera ley de
Kirchhoff al recinto cerrado indicado con línea de trazo discontinuo en la figura 15.18, se
obtiene
i + iL = iC1 + iC2
Figura 15.18
En el intervalo (0–
, 0+
) las intensidades iC1 e iC2 son infinitas, pero las restantes
intensidades se mantienen en valores finitos. Por ejemplo, iL mantiene el valor nulo que
tiene en t = 0–
y la intensidad i viene dada por la expresión
1
11
R
uU
i Cs
donde Us1 = 6 V y uC1 pasa de 6 V en t = 0–
al valor que corresponda en t = 0+
, uC1(0+
),
pero se mantiene acotada, y lo mismo sucede con i.
De acuerdo con este razonamiento, al ser despreciables las corrientes i e iL frente a las
iC1 e iC2 en el intervalo (0–
, 0+
), se tiene
iC1 + iC2 = 0
Esto equivale a la circulación de una corriente infinita, iC, (un impulso de corriente)
por todo el lazo capacitivo, en el intervalo (0–
, 0+
), como se indica en la figura 15.18, de
forma que se cumple
iC1 = – iC2 = iC
Para calcular de forma sistemática las tensiones en t = 0+
, se plantean las ecuaciones
siguientes:
0
0
0
01
0
01
1
0
1
00 1 111 d)(
1
1
6d)()(d)()()( CCCCCC ii
C
ui
C
uu
iC1 iC2
iC
R1 = 2
Us1 = 6 V
i L = 2 H
C1uC1 uC2
iL
Us2 = 4 V
R2 = 1
C2
uL
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 49
0
0
0
02
0
02
1
0
1
00 2 222 d)(
2
1
4d)()(d)()()( CCCCCC ii
C
ui
C
uu
uC1(0+
) = uC2(0+
)
donde
QiC
0
0
d)(
es la carga transferida entre los condensadores del lazo capacitivo en el intervalo (0–
, 0+
),
por el impulso de corriente iC.
Resuelto este sistema de ecuaciones se tiene: uC1(0+
) = uC2(0+
) = 14/3 V = 4,67 V y
Q = –4/3 C.
A partir de t = 0 se pueden sustituir los dos condensadores conectados en paralelo por
uno equivalente, de capacidad: C ' = C1 + C2 = 3 F, como se muestra en la figura 15.19a,
con la tensión inicial uC '(0+
) = 4,67 V, recientemente calculada. Se trata, por tanto, de un
circuito de segundo orden.
Figura 15.19
Para obtener la ecuación diferencial de la variable i(t) se puede analizar el circuito por
mallas, y tener en cuenta, de acuerdo con la figura 15.19a, que i = ia. Las ecuaciones que
resultan son las siguientes:
s2
s1
b
.
D
D
D
DD
U
U
i
i
3
1
21
3
1
3
1
3
1
2
y, si se despeja la variable en estudio, se tiene
a)
Us1
2i 1 2 H
3 F
iL
iC'
Us2ia ib
b)
2
Us1
i 1
uC'
iL
uL
iC'
Us2
50 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
2
3
1
3
1
21
3
1
2
3
1
3
1
21
3
1
21
3
1
3
1
3
1
2
3
1
21
3
1
)
D
()
D
D)(
D
(
D
)
D
D(
D
D
D
DD
D
D
D
s2s1s2
s1
UUU
U
i
3DDD)D)(D(
)D)D)((
2
s2s1
812
2
23342
1321 UU
donde, en el numerador, se ha tenido en cuenta que tanto Us1 como Us2 son constantes,
para t > 0.
La ecuación diferencial es, por tanto, para t > 0,
(12D
2
+ 8D + 3)i = 2
cuya ecuación característica
12r
2
+ 8r + 3 = 0
tiene como raíces:
6
5
3
1
j .
La solución buscada es, por consiguiente, de la forma
i(t) = i (t) + e
–t/3
(A·cos t
6
5
+ B·sen t
6
5
) [15.54]
La respuesta de régimen permanente (de continua) se deduce fácilmente como
i (t) = 2/3 A.
Para determinar las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se sustituye el
condensador equivalente por una fuente de tensión, uC ', y, la bobina, por una fuente de
intensidad, iL, tal como se indica en la figura 15.19b. Si se aplica la segunda ley de
Kirchhoff a la malla de la izquierda, se tiene
Us1 = 2i(t) + uC'(t)
y, de aquí, se despeja la variable en estudio
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 51
1R
tuU
ti C )(
)( 's1
[15.55]
Su derivada respecto del tiempo es
'
)(
d
d
d
d
d
d ''s1
C
ti
Rt
u
t
U
Rt
i CC
0
11
11
[15.56]
Por otra parte, del circuito de la figura 15.19b se obtiene la intensidad en el
condensador
iC'(t) = iL(t) + i(t)
que, sustituida en la ecuación [15.56], da como resultado
'
)()(
d
d
C
titi
Rt
i L
1
1
[15.57]
Al hacer t = 0+
, y sustituir valores en las ecuaciones [15.55] y [15.57], se tiene
A,)(
)(
)( C's1
66670
3
2
3
14
6
2
10
0
1R
uU
i [15.58]
11110
9
1
3
666700
2
1001
10
,
,
'
)()(
d
d L
C
ii
Rt
i
t
A/s [15.59]
El paso siguiente es calcular las constantes A y B de la expresión [15.54], a partir de
las condiciones de contorno dadas en [15.58] y [15.59]. Se obtiene
i(0+
) = 2/3 = 2/3 + e
–0
[A·cos(0) + B·sen(0)] = 2/3 + A
111,0
d
d
0tt
i
1 = –1/3 e
–0
[A·cos(0) + B·sen(0)] +
6
5
e
–0
[–A·sen(0) + B·cos(0)] =
= (–1/3)A +
6
5
B
Si se resuelve este sistema de ecuaciones se obtiene: A = 0, B =
53
2
= –0,2981.
Con estos valores, la ecuación [15.54] se convierte finalmente en
52 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
i(t) =
53
2
3
2
e
–t/3
·sen t
6
5
A
En la figura 15.20 se muestra la gráfica correspondiente a esta función i(t).
Figura 15.20
6. SIMULACIÓN DE LAS MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURA
DE UN INTERRUPTOR MEDIANTE FUENTES
Por su aplicación en el análisis en régimen transitorio de dos situaciones de gran
importancia práctica, como la determinación de la corriente de cortocircuito en un punto de
una red eléctrica y de la tensión de restablecimiento entre los contactos de un interruptor,
se va a presentar, a continuación un procedimiento en el que se simulan las maniobras de
cierre o apertura de un interruptor, en un instante dado, mediante la conexión en el circuito,
en ese instante, de fuentes de tensión o de intensidad, respectivamente.
En la figura 15.21a se muestra un circuito con un interruptor abierto, que se ha
destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del
circuito en estas condiciones (con el interruptor abierto) y, por tanto, en este circuito, se
conoce la tensión entre los contactos del interruptor, u0(t), así como las tensiones en los
condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t).
El interruptor se cierra en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura
15.21b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un cortocircuito, que se puede tratar como
una fuente ideal de tensión de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos
fuentes de tensión en serie, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplican
en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a u0(t)U(t), como se
0 5 10 15 20 25 30
0,58
0,6
0,62
0,64
0,66
0,68
i(t)
t [s]
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 53
indica en la figura 15.21c. Con U(t) se representa el escalón unidad. También se considera
que las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se añaden las fuentes de condiciones
iniciales en bobinas y condensadores.
Figura 15.21
En el paso siguiente se aplica superposición, tal como se indica en la figura 15.22.
Cualquier respuesta viene dada por la suma de las respuestas correspondientes del circuito
de la figura 15.22a y del circuito de la figura 15.22b.
Por ejemplo, la intensidad i que circula entre los contactos del interruptor, cuando este
se cierra, viene dada por las componentes i' e i", tales que
a)
uC0(t)
us1
is1
iL0(t)
L
C
C.P.
Resistivo
u0(t)
S
b)
0 V
uC(t)
us1
is1
iL(t)
L
C
C.P.
Resistivo
i
c)
0 V
uC0(0)·U(t)
iL0(0)·U(t)
uC(t)
us1·U(t)
is1·U(t)
iL(t)
L
C
C.P.
Resistivo
u0·U(t) u0·U(t)
i
54 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
i = i' + i" [15.60]
El primero de los circuitos (figura 15.22a) contiene todas las fuentes internas (tanto las
de excitación como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente
externa de valor u0(t) y referencia coincidente con la tensión entre contactos del interruptor
abierto. Esto corresponde a la situación del circuito previa al cierre del interruptor, por lo
que la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenida
con el circuito de la figura 15.21a.
En el segundo circuito (figura 15.22b) solo actúa la fuente de tensión externa restante.
Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la
respuesta, a estado inicial cero, debida a la excitación con una fuente de valor u0(t) y
referencia opuesta a la tensión entre contactos del interruptor abierto, aplicada en t = 0.
Si la variable en estudio es la intensidad que circula por el interruptor cuando se han
cerrado los contactos, la primera componente es cero, ya que por la fuente de tensión u0 del
circuito de la figura 15.22a no circula corriente. Esta fuente se puede considerar que
procede de aplicar la regla de sustitución al circuito abierto (contactos abiertos del
interruptor) de la figura 15.21a. Por tanto, para esta variable, i, basta estudiar el circuito de
la figura 15.22b, ya que, por la ecuación [15.60],
i = 0 + i" = i"
Este caso tiene interés práctico, si el cierre del interruptor está simulando la aparición
de un cortocircuito en un punto de una red eléctrica. Entonces, la intensidad a través del
interruptor es la intensidad de cortocircuito en el punto donde se ha producido éste.
Figura 15.22
b)
L
C
C.P.
Resistivo
u0·U(t)i"
a)
+
uC0(t)uC0(0)·U(t)
iL0(0)·U(t)
us1·U(t)
is1·U(t)
iL0(t)
L
C
C.P.
Resistivo
u0·U(t)i'
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 55
Ejemplo 15.8
Determinar la tensión u1 en el circuito de la figura 15.23 (ya analizado en el ejemplo
15.5) a partir de t = 0, instante en el que se produce el cierre del interruptor S. El estudio se
va a realizar simulando mediante fuentes el cierre del interruptor.
Figura 15.23
En la figura 15.23b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se cierra el
interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitación, is y u0, se aplican en t = 0 a un
circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0).
Figura 15.24
A continuación, se aplica superposición en la forma indicada por los circuitos de las
figuras 15.24a y b. La tensión buscada viene dada por
u1 = u'1 + u"1
La primera componente, u'1, se obtiene del circuito de la figura 15.24a, que evoluciona
como lo haría el circuito original si no se hubiera cerrado el interruptor. Se tiene por tanto,
un régimen estacionario sinusoidal, que se estudia con el circuito de la figura 15.25a. De él
se obtiene
a)
C = 0,5 F
u'1
R1 = 3
L = 2 HiL0(0)
uC0(0)
R2 = 2is
u0
b)
C = 0,5 F
u"1
R1 = 3
L = 2 H R2 = 2
u0
u1
C
R1
LiL0(0)
uC0(0)
R2is
u0
u0
b)
a)
C = 0,5 F
u1
R1 = 3
L = 2 H
iL0
uC0
S
R2 = 2is = 10 cos 2t
u0
56 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
75698057
32
2
45
45
0 ,j,
j
j
sIU 12,494/51,34º V
010
2
3
UU –18,741/51,34º V
y, de aquí, resulta
u0 = 12,494·cos(2t + 51,34. /180) V
u10 = u'1(t) = –18,741·cos(2t + 51,34. /180) V
El paso siguiente es hallar u''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.25b,
que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se añade la fuente
de tensión de valor u0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a la
tensión u0 del circuito original).
Figura 15.25
La ecuación diferencial correspondiente a u''1 se obtiene mediante el teorema de
Millman y divisores de tensión
2D)(32D)D(
2D)(32D,
D
2D3
1
D,
D,
D
)("1
23
50
23
3
2
1
50
50
23
3 00 uu
tu
5DD
D
2
52
3 0u
[15.61]
La ecuación diferencial es, por tanto,
(2D
2
+ 5D + 5)u''1(t) = – 3Du0
y su ecuación característica tiene como raíces –1,25 j0,968, por lo que la solución es de
la forma
–j1
U10
3
j4Is
U0
a)
2
b)
ZC = 1/(0,5D)
u''1
ZR1 = 3
ZL = 2D
u0
ZR2 = 2
u''1
R1 = 3
u0
uC
iL uL
c)
R2 = 2
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 57
u''1(t) = u''1 (t) + e
–1,25t
[A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.62]
Para obtener la componente de régimen permanente, u''1 (t), se puede hacer D = j2 en
la ecuación operacional del circuito (ecuación [15.61] ). Esto es
U''1 = j4,081907,5
j10-3
6j
5(j2)5(j2)2
(j2)3 0
2
0 UU
= 7,180/–145,36º V
Por tanto,
u''1 (t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) V
u''1 (0+
) = – 5,907 V
y la expresión [15.62] adopta la forma
u''1(t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) + e
–1,25t
[A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] V [15.63]
Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de
intensidad iL y el condensador por una fuente de tensión uC, con lo que resulta el circuito
de la figura 15.25c. En éste se tiene
u''1(t) = R1iL(t) [15.64]
L
tu
R
t
i
R
t
u LL )(
d
d
d
"d
11
1
[15.65]
A su vez, la tensión en la bobina, uL, se obtiene sin más que aplicar la segunda ley de
Kirchhoff
uL = – uC – u0 – u''1
Si se sustituye este resultado en la ecuación [15.65], se tiene
)(")()(
d
"d
10C tututu
L
R
t
u 11
[15.66]
y si, a continuación, se hace t = 0+
en las ecuaciones [15.64] y [15.66], y se tiene en cuenta
que el circuito se encuentra a estado inicial cero: iL(0–
) = uC(0–
) = 0, resulta
u''1(0+
) = R1iL(0+
) = R1iL(0–
) = 0
58 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
707,110805,70
2
3
)0('')0()0(
d
"d
10C
1
0
1
uuu
L
R
t
u
t
V/s
Si se aplican estas condiciones de contorno a la solución dada en [15.63] se tiene el
sistema de ecuaciones siguiente
u''1(0+
) = 0 = – 5,907 + A
0,968B1,25A-/180),(sen·,·,
d
"d
361451807270711
0
1
tt
u
0,968B1,25A-2·4,081
cuya solución es: A = 5,907, B = –12,898
La respuesta u''1(t) es, por tanto,
u''1(t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) + e
–1,25t
[5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] V
Por el principio de superposición, la respuesta buscada, u1(t), es
u1(t) = u'1(t) + u''1(t) =
= –18,741.cos(2t + 51,34. /180) + 7,180.cos(2t – 145,36 /180) +
+ e
–1,25t
[5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] =
= 25,701.cos(2t – 133,26 /180) + e
–1,25t
[5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] V
que coincide, salvo errores de redondeo, con el resultado del ejemplo 15.5.
De forma dual se estudia el transitorio debido a una maniobra de apertura de un
interruptor.
En la figura 15.26a se muestra un circuito con un interruptor cerrado, que se ha
destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del
circuito en estas condiciones (con el interruptor cerrado) y, por tanto, en este circuito, se
conoce la intensidad que circula por los contactos del interruptor, i0(t), así como las
tensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t).
El interruptor se abre en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura
15.26b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un circuito abierto, que se puede tratar como
una fuente ideal de intensidad de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos
fuentes de intensidad en paralelo, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se
aplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a i0(t)U(t) como
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 59
se indica en la figura 15.26c. También se considera que las excitaciones se aplican en t = 0,
por lo que se añaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores.
Figura 15.26
En el paso siguiente se aplica superposición, tal como se indica en la figura 15.27.
Cualquier respuesta viene dada por la suma de los valores correspondientes del circuito de
la figura 15.27a y del circuito de la figura 15.27b.
Por ejemplo, la tensión u que aparece entre los contactos del interruptor, cuando éste
se abre, viene dada por las componentes u' y u", tales que
a)
uC0(t)
us1
is1
iL0(t)
L
C
C.P.
Resistivo
i0(t) S
b)
uC(t)
u
us1
is1
iL(t)
L
C
C.P.
Resistivo
0 A
c)
0 A
uC0(0)·U(t)
iL0(0)·U(t)
uC(t)
us1·U(t)
is1·U(t)
iL(t)
L
C
C.P.
Resistivo
i0·U(t)
i0·U(t)
u
60 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
u = u' + u" [15.67]
El primero de los circuitos (figura 15.27a) contiene todas las fuentes internas (tanto las
de excitación como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente
externa de valor i0(t) y referencia coincidente con la intensidad que circula entre los
contactos del interruptor cerrado. Esto corresponde a la situación del circuito previa a la
apertura del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por este
circuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.26a.
En el segundo circuito (figura 15.27b) solo actúa la fuente de intensidad externa
restante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la
respuesta a estado inicial cero, debida a la excitación con una fuente de valor i0(t) y
referencia opuesta a la intensidad entre contactos del interruptor cerrado, aplicada en t = 0.
Si la variable en estudio es la tensión entre los contactos del interruptor cuando éstos
se han abierto, la primera componente es cero, ya que en la fuente de intensidad i0 del
circuito de la figura 15.27a la tensión es nula. Esta fuente se puede considerar que procede
de aplicar la regla de sustitución al cortocircuito (contactos cerrados del interruptor) de la
figura 15.26a. Por tanto, para esta variable, u, basta estudiar el circuito de la figura 15.27b,
ya que, por la ecuación [15.67],
u = 0 + u" = u"
Este caso tiene interés práctico, para determinar la tensión entre los contactos de un
interruptor real durante la maniobra de apertura de los mismos. Esta tensión, conocida
como tensión de restablecimiento, puede dar lugar a que se mantenga un arco entre los
contactos del interruptor, de forma que siga circulando corriente a través de ellos con el
interruptor abierto (mecánicamente).
Figura 15.27
a)
+
uC0(0)·U(t)
iL0(0)·U(t)
uC0(t)
us1·U(t)
is1·U(t)
iL0(t)
L
C
C.P.
Resistivo
i0·U(t)
u'
i0·U(t)
L
C
C.P.
Resistivo
u"
b)
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 61
Ejemplo 15.9
El circuito de la figura 15.28a se encuentra en régimen permanente. En un instante
dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la intensidad
i1(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes.
Figura 15.28
En la figura 15.28b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se abre el
interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitación, Us e i0, se aplican en t = 0 a un
circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0).
Figura 15.29
A continuación, se aplica superposición en la forma indicada por los circuitos de las
figuras 15.29a y b. La intensidad buscada viene dada por
i1 = i'1 + i"1 [15.68]
La primera componente, i'1, se obtiene del circuito de la figura 15.29a, que evoluciona
como lo haría el circuito original si no se hubiera abierto el interruptor. Se tiene por tanto,
un régimen permanente de continua, que se estudia con el circuito de la figura 15.30a,
después de sustituir la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.
De él se obtiene
a)
SR1 = 1
Us = 10 V
i1
L = 2 H
i0
R2 = 2C = 3 F
b)
R1
Us
i1
L
i0
R2
C
uC0(0)
i0
iL0(0)
a)
i'1
uC0(0)
i0
iL0(0)
R1 = 1
L = 2 H
R2 = 2
C = 3 F
Us = 10 V
i"1
b)
ZR1 = 1 ZL = 2D
ZC = 1/(3D)
i0
ZR2 = 2
62 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
i0(t) = 10 A
i'1(t) = –i0(t) = – 10 A
Esta intensidad i0(t) seguiría circulando a través del interruptor si no abrieran los
contactos en t = 0.
Figura 15.30
El paso siguiente es hallar i''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.29b,
que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se añade la
fuente de intensidad de valor i0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia
opuesta a la intensidad i0 del circuito original). Los elementos pasivos se han caracterizado
por sus impedancias operacionales.
En primer lugar se determina la ecuación diferencial aplicando divisores de intensidad
00
1
1
1
2
2
1
3
1
1
3
1
3
1
1
3
1
1
22
2
ii
ZZ
Z
ZZ
ZZ
ZZ
Z
i
CR
C
CR
CR
LR
R
D
D
D
DD
"
=
386
20
1122
2 0
DD)D)(3D( 2
i
La ecuación diferencial es
(6D
2
+ 8D + 3)i"1 = 20
cuya ecuación característica
6r
2
+ 8r + 3 = 0
tiene como raíces
6
2
3
2
j .
a)
R1 = 1
Us = 10 V
i'1
i0
R2 = 2
S
i"1
R2 = 2
i0iL
uC
iC
R1 = 1
b)
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 63
La solución buscada para i"1 tiene la forma
i"1(t) = i"1 (t) + e
–2t/3
(A.cos t
6
2
+ B.sen t
6
2
) [15.69]
La respuesta de régimen permanente, i"1 (t), se obtiene por simple inspección,
después de sustituir en el circuito de la figura 15.29b la bobina por un cortocircuito y el
condensador por un circuito abierto,
i"1 (t) =
3
20
10
21
2
0
21
2
i
RR
R
A
Para establecer las condiciones de contorno se sustituye, en el circuito de la
figura15.29b, la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de
tensión, con lo que se obtiene el mostrado en la figura 15.30b.
Se deduce inmediatamente
i"1(t) =
1R
tuC )(
[15.70]
C
ti
Rt
u
Rt
i CC )(
d
d
d
"d
11
1 11
[15.71]
Por otra parte, se tiene
iC(t) = iL(t) – i"1(t)
que, sustituido en la ecuación [15.71], da como resultado
C
titi
Rt
i L )(")(
d
"d 1
1
1 1
[15.72]
De las ecuaciones [15.70] y [15.72], particularizadas para t = 0+
, se obtienen las
condiciones de contorno, teniendo en cuenta que el circuito se encuentra a estado inicial
cero,
i"1(0+
) = 0
0
1R
uC )(
0
001 1
10
1
C
ii
Rt
i L
t
)(")(
d
"d
64 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
que, impuestas a la solución dada por la ecuación [15.69], dan lugar al sistema siguiente
i"1(0+
) = 0 = 20/3 + A
0
1
tt
i
d
"d
0 = B
6
2
A
3
2
Se obtiene como soluciones: A = – 20/3, B =
23
80
, con lo que, al sustituir valores en
dicha ecuación [15.69], resulta
tteti t
6
2
23
80
6
2
3
20
3
20 32
1 sencos)(" /
A
Finalmente, la respuesta buscada, i1(t), de acuerdo con la ecuación [15.68], es
i1(t) = –10 + tte t
6
2
23
80
6
2
3
20
3
20 32
sencos/
=
tte t
6
2
23
80
6
2
3
20
3
10 32
sencos/
A
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 65
Problemas
P15.1 El circuito de la figura P15.1 está en régimen permanente, con el condensador
C2 descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el
interruptor S. Se pide:
a) Hallar la ecuación diferencial de la intensidad i(t).
b) Hallar i(0+
) y di/dt t = 0+
Figura P15.1
P15.2 El circuito de la figura P15.2 está en régimen permanente. En un instante dado,
que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar u(t), para t > 0,
mediante la escritura directa de la ecuación diferencial correspondiente y su posterior
resolución.
Figura P15.2
P15.3 En el circuito de la figura P15.3, que se encuentra a estado inicial cero, se cierra
el interruptor S en t = 0. Hallar la intensidad i(t), para t > 0, mediante la escritura de la
ecuación diferencial correspondiente y su posterior resolución.
Figura P15.3
S
C = 2 FR1 = 1
R2 = 2L1 = 2 H Is = 5 A
Us = 4 V L2 = 1 H
u
L2 = 2 H
L1 = 1 H
C = 1 FUs = 100 V
R = 2 iS
R1 = 2
C2 = 1 F
i
Us = 8 V
R2 = 4
R3 = 1C1 = 2 F
S
66 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
P15.4 El circuito de la figura P15.4 se encuentra en régimen estacionario con el
interruptor S1 abierto y el S2 cerrado. En el instante t = 0 se cierra S1 y, simultáneamente,
se abre S2. Calcular, por escritura de la ecuación diferencial y su posterior resolución, la
intensidad i(t) para t > 0.
Figura P15.4
DATOS: Us1 = 200 V; R1 = 30 ; L = 0,1 H; R2 = 10 ; C = 1 mF; Us2 = 100 V;
R3 = 5 .
P15.5 El circuito de la figura P15.5 lleva en la posición indicada un tiempo
suficientemente grande para considerar que se encuentra en régimen permanente. En un
instante, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S1. Al cabo de 1 s se
abre el interruptor S2.
Hallar la tensión u(t), para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuación
diferencial correspondiente y su posterior resolución.
Figura P15.5
P15.6 En el circuito de la figura P15.6, que se supone en régimen estacionario
sinusoidal, se cierra el interruptor S en un instante que se toma como origen de tiempos
(t = 0). Al cabo de 2 /10 s se vuelve a abrir el interruptor. Tomando este instante como
nuevo origen de tiempos, determinar la tensión, u, que aparece desde ese momento, entre
los contactos del interruptor.
C = 2,5 F
R = 1
L = 1 H
Us1 = 10 V
S2
u
Us2 = 4 V
S1
Us1
R1 L
R2 u(t)C
i(t) R3
Us2
S1 S2
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 67
Figura P15.6
P15.7 Repetir el análisis del primer transitorio del problema P15.6, simulando con
fuentes la maniobra de cierre del interruptor S.
P15.8 El circuito de la figura P15.8 se encuentra en régimen permanente. En un
instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la
tensión u(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes.
Figura P15.8
P15.9 El circuito de la figura P15.9 está en régimen permanente. En un instante dado,
que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor, y se vuelve a cerrar al cabo de
1 s. Hallar i(t) para t 1 s.
Figura P15.9
NOTA.– Las bobinas no están acopladas entre sí.
C = 1 F
R = 0,2L = 0,1 H
us = 2cos20t V u S
R1 = 1 L = 2 H
us = 1000cos10t V
Su
R2 = 2
C = 1 F
R1 = 3
Us = 6 V
i(t)
R2 = 1L1 = 1 H
L2 = 2 HS
68 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
P15.10 El circuito de la figura P15.10 se encuentra en régimen permanente. En un
instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Hallar la
expresión de i(t), para t > 0.
Figura P15.10
us = 6cos(10t)
R1 = 1
C = 0,1 F
S R2 = 1
L = 0,1 H
i
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 69
Soluciones de los problemas
SP 15.1 a) En la figura SP 15.1a se representa el circuito en estudio, después de cerrar
el interruptor S, con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias
operacionales.
Figura SP 15.1
Si se aplica el método de análisis por mallas, la intensidad de circulación de malla, ib,
coincide con la intensidad i cuya ecuación diferencial se quiere determinar. Las ecuaciones
que resultan son
Malla a: sba
DD
Uii
2
1
2
1
2
Malla b: 015
D2
1
D2
1
cba iii
Malla c: 0
D
1
11 cb ii
Si se eliminan de este sistema de ecuaciones las intensidades ia e ic y se tiene en cuenta
que ib = i, se obtiene la expresión
s
14D
1
1D
D
D
D
1)DD(
Ui
2
110
42
1
donde, después de operar, resulta la ecuación diferencial
[16D
2
+ 26D + 7]i = (1 + D)Us = 8
b) En la figura SP 15.1b se representa el circuito en estudio, con el interruptor cerrado,
en el que se han sustituido los condensadores por fuentes de tensión. De él se deduce
inmediatamente que la intensidad i se puede expresar en la forma
ZR1 = 2 i
Us
a)
ZR2 = 4
ZC1 =
D2
1
ZR3 = 1 ZC2 = 1/D
ia ic
ib
S
70 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
2
21
R
uu
i CC
[15.73]
Figura SP 15.1
En el régimen permanente de continua previo al cierre del interruptor, se tiene el
circuito de la figura SP 15.1c, en el que se obtiene
V)( s
7
40
8
142
14
0
321
32
1 U
RRR
RR
uC
Además, al estar descargado el condensador C2, uC2(0–
) = 0 V.
Se tiene, por tanto, uC1(0+
) = 40/7 V y uC2(0+
) = 0 V. Si se sustituyen estos valores en
la expresión [15.73], se obtiene la primera condición de contorno
A
7
10)0()0(
)0(
2
21
R
uu
i CC
Si se deriva la citada expresión [15.73], se obtiene
2
C2
1
C1
20
C2C1
20
)0()0(1
d
d
d
d1
d
d
C
i
C
i
Rt
u
t
u
Rt
i
tt
[15.74]
Para calcular iC1(0+
) e iC2(0+
) se determinan estas variables en el circuito de la figura
SP 15.1b, en el que se tiene, para cualquier instante, t,
i
R
uU
iii C
RC
1
1
11
s
3
2
32
R
u
iiii C
RC
y, para t = 0+
,
c)
C2Us uC1(0–
)
R1 = 2 R2 = 4
R3 = 1
b)
i
Us = 8 V uC1 uC2
R1 = 2 R2 = 4
R3 = 1
iR1
iC1 iC2iR3
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 71
A
/
)(
)(
)( s
7
2
7
10
2
7408
0
0
0
1
1
1 i
R
uU
i C
C
A
)(
)()(
7
10
0
7
100
00
3
2
2
R
u
ii C
C
Si, ahora, se sustituyen valores en la expresión [15.74], se obtiene la segunda
condición de contorno
A/s0,3929-
//
d
d
28
11
1
710
2
72
4
1
0tt
i
SP 15.2
Figura SP 15.2
En el régimen permanente de continua, correspondiente a t < 0, se tiene el circuito de
la figura SP 15.2a, después de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por
un circuito abierto. De manera inmediata se tiene
As
6
21
21
4
21
21
1
RR
RR
U
iL
A26
21
1
1
21
1
2 LL i
RR
R
i
esto es, iL1(0
–
) = 6 A, iL2(0
–
) = 2 A, uC(0
–
) = RL2·iL2(0
–
) = 4 V.
Al abrirse el interruptor, para t = 0, queda la fuente de intensidad en serie con dos
dipolos, como se muestra en la figura SP 15.2b, que pueden analizarse por separado, ya
que, según se vio en el apartado 2.2.2 del volumen I, al prescindir de uno de ellos
(sustituyéndolo por un cortocircuito), el otro no nota el cambio. Se tienen, por tanto, los
dos circuitos de las figuras SP 15.2c y d, en los que las tensiones u1 y u2 coinciden con las
del circuito de la figura SP 15.2b. La tensión buscada es
b)
R1 = 1
R2 = 2L1 = 2 H Is = 5 A
Us = 4 V L2 = 1 H
u
u1 u2C = 2 F
a)
R1 = 1
R2 = 2
Us = 4 V
iL1
iL2uC
72 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
u = u1 – u2
Figura SP 15.2
El circuito de la figura SP 15.2c es de primer orden. Por tanto, la respuesta u1 es de la
forma
u1(t) = u1 (t) + [u1(0+
) – u1 (0+
)] e
–t / 1
[15.75]
donde
s2
1
2
1
1
1
R
L
La tensión u1 (t) se deduce del circuito de la figura SP 15.2c al sustituir la bobina por
un cortocircuito. Esto es, u1 (t) = Us = 4 V y, además, u1 (0+
) = 4 V.
Figura SP 15.2
Para determinar u1(0+
) se sustituye la bobina por una fuente de intensidad de valor
iL1(0+
) = iL1(0–
) = 6 A, tal como se hace en el circuito de la figura SP 15.2e. En éste se
obtiene
u1(0+
) = R1[iL1(0+
) – Is(0+
)] = 1 (6 – 5) = 1 V
Si se sustituyen valores en la ecuación [15.75] resulta, finalmente,
c)
R1 = 1
L1 = 2 H Is = 5 A
Us = 4 V u1
d)
C = 2 F
R2 = 2Is = 5 A
L2 = 1 Hu2
e)
R1 = 1
Is = 5 A
Us = 4 V u1(0+
)
iL1(0+
)
f)
uC
R2 = 2Is = 5 A
iL2u2
iC
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 73
u1(t) = 4 + (1 – 4) e
–t/2
V
El circuito de la figura SP 15.2d es de segundo orden. La ecuación diferencial
correspondiente a u2 se obtiene a partir de la expresión
142
2
2
2
1
2
2
1
2
22
22
2
DD
)D(
D
D
)D(
D)( s
ss
I
II
ZZZ
ZZZ
u
LRC
LRC
y, de aquí, resulta la ecuación diferencial
(2D2
+ 4D + 1)u2 = (2 + D)Is = 10
Las raíces de la ecuación característica son r1 = – 1,7071 y r2 = – 0,2929 (dos raíces
reales y distintas) y, por tanto, la respuesta u2 tiene la forma
u2(t) = u2 (t) + A e
r1t
+ B e
r2 t
[15.76]
La respuesta de régimen permanente se obtiene de manera inmediata del circuito de la
figura SP 15.2d, al sustituir la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito
abierto
u2 (t) = R2Is = 2 5 = 10 V
Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de
intensidad de valor iL2 y el condensador por una fuente de tensión de valor uC, tal como se
indica en la figura SP 15.2f. Se tiene, así, la primera condición de contorno
u2(0+
) = uC(0+
) = uC(0–
) = 4 V
La segunda condición de contorno es
C
i
t
u
t
u C
t
C
t
)(
d
d
d
d 0
00
2
[15.77]
y, del circuito de la figura SP 15.2f, se obtiene
iC(0+
) = Is – iL2(0+
) = Is – iL2(0–
) = 3 A
con lo que, al sustituir valores en la ecuación [15.77], resulta
74 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
2
3
0
2
tt
u
d
d
V/s
Al imponer las condiciones de contorno anteriores a la solución dada en la ecuación
[15.76], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente
u2(0+
) = 4 = 10 + A + B
2
3
0
2
tt
u
d
d
= 0 – 1,7071A – 0,2929B
que tiene como solución: A = 0,182 y B = –6,182.
La respuesta u2(t) es, por tanto,
u2(t) = 10 + 0,182 e
–1,7071t
– 6,182 e
–0,2929t
V
Ya se tienen las dos componentes de la tensión u(t), que resulta finalmente
u(t) = u1(t) – u2(t) = –6 – 3 e
–t/2
– 0,182 e
–1,7071t
+ 6,182 e
–0,2929t
V
Como ya se ha dicho, la fuente de intensidad queda en serie con dos dipolos que se
comportan de manera independiente uno del otro. Esto implica, además, que las
ecuaciones diferenciales de las variables de uno y otro dipolo tengan ecuaciones
características distintas y, por consiguiente, también, frecuencias naturales distintas. La
tensión en la fuente de intensidad contiene las frecuencias naturales de ambos.
SP 15.3
Figura SP 15.3
Al estar el circuito en estado inicial cero se verifica iL1(0–
) = iL2(0–
) = uC(0–
) = 0. Una
vez cerrado el interruptor, se tiene el circuito de la figura SP 15.3a, con los elementos
pasivos caracterizados por sus impedancias operacionales, en el que se obtiene
Us = 100 V
ZR = 2 iSZL1 = D
ZL2 = 2DZC = 1/D
a)
Us = 100 V
R = 2 i
iL1
iL2uC
iC
uL2
uL1
b)
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 75
sU
ZZ
Z
ZZ
ZZ
ZZ
i
CL
C
CL
CL
LR
2
2
2
1
1
2DDD1/DD
1/D
1/DD
1/DD
D
s
s
3422
2
2
2
1
23
U
U
La ecuación diferencial, correspondiente a la variable en estudio, es, por tanto,
(2D
3
+ 4D
2
+ 3D + 2)i = Us = 100
cuya ecuación característica tiene como raíces r1 = –1,4406, r2, 3 = –0,2797 j0,7848. Por
consiguiente, la forma de la respuesta buscada es
i(t) = i (t) + Ae
–1,4406t
+ e
–0,2797t
[B cos(0,7848t) + C sen(0,7848t)] [15.78]
La respuesta de régimen permanente se obtiene al sustituir, en el circuito de la figura
SP 15.3a, las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto:
i (t) = Us /R = 50 A.
Para determinar las condiciones de contorno, se estudia el circuito de la figura
SP 15.3b, en el que se han sustituido las bobinas por fuentes de intensidad y el
condensador por una fuente de tensión. Como la intensidad i coincide con iL2, la primera
condición de contorno se obtiene fácilmente: i(0+
) = iL2(0+
) = iL2(0–
) = 0.
Para la segunda condición de contorno se tiene
02
2
0
2
0 d
d
d
d
t
L
t
L
t L
u
t
i
t
i
[15.79]
y, del circuito de la figura SP 15.3b, se obtiene, para cualquier instante,
uL2 = uC [15.80]
y, por consiguiente: uL2(0+
) = uC (0+
) = uC (0–
) = 0. Al sustituir este valor en la expresión
[15.79], se obtiene
0
0
2
2
0 L
u
t
i L
t
)(
d
d
Para la tercera condición de contorno, se deriva la ecuación [15.79], con lo que,
teniendo en cuenta la igualdad [15.80], resulta
76 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II)
02020
2
20
2
2
1
d
d1
d
d1
d
d
t
C
t
C
t
L
t
i
CLt
u
Lt
u
Lt
i
y, del circuito de la figura SP 15.3b, se deduce,
iC = iL1 – iL2
y, por tanto,
iC (0+
) = iL1(0+
) – iL2(0+
) = 0
0
)0(
d
d
20
2
2
CL
i
t
i C
t
Al imponer estas condiciones de contorno a la ecuación [15.78], se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones
A + B = –50
–1,4406A – 0,2797B + 0,7848C = 0
(–1,4406)
2
A + (0,2797
2
– 0,7848
2
)B – 2 0,2797 0,7848C = 0
que tiene como solución: A = –17,6753, B = –32,3247, C = –43,9656.
Si se sustituyen estos valores en la expresión [15.78], se obtiene finalmente
i(t) = 50 – 17,6753e
–1,4406t
– e
–0,2797t
[32,3247cos(0,7848t) + 43,9656 sen(0,7848t)] A
SP 15.4
Figura SP 15.4
En la figura SP 15.4a se representa el circuito en t = 0–
, en régimen permanente de
continua; la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y el condensador por un circuito
abierto. En estas condiciones se deduce inmediatamente
Us1
R1
R2 uC(0–
)
iL(0–
) R3
Us2
a)
Us1 = 200 V ZR2 = 10
i(t)
ZR1 = 30 ZL = 0,1D
ZC = 103
/D
b)
RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 77
iL(0–
) = Us1/(R1 + R2) = 200/(30 + 10) = 5 A
uC (0–
) = Us2 = 100 V
A continuación se cierra el interruptor S1 y se abre S2, con lo que se tiene el circuito de
la figura SP 15.4b, en el que, directamente, se obtiene la intensidad i
40000400
1010
1010
1010
1030
2
1
3
3
3
1
2
2
1
1
DD
)·D(
D)/(
D/
D,
sss UU
ZZ
ZZ
ZZ
U
i
CR
CR
LR
La ecuación diferencial correspondiente es
[D
2
+ 400D + 40000]i = (10D + 10
3
)Us1 = 2 10
5
que tiene una raíz real doble r = 200, con lo que la respuesta buscada tiene la forma
i(t) = i (t) + (A + Bt)e
–200t
[15.81]
Figura SP 15.4
La respuesta de régimen permanente, i (t), se obtiene del circuito de la figura
SP 15.4c, ya que se trata de un régimen permanente de continua, mediante la ecuación
i (t) = iL (t) = Us1/(R1 + R2) = 200/(30 + 10) = 5 A
Las condiciones de contorno se deducen del circuito de la figura SP 15.4d, en el que se
ha sustituido la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de
tensión. La primera condición de contorno, al ser i(t) la intensidad que circula por la
bobina, se obtiene directamente a partir de los valores en t = 0 –
:
i(0+
) = iL(0+
) = iL(0–
) = 5 A
Para la segunda condición de contorno se tiene
Us1
R1
R2
iL (t)
c)
uC
i
d)
Us1
R1
R2
iL
uL
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
Circuitos eléctricos. vol. ii
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Circuitos eléctricos. vol. ii

  • 1. Ingeniería Industrial Circuitos eléctricos Antonio Pastor Gutiérrez Jesús Ortega Jiménez Volumen II unidad didáctica
  • 2. Antonio Pastor Gutiérrez Jesús Ortega Jiménez CIRCUITOS ELÉCTRICOS Volumen II UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
  • 3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Volumen II Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ellas mediante alquiler o préstamo públicos. © Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid, 20 © Antonio Pastor Gutiérrez y Jesús Ortega Jiménez ISBN : 978-84-362- dición : febrero de 20
  • 4. ÍNDICE Presentación.........................................................................................................................15 UNIDAD DIDÁCTICA 4 Capítulo 15 RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 1. Introducción ....................................................................................................................21 2. Escritura de la ecuación diferencial ................................................................................21 3. Resolución directa de la ecuación diferencial .................................................................24 4. Circuitos de segundo orden .............................................................................................34 5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos .................................47 6. Simulación de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes ..52 Problemas ............................................................................................................................65 Soluciones de los problemas ...............................................................................................69
  • 5. 8 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Capítulo 16 ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Introducción ....................................................................................................................95 2. Definiciones y propiedades fundamentales de la transformada de Laplace ...................95 2.1 Propiedades de la transformada de Laplace............................................................99 2.1.1 Teorema del valor inicial .............................................................................99 2.1.2 Teorema del valor final ..............................................................................100 2.1.3 Teorema de la traslación en el campo complejo ........................................101 2.1.4 Teorema de la traslación en el tiempo .......................................................102 2.1.5 Teorema de la derivación compleja ...........................................................103 2.1.6 Teorema de la integración compleja ..........................................................104 2.1.7 Teorema del cambio de escala ...................................................................104 3. Análisis de circuitos lineales mediante la transformada de Laplace .............................107 3.1 Escritura de las ecuaciones ..................................................................................107 3.2 Conversión del circuito al dominio de Laplace ...................................................114 3.3 Transformada inversa de Laplace. Descomposición en fracciones simples ........119 3.3.1 Polos simples .............................................................................................120 3.3.2 Polos múltiples ...........................................................................................128 4. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ...............................131 5. Maniobra de interruptores .............................................................................................135 Problemas ..........................................................................................................................145 Soluciones de los problemas .............................................................................................149 Capítulo 17 ANÁLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO 1. Introducción ..................................................................................................................167 2. Análisis de circuitos propios por inspección ................................................................173 2.1 Circuitos RLC ......................................................................................................174 2.1.1 Formulación por superposición .................................................................177
  • 6. ÍNDICE 9 2.1.2 Método del árbol propio ............................................................................178 2.2 Circuitos con acoplamientos magnéticos .............................................................181 2.3 Circuitos con fuentes dependientes ......................................................................181 3. Análisis de circuitos impropios por inspección ............................................................184 3.1 Circuitos impropios RLC .....................................................................................185 3.2 Formulación por superposición ...........................................................................189 3.3 Ecuación de estado en forma normal ...................................................................191 4. Conceptos de estado y orden de complejidad ...............................................................199 5. Solución de la ecuación de estado ...............................................................................201 Problemas ..........................................................................................................................209 Soluciones de los problemas .............................................................................................211 Capítulo 18 CIRCUITOS LINEALES EN RÉGIMEN TRANSITORIO. MÉTODOS NUMÉRICOS 1. Introducción ..................................................................................................................233 2. Métodos numéricos de integración ...............................................................................233 3. Análisis de circuitos lineales en régimen transitorio por métodos numéricos ..............238 3.1 Equivalentes Thévenin y Norton de bobinas y condensadores ............................251 3.2 Equivalentes Thévenin y Norton de bobinas acopladas ......................................257 3.3 Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ......................264 4. Integración numérica de las ecuaciones de estado de circuitos lineales .......................274 Problemas ..........................................................................................................................279 Soluciones de los problemas .............................................................................................283 UNIDAD DIDÁCTICA 5 Capítulo 19 CUADRIPOLOS 1. Introducción ..................................................................................................................323 2. Parámetros de los cuadripolos ......................................................................................324
  • 7. 10 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 2.1. Impedancias a circuito abierto ............................................................................324 2.2. Admitancias en cortocircuito ..............................................................................330 2.3. Parámetros híbridos ............................................................................................335 2.4. Matriz de cadena y matriz de cadena inversa .....................................................338 2.5. Relaciones entre parámetros ...............................................................................341 3. Cuadripolo entre dipolos terminales .............................................................................344 4. Asociaciones de cuadripolos .........................................................................................350 4.1. Asociación en cascada ........................................................................................350 4.2. Asociación serie ..................................................................................................353 4.3. Asociación paralelo .............................................................................................359 4.4. Asociación serie–paralelo ...................................................................................363 4.5. Asociación paralelo–serie ...................................................................................366 4.6. Aplicaciones ........................................................................................................369 Problemas ..........................................................................................................................375 Soluciones de los problemas .............................................................................................379 Capítulo 20 CUADRIPOLOS ELEMENTALES 1. Cuadripolos recíprocos .................................................................................................403 2. Cuadripolos simétricos ..................................................................................................407 3. Dipolo en serie y dipolo en paralelo .............................................................................408 3.1. Dipolo en serie ....................................................................................................408 3.2. Dipolo en paralelo ...............................................................................................409 4. Cuadripolos en L (en ) y en L (en ) invertida ..........................................................410 4.1. Cuadripolos en L y en .....................................................................................410 4.2. Cuadripolos en L invertida y en invertida .......................................................411 5. Cuadripolos en y en T ...............................................................................................411 6. Cuadripolo en celosía ....................................................................................................420 7. Cuadripolos en T puenteada y en doble T ....................................................................425 8. Cuadripolo en escalera ..................................................................................................427 9. Circuitos equivalentes de cuadripolos no recíprocos ....................................................437 10. Cuadripolos con fuentes independientes .....................................................................441 11. Teorema de Bartlett......................................................................................................447 Problemas ..........................................................................................................................451
  • 8. ÍNDICE 11 Soluciones de los problemas .............................................................................................455 Capítulo 21 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RESISTIVOS NO LINEALES 1. Introducción ..................................................................................................................477 2. Resistencias no lineales de dos terminales ....................................................................478 3. Circuitos con una sola resistencia no lineal de dos terminales .....................................480 3.1 Solución gráfica ...................................................................................................481 3.2 Solución numérica ...............................................................................................483 3.3 Análisis mediante linealización por tramos de la característica ..........................496 4. Caso general de circuitos resistivos con resistencias no lineales de dos terminales .....499 4.1 Solución numérica ...............................................................................................499 4.1.1 Método de la tabla ........................................................................................499 4.1.2 Método nodal modificado ............................................................................500 4.2 Análisis mediante linealización por tramos de la característica ..........................504 5. Circuitos resistivos con resistencias no lineales multiterminales .................................508 5.1 Análisis de circuitos con resistencias multiterminales ........................................509 5.2 Circuitos con transistores bipolares .....................................................................513 5.3 Circuitos con amplificadores operacionales ........................................................524 Problemas ..........................................................................................................................535 Soluciones de los problemas .............................................................................................541 Capítulo 22 CIRCUITOS NO LINEALES CON BOBINAS Y CONDENSADORES 1. Introducción ..................................................................................................................571 2. Análisis de circuitos no lineales con bobinas y condensadores lineales .......................571 3. Análisis de circuitos con bobinas y condensadores no lineales ....................................576 3.1. Definiciones .........................................................................................................576 3.2. Planteamiento de las ecuaciones ..........................................................................578 3.2.1. Condensadores no lineales ..........................................................................578 3.2.2. Bobinas no lineales .....................................................................................586
  • 9. 12 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 3.3. Equivalentes de bobinas y condensadores no lineales .........................................594 4. Análisis de pequeña señal .............................................................................................600 4.1. Elementos de dos terminales ................................................................................602 4.2. Elementos de cuatro terminales ...........................................................................608 Problemas ..........................................................................................................................617 Soluciones de los problemas .............................................................................................619 UNIDAD DIDÁCTICA 6 Capítulo 23 RESONANCIA 1. Análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia .....................................................641 2. Funciones de red ...........................................................................................................641 3. Conversión de circuitos equivalentes de bobinas y condensadores reales ...................644 4. Resonancia en un circuito serie RLC ............................................................................649 5. Resonancia en un circuito paralelo RLC........................................................................666 6. Circuito paralelo RLC (práctico) de dos ramas .............................................................667 Problemas ..........................................................................................................................675 Soluciones de los problemas .............................................................................................679 Capítulo 24 BOBINAS ACOPLADAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL 1. Bobinas acopladas en régimen estacionario sinusoidal ................................................697 2. Transformador ideal ......................................................................................................700 3. Transformador real con núcleo de aire .........................................................................707 4. Transformador real con núcleo de hierro ......................................................................716 Problemas ..........................................................................................................................725 Soluciones de los problemas .............................................................................................731
  • 10. ÍNDICE 13 Capítulo 25 CIRCUITOS LINEALES CON ONDAS PERIÓDICAS NO SINUSOIDALES 1. Introducción ..................................................................................................................749 2. Series de Fourier. Armónicos .......................................................................................750 3. Valores y factores característicos ..................................................................................758 4. Análisis de circuitos lineales .........................................................................................767 5. Resonancia ....................................................................................................................773 6. Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia .............................................778 7. Potencias reactiva y de distorsión .................................................................................786 8. Mejora del factor de potencia con elementos reactivos ................................................797 9. Armónicos en sistemas trifásicos equilibrados .............................................................807 Problemas ..........................................................................................................................823 Soluciones de los problemas .............................................................................................827 Capítulo 26 SENSIBILIDAD 1. Introducción ..................................................................................................................843 2. Cálculo de sensibilidades de forma directa ...................................................................843 3. Determinación de sensibilidades en un circuito resistivo mediante la red adjunta .......846 4. Sensibilidades en circuitos resistivos con fuentes dependientes ...................................854 5. Sensibilidades respecto de las fuentes independientes .................................................859 6. Aplicación de la red adjunta a la determinación de los equivalentes Thévenin y Norton de un dipolo ......................................................................................................864 7. Cálculo de sensibilidades mediante el vector adjunto ..................................................869 8. Sensibilidades en circuitos lineales en régimen estacionario sinusoidal ......................874 Problemas ..........................................................................................................................879 Soluciones de los problemas .............................................................................................883
  • 12. PRESENTACIÓN La actualización de los planes de estudios, que sitúan a la asignatura de Electrotecnia en los cursos segundo y tercero de la carrera de Ingeniero Industrial, ha hecho necesario la escritura de un texto para cubrir los programas de las asignaturas Electrotecnia I y Electrotecnia II, en sustitución del utilizado en el plan de 1976. Se presenta aquí el volumen II de este texto, Circuitos Eléctricos, orientado principalmente a la asignatura Electrotecnia II. Se supone, por tanto, que el lector conoce la materia presentada en el volumen I. La asignatura Electrotecnia II aparece en los planes de estudios de algunas Universidades como una asignatura común en tercer curso para las especialidades de Ingeniería Eléctrica y de Ingeniería Electrónica y Automática. Por ello, el contenido del libro se ha estructurado en tres Unidades Didácticas, de forma que las dos primeras (Unidades 4 y 5, siguiendo la numeración iniciada en el volumen I) se pueden considerar como fundamentales para la asignatura, mientras que la última (Unidad 6) deja un cierto grado de libertad para adaptar el libro a la especialidad correspondiente. Por ejemplo, para los alumnos de la especialidad de Ingeniería Eléctrica se pueden seleccionar los capítulos 23, Resonancia, y 24, Bobinas acopladas en régimen estacionario sinusoidal, y para los alumnos de la especialidad de Electrónica y Automática, los capítulos 25, Circuitos con ondas periódicas no sinusoidales, y 26, Sensibilidad. En todo caso, deberá ser el criterio del profesor el que seleccione la materia. Además, es necesario incluir en Electrotecnia II, si no ha dado tiempo a verlo en Electrotecnia I, el método de análisis nodal modificado y completar el estudio de circuitos de primer orden en régimen transitorio (ambos en el volumen I). Por la materia tratada y por el tipo de alumnos a que va dirigido el libro, se presentan un gran número de problemas al final de cada capítulo, totalmente resueltos. Se pretende con ello que el alumno compruebe que ha comprendido la teoría y adquiera la capacidad necesaria para ponerla en práctica. Se ha buscado, en general, que los problemas correspondan a casos prácticos que se presentan en Ingeniería Eléctrica y en Electrónica. A continuación se indica, de forma resumida, la materia cubierta por cada capítulo.
  • 13. 16 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) La Unidad Didáctica 4 se dedica al estudio de los métodos de análisis de circuitos en régimen transitorio. En el capítulo 15 se desarrolla un método basado en la escritura de las ecuaciones diferenciales del circuito y su posterior resolución. Es una continuación del método seguido para los circuitos de primer orden en el capítulo 14 del volumen I y, aunque no se lleva hasta sus últimas consecuencias, puede decirse que es un esbozo del método operacional para el estudio de los circuitos en el dominio del tiempo, iniciado por Heaviside y continuado posteriormente por Carson. Tal como se presenta, tiene aplicación, sobre todo, para circuitos de segundo orden. El capítulo 16 se dedica al método basado en la transformada de Laplace, con el que se pueden analizar circuitos de cualquier orden pasando del dominio del tiempo al de la variable compleja s. En el capítulo 17 se estudia el método de las variables de estado, que además de ser una alternativa a los métodos anteriores, abre nuevos horizontes para la aplicación a los circuitos de conceptos de la Teoría de Sistemas. Finaliza la Unidad Didáctica 4 con el capítulo 18 dedicado a los métodos numéricos de análisis de circuitos lineales en régimen transitorio. Las técnicas presentadas en él constituyen la base de programas de ordenador disponibles hoy día para el análisis de circuitos electrónicos y de los sistemas de energía eléctrica en régimen transitorio. Con algunos problemas del final del capítulo se hace ver la potencia de estos métodos, con los que se pueden abordar circuitos de gran complejidad. En la Unidad Didáctica 5 se presenta la teoría básica de cuadripolos y las técnicas de análisis de circuitos con elementos no lineales. El capítulo 19 contiene las distintas formas de caracterizar un cuadripolo y las asociaciones de cuadripolos, con algunas ideas prácticas importantes para el estudio de cuadripolos que conectan dos dipolos, uno de ellos considerado como transmisor y el otro como receptor. El capítulo 20 desarrolla aún más la teoría de cuadripolos con las condiciones de reciprocidad y simetría. Se estudian asimismo diferentes formas de cuadripolos equivalentes de uno dado, que permiten simplificar considerablemente el estudio de una parte de un circuito por reducción del resto a uno de éstos cuadripolos equivalentes. El capítulo 21 desarrolla las técnicas de análisis de circuitos resistivos no lineales, basadas en métodos gráficos, en los equivalentes Newton o en las técnicas de linealización por tramos. Se tratan tanto los elementos de dos terminales (diodos, resistencias variables con la tensión, etc.) como los de cuatro terminales (transistores, amplificadores operacionales, etc.). El capítulo 22 se dedica al estudio de circuitos no lineales que contienen bobinas y/o condensadores. Se presentan métodos numéricos que combinan las técnicas ya expuestas en los capítulos 18 y 21. Se finaliza con el análisis de pequeña señal de circuitos no lineales. La Unidad Didáctica 6 comprende: El capítulo 23 con una introducción al análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia y, sobre todo, a los circuitos en condiciones de resonancia por sus importantes repercusiones de tipo práctico. El capítulo 24 que desarrolla la teoría de bobinas acopladas y del transformador ideal en régimen estacionario sinusoidal para llegar al circuito equivalente del transformador real. El capítulo 25 se dedica al estudio de circuitos lineales en régimen permanente con formas de onda no sinusoidales. Es un tema de gran actualidad en el que se amplían algunos de los conceptos estudiados en los circuitos en régimen estacionario sinusoidal. El capítulo 26 trata el análisis de Sensibilidad, es decir la variación producida en las respuestas de un circuito por la variación de los parámetros de los elementos constituyentes del mismo.
  • 14. UNIDAD DIDÁCTICA 4 Capítulo 15. Régimen transitorio. Circuitos de segundo orden o superior Capítulo 16. Análisis de circuitos mediante la transformada de Laplace Capítulo 17. Análisis de circuitos mediante variables de estado Capítulo 18. Circuitos lineales en régimen transitorio. Métodos numéricos
  • 16. Capítulo 15 RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 1. Introducción 2. Escritura de la ecuación diferencial 3. Resolución directa de la ecuación diferencial 4. Circuitos de segundo orden 5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos 6. Simulación de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes Problemas Soluciones de los problemas
  • 18. 1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se va a estudiar el método de análisis de circuitos en régimen transitorio, mediante la escritura y resolución directa de la ecuación diferencial de una determinada respuesta, aplicado, sobre todo, a los circuitos de segundo orden. En los circuitos de orden superior este procedimiento tiene una dificultad importante a la hora de determinar las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, por lo que no se suele emplear y se sustituye por otros más cómodos, como el basado en la transformada de Laplace. En general, se va a suponer que el transitorio se inicia en t = 0, y que la respuesta buscada se determina para t > 0, mediante la escritura de su ecuación diferencial (válida para t > 0) y su posterior resolución, con la aplicación de condiciones de contorno correspondientes a t = 0+ . Esto significa que no aparecerán en la solución posibles impulsos debidos a cambios bruscos en tensiones (cargas) de condensadores o en intensidades (enlaces de flujo) de bobinas, al pasar de t = 0- a t = 0+ . Para obtener estos impulsos, se realizará un estudio particular de la transición entre estos dos instantes, como se hizo con los circuitos de primer orden al estudiar circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos. 2. ESCRITURA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Para obtener la ecuación diferencial correspondiente a una determinada respuesta, de un circuito dado, se trabaja en el dominio del tiempo con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias o admitancias operacionales, sin tener en cuenta las fuentes de tensión o de intensidad correspondientes a las condiciones iniciales de bobinas y condensadores. Es decir, se considera el circuito a estado inicial cero al escribir la ecuación diferencial de la variable en estudio. En un paso posterior, cuando se resuelve la ecuación diferencial, se tienen en cuenta las condiciones iniciales para determinar las constantes de integración.
  • 19. 22 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Si se aplica el método de análisis nodal modificado, se puede hacer que la respuesta buscada aparezca como una incógnita del sistema de ecuaciones que resulta. Así, si es la intensidad de una rama del circuito, se pone esta rama en el grupo 2 y, si es la tensión entre dos puntos del circuito se toma uno de ellos como nudo de referencia, con lo que la tensión buscada es una de las tensiones de nudo. De esta forma, al despejar del sistema de ecuaciones [T ]·[x] = [w] [15.1] la variable en estudio, xj, se obtiene una expresión del tipo p jpj2j1 j ''' wwwx 21 [15.2] donde es el determinante de la matriz de coeficientes, [T ] y 'jk es el adjunto del elemento situado en la fila k de la columna j de . Tanto como los 'jk , en general, son funciones del operador D. La expresión [15.2] se puede poner en la forma equivalente ·xj = 'j1·w1 + 'j2·w2 + ... + 'jp·wp [15.3] donde el signo algebraico de multiplicación (·) tiene el significado de "aplicado sobre", ya que se trata de funciones del operador D que se aplican sobre determinadas funciones del tiempo. Una ventaja de emplear el método de análisis nodal modificado, además de su generalidad, es que se puede hacer que el operador D aparezca siempre como factor y nunca como divisor, si se toman las ramas del circuito que contienen bobinas como del grupo 2. De esta forma, los determinantes de la ecuación [15.3] son polinomios del operador D, con lo que se tiene P(D)·xj = Pj1(D)·w1 + Pj2(D)·w2 + ... + Pjp(D)·wp [15.4] o bien, de forma abreviada, P(D)xj = g(t) [15.5] donde g(t) es una función conocida, ya que las funciones w1(t), w2(t), ... , wp(t), son, en general, sumas algebraicas de las excitaciones del circuito. La ecuación [15.5] es la ecuación diferencial buscada. Como se verá más adelante, en circuitos con fuentes de continua o con fuentes sinusoidales, no es necesario conocer la función g(t) para determinar la respuesta xj(t), por lo que solo hay que obtener el determinante de la matriz de coeficientes, , esto es, el polinomio P(D).
  • 20. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 23 El procedimiento descrito puede seguirse con cualquier otro método de análisis. Si, en este caso, el operador D aparece como divisor en alguno de los términos de los determinantes de la ecuación [15.2], habrá que realizar las operaciones algebraicas que sean necesarias para llegar finalmente a la forma indicada en la ecuación [15.5]. Es muy importante recordar, cuando se manejan expresiones con el operador D, que no hay conmutatividad entre este operador y las funciones temporales sobre las que se aplica. En todo caso será conveniente elegir un método de análisis en el que la respuesta buscada aparezca como incógnita en el sistema de ecuaciones que se plantee. Ejemplo 15.1 Obtener la ecuación diferencial de la variable i(t) en el circuito de la figura 15.1. Figura 15.1 Puesto que i = uB /1 se va a determinar la expresión de uB mediante el método de análisis por nudos. La tensión del nudo A, uA, es conocida uA = Us por lo que basta escribir las ecuaciones de los nudos B y C: Nudo B: 0 2 1 2 11 2 1 2 1 CBA 1DD uuu Nudo C: 0 11 2 11 CBA D 2DD uuu De aquí se obtiene i L1 = 1 H Us = 10 V A B C 0 L2 = 2 H R1 = 1 R2 = 2 C = 1 F
  • 21. 24 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) sCB DD Uuu 2 1 2 1 2 3 2 1 sCB D D 2D Uuu 111 2 1 y, en forma matricial, s s C B 2 D D 2D 2DD2 2 1 - 2 1 - 2D D U U u u . 2 2 2 131 [15.6] Si se multiplican por 2D ambos miembros de la ecuación [15.6] (se tratan las ecuaciones diferenciales como si fueran algebraicas), se obtiene s s C B 2 2DD2D- D-D U U u u . 2 31 y, de aquí, se despeja la tensión del nudo B 22 s 2 2 2 s s B D2)DDD)(( 2)DD( 2DD2D- D-D 2DD2 D- 231 32 31 2 UU U u La ecuación diferencial correspondiente a uB y, por tanto, a i, es (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = (2D 2 + 3D + 2)Us Si se sustituye en el segundo miembro Us por la constante 10 se obtiene finalmente (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = 20 que es la ecuación diferencial buscada de la variable en estudio. 3. RESOLUCIÓN DIRECTA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL En un circuito lineal e invariable con el tiempo, la ecuación diferencial [15.5] es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. Por consiguiente, la respuesta buscada está formada por dos términos xj(t) = x'j(t) + x''j(t) [15.7]
  • 22. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 25 donde x'j(t) es la solución de la ecuación diferencial homogénea, y x''j(t) es una solución particular de la ecuación diferencial completa. La solución de la ecuación diferencial homogénea es de la forma x'j(t) = A1. tr e 1 + A2. tr e 2 + A3. tr e 3 + ... [15.8] donde r1, r2, r3, etc., son las raíces de la ecuación característica P(r) = 0 [15.9] que se han supuesto distintas y reciben el nombre de frecuencias naturales del circuito. P(r) es el polinomio P(D) de la ecuación diferencial [15.5], en el que se ha sustituido el operador D por r. Es de destacar que, al ser el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones correspondiente al método de análisis seguido, el polinomio P(D) es el mismo para cualquier variable y, por tanto, en la mayor parte de los casos, todas las respuestas del circuito tienen las mismas frecuencias naturales (excepto en algunos circuitos particulares, o que alguna de las constantes, Ak, se anule al imponer condiciones iniciales posteriormente). La solución particular de la ecuación diferencial completa, x"j(t), que, en circuitos reales estables, es la respuesta de régimen permanente, xj (t), se obtiene siguiendo el procedimiento ya estudiado en los circuitos de primer orden: Si las fuentes son de continua, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos y los condensadores por circuitos abiertos, respectivamente, y se analiza el circuito resultante. Si las fuentes son sinusoidales, se pasa el circuito al campo complejo, se determina el complejo correspondiente a la variable en estudio y se vuelve al dominio del tiempo. Si las fuentes son de forma de onda diferente a las anteriores se aplica el método de coeficientes indeterminados. Es importante observar que, en este método de resolución de la ecuación diferencial, cuando las fuentes son de continua o sinusoidales, no se utiliza el segundo miembro, ya que éste solo afecta a la solución particular que, en estos casos, se obtiene de manera directa por análisis de circuitos derivados del original. Una vez hallada la respuesta de régimen permanente, si se sustituyen los resultados anteriores en la ecuación [15.7], se tiene xj(t) = xj (t) + A1. tr e 1 + A2. tr e 2 + A3. tr e 3 + ... [15.10]
  • 23. 26 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Para finalizar, hay que determinar las constantes de integración Ak a partir de las condiciones iniciales del circuito. La información disponible de forma inmediata en t = 0+ son las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, ya que son las mismas que en t = 0 – (o se pueden determinar a partir de éstas, como ya se ha visto en los circuitos de primer orden, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos). Figura 15.2 En general, para determinar las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se puede seguir el procedimiento que se indica a continuación. En primer lugar, se sustituyen las bobinas y condensadores por fuentes de intensidad y de tensión, respectivamente, como se indica en la figura 15.2. A continuación, cualquier variable del circuito resistivo resultante, por ejemplo, iR, se puede obtener por superposición mediante la expresión iR(t) = ku1,R.us1 +... + k i1,R.is1 +... + kC1,R.uC1 +... + kL1,R.iL1 +... [15.11] donde los coeficientes k son números reales (no contienen el operador D), ya que en la parte del circuito que queda en el interior del rectángulo no hay bobinas ni condensadores. Esta expresión permite determinar la variable iR en cualquier instante, supuesto que en dicho instante se conocen iL1, iL2, ... y uC1, uC2,... Para t = 0+ las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, son conocidas, ya que son las mismas que en t = 0 – (o se pueden determinar a partir de éstas, como ya se ha visto, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos). Por tanto, se puede escribir iR(0+ ) = ku1,R.us1(0+ ) + ... + ki1,R.is1(0+ ) + ... + kC1,R.uC1(0+ ) +... + kL1,R.iL1(0+ ) +... [15.12] donde el segundo miembro es conocido. Esto constituye la primera condición de contorno para la ecuación diferencial. b) us1 is1 C.P. Resistivo iR R uC1 iL1 a) us1 is1 C1 C.P. Resistivo iR R L1 uC1 iL1
  • 24. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 27 Como segunda condición de contorno se utiliza la derivada de la variable en estudio, particularizada para t = 0+ . Para calcularla, basta derivar en la expresión [15.11], con lo que se obtiene ... t i ... t u t i t u t i L RL C RCRiRu R d d k d d k... d d k... d d k d d ,, s1 1, s1 1, 1 1 1 1 = ... L )t(u ... C )t(i t i t u L RL C RCRiRu 1 1 1 1 1 1 ,, s1 1, s1 1, kk... d d k... d d k [15.13] donde las derivadas de las excitaciones son conocidas en cualquier instante y los valores iC1(t) y uL1(t) se obtienen con una expresión análoga a la [15.11], es decir, se determinan mediante el análisis del circuito de la figura 15.2b iC1(t) = ku1,C1.us1 +... + k i1,C1.is1 +... + kC1,C1.uC1 +... + kL1,C1.iL1 +... [15.14] uL1(t) = ku1,L1.us1 +... + k i1,L1.is1 +... + kC1,L1.uC1 +... + kL1,L1.iL1 +... [15.15] Si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.13] se tiene )),...(),...(,...),(,...),(,..., d d ,..., d d f( d d s1s1 s1s1 titutitu t i t u t i LC R 11 [15.16] y para t = 0+ )),...(0),...(0,...),(0,...),(0,..., d d ,..., d d f( d d 1s1s1 0 s1 0 s1 0 LC ttt R iuiu t i t u t i 1 [15.17] donde el segundo miembro es conocido para t = 0+ , lo que permite determinar la segunda condición de contorno para la ecuación diferencial. Ejemplo 15.2 Figura 15.3 El circuito de la figura 15.3 se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide: C = 0,2 F R1 = 1 R2 = 2 L = 3 H is = 10sent A us = 20cost V S i
  • 25. 28 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) a) Hallar la ecuación diferencial de la intensidad i(t) para t > 0. b) Hallar i(0+ ) y (di/dt) t = 0+ a) Para obtener la ecuación diferencial de i(t) se emplean las impedancias operacionales de los elementos del circuito, como se muestra en la figura 15.4a. En la figura 15.4b se ha sustituido la fuente real de intensidad por la fuente real de tensión equivalente y se ha utilizado la impedancia de la asociación serie del condensador y de la resistencia R1. Figura 15.4 Al aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 15.4b, se obtiene 10179 515 3 1 2 1 2011 1 32011 20 2 1 2 1 DD D)(D DD),( DD),( D),( 2 ss ss AB ui / u / /i ui y, de aquí, se deduce la ecuación diferencial buscada (9D 2 + 17D + 10)i = 15Dis + (5 + D)us donde, al sustituir las funciones temporales correspondientes a is y us, se obtiene finalmente (9D 2 + 17D + 10)i = 250cost – 20sent b) Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensión, con lo que se obtiene el circuito resistivo de la figura 15.5a. En éste se deduce inmediatamente 1 2 1 2 iu i R iRu ii C L C L y, al despejar la intensidad i, resulta ZR1 = 1 ZL = 3D is usZC = 1/(0,2D) ZR2 = 2 a) b) ZR1C = 1 + 1/(0,2D) ZL = 3D is/(0,2D) usZR2 = 2 i A B
  • 26. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 29 )( LC iui 3 1 [15.18] y, para t = 0+ , )()()( 00 3 1 0 LC iui [15.19] Figura 15.5 Para obtener las condiciones iniciales en la bobina y en el condensador, se pasa el circuito correspondiente a t < 0 (con el interruptor abierto), que se encuentra en régimen estacionario sinusoidal, al campo complejo, como se indica en la figura 15.5b. Los valores complejos de las fuentes, si se refieren a la función coseno, son Is = –j10 A y Us = 20 V. De forma inmediata se obtiene UC = ZCIs = –j5 (–j10) = –50 V 13 1320 13 60 13 40 32 20 2 j j s RL L ZZ U I /–56,31º A y, por consiguiente, en el régimen permanente previo al cierre del interruptor, se tiene uC(t) = –50·cost ) , cos()( 180 3156 13 1320 ttiL y, de aquí, resulta uC(0– ) = –50·cos(0) = –50 V A 13 40 ) , cos()( 180 3156 0 13 1320 0Li b) Is ZC = –j5 ZR1 = 1 ZR2 = 2 ZL = j3 UsUC IL a) R1 = 1 is usR2 = 2uC iL uL iC i
  • 27. 30 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Es interesante observar que una función temporal g(t) = Gmcos( t + ), que se ha obtenido del complejo Gm / = Gmcos + j·Gmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide con la parte real de dicho complejo g(0) = Gmcos(0 + ) = Gmcos De manera análoga, una función temporal g(t) = Gmsen( t + ), que se ha obtenido del complejo Gm / = Gmcos + j·Gmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide con la parte imaginaria de dicho complejo g(0) = Gmsen(0 + ) = Gmsen Puesto que uC (0+ ) = uC (0– ) e iL(0+ ) = iL(0– ), se tiene uC (0+ ) = –50 V, iL(0+ ) = 40/13 A y, al sustituir valores en la ecuación [15.19], se obtiene la primera condición de contorno i(0+ ) = (–50 + 40/13 )/3 = –15,641 A Para obtener la segunda condición de contorno se deriva la ecuación [15.18] respecto del tiempo, con lo que se tiene 000 3 1 3 1 t LC t LC t L u C i t i t u t i d d d d d d [15.20] Los valores de iC (0+ ) y uL(0+ ) se obtienen del circuito de la figura 15.5a como A, )(, )( s 7218 1 5064152 00 01 2 t C C R uiR ii uL(0+ ) = us(0+ ) – R2i(0+ ) = 20 – 2(–15,64) = 51,28 V y, al sustituir estos valores en la ecuación [15.20], resulta A/s, , , , d d 9036 3 2851 20 7218 3 1 0tt i Para ecuaciones de orden superior al segundo, se imponen como condiciones de contorno derivadas sucesivas de iR para las cuales se obtienen expresiones similares a la [15.13]. Por ejemplo, para la derivada segunda, resulta de [15.16] ),... d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (f d d s1s1s1 2 s1 22 t i t u t i t u t i t u t i LCR 11 222 =
  • 28. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 31 ),... )( ,..., )( ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (f s1s1s1 2 s1 2 1 1 1 1 22 L tu C ti t i t u t i t u LC [15.21] De nuevo, si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.21] resulta )),...(,...,)(,...),(,...),(,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (g d d 11s1s1 s1s1s1 2 s1 22 titutitu t i t u t i t u t i LC R 222 [15.22] donde el segundo miembro es conocido para t = 0+ . Ejemplo 15.3 Resolver la ecuación diferencial correspondiente a i(t) (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = 20 obtenida en el ejemplo 15.1, con las condiciones iniciales siguientes: uC(0+ ) = 0 V, iL1(0+ ) = iL2(0+ ) = 0 A En primer lugar se determinan las raíces de la ecuación característica 6r 3 + 4r 2 + 7r + 2 = 0 Son las siguientes: r1 = – 0,3157 r2 = – 0,1755 + j1,0125 r3 = – 0,1755 – j1,0125 La solución buscada, de acuerdo con la expresión [15.10], es de la forma i(t) = i (t) + A1e –0,3157t + e –0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.23] La respuesta de régimen permanente, al tratarse de un circuito de continua, se obtiene fácilmente después de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto en la figura 15.1. El resultado es i (t) = 10 A con lo que la ecuación [15.23] queda i(t) = 10 + A1e –0,3157t + e –0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.24]
  • 29. 32 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Se puede obtener una expresión del tipo indicado en la ecuación [15.11], a partir del circuito de la figura 15.1, si se sustituyen en él las bobinas por fuentes de intensidad y el condensador por una fuente de tensión, con lo que resulta el mostrado en la figura 15.6. Figura 15.6 Si se aplica el método de análisis por lazos básicos, elegido el árbol representado con trazo más grueso, se tienen las ecuaciones siguientes: Lazo a: –2ic +(2 + 1)ia = uC [15.25] Lazo b: ib = iL1 Lazo c: ic = iL2 Como, además, i = ia, se puede despejar i de la ecuación [15.25], con lo que resulta i(t) = 3 2 )()( 2 titu LC [15.26] La primera condición de contorno es i(0+ ) = 3 2 )(0)(0 2LC iu = 0 [15.27] Para la segunda condición de contorno se deriva respecto de t la expresión [15.26] 2 2 13 12 3 1 2 3 1 2 )()()()( d d d d d d 222 tuti L tu C ti t i t u t i LCLCLC [15.28] Además, del circuito de la figura 15.6 se obtiene iC = iL1 + iL2 – i [15.29] i 2 uC1us A B C 0 iL1 iL2 ia ib ic iC uL1 uL2
  • 30. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 33 uL1 = us – uC [15.30] uL2 = us – 1.i [15.31] Si se sustituyen [15.29] y [15.31] en [15.28] dan como resultado )()())()()(( d d s21 titutititi t i LL 3 1 Aquí, en este ejemplo, se puede sustituir i(t) en función uC e iL2, para llegar a una expresión del tipo dado por la ecuación [15.16], o bien, se puede dejar sin sustituir: )(2)()()( d d s21 titutiti t i LL 3 1 [15.32] Particularizando para t = 0+ , se tiene la segunda condición de contorno 3 10 0000 3 1 0 )(2)()()( d d s21 iuii t i LL t A/s [15.33] Para la tercera condición de contorno se deriva respecto de t la expresión [15.32] d d 2 )()( d d 2 d d d d d d d d 21s21 2 t i L tu L tu t i t u t i t i t i LLLL 0 3 1 3 1 21 2 [15.34] y, si se sustituyen [15.30] y [15.31] en [15.34], se obtiene d d 2 )( )()( d d 2 )()( )()( d d s s s 2 t iti tutu t ititu tutu t i CC 22 3 3 1 23 1 2 La tercera condición de contorno resulta 9 25 2 0 00 2 3 3 1 00 2 d d 2 )( )()( d d s 2 t C t t ii uu t i A/s 2 [15.35] Para calcular las constantes de integración se imponen las condiciones de contorno, dadas por las ecuaciones [15.27], [15.33] y [15.35], a la variable en estudio, definida por la ecuación [15.24], y a sus derivadas primera y segunda, particularizadas todas ellas para t = 0+ . Después de operar, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente
  • 31. 34 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) A1 + A2 = –10 –0,3157·A1 – 0,1755·A2 + 1,0125·A3 = 10/3 0,0997·A1 – 0,9944·A2 – 0,3554·A3 = 25/9 cuya solución es: A1 = –6,3282, A2 = –3,6718 y A3 = 0,6826. Con estos resultados se obtiene, finalmente, la expresión buscada de i(t) i(t) = 10 – 6,3282·e –0,3157t + e –0,1755t [–3,6718·cos(1,0125t) + 0,6826·sen(1,0125t)] A que tiene la representación gráfica mostrada en la figura 15.7. Figura 15.7 4. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Son circuitos de segundo orden aquellos cuyas variables están caracterizadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Un circuito que tiene dos elementos almacenadores de energía de distinto tipo (una bobina y un condensador) es, normalmente, un circuito de segundo orden. A veces hay circuitos con más de dos elementos almacenadores de energía que son de segundo orden. Por ejemplo, cuando se pueden agrupar elementos del mismo tipo en uno equivalente. En los circuitos de segundo orden la ecuación característica [15.9] es un polinomio de segundo grado, por lo que las raíces pueden ser 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 i(t) t [s]
  • 32. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 35 a) Reales y distintas: m y n. La respuesta tiene la forma xj(t) = xj (t) + A1·e m.t + A2·e n.t [15.36] y se dice que es sobreamortiguada. b) Real doble: r. En este caso la respuesta es del tipo xj(t) = xj (t) + (A + B·t) e r·t [15.37] y recibe el nombre de críticamente amortiguada. c) Complejas conjugadas: a jb. La respuesta es ahora del tipo xj(t) = xj (t) + e a·t (A·cos(bt) + B·sen(bt)) [15.38] Además del término exponencial, la respuesta contiene oscilaciones de pulsación b. Se dice que es una respuesta subamortiguada. Si el circuito no contiene resistencias, las raíces complejas carecen de parte real, por lo que la respuesta es una oscilación de amplitud constante y pulsación b, superpuesta a la componente xj (t). En este caso, la respuesta xj (t) no llega a ser nunca la respuesta de régimen permanente, ya que las oscilaciones correspondientes a la solución de la ecuación homogénea no se amortiguan. Normalmente, los exponentes m, n, r y a son números negativos, por lo que los términos exponenciales se hacen muy pequeños al cabo de un cierto tiempo, de forma que solo queda con un valor significativo el término xj (t), que es la respuesta de régimen permanente. Si alguno de los exponentes citados es positivo, la respuesta crecería indefinidamente, haciendo el circuito inestable. A continuación se van a estudiar tres ejemplos, correspondientes a los casos críticamente amortiguado (ejemplo 15.4), subamortiguado (ejemplo 15.5) y sobreamortiguado (ejemplo 15.6), con el fin de mostrar el aspecto de las formas de onda que resultan en cada uno de estos casos y, también, la manera de obtener las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales. Ejemplo 15.4 El circuito de la figura 15.8 lleva en la situación indicada un tiempo suficientemente grande, de forma que se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se
  • 33. 36 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) tomará como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar la intensidad i(t) para t > 0. Figura 15.8 Antes de cerrar el interruptor no circula corriente por la bobina, luego iL(0– ) = 0. Además, en el circuito que queda a la derecha del interruptor, que está en un régimen permanente de continua, el condensador se puede sustituir por un circuito abierto, por lo que no circula corriente por la resistencia. La tensión en el condensador, es u(0 – ) = 4 V. Figura 15.9 Una vez cerrado el interruptor se tiene el circuito de la figura 15.9a, en el que los elementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. La tensión en la resistencia se puede determinar mediante el teorema de Millmann 1DD D D 4D D 4D 1/D14D 1/D4D 2 s2 2 s1 s2 s1s2s1 A0 44 4 1 1111 UU U UUU u De aquí se puede obtener la ecuación diferencial correspondiente a uA0, que coincide con la de la intensidad i, ya que uA0 = 1·i: (4D 2 + 4D + 1)i = Us1 + 4D 2 Us2 Us1 = 6 V R = 1 i L = 4 H Us2 = 4 V uC iL S C = 1 F a) S Us1 = 6 V ZR = 1 i ZL = 4D Us2 = 4 V ZC = 1/D A 0 b) Us1 R = 1 i Us2 uCiL u iCAS 0
  • 34. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 37 Para t > 0, las tensiones de las fuentes son constantes: Us1 = 6 V y Us2 = 4 V, por lo que D 2 Us2 = 0 y el segundo miembro de la ecuación diferencial se reduce al valor constante 6. La ecuación diferencial queda en la forma (4D 2 + 4D + 1)i = 6 La ecuación característica 4r 2 + 4r + 1 = 0 tiene una raíz real doble: r = –1/2, luego la solución buscada se puede escribir como i(t) = i (t) + (A + Bt).e –t/2 [15.39] En primer lugar se va a determinar la respuesta de régimen permanente, i (t). Al tratarse de un circuito de corriente continua, en régimen permanente la bobina se comporta como un cortocircuito y el condensador como un circuito abierto. Por ello, la fuente de 4 V queda aislada del resto del circuito y la tensión de la fuente de 6 V queda aplicada directamente a la resistencia. Es decir, i (t) = 6 A. A este mismo resultado se llega aplicando el método de coeficientes indeterminados. Se supone una solución de la forma i (t) = K. Se sustituye esta solución en la ecuación diferencial (4D 2 + 4D + 1)K = 6 con lo que resulta K = 6. Con este resultado, la solución dada por [15.39] se puede escribir como i(t) = 6 + (A + Bt).e –t/2 [15.40] Para determinar las condiciones de contorno, de acuerdo con el método general expuesto, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensión, tal como se muestra en la figura 15.9b. En este circuito, la tensión en la resistencia queda definida por las dos fuentes de tensión que quedan a su derecha u = – uC + Us2 y, de aquí, resulta R tUtu ti C )()( )( s2 [15.41]
  • 35. 38 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) RC ti t u RR t U t u t i CC C )( d dd d d d d d s2 1 [15.42] Se ha tenido en cuenta que, para t > 0, Us2 es constante y, por consiguiente, su derivada es nula. La intensidad en el condensador se obtiene en el circuito de la figura 15.9b al aplicar la primera ley de Kirchhoff al nudo A: iC(t) = i(t) – iL(t) y, si se sustituye este resultado en la ecuación [15.42], se tiene RC titi t i L )()( d d [15.43] Por último se hace t = 0 en las ecuaciones [15.41] y [15.43], con lo que se determinan las condiciones de contorno, con uC(0+ ) = uC(0– ) = 4 V, iL(0+ ) = iL(0– ) = 0 A, 0 1 4400 0 R Uu i C )()( )( s2 0 00 0 RC ii t i L t )()( d d Al imponer estas condiciones de contorno a la solución de la ecuación diferencial, dada en [15.40], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: i(0+ ) = 0 = 6 + A 2 A -BB.0)(A. 2 1 -B. d d 0-0- ee t i t 0 0 Una vez resuelto se tiene: A = – 6, B = –3, con lo que la solución buscada es i(t) = 6 – (6 + 3t).e –t/2 A [15.44] Este resultado se muestra gráficamente en la figura 15.10.
  • 36. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 39 Figura 15.10 Ejemplo 15.5 El circuito de la figura 15.11 se encuentra en régimen permanente, con el condensador descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar u(t), para t 0: Figura 15.11 Antes de cerrar el interruptor el circuito está en un régimen permanente de alterna. Para calcular la corriente que circula por la bobina, se pasa el circuito al campo complejo, según se muestra en la figura 15.12a. Mediante divisores de intensidad se tiene A 41 j 4141 )j( j s 2002504550 10 45 5 21 21 I ZZZ ZZ I LRR RR L de donde se deduce iL(0– ) = 250/41 = 6,098 A Además, al estar el condensador descargado hasta t = 0, se tiene uC (0– ) = 0. 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 i(t) t [s] is = 10 cos 2t C = 0,5 F u R1 = 3 L = 2 H iL uC S R2 = 2
  • 37. 40 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Con esto quedan determinadas las condiciones iniciales: iL(0+ ) = iL(0– ) = 6,098 A y uC (0+ ) = uC (0– ) = 0 V. Figura 15.12 La ecuación diferencial se obtiene a partir del circuito de la figura 15.12b, donde cada elemento pasivo viene caracterizado por su impedancia operacional. Se tiene: u = ZR1i = 3i, y, mediante divisores de intensidad, se puede escribir directamente ss 2/D2 2·2/D D D . ii ZZ ZZ ZZ Z Zu CR CR RL L R 32 2 3 2 2 1 1 = = s s 42D)2D)(2(3 2)D(2D 4/D2/D)2D)(2(3 2/D)D(2 i i 66 [15.45] y de aquí resulta (4D 2 + 10D + 10) u = – 6D(2D + 2)is = 480.cos2t + 240.sen2t que es la ecuación diferencial buscada. La ecuación característica es 4r 2 + 10r + 10 = 0 que tiene como raíces r1 = – 1,25 – j0,968 r2 = – 1,25 + j0,968 es decir, se trata de un circuito subamortiguado. La solución buscada es de la forma a) Is = 10/0 A ZL = j4 IL ZC = –j1 ZR1 = 3 ZR2 = 2 b) is ZL = 2D iL ZC = 2/D ZR1 = 3 ZR2 = 2 u i
  • 38. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 41 u(t) = u (t) + e –1,25t [ A·cos(0,968t) + B·sen(0,968t)] [15.46] La respuesta de régimen permanente, u (t), se obtiene pasando al campo complejo el circuito válido para t > 0 (con el interruptor cerrado), como se muestra en la figura 15.13a. La tensión compleja U se obtiene mediante una expresión análoga a la [15.45], sustituyendo D por j e is por Is , U = s 4)2j)(22j(3 2)(2jj I 6 donde, a su vez, = 2 rad.s –1 e Is = 10 + j0. Esto es U = 10 22 226 4)2j)(22j(3 2)(2jj = 25,7/–133,26º V y, por tanto u (t) = 25,7·cos(2t – 133,26 /180) V La función u(t) se puede escribir como u(t) = 25,7.cos(2t – 133,26 /180) + e –1,25t [ A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.47] Figura 15.13 Para obtener las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se sigue el procedimiento general de sustituir la bobina por una fuente de intensidad, iL, y el condensador por una fuente de tensión, uC, tal como se muestra en la figura 15.13b. De manera inmediata se obtiene u(t) = R1·[iL(t) – is(t)] [15.48] que, para t = 0+ , es u(0+ ) = R1·[iL(0+ ) – is(0+ )] = 3.(6,098 – 10 ) = –11,706 V a) Is ZL = j4 IL ZC = –j1 ZR1 = 3 ZR2 = 2 U b) R2 = 2 u R1 = 3 iL uC uL iC is
  • 39. 42 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) Si se derivan ambos miembros de la expresión [15.48] se obtiene )sen(2·· )( d d d d . d d s t L tu R t i t i R t u LL 21011 [15.49] donde, uL se determina en el circuito de la figura 15.13b como uL(t) = – uC(t) – u(t) Si se sustituye este resultado en la ecuación [15.49] y se particulariza para t = 0+ se tiene 559170 2 706110 3020 00 1 0 , ),( )(sen. )()( d d L uu R t u C t V/s A continuación, se imponen estas condiciones de contorno a la solución dada en [15.47] u(0+ ) = – 11,706 V = 25,7·cos( –133,26 /180) + e –0 [ A·cos(0) + B·sen(0)] = = – 17,615 + A 0,968B1,25A37,433s(0))0,968·B·coA·sen(0)·,( B·sen(0))A·cos(0)(.,)/,sen(2·,·, d d 0 0 9680 25118026133725255917 0 0 e et t u t t de donde A = – 11,706 + 17,615 = 5,909 B = (17,559 – 37,433 + 1,25·A)/0,968 = –12,901 con lo que se tiene finalmente u(t) = 25,7·cos(2t – 133,26 /180) + e –1,25t [ 5,909·cos(0,968t) – 12,901·sen(0,968t)] V En la figura 15.14 se representa gráficamente la función u(t).
  • 40. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 43 Figura 15.14 Ejemplo 15.6 El circuito de la figura 15.15 se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, la fuente de tensión pasa, bruscamente, a un valor de 0 V. Hallar las intensidades i1(t) e i2(t) para t > 0. DATOS: L1 = 1 H, L2 = 4 H, M = 1,5 H. Figura 15.15 Las ecuaciones circulares de las dos partes en que queda dividido el circuito son Us – R1·i1 = L1·Di1 – M·Di2 – R2·i2 = –M·Di1 + L2·Di2 y, después de sustituir valores, queda Us – 1·i1 = 1·Di1 – 1,5·Di2 [15.50] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –30 –20 –10 0 10 20 30 u(t) t [s] 1' R2 = 2 i11 i2 2 2' u2u1Us = 5 V R1 = 1
  • 41. 44 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) – 2·i2 = –1,5·Di1 + 4·Di2 [15.51] En el régimen permanente de continua, previo al cambio de valor de la fuente, Us = 5 V, i1 e i2 son constantes por lo que Di1 = Di2 = 0. Al sustituir este resultado en las ecuaciones [15.50] y [15.51] se tiene i1(0– ) = 5 A i2(0– ) = 0 A Para t > 0, Us = 0 V, las ecuaciones [15.50] y [15.51] se convierten en las siguientes – i1 = 1.Di1 – 1,5·Di2 [15.52] – 2.i2 = – 1,5·Di1 + 4·Di2 [15.53] es decir, (1 + D)i1 – 1,5Di2 = 0 –1,5Di1 + (2 + 4D)i2 = 0 De aquí se pueden despejar las intensidades 26751 0 512112 00 510 21 DD,D,)D)(D( 4D21,5D- 1,5D-D1 4D2 D, )( 22 ti 26751 0 512112 0051 01 22 DD,D,)D)(D( 4D21,5D- 1,5D-D1 D, D )( 22 ti y, por tanto, las ecuaciones diferenciales correspondientes son (1,75D 2 + 6D + 2)i1 = 0 (1,75D 2 + 6D + 2)i2 = 0 Al no haber fuentes independientes en el circuito, se obtienen ecuaciones diferenciales homogéneas, y, al tener todas las variables la misma ecuación característica, las ecuaciones
  • 42. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 45 diferenciales tienen la misma forma. No obstante, las soluciones serán diferentes porque las condiciones iniciales son distintas. Las raíces de la ecuación característica 1,75r 2 + 6r + 2 = 0 son las siguientes: r1 = –3,0544 y r2 = –0,3742 Son dos raíces reales y distintas. Se trata de un caso sobreamortiguado. En general, cuando un circuito de segundo orden tiene los dos elementos almacenadores de energía del mismo tipo (dos bobinas o dos condensadores), las respuestas son de tipo sobreamortiguado. La solución buscada es de la forma i1(t) = A1·e –3,0544t + B1·e –0,3742t i2(t) = A2·e –3,0544t + B2·e –0,3742t Como condiciones de contorno se tiene, para las intensidades, los valores siguientes: i1(0+ ) = i1(0– ) = 5 A i2(0+ ) = i2(0– ) = 0 A Para calcular las derivadas de las variables en t = 0+ , se hace uso de las ecuaciones [15.52] y [15.53], en las que se despejan dichas derivadas 751 34 451 511 42 51 212 1 1 , )()( , , , D titii i i 751 251 451 511 251 1 212 1 2 , )()(, , , , D titii i i y para t = 0+ 751 20 751 0304 21 01 ,, )()( D ii i t = –11,429 A/s
  • 43. 46 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 751 57 751 02051 21 02 , , , )()(, D ii i t = – 4,286 A/s Al aplicar las condiciones de contorno a la expresión de i1 y su derivada, particularizadas para t = 0+ , se tiene el sistema de ecuaciones siguiente: A1 + B1 = 5 –3,0544A1 – 0,3742B1 = – 11,429 que tiene como soluciones: A1 = 3,566 , B1 = 1,434. De forma análoga, para la intensidad i2 se tiene el sistema de ecuaciones A2 + B2 = 0 –3,0544A2 – 0,3742B2 = – 4,286 que tiene como soluciones: A2 = 1,599, B2 = – 1,599. Figura 15.16 Por consiguiente, las respuestas buscadas son i1(t) = 3,566.e –3,0544t + 1,434.e –0,3742t A i2(t) = 1,599.e –3,0544t – 1,599.e –0,3742t A cuya representación gráfica se da en la figura 15.16. 0 5 10 15 –1 0 1 2 3 4 5 6 [A] t [s] i1 i2
  • 44. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 47 5. CIRCUITOS CON LAZOS CAPACITIVOS Y/O CONJUNTOS DE CORTE INDUCTIVOS El tratamiento de los circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos se realiza de acuerdo con el procedimiento establecido en el capítulo 14 (volumen I) al estudiar los circuitos de primer orden. A continuación, se presenta, como ejemplo, un circuito de segundo orden con un lazo capacitivo, en el que se produce un cambio brusco de la tensión (carga) en los condensadores que constituyen dicho lazo capacitivo y, por consiguiente, con la aparición de un impulso de corriente en t = 0. Ejemplo 15.7 El circuito de la figura 15.17 lleva en la posición indicada un tiempo suficientemente grande para considerar que se encuentra en régimen permanente. En un instante, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Hallar la intensidad i(t) para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuación diferencial correspondiente y su posterior resolución. Figura 15.17 Antes de cerrar el interruptor, el circuito está dividido en dos subcircuitos independientes entre sí, que se encuentran en un régimen permanente de continua. Por simple inspección se deduce que uC1(0– ) = 6 V, uC2(0– ) = 4 V, iL(0– ) = 0 A. Al cerrar el interruptor se forma un lazo capacitivo con los dos condensadores, como se muestra en la figura 15.18. Para t > 0, se cumple la condición uC1(t) = uC2(t) y, en particular, para t = 0+ uC1(0+ ) = uC2(0+ ) Sin embargo, las tensiones en los condensadores no son iguales para t = 0– . Por tanto, en el intervalo (0– , 0+ ) hay un cambio brusco de las tensiones uC1 y uC2, lo que lleva a una R1 = 2 Us1 = 6 V i L = 2 H C1 = 1 F uC1 uC2 iL Us2 = 4 V S R2 = 1 C2 = 2 F
  • 45. 48 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) circulación de corriente infinita a través de los mismos. Si se escribe la primera ley de Kirchhoff al recinto cerrado indicado con línea de trazo discontinuo en la figura 15.18, se obtiene i + iL = iC1 + iC2 Figura 15.18 En el intervalo (0– , 0+ ) las intensidades iC1 e iC2 son infinitas, pero las restantes intensidades se mantienen en valores finitos. Por ejemplo, iL mantiene el valor nulo que tiene en t = 0– y la intensidad i viene dada por la expresión 1 11 R uU i Cs donde Us1 = 6 V y uC1 pasa de 6 V en t = 0– al valor que corresponda en t = 0+ , uC1(0+ ), pero se mantiene acotada, y lo mismo sucede con i. De acuerdo con este razonamiento, al ser despreciables las corrientes i e iL frente a las iC1 e iC2 en el intervalo (0– , 0+ ), se tiene iC1 + iC2 = 0 Esto equivale a la circulación de una corriente infinita, iC, (un impulso de corriente) por todo el lazo capacitivo, en el intervalo (0– , 0+ ), como se indica en la figura 15.18, de forma que se cumple iC1 = – iC2 = iC Para calcular de forma sistemática las tensiones en t = 0+ , se plantean las ecuaciones siguientes: 0 0 0 01 0 01 1 0 1 00 1 111 d)( 1 1 6d)()(d)()()( CCCCCC ii C ui C uu iC1 iC2 iC R1 = 2 Us1 = 6 V i L = 2 H C1uC1 uC2 iL Us2 = 4 V R2 = 1 C2 uL
  • 46. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 49 0 0 0 02 0 02 1 0 1 00 2 222 d)( 2 1 4d)()(d)()()( CCCCCC ii C ui C uu uC1(0+ ) = uC2(0+ ) donde QiC 0 0 d)( es la carga transferida entre los condensadores del lazo capacitivo en el intervalo (0– , 0+ ), por el impulso de corriente iC. Resuelto este sistema de ecuaciones se tiene: uC1(0+ ) = uC2(0+ ) = 14/3 V = 4,67 V y Q = –4/3 C. A partir de t = 0 se pueden sustituir los dos condensadores conectados en paralelo por uno equivalente, de capacidad: C ' = C1 + C2 = 3 F, como se muestra en la figura 15.19a, con la tensión inicial uC '(0+ ) = 4,67 V, recientemente calculada. Se trata, por tanto, de un circuito de segundo orden. Figura 15.19 Para obtener la ecuación diferencial de la variable i(t) se puede analizar el circuito por mallas, y tener en cuenta, de acuerdo con la figura 15.19a, que i = ia. Las ecuaciones que resultan son las siguientes: s2 s1 b . D D D DD U U i i 3 1 21 3 1 3 1 3 1 2 y, si se despeja la variable en estudio, se tiene a) Us1 2i 1 2 H 3 F iL iC' Us2ia ib b) 2 Us1 i 1 uC' iL uL iC' Us2
  • 47. 50 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 2 3 1 3 1 21 3 1 2 3 1 3 1 21 3 1 21 3 1 3 1 3 1 2 3 1 21 3 1 ) D () D D)( D ( D ) D D( D D D DD D D D s2s1s2 s1 UUU U i 3DDD)D)(D( )D)D)(( 2 s2s1 812 2 23342 1321 UU donde, en el numerador, se ha tenido en cuenta que tanto Us1 como Us2 son constantes, para t > 0. La ecuación diferencial es, por tanto, para t > 0, (12D 2 + 8D + 3)i = 2 cuya ecuación característica 12r 2 + 8r + 3 = 0 tiene como raíces: 6 5 3 1 j . La solución buscada es, por consiguiente, de la forma i(t) = i (t) + e –t/3 (A·cos t 6 5 + B·sen t 6 5 ) [15.54] La respuesta de régimen permanente (de continua) se deduce fácilmente como i (t) = 2/3 A. Para determinar las condiciones de contorno de la ecuación diferencial, se sustituye el condensador equivalente por una fuente de tensión, uC ', y, la bobina, por una fuente de intensidad, iL, tal como se indica en la figura 15.19b. Si se aplica la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda, se tiene Us1 = 2i(t) + uC'(t) y, de aquí, se despeja la variable en estudio
  • 48. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 51 1R tuU ti C )( )( 's1 [15.55] Su derivada respecto del tiempo es ' )( d d d d d d ''s1 C ti Rt u t U Rt i CC 0 11 11 [15.56] Por otra parte, del circuito de la figura 15.19b se obtiene la intensidad en el condensador iC'(t) = iL(t) + i(t) que, sustituida en la ecuación [15.56], da como resultado ' )()( d d C titi Rt i L 1 1 [15.57] Al hacer t = 0+ , y sustituir valores en las ecuaciones [15.55] y [15.57], se tiene A,)( )( )( C's1 66670 3 2 3 14 6 2 10 0 1R uU i [15.58] 11110 9 1 3 666700 2 1001 10 , , ' )()( d d L C ii Rt i t A/s [15.59] El paso siguiente es calcular las constantes A y B de la expresión [15.54], a partir de las condiciones de contorno dadas en [15.58] y [15.59]. Se obtiene i(0+ ) = 2/3 = 2/3 + e –0 [A·cos(0) + B·sen(0)] = 2/3 + A 111,0 d d 0tt i 1 = –1/3 e –0 [A·cos(0) + B·sen(0)] + 6 5 e –0 [–A·sen(0) + B·cos(0)] = = (–1/3)A + 6 5 B Si se resuelve este sistema de ecuaciones se obtiene: A = 0, B = 53 2 = –0,2981. Con estos valores, la ecuación [15.54] se convierte finalmente en
  • 49. 52 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) i(t) = 53 2 3 2 e –t/3 ·sen t 6 5 A En la figura 15.20 se muestra la gráfica correspondiente a esta función i(t). Figura 15.20 6. SIMULACIÓN DE LAS MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURA DE UN INTERRUPTOR MEDIANTE FUENTES Por su aplicación en el análisis en régimen transitorio de dos situaciones de gran importancia práctica, como la determinación de la corriente de cortocircuito en un punto de una red eléctrica y de la tensión de restablecimiento entre los contactos de un interruptor, se va a presentar, a continuación un procedimiento en el que se simulan las maniobras de cierre o apertura de un interruptor, en un instante dado, mediante la conexión en el circuito, en ese instante, de fuentes de tensión o de intensidad, respectivamente. En la figura 15.21a se muestra un circuito con un interruptor abierto, que se ha destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del circuito en estas condiciones (con el interruptor abierto) y, por tanto, en este circuito, se conoce la tensión entre los contactos del interruptor, u0(t), así como las tensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t). El interruptor se cierra en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura 15.21b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un cortocircuito, que se puede tratar como una fuente ideal de tensión de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos fuentes de tensión en serie, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a u0(t)U(t), como se 0 5 10 15 20 25 30 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 0,68 i(t) t [s]
  • 50. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 53 indica en la figura 15.21c. Con U(t) se representa el escalón unidad. También se considera que las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se añaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores. Figura 15.21 En el paso siguiente se aplica superposición, tal como se indica en la figura 15.22. Cualquier respuesta viene dada por la suma de las respuestas correspondientes del circuito de la figura 15.22a y del circuito de la figura 15.22b. Por ejemplo, la intensidad i que circula entre los contactos del interruptor, cuando este se cierra, viene dada por las componentes i' e i", tales que a) uC0(t) us1 is1 iL0(t) L C C.P. Resistivo u0(t) S b) 0 V uC(t) us1 is1 iL(t) L C C.P. Resistivo i c) 0 V uC0(0)·U(t) iL0(0)·U(t) uC(t) us1·U(t) is1·U(t) iL(t) L C C.P. Resistivo u0·U(t) u0·U(t) i
  • 51. 54 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) i = i' + i" [15.60] El primero de los circuitos (figura 15.22a) contiene todas las fuentes internas (tanto las de excitación como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente externa de valor u0(t) y referencia coincidente con la tensión entre contactos del interruptor abierto. Esto corresponde a la situación del circuito previa al cierre del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.21a. En el segundo circuito (figura 15.22b) solo actúa la fuente de tensión externa restante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la respuesta, a estado inicial cero, debida a la excitación con una fuente de valor u0(t) y referencia opuesta a la tensión entre contactos del interruptor abierto, aplicada en t = 0. Si la variable en estudio es la intensidad que circula por el interruptor cuando se han cerrado los contactos, la primera componente es cero, ya que por la fuente de tensión u0 del circuito de la figura 15.22a no circula corriente. Esta fuente se puede considerar que procede de aplicar la regla de sustitución al circuito abierto (contactos abiertos del interruptor) de la figura 15.21a. Por tanto, para esta variable, i, basta estudiar el circuito de la figura 15.22b, ya que, por la ecuación [15.60], i = 0 + i" = i" Este caso tiene interés práctico, si el cierre del interruptor está simulando la aparición de un cortocircuito en un punto de una red eléctrica. Entonces, la intensidad a través del interruptor es la intensidad de cortocircuito en el punto donde se ha producido éste. Figura 15.22 b) L C C.P. Resistivo u0·U(t)i" a) + uC0(t)uC0(0)·U(t) iL0(0)·U(t) us1·U(t) is1·U(t) iL0(t) L C C.P. Resistivo u0·U(t)i'
  • 52. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 55 Ejemplo 15.8 Determinar la tensión u1 en el circuito de la figura 15.23 (ya analizado en el ejemplo 15.5) a partir de t = 0, instante en el que se produce el cierre del interruptor S. El estudio se va a realizar simulando mediante fuentes el cierre del interruptor. Figura 15.23 En la figura 15.23b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se cierra el interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitación, is y u0, se aplican en t = 0 a un circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0). Figura 15.24 A continuación, se aplica superposición en la forma indicada por los circuitos de las figuras 15.24a y b. La tensión buscada viene dada por u1 = u'1 + u"1 La primera componente, u'1, se obtiene del circuito de la figura 15.24a, que evoluciona como lo haría el circuito original si no se hubiera cerrado el interruptor. Se tiene por tanto, un régimen estacionario sinusoidal, que se estudia con el circuito de la figura 15.25a. De él se obtiene a) C = 0,5 F u'1 R1 = 3 L = 2 HiL0(0) uC0(0) R2 = 2is u0 b) C = 0,5 F u"1 R1 = 3 L = 2 H R2 = 2 u0 u1 C R1 LiL0(0) uC0(0) R2is u0 u0 b) a) C = 0,5 F u1 R1 = 3 L = 2 H iL0 uC0 S R2 = 2is = 10 cos 2t u0
  • 53. 56 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 75698057 32 2 45 45 0 ,j, j j sIU 12,494/51,34º V 010 2 3 UU –18,741/51,34º V y, de aquí, resulta u0 = 12,494·cos(2t + 51,34. /180) V u10 = u'1(t) = –18,741·cos(2t + 51,34. /180) V El paso siguiente es hallar u''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.25b, que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se añade la fuente de tensión de valor u0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a la tensión u0 del circuito original). Figura 15.25 La ecuación diferencial correspondiente a u''1 se obtiene mediante el teorema de Millman y divisores de tensión 2D)(32D)D( 2D)(32D, D 2D3 1 D, D, D )("1 23 50 23 3 2 1 50 50 23 3 00 uu tu 5DD D 2 52 3 0u [15.61] La ecuación diferencial es, por tanto, (2D 2 + 5D + 5)u''1(t) = – 3Du0 y su ecuación característica tiene como raíces –1,25 j0,968, por lo que la solución es de la forma –j1 U10 3 j4Is U0 a) 2 b) ZC = 1/(0,5D) u''1 ZR1 = 3 ZL = 2D u0 ZR2 = 2 u''1 R1 = 3 u0 uC iL uL c) R2 = 2
  • 54. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 57 u''1(t) = u''1 (t) + e –1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.62] Para obtener la componente de régimen permanente, u''1 (t), se puede hacer D = j2 en la ecuación operacional del circuito (ecuación [15.61] ). Esto es U''1 = j4,081907,5 j10-3 6j 5(j2)5(j2)2 (j2)3 0 2 0 UU = 7,180/–145,36º V Por tanto, u''1 (t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) V u''1 (0+ ) = – 5,907 V y la expresión [15.62] adopta la forma u''1(t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) + e –1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] V [15.63] Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad iL y el condensador por una fuente de tensión uC, con lo que resulta el circuito de la figura 15.25c. En éste se tiene u''1(t) = R1iL(t) [15.64] L tu R t i R t u LL )( d d d "d 11 1 [15.65] A su vez, la tensión en la bobina, uL, se obtiene sin más que aplicar la segunda ley de Kirchhoff uL = – uC – u0 – u''1 Si se sustituye este resultado en la ecuación [15.65], se tiene )(")()( d "d 10C tututu L R t u 11 [15.66] y si, a continuación, se hace t = 0+ en las ecuaciones [15.64] y [15.66], y se tiene en cuenta que el circuito se encuentra a estado inicial cero: iL(0– ) = uC(0– ) = 0, resulta u''1(0+ ) = R1iL(0+ ) = R1iL(0– ) = 0
  • 55. 58 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 707,110805,70 2 3 )0('')0()0( d "d 10C 1 0 1 uuu L R t u t V/s Si se aplican estas condiciones de contorno a la solución dada en [15.63] se tiene el sistema de ecuaciones siguiente u''1(0+ ) = 0 = – 5,907 + A 0,968B1,25A-/180),(sen·,·, d "d 361451807270711 0 1 tt u 0,968B1,25A-2·4,081 cuya solución es: A = 5,907, B = –12,898 La respuesta u''1(t) es, por tanto, u''1(t) = 7,180.cos(2t – 145,36 /180) + e –1,25t [5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] V Por el principio de superposición, la respuesta buscada, u1(t), es u1(t) = u'1(t) + u''1(t) = = –18,741.cos(2t + 51,34. /180) + 7,180.cos(2t – 145,36 /180) + + e –1,25t [5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] = = 25,701.cos(2t – 133,26 /180) + e –1,25t [5,907.cos(0,968t) – 12,898.sen(0,968t)] V que coincide, salvo errores de redondeo, con el resultado del ejemplo 15.5. De forma dual se estudia el transitorio debido a una maniobra de apertura de un interruptor. En la figura 15.26a se muestra un circuito con un interruptor cerrado, que se ha destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del circuito en estas condiciones (con el interruptor cerrado) y, por tanto, en este circuito, se conoce la intensidad que circula por los contactos del interruptor, i0(t), así como las tensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t). El interruptor se abre en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura 15.26b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un circuito abierto, que se puede tratar como una fuente ideal de intensidad de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos fuentes de intensidad en paralelo, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a i0(t)U(t) como
  • 56. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 59 se indica en la figura 15.26c. También se considera que las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se añaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores. Figura 15.26 En el paso siguiente se aplica superposición, tal como se indica en la figura 15.27. Cualquier respuesta viene dada por la suma de los valores correspondientes del circuito de la figura 15.27a y del circuito de la figura 15.27b. Por ejemplo, la tensión u que aparece entre los contactos del interruptor, cuando éste se abre, viene dada por las componentes u' y u", tales que a) uC0(t) us1 is1 iL0(t) L C C.P. Resistivo i0(t) S b) uC(t) u us1 is1 iL(t) L C C.P. Resistivo 0 A c) 0 A uC0(0)·U(t) iL0(0)·U(t) uC(t) us1·U(t) is1·U(t) iL(t) L C C.P. Resistivo i0·U(t) i0·U(t) u
  • 57. 60 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) u = u' + u" [15.67] El primero de los circuitos (figura 15.27a) contiene todas las fuentes internas (tanto las de excitación como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente externa de valor i0(t) y referencia coincidente con la intensidad que circula entre los contactos del interruptor cerrado. Esto corresponde a la situación del circuito previa a la apertura del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.26a. En el segundo circuito (figura 15.27b) solo actúa la fuente de intensidad externa restante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la respuesta a estado inicial cero, debida a la excitación con una fuente de valor i0(t) y referencia opuesta a la intensidad entre contactos del interruptor cerrado, aplicada en t = 0. Si la variable en estudio es la tensión entre los contactos del interruptor cuando éstos se han abierto, la primera componente es cero, ya que en la fuente de intensidad i0 del circuito de la figura 15.27a la tensión es nula. Esta fuente se puede considerar que procede de aplicar la regla de sustitución al cortocircuito (contactos cerrados del interruptor) de la figura 15.26a. Por tanto, para esta variable, u, basta estudiar el circuito de la figura 15.27b, ya que, por la ecuación [15.67], u = 0 + u" = u" Este caso tiene interés práctico, para determinar la tensión entre los contactos de un interruptor real durante la maniobra de apertura de los mismos. Esta tensión, conocida como tensión de restablecimiento, puede dar lugar a que se mantenga un arco entre los contactos del interruptor, de forma que siga circulando corriente a través de ellos con el interruptor abierto (mecánicamente). Figura 15.27 a) + uC0(0)·U(t) iL0(0)·U(t) uC0(t) us1·U(t) is1·U(t) iL0(t) L C C.P. Resistivo i0·U(t) u' i0·U(t) L C C.P. Resistivo u" b)
  • 58. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 61 Ejemplo 15.9 El circuito de la figura 15.28a se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la intensidad i1(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes. Figura 15.28 En la figura 15.28b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se abre el interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitación, Us e i0, se aplican en t = 0 a un circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0). Figura 15.29 A continuación, se aplica superposición en la forma indicada por los circuitos de las figuras 15.29a y b. La intensidad buscada viene dada por i1 = i'1 + i"1 [15.68] La primera componente, i'1, se obtiene del circuito de la figura 15.29a, que evoluciona como lo haría el circuito original si no se hubiera abierto el interruptor. Se tiene por tanto, un régimen permanente de continua, que se estudia con el circuito de la figura 15.30a, después de sustituir la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto. De él se obtiene a) SR1 = 1 Us = 10 V i1 L = 2 H i0 R2 = 2C = 3 F b) R1 Us i1 L i0 R2 C uC0(0) i0 iL0(0) a) i'1 uC0(0) i0 iL0(0) R1 = 1 L = 2 H R2 = 2 C = 3 F Us = 10 V i"1 b) ZR1 = 1 ZL = 2D ZC = 1/(3D) i0 ZR2 = 2
  • 59. 62 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) i0(t) = 10 A i'1(t) = –i0(t) = – 10 A Esta intensidad i0(t) seguiría circulando a través del interruptor si no abrieran los contactos en t = 0. Figura 15.30 El paso siguiente es hallar i''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.29b, que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se añade la fuente de intensidad de valor i0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a la intensidad i0 del circuito original). Los elementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. En primer lugar se determina la ecuación diferencial aplicando divisores de intensidad 00 1 1 1 2 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 1 22 2 ii ZZ Z ZZ ZZ ZZ Z i CR C CR CR LR R D D D DD " = 386 20 1122 2 0 DD)D)(3D( 2 i La ecuación diferencial es (6D 2 + 8D + 3)i"1 = 20 cuya ecuación característica 6r 2 + 8r + 3 = 0 tiene como raíces 6 2 3 2 j . a) R1 = 1 Us = 10 V i'1 i0 R2 = 2 S i"1 R2 = 2 i0iL uC iC R1 = 1 b)
  • 60. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 63 La solución buscada para i"1 tiene la forma i"1(t) = i"1 (t) + e –2t/3 (A.cos t 6 2 + B.sen t 6 2 ) [15.69] La respuesta de régimen permanente, i"1 (t), se obtiene por simple inspección, después de sustituir en el circuito de la figura 15.29b la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto, i"1 (t) = 3 20 10 21 2 0 21 2 i RR R A Para establecer las condiciones de contorno se sustituye, en el circuito de la figura15.29b, la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensión, con lo que se obtiene el mostrado en la figura 15.30b. Se deduce inmediatamente i"1(t) = 1R tuC )( [15.70] C ti Rt u Rt i CC )( d d d "d 11 1 11 [15.71] Por otra parte, se tiene iC(t) = iL(t) – i"1(t) que, sustituido en la ecuación [15.71], da como resultado C titi Rt i L )(")( d "d 1 1 1 1 [15.72] De las ecuaciones [15.70] y [15.72], particularizadas para t = 0+ , se obtienen las condiciones de contorno, teniendo en cuenta que el circuito se encuentra a estado inicial cero, i"1(0+ ) = 0 0 1R uC )( 0 001 1 10 1 C ii Rt i L t )(")( d "d
  • 61. 64 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) que, impuestas a la solución dada por la ecuación [15.69], dan lugar al sistema siguiente i"1(0+ ) = 0 = 20/3 + A 0 1 tt i d "d 0 = B 6 2 A 3 2 Se obtiene como soluciones: A = – 20/3, B = 23 80 , con lo que, al sustituir valores en dicha ecuación [15.69], resulta tteti t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 20 32 1 sencos)(" / A Finalmente, la respuesta buscada, i1(t), de acuerdo con la ecuación [15.68], es i1(t) = –10 + tte t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 20 32 sencos/ = tte t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 10 32 sencos/ A
  • 62. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 65 Problemas P15.1 El circuito de la figura P15.1 está en régimen permanente, con el condensador C2 descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide: a) Hallar la ecuación diferencial de la intensidad i(t). b) Hallar i(0+ ) y di/dt t = 0+ Figura P15.1 P15.2 El circuito de la figura P15.2 está en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar u(t), para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuación diferencial correspondiente y su posterior resolución. Figura P15.2 P15.3 En el circuito de la figura P15.3, que se encuentra a estado inicial cero, se cierra el interruptor S en t = 0. Hallar la intensidad i(t), para t > 0, mediante la escritura de la ecuación diferencial correspondiente y su posterior resolución. Figura P15.3 S C = 2 FR1 = 1 R2 = 2L1 = 2 H Is = 5 A Us = 4 V L2 = 1 H u L2 = 2 H L1 = 1 H C = 1 FUs = 100 V R = 2 iS R1 = 2 C2 = 1 F i Us = 8 V R2 = 4 R3 = 1C1 = 2 F S
  • 63. 66 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) P15.4 El circuito de la figura P15.4 se encuentra en régimen estacionario con el interruptor S1 abierto y el S2 cerrado. En el instante t = 0 se cierra S1 y, simultáneamente, se abre S2. Calcular, por escritura de la ecuación diferencial y su posterior resolución, la intensidad i(t) para t > 0. Figura P15.4 DATOS: Us1 = 200 V; R1 = 30 ; L = 0,1 H; R2 = 10 ; C = 1 mF; Us2 = 100 V; R3 = 5 . P15.5 El circuito de la figura P15.5 lleva en la posición indicada un tiempo suficientemente grande para considerar que se encuentra en régimen permanente. En un instante, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S1. Al cabo de 1 s se abre el interruptor S2. Hallar la tensión u(t), para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuación diferencial correspondiente y su posterior resolución. Figura P15.5 P15.6 En el circuito de la figura P15.6, que se supone en régimen estacionario sinusoidal, se cierra el interruptor S en un instante que se toma como origen de tiempos (t = 0). Al cabo de 2 /10 s se vuelve a abrir el interruptor. Tomando este instante como nuevo origen de tiempos, determinar la tensión, u, que aparece desde ese momento, entre los contactos del interruptor. C = 2,5 F R = 1 L = 1 H Us1 = 10 V S2 u Us2 = 4 V S1 Us1 R1 L R2 u(t)C i(t) R3 Us2 S1 S2
  • 64. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 67 Figura P15.6 P15.7 Repetir el análisis del primer transitorio del problema P15.6, simulando con fuentes la maniobra de cierre del interruptor S. P15.8 El circuito de la figura P15.8 se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la tensión u(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes. Figura P15.8 P15.9 El circuito de la figura P15.9 está en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor, y se vuelve a cerrar al cabo de 1 s. Hallar i(t) para t 1 s. Figura P15.9 NOTA.– Las bobinas no están acopladas entre sí. C = 1 F R = 0,2L = 0,1 H us = 2cos20t V u S R1 = 1 L = 2 H us = 1000cos10t V Su R2 = 2 C = 1 F R1 = 3 Us = 6 V i(t) R2 = 1L1 = 1 H L2 = 2 HS
  • 65. 68 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) P15.10 El circuito de la figura P15.10 se encuentra en régimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Hallar la expresión de i(t), para t > 0. Figura P15.10 us = 6cos(10t) R1 = 1 C = 0,1 F S R2 = 1 L = 0,1 H i
  • 66. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 69 Soluciones de los problemas SP 15.1 a) En la figura SP 15.1a se representa el circuito en estudio, después de cerrar el interruptor S, con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias operacionales. Figura SP 15.1 Si se aplica el método de análisis por mallas, la intensidad de circulación de malla, ib, coincide con la intensidad i cuya ecuación diferencial se quiere determinar. Las ecuaciones que resultan son Malla a: sba DD Uii 2 1 2 1 2 Malla b: 015 D2 1 D2 1 cba iii Malla c: 0 D 1 11 cb ii Si se eliminan de este sistema de ecuaciones las intensidades ia e ic y se tiene en cuenta que ib = i, se obtiene la expresión s 14D 1 1D D D D 1)DD( Ui 2 110 42 1 donde, después de operar, resulta la ecuación diferencial [16D 2 + 26D + 7]i = (1 + D)Us = 8 b) En la figura SP 15.1b se representa el circuito en estudio, con el interruptor cerrado, en el que se han sustituido los condensadores por fuentes de tensión. De él se deduce inmediatamente que la intensidad i se puede expresar en la forma ZR1 = 2 i Us a) ZR2 = 4 ZC1 = D2 1 ZR3 = 1 ZC2 = 1/D ia ic ib S
  • 67. 70 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 2 21 R uu i CC [15.73] Figura SP 15.1 En el régimen permanente de continua previo al cierre del interruptor, se tiene el circuito de la figura SP 15.1c, en el que se obtiene V)( s 7 40 8 142 14 0 321 32 1 U RRR RR uC Además, al estar descargado el condensador C2, uC2(0– ) = 0 V. Se tiene, por tanto, uC1(0+ ) = 40/7 V y uC2(0+ ) = 0 V. Si se sustituyen estos valores en la expresión [15.73], se obtiene la primera condición de contorno A 7 10)0()0( )0( 2 21 R uu i CC Si se deriva la citada expresión [15.73], se obtiene 2 C2 1 C1 20 C2C1 20 )0()0(1 d d d d1 d d C i C i Rt u t u Rt i tt [15.74] Para calcular iC1(0+ ) e iC2(0+ ) se determinan estas variables en el circuito de la figura SP 15.1b, en el que se tiene, para cualquier instante, t, i R uU iii C RC 1 1 11 s 3 2 32 R u iiii C RC y, para t = 0+ , c) C2Us uC1(0– ) R1 = 2 R2 = 4 R3 = 1 b) i Us = 8 V uC1 uC2 R1 = 2 R2 = 4 R3 = 1 iR1 iC1 iC2iR3
  • 68. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 71 A / )( )( )( s 7 2 7 10 2 7408 0 0 0 1 1 1 i R uU i C C A )( )()( 7 10 0 7 100 00 3 2 2 R u ii C C Si, ahora, se sustituyen valores en la expresión [15.74], se obtiene la segunda condición de contorno A/s0,3929- // d d 28 11 1 710 2 72 4 1 0tt i SP 15.2 Figura SP 15.2 En el régimen permanente de continua, correspondiente a t < 0, se tiene el circuito de la figura SP 15.2a, después de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto. De manera inmediata se tiene As 6 21 21 4 21 21 1 RR RR U iL A26 21 1 1 21 1 2 LL i RR R i esto es, iL1(0 – ) = 6 A, iL2(0 – ) = 2 A, uC(0 – ) = RL2·iL2(0 – ) = 4 V. Al abrirse el interruptor, para t = 0, queda la fuente de intensidad en serie con dos dipolos, como se muestra en la figura SP 15.2b, que pueden analizarse por separado, ya que, según se vio en el apartado 2.2.2 del volumen I, al prescindir de uno de ellos (sustituyéndolo por un cortocircuito), el otro no nota el cambio. Se tienen, por tanto, los dos circuitos de las figuras SP 15.2c y d, en los que las tensiones u1 y u2 coinciden con las del circuito de la figura SP 15.2b. La tensión buscada es b) R1 = 1 R2 = 2L1 = 2 H Is = 5 A Us = 4 V L2 = 1 H u u1 u2C = 2 F a) R1 = 1 R2 = 2 Us = 4 V iL1 iL2uC
  • 69. 72 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) u = u1 – u2 Figura SP 15.2 El circuito de la figura SP 15.2c es de primer orden. Por tanto, la respuesta u1 es de la forma u1(t) = u1 (t) + [u1(0+ ) – u1 (0+ )] e –t / 1 [15.75] donde s2 1 2 1 1 1 R L La tensión u1 (t) se deduce del circuito de la figura SP 15.2c al sustituir la bobina por un cortocircuito. Esto es, u1 (t) = Us = 4 V y, además, u1 (0+ ) = 4 V. Figura SP 15.2 Para determinar u1(0+ ) se sustituye la bobina por una fuente de intensidad de valor iL1(0+ ) = iL1(0– ) = 6 A, tal como se hace en el circuito de la figura SP 15.2e. En éste se obtiene u1(0+ ) = R1[iL1(0+ ) – Is(0+ )] = 1 (6 – 5) = 1 V Si se sustituyen valores en la ecuación [15.75] resulta, finalmente, c) R1 = 1 L1 = 2 H Is = 5 A Us = 4 V u1 d) C = 2 F R2 = 2Is = 5 A L2 = 1 Hu2 e) R1 = 1 Is = 5 A Us = 4 V u1(0+ ) iL1(0+ ) f) uC R2 = 2Is = 5 A iL2u2 iC
  • 70. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 73 u1(t) = 4 + (1 – 4) e –t/2 V El circuito de la figura SP 15.2d es de segundo orden. La ecuación diferencial correspondiente a u2 se obtiene a partir de la expresión 142 2 2 2 1 2 2 1 2 22 22 2 DD )D( D D )D( D)( s ss I II ZZZ ZZZ u LRC LRC y, de aquí, resulta la ecuación diferencial (2D2 + 4D + 1)u2 = (2 + D)Is = 10 Las raíces de la ecuación característica son r1 = – 1,7071 y r2 = – 0,2929 (dos raíces reales y distintas) y, por tanto, la respuesta u2 tiene la forma u2(t) = u2 (t) + A e r1t + B e r2 t [15.76] La respuesta de régimen permanente se obtiene de manera inmediata del circuito de la figura SP 15.2d, al sustituir la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto u2 (t) = R2Is = 2 5 = 10 V Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad de valor iL2 y el condensador por una fuente de tensión de valor uC, tal como se indica en la figura SP 15.2f. Se tiene, así, la primera condición de contorno u2(0+ ) = uC(0+ ) = uC(0– ) = 4 V La segunda condición de contorno es C i t u t u C t C t )( d d d d 0 00 2 [15.77] y, del circuito de la figura SP 15.2f, se obtiene iC(0+ ) = Is – iL2(0+ ) = Is – iL2(0– ) = 3 A con lo que, al sustituir valores en la ecuación [15.77], resulta
  • 71. 74 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 2 3 0 2 tt u d d V/s Al imponer las condiciones de contorno anteriores a la solución dada en la ecuación [15.76], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente u2(0+ ) = 4 = 10 + A + B 2 3 0 2 tt u d d = 0 – 1,7071A – 0,2929B que tiene como solución: A = 0,182 y B = –6,182. La respuesta u2(t) es, por tanto, u2(t) = 10 + 0,182 e –1,7071t – 6,182 e –0,2929t V Ya se tienen las dos componentes de la tensión u(t), que resulta finalmente u(t) = u1(t) – u2(t) = –6 – 3 e –t/2 – 0,182 e –1,7071t + 6,182 e –0,2929t V Como ya se ha dicho, la fuente de intensidad queda en serie con dos dipolos que se comportan de manera independiente uno del otro. Esto implica, además, que las ecuaciones diferenciales de las variables de uno y otro dipolo tengan ecuaciones características distintas y, por consiguiente, también, frecuencias naturales distintas. La tensión en la fuente de intensidad contiene las frecuencias naturales de ambos. SP 15.3 Figura SP 15.3 Al estar el circuito en estado inicial cero se verifica iL1(0– ) = iL2(0– ) = uC(0– ) = 0. Una vez cerrado el interruptor, se tiene el circuito de la figura SP 15.3a, con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias operacionales, en el que se obtiene Us = 100 V ZR = 2 iSZL1 = D ZL2 = 2DZC = 1/D a) Us = 100 V R = 2 i iL1 iL2uC iC uL2 uL1 b)
  • 72. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 75 sU ZZ Z ZZ ZZ ZZ i CL C CL CL LR 2 2 2 1 1 2DDD1/DD 1/D 1/DD 1/DD D s s 3422 2 2 2 1 23 U U La ecuación diferencial, correspondiente a la variable en estudio, es, por tanto, (2D 3 + 4D 2 + 3D + 2)i = Us = 100 cuya ecuación característica tiene como raíces r1 = –1,4406, r2, 3 = –0,2797 j0,7848. Por consiguiente, la forma de la respuesta buscada es i(t) = i (t) + Ae –1,4406t + e –0,2797t [B cos(0,7848t) + C sen(0,7848t)] [15.78] La respuesta de régimen permanente se obtiene al sustituir, en el circuito de la figura SP 15.3a, las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto: i (t) = Us /R = 50 A. Para determinar las condiciones de contorno, se estudia el circuito de la figura SP 15.3b, en el que se han sustituido las bobinas por fuentes de intensidad y el condensador por una fuente de tensión. Como la intensidad i coincide con iL2, la primera condición de contorno se obtiene fácilmente: i(0+ ) = iL2(0+ ) = iL2(0– ) = 0. Para la segunda condición de contorno se tiene 02 2 0 2 0 d d d d t L t L t L u t i t i [15.79] y, del circuito de la figura SP 15.3b, se obtiene, para cualquier instante, uL2 = uC [15.80] y, por consiguiente: uL2(0+ ) = uC (0+ ) = uC (0– ) = 0. Al sustituir este valor en la expresión [15.79], se obtiene 0 0 2 2 0 L u t i L t )( d d Para la tercera condición de contorno, se deriva la ecuación [15.79], con lo que, teniendo en cuenta la igualdad [15.80], resulta
  • 73. 76 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (II) 02020 2 20 2 2 1 d d1 d d1 d d t C t C t L t i CLt u Lt u Lt i y, del circuito de la figura SP 15.3b, se deduce, iC = iL1 – iL2 y, por tanto, iC (0+ ) = iL1(0+ ) – iL2(0+ ) = 0 0 )0( d d 20 2 2 CL i t i C t Al imponer estas condiciones de contorno a la ecuación [15.78], se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones A + B = –50 –1,4406A – 0,2797B + 0,7848C = 0 (–1,4406) 2 A + (0,2797 2 – 0,7848 2 )B – 2 0,2797 0,7848C = 0 que tiene como solución: A = –17,6753, B = –32,3247, C = –43,9656. Si se sustituyen estos valores en la expresión [15.78], se obtiene finalmente i(t) = 50 – 17,6753e –1,4406t – e –0,2797t [32,3247cos(0,7848t) + 43,9656 sen(0,7848t)] A SP 15.4 Figura SP 15.4 En la figura SP 15.4a se representa el circuito en t = 0– , en régimen permanente de continua; la bobina se ha sustituido por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto. En estas condiciones se deduce inmediatamente Us1 R1 R2 uC(0– ) iL(0– ) R3 Us2 a) Us1 = 200 V ZR2 = 10 i(t) ZR1 = 30 ZL = 0,1D ZC = 103 /D b)
  • 74. RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 77 iL(0– ) = Us1/(R1 + R2) = 200/(30 + 10) = 5 A uC (0– ) = Us2 = 100 V A continuación se cierra el interruptor S1 y se abre S2, con lo que se tiene el circuito de la figura SP 15.4b, en el que, directamente, se obtiene la intensidad i 40000400 1010 1010 1010 1030 2 1 3 3 3 1 2 2 1 1 DD )·D( D)/( D/ D, sss UU ZZ ZZ ZZ U i CR CR LR La ecuación diferencial correspondiente es [D 2 + 400D + 40000]i = (10D + 10 3 )Us1 = 2 10 5 que tiene una raíz real doble r = 200, con lo que la respuesta buscada tiene la forma i(t) = i (t) + (A + Bt)e –200t [15.81] Figura SP 15.4 La respuesta de régimen permanente, i (t), se obtiene del circuito de la figura SP 15.4c, ya que se trata de un régimen permanente de continua, mediante la ecuación i (t) = iL (t) = Us1/(R1 + R2) = 200/(30 + 10) = 5 A Las condiciones de contorno se deducen del circuito de la figura SP 15.4d, en el que se ha sustituido la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensión. La primera condición de contorno, al ser i(t) la intensidad que circula por la bobina, se obtiene directamente a partir de los valores en t = 0 – : i(0+ ) = iL(0+ ) = iL(0– ) = 5 A Para la segunda condición de contorno se tiene Us1 R1 R2 iL (t) c) uC i d) Us1 R1 R2 iL uL