Actividades de refuerzo para matematica

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO
PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN
MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE
MATEMÁTICA

Ministerio de Educación
Dirección Nacional de Educación

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

Presentación

El proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa Social
Educativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias para
evitar la repetición y la deserción.
En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá el
apoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades para
desarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan los
jóvenes y señoritas que egresan de bachillerato.
Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar con
información que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de los
estudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, el
proyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a los
estudiantes, tal como se describe a continuación.

1. Finalidad de la evaluación diagnóstica
La administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner a
disposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que les
permita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes,
con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidades
individuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora y
aprovechamiento de los aprendizajes.
Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantes
que presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar como
una evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura.

2. Documentos que se proporcionan a los docentes
• Pruebas por asignatura.
Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática,
Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas se
presenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones de
respuesta de las cuales sólo una es la correcta.
Los insumos considerados para definir qué evaluar en cada asignatura fueron: los
indicadores de logro que resultaron más difíciles para los estudiantes evaluados en la
PAES 2008 y 2009; así como los indicadores de logro de los programas de estudio de
primer año de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores de
segundo año, y que a la vez se consideran difíciles para los estudiantes o difíciles de
impartir por el docente.

Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2


• Actividades de Refuerzo Académico

Es un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugieren
actividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por los
estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems.
En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba,
así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan a
conocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieron
incorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puede
desarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información para
enriquecer el desarrollo del contenido.
Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con el
grupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando las
actividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo.

• Plantilla para registrar las respuestas correctas

Después de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de la
sección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para el
registro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la que
se identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrar
sólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño de
cada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueron
respondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes.

3. Desarrollo de la Evaluación
• Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas
de los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que ésta
se realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año de
bachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba es
de 90 minutos.
• La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero.
• Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma
imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que
causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamente
sobre el trabajo de éstos en la prueba.
• Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para lo
cual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene la
respuesta correcta.
• El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarles
una nota y deberán motivarlos para que realicen su mayor esfuerzo al
responder todos los ítems.



• Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si un
estudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos de
respuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicación
no es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la
pregunta.
• La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito de
diagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.

4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cada
prueba

• Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de las
respuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de la
evaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión y
valoración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto.
• El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de las
respuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indica
el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítem
de la asignatura.
• Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en una
misma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueron
estudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnóstico
y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos
estudiantes.
• Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió
correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren de
refuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades
en común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, es
importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de poder
tomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengan
dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto
que lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueron
respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo
académico.
• Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituir
referencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su
pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad
• Revisar las propuestas de actividades de refuerzo académico que se sugieren
para los ítems, si están de acuerdo con éstas, desarrollarlas con los estudiantes
que lo requieran; si usted tiene experiencia con otro tipo de actividades que le
han resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla en
su clase y compartirla con otros docentes en círculos de estudio.


No.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C D B B B A B D B A B D C C D C C A A A B C A C D D C C A A D C B C C C D C D B
1

2
3
4
5
6
7

Actividades de Refuerzo para Matemática
8
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Respondieron correctamente al ítem
PLANTILLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS

Total de estudiantes que

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Actividades de refuerzo académico sugeridas para que los estudiantes
superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los ítems de la
prueba.
ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2
Bloque de contenido: Contenido: Indicadores de logro:
Números y Números 1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de
operaciones enteros suma y/o resta de números enteros (aplicando la ley
de los signos)
1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad,
utilizando operaciones combinadas de números
reales y signos de agrupación.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:
1) Desconoce las leyes de los signos
2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación.
3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma.
4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente
los signos de agrupación.
5) Interpreta incorrectamente el problema.
6) Se enfoca solo en una parte del problema.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.
Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las
operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de la
temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.
2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem,
como los siguientes:
Ley de los signos para la suma y la resta:
Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación y
división, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.
Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos:
Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultado
se le escribe el signo común.
Ejemplos:
5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe)
- 8 – 35 = - 43
Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será la
cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad.
Ejemplo:
5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos.
18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.


Ley de los signos para la multiplicación y división
Hacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la ley
de los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que al
multiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor
positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una
cantidad con signo negativo.
Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Jerarquía de las operaciones
Cuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luego
productos y/o divisiones, por último sumas y restas.

1. Completar la siguiente tabla:
a +5 -7 +31 -52 -17 +19 -41 +13 -5 -8
b -13 -12 -11 0 -10 -9 +20 +21 0 -23
a+b
a-b

2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 4 – 2- ( 8 – 12 )
b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 )

c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 ) ]

d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19)

e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8 ] + (15 – 20)- (13 – 40)

f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)]

g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3) ] 
h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7)
3. Resolver los siguientes problemas:
a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C.
¿en qué año finalizó su construcción?
o
b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13 C, a las 2 de la tarde la
o
temperatura aumentó 10 C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar una
o
disminución total de 15 C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados
centígrados a las 8 de la noche.
c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y
se escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora que
corresponden a los siguientes números enteros?
1) 25 2) -73 3) 105

d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus
filas, columnas y diagonales es -10.

5 -9 2

0 -3

-2 -4

-7 -10

Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números reales
Descripción:
Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie de
ejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.
a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador y
denominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puede
expresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.
Ejemplos:

5( 6 ) = ( 5 )( 6 )
( 2)(
( 2 )( 7 ) 4) = 8 30
=42
=3 4 (3)( 7) 21 =7 1 7 7 7

b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradores
y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador.
Ejemplo:
Realizar la siguiente operación: 1
3
4
3 + +
5
3

1
3 + 4 + 5 = 1+ 34+5 = 130 = 3 31
3 3

c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) se
busca que el denominador sea el mismo para operarlas como fracciones
homogéneas.
Ejemplo:
1
2 −3+7
5 4 El denominador común debe ser 20 (mcm)

20(
) )− 20( )+ 20(
= 10 12 35
= 33
= 1 13

20 Multiplicamos cada fracción
1 3 7
− + por el mcm
2 5 4 20 20
20

Ejercicios:
a) Identificar si cada fracción es homogénea o heterogénea y encontrar el resultado.

5.
1
4 + 1+
4
5
4 4.
1
−3 +7
2 7 4
1
6. 3
+ 7+ 8
4 5
5.
1
+3+7
2 5 4
1 + 4− 5
7. 3 3 3

b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos.
3
1. 4 − 5 (2)
2 5. 5+5 −1
7
4

2. 5 − 3 + 3 52
1
6. 3 − 41
3.
( 2 )(4 ) +7 − 14
3 7 5
7.
( 2 )(4 ) +7 − 14
3 7 5

1 + ( )( ) − 3( 4 ) + 1 −41
2 7 5 8.
7
4. 3 4 7 4
c) Resolver los siguientes problemas:
a) José tiene $6 más que Juan, si Juan tiene $28 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?
b) Carmen tiene de lo que tiene Oscar. Si Oscar tiene $70. Entonces, ¿cuánto tiene
Carmen?
c) Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefonía me
hace un descuento de la cuarta parte de lo que consumo. Si en un mes gasté $18
¿Cuánto pagué en total?
Fuente de información:
Dimensión. Matemática 7.
Nelson Londoño, Hugo Guarín, Hernando Bedoya.
Grupo Editorial Norma Educativa.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 3

Bloque de Contenido: Regla Indicador de logro:
contenido: Números de tres simple 5.12 (7º grado) Resuelve y explica con
y operaciones interés ejercicios y problemas usando la
regla de tres directa o inversa.

1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva).
2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa.

3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres.
4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos.
1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo
2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valores
presentados en la tabla que aparece en la guía.
3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamente
proporcionales.
Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de tal
manera que cada segundo aumenta 3 litros.
En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiere
conocer la relación entre ellas.
Observa la tabla:
Tiempo (T)
1 2 3 4 … 10 15
en segundos
Volumen (V) 3 6 9 12 … ? ?
en litros

¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación?
Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T)

( V/T) 3/1 6/2 …

K 3 3 … ? ?

Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente.
En general
Si la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,…
decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que:

y1 y2 y2 y
= = = … = constante, es decir =K ⇒ y = k. x
x1 x2 x3 x

Magnitudes inversamente proporcionales
Completa la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinado
tiempo recorra cierta distancia.
Velocidad (V) 100 50 25 10
en km/h
Magnitudes
Tiempo (t) 1 2 4 10
en horas (h)
Distancia (d)
100 ? ? ?
d=vt

Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t

Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa.
a) El precio de un artículo y el número de artículo
b) El tiempo empleado y la distancia recorrida
c) El volumen y la presión de un gas
d) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)

Actividad 2: Cálculo en la solución de problema
Observa los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo.
Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa
La rueda de un automóvil recorre 15 m En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en
cada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará al 15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros en
recorrer 75 m? efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones?
Solución Solución
Magnitudes
Magnitudes
Distancia N de vueltas
N de obreros Tiempo
15 10
75 x 12 15
5 x
Se puede observar que si la distancia
aumenta el número de vuelta aumenta en Si al disminuir el número de obreros, el tiempo
la misma proporción, entonces la las aumenta en la misma proporción las magnitudes
magnitudes son directamente son inversamente proporcionales
proporcionales Entonces x = =
(75)(10) (15)(12)
Entonces x = =
15 R/ los 5 obreros real5izan la obra en días

R/ La rueda dará vueltas

Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.
Resuelve los problemas siguientes:
a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho el
trueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo?
b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone de
alimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos si
en el barco viajarán 10 personas?
c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar un
estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo?
d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuando
está lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?
Fuente de información
a. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad
c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530
d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.
Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008


Bloque de Contenido: Indicador de logro:
contenido: Conversión de 4.6 (1er. año de bachillerato) Muestra
Geometría ángulos de grados confianza al convertir ángulos expresados
a radianes en grados a radianes y viceversa,
utilizando los factores de conversión.

1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual
debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa y
no mecánica.
2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos
Recursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.
A partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren lo
que necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociación
o
entre los 360 de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora,
equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad,
etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar los
recursos que ya poseen.
El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dos
manecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismo
ángulo en radianes.
Para resolver:
a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2 π
b) Realizar una tabla de los valores deπ y su equivalencia en grados; para hacer una
comparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo
o o
de 360 equivale a 2π radianes; un ángulo de 180 equivale a π radianes (recordemos
que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales
ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Actividad 2: Realicemos conversiones
o
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180 equivalen a π
radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

o
a) Convertir 38 a radianes. b) Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Primero planteamos la regla de tres.
Nótese que la x va arriba, en la Nótese que la x va abajo, en la
posición de los radianes. posición de los grados.

π
180
= x
38
π
180 = 24
x

Despejamos x, también simplificamos. Despejamos x.

3 8π
x= 180 = 190
9π
x=
180( 24)
π

Por último obtenemos el equivalente Por último obtenemos el equivalente
decimal con calculadora: decimal con calculadora:
o
x = 0.6632 radianes x = 137.5099

Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados
Grados Radianes Radianes Grados
o
38 0.79483 Rad
o
147 15’ 3.54209 Rad
o
250 30’ 45” 1.1680 Rad
o
72 4.5836 Rad
o
201 50’ 2.22106 Rad
o
322 14’ 10” 0.8670 Rad
o
30 1.8536 Rad
o
150 40’ 3.1558 Rad
o
189 30’ 58” 6.5438 Rad

Mc graw Hill, México 1996
www. didactika.com
www.descartes.com


Bloque de Contenido: Sector Indicador de logro:
contenido: circular 5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa con
Geometría seguridad la fórmula para el cálculo del
área de un sector circular.

1. Desconoce la fórmula del área del círculo
2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular
3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular
4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de un
sector circular.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos
Recursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond.
¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?
1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales,
trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar
cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con
los otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.

2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:
¿A qué figura geométrica se parece?
¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?
3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculo
Construye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área.

Solicitar que observen como se transforma un círculo en la medida que se dividen
sectores de 8, 16, 32 y 64.

Cuanto más se sectoriza el círculo, ¿a qué figura se parece?
La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectángulo.

El ancho del rectángulo
coincide con el radio del
círculo. El largo del rectángulo
coincide con la mitad de la
longitud de la circunferencia

Relaciona con una línea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deduce
la fórmula del área del círculo.
Largo del rectángulo Radio x radio x π
Ancho del rectángulo Radio x 3.1416
Mitad de la circunferencia Diámetro x 3.1416 ÷ 2
Diámetro x 3.1416 ÷ 2 Radio de la circunferencia
Área de la circunferencia Mitad de la circunferencia

A= π r
2

Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la
longitud del radio y el ángulo central en grados.
Con estos datos utiliza la fórmula:

Donde es el ángulo interno del sector, medido en grados.

Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmula
Aplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares.
1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las
siguientes medidas:
a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1
2- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas

3- Encuentra el área de los siguientes sectores.

b)

4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm.
5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cm
Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.
Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8

Bloque de Contenido Indicadores de logros:
contenido: conceptual: 3.1 (8º grado) Construye con precisión y
Geometría Triángulos. aseo triángulos; los clasifica, describe y
Clasificación y explica según sus lados y ángulos.
teoremas 3.3 (8º grado) Resuelve con precisión
problemas aplicando el teorema; “la suma
de los ángulos exteriores de un triángulo
o
es igual a 360 ”

1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos.
2. No examina cuidadosamente todos los ángulos.
3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es
acutángulo o rectángulo.

4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos que
éste contiene.
5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles.
6. Desconoce los teoremas de los triángulos.
7. Confunde los distintos teoremas.
8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal.
9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).

Actividad 1: Clasificando triángulos
Presentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene.
En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las que
consideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir de
ello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados.
Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema.
Clasificando los triángulos

Actividad 2: Apliquemos la clasificación
1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan
de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas.
a) Define qué es un triángulo isósceles.
b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo?
c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de tu
respuesta.
d) ¿Cuántos grados suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Ejemplifica tu
respuesta.

e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces;
utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dicho
ángulo.
f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas?
g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre
reciben los ángulos que forman?
h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora?
¿Qué nombre recibe ese ángulo?
2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita.
Según sus lados Según sus ángulos

Actividad 3: Apliquemos teoremas
1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las
estudiantes.
d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8 d) x + 3(x-2) = 2x – 4
e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36 4x
e) 36 – =8
f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7 9

2. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienes
resuelvan.
a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con que
cumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios y
suplementarios.
b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversos
problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lectura
comprensiva.

3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas.

C
o o
65 30

o o o
A 50 35 B y x 40

R Z
o
30
o
58

o
P 60 Q
o
q’ X 65 y

x’ Y

C T

5x

t
3x 4x R r s S
o o
A B 140 70

Actividad 4: Resolvamos problemas
Resolver los siguientes problemas:
1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer
ángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo
interior y su correspondiente ángulo exterior.
o
2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155 . ¿Cuánto mide el
ángulo vértice?
o
3. En un triángulo ∆ ABC, <A = 5x, <B = 7x y <C = 36 . Encontrar las medidas de <A y
<B.
4. Dos ángulos están en relación 3:2. Si se les presenta por 3x y 2x, hallar el valor de
los ángulos si:
o
a) Los ángulos son adyacentes y forman un ángulo de 60
b) Los ángulos son complementarios

c) Los ángulos son suplementarios
d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dos
ángulos dados.
5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los
otros dos son:
a) 67 y 47
b) 22 y 135
c) a y 2a

Matemática 3 Geometria y Trigonometria
Ortiz Campos. Publicaciones Culturales
Algebra. Luis María Ormaechea
UCA Editores 1989.


contenido: Teorema de 3.25 (8º grado) Resuelve problemas
Geometría Pitágoras aplicando el Teorema de Pitágoras, en
cooperación con sus compañeros.

Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem
1. No identifica el triángulo rectángulo.
2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras.
3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras.
4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.

Actividad 1: Juguemos con Triángulos
En el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados y
sus ángulos.

Clasificación de los Triángulos
Triángulo rectángulo Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo

Según la
medida de
sus lados
Uno de sus ángulos Todos sus ángulos Uno de sus ángulos
es recto son agudos es obtuso

Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

Según la
medida de
sus lados
Todos sus lados son Dos de sus lados son No tiene lados de
iguales iguales igual tamaño

Usando la clasificación anterior, marca con una “X” la columna de verdadero o falso de
acuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta.

Proposición V F Justificación
Todo triángulo equilátero es isósceles
Algunos triángulos equiláteros son
obtusángulos
Algunos triángulos rectángulos son
isósceles
Todo triángulo isósceles es acutángulo
Algunos triángulos rectángulos son
escálenos

Todo triángulo obtusángulo es escaleno

Actividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusa
Formar equipos de trabajo y entregar a cada uno, la copia de una de las siguientes
figuras para que los estudiantes las recorten y comprueben el Teorema de Pitágoras.

Actividad 3: Apliquemos el Teorema de Pitágoras
Encuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.

a) 12 b)
8

15
s
13
p

Actividad 4: Encontremos el perímetro
Esta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican el
Teorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura.
Ejercicio:
Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados que
forman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide el
perímetro del terreno?

www.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm

contenidos: Fracciones 3.7 (7º grado): Resuelve con seguridad
Números y complejas problemas aplicando las operaciones
Operaciones fundamentales de los números
fraccionarios.

Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem.
1. Dificultad en la interpretación del problema.
2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema.
3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios.
4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.

1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo
2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.
3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de los
números fraccionarios
4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertir
fracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distinto
denominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.
Se presenta la siguiente situación
Carmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad

1l 1l 1l

¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾ l
¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo
3
R: Hay 2 l y ¾ de jugo la cantidad total se escribe 2 l y se lee “dos tres cuartos de
4
litro”.

Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador.
1 7
Ejemplo: 2 =
3 3

Actividad 2: Juguemos con fracciones
Completa los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura están
escritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca la
suma de las dos fracciones sobre las que se apoya.

Ver ejemplo. 1
1

1 1
2 2

1 1
1
3
? 1
2 2 3

1 1 1
3 6 3
Para escribir el número que corresponde, buscamos la
1 1
1
4 4 fracción que al sumarla con el resultado es 1
3 2
1
5 1
1 La fracción que hace falta en este caso es
1 5 1
6
6 6
1 1 1
+ =
6 3 2

Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado.
5
2
2 3 1 6
+ −
8 4 3

11
1 2 1
2 +1 −1 40
2 4 6

 2 + 1   3. 1  2
   3
3 45 2

Observa la figura y calcula el área que se te indica

Área de una pierna = Área del tronco =
Área de las dos piernas = Área de un brazo =

Compruebe los resultados de las operaciones siguientes
1 1 1
 3 7 3 1 8 + − 3
a)  +  ÷  x  R/ 12 b) 2 3 4 R/
5 4 8 2 15 1 3 16
2 ÷
3 4
Resuelve
5 1
a) En una caja hay 90 tornillos, del total son grandes, del total son medianos y
15 3
6
del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase?
18
2 1
b) En una clase de 40 alumnos, son de la zona oriental de la zona occidental y el
5 4
resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada región

http://www.vitutor.net/2/3/4.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
Matemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81


contenido: Semejanza de 3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica
Geometría y triángulos con seguridad la semejanza de
medidas triángulos, mostrando confianza.

1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria
(proporción).
2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de
los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro.
3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos
paralelas.
4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.
Es importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, por
las siguientes causas:

a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza.
b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya sea
que se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los lados
de la igualdad.
c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones.

El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes:
• Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un
mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, un
centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con
una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual
representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación
semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma
proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más
cercanas a su valor real.
• La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros)
requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y
proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al
objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras,
el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto
tiene en la realidad.
• Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es
ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción,

ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una
misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual
valor.
• Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma
proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área,
diámetro).

Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazando
paralelas
Recursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos.
Es más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando se
traza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo.

Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y que
compruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos).
Ejemplos:
b) H a l l a r l a l o n g i t u d d
a) H a l l a r l a s m e d i d a s d e x silas rectas a, b
e lossegmentos a y b y c son
. paralelas.

Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulos
Es difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos están
separados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice.

A
B A

B

Estos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de la
forma que ellos mejor comprenden.
Ejemplos:
a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los
catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?

Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantes

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13

contenido: Presentación y 2.26 (1er. año): Resuelve problemas
Estadística organización de interpretando la información extraída y
datos presentada, mostrando interés y respeto
por las estrategias y soluciones a
problemas estadísticos distintos a los
propios.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresos
inician en -1.
2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el grafico
y el titulo del grafico.
3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.

Recordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde se
practique las proporciones y la regla de tres.
En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismas
unidades estén en la misma columna.
¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad que
corresponde a un porcentaje?
Ejemplos:
1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas.
¿Cuántas son niñas y cuántos son niños?

Cuando la proporcionalidad es
directa se multiplica en diagonal

Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.

2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los
votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.
¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?
Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad
multiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.
Ejemplo:
En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de mi
equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones,
¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?
Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40%
de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera:

30( 100) = (30)(40) =
40
100
12 0
100 = 12
Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras:
1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí
hemos acertado:
30 – 12 = 18 fallos

2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el
total de lanzamientos:
Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos.
El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallos

Actividad 2: Leamos e interpretemos gráficos
El docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cuales
pedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra o
cualquier otro elemento de un gráfico.
Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos:
• Título
• Leyendas en los ejes
• Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.

Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas

a) ¿Cuánto incremento el ingreso entre
el 2001 y el 2002?
b) ¿Cuánto es la diferencia entre los
ingresos de 1999 y el 2003?
c) ¿Cuánto incrementaron los ingresos
de 1999 y al 2002?
d) ¿Entre qué años los ingresos
disminuyeron $ 40 millones?

Observa el gráfico circular

Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideres
relevantes.
Calcula:
a) El total de personas que deciden ir al parque
b) Las personas que deciden ver la televisión
c) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte.
Observa el gráfico

Contesta:
a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región?
b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino?
c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántas
cabezas serían del ganado porcino?

Fuentes de información: http://www.cdc-cap.org/
http://www.bves.com.sv/estados/index.php
http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532
http://www.bcr.gob.sv


Bloque de Contenidos: Indicadores de logro:
contenido: Medidas de 8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con sus
Estadística tendencia central compañeros problemas aplicando la media
y coeficiente de aritmética.
variabilidad 5.5 (1er año) Resuelve problemas, con
perseverancia y autonomía, aplicando la
media aritmética ponderada.
8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden,
aplicando el coeficiente de variabilidad a
situaciones reales.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:
1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada.
2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia.
3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los
datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales
4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad.
5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.

Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia central
Debemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar un
análisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver la
fórmula de la media aritmética simple X = ∑
xi
y la fórmula de la media aritmética para
n
distribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderada
X = ∑x i fi 
x =

fi
xw , observamos que la segunda no es más que la
= ∑ i= f  ∑
∑f ∑ i i i
i  
multiplicación de cada variable por su peso relativo.
Las expresiones n X = ∑ xi y x(∑ f i ) = ∑ xi f i dimensionalmente deben ser iguales,

para
que esto se cumpla debe ocurrir que n , debe ser adimensional y X e ∑ xi deben
tener las mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Además
indica que el valor de la media multiplicado por la cantidad de datos
Por ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedio
es
16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de las
edades de cada una de las tres personas.
Aunque el concepto de la media es relativamente sencillo debe analizarse hasta donde
sea posible en cuanto a las dimensiones o tipo de variable que involucra.

Ejemplo:
En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y en
cantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida.
Cantidad Precio ($)
50 15
80 20
20 40

Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, genera
tanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio.
Calculemos el p recio total de las sillas
$(total ) = ($15 × 50 + $20 × 80 + $40 × 20)
$(total ) = $3150
Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidad
de dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.
Ejercicio:
Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40,
a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas?
b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas?
c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio,
¿cuánto se hubiera pagado por las tres?
d) ¿Qué conclusión obtienes?

Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidad
Proporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr el
indicador propuesto.
El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribuciones
distintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidad
relativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviación
típica o estándar.
Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.
Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión de
los datos.
1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes
s CV
1.15 24.8
0.45 6.15
3.15 75.15
4.48 204

2) Completar la siguiente tabla

s CV
24.8 0.24
0.45 0.17
0.94 5.15
1.46 10.44

3) Resolver los siguientes problemas
a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 con
una desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene el
mismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica es
preferible trabajar?
b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas de
dos centros escolares.
Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8
Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8
¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa?
Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl


contenido: Medidas de 6.6 (1er. año) Resuelve con seguridad
Estadística posición problemas que requieran de cuartiles,
deciles y percentiles

1. Dificultad en la interpretación de las medidas.
2. Confusión entre las diferentes medidas.
3. Errores en procedimientos y cálculos.
Recursos: Texto de consulta.
En muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en una
determinada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza el
cálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles.
Los cuartiles son valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Entre
cada dos de ellos estará el 25% de los datos.

Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje de
datos entre ellos es del 10%.
Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada uno
separado del otro por un 1% de los datos.
El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variables
continuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana.
Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas.

Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos
simples y ponderados.
Recursos: Texto de consulta.
Al resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cada
resultado representa.
1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11,
13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula:
a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 80
2) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es:
12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38,
40, 43, 41, 45, 50, 53, 58.
Calcular:
a) los cuartiles 2 y 3
b) los deciles 2 y 7
c) los percentiles 35, 60 y 95

3) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de
30 personas en un curso de estadística:

x 1 2 3 4 5 6 7
f 3 6 7 7 5 0 4
Calcular:
a) Los cuartiles 1, 2 y 3
b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior?

Actividad 3. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos
agrupados.
Antes de iniciar con el cálculo, debe establecer la diferencia entre las series ponderadas
y agrupadas.

Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla:

Puntaje de 50 alumnos en una prueba
Puntajes frecuencia
60 - 65 5
65 - 70 5
70 - 75 8
75 - 80 12
80 - 85 16
85 - 90 4
totales 50

Calcular:
a) Q1, D4, P65 y P80
b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados.
c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una
disminución de su cuota escolar.
d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no
asistir a un taller de refuerzo.
e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50%
superior).

Fuentes de información:
www.sectormatemática.cl/educmedia. Htm
Matemática primer año de bachillerato.
Aguilera Liborio, Raúl


Bloque de Contenidos: Indicador de logro:
contenido: Álgebra Propiedades de los 7.12 (7° grado) Simplifica cantidades
exponentes. numéricas y algebraicas que requieran
de la aplicación de dos o más
propiedades de los exponentes.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem
1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la
potencia de una potencia.
2. Confunde la regla de la división de potencias de la misma base y la de la raíz de
una potencia.

Construir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetros
cuadrados.

a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad de
centímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.

b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia.
2
2 = 4 , 32 = 9 , 4 2 = 16
3
c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm .

3
V = (2)(2)(2) = 2 = 8

n
a = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)
d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa.

Base Exponente Potencia

Par Positiva 4
Ejemplos: (-3) = 81
3
(-5) = -125
Negativa
Impar Negativa

e) Repasar las reglas de los exponentes.

n m n+m
Regla 1: a · a =a Ejemplo:

n m
Regla 2: (a ) = a
nm
(x ) 2 4
=x
2×4
=x
8

Regla 3: (ab)n = a nbn Ejemplo: (xy )2 = x 2 y 2
4
am m−n x
=a 4−2 2
Regla 4:
a n , a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo 2
=x =x
x
0
Regla 5: a = 1; si a es diferente de 0. Ejemplo 2 = 1
0

1 1 1
= −2
a n , si a es diferente de 0. Ejemplo 3 = 3 2 = 9
-n
Regla 6: a

Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potencias
Esta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ello
se ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.
1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones:
a) (a ) b) (ab
2 3 2 3 2 6 2
c) a × a d) a ÷ a
) 3
5

f) (− 3b
a
e) (− 3a )
3 2
g) −2 h) b 0
a
) 3

2. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de los
exponentes

a4 9 × a 2 8

a)
) ( b)
2
3 −2
0  
4 0
d) (3 + Π ) × 5 3
2
−1

a
3
2
3   0 −1
3 (2 + e )
c) 5
−2
 32 − Π 0 
 
 24 
6 4 7 −12
x 6x y 10 4 2 4 × 10
e) −10 f) 5 −8 g) (6x ) (3x ) h) 4
x 12x y 6 ×10

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22

Bloque de Contenido: Indicadores de logro:
contenido: Algebra División y 4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, con
factorización de perseverancia, aplicando la
polinomios descomposición de expresiones
algebraicas por diferencia de cuadrados.
2.29 (8º Grado) Resuelve problemas de
aplicación usando la división de
polinomios, en colaboración de sus
compañeros.
4.9: (8º Grado) Resuelve con perseverancia
problemas aplicando la descomposición
de trinomios factorizables que no son
trinomios cuadrados perfectos
4.5 (8º Grado) Explica y aplica con
seguridad las reglas a un trinomio

cualquie
ra, para
determi
nar si es
trinomio
cuadrad
o
perfecto
.

1.Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación.
2.Desconoce el algoritmo de la división de polinomios.
3.Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados.
4.Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o un
rectángulo.
5.No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla.
6.No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto.
7.Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto.
8.Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.

Actividad 1 Reforcemos saberes previos
Para abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en los
aspectos siguientes:
 Ley de los signos
 Ley de los exponentes.
 Productos:
1) Monomio por monomio
2) Monomio por trinomio
3) Binomio por binomio
4) Trinomio por binomio

1) Monomio por monomio
Encontremos el área del rectángulo siguiente:

1+1 2
2x (3x) (2x) = (3) (2) x = 6x

3x
Multipliquemos los monomios:
3 5 3 2 2 3
a) a x a d) (3a )( 4a ) g) (a b )(ab)
4 2 2 7 5 3 4 5
b) b x b e) (5c )(8c ) h) (4x y )(2x y )
7 3 4 3 2 3 4 4
c) -p x p f) (2x )(-3x ) i) (-3m n )(8m n )

2) Monomio por trinomio
Encontremos el área de los rectángulos siguientes:

2x 2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x

2x 3y 6

Cuando multipliquemos un monomio por un polinomio usamos la propiedad distributiva.
En la forma siguiente

2 3 2
3m ( 5m + 4m + 8 ) = 15m + 12m + 24m

Encontremos el resultado de los productos siguientes
3 3 2
a) 3a (2a + b - 4) c) 4m (3m - mn - 8)
5 2 5 5
b) 7x (6x –xy – 3) d) xy (6x –xy – 7)

3) Binomio por binomio

2 2
(a + b) (a + b) = a + ab + ab + b
2 2 2
(a + b) =a + 2ab + b

Para multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, pero
facilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente.
Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)

3x + 2

3x + 2
2
9x + 6x
+ 6x + 4
2
9x + 12x + 4

Encontremos el producto de los binomios siguientes

a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)
b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3)
2
c) (2y + 3) f) (5x + 6) (5x - 6)

4) Trinomio por binomio
Se efectúa en forma similar al binomio por binomio. Recuerda que debes colocar los
términos semejantes en una sola columna, para sumar o restar con facilidad.
Como observarás, es más complicado multiplicar dos trimonomios, sin embargo, en el
trascurso de la historia, los matemáticos han dedicado mucho tiempo para buscar la
manera de resolver más fácilmente y con mayor rapidez un mismo problema, así
después de efectuar muchos ejercicios similares llegaron a la conclusión que en
algunas ocasiones no es necesario hacer la multiplicación sino solo aplicar una regla
que permite encontrar el resultado rápidamente.
Las multiplicaciones que se pueden efectuar mediante el uso de reglas se llaman
productos notables.

Actividad 2: Encontremos el cuadrado de un binomio
Recordemos que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos lados por lado. Así
para encontrar el área de un cuadrado cuyas medidas desconocemos, tendríamos:
x

A = x. x

2
x A=x

Si a dicho cuadrado le aumentamos 3 unidades por lado, y deseamos calcular el área
de la figura obtenida tendremos:
x 3 x 3

x x

3 3

Efectuando la multiplicación para obtener el resultado tenemos:
x + 3

x + 3
2
x + 3x
3x + 9
2
x + 6x + 9
2
El área del cuadrado que mide (x + 3) de lado es x + 6x + 9

Se puede comprobar gráficamente que la respuesta obtenida es correcta. Obtenemos
el siguiente cuadrado dividido en 4 regiones, obtenemos el área de cada una de ellas y
luego sumamos para encontrar el área del cuadrado.
x 3
x 3 3
3
x x + x + x +
3
2
3 x + 3x + 3x + 9

6x

Si analizamos nuestra respuesta observamos que al elevar al cuadrado un binomio
2 2
(x + 3) obtuvimos un trinomio, x + 6x + 9, como resultado.

El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio al que llamaremos
trinomio cuadrado perfecto.

Veamos ahora la relación que existe entre los términos del binomio y los del trinomio

El primero más el segundo

2 2
(x + 3) = x + 6x + 9

es igual

El cuadrado del primero

más

el doble producto del primero por el segundo

más

el cuadrado del segundo

Aplica la regla para elevar al cuadrado los siguientes binomios,
2 2 2 2
a) (2x + 5) = c) (7m + 1) = e) (3p + 4) =

2 2 2 3 4 2
b) (4y + 2) = d) (2x + m ) = f) (2a + 4b ) =

Ya conocemos la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades,
apliquémosla para elevar el cuadrado la diferencia de dos cantidades.
2 2
a) (x + y) = d) (x - y) =
2 2
b) (a + 4) = e) (a - 4)
2 3 5 2
c) (5m - 2) = f) (4a - 2b ) =

Actividad 3: Encontremos binomios conjugados
El producto de la suma y diferencia de dos términos, no constituye un binomio elevado
al cuadrado debido a que los factores no son iguales, puesto que aparece un término
común pero el otro difiere en el signo (término opuesto). Cuando dos binomios tienen
esta característica se llaman binomios conjugados.
Ejemplo:
a) (x + y) (x - y)
b) (2x +8 ) (2x - 8)
c) (3 – y) (3 + y)
Observemos el resultado que obtenemos al multiplicar estos binomios conjugados
x + y 2x + 8 3 – y

x - y 2x - 8 3 + y
2 2
x + xy 4x + 32x 9 - 3y
2 2
- xy - y - 32x - 64 + 3y - y
2 2 2 2
x - y 4x - 64 9 - y
En todos los casos obtuvimos como respuesta un binomio con las características
siguientes:
a) Es una diferencia.
b) El primero de sus términos es el cuadrado del término común de los binomios
conjugados.
c) El segundo de los términos, es el cuadrado de los términos que difieren en el
signo.
Para poder comprobar esta respuesta en forma geométrica. Observa los segmentos
siguientes:
x y
Si los sumamos:
x+y
Si los restamos:
x-y

Formemos un rectángulo, con la suma como base y la resta como altura.

El área de este rectángulo es el
producto de la base por la altura.
x-y
A = (x + y) ( x – y)

x+y

Si colocamos el segundo rectángulo, sobre el primero, tendríamos
x-y
2
y

2
x-y x x

x y
2 2
A = (x + y) ( x – y) = x – y

De lo anterior podemos concluir que si multiplicamos dos binomios conjugados
obtenemos una diferencia de cuadrados.

2 2
(x + y) ( x – y) = x –y

Binomios Diferencia
Conjugados de cuadrados
2
(2x +8 ) (2x - 8) = 4x - 64

Aplicando la regla para realizar la multiplicación de los binomios conjugado
Ejemplos:
Cuadrado del término
Término común que difiere en el signo

2 2 2
a) (a – 3) (a + 3) = ( a) - (3) = a - 9

Términos opuestos Cuadrado del
término común
Término común

2
b) (-5 + y) (5 + y) = y - 25

Términos opuestos Cuadrado del Cuadrado del término
término común que difiere en el signo

Ejercicio:
Escribe cada binomio su conjugado y escribe el producto.
2
a) ( y + 2) d) (-p + 6) g) (-2p + 8)
2 4 3
b) (3b + 5) e) (3a – 4) h) (-3f + 2p )
2 3
c) (2m – n) f) (4a + 5b )

Actividad 4: Dividamos polinomios
Para dividir un polinomio entre otro polinomio se realiza lo siguiente:
a) Tanto el dividendo como el divisor se escribe en orden descendente en función
de una de las variables que aparece en ambos polinomios.
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se
obtiene el primer término del cociente.
c) Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido
se le resta del dividendo.
d) El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se
repite con él los pasos b y c.
e) Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cero o menor que el divisor.

Ejemplo:
2
Dividir (x + 15 –8x) ÷ (3 – x)

Ordenamos en forma descendente, el dividendo y el divisor de acuerdo a los
exponentes de la variable. Si el coeficiente de uno de los términos es cero, se deja el
espacio.
2
(x – 8x + 15) ÷ (–x + 3)

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene
así el primer término del cociente.
2
x – 8x + 15 -x + 3
x2
-x =−x
−x

Se multiplica el cociente por el divisor. El producto se resta del dividendo (cambiando
los signos de cada uno de los términos).
2
x – 8x + 15 -x + 3
2 2
-x + 3x -x -x(-x +3) = x - 3x

Luego, se reducen términos semejantes para obtener el primer residuo.
2
x – 8x + 15 -x + 3
2
-x + 3x -x
- 5x + 15

Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cuyo mayor exponente sea menor
que el mayor exponente del divisor.
2
x – 8x+15 -x + 3
2
-x + 3x -x + 5
- 5x + 15
5x - 15 R/ –x + 5
0
Ejercicio:
Dividir los polinomios
2 2 2
a) (5x + x + 6) ÷ (2 + x) c) (w – 11wx – 102x ) ÷ ( w – 17x)
2 3 2 3
d) (m +2m + 1) entre ( m – 7) d) (-7x +12 –16x + 10x ) ÷(5x –6)

Actividad 5: Factoremos diferencias de cuadrados
Recordemos que al multiplicar binomios conjugados, obtenemos como resultado una
diferencia de cuadrados
2 2
(x + y) ( x – y) = x –y

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