1. BUENOS DIAS
La confianza se llama FE,
Y no se la puede explicar ni entender.
Existe sólo porque se cree en ella.

2. FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN
PRODUCTOS NOTABLES
TRINOMIOS CUADRADOS
COMBINACIÓN DE MÉTODOS

3. Factor Común
Factorizar consiste en descomponer un polinomio en factores, o sea, términos
que están separados en forma de producto (multiplicación).
FACTOR COMÚN
Consiste en determinar letras o divisores comunes en todos los miembros del
polinomio a factorizar.
EJEMPLO 1:
− 18a 3bc 4 + 6a 2bc 2 − 3abc 2
factor común : 3abc 2
factorización completa : 3abc 2 (− 6a 2c 2 + 2a − 1)
también se puede exp resar : − 3abc 2 (6a 2c 2 − 2a + 1)

4. • EJEMPLO 2: 4 3 2 2 2 1 2 2
a bc − ab c + a bc
5 25 30
• Entre los numeradores: 4, 2, 1 NO HAY un factor en común, por lo que,
es necesario poner un 1.
 Entre 5, 25, 30 el divisor común es el 5.
 Entre la parte literal el factor común es: abc
RECUERDE: SE
TOMAN LAS LETRAS QUE ESTÁN EN TODOS LOS TÉRMINOS CON
EL MENOR EXPONENTE.
1
factor común : abc
5
1 2 1
factorización completa : abc(4a 2 − bc + ac)
5 5 6

5. El factor común también puede ser una expresión más grande, como un paréntesis.
• EJEMPLO 3: Ejercicio 9. ( x − 3) ( x − 4 ) + ( x − 3) ( x + 4 )
factor común
factorización completa : ( x − 3) ( ( x − 4 ) + ( x + 4 ) )
= ( x − 3) ( x − 4 + x + 4 )
= ( x − 3) ( 2 x )
= 2 x ( x − 3)

6. x
( a − 3b ) − y 2 ( 3b − a )
2
• EJEMPLO 4:
3
Observe que el paréntesis no está completamente igual, por lo que es
necesario lograr que ambos sean iguales, aunque con diferente
exponente.
La forma de lograrlo es cambiando el signo de la expresión que está
antes de uno de los paréntesis.
x
( x −3b ) −y 2 ( 3b −x )
2
3
− x
( 3b −x ) −y 2 ( 3b −x )
2
=
3
− x 
=( 3b −x )  −( 3b −x ) ÷
 3 
− x 
=( 3b −x )  −3b +x ÷
 3 
2 x 
=( 3b −x )  −3b ÷
 3 

7. PRÁCTICA ADICIONAL
1) 9a − 24b + 6ab
2 2
2) 162 x10 − 50 y12
3) 5 x ( 3 x − 2 ) − 3 x + 2
4) ( 1 + 2a ) ( 4a − 1) − ( 4a − 1)
2
5) 9 ( x − 1) − 4 ( − x + 1)
2
− x2
6) ( 1 − x ) − y 2 ( x − 1)
4

8. PRODUCTOS NOTABLES
Expresiones con dos términos
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) donde : a 2 − b 2 es la exp resión NO factorizada y
( a − b ) ( a + b ) corresponde a la exp resión factorizada.
EJEMPLO 1:
25 x 2 − 36 x 2 y 2
25 x 2 − 36 x 6 y 4 = ( 5 x − 6 x 3 y 2 ) ( 5 x + 6 x 3 y 2 )
a b
Para determinar los valores de “a” y de “b” se extrae la raiz
cuadrada de cada uno de los dos términos del polinomio

9. a10  a 5  a 5 
• EJEMPLO 2: − 1 =  − 1÷ + 1÷
9  3  3 
49 y 2 − ( 2 − 3 y ) = ( 7 y − ( 2 − 3 y ) ) ( 7 y + ( 2 − 3 y ) )
2
• EJEMPLO 3:
= ( 7 y − 2 + 3y) ( 7 y + 2 − 3y)
= ( 10 y − 2 ) ( 4 y + 2 )

10. OTRA FÓRMULA NOTABLE CON DOS TÉRMINOS ES LA SUMA O
DIFERENCIA DE CUBOS
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
EJEMPLO 1:
(
27 x 6 y 3 − 64 y 3 = ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 3 x 2 y ) + ( 3 x 2 y ) ( 4 y ) + ( 4 y )
2 2
)
= ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 9 x 4 y 2 + 12 x 2 y 2 + 16 y 2 )

11. PRÁCTICA ADICIONAL
1) 25 x − 81x ( x − 3)
2 2 2
2) 4( x − 2) 2 − 9
3) ( a + x ) − 4
2
4) 4 x − ( a − 3 y )
2 2
5) − 1 + ( m + 2n )
2
6) x 3 + 64 y 3
7) 8 x 3 + x 6
1 6
8) m −1
27

12. FACTORIZACIÓN DE LA FORMA:
ax 2 + bx + c
2
49  7
EJEMPLO 1: 9 x 2 − 21x + =  3x − ÷
4  2
• Paso 1: ordenar el trinomio donde el término x 2 esté positivo.
• Paso 2: extraer la raíz cuadrada del primer y último termino.
• Paso 3: colocar las dos raíces de manera que entre ellas esté el
signo del término “b”.
• Paso 4: elevar el paréntesis al cuadrado.

13. • EJEMPLO 2: −3 x 2 + 11x − 8 = − ( 3 x 2 − 11x + 8 )
Utilizando mode ecuación en la calculadora.
8
x= ⇒ ( 3x − 8 )
3
x =1 ⇒ ( x − 1)
De manera que: − ( 3 x 2 − 11x + 8 ) = − ( 3x − 8 ) ( x − 1)

14. • EJEMPLO 3: 4ax 2 − a 2 − 4 x 4
• Primero se ordena el trinomio.
4ax 2 − a 2 − 4 x 4 = − 4 x 4 + 4ax 2 − a 2 se ordena con la var iable " x "
• Como el mayor término es negativo, se transforma en
positivo
−4 x 4 + 4ax 2 − a 2 = − ( 4 x 4 − 4ax 2 + a 2 )
• El primer y segundo elemento tienen raíces exactas, por lo
que se extraen y se realiza como el EJEMPLO 1.
− ( 4 x − 4ax + a ) = − ( 2x − a)
4 2 2 2 2

15. • EJEMPLO 4: 6a 2 − 6b 2 − 5ab
• Se ordena de acuerdo a la variable x ó y.
6a 2 − 6b 2 − 5ab = 6a 2 − 5ab − 6b 2
• Como el primer y tercer elemento no tiene raíces exactas,
entonces, se resuelve con mode ecuación en la calculadora.
3
x= ⇒ ( 2 x − 3)
2
−2
x= ⇒ ( 3x + 2 )
3
• Como el término del trinomio son “a” , “b” entonces se le
incluyen a los factores dados con la calculadora.
6a 2 − 5ab − 6b 2 = ( 2a − 3b ) ( 3a + 2b )

16. FACTORIZACIÓN POR MÉTODOS COMBINADOS
Recomendaciones para la resolución de ejercicios:
 Primero se extrae el factor común, en caso de haberlo.
 Si son dos términos se puede tratar de: a 2 − 2 b
a3 ± 3
b
 Si son tres términos, se trata como un trinomio.
 Si son cuatro término hay que agrupar:
 De dos en dos
 Tres y uno
 Si son más de cuatro términos, hay que agrupar de
acuerdo al número de ellos.

17. • EJEMPLO 1: ejercicio 77 a 2 + x 2 + 2ax − 4
Se agrupa y ordena de la forma 3 y 1 (a 2
+ 2ax + x 2 ) − 4
Es un trinomio con raíces exactas. (a 2
+ 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4
2
Hay dos términos de la forma
a 2 − b2
Se completa la factorización:
( a 2 + 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4 2
= ( ( a + x ) − 2) ( ( a + x ) + 2)
= ( a + x − 2) ( a + x + 2)

18. Práctica adicional
1) x 2 (2 + 3 x) + 4(−3 x − 2) =
− x2
2) (1 − x) − y 2 ( x − 1) =
4
3) 3( x − 1) 2 − 2( x 2 − 1) =
4) ( x 2 − 16) − ( x + 4) =
5) 3 x( x 2 + 5) − 3 x(5 x 2 − 20) =