1. 6-1 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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CURVAS CÓNICAS
Secciones cónicas. ELIPSE. Construcción de la elipse conociendo los ejes. Método de los puntos. Método de la afinidad. Método
de la circunferencia focal. HIPÉRBOLA. Construcción de la hipérbola. Tangente a la hipérbola. PARÁBOLA. Construcción de la
parábola. Tangente a la parábola.
TEMPORALIZACION: 6 horas
Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la
intersección de un plano con una superficie cónica de revolución (una superficie cónica
de revolución está engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta;
esta segunda recta es el eje de la superficie y la recta que gira es la generatriz. El
punto de intersección de ambas es el vértice de la superficie). Según la posición del
plano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice, se
obtienen tres curvas planas: elipse, parábola e hipérbola. Fig.6.1
Fig.6.1
Si el plano secante (de corte) es oblicuo al eje de la superficie cónica y corta a todas
las generatrices la sección que produce es una curva cerrada llamada elipse.
Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie cónica o lo que es igual es
paralelo a dos generatrices, la sección es una curva abierta con dos ramas, llamada
hipérbola.
Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, la curva será
abierta y la sección que se produce es una parábola.
Caso particular es la circunferencia cuando el plano secante es perpendicular al eje.

2. Curvas cónicas 6-2
Los elementos fundamentales de la curva cónica son:
Focos: cada curva cónica tiene por lo menos un foco real. Es un punto que posee
características particulares en cada tipo de cónica.
La elipse y la hipérbola tienen dos focos, mientras que la parábola tiene un
sólo foco.
Centro: Punto donde se cortan todos los diámetros de la curva cónica
Las elipses y las hipérbolas tienen como centro un punto propio (del dibujo).
Las parábolas tienen como centro un punto impropio (del infinito).
Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
Diámetros: Cualquier cuerda que pasa por el centro. Son rectas conjugadas
dos a dos que tienen la propiedad de que las tangentes trazadas
a la curva cónica, en los extremos de un diámetro, son paralelas
al segundo diámetro conjugado del primero.
Diámetros conjugados: Par de diámetros cada uno de los cuales corta a las
cuerdas paralelas al otro en dos partes iguales.
Ejes: Son el único par de diámetros perpendiculares que tiene la elipse. En general
son los ejes de simetría de toda cónica.
Vértices: Corte de la curva cónica con los ejes mayor y menor.
ELIPSE
Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas las
generatrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada que
recibe el nombre de elipse.
La elipse se define pues como la curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos
del plano, cuya suma de distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados
focos, es constante. La distancia entre los focos recibe el nombre de distancia focal.
La suma de distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al eje
mayor, llamado también eje real, y se designa por 2a. El eje menor se llama eje
imaginario y se representa por 2b. La distancia focal se designa por 2c. Fig.6.2
Las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos se llaman radios
vectores, r y r' . Según hemos dicho, para cualquier punto de la elipse se verifica que
r + r' = 2a
Entre a, b y c existe la relación a2=b2+c2
Circunferencia principal (Cp) es aquella que tiene por diámetro el eje mayor.
Circunferencias focales o directrices (Cf y Cf') son aquellas que tienen por centro uno
de los focos y de radio la longitud del eje mayor 2a.

3. 6-3 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
Fig.6.2 Fig.6.3
Construcción de la elipse conociendo los ejes.
Método de los puntos. Fig.6.3
Dibujados los ejes, trazamos desde el vértice C o D del eje menor, dos arcos que
corten al eje mayor con radio r = a. Se sitúan arbitrariamente unos puntos en el eje
mayor, 1, 2, 3, etc. entre uno de los focos y el centro de la elipse, y con radio A-1 y
centros en F1 y F2 se describen arcos. Haciendo centro nuevamente en F1 y F2 y con
radio B-1, se trazan arcos que cortarán a los
anteriores en M1, M2, M3 y M4 que son
puntos de la curva.
La suma de distancias de estos puntos a los
focos es siempre 2a.
Repítase la misma operación, tomando
como radios las distancias de los puntos 2,
3, etc. a A y B, obteniéndose así otros
puntos de la curva. Los puntos obtenidos se
unen a mano alzada.
Fig.6.4
Método de la proyección de puntos.
Afinidad. Fig.6.4
Describimos dos circunferencias concéntricas de diámetros iguales a los ejes de la
elipse. A continuación se traza, en cualquier punto, un radio común a ambas
circunferencias con lo que obtendremos sobre ellas los puntos M y N.
Por M se traza una perpendicular al eje mayor AB y por N una paralela a dicho eje
mayor. Ambas rectas se cortan en el punto P, que es un punto de la elipse.
Obtenemos la elipse repitiendo el proceso indefinidamente.

4. Curvas cónicas 6-4
Método de la circunferencia focal. Fig.6.5
Con centro en uno de los focos, por ejemplo F1,
se describe la circunferencia focal cuyo radio
es igual al eje mayor. Trácese desde F1 una
recta cualquiera que corte a la circunferencia
focal (Cf') en el punto P. Si unimos dicho punto
P con el foco F2 cortaremos en M a la
circunferencia principal. Levantando una
perpendicular a P-F2 por el punto M (esta
perpendicular es también la mediatriz de dicho
segmento) obtendremos el punto 1 que es uno
Fig.6.5
de los puntos de paso de la elipse. Además de
la mediatriz al segmento P-F2, la tangente es
bisectriz del ángulo formado F2 -1- P.
En realidad con la construcción realizada, las mediatrices trazadas son sucesivas
tangentes de la elipse, y lo que se determina son los puntos de tangencia que, por ello,
pertenecen a la curva.
Las tangentes son también las bisectrices exteriores del ángulo que forman los radios
vectores 1-F1 y 1-F2.
Caso particular de la circunferencia focal. Fig.6.6
La perpendicular a la recta P-F2 por el punto M es la mediatriz y también la tangente
a la elipse en el punto 1.
La distancia 1-P es igual a la distancia 1-F2. Si tomamos un punto N cualquiera de la
tangente seguirá observandose que la distancia N-P es igual a la distancia N-F2.
Con lo expuesto podemos obtener una elipse simplemente conociendo el eje mayor,
los focos y un punto cualquiera de la tangente.
Fig.6.7
Fig.6.6
Trazar las tangentes a la elipse desde un punto exterior Q. Fig.6.7
Con centro en el punto dado Q, trazar una circunferencia de radio Q F2 que se cortará
con la focal de centro en F1 en los puntos S y T. Las mediatrices de los segmentos S
F2 y T F2 serán las tangentes a la elipse, que pasan por Q. Para determinar los puntos
de tangencia se unen S y T con F1.

5. 6-5 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
Construir una elipse dados un par de diámetros conjugados. Fig.6.8
Sean los diámetros conjugados CC'y DD'. Se traza la
circunferencia de diámetro CC', la cual dividimos
arbitrariamente por medio de perpendiculares que
corten a la circunferencia descrita.
Seguidamente, se dibujan paralelas al diámetro
menor DD' por los puntos de división del diámetro
CC'.
La perpendicular trazada al diámetro mayor por el
centro O, intersección de los dos diámetros dados,
corta a la circunferencia en los puntos A y B, los
cuales se unen con D y D', respectivamente. Las
paralelas trazadas a estos segmentos (AD y BD') por Fig.6.8
los puntos donde la circunferencia ha sido cortada por
las perpendiculares al diámetro CC', cortarán
respectivamente a las paralelas trazadas al diámetro DD', siendo estos puntos de
intersección los que definen la elipse.
Trazar las tangentes a la elipse paralelas a una
dirección dada. Fig.6.9
Para dibujar las tangentes paralelas a la recta d basta
saber que toda tangente es perpendicular a una recta
que une el foco F2 con un punto cualquiera de la Cp ;
por tanto, trazando desde F2 una perpendicular a la
recta d, obtendremos con la circunferencia principal los
puntos de paso 1 y 2, puntos por donde pasan las
tangentes a la elipse paralelas a d.
Fig.6.9

6. Curvas cónicas 6-6
Intersección de una recta con una elipse conocidos los ejes mayor y menor.
Fig.6.9bis
Se hallan los focos de la elipse, con radio a, desde uno de los extremos del eje menor.
Para hallar la intersección de la elipse con la recta dada trazaremos desde F2 una
perpendicular a la recta con lo que obtendremos el punto SF2', simétrico del F2. Se
dibuja la Cf de F1. Se dibuja una circunferencia auxiliar que pase por F2 y SF2'.
Hallamos su eje radical con la circunferencia focal, que se cortará con la recta F2-SF2'
en el punto c.r., centro radical de las circunferencias buscadas y las dibujadas.
Trazamos las tangentes a la circunferencia focal desde el centro radical c.r. Con lo que
obtendremos los puntos de tangencia T1 y T2. La recta T1-F1 corta a la recta r en el
punto P, uno de los puntos solución. El otro punto solución es el Q, intersección de T2-
F1 con la recta r.

7. 6-7 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
HIPÉRBOLA
La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos
llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.
Tiene dos ejes de simetría, perpendiculares entre sí, al igual que en la elipse. El eje
mayor o real es la distancia entre los dos vértices, A y B, de cada una de las dos ramas
de la hipérbola. El eje menor es perpendicular al mayor en su punto medio, que se
denomina centro de la curva. La distancia focal se designa por 2c.
Radios vectores son los segmentos que unen cualquier punto de la curva con los dos
focos y por definición se verifica: r - r' = 2a ÿ
ÿ r = r' + 2a. Fig.6.10
Entre a, b y c existe la relación:
c2 = a 2 + b 2
La circunferencia principal de la hipérbola es
la que tiene por centro el de la curva y radio
a. Se define como el lugar geométrico de los
pies de las perpendiculares trazadas por los
focos a cada una de las tangentes. Las
circunferencias focales tienen por centros
los focos y radio 2a.
La hipérbola es simétrica respecto de los
dos ejes y, por tanto, respecto del centro de
Fig.6.10
la hipérbola.
Asíntota es la tangente a la curva en el infinito, y diagonal del rectángulo 2a, 2b. Toda
asíntota pasa por el centro de la curva. Se denomina hipérbola equilátera cuando estas
asíntotas forman 45° respecto a los ejes.
La obtención de los focos a partir de los ejes se reduce a tomar la circunferencia
circunscrita a un rectángulo del cual los ejes son las paralelas medias de sus lados. El
corte de esta circunferencia con la prolongación del eje real está constituido por dos
puntos, que son los focos de la hipérbola.
Construcción de la hipérbola.
Primer procedimiento. Por puntos. Fig.6.11
Se toman arbitrariamente unos puntos en el eje real, 1, 2, 3, etc. no situados entre los
focos. Con radios 1A y 1B y centro en F1 y F2 respectivamente, trazaremos arcos que
se cortarán en el punto 1' perteneciente a la curva.
Proceder de la misma manera con los puntos siguientes para obtener otros puntos de
la curva. En todos ellos se verificará que la diferencia de sus distancias a los focos es
AB = 2a, constante.

8. Curvas cónicas 6-8
Fig.6.11 Fig.6.12
Segundo procedimiento. Fig.6.12
Llévese desde el foco F1 una recta cualquiera que corte a la circunferencia focal o
directriz c.d. y únase dicho punto de corte con el foco F2, que a su vez cortará a la c.p.
en M.
Levántese desde M una perpendicular a la recta que une la c.d. con F2 que será
tangente a la curva.
Tercer procedimiento, dado un punto de la
tangente. Fig.6.13
La perpendicular a la recta P-F2 por el punto M
es la mediatriz y también la tangente a la
hipérbola en el punto 1.
La distancia 1-P es igual a la distancia 1-F2. Si
tomamos un punto N cualquiera de la tangente
seguirá observándose que la distancia N-P es
igual a la distancia N-F2.
Con lo expuesto podemos obtener una
hipérbola conociendo el eje mayor, los focos y Fig.6.13
un punto cualquiera de la tangente.
Trazado de la tangente a la hipérbola en un punto P de ella. Fig.6.14
La tangente a la hipérbola en un punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores
r y r'.
Fig.6.14

9. 6-9 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
Tangentes a la hipérbola desde un punto
exterior Q. Fig. 6.15
El sistema de construcción es igual que para la
elipse.
Con centro en el punto dado Q, trazar una
circunferencia de radio Q F2 que se cortará con
la focal de centro en F1 en los puntos S y T. Las
mediatrices de los segmentos S F2 y T F2 serán
las tangentes a la elipse, que pasan por Q. Para
determinar los puntos de tangencia se unen S y
T con F1.
Fig.6.15
Tangentes a la hipérbola paralelas a una
dirección dada. Fig.6.16
Como en la elipse, para dibujar las tangentes
paralelas a la recta d basta saber que toda tangente
es perpendicular a una recta que une el foco F2 con
un punto cualquiera de la Cp ; por tanto, trazando
desde F2 una perpendicular a la recta d,
Fig.6.16
obtendremos con la circunferencia principal los
puntos de paso 1 y 2, puntos por donde pasan las tangentes a la elipse paralelas a d.
Trazar las asíntotas de la hipérbola a partir de la circunferencia principal. Fig.6.17
Las asíntotas pasan por el centro O de la curva, por lo tanto, se trata de trazar las
tangentes a la hipérbola desde el punto O.
Primer procedimiento: Dibujar la circunferencia
principal de diámetro igual al eje mayor.
A continuación dibujar una circunferencia de diámetro
igual a OF2 que cortará a la circunferencia principal en
los puntos M y N. Por M y N pasarán las asíntotas.
Segundo procedimiento (con el eje menor o los focos):
Dibujar la circunferencia F1-F2. Levantar por uno de los
extremos del eje mayor una perpendicular a este eje
que al cortar a la circunferencia descrita nos
proporcionará los puntos de paso 1 y 2 de las
asíntotas.
Fig.6.17

10. Curvas cónicas 6-10
PARÁBOLA
La parábola es una curva abierta y plana, de una sola rama. Se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y
de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un eje de simetría que pasa por el vértice
o punto de intersección del eje con la curva, siendo la tangente en dicho vértice
paralela a la directriz y, por tanto, perpendicular al eje. Fig.6.18
El vértice, por ser un punto de la curva,
Fig.6.19
Fig.6.18
equidista del foco y de la directriz, siendo la distancia del mismo a cada uno igual al
semiparámetro (VA = VF = P/2). Se llama parámetro 2p de la parábola, a la longitud
de la cuerda que, pasando por el foco, es perpendicular al eje. La circunferencia
principal es la tangente a la curva en el vértice. Los radios vectores de la parábola son
FM y MN, de forma que FM = MN.
La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de
radio infinito. Según esto, la directriz es lugar geométrico de los puntos simétricos del
foco respecto de cada tangente.
La tangente a la parábola es la bisectriz de los radios vectores r y r'
El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta
al eje de la curva. Fig.6.19
Construcción de la parábola conociendo el foco y la directriz.
Primer procedimiento. Fig.6.20
1.- Se toma una distancia cualquiera d>p/2.
2.- A partir de la directriz se lleva esa distancia sobre el eje y se traza perpendicular a
éste.
3.- Desde el foco se traza una circunferencia de radio d. Donde corte a la recta trazada
anteriormente tendremos puntos de la parábola.

11. 6-11 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
Fig.6.21
Fig.6.20
Método de los puntos. Fig.6.21
Para determinar el vértice, hallar el punto medio V entre F y la directriz. A partir de V,
dividir el eje, arbitrariamente, en cualquier número de partes, trazando por estas
divisiones perpendiculares al eje. Con centro en F y radio 1A, describir arcos que
cortarán a la perpendicular al eje trazada por el punto 1 en 1' y 1"; esta operación debe
repetirse para obtener nuevos puntos que se pueden unir con plantilla de curvas.
Trazar la tangente a la parábola por un punto
dado de la curva, dados el foco y la directriz.
Fig.6.22
Trácese por el foco una perpendicular a la
directriz. Desde el punto P se dibuja una
perpendicular a la directriz y se obtiene M. La
mediatriz del segmento MF será la tangente a la
parábola que pase por el punto P.
Tangentes a la parábola desde un punto Fig.6.22
exterior. Fig.6.23
Sea el punto Q. Se traza la circunferencia de radio QF y centro en Q, la cual corta a la
recta directriz que en la parábola hace de circunferencia focal de
radio infinito, en los puntos 1 y 2. Las mediatrices de los
segmentos 1F y 2F son las tangentes t1 y t2. Los puntos de
tangencia T1 y T2 se obtienen trazando por 1 y 2 los radios
vectores que son paralelos al eje.
Fig.6.23

12. Curvas cónicas 6-12
Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada. Fig.6.24
La tangente ha de ser paralela a la dirección D.
Para ello por el foco se traza la perpendicular a D,
la cual corta en 1 a la recta directriz. El punto de
tangencia es T, en la paralela por M al eje de la
curva.
Fig.6.24