GUÍA DE EJERCICIOS ⊗

Contenido: Relaciones Métricas en una circunferencia

                          Teoremas sobre relac...
Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a una
                      circun...
7) En la figura, O es el centro de la circunferencia     8) En la figura , AB es diámetro de la
   de radio 5 cm; AB = 8 c...
14) En la figura, la tangente mide 8 cm y los segmentos determinados por la secante miden 4 cm
     y w cm. Calcular la me...
20) ¿En cuál de los siguientes esquemas se verifica la relación: x2 = p • q?

      I)                        II)         ...
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  1. 1. GUÍA DE EJERCICIOS ⊗ Contenido: Relaciones Métricas en una circunferencia Teoremas sobre relaciones métricas en una circunferencia Teorema 1: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia determinan arcos congruentes. Asimismo, arcos congruentes determinan cuerdas congruentes. AB ≅ CD ⇔ AB ≅ CD Teorema 2: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia son equidistantes (están a la misma distancia) del centro. AB ≅ CD ⇒ OM ≅ O Teorema 3: La simetral de una cuerda en una circunferencia, contiene al centro de la circunferencia. Del mismo modo, en toda circunferencia, la recta trazada desde el centro al punto medio de una cuerda corresponde a la simetral de la cuerda. s simetral de AB ⇒ O ∈ s , MB ≅ MA ⇒ OM simetral de AB Teorema 4: Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un mismo punto exterior a ella son congruentes. P: punto exterior a la circunferencia. PA y PB segmentos tangentes ⇒ PA ≅ PB Teorema 5: Si AB y CD son cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P, entonces: AP • PB = CP • PD Teorema de las cuerdas Teorema 6: Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas secantes, intersectándola en los puntos A y B, C y D, respectivamente, entonces: AP • PB = PD • CP Teorema 7: Si desde un punto P, exterior a un circunferencia, se traza una recta tangente en el punto T, y una recta secante en el punto en los puntos A y B, entonces: PT 2 = PA • PB
  2. 2. Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a una circunferencia en los puntos A y B, se llama potencia del punto P con respecto a la circunferencia, al producto de las longitudes de los segmentos PA y PB Potencia = PA • PB Observación: La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es constante independiente de la secante trazada. Propiedad: Sea ABCDE un pentágono circunscrito a una circunferencia. Entonces: ( ) ( ) m JA = m AF ( ) ( ) m FB = m BG ( ) ( ) m GC = m CH ( ) ( ) m HD = m DI ( ) ( ) m IE = m EJ Esta propiedad se puede generalizar para cualquier polígono circunscrito. Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno: 1) En la figura, AP = 6 cm; PD = 4 cm; 2) En la figura, AP = 12cm ; AB = 9cm PC = 8 cm. ¿Cuánto mide PB ? PD = 4cm . ¿Cuánto mide CD A) 3 cm A) 4 cm B) 4 cm B) 5 cm C) 5 cm C) 9 cm D) 6 cm D) 27 cm E) 8 cm E) 12 cm 3) Las circunferencias de centros O1 y O2 son 4) En la figura , AP = 4 cm; PB = 12 cm tangentes entre sí. Sus radios miden 4 cm CP = 6 cm. ¿Cuánto mide CD ? y 3 cm, respectivamente. AP = 18 cm. A) 2 cm ¿Cuánto mide PQ? B) 8 cm A) 16 cm C) 14 cm B) 16 3 cm D) 24 cm C) 4 2 cm E) 48 cm D) 4 cm E) 8 2 cm 5) En la figura, PT es tangente a la 6) El cuadrilátero ABCD está circunscrito circunferencia en T . AP = 2cm ; AB = 6cm. en la circunferencia, siendo P , Q , R y ¿ Cuánto mide PT ? S los puntos de tangencia. PB = 2 cm; A) 2 3 cm CQ = 3 cm; DR = 4 cm; AS = 6 cm. B) 3 2 cm ¿Cuál es el perímetro de la figura? C) 4 cm A) 15 cm R D) 16 cm B) 30 cm E) 12 cm C) 60 cm D) 16 cm E) Otro valor
  3. 3. 7) En la figura, O es el centro de la circunferencia 8) En la figura , AB es diámetro de la de radio 5 cm; AB = 8 cm. ¿Cuánto mide OP ? circunferencia; PT es tangente a la A) 1 cm circunferencia en el punto T ; B) 2 cm TP = 12cm ; BP = 8cm . ¿Cuánto mide C) 3 cm el radio de la circunferencia? D) 4 cm A) 4 cm E) Falta información B) 5 cm C) 6 cm D) 9 cm E) 10 cm T 9) La circunferencia está inscrita en el triángulo 10) En la figura, OP = 3 cm; AB es ABC ; P , Q y R son los puntos de tangencia. diámetro de la circunferencia; el perímetro del triángulo es 40 cm y BP = 7 cm; CP = PD = 4 cm. ¿Cuánto mide AB = 15 cm. ¿Cuánto mide CQ ? el diámetro de la circunferencia? A) 5 cm A) 4 cm B) 6 cm B) 5 cm C) 7 cm C) 6 cm D) 8 cm D) 8 cm E) Falta información E) 10 cm 11) En la figura, PQ es tangente, entonces x mide: A) 24 B) 31 C) 96 D) 192 E) N.A 12) En la figura, la tangente PR mide 6 cm y la secante PB = 18 cm, entonces BA mide: A) 16 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 4 cm E) 2 cm 13) En el círculo de la figura AB ⊥ CD . ¿Cuál es la medida de CE , si el radio de la circunferencia mide 12 cm y BE = 8 cm? A) 12 cm B) 8 cm C) 8 2 cm D) 4 2 cm E) 4 cm
  4. 4. 14) En la figura, la tangente mide 8 cm y los segmentos determinados por la secante miden 4 cm y w cm. Calcular la medida de w. A) 2 B) 4 C) 12 D) 16 E) N.A 15) En la figura se tiene una circunferencia de centro O y radio R, M punto medio de AC, AB : AM = 4 : 1. Si MB = 2 13 , entonces R = 13 A) 2 B) C) 13 D) 4 E) N.A 2 16) El valor de z en la siguiente circunferencia es: A) 40 B) 24 C) 4 D) 2,6 E) 1,5 17) I) AC • AE = BD • DE II) AE • EC = BE • ED III) AB • AE = CE • CD A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 18) Sean tres circunferencias tangentes exteriores de radios 3, 4 y 5 cm, respectivamente. El perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros es: A) 12 B) 19 C) 21 D) 24 E) 27 19) Si BC = AB , DE = 16, CE = 4. Entonces el área de la circunferencia es: A) 5π B) 10π C) 20π D) 25π E) 2,5π
  5. 5. 20) ¿En cuál de los siguientes esquemas se verifica la relación: x2 = p • q? I) II) III) A) I y II B) II y III C) I y III D) I,II y III E) N.A 21) Las circunferencias de centros O y P son congruentes de radio 3 cm cada una. ¿Cuánto 2 mide OP si AB = OP 3 A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 15 cm E) 18 cm 22) Determine la medida del trazo AB, sabiendo que O es centro de la circunferencia y que OC = 12 cm, OD = 9 cm. A) 3 3 cm B) 3 7 cm C) 6 7 cm D) 7 cm E) 3 6 cm 23) El cuadrilátero ABCD está circunscrito a la circunferencia, siendo P , Q , R , S los puntos de tangencia . Si AP = 2; BQ = 5; BC = 9 y AD = 5, ¿cuál es su perímetro? A) 16 cm B) 20 cm C) 24 cm D) 28 cm E) 42 cm 24) MN es diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el radio? A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 25) AC = 10; CP = 8; PD = 9 , Entonces la medida del segmento BD =? A) 16 B) 10 C) 7 D) 8 E) 6
  6. 6. 26) A un círculo de 5 cm de diámetro se traza desde un punto P una tangente PA y una secante PBC que pasa por el centro como lo indica la figura. Si la cuerda AC mide 4 cm y BP mide 4 cm. Calcular la tangente PA . A A) 3 cm 4 B) 6 cm α β C) 7 cm C 5 B P D) 8 cm E) 9 cm PA 27) PA = 16; AB = ; entonces PT es : 4 A) 8 B) b) 4 48 C) c) 4 3 D) d) 8 3 E) e) 8 2 28) AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 29) En la misma figura anterior: AE = 8; EC = 6; DE = 12; AB =? A) 17 B) 9 C) 15 D) 10 E) 18

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