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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-III

Tablilla
Babilónica

ÁLGEBRA
“TEOREMA DE RESTO - DIVISIBILIDAD”
TEOREMA DEL RESTO

Se obtiene:
b
b
b
P (  ) =[a(  )  b ]Q(  )+ R(x)
a
a
a
b
b b
b
P (  ) =[   ]Q(  )+R (x)
a
a a
a
b
b
Como vemos 

= 0; con lo
a
a
cual:
b
Resto = R (x) = P ( 
)
a
L.q.q.d.

Este teorema es importante por
que nos permite encontrar el
resto de la división, sin efectuarla.
Enunciado.- El resto de dividir
un polinomio racional P(x) entre
un divisor binomio de la forma (a
x  b) o cualquier otro divisor
transformable a binomio; se
obtiene al calcular el valor
b
numérico de P (  )
a

CASOS QUE SE PRESENTAN

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA:
En
concordancia
con
los
elementos
de
la
división,
tenemos:
Dividendo : P(x)
Divisor : a x  b
Cociente : Q (x)
Resto
: R (x) (incógnita)

Primer Caso:

P( x )
ax  b

Reglas para determinar el Resto:
1º .Divisor igual a cero : a x 
b=0
2º .Hallamos el valor de x: x
b
= 
a
3º .Reemplazamos el valor de
“x” en
el polinomio dividendo y el valor
obtenido es el resto de la división

De la identidad fundamental:
DdQ+R
Se tiene:
P (x) = (a x  b) Q (x) + R (x)
b
Evaluando
P(x) para X = 
a
Centro Preuniversitario de la UNS

Semana Nº 06

1

S-06

Ingreso Directo
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.

Ejemplo # 1:
Hallar el resto de la división:
2x 9  3 x 5  5 x 4  7 x  6
x 1

-6 k = 6


Solución
Aplicando las reglas tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 1 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -1
3º.- Reemplazando en el
dividendo;
x = -1, obtenemos:
Resto = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 –
7(-1) + 6
teniendo en cuenta que :
(-)

Par

=+



(-)

Impar

Rpta.

P( x )
axn  b

;(n2)

Reglas para determinar el resto:
1º.- Divisor = 0
 axn  b = 0
b
2º.- Cálculo de xn  xn = 
a
3º.- Reemplazamos el valor de xn
en el polinomio dividendo y el
valor obtenido es el resto de la
división:

=Ejemplo # 1:
Hallar el resto de la división:
x 5  2x 3  5 x 2  3 x  2

Rpta.

x2  2

Solución:
Expresando el dividendo en
función de “x2” se tendría:

Ejemplo # 2.- Determine el
valor de “k” en la división
exacta.

( x2 )2 x  2( x2 )x  5( x2 )  3x  2

2 x3 - (3 k - 2) x2 - x  6 k
x2
Solución
Como la división es exacta, el
resto, es igual a cero y de
acuerdo a las reglas del teorema
del resto tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 2 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -2
3º.- Resto = 0
2 (-2)3 – (3k – 2) (-2)2 – (-2) +
6k = 0
-16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0
Centro Preuniversitario de la UNS

k = –1

Segundo caso:

Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6
Resto = 19

Álgebra.

x2  2
Aplicando las reglas:
1º.- x2 + 2 = 0  x2 = -2
2º.- Por consiguiente:
R(x) =(-2)2 x + 2(-2) x–5(-2)+3 x -2
R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2


2

S-06

R (x) = 3 x + 8

Rpta.

Ingreso Directo
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.

Ejemplo # 2:

Con la cual, se tendría :
Si el resto de la división:

ax

7

5

 3 x  bx

2

(2x 23  x 5 3) ( x  1)

5

( x 2  x  1) ( x  1)

2

es:

Álgebra.

x 1
x – 6. Hallar (a + b)

2x 24  2x 23  x 6  x 5  3x  3
x3  1

Solución
Expresando el dividendo en
función de x2, se tendría:

Expresando el dividendo en función de
x3:

a( x2 )x  3( x2 )2 x  b( x2 )  5

2( x 3 )8  2( x 3 ) 7 x 2 ( x 3 ) 2  ( x 3 ) x 2  3x  3
x3 1

x2  1
Del teorema del resto:
1º.- x2 + 1 = 0

x2 = -1

Recordemos que: si al dividendo y
al divisor se multiplican por una
2º.- R(x) = a (-1)3 x + 3 (-1)2 x + b (-1)
misma cantidad, el cociente no se
–5
altera pero el resto queda afectado
por la cantidad que se está
R (x) = (-a + 3) x – b – 5
multiplicando; en consecuencia:
Como: R(x)  x - 6
Se cumple que:
Por el Teorema del resto:
(-a + 3) x – b – 5  x – 6
1º.- x3 – 1 = 0  x3 = 1
Comparando los coeficientes:
2º.- Con lo cual:
i) -a + 3 = 1  a = 2
(x - 1) R(x) = 2(1)8 – 2(1)7 x2 – (1)2 +
ii) –b – 5 = - 6  b = 1
+ (1) x2 + 3x – 3
 a + b = 3 Rpta.
(x - 1) R (x) = - x2 + 3 x – 2
-x2 + 3 x – 2
R (x) = ----------------Ejemplo # 3:
x - 1
Hallar el resto de la división:
Por la regla de Ruffini:
23
5

 x 3

2x

x

2

-1

 x 1
x=1

Solución
Siendo el divisor un trinomio hay
que transformarlo a binomio,
mediante la identidad

+3
- 1
+2

-1

-

2

+ 2
0

Obtenemos:
Resto:

R(x) = -x + 2

Rpta

(x2 + x + 1) ( x – 1) = x3 – 1
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3

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Álgebra.

PROBLEMAS PROPUESTOS
6. Hallar
1. Halle el resto:

100

x

2 x13  3x 6  2
x2  x 1

a) 2x+3

b) 2x

d) 3x

e) N.A.

2(m-2n+1)x4 + (m+p)x3 + (7n+2p)x2 –
3x -18 cuando se divide entre

exacta:

F(x)

b) 2

=

x3+2x2-x-2

Si

c) 3

R(1)=R(2)=R(3)=R(4)=.....=0,

determinar el valor numérico de: E =
m+n+p

residuo

de

a) 6

2

2

x 2  5x  3
a) 49

e) 2

e) 45

c) 47

cumplirse de modo que el polinomio:

A

2



 B2 x3  2BA  Bx2  4 ABx B2B  A

sea divisible entre

4. Calcular el resto en la siguiente

a) 0

 32x  x  3x  7
2 x  6 x 2  10x  2
3

b) 4x+1

d) 3x+2

c) -1

e) 4

2

9. Calcular el resto y la suma de

3

a) 5x

A  Bx  B  A

b) 1

d) 3

división:
5

c) 4

8. Encontrar la relación necesaria por

b) 48

d) 46

b) 5

d) 3

dividir:

xx 1x  4x  5x  6  70

x  1

un

polinomio R(x) = ax + bx + c.

e) 5

15

arroja

2

x yz

el

c) 9800

7. Sabiendo que el polinomio P(x) = x5 +

x  y 3  x  z 3   y  z 3  4n  17xyz

3. Calcular

polinomio:

+ ax + b es divisible entre (x+1)2

d) 8900

c) 3-2x

división

d) 4

el

b) 8100

2. Calcular el valor de “n” en la

a) 1

si

a) 9900

e) 2x+5

siguiente

“ab”

coeficientes

c) -5x+6

e) 8x+3

del

cociente

siguiente

m  1x
5. Cual es el resto de la división:

m 3

la

división:
 2mx  m  1x  7m
x 1
3

a) 11m;m3+11m+2

x 367  2
x2  x 1

en

b) 13m;m2+13m+3

c) 12m; m2+11m+2 d) 11m;m2+11m+12

a) x-2

b) x+2

d) x+1

e) 11m;m2+11m+2

c) x2+1

e) N.A.

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4

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son iguales a 16. Calcular la suma de

10. Hallar el resto en:
n
2n
2n 3
 x 2  5x  7    x 2  5x  5   8x  152n 1   x 2  5 












x2

Siendo “n” un número entero positivo.
a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

de

d) 39

c) 38

e) 40

ax 3a  bx 3b1  cx 3c  2
x2  x 1

a) (b-c)x-(c-a) b) (c-b)x-(a-c) c) (b2-c)x-(c-a)
d) (b-c)x2-(c-a)

sea:

x 2m  x m y n  y 2n

b) 37

división:

dividir:

x 5 m  x 3m y n  x m y 4 n  y 5 n

sus coeficientes.
a) 36

15. Calcular el resto en la siguiente

11. Calcular un valor de: y+n para que el
residuo

Álgebra.

e) (b-c2)x-(c-a2)

16. Un polinomio de 6° grado, tiene raíz

4

1
  .
4

cúbica

exacta,

es

divisible

separadamente por: (x-1) y (2x+1) y

a) 0

b) 2

d) -5

c) -4

e) 7

si se le divide por: (x-2) el resto es
1000.

Calcular

su

término

independiente.

12. Hallar

el

resto

x  5  x  4
x  5x  4
11

13

a) 3x

a) -4

b) -5

d) -7

2

b) 6x+8

d) 2x-7

en:

e) -8

17. Calcular

c) 3x+5

e) N.A.

y

13. Al dividir un polinomio P(x) entre

m

“m+n”

y  a

c) -6

si

la

 1283a  y 
y  2a

3m

división:
2n

es

exacta:

(x+3) se obtuvo por residuo -5 y un

a) 22

b) 21

cociente cuya suma de coeficientes

d) 19

e) 18

c) 20

es igual a 3. Encontrar el residuo de
dividir P(x) entre (x-1).
a) 5

b) 6

d) 8

18. Determinar “m” si la división es

c) 7

e) 9

exacta:

x

14. Un polinomio de cuarto grado es
divisible

entre

(x+2)

tiene

2



2

a) -3

cuadrada exacta. Al dividirlo entre

b) 2

d) -4

raíz



 y2  z2  m x4  y4  z4
x yz



c) -2

e) -6

(x-2) y (x+1) los restos obtenidos

Centro Preuniversitario de la UNS

5

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19. Calcular el resto de la división:

25.

x  y 2  x  y 2 z  1  zz  1  13

Hallar

4x
a) 1

e) 40

c) 42

26.

20. Calcular el resto de la división:

b) 6
e) 3

21. Determinar

c) 5

“m”

polinomio:



para

4

4

2 2

que

2 2

sea divisible entre (x+y+z)
a) 2
b) -3
d) 3
e) -2

el

e) 4

x

x

a) 4

2n

n

x x x
x n  x n  2

b) 5

n

c) 6

2 n

d) 7

Centro Preuniversitario de la UNS

x

de

dividir:

2

 ( x  3)  2(2x  1)

Calcular el resto en :

2 n2

[( x )

a) 0
d) x

SUMATIVO 2014 - II
3n

2n

se obtiene como residuo 90. Calcular “n”.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

4

de

c) 3

2

29.

resto

e) 1

x  2x  2

b) 320 c) 302 d) 203 e) 300

el

b) 2x

Luego
( x  1)

x 53 x  8  x  4  6
23. El resto
, es :
x 2  8x  1

24. Calcular

d) 2

es

e) N.A.

28.

SUMATIVO 2014 - I

a) 230

c) 3

d) 6

d) 3

e) 4

Hallar el resto de la división:

a) x - 1

c) 4

8x 2  5x38  1  20 x 20  1  10N  x10  1  2 Nx6  4 x 2  3
















4x4  4

53

d) -2

( x  5)51  ( x  4) 40  9
( x 2  9 x  20)

como residuo de dividir:

c) 3/4

c) 2

b) 4



2 2

SUMATIVO 2013 - III

b) 2

1

Determine el valor de ”n” si el
residuo
de
la
división:

27.

22. El polinomio de grado cero que se obtiene

, es:
a) -2

b) -1

a) 5

x  y z m x y  y z z x
4

2

en:

x  3n x  1n  nxx  1x  5  1
 x  2 2
21  18x , donde “n” es par.

2x  18  3x  14  x  12  1
x x  2 

a) 7
d) 4

residuo

2n2

3 n

2

b) 43

d) 41

el

2 x  1
x  1 2 x  1  x 2

3 n 3

x  y  z 5
a) 44

Álgebra.

30.

dividir:

 ( x 1)

3n

 2 x 2 n1 ]( x3  2)2 n  x 2 n1
; n  Z
2
x  x 1
b) 1
e) -x

c) 1

Calcular el valor de "n" para que:
n

( x3  8)  .( x 2  8 x  16)  29 x 4 (2  x) 4
2

x2  2 x  2

Presente un resto de 11 200.
a) 6
b) 5
c) 2
d) 3
e) 4

e) 8

6

S-06

Ingreso Directo

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2014 iii 06 teorema de resto 1

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2014-III Tablilla Babilónica ÁLGEBRA “TEOREMA DE RESTO - DIVISIBILIDAD” TEOREMA DEL RESTO Se obtiene: b b b P (  ) =[a(  )  b ]Q(  )+ R(x) a a a b b b b P (  ) =[   ]Q(  )+R (x) a a a a b b Como vemos   = 0; con lo a a cual: b Resto = R (x) = P (  ) a L.q.q.d. Este teorema es importante por que nos permite encontrar el resto de la división, sin efectuarla. Enunciado.- El resto de dividir un polinomio racional P(x) entre un divisor binomio de la forma (a x  b) o cualquier otro divisor transformable a binomio; se obtiene al calcular el valor b numérico de P (  ) a CASOS QUE SE PRESENTAN DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA: En concordancia con los elementos de la división, tenemos: Dividendo : P(x) Divisor : a x  b Cociente : Q (x) Resto : R (x) (incógnita) Primer Caso: P( x ) ax  b Reglas para determinar el Resto: 1º .Divisor igual a cero : a x  b=0 2º .Hallamos el valor de x: x b =  a 3º .Reemplazamos el valor de “x” en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división De la identidad fundamental: DdQ+R Se tiene: P (x) = (a x  b) Q (x) + R (x) b Evaluando P(x) para X =  a Centro Preuniversitario de la UNS Semana Nº 06 1 S-06 Ingreso Directo
  • 2. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos. Ejemplo # 1: Hallar el resto de la división: 2x 9  3 x 5  5 x 4  7 x  6 x 1 -6 k = 6  Solución Aplicando las reglas tendríamos: 1º.- Divisor = 0  x + 1 = 0 2º.- Cálculo de x  x = -1 3º.- Reemplazando en el dividendo; x = -1, obtenemos: Resto = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 – 7(-1) + 6 teniendo en cuenta que : (-) Par =+  (-) Impar Rpta. P( x ) axn  b ;(n2) Reglas para determinar el resto: 1º.- Divisor = 0  axn  b = 0 b 2º.- Cálculo de xn  xn =  a 3º.- Reemplazamos el valor de xn en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división: =Ejemplo # 1: Hallar el resto de la división: x 5  2x 3  5 x 2  3 x  2 Rpta. x2  2 Solución: Expresando el dividendo en función de “x2” se tendría: Ejemplo # 2.- Determine el valor de “k” en la división exacta. ( x2 )2 x  2( x2 )x  5( x2 )  3x  2 2 x3 - (3 k - 2) x2 - x  6 k x2 Solución Como la división es exacta, el resto, es igual a cero y de acuerdo a las reglas del teorema del resto tendríamos: 1º.- Divisor = 0  x + 2 = 0 2º.- Cálculo de x  x = -2 3º.- Resto = 0 2 (-2)3 – (3k – 2) (-2)2 – (-2) + 6k = 0 -16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0 Centro Preuniversitario de la UNS k = –1 Segundo caso: Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6 Resto = 19 Álgebra. x2  2 Aplicando las reglas: 1º.- x2 + 2 = 0  x2 = -2 2º.- Por consiguiente: R(x) =(-2)2 x + 2(-2) x–5(-2)+3 x -2 R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2  2 S-06 R (x) = 3 x + 8 Rpta. Ingreso Directo
  • 3. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos. Ejemplo # 2: Con la cual, se tendría : Si el resto de la división: ax 7 5  3 x  bx 2 (2x 23  x 5 3) ( x  1) 5 ( x 2  x  1) ( x  1) 2 es: Álgebra. x 1 x – 6. Hallar (a + b) 2x 24  2x 23  x 6  x 5  3x  3 x3  1 Solución Expresando el dividendo en función de x2, se tendría: Expresando el dividendo en función de x3: a( x2 )x  3( x2 )2 x  b( x2 )  5 2( x 3 )8  2( x 3 ) 7 x 2 ( x 3 ) 2  ( x 3 ) x 2  3x  3 x3 1 x2  1 Del teorema del resto: 1º.- x2 + 1 = 0  x2 = -1 Recordemos que: si al dividendo y al divisor se multiplican por una 2º.- R(x) = a (-1)3 x + 3 (-1)2 x + b (-1) misma cantidad, el cociente no se –5 altera pero el resto queda afectado por la cantidad que se está R (x) = (-a + 3) x – b – 5 multiplicando; en consecuencia: Como: R(x)  x - 6 Se cumple que: Por el Teorema del resto: (-a + 3) x – b – 5  x – 6 1º.- x3 – 1 = 0  x3 = 1 Comparando los coeficientes: 2º.- Con lo cual: i) -a + 3 = 1  a = 2 (x - 1) R(x) = 2(1)8 – 2(1)7 x2 – (1)2 + ii) –b – 5 = - 6  b = 1 + (1) x2 + 3x – 3  a + b = 3 Rpta. (x - 1) R (x) = - x2 + 3 x – 2 -x2 + 3 x – 2 R (x) = ----------------Ejemplo # 3: x - 1 Hallar el resto de la división: Por la regla de Ruffini: 23 5  x 3 2x x 2 -1  x 1 x=1 Solución Siendo el divisor un trinomio hay que transformarlo a binomio, mediante la identidad +3 - 1 +2 -1 - 2 + 2 0 Obtenemos: Resto: R(x) = -x + 2 Rpta (x2 + x + 1) ( x – 1) = x3 – 1 Centro Preuniversitario de la UNS 3 S-06 Ingreso Directo
  • 4. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos. Álgebra. PROBLEMAS PROPUESTOS 6. Hallar 1. Halle el resto: 100 x 2 x13  3x 6  2 x2  x 1 a) 2x+3 b) 2x d) 3x e) N.A. 2(m-2n+1)x4 + (m+p)x3 + (7n+2p)x2 – 3x -18 cuando se divide entre exacta: F(x) b) 2 = x3+2x2-x-2 Si c) 3 R(1)=R(2)=R(3)=R(4)=.....=0, determinar el valor numérico de: E = m+n+p residuo de a) 6 2 2 x 2  5x  3 a) 49 e) 2 e) 45 c) 47 cumplirse de modo que el polinomio: A 2   B2 x3  2BA  Bx2  4 ABx B2B  A sea divisible entre 4. Calcular el resto en la siguiente a) 0  32x  x  3x  7 2 x  6 x 2  10x  2 3 b) 4x+1 d) 3x+2 c) -1 e) 4 2 9. Calcular el resto y la suma de 3 a) 5x A  Bx  B  A b) 1 d) 3 división: 5 c) 4 8. Encontrar la relación necesaria por b) 48 d) 46 b) 5 d) 3 dividir: xx 1x  4x  5x  6  70 x  1 un polinomio R(x) = ax + bx + c. e) 5 15 arroja 2 x yz el c) 9800 7. Sabiendo que el polinomio P(x) = x5 + x  y 3  x  z 3   y  z 3  4n  17xyz 3. Calcular polinomio: + ax + b es divisible entre (x+1)2 d) 8900 c) 3-2x división d) 4 el b) 8100 2. Calcular el valor de “n” en la a) 1 si a) 9900 e) 2x+5 siguiente “ab” coeficientes c) -5x+6 e) 8x+3 del cociente siguiente m  1x 5. Cual es el resto de la división: m 3 la división:  2mx  m  1x  7m x 1 3 a) 11m;m3+11m+2 x 367  2 x2  x 1 en b) 13m;m2+13m+3 c) 12m; m2+11m+2 d) 11m;m2+11m+12 a) x-2 b) x+2 d) x+1 e) 11m;m2+11m+2 c) x2+1 e) N.A. Centro Preuniversitario de la UNS 4 S-06 Ingreso Directo
  • 5. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos. son iguales a 16. Calcular la suma de 10. Hallar el resto en: n 2n 2n 3  x 2  5x  7    x 2  5x  5   8x  152n 1   x 2  5              x2 Siendo “n” un número entero positivo. a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 c) 2 de d) 39 c) 38 e) 40 ax 3a  bx 3b1  cx 3c  2 x2  x 1 a) (b-c)x-(c-a) b) (c-b)x-(a-c) c) (b2-c)x-(c-a) d) (b-c)x2-(c-a) sea: x 2m  x m y n  y 2n b) 37 división: dividir: x 5 m  x 3m y n  x m y 4 n  y 5 n sus coeficientes. a) 36 15. Calcular el resto en la siguiente 11. Calcular un valor de: y+n para que el residuo Álgebra. e) (b-c2)x-(c-a2) 16. Un polinomio de 6° grado, tiene raíz 4 1   . 4 cúbica exacta, es divisible separadamente por: (x-1) y (2x+1) y a) 0 b) 2 d) -5 c) -4 e) 7 si se le divide por: (x-2) el resto es 1000. Calcular su término independiente. 12. Hallar el resto x  5  x  4 x  5x  4 11 13 a) 3x a) -4 b) -5 d) -7 2 b) 6x+8 d) 2x-7 en: e) -8 17. Calcular c) 3x+5 e) N.A. y 13. Al dividir un polinomio P(x) entre m “m+n” y  a c) -6 si la  1283a  y  y  2a 3m división: 2n es exacta: (x+3) se obtuvo por residuo -5 y un a) 22 b) 21 cociente cuya suma de coeficientes d) 19 e) 18 c) 20 es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x-1). a) 5 b) 6 d) 8 18. Determinar “m” si la división es c) 7 e) 9 exacta: x 14. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene 2  2 a) -3 cuadrada exacta. Al dividirlo entre b) 2 d) -4 raíz   y2  z2  m x4  y4  z4 x yz  c) -2 e) -6 (x-2) y (x+1) los restos obtenidos Centro Preuniversitario de la UNS 5 S-06 Ingreso Directo
  • 6. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos. 19. Calcular el resto de la división: 25. x  y 2  x  y 2 z  1  zz  1  13 Hallar 4x a) 1 e) 40 c) 42 26. 20. Calcular el resto de la división: b) 6 e) 3 21. Determinar c) 5 “m” polinomio:  para 4 4 2 2 que 2 2 sea divisible entre (x+y+z) a) 2 b) -3 d) 3 e) -2 el e) 4 x x a) 4 2n n x x x x n  x n  2 b) 5 n c) 6 2 n d) 7 Centro Preuniversitario de la UNS x de dividir: 2  ( x  3)  2(2x  1) Calcular el resto en : 2 n2 [( x ) a) 0 d) x SUMATIVO 2014 - II 3n 2n se obtiene como residuo 90. Calcular “n”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4 de c) 3 2 29. resto e) 1 x  2x  2 b) 320 c) 302 d) 203 e) 300 el b) 2x Luego ( x  1) x 53 x  8  x  4  6 23. El resto , es : x 2  8x  1 24. Calcular d) 2 es e) N.A. 28. SUMATIVO 2014 - I a) 230 c) 3 d) 6 d) 3 e) 4 Hallar el resto de la división: a) x - 1 c) 4 8x 2  5x38  1  20 x 20  1  10N  x10  1  2 Nx6  4 x 2  3                 4x4  4 53 d) -2 ( x  5)51  ( x  4) 40  9 ( x 2  9 x  20) como residuo de dividir: c) 3/4 c) 2 b) 4  2 2 SUMATIVO 2013 - III b) 2 1 Determine el valor de ”n” si el residuo de la división: 27. 22. El polinomio de grado cero que se obtiene , es: a) -2 b) -1 a) 5 x  y z m x y  y z z x 4 2 en: x  3n x  1n  nxx  1x  5  1  x  2 2 21  18x , donde “n” es par. 2x  18  3x  14  x  12  1 x x  2  a) 7 d) 4 residuo 2n2 3 n 2 b) 43 d) 41 el 2 x  1 x  1 2 x  1  x 2 3 n 3 x  y  z 5 a) 44 Álgebra. 30. dividir:  ( x 1) 3n  2 x 2 n1 ]( x3  2)2 n  x 2 n1 ; n  Z 2 x  x 1 b) 1 e) -x c) 1 Calcular el valor de "n" para que: n ( x3  8)  .( x 2  8 x  16)  29 x 4 (2  x) 4 2 x2  2 x  2 Presente un resto de 11 200. a) 6 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 e) 8 6 S-06 Ingreso Directo