El documento presenta varios problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares. 1) Calcula la longitud de un arco de 1° en un círculo de radio 1800 cm. 2) Determina x en sectores circulares concéntricos si el área S = 8L2. 3) Calcula el área de un sector dado su ángulo central y el área de otro sector.
Trigonometría: Problemas y áreas de sectores circulares
1. Trigonometría
SEMANA 2 1
3L x 2L 8 L²
LONGITUD DE ARCO 2
3L x 8 L
1. Calcule la longitud de un arco en x 5L
un sector circular cuyo ángulo RPTA.: C
central mide 1º y su radio mide
1800 cm.
3. Si: AB + CD = 26. Halle el área
del sector circular EOF.
A) m B) m C) m
2 5 8 A
4
A) 1
D) m E) m C
10 20
B) 2
RESOLUCIÓN 2 4 E 4
o
C) 3
D
18
D) 4
L F
1º
E) 6 B
Si: RESOLUCIÓN A
4
1º rad ; 1800 cm = 18 m C
180 8
Se pide: o
2 4 E 4
D
L x 18
180
F
L m
10 B
RPTA.: D
AB CD 26
2. Se muestra sectores circulares
concéntricos, donde S representa 12 3 8 2 26
área, obtener x. si S = 8L² 52 26
2L 1
A) 2 L
2
B) 4 L
S x R 2 1 1
C) 5 L 3L SEOF 4 ²
2 2 2
D) 6 L
SEOF 4
E) 8 L RPTA.: D
RESOLUCIÓN 4. Una regadera instalada en un
S = 8 L² parque, tiene un alcance de 8 m y
barre un ángulo de 120g. Calcule
Página 112
2. Trigonometría
el área del sector circular que Se pide:
genera esta regadera.
R
V 3
A) 19,2 m² B) 17,6 m²
C) 18,9 m² D) 12,6 m² R
9
E) 14,4 m² V=3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
6. Si a un sector circular le
cuadruplicamos su ángulo central
y aumentamos 5 m a su radio,
S se obtendrá un nuevo sector
8 circular que tiene un área que es
120 g 49 veces el área del sector
circular inicial. Determine el radio
8
del nuevo sector.
3 A) 2 m B) 3 m C) 5 m
Si: 120g = rad
5 D) 7 m E) 9 m
Se pide:
S
1 3
8² RESOLUCIÓN
2 5 Inicialmente:
S = 19,2 m²
RPTA.: A
rad S R²
S
5. Si CAE es un sector circular y 2
ED
AB BC. Halle : V Finalmente:
DC
A R + 5m= ?
A) 2
E
B) 3
4 rad 49 S
C) 4 B 20º
D) 5
E) 6 4 R 5 ²
D 49 S
C 2
RESOLUCIÓN
R² 4 R 5 ²
A
49
R 2 2
E 60º
20º
B 20º R 7R 2 R 5
80º
R 2m
80º
D
C R 5m 7m
RPTA.: D
Página 113
3. Trigonometría
RESOLUCIÓN
x²
7. Halle el área sombreada:
5
A x (x + 1)
A) C x (x - 1)
B) 2
C) 3 o 30º 6
D) 4 x x 1
5 x x 1 .........(1)
5
E) 5 D
B Luego :
x 1
RESOLUCIÓN x x 1 x² 5 x
5
A 5(x+1) = (x²+5)(x1)
a C 5x + 5 = x³ x² + 5x 5
10 = x³ x²
E = x³ x² 1
o 30º 6 E=9
RPTA.: E
b
D
B 9. En la figura, el trapecio circular
ABCD y el sector circular COD
Sx = SAOB SCOD
m
tienen igual área. Halle:
Sx a² b² n
2 2
Sx a² b² 2 A
2
A) D
2
1
Sx 6²
2 6 1
B) m n
36 2 o
Sx
12 C) 2
Sx 3 C
RPTA.: C D) 2 B
E) 1
8. Calcule: E = x³ x² 1, si:
A
x² RESOLUCIÓN
C
5
x (x + 1)
o x (x - 1)
rad S n
D
m S
B
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
Página 114
4. Trigonometría
m²
menor : S
2 (2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)
4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
4R² 4R.L +L² = 0
n²
mayor : 2S (2RL)² = 0 2R L = 0
2
2R = L 2R = R = 2
1 m²
2 n² RPTA.: B
1 m m 2
11. De la figura mostrada, AOF,
2 n n 2
BOE y COD son sectores
circulares, además:
RPTA.: A
BC = DE = a, AB = EF = 2a,
10. Se tiene un sector circular y un
LCD x, LBE y, L AF Z
cuadrado, con equivalente área e
igual perímetro; luego la medida,
en radianes, de su ángulo central Calcule: M = (2x + z) y1
correspondiente resulta ser: A
A) 1 B
1 B) 2 C
A) 1 rad B) 2 rad C) rad
2
1 C) 3 o
D) 4 rad E) rad
4 D) 4 D
E) 5 E
RESOLUCIÓN F
R RESOLUCIÓN
A
2a
rad B
S L C
a
R o x y z
Condiciones: D
a
LR E
i) S =S a² 2a
2 F
R.L = 2a² De la figura:
ii) Perímetro = Perímetro yx zy
a 2a
2R + L = 4a
2y 2x = z y
a
3y = 2x + z
Luego:
a S a M = (3y) . y1
M=3
RPTA.: C
a
Página 115
5. Trigonometría
S2 S3 12 11
12. Calcule: M A) mts B) mts
S1 5 5
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de 5 12
C) mts D) mts
las regiones sombreadas 12 7
5
E) mts
11
S2 RESOLUCIÓN
2 1 1
S1 S= L R 7,2 L(6)
S3 2 2
24
144
L(6)
12 13 1 10
A) B) C)
7 2 12
D) 5 + 2 E) 5 2 12
L mts
5
RESOLUCIÓN RPTA.: A
14. Se tiene una bicicleta cuyas
ruedas tienen por radios R1 y R2
(R1 < R2); cuando la rueda menor
S2 = 3S
gira º la mayor gira g. ¿En qué
2 S1 = 2S relación se encuentra los radios?
6S
S3. = 10S
3 8 9
A) B) C)
7 13 10
3 9
S1 = 2S D) E)
10 4
S2 = 3S
S3 = 10S
RESOLUCIÓN
Si 1 y 2 son los ángulos que
S2 S3 13
M giran la rueda menor y mayor
S1 2 respectivamente.
RPTA.: B
13. Dos postulantes de la UNAC,
observan un reloj eléctrico cuyas
g
agujas están detenidas, luego de
º
la falla eléctrica en el Callao, uno R2
de los estudiantes dice que el R1
área que hacen las agujas es
de 7,2 m² y si el reloj tiene un
radio de 6 m. ¿Cuál será el arco En una bicicleta se cumple que:
entre las agujas? 1 R1 = 2 R2
22 ºR1 = (g)R2
Considere
7
Página 116
6. Trigonometría
16. En el sistema mostrado, si la
9 3
ºR1 º R2 rueda A da de vuelta, entonces
10 4
R1 9 la longitud recorrida por la rueda
R 2 10 C es:
RPTA.: C
15. Se tienen dos ruedas conectadas B
por una faja; si hacemos girar la
faja, se observa que las ruedas
giran ángulos que suman 144º. 2 6
8
Determine la diferencia de los
números de vueltas que dan estas A
C
ruedas si sus radios miden 3 m y
5m
A) 3,6 B) 36 C) 1,8
1 1 1
A) B) C) 9
3 8 9 D) 18 E)
4
1 1
D) E)
4 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN A
B
1 + 2 = 144º
2
8 6
5
3 C
3
# VA V
4
L1 = L2 1 R1 = 2 R2
3 3
1 R2 V 5 A 2 rad rad
1 4 2
2 R1 V2 3
* A B:
1 144 1 LA = LB
2
2 2 180 2 A RA = B RB
2 2 3
2 6 B 2
V1 V2 8k V1 V2 2k
5 5
1 1 9
k V1 V2 2 B
20 20 2
1
10 * B C:
9
RPTA.: E B = C =
2
9
L C CRC 8 36
2
RPTA.: B
Página 117
7. Trigonometría
17. Determine el área de la región 18. Del gráfico, halle el número de
sombreada, sabiendo que las vueltas que dará una ruedita de
áreas de los sectores AOB y COD radio 1, al ir de A hasta B si
son iguales ( y en radianes) CB = 8 y AOC es un sector
circular.
o
R
A
B
D
A) 2 B) 3 C) 4
M
D) 5 E) 6
C
RESOLUCIÓN
1 1
A) R² B) R² A o
2 2
1 1 4
C) R² ² ² D) R² ²
2 2 L1 L2
1
E) R² ²
2 C B
8
RESOLUCIÓN
L1 + L2 = 2 (1) . N
1 2 4 8 2 N
S r1 2
2
10 2 N
r1
R2 r1 R 2
2
2
N5
1
S S S R² RPTA.: D
2
19. Halle el número de vueltas que da
SX la rueda de radio (r = 1) al ir de la
posición A hasta la posición B.
S + Sx = S T
Sx = ST S
1 1 2
Sx R² r1 Re emplazando 20
2 2
1 1
Sx R² R² o
2 2 r
1 A r
Sx R²
o B
2
RPTA.: A
Página 118
8. Trigonometría
A) 85 B) 9 C) 10 RESOLUCIÓN
D) 10,5 E) 11
L AB = 240º 18u 24
180
RESOLUCIÓN
RECORRIDA B
#V
2 r
r
Sabemos: r = () (21) = 21
21 A
# vueltas =
2 1
L
r
#v = 10,5
0
24
RPTA.: D
20. De la figura mostrada, la rueda de B
radio r, gira sin resbalar sobre la
superficie de radio 240 r. ¿Cuál es De la figura:
la longitud recorrida por el centro L 24
de la rueda hasta que el punto B
241r 240 r
este en contacto con la superficie
de la curva, si: m AOB = 120º, L = 24,1
r = 18u? RPTA.: B
B 21. Sobre una superficie curva de
r radio “R” gira una rueda cuyo
radio es “r” (ver figura). Si dicha
A rueda da una vuelta al ir de “M” a
“N”. Calcule la longitud del arco
MN. ( O y O son centros).
B r
N
o
240 r A
M
R
A) 24 B) 24,1 C) 24,2
D) 24,3 E) 24,4 O
R r Rr
A) B)
Rr R r
2Rr
C) 2Rr R r D)
R r
R r
E)
2Rr
Página 119
9. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
Espacio recorrido por el móvil A
será PR y del móvil B es el arco
QR .
eA = VAtA y eB = VBtB
Pero ambos parten al mismo
tiempo tA = tB
P
r
R
2
r r Q
Del gráfico: r
L R r
i) n 1
2r 2r
2r eA V 3
= A 7eA 3eB
R r eB VB 7
ii) R
MN
2Rr eA LPR r y eB L QR r
2
MN
R r
Reemplazando:
RPTA.: D
22. Dos móviles A y B parten al 7 r 3 r
mismo tiempo y en las direcciones 2
indicadas en la figura de los 7
7 3 3 10
puntos P y Q respectivamente, si 2 2
la velocidad de A es a la velocidad
de B como 3 es a 7. Calcule rad
20
cuando mide “” si se encuentran
por 1era. vez en el punto R.
RPTA.: D
P
A) rad
5
R
B) rad
4
C) rad Q
10
D) rad
20
7
E) rad
10
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